【全国百强校】江苏省海安高级中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题
【全国百强校】江苏省海安高级中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 (2)

【全国百强校】江苏省海安高级中学【最新】高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.若集合2{|52},{|90},A x x B x x A B =-<<=-<⋂=求( ) A .{|32}x x -<< B .{|52}x x -<< C .{|33}-<<x xD .{|53}x x -<<2.已知,m n R ∈,i 是虚数单位,若(1)(1)mi i n +-=,则||m ni +的值为( )A .1B C D 3.若向量(0,2)m =-,(3,1)n =,则与2m n +共线的向量可以是( )A .1)-B .(-C .(1)-D .(1,-4.将函数24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移12π单位后,所得图象对应的函数解析式为( )A .5212y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B .5212y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C .212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D .212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5.设实数,y 满足的约束条件{x −y +1≥02x −y ≤0y ≥0 ,则z =x +y 的取值范围是( )A .[−1,1]B .[−1,2]C .[−1,3]D .[0,4]6.若函数22,0()(),0x x x f x a R x ax x ⎧+≥=∈⎨-<⎩为偶函数,则下列结论正确的是( ) A .()()()20f a f a f >> B .()()()02f a f f a >> C .()()()20f a f a f >>D .()()()20f a f f a >>7.已知圆()2229x y -+=的圆心为C ,过点()2,0M -且与x 轴不重合的直线l 交圆A 、B 两点,点A 在点M 与点B 之间.过点M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ,则点P 的轨迹为( ) A .圆的一部分 B .椭圆的一部分C .双曲线的一部分D .抛物线的一部分8.对于ABC ∆,若存在111A B C ∆ ,满足111cos cos cos 1sin sin sin A B CA B C ===,则称ABC ∆为“V 类三角形”.“V 类三角形”一定满足( ). A .有一个内角为30 B .有一个内角为45︒ C .有一个内角为60︒ D .有一个内角为75︒9.已知函数()()xxf x e x ae =-恰好有两个极值点1x ,()212x x x <,则a 的取值范围是( ) A .10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B .()0,1C .1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D .1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭二、填空题10.学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动,则选出的2人中至少有1名女同学的概率为_______(结果用数值表示).11.已知数列{}n a 为等比数列,且2311724a a a π+=,则()113tan a a 的值为_____.12.在ABC ∆ 中.已知2CD DB =,P 为线段AD 上的一点,且满足12CP CA mCB =+.若ABC ∆的面积为3ACB π∠=,则CP 的最小值为_______.13.设函数()f x =21,02,0x x x x ⎧-≥⎨+<⎩,若函数y =f(x)-a 有两个不同的零点,则实数a 的取值范围是_______.14.设二次函数()2f x ax bx c =++(,,a b c 为实常数)的导函数为()f x ',若对任意x ∈R 不等式()()f x f x '≥恒成立,则222ba c+的最大值为_____.三、双空题15.若抛物线22(0)y px p =>的上一点(1,)M m 到其焦点的距离为3, 且抛物线的焦点是双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点,则p=_______ ,a=______.四、解答题16.已知(cos ,1),(2sin ,1)m x n x ==,设()f x m n =⋅. (1)求()f x 的最小正周期;(2)在△ABC 中,已知A 为锐角,4()23A f =,BC=4,AB=3,求sin B 的值. 17.如图,在三棱锥P −ABC 中,∠PAC =∠BAC =90°,PA =PB ,点D ,F 分别为BC ,AB 的中点.(1)求证:直线DF//平面PAC ; (2)求证:PF ⊥ AD .18.为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗,业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料,该材料有效使用年限为20年.已知房屋外表喷一层这种隔热材料的费用为每毫米厚6万元,且每年的能源消耗费用H (万元)与隔热层厚度x (毫米)满足关系:40()(010)35H x x x =≤≤+.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)请解释(0)H 的实际意义,并求()f x 的表达式;(2)当隔热层喷涂厚度为多少毫米时,业主所付的总费用()f x 最少?并求此时与不建隔热层相比较,业主可节省多少钱?19.已知椭圆C :22x a +22y b =1(a >b >0距离为3.(1)求椭圆C 的方程;(2)椭圆C 上是否存在点P ,使得过点P 引圆O :x 2+y 2=b 2的两条切线P A 、PB 互相垂直?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.20.设函数()2(1)x f x x =+,给定数列{}n a ,其中1a a =,*1()()n n a f a n N +=∈.(1)若{}n a 为常数数列,求a 的值;(2)当0a ≠时,探究12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭能否是等比数列?若是,求出{}n a 的通项公式;若不是,说明理由;(3)设3n n b na =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,当a=1时,求证:114(2)()2n n S n ->-+.21.已知函数f (x )=ae x ,g (x )=ln x -ln a ,其中a 为常数,且曲线y =f (x )在其与y 轴的交点处的切线记为l 1,曲线y =g (x )在其与x 轴的交点处的切线记为l 2,且l 1∥l 2. (1)求l 1,l 2之间的距离;(2)若存在x 使不等式()x mf x -m 的取值范围; (3)对于函数f (x )和g (x )的公共定义域中的任意实数x 0,称|f (x 0)-g (x 0)|的值为两函数在x 0处的偏差.求证:函数f (x )和g (x )在其公共定义域内的所有偏差都大于2.参考答案1.A 【分析】利用集合交集运算性质即可解得. 【详解】{|52},A x x =-<<2{|90}={|-33}B x x x x =-<<<所以{|32}A B x x ⋂=-<< 故选A 【点睛】本题主要考查集合的运算性质,属于基础题. 2.D 【分析】根据复数的运算性质,分别求出m,n,然后求解复数的模. 【详解】()()11mi i n +-=()11m m i n ∴++-=11m nm +=⎧∴⎨=⎩ 21n m =⎧∴⎨=⎩12m ni i +=+=故选D 【点睛】本题考查复数运算性质和复数模的计算,属于基础题,解题时要准确计算. 3.B 【分析】先利用向量坐标运算求出向量2m n +,然后利用向量平行的条件判断即可. 【详解】()()0,2,3,1m n =-=()23,3m n ∴+=-()()333-=-故选B 【点睛】本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位. 4.D 【分析】先将函数24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中x 换为x-12π后化简即可.【详解】2()124y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭化解为212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选D 【点睛】本题考查三角函数平移问题,属于基础题目,解题中根据左加右减的法则,将x 按要求变换. 5.C 【解析】 【分析】先画出可行域的几何图形,再根据z =x +y 中z 的几何意义(直线在y 轴上的截距)求出z 的范围. 【详解】如图:做出满足不等式组的{x −y +1≥02x −y ≤0y ≥0的可行域,由图可知在A(1,2)处取得最大值3,在点B(-1,0)处取得最小值-1; 故选C 【点睛】本题主要考查线性规划问题中的截距型问题,属于基础题型,解题中关键是准确画出可行域,再结合z 的几何意义求出z 的范围. 6.C 【分析】函数()()22,0,0x x x f x a R x ax x ⎧+≥=∈⎨-<⎩为偶函数,则有f(-1)=f(1),可解得a=1,函数在区间(),0-∞ 单调递减,在区间()0,∞+单调递增,故自变量距离0越远函数值越大,即可求解.【详解】因为函数()()22,0,0x x x f x a R x ax x ⎧+≥=∈⎨-<⎩为偶函数所以f(-1)=f(1),解得a=1又因为函数在(),0-∞ 单调递减,在()0,∞+单调递增 所以()()()20f a f a f >> 故选C 【点睛】本题考查了分段函数的奇偶性和单调性的应用,属于中等难度题目,解题中关键是利用偶函数的性质求解a 的值,其次是利用偶函数的单调性比较大小(先减后增,离原点越远函数值越大,先增后减,离原点越远越小). 7.C 【分析】根据题意找出几何关系CAB CBA ∠=∠,得到CAB AMP ∠=∠,所以PM PB =,即可得到--3PM PC PB PC BC ===,所以点P 的轨迹是双曲线右支. 【详解】由已知条件可知AC BC = ,所以三角形是等腰三角形,CAB CBA ∠=∠ , 因为//MP AC 所以CAB AMP ∠=∠则三角形BMP 是等腰三角形, PM PB = 所以--3||4PM PC PB PC BC MC ===<= 所以点P 的轨迹是双曲线的右支. 故选C 【点睛】本题考查了几何关系的转换和双曲线的定义,是一道综合性较强的题目,属于难题,解题的关键是几何关系的转换,由角的相等得出线段相等而后得到线段的差是一个常数是本题的难点. 8.B 【分析】由对称性,不妨设1A 和1B 为锐角,结合同角三角函数关系进行化简求值即可. 【详解】解:由对称性,不妨设1A 和1B 为锐角,则12A π=-A ,12B π=-B ,所以:1A +1B =π﹣(A +B )=C ,于是:cos C =sin 1C =sin (1A +1B )=sin C ,即:tan C =1,解得:C =45°, 故选B .【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值,注意新定义运算法则,诱导公式的应用,属于中档题. 9.A 【分析】 令'0fx ,分离常数12x x a e +=,利用导数求得()1xx g x e +=的单调区间,由此得2a 的取值范围,进而求得a 的取值范围. 【详解】 依题意()()'12x x fx x ae e =+-,令'0f x 并化简得,12x x a e+=,构造函数()1x x g x e +=,()'xx g x e -=,故当0x <时,()g x 递增,当0x >时,()g x 递减,()()max 01g x g ==.注意到0x >时,()0g x >,由此可知2y a =与()1x x g x e +=有两个交点,需要满足()20,1a ∈,故10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故选A .【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值点,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题. 10.710【解析】 【分析】基本事件总数n 25C ==10.选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m 112322C C C =+=7,由此能求出选出的2人中至少有1名女同学的概率.【详解】解:学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动,基本事件总数n 25C ==10.选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m 112322C C C =+=7,则选出的2人中至少有1名女同学的概率为p 710m n ==. 故答案为710. 【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型概率计算公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.11【分析】利用等比数列的性质23117113==a a a a a ,代入等式得11343=a a π,再代入计算即可。
江苏省海安高级中学高一数学下学期期中试题苏教版

高一数学本试卷分填空题和解答题两部分.考生作答时,将答案答在答题卷上,在本试卷上答题无效.本卷满分160分,考试时间为120分钟. 注意事项:1. 答题前,考生先将自已的姓名、学校、考试号填写在答题卷规定区域内;2. 填空题和解答题均使用0.5毫米的黑色中性签字笔或炭素笔书写,字体工整,笔迹清楚,作图可用2B 铅笔;3. 请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分) 1. 在ABC ∆中,设角B A ,所对边分别为b a ,,若bBa A cos sin =,则角=B . 2. 在等差数列{}n a 中,若1120,a =则21S = . 3. 已知关于x 的不等式ax -1x +1>0的解集是(-∞,-1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞,则a =________.4.已知等比数列{}n a 公比0>q ,若32=a ,21432=++a a a ,则345____.a a a ++=5. 在△ABC 中,若a =5,b =15,A =30°,则边c =________.6.答曰: 盏.7. 右图是一个算法的流程图,则输出S 的值是 .8. 设动点),(y x P 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00502402y x y x y x ,则y x z 25+=的最大值是 .9. 0a <,0b <,则22b a p a b=+与q a b =+的大小关系为 . 10. 已知正项等比数列{}n a 满足:5672a a a +=,若存在两项n m a a ,使得14a a a n m =,则n m 41+的最小值为 .11.ABC ∆中,已知cos cos a b c B c A -=-,则三角形的 形状为_____________. 12.已知圆内接四边形ABCD 中,2,6,4,AB BC AD CD ====则四边形ABCD 的面积为________.7第题图13.设n S 为数列{}n a 的前n 项和,若nnS S 2)(*∈N n 是非零常数,则称该数列为“和等比数列”.若数列{}n C 是首项为1C ,公差为d (0≠d )的等差数列,且数列{}n C 是“和等比数列”,则d 与1C 的关系式为_________________.14.已知圆心角为120°的扇形AOB 的半径为1,C 为弧AB 的中点,点D ,E 分别在半径OA ,OB 上.若CD 2+CE 2+DE 2=269,则OD +OE 的最大值是________.二、解答题(本大题共6小题,满分90分) 15. (本题满分14分)解关于x 的不等式ax 2-(2a +1)x +2<0(0a >).16.(本题满分14分)在△ABC 中,A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ,b cos B 是a cos C ,c cos A 的等差中项. (1)求B 的大小;(2)若a +c =10,b =2,求△ABC 的面积.17.(本题满分15分)对任意函数(),f x x D ∈,可按流程图构造一个数列发生器, 其工作原理如下:①输入数据0x D ∈,经数列发生器输出10()x f x =;②若1x D ∉,则数列发生器结束工作;若1x D ∈,则将1x 反馈回输入端再输出21()x f x =,并且依此规律继续下去.现定义42()1x f x x -=+.(1)若输入04965x =,则由数列发生器产生数列{}n x ,请写出数列{}n x 的所有项;(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数数列,试求输入的初始数据0x 的值;(3)若输入0x 时,产生的无穷数列{}n x 满足:对任意正整数n ,均有1n n x x +<,求0x 的 取值范围.18.(本题满分15分)设数列{a n }的前n 项和S n =n 2,数列{b n }满足b n =a na n +m(m ∈N *).(1)若b 1,b 2,b 8成等比数列,试求m 的值;(2)是否存在m ,使得数列{b n }中存在某项b t 满足b 1,b 4,b t (t ∈N *,t ≥5)成等差数列? 若存在,请指出符合题意的m 的个数;若不存在,请说明理由.19.(本题满分16分)某单位有员工1000名,平均每人每年创造利润10万元。
江苏省海安中学2020学年高一数学下学期期中试题(创新班)

江苏省海安中学2020学年高一数学下学期期中试题(创新班)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上......... 1. 已知集合{}2320A x x x =-+>,则A =R ð ▲ .2. 设i 是虚数单位,若复数z 满足)1()1(i i z -=+,则复数z 3. 函数y =的定义域为 ▲ .4. 若()π1sin 123α+=,则()7πcos 12α+的值为 ▲ .5. 已知() 0 αβ∈π,,,且()1tan 2αβ-=,1tan 5β=-,则tan α的值为 ▲ . 6. 已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程是y =3x ,它的一个焦点与抛物线y 2=16x 的焦点相同,则双曲线的方程为 ▲ .7. 由0,1,2,3,4,5这6个数字共可以组成 ▲ 个没有重复数字的四位偶数. 8. 用数学归纳法证明:“11123+++…121n n +<-即2111n k n k-=<∑,其中2n ≥,且*n ∈N ”时,第一步需验证的不等式为:“ ▲ .”9. 已知函数()f x x b =+有且只有一个零点,则实数b 的取值范围是 ▲ . 10.设x ,y ,z 均是不为0的实数,9x ,12y ,15z 成等比数列,且1x ,1y ,1z成等差数列,则x z z x+的值是 ▲ .11.设,x y 满足约束条件0,0,210,x x y x y ⎧⎪-⎨⎪-+⎩≤≤≥则目标函数z xy =的取值范围为 ▲ .12. 如图,在△ABC 中,边BC 的四等分点依次为D ,E ,F .若AB →·AC →=2,AD →·AF →=5,则AE 的长为▲13. 设函数)(x f 在R 上存在导数)('x f ,对任意的),0(+∞上()f x 'x >.若a a f a f 22)()2(-≥--,则实数a 的取值范围 ▲ .14.设,,a b c 是三个正实数,且()b a b c ac ++=,则ba c+的最大值为 ▲ . 二.解答题:本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)如图,在正三棱柱111ABC A B C -中,已知D ,E 分别为BC ,11B C 的中点,点F 在棱1CC 上,且1EF C D ⊥.求证:(1)直线1A E ∥平面1ADC ; (2)直线EF ⊥平面1ADC .16.(本题满分14分)已知向量()1sin 2A =,m 与()3sin A A =,n 共线,其中A 是△ABC 的内角.(1)求角A 的大小;(2)若BC =2,求△ABC 面积S 的最大值,并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.ABCDE A 1 B 11C 1 F (第15题)(第12题)17. (本题满分14分)已知椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>C 与y 轴交于,A B 两点,且2AB =.(1)求椭圆C 的方程;(2)设点P 是椭圆C 上的一个动点,且点P 在y 轴的右侧,直线,PA PB 与直线4x =交于,M N 两点,若以MN 为直径的圆与x 轴交于,E F ,求点P 横坐标的取值范围及EF 的最大值.18.(本小题满分16分)如图,一个角形海湾AOB ,∠AOB =2θ(常数θ为锐角).拟用长度为l (l 为常数)的围网围成一个养殖区,有以下两种方案可供选择: 方案一 如图1,围成扇形养殖区OPQ ,其中⌒PQ =l ; 方案二 如图2,围成三角形养殖区OCD ,其中CD =l ;(1)求方案一中养殖区的面积S 1 ;(2)求证:方案二中养殖区的最大面积S 2=l 24tan θ;(3)为使养殖区的面积最大,应选择何种方案?并说明理由.19.(本小题满分16分)已知函数32()f x ax bx cx b a =-++- (a > 0,b ,c ∈R ). (1)设0c =.①若a b =,()f x 在0x x =处的切线过点(1,0),求0x 的值; ②若a b >,求()f x 在区间[0 1],上的最大值;(2)设()f x 在1x x =,2x x =两处取得极值,求证:11()f x x =,22()f x x =不同时成立.20.(本小题满分16分)已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,31=a ,且)(32*1N ∈-=+n a S n n . (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)对于正整数)(,,k j i k j i <<,已知k i j a a a μλ,6,成等差数列,求正整数μλ,的值; (3)设数列{}n b 前n 项和是n T ,且满足:对任意的正整数n ,都有等式3331123121--=+++++--n b a b a b a b a n n n n n Λ成立.求满足等式31=n n a T 的所有正整数n .参考答案1.【答案】[1,2]2.【答案】13.【答案】()1 12, 4.【答案】13-5.【答案】3116.【答案】 x 24-y 212=17.【答案】116 8.【答案】111223++<9.【答案】{}(2-U10.【答案】341511.【答案】1,18⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12. 13.【答案】(,1]-∞14.【答案】12.15. 证明:(1)连结ED ,因为D ,E 分别为BC ,11B C 的中点,所以1B E BD ∥且1B E BD =,所以四边形1B BDE 是平行四边形,…………………2分 所以1BB DE ∥且1BB DE =,又11BB AA ∥且11BB AA =, 所以1AA DE ∥且1AA DE =,所以四边形1AA ED 是平行四边形,…………………4分 所以1A E AD ∥,又因为11A E ADC ⊄平面,1AD ADC ⊂平面,所以直线1A E ∥平面1ADC .…………………………………………………7分(2)在正三棱柱111ABC A B C -中,1BB ⊥平面ABC ,又AD ⊂平面ABC ,所以1AD BB ⊥,又ABC △是正三角形,且D 为BC 的中点,所以AD BC ⊥,……………9分 又1,BB BC ⊂平面11B BCC ,1BB BC B =I , 所以AD ⊥平面11B BCC ,又EF ⊂平面11B BCC ,所以AD EF ⊥,……………………………………11分 又1EF C D ⊥,1,C D AD ⊂平面1ADC ,1C D AD D =I ,所以直线EF ⊥平面1ADC .…………………………………………………14分16. 解:(1)因为m //n ,所以3sin (sin )02A A A ⋅+-=. ……………2分所以1cos 232022A A -+-=,12cos 212A A -=, ………3分即 ()πsin 216A -=. ……………………………………4分因为(0,π)A ∈ , 所以()ππ11π2666A -∈-,. ……………………5分 故ππ262A -=,π3A =. ………………………………………7分(2)由余弦定理,得 224b c bc =+-. …………………………………8分又1sin 2ABC S bc A ∆==, ………………………………9分 而222424b c bc bc bc bc +⇒+⇒≥≥≤,(当且仅当b c =时等号成立) ……11分所以1sin 42ABC S bc A ∆===. ………………………12分当△ABC 的面积取最大值时,b c =.又π3A =,故此时△ABC 为等边三角形. …14分17. 解:(1)由题意可得,1b =,c e a ==2分得22134a a -=, 解24a =, 椭圆C 的标准方程为2214x y +=.…………………4分 (2)设000(,)(02)P x y x <≤,(0,1)A ,(0,1)B -,所以001PA y k x +=,直线PA 的方程为011y y x x +=-,同理得直线PB 的方程为0011y y x x -=+, 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+, 直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-, 线段MN 的中点04(4,)y x ,…………………………………………………………8分 所以圆的方程为22200044(4)()(1)y x y x x -+-=-,令0y =, 则2220200164(4)(1)y x x x -+=-, 因为220014x y +=,所以 2020114y x -=-, 所以28(4)50x x -+-=, 因为这个圆与x 轴相交,该方程有两个不同的实数解, 所以0850x ->,解得08(,2]5x ∈.………………………………………………12分 设交点坐标12(,0),(,0)x x,则12||x x -=0825x <≤), 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2.………………………………………14分18. 解:(1)设OP =r ,则l =r ·2θ,即r =l2θ,所以 S 1=12lr =l 24θ,θ∈(0,π2). (4)分(2)设OC =a ,OD =b .由余弦定理,得l 2=a 2+b 2-2ab cos2θ,所以l 2≥2ab -2ab cos2θ. ……………………………………6分所以ab ≤l 22(1-cos2θ),当且仅当a =b 时“=”成立. 所以S △OCD =12ab sin2θ≤l 2sin2θ4(1-cos2θ)=l 24tan θ,即S 2=l24tan θ. ………………8分(3)1S 2-1S 1=4l 2(tan θ-θ),θ∈(0,π2),. ………………………………10分令f (θ)=tan θ-θ,则 f (θ)=(sin θcos θ)-1=sin 2θcos 2θ. ……………12分 当θ∈(0,π2)时,f (θ)>0,所以f (θ)在[0,π2)上单调增,所以,当θ∈(0,π2), 总有f (θ)>f (0)=0.所以1S 2-1S 1>0,得S 1>S 2.答:为使养殖区面积最大,应选择方案一.(没有作答扣一分) …………16分19. 解:(1)当0c =,0a >时,32()f x ax bx b a =-+-,[]0 1x ∈,, ①若a b =,则32()f x ax ax =-,从而2000()32f x ax ax '=-,故()f x 在0x x =处的切线方程为()3200y ax ax --= ()200032()ax ax x x --,将点(1,0)代入上式并整理得,()2001x x -=()000(1)32x x x --,解得00x =或01x =; …… 5分 ②若a b >,则由()22()32303b f x ax bx ax x a '=-=-=得,0x =或213b x a=<,若0b ≤,则()0f x '≥,所以()f x 为[]0 1x ∈,上的增函数,从而()f x 的最大 值为(1)0f =; …… 7分 若0b >,列表:x()20 3b a , 23b a()2 13b a , 1 ()f x ' ﹨ -0 +﹨ ()f x0b a -<↘ 极小值↗所以()f x 的最大值为(1)0f =,综上,()f x 的最大值为0; …… 10分 (2)证明:假设存在实数a ,b ,c ,使得11()f x x =与22()f x x =同时成立,不妨设12x x <,则1()f x <2()f x ,因为1x x =,2x x =(12x x <)为()f x 的两个极值点, 所以212()323()()f x ax bx c a x x x x '=-+=--(a >0),因为[]12 x x x ∈,时,()0f x '≤,所以()f x 为区间[]12 x x ,上的减函数, 从而1()f x >2()f x ,这与1()f x <2()f x 矛盾,故假设不成立,即不存在实数a ,b ,c ,使得11()f x x =与22()f x x = 同时成立. …… 16分20.解:(1)由)(3-2*1N ∈=+n a S n n 得3-221++=n n a S ,两式作差得121-2+++=n n n a a a , 即)(3*12N ∈=++n a a n n . ………………………………………………………2分 31=a ,93212=+=S a ,所以)(3*1N ∈=+n a a n n ,0≠n a ,则)(3*1N ∈=+n a a nn ,所以数列{}n a 是首项为3公比为3的等比数列,所以)(3*N ∈=n a n n ; …………………………………………4分 (2)由题意i k j a a a 62⋅=+μλ,即i k j 36233⋅⋅=+μλ,所以1233=+--i k i j μλ,其中12j i k i --≥,≥, 所以333399j i k i λλμμ--≥≥,≥≥, ……………………6分123312j i k i λμ--=+≥,所以1,21===-=-μλi k i j ,; …………………8分(3)由3331123121--=+++++--n b a b a b a b a n n n n n Λ得 3)1(33211213211-+-=+++++++-+n b a b a b a b a b a n n n n n n Λ, 3)1(33)(3212112111-+-=++++++--+n b a b a b a b a b a n n n n n n Λ, 3)1(33)333(32111-+-=--++++n n b a n n n ,所以)333(33)1(333121----+-=+++n n b n n n ,即3631+=+n b n ,所以)(12*1N ∈+=+n n b n , ……………………10分 又因为331331111=-⋅-=+b a ,得11=b ,所以)(12*N ∈-=n n b n ,从而)(2121)12(531*2N ∈=-+=-++++=n n n n n T n Λ, )(3*2N ∈=n n a T n n n 当1=n 时3111=a T ;当2=n 时9422=a T ;当3=n 时3133=a T ;……………………………12分下面证明:对任意正整数3>n 都有31<n n a T , )122(31)3)1((313131)1(2122121211++-⎪⎭⎫⎝⎛=-+⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+=-+++++n n n n n n a T a T n n n n n n n n …14分当3n ≥时,0)2()1(12222<-+-=++-n n n n n ,即011<-++nnn n a T a T , 所以当3n ≥时,n n a T 递减,所以对任意正整数3>n 都有3133=<a T a T n n ; …………15分 综上可得,满足等式31=n n a T 的正整数n 的值为1和3. ………………………………16分。
【全国百强校】江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题

故答案为:-1.
【点睛】
本题考查奇函数的概念,以及奇函数g(x)在原点有定义时,g(0)=0,属于基础题。
6.
【解析】
【分析】
应用对数运算法则计算即可.
【详解】
原式= .
【点睛】
本题考查了对数的运算性质,属于基础题.
7.c<b<a
【解析】
【分析】
利用指数与对数函数的单调性即可得出答案.
【详解】
【详解】
由于f(x)=x3在R上单调递增;
∴由f(x2-4)<f(2x-1)得,x2-4<2x-1;
(Ⅰ)写出年利润 (万元)关于年产量 (万只)的函数的解析式;
(Ⅱ)当年产量为多少万只时,公司在该款手机的生产中获得的利润最大?并求出最大利润.
19.已知函数f(x)=loga ,其中0<a<1,b>0,若f(x)是奇函数.
(1)求b的值并确定f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的单调性,并证明你的结论;
∵0<m<1,
∴a=2m>1,b=m2∈(0,1),c= <0,
故a,b,c的大小关系是c<b<a.
故答案为:c<b<a.
【点睛】
本题考查了指数与对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
8.偶函数
【解析】
【分析】
由f(-x)=|-x+n|+|-x-n|=|x-n|+|x+n|=f(x)可以判断函数的奇偶性.
【全国百强校】江苏省南通市海安高级中学【最新】高一上学期期中考试数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、填空题
2020年江苏省南通市海安高中高一(下)期中数学试卷

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题(本大题共10小题,共50.0分)1.已知全集U=R,A={x|x>1},B={x|x2>1},那么(∁U A)∩B等于()A. {x|-1<x≤1}B. {x|-1<x<1}C. {x|x<-1}D. {x|x≤-1}2.直线的倾斜角为()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°3.已知非零向量的夹角为,且,则=()A. 1B. 2C.D.4.已知函数f(x)=,若f(4)=2f(a),则实数a的值为()A. -1或2B. 2C. -1D. -25.在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=,b=,A=60°,则角B=()A. 30°B. 45°C. 60°D. 135°6.如图,为测量A,C两点间的距离,选取同一平面上的B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km)分别为AB=5BC=8,CD=3,DA=5,若A,B,C,D四点共圆,则AC的长为()A. 5 kmB. 6 kmC. 7 kmD. 8 km7.关于直线a,b,l以及平面α,β,下面命题中正确的是()A. 若a∥α,b∥β,则a∥bB. 若a∥α,b⊥a,则b⊥αC. 若a⊥α,a∥β,则α⊥βD. 若a⊂α,b⊂β,且l⊥a,l∥b,则l⊥α8.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,)的部分图象如图所示.若横坐标分别为-1、1、5的三点M,N,P都在函数f(x)的图象上,则sin∠MNP的值为()A. B. C. D.9.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E、F为CD上两点,且EF的长为定值,则下面四个值中不是定值的是()A. 点P到平面QEF的距离B. 直线PQ与平面PEF所成的角C. 三棱锥P-QEF的体积D. △QEF的面积10.如图所示,已知PA⊥面ABC,AD⊥BC于D,BC=CD=AD=1,令PD=x,∠BPC=θ,则()A. B. C. D.二、填空题(本大题共6小题,共30.0分)11.若tan(α+2β)=2,tanβ=-3,则tan(α+β)=______.12.正方形铁片的边长为8cm,以它的一个顶点为圆心,一边长为半径画弧剪下一个顶角为的扇形,用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器,则这个圆锥形容器的容积等于______cm3.13.已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且5tan B=,则sin B的值是______.14.已知f(x)=是(-∞,+∞)上的增函数,那么a的取值范围是______.15.已知坐标原点为O,过点P(2,6)作直线2mx-(4m+n)y+2n=0(m,n不同时为零)的垂线,垂足为M,则|OM|的取值范围是______.16.在等腰三角形ABC中,AB=AC,D在线段AC上,AD=kAC(k为常数,且0<k<1),BD=l为定长,则△ABC的面积最大值为______.三、解答题(本大题共6小题,共72.0分)17.三角形ABC中,角A、B、C所对边分别为a,b,c,且a2+c2=b2+ac.(1)若cos A=,求sin C的值;(2)若b=,a=3c,求三角形ABC的面积.18.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1B1B为正方形,BB1C1C是菱形,平面AA1B1B⊥平面BB1C1C.(Ⅰ)求证:BC∥平面AB1C1;(Ⅱ)求证:B1C⊥AC1;(Ⅲ)设点E,F,H,G分别是B1C,AA1,A1B1,B1C1的中点,试判断E,F,H,G四点是否共面,并说明理由.19.已知直线l1:2x+y+1=0,l2:ax+2y+8+a=0,且l1∥l2.(1)求直线l1与l2的距离;(2)已知圆C与直线l2相切于点A,且点A的横坐标为-2,若圆心C在直线l1上,求圆C的标准方程.20.已知函数f(x)=4x+a•2x,x∈[-1,2].(1)若f(x)≤0恒成立,求a的取值范围;(2)若f(x)的最小值为-1,求a的值.21.如图,两座建筑物AB,CD的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是9m和15m,从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD=45°.(1)求BC的长度;(2)在线段BC上取一点P(点P与点B,C不重合),从点P看这两座建筑物的张角分别为∠APB=α,∠DPC=β,问点P在何处时,α+β最小?22.在平面直角坐标系xOy中,过点P(0,1)且互相垂直的两条直线分别与圆O:x2+y2=4交于点A,B,与圆M:(x-2)2+(y-1)2=1交于点C,D.(1)若AB=,求CD的长;(2)若直线AB斜率为2,求ABM的面积;(3)若CD的中点为E,求ABE面积的取值范围.答案和解析1.【答案】C【解析】解:B={x|x<-1,或x>1},∁U A={x|x≤1};∴(∁U A)∩B={x|x<-1}.故选:C.可求出集合B,然后进行补集、交集的运算即可.考查描述法的定义,以及交集、补集的运算.2.【答案】C【解析】解:因为直线的斜率为-,所以设其倾斜角为θ(0≤θ<π),则tanθ=-,所以θ=120°.故选:C.直线的斜率为-,所以倾斜角为120度.本题考查了直线的倾斜角与斜率,属基础题.3.【答案】A【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积的运算,属于基础题.运用向量垂直的充要条件和数量积的定义可解决.【解答】解:根据题意得,,∴2•=2,∵的夹角为,∴2×××=2,∴=1.故选:A.4.【答案】A【解析】解:函数f(x)=,则f(4)=2,当a>0时,f(4)=2f(a)=2,解得a=2.当a≤0时,f(4)=2f(a),2a2=2,解得a=-1,综上a=-1或2.故选:A.利用分段函数对a是否大于0,列出方程求解即可.本题考查分段函数的应用,函数值的求法,考查计算能力.5.【答案】B【解析】解:将已知代入正弦定理可得:sin B===,∵a=>b=,由三角形中大边对大角可得:B<60°,∴可解得:B=45°.故选:B.将已知代入正弦定理可得:sin B=,根据a=>b=,由三角形中大边对大角可得:B<60°,即可求得B=45°.本题主要考查了正弦定理,三角形中大边对大角的应用,属于基本知识的考查.6.【答案】C【解析】解:四边形ABCD各边的长度(单位:km)分别为AB=5BC=8,CD=3,DA=5,所以:,在△ADC和△ABC中,利用余弦定理:AC2=AD2+CD2-2•AD•CD•cos D,整理得:AC2=25+9-2•5•3•cos D①,AC2=AB2+CB2-2•AB•CB•cos B,整理得:②,若A,B,C,D四点共圆,所以:cos B=-cos D,由①②得:,解得:AC=7故选:C.首先利用余弦定理的应用,建立等量关系式,进一步利用四边形的内接圆定理的应用求出结果.本题考查的知识要点:正弦定理余弦定理和三角形面积的应用,四边形内接圆的定理的应用,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题型.7.【答案】C【解析】解:由直线a,b,l以及平面α,β,知:在A中,若a∥α,b∥β,则a与b相交、平行或异面,故A错误;在B中,若a∥α,b⊥a,则b与α相交、平行或b⊂α,故B错误;在C中,若a⊥α,a∥β,则由面面垂直的判定定理得α⊥β,故C正确;在D中,若a⊂α,b⊂β,且l⊥a,l∥b,则l与α相交、平行或l⊂α,故D错误.故选:C.在A中,a与b相交、平行或异面;在B中,b与α相交、平行或b⊂α;在C中,由面面垂直的判定定理得α⊥β;在D中,l与α相交、平行或l⊂α.本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.8.【答案】D【解析】解:由图象可知,A=1,周期T=8,∴ω=,f(x)=sin(φ),∵f(1)=sin(+φ)=1,且,∴φ=,f(x)=sin(),∴M(-1,0),N(1,1),P(5,-1),=(-2,-1),=(4,-2),cos∠MNP===,∴sin∠MNP=故选:D.由图象最值求解A,由周期T可求ω,由f(1)=1,且,可求φ,进而可求f (x),然后求出M,N,P,利用向量的夹角公式求出cos∠MNP=,再求解sin∠MNP.本题主要考查了由y=A sin(ωx+φ)的部分图象求解函数解析式,及利用向量数量积的性质求解向量的夹角,属于知识的简单综合.9.【答案】B【解析】解:A.∵平面QEF即为对角面A1B1CD,点P为A1D1的中点,∴点P到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离=为定值;D.∵点Q到直线CD的距离是定值a,|EF|为定值,∴△QEF的面积=为定值;C.由A.D可知:三棱锥P-QEF的体积为定值;B.直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系,因此不是定值,或用排除法即可得出.综上可得:只有B中的值不是定值.故选:B.A.由于平面QEF即为对角面A1B1CD,点P为A1D1的中点,可得:点P到平面QEF 即到对角面A1B1CD的距离=为定值;D.由于点Q到直线CD的距离是定值a,|EF|为定值,因此△QEF的面积=为定值;C.由A.D可知:三棱锥P-QEF的体积为定值;B.用排除法即可得出.本题综合考查了正方体的性质、三棱锥的体积、点到平面的距离、异面直线所成的角等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和空间想象能力,属于难题.10.【答案】A【解析】解:∵PA⊥平面ABC,AD⊥BC于D,BC=CD=AD=1,设PD=x,∴可求得:AC=,AB=,PA=,PC=,BP=,∴在△PBC中,由余弦定理知:cosθ==,∴tan2θ=-1=-1=,∴tanθ=.故选:A.由PA⊥平面ABC,AD⊥BC于D,BC=CD=AD=1,利用x表示PA,PB,PC,由余弦定理得到关于x的解析式,进一步利用x表示tanθ.本题考查直线与平面垂直的性质,余弦定理的应用,基本不等式的应用,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,是中档题.11.【答案】-1【解析】【分析】本题考查两角和与差的三角函数,三角函数化简求值,是基本知识的考查.直接利用两角和与差的三角函数化简求解即可.【解答】解:tan(α+2β)=2,tanβ=-3,则tan(α+β)=tan(α+2β-β)===-1.故答案为:-1.12.【答案】π【解析】解:由题意知,弧长为×8=2π,即围成圆锥形容器底面周长为2π,所以圆锥底面半径为r=1,可得圆锥高h=3,所以容积V=πr2×h=π×1×3=πcm3;故答案为:π根据已知分别求出圆锥的底面半径和高,代入圆锥体积公式,可得答案.本题考查的知识点是旋转体,其中根据已知分析出圆锥的底面半径和高是解答的关键.13.【答案】【解析】解:∵cos B=,∴==∴5sin B=3∴sin B=故答案为利用余弦定理可得 cos B=,代入已知,化简后即可得结果本题考查了余弦定理的应用,解题时要认真观察,发现已知条件和余弦定理的关系,整体代入解决问题14.【答案】【解析】解:根据题意,f(x)=是(-∞,+∞)上的增函数,必有,解可得≤a<7,即a的取值范围为:故答案为:根据题意,由分段函数的单调性分析可得,解可得a的取值范围,即可得答案.本题考查分段函数的单调性,注意分段函数分段分析.15.【答案】[5-,5]【解析】解:根据题意,直线2mx-(4m+n)y+2n=0,即m(2x-4y)-n(y-2)=0,则有,解可得,则直线l恒过点(4,2),设Q(4,2),又由MP与直线垂直,且M为垂足,则点M的轨迹是以PQ为直径的圆,其方程为(x-3)2+(y-4)2=5,则有5-≤|OM|≤5;即|OM|的取值范围是[5-,5];故答案为:[5-,5].根据题意,将直线变形为m(2x-4y)-n(y-2)=0,分析可得该直线恒过点(4,2),设Q(4,2),进而分析可得点M的轨迹是以PQ为直径的圆,其方程为(x-3)2+(y-4)2=5,据此分析可得答案.本题考查直线与圆的位置关系,涉及关于圆的轨迹问题,属于基础题.16.【答案】【解析】解:如图所示,以B为原点,BD为x轴建立平面直角坐标系,设A(x,y),y>0,∵AB=AC,∴AD=kAC=kAB,即AD2=k2AB2,∴(x-l)2+y2=k2(x2+y2),整理得:y2==≤,∴y max=,∵BD=l,∴(S△ABD)max=,则(S△ABC)max=(S△ABD)max=.故答案为:如图所示,以B为原点,BD为x轴建立平面直角坐标系,设A(x,y),y>0,根据题意得到AD=kAB,两边平方得到关系式,利用勾股定理化简后表示出y2,变形后利用二次函数的性质求出y的最大值,进而确定出三角形ABD面积的最大值,根据AD=kAC 即可得出三角形ABC面积的最大值.此题考查了二次函数的性质,坐标与图形性质,弄清题意是解本题的关键.17.【答案】解:∵a2+c2=b2+ac,由余弦定理,cos B==.又B为三角形内角,则B=.(1)∵cos A=,且A为三角形内角,则sin A=,故sin C=sin(B+A)=sin(+A)=cos A+sin A=.(2)由a=3c,b=,由余弦定理知:b2=a2+c2-2ac cos B,则7=9c2+c2-3c2,解得c=1,则a=3.故得三角形ABC的面积S=ac sin B=.【解析】(1)根据a2+c2=b2+ac.由余弦定理求出cos B,cos A=,在求解sin A,sin B,根据sin C=sin(B+A)打开即可求解.(2)由a2+c2=b2+ac.b=,a=3c,根据余弦定理求解a,c的值,即可求出三角形ABC 的面积.本题考查了余弦定理的运用和三角形ABC的面积的计算.属于基础题.18.【答案】证明:(Ⅰ)在菱形BB1C1C中,BC∥B1C1,因为BC⊄平面AB1C1,B1C1⊂平面AB1C1,所以BC∥平面AB1C1;…(3分)(Ⅱ)连接BC1,在正方形ABB1A1中,AB⊥BB1,因为平面AA1B1B⊥平面BB1C1C,平面AA1B1B∩平面BB1C1C=BB1,AB⊂平面ABB1A1,所以AB⊥平面BB1C1C;…(5分)又因为B1C⊂平面BB1C1C,所以AB⊥B1C;…(6分)在菱形BB1C1C中,BC1⊥B1C;因为BC1⊂平面ABC1,AB⊂平面ABC1,且BC1∩AB=B,所以B1C⊥平面ABC1;…(8分)因为AC1⊂平面ABC1,所以B1C⊥AC1;…(10分)(Ⅲ)E,F,H,G四点不共面,理由如下;…(11分)因为E,G分别是B1C,B1C1的中点,所以GE∥CC1,同理可证:GH∥C1A1;因为GE⊂平面EHG,GH⊂平面EHG,GE∩GH=G,CC1⊂平面AA1C1C,A1C1⊂平面AA1C1C,所以平面EHG∥平面AA1C1C;又因为F∈平面AA1C1C,所以F∉平面EHG,即E,F,H,G四点不共面.…(14分)【解析】(Ⅰ)由BC∥B1C1,证明BC∥平面AB1C1;(Ⅱ)先证明AB⊥平面BB1C1C,得AB⊥B1C,再证明B1C⊥平面ABC1,得出B1C⊥AC1;(Ⅲ)E,F,H,G四点不共面,通过证明点F∉平面EHG,即F∈平面AA1C1C,且平面AA1C1C∥平面EFH即可.本题考查了空间中的平行与垂直的判断与直线的应用问题,也考查了判断空间中的四点是否共面问题,是综合性题目.19.【答案】解:(1)∵l1∥l2,∴=,解得a=4,∴l1:2x+y+1=0,l2:2x+y+6=0,故直线l1与l2的距离d===.(2)当x=-2代入2x+y+6=0,得y=-2,所以切点A的坐标为(-2,-2),从而直线AC的方程为y+2=(x+2),得x -2y-2=0,联立2x+y+1=0得C(0,-1).由(1)知⊙C的半径为,所以所求圆的标准方程为:x2+(y+1)2=5.【解析】(1)先由两直线平行解得a=4,再由平行直线间的距离公式可求得;(2)代x=-2得A(-2,-2),可得AC的方程,与l1联立得C(0,-1),再求得圆的半径,从而可得圆的标准方程.本题考查了直线与圆的位置关系,属中档题.20.【答案】解:(1)因为f(x)≤0恒成立,所以4x+a•2x≤0,x∈[-1,2],化得a≤-2x,所以,所以a≤-4,即a的取值范围为(-∞,-4].(6分)(2)令t=2x,则,f(x)=t2+at开口向上,对称轴为直线,①当,即a>-1时,,则,不满足条件;②当,即-8≤a≤-1时,,则a=-2;③当,即a<-8时,f(x)min=f(4)=16+4a=-1,则a=-,不满足条件.综上所述,a的值为-2.(12分)【解析】(1)通过f(x)≤0恒成立,得到4x+a•2x≤0,x∈[-1,2],利用核对最值转化求解即可.(2)令t=2x,则,f(x)=t2+at开口向上,对称轴为直线,通过a的范围转化求解函数的最值推出结果.本题考查函数与方程的应用,函数的最值的求法,考查计算能力.21.【答案】解:(1)如图作AN⊥CD于N.∵AB∥CD,AB=9,CD=15,∴DN=6,NC=9.设AN=x,∠DAN=θ,∵∠CAD=45°,∴∠CAN=45°-θ.在Rt△ANC和Rt△AND中,∵tanθ=,tan(45°-θ)=∴=tan(45°-θ)=∴=,化简整理得x2-15x-54=0,解得x1=18,x2=-3(舍去).BC的长度是18 m.(2)设BP=t,所以PC=18-t,tanα=,tanβ=,所以tan(α+β)===-=-≥当且仅当t+27=,即t=时,α+β最小.P在距离B时,α+β最小.【解析】(1)作AN⊥CD于N,问题转化为求△ACD边CD上的高.设AN=x,只要建立起关于x的方程,则问题可解.(2)利用(1)设出BP为t,直接求出α、β的正切值,然后求出∠ADB的正切值,利用基本不等式求解表达式的最小值,推出BP是值即可.考查了解三角形的实际应用.解这类题的关键是建立数学模型,设出恰当的角.考查两角和与差的三角函数,考查计算能力.22.【答案】解:(1)由题可知,直线AB斜率显然存在,设其斜率为k,则直线AB的方程为y=kx+1.因为O点到直线AB的距离d1=,则+=4,变形可得AB=2,又由AB=,则2=,解可得k2=15.因为直线AB与直线CD互相垂直,则直线CD:y=x+1,则M点到直线CD的距离d2=,又由=1-,则CD=2=2=.(2)根据题意,若直线AB斜率为2,则直线AB方程为2x-y+1=0,则O到直线AB距离d1==,则,M到直线AB距离d==,故;(3)当直线AB的斜率不存在时,ABE的面积S=×4×2=4;当直线AB的斜率存在时,设为k,则直线AB:y=kx+1(k≠0),直线CD:y=-x+1.由<1得k2>3,所以k∈(-∞,-)∪(,+∞).因为+=4,所以AB=2.因为E点到直线AB的距离即M点到直线AB的距离d==,所以ABE的面积S=AB•d=2.令t=k2+1>4,则S=,又由t>4,则0<<,故S∈.综上,ABE面积的取值范围是.【解析】本题考查直线与圆方程的应用,涉及直线与圆的位置关系,属于综合题.(1)根据题意,设直线AB的斜率为k,可得直线AB的方程,由AB的值结合直线与圆的位置关系分析可得k2=15,因为直线AB与直线CD互相垂直,分析可得直线CD的方程,据此分析可得答案;(2)根据题意,求出直线AB的方程,结合直线与圆相交的性质求出AB的长,进而求出M到AB的距离.由三角形面公式计算可得答案;(3)根据题意,分直线AB的斜率存在与不存在2种情况讨论,求出ABE面积,综合2种情况即可得答案.。
江苏省高一下学期期中数学试题(解析版)

离为( )
A. 3 海里
B. 4 海里
C. 6 海里
D. 7 海里
【答案】D
【解析】
【分析】由条件画出简图,得出 BCA 120 ,在 ABC 中,由余弦定理即可求出 AB 的长.
【详解】根据题意画出简图,如图所示,
可知 BCA 180 (40 20) 120 ,
在 ABC 中, AC 5 , BC 3,
AB2 BC2 AC2 2 BC AC cos BCA 32 52 2 3 5 cos120 49 ,
解得 AB 7 , 故选:D.
2. 下列说法正确的是( ) A. 长方体是四棱柱,直四棱柱是长方体 B. 有 2 个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台 C. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
【答案】ACD 【解析】
【分析】根据复数的运算、复数的概念、复数模的几何意义判断各选项.
【详解】 z i3 i ,所以 z i ,A 正确; z 1 1 1 i ,虚部是 1,B 错误;
i z a ai, (a R) ,若 a 0 ,则 z 0 是实数,若 a 0 ,则 z a ai 是虚数,不是纯虚数,C 正确; z i 1 ,则复数 z 对应的点 Z 在以( 0, 1) 为圆心,1 为半径的圆上,这个圆上的点到原点的距离最小值
因为 tan(B C) tan( A) tan A , 所以 tan B tan C tan A tan B tan C tan A ,
所以 tan A tan B tan C tan A tan B tan C ,D 正确.
g(x)
10
sin
π 3
x
π 2
10 cos π x , 3
所以 g(0) 10 .
江苏省海安高级中学2020学年高一数学下学期期中试题(创新班)

2020学年度第二学期期中考试 高一数学(创新班)试卷一、选择题(每题5分,共50分)1.若集合=<-=<<-=B A x x B x x A I 求},09|{},25|{2( )A .}23|{<<-x x B.}25|{<<-x x C.}33|{<<-x x D.}35|{<<-x x 2.已知R n m ∈,,i 是虚数单位,若n i mi =-+)1)(1(,则||ni m +的值为( ) A. 1 B.2 C.3 D.5 3.若向量(0,2),m n =-=u r r ,则与2m n +u r r共线的向量可以是( )A.-1) B.(-1C.(-1) D.(1,- 4.将函数)42sin(2π+=x y 的图像向右平移12π单位后,所得图像对应的函数解析式为( )A.5)12y x π=-B.5)12y x π=+C.)12y x π=-D.)12y x π=+ 5.设实数x ,y 满足的约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-00201y y x y x ,则y x z +=的取值范围是( )A.]1,1[-B.]2,1[-C.]3,1[-D.]4,0[6.若函数)(0,0,)(22R a x ax x x x x x f ∈⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=为偶函数,则下列结论正确的是( ) A.)0()2()(f a f a f >> B.)2()0()(a f f a f >> C.)0()()2(f a f a f >> D.)()0()2(a f f a f >>7.已知圆()2229x y -+=的圆心为C ,过点()2,0M -且与x 轴不重合的直线l 交圆A 、B 两点,点A 在点M 与点B 之间。
过点M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ,则点P 的轨迹为( ) A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分8.对于△ABC ,若存在△A 1B 1C 1,满足111cos cos cos 1sin sin sin A B CA B C ===,则称△ABC 为“V 类三角形”。
1-4 充分、必要条件(精练)(解析版)

1.4 充分、必要条件(精练)【题组一 充分、必要条件的判断】1.(2021·浙江)命题:|1|2p x +>,命题1:1q x<,则p 是q 成立的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由题知,命题:|1|21p x x +>⇔>或3x <-;命题1:11q x x<⇔>或0x <, 故p 是q 的充分不必要条件故选:A 2.(2021·天津)设x ∈R ,则“12x <<”是“22x -<<”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要 【答案】A【解析】因为集合{|12}x x <<是集合{|22}x x -<<的真子集,所以“12x <<”是“22x -<<”的充分不必要条件.故选:A3.(2021·全国高三月考)设a R ∈,则“23a <<”是“2560a a --<”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由2560a a --<可得()()610a a -+<,即16a -<<,则23a <<是16a -<<的充分不必要条件,故选:A.4.(2021·天津)已知x ∈R ,则“2x <”是“21x >”的( ) A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】当1x =-时,“x <2”成立,但20x < ,故“21x<”,故“x <2”不是“21x >”的充分条件, “21x >”等价于2002x x x -<⇔<<,即21x>能推出2x <,∴“x <2”是“21x >”的必要条件,故“x <2”是“21x >”的必要不充分条件,故选:B.5.(2021·天津)设x ∈R ,则“1x >”是“2x x >”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由1x >,解得1x <-或1x >,由2x x >,解得0x <或1x >, 故由1x >能够推出2x x >,由2x x >不能够推出1x >, 故“1x >”是“2x x >”的充分不必要条件,故选:A .6.(2021·天津高三二模)设x ∈R ,则“210x -<”是“31x >”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由210x -<得1x >或1x <-,由31x >得1x >,因为1x >或1x <-推不出1x >,但1x >能推出1x >或1x <-成立,所以“210x -<”是“31x >”的必要不充分条件,故选:B7.(2021·江西高三二模(文))已知a ∈R ,则“0a <”是“2a a >”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【解析】当“0a <”成立时,2(1)0a a a a -=->,∴“2a a >”成立,即“0a <”⇒“2a a >”为真命题.而当“2a a >”成立时,2(1)0a a a a -=->,即1a >或0a <,0a ∴<不一定成立,即“0a <”是“2a a >”的充分不必要条件.故选:A8.(2021·天津)“201x x -≥+”是“213x -≥”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】解不等式201x x -≥+可得1x <-或2x ≥, 解不等式213x -≥得213x -≤-或213x -≥,解得1x ≤-或2x ≥, 因为{1x x <-或}2x ≥ {1x x ≤-或}2x ≥,因此,“201x x -≥+”是“213x -≥”的充分而不必要条件. 故选:A. 9.(2021·浙江高一期末)设x ∈R ,则31x <是1123x x +≤-的( ) A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由31x <可得1x <, 由1123x x +≤-可得()()4230230x x x ⎧--≤⎨-≠⎩解得32x <或4x ≥, 据此可知“31x <”是“1123x x +≤-”的充分不必要条件. 故选:A. 10.(2021·全国高一单元测试)命题:2p x y +=,命题1:3x q y =-⎧⎨=⎩;则p 是q 的( ) A .充要条件 B .必要条件 C .充分条件 D .既不充分也不必要条件【解析】因为当2x y +=时,y 可取任意实数,不一定有13x y =-⎧⎨=⎩,所以p 不是q 的充分条件; 因为13x y =-⎧⎨=⎩,所以2x y +=, 所以p 是q 的必要条件.故选:B.11.(2021·广东清远市)清远市是广东省地级市,据此可知“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的( )A .充分不必要条件B .充要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】先考虑充分性:学生甲在广东省,则学生甲不一定在清远市,所以“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的非充分条件;再考虑必要性:学生甲在清远市,则学生甲一定在广东省,所以“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的必要条件. 所以“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的必要非充分条件.故选:C12.(2021·全国高一课时练习)下列各题中,哪些p 是q 的充要条件?(1)p :三角形为等腰三角形,q :三角形存在两角相等;(2):p O 内两条弦相等,:q O 内两条弦所对的圆周角相等;(3):p A B ⋂为空集,:q A 与B 之一为空集.【答案】(1)p 是q 的充要条件;(2)p 不是g 的充要条件;(3)p 不是q 的充要条件【解析】在(1)中,三角形中等边对等角,等角对等边,所以p q ⇔,所以p 是q 的充要条件; 在(2)中,O 内两条弦相等,它们所对的圆周角相等或互补,因此,p q ⇒/,所以p 不是q 的充要条件; 在(3)中,取{1,2}A =,{3}=B ,显然,A B =∅,但A 与B 均不为空集,因此,p q ⇒/,所以p 不是q 的充要条件. 13.(2021·全国高一课时练习)已知a ,b ,c 是实数,判断下列命题的真假:(1)“a b >”是“22a b >”的充分条件;(2)“a b >”是“22a b >”的必要条件;(3)“a b >”是“22ac bc >”的充分条件;(4)“a b >”是“22ac bc >”的必要条件.【答案】(1)假命题(2)假命题(3)假命题(4)真命题【解析】(1)假命题,因为a b >a b >⇔22a b >;(2)假命题,因为22a b >a b⇔>a b >;(3)假命题,因为a b >22ac bc >,依据为2c 可能为0; (4)真命题,因为()2220ac bc a b c >⇒>≠.【题组二 充分、必要条件的选择】1.(2020·全国高一课时练习)函数f (x )=x 2+mx +1的图象关于直线x =1对称的充要条件是( )A .m =-2B .m =1C .m =-1D .m =0 【答案】A【解析】当m =-2时,f (x )=x 2-2x +1,其图象关于直线x =1对称,反之,若函数f (x )=x 2+mx +1的图象关于直线x =1对称,则12m -=,即2m =-.所以f (x )=x 2+mx +1的图象关于直线x =1对称的充要条件是m =-2. 故选:A. 2.(2020·全国高一课时练习)“x y>1”的一个充分不必要条件是( ) A .x >yB .x >y >0C .x <yD .y <x <0【答案】B 【解析】如果p 是q 的充分不必要条件,那么p q ⇒,而q p ⇒/. 当x >y >0时,必有x y>1, 而x y >1⇔-x y y>0⇔x >y >0或x <y <0.所以x >y >0是x y>1的充分不必要条件. 故选:B. 3.(2020·江苏南通市·海安高级中学高一期中)(多选)一元二次方程240x x n ++=有正数根的充分不必要条件是( )A .4n =B .5n =-C .1n =-D .0n <【答案】BC【解析】设()24f x x x n =++,则函数的图象是开口向上的抛物线,且对称轴为2x =-, 要使得一元二次方程240x x n ++=有正数根,则满足()00f <,即0n <,所以一元二次方程240x x n ++=有正数根的充分不必要条件可以为B 、C ,故选:BC.4.(2021·江苏盐城市)(多选)“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的一个充分不必要条件是( )A .14m >B .01m <<C .2m >D .1m【答案】CD【解析】因为“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”,所以等价于二次方程的20x x m -+=判别式140m ∆=-<,即14m >. 所以A 选项是充要条件,A 不正确;B 选项中,14m >不可推导出01m <<,B 不正确; C 选项中,2m >可推导14m >,且14m >不可推导2m >,故2m >是14m >的充分不必要条件,故C 正确;D 选项中,1m 可推导1>4m ,且1>4m 不可推导1m ,故>1m 是14m >的充分不必要条件,故D 正确. 故选:CD. 5.(2021·全国高一单元测试)(多选)下列“若p ,则q ”形式的命题中,p 是q 的必要条件的是( )A .若22x y >,则x y >B .若5x >,则10x >C .若ac bc =,则a b =D .若2121x y +=+,则x y = 【答案】BCD【解析】对于A 选项,取1x =,1y =-,则x y >,但22x y =,即“22x y >”不是“x y >”的必要条件;对于B 选项,若10x >,则5x >,即“5x >”是“10x >”的必要条件;对于C 选项,若a b =,则ac bc =,即“ac bc =”是“a b =”的必要条件;对于D 选项,若x y =,则2121x y +=+,即“2121x y +=+”是“x y =”的必要条件.故选:BCD.6.(2020·全国高一课时练习)(多选)下列条件中是“0a b +>”的充分条件的是( )A .0,0>>a bB .0,0a b <<C .3,2a b ==-D .0,0><a b 且a b >【答案】ACD【解析】对于A 选项,因为0,0a b >>,故0a b +>,所以A 选项正确;对于B 选项,因为0,0a b <<,故0a b +>不成立,故B 选项错误;对于C 选项,因为3,2a b ==-,故10a b +=>,故C 选项正确;对于D 选项,因为0,0a b ><且a b >,故a b >-,即:0a b +>,故D 选项正确.所以A ,C ,D 中的条件均是“0a b +>”的充分条件,B 中的条件不是“0a b +>”的充分条件.故选:ACD7.(2021·合肥市第十中学高一期末)(多选)“02x x ≤-”的充分条件有( ) A .02x <<B .12x -<<C .02x ≤<D .02x ≤≤ 【答案】AC 【解析】解:02x x ≤-,即(){2020x x x -≠-≤,解得:02x ≤<,即[)0,2x ∈, 要找“02x x ≤-”的充分条件,即找[)0,2的子集;对A ,02x <<,即()0,2x ∈,易知()0,2 [)0,2,故A 正确;对B ,12x -<<,即()1,2x ∈-,易知()1,2-不是[)0,2的子集,故B 错误;对C ,02x ≤<,即[)0,2x ∈,易知[)[)0,20,2⊆,故C 正确;对D ,02x ≤≤,即[]0,2x ∈,易知[]0,2不是[)0,2的子集,故D 错误.故选:AC.【题组三 文字中的充分、必要条件】1.(2021·湖南长沙市)1943年19岁的曹火星在平西根据地进行抗日宣传工作,他以切身经历创作了歌曲《没有共产党就没有中国》,后毛泽东主席将歌曲改名为《没有共产党就没有新中国》.2021年是中国共产党建党100周年,仅从逻辑学角度来看,“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的( )A .充分条件B .必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B【解析】从逻辑学角度,命题“没有共产党就没有新中国”的逆否命题是“有了新中国就有了共产党”,因此“有共产党”是“有新中国”的必要条件,故选:B .2.(2021·新余市第一中学)“黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”是我国唐代著名诗人王昌龄的《从军行》中的两句诗,描写了当时战事的艰苦以及戍边将士的豪情壮志,从逻辑学的角度看,最后一句中,“破楼兰”是“终还”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】“破楼兰”不一定“终还”,但“终还”一定是“破楼兰”,由充分条件和必要条件的定义判断可得“攻破楼兰”是“返回家乡”必要不充分条件,故选:B .3.(2021·江苏宿迁市·高二期末)2021年是中国共产党建党100周年.某校为了纪念党的生日,计划举办大型文艺汇演,某班选择合唱《没有共产党就没有新中国》这首歌.仅从逻辑学角度来看,“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的( )A .充分条件B .必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B【解析】命题:“没有共产党就没有新中国”,即是“如果没有共产党,那么就没有新中国”;其逆否命题为“如果有新中国,那么就有共产党”;即根据“有新中国”能推出“有共产党”,所以“有共产党”是“有新中国”的必要条件.故选:B.4.(2021·安徽)王安石在《游褒禅山记》中写道:“世之奇伟、瑰怪,非常之观,常在险远,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也.”请问“有志”是能到达“奇伟、瑰怪,非常之观”的______条件.(填“充分”“必要”“充要”中的一个)【答案】必要【解析】因为“非有志者不能至”所以“能至是有志者”,因此“有志”是能到达“奇伟、瑰怪,非常之观”的必要条件.故答案为:必要【题组四 根据充分、必要条件求参数】1.(2021·浙江高一期末)(多选)已知{}28200P x x x =--≤,集合{}11S x m x m =-≤≤+.若x P ∈是x S ∈的必要条件,则实数m 的取值可以是( )A .1-B .1C .3D .5 【答案】ABC【解析】由28200x x --≤,解得210x -≤≤,∴[]2,10P =-, 非空集合{}11S x m x m =-≤≤+,又x P ∈是x S ∈的必要条件,所以S P ⊆,当S =∅,即0m <时,满足题意;当S ≠∅,即0m ≥时,∴21 110m m -≤-⎧⎨+≤⎩,解得03m ≤≤, ∴m 的取值范围是(],3-∞,实数m 的取值可以是1,1,3-,故选:ABC.2.(2021·全国高三专题练习)(多选)设:(3)0,:()(2)0p x x q x a x a -<--+≤.若p 是q 的必要不充分条件,则实数a 可以是( )A .32B .52C .72D .73【答案】BD【解析】解()30x x -<得,03x <<,记{}|03A x x =<<,解()(2)0x a x a --+得,2a x a -,记{}|2B x a x a =-≤≤, p 是q 的必要不充分条件,所以B A ∴203a a ->⎧⎨<⎩,解得23a <<, a ∴的取值范围是(2,3).故选:BD .3.(2021·黑龙江哈尔滨市)已知命题2:430p x x -+≤,命题2:40q x x m -+≥.若p 是q 的充分条件,则m 的取值范围是( )A .[)4,+∞B .[)3,+∞C .(],4-∞D .(],3-∞【答案】A【解析】命题p 为真,则2430x x -+≤,所以13x ≤≤,因为p 是q 的充分条件,所以[1,3]x ∈时,240x x m -+≥恒成立,注意到2x =[1,3]∈,所以1640m ∆=-≤,解得4m ≥.故选:A .4.(2021·浙江丽水市)已知命题2:320p x x -+≤,命题22:440q x x m -+-≤.若p 是q 的充分不必要条件,则m 的取值范围是( )A .(,0]-∞B .[1,)+∞C .{0}D .(,1][1,)-∞-+∞【答案】D【解析】2:320p x x -+≤,12x ≤≤,22:440q x x m -+-≤,22m x m -≤≤+, p 是q 的充分不必要条件,则2122m m ⎧-≤⎪⎨+≥⎪⎩,1m ≥,∴1m ≤-或m 1≥.故选:D . 5.(2021·全国高二单元测试)若p :x (x -3)<0是q :2x -3<m 的充分不必要条件,则实数m 的取值范围是________.【答案】m ≥3【解析】p :x (x -3)<0,则0<x <3;q :2x -3<m ,则32m x +<, 因为p :x (x -3)<0是q :2x -3<m 的充分不必要条件,所以332m +≥,解得m ≥3.故答案为:m ≥3 6.(2021·盐城市伍佑中学)已知p :2340x x --≤,q :3x m -≤,若p 是q 的充分不必要条件,则实数m 的取值范围是___________.【答案】[)4,+∞【解析】∵由2340x x --≤,得14x -≤≤,由p 是q 的充分不必要条件知:3x m -≤有解,故0m ≥,即原不等式可化为:3m x m -≤-≤,解得:33m x m -≤≤+, 设{}14A x x =-≤≤,{}33B x m x m =-≤≤+, p 是q 的充分不必要条件,A B ∴⊆,则03134m m m ≥⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩,即041m m m ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,解得:4m ≥,故m 的取值范围是[)4,+∞.故答案为:[)4,+∞.7.(2021·陕西宝鸡市)已知条件:2(0)p m x m m ≤≤>,条件:14q x ≤≤,且p 是q 的充分不必要条件,则实数m 的取值范围是_________.【答案】[]1,2 【解析】p 是q 的充分不必要条件,[],2m m ∴ []1,4,需满足124m m ≥⎧⎨≤⎩,解得12m ≤≤, 综上,m 的取值范围是[]1,2.故答案为:[]1,2.8.(2021·湖南岳阳市·高一期末)已知集合{}1A x a x a =-≤≤,{}2430B x x x =-+≤.若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件,求实数a 的取值范围 .【答案】[]2,3. 【解析】由题意知,{}1A x a x a =-≤≤不为空集,{}2|430{|13}B x x x x x =-+≤=≤≤, 因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件,所以A 真包含于B ,则113a a -≥⎧⎨≤⎩,解得23a ≤≤. 所以实数a 的取值范围是[]2,3.9.(2021·云南大理白族自治州)已知集合22{|11}{|4}A x m x m B x x =-<<+=<,. (1)当2m =时,求A B A B ⋃⋂,;(2)若''''x A ∈是''''x B ∈成立的充分不必要条件,求实数m 的取值范围.【答案】(1)()()2,51,2-,;(2)11m -<≤ 【解析】(1)当2m =时,{|15}{|22}A x x B x x =<<=-<<,,()()2,51,2A B A B ⋃=-⋂=,;(2)若''''x A ∈是''''x B ∈成立的充分不必要条件,则A 是B 的真子集,211m m -≥+或22111212m m m m ⎧-<+⎪-≥-⎨⎪+≤⎩解得:11m -≤≤,因为m =-1时为充要条件,不合题意,所以11m -<≤10.(2021·寿县第一中学高一开学考试)已知全集为R ,集合{}26A x x =≤≤,{}3782B x x x =-≥-.(1)求A B ;(2)若{}44C x a x a =-≤≤+,且“x C ∈”是“x AB ∈”的必要不充分条件,求a 的取值范围. 【答案】(1)[]3,6;(2)[]2,7. 【解析】1){|3782}{|3}B x x x x x =--=,又{}26A x x =≤≤{|36}A B x x ∴=, (2)因为“x C ∈”是“x A B ∈”的必要不充分条件,所以()A B C ,因为{}44C x a x a =-≤≤+所以4643a a +≥⎧⎨-≤⎩解得27a ≤≤,即[]2,7a ∈ 11.(2021·东莞市光明中学)设:24p x ≤<,:q 实数x 满足22230(0)x ax a a --<>(1)若1a =,且,p q 都为真命题,求x 的取值范围;(2)若p 是q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.【答案】(1){}23x x ≤<;(2)4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】(1)当1a =时,可得22230x ax a --<,可化为2230x x --<,解得13x, 又由命题p 为真命题,则24x ≤<.所以p ,q 都为真命题时,则x 的取值范围是{}23x x ≤<.(2)由22230,(0)x ax a a --<>,解得3a x a -<<,因为:24p x ≤<,且p 是q 的充分不必要条件, 即集合 {}24x x ≤<是{}3x a x a -<<的真子集,则满足 2340a a a -<⎧⎪≥⎨⎪>⎩,解得43a ≥, 所以实数a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.12.(2021·湖北十堰市)已知集合{}22320A xx ax a =-+≤∣,集合{}220B x x x =--≤∣,:p x A ∈,:q x B ∈.(1)当1a =时,p 是q 的什么条件?(2)若q 是p 的必要条件,求实数a 的取值范围.【答案】(1)p 是q 的充分不必要条件;(2)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)当1a =时,集合{}2320{12}A xx x x x =-+≤=≤≤∣∣, {}{}22012B x x x x x =--≤=-≤≤∣∣,所以A B ,所以p 是q 的充分不必要条件.(2)因为q 是p 的必要条件,所以A B ⊆,而{}22320{()(2)0}A x x ax a x x a x a =-+≤=--≤∣∣. 当0a >时,{2}A xa x a =≤≤∣, 所以1222a a a a ≥-⎧⎪≤⎨⎪<⎩,所以01a <≤;当0a =时,{0}A =,成立;当0a <时,{2}A xa x a =≤≤∣, 所以2122a a a a ≥-⎧⎪≤⎨⎪<⎩,所以102a -≤<. 综上所述,112a -≤≤,即实数a 的取值范围为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【题组五 充分、必要条件的证明】1.(2021·全国高一课时练习)求证:关于x 的方程210x mx ++=有两个负实根的充要条件是2m ≥.【答案】详见解析【解析】充分性:2m≥,∴240m∆=-≥,方程210x mx++=有实根,设210x mx++=的两根为1x,2x,由韦达定理知:1210x x=>,∴1x、2x同号,又122x x m+=-≤-,∴1x,2x同为负根;必要性:210x mx++=的两个实根1x,2x均为负,且121=x x,∴121112()22m x x xx-=-+-=-⎛⎫⎪⎝⎭+-()2211111211xx xx x+++=-=-≥,∴2m≥.所以命题得证.2.(2021·全国高一单元测试)设,x y R∈,求证||||||x y x y+=+成立的充要条件是0xy≥.【答案】见解析【解析】①充分性:若0xy≥,则有0xy=和0xy>两种情况,当0xy=时,不妨设0x=,则||||x y y+=,||||||x y y+=,∴等式成立.当0xy>时,0x>,0y>或0x<,0y<,当0x>,0y>时,||x y x y+=+,||||x y x y+=+,∴等式成立,当0x<,0y<时,||()x y x y+=-+,||||x y x y x y+=--=+,∴等式成立.综上,当0xy≥时,||||||x y x y+=+成立.②必要性:若||||||x y x y+=+且,x y R∈,则22||(||||)x y x y+=+,即222222||||x xy y x y x y++=++⋅,∴||xy xy=,∴0xy≥.综上可知,0xy ≥是等式||||||x y x y +=+成立的充要条件.。
江苏省南通市海安市实验中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题

实验中学2021—2022学年度第二学期期中考试试题高一数学一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}*5,=<∈U x x x N ∣,{}2540=-+=M x x x ∣.则=UM ( )A .{2,3}B .{1,5}C .{1,4}D .{2,3,5}2.已知复数342-=-iz i,则z 的虚部是( ) A .-iB .1-C .iD .13.在正方体1111-ABCD A B C D 中,P 为11B D 的中点,则直线PB 与AC 所成的角为( ) A .2π B .3π C .4π D .6π 4.十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过“几何学里面有两件宝,一个是勾股定理,一个是黄金分割,如果把勾股定理比作金矿的话,那么可以把黄金分割比作砖石”,黄金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为最美的三角形,它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形),如图所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成,在其中一个黄金ABC △中,51-=BCAC cos36︒=( )A .514+ B .514-C .538+ D .514- 5.已知向量31,22⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭e ,()3,1=a ,则向量a 在向量e 上的投影向量为( )A .-eB .eC .aD .1-6.如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )A .B .C .D .7.设()f x 是定义域为R 的奇函数,且()()1+=-f x f x ,若1133⎛⎫-= ⎪⎝⎭f ,则53⎛⎫= ⎪⎝⎭f ( ) A .53-B .13-C .13D .538.在ABC △中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,满足2cos cos cos =+a A b C c B ,且4+=b c ,则a 的最小值为( ) A .2B .22C .3D .23二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知直角三角形ABC 中,(2.3)=AB ,(1,)=AC k ,则实数k 的值可以为( ) A .23-B .32C .113D .3132- 10.已知ABC △的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则下列说法正确的是( ) A .若sin sin >B C ,则>B CB .若26=a 4=b ,4π=A ,则三角形有两解 C .若cos cos 0-=bBC ,则ABC △一定为等腰直角三角形D .若ABC △面积为S ,()22214=+-S a b c ,则4π=C11.任何一个复数=+z a bi (其中a ,∈b R ,i 为虚数单位)都可以表示成:(cos sin )=θ+θz r i 的形式.通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现:*[(cos sin )](cos sin )()=θ+θ=θ+θ∈n n n z r i r n i n n N ,我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息,下列说法正确的是( ) A .22||=z zB .当2=r ,6πθ=时,13=-z i C .当1=r ,3πθ=时,31=-z D .当1=r ,4πθ=,n 为偶数时,n z 为纯虚数12.若将函数()cos 212π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x 的图象向左平移8π个单位长度,得到函数()g x 的图象,则下列说法正确的是( )A .()g x 的最小正周期为πB .()g x 在区问间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C .12π=x 不是函数()g x 图象的对称轴 D .()g x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知5cos()13α+β=,4cos 5β=,α与β均为锐角,则sin α的值为__________.14.在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是边CD 和BC 的中点,=λ+μAC AE AF ,其中λ,μ∈R ,则λ+μ的值为__________.15.()()1tan 221tan 23+︒+︒的值为__________.16.如图正方体1111-ABCD A B C D ,棱长为1,P 为BC 中点,Q 为线段1CC 上的动点,过A 、P 、Q 的平面截该正方体所得的截面记为Ω,若1=λCQ CC ,则下列结论错误的__________.(填写序号)①当10,2⎛⎫λ∈ ⎪⎝⎭时,Ω为四边形 ②当12λ=时,Ω为等腰梯形 ③当3,14⎛⎫λ∈⎪⎝⎭,Ω为六边形④当1λ=时,Ω6四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知∈m R ,i 为虚数单位,复数()2623=-++-z m m m . (1)若∈z R ,求m 的值;(2)若复数z 对应的点在第二象限,求m 的取值范围.18.已知向量(1,1)=a ,(0,2)=-b ,在下列条件下分别求k 的值: (1)+a b 与-ka b 平行; (2)+a b 与-ka b 的夹角为23π. 19.ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且sin sin sin --=+A B a cC a b. (1)求角B 的大小;(2)若3=b ,D 为AC 边上一点,2=BD ,且__________,求ABC △的面积.从①D 为AC 的中点,②BD 为∠B 的平分线、这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答. 20.由倍角公式2cos 22cos 1=-x x ,可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式,对于cos3x ,我们有cos3cos(2)cos 2cos sin 2sin =+=-x x x x x x x()22cos 1cos 2(sin cos )sin =--x x x x x ()322cos cos 21cos cos =---x x x x34cos 3cos =-x x .可见cos3x 可以表示为cos x 的三次多项式.(1)对照上述方法,将sin3x 可以表示为sin x 的三次多项式; (2)若0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ,解关于x 的方程23cos32=x x . 21.如图,在四棱锥-P ABCD 中,⊥PA 平面ABCD ,底部ABCD 为菱形,E 为CD 的中点.(1)求证:⊥BD 平面PAC ;(2)棱PB 上是否存在点F ,使得CF ∥平面PAE ?说明理由.22.已知O 为坐标原点,对于函数()sin cos =+f x a x b x ,称向量(,)=OM a b 为函数()f x 的相伴特征向量,同时称函数()f x 为向量OM 的相伴函数. (1)若()3,1=-OT 为()sin 6π⎛⎫=-⎪⎝⎭h x m x 的相伴特征向量,求实数m 的值; (2)记向量(3=ON 的相伴函数为()f x ,求当8()5=f x 且,36ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭x 时sin x 的值; (3)已知(2,3)-A ,(2,6)B ,()h x 为(1)中函数,()23π⎛⎫ϕ=-⎪⎝⎭x x h ,请问在()=ϕy x 的图象上是否存在一点P ,使得⊥AP BP ,若存在,求出P 点坐标;若不存在,说明理由.。
2020-2021学年江苏省海安高级中学高一上学期阶段检测(一)数学试题及答案

绝密★启用前江苏省海安高级中学2020~2021学年度高一年级阶段检测(一)数 学学校:___________题号 一 二 三 总分 得分注意事项:注意事项:1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)1. 设全集{}{}{},,,,12345,3,5,2,3,4U M N ===,则图中阴影部分所表示的集合是( )A .{}1,2,4B .{}1,3,5C .{}2,4D .{}1,2,3,42.计算:1364lg0.001-+的值为( ) A .114-B .23-C .54D .343. 设,a b ∈R ,则“21a b ab +>⎧⎨>⎩”是“1a >且1b >”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件 4. 已知集合|01x A x x x ⎧⎫=∈⎨⎬-⎩⎭R ≥,,{}2|31B y y x x ==+∈R ,,则A B =( )A .∅B .(1)+∞,C .[1)+∞,D .(0)(1)-∞+∞,,5. 某产品的两种原料相继提价,第一次提价p ,第二次提价q ,如果这两次的平均提价为x,那么x 与2p q+(p >q >0)的大小关系是( ) A. 2p q x +< B .2p q x += C .2p q x +> D.与p ,q 的取值有关6.已知命题p :,10m R m ∃∈+<,命题q :2R,10x x mx ∀∈++>恒成立,若p ,q 至少有一个是假命题,则实数m 的取值范围( )A. [)2,1--B. (],2-∞-C. []2,1--D. [)1,-+∞7. 下列说法:①只有正数有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式;③以5为底25的对数等于2±;④()3log 553-=-成立.其中正确的个数为( )A .0B .1C .2D .38. 若实数a ,b满足12a b+=ab 的最小值为( ) A.B .2 C. D .4 二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分) 9. 已知命题p :111x >-,则p 成立的一个必要不充分条件是 ( ) A. 12x << B. 12x -<< C. 21x -<< D. 22x -<< 10. 下列各组数既符合分数指数幂的定义,值又相等的是( ) A .13(1)-和26(1)- B .20-和110C .122和144D .413和1413-11. 下列说法正确的是 ( )A .“,a b是正数”是“a b +≥”的充分不必要条件; B .函数2y =的最小值为4;C .12≥x x+; D .已知3a >时,43a a +≥-43a a =-即4a =时,43a a +-取得最小值8;12. 设X 是全集,⎩⎨⎧∉∈=⊆A s As f X A sA ,0,1,定义, 对X 的真子集B A 和,下列说法正确的是 A .若sB s A s B A f f f B A +==⋂⋃则,φ B .若s B s A s B A f f f B A +<≠⋂⋃则,φC .若sB s A f f B A ≤⊆则,D .若sB s A s B A f f f B A +≤≠⋂⋂则,φ三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知命题p :21R,023x x x ∀∈>--的否定p ⌝是 ▲ ,p ⌝是一个 ▲ 命题(填“真”或“假”). 14. 已知不等式23344a x xb ≤-+≤的解集为[],a b ,则a b +的值为 ▲ .15. 若0,0,2,a b a b >>+=则下列不等式对一切满足条件的a ,b 恒成立的是 ▲ . (写出所有正确命题的序号)①1ab ≤; 2 ;③222a b +≥;④333a b +≥;⑤112a b+≥.16. 已知(x y ∈,,且1xy =,则222424x y +--的最小值是 ▲ . 四、解答题(本题共6小题,共70分,解答题应写文字说明) 17. (本小题满分10分)计算: (1)()2lg 25lg 2lg50lg 2+⨯+;(2)()2ln33e 250.125-++.18.(本小题满分12分)设集合{}{}22320,||0.A x x x B x x a =-+≤=+< (1)当4a =-时,求AB 和A B ;(2)若,R C A B B =()求实数a 的取值范围.19.(本小题满分12分)某国营企业集团公司现有员工1000名,平均每人每年创造利润10万元.为了激化内部活力,增强企业竞争力,集团公司董事会决定优化产业结构,调整出x (*x ∈N )名员工从事第三产业;调整后,他们平均每人每年创造利润310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元(0)a >,剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业?(2)在(1)的条件下,若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,则实数a 的取值范围是多少?20. (本小题满分12分) (1)描述并证明基本不等式;(2)已知,,a b c 为正数,且满足1abc =,证明:222111a b c a b c ++++;21. (本小题满分12分)解关于x 不等式2440ax x ++>(a ∈R ).22.(本小题满分12分)已知:二次函数2y ax bx c =++,0a b c ++=(1)二次函数顶点坐标为(2,1)-,求二次函数的解析式; (2)若a b c >>,①求证:20ax bx c ++=必有两个不相等的实数根1x ,2x ; ②求12x x -的取值范围.江苏省海安高级中学2020~2021学年度高一年级阶段检测(一)数学一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)1. 设全集{}{}{},,,,12345,3,5,2,3,4U M N ===,则图中阴影部分所表示的集合是( )A .{}1,2,4B .{}1,3,5C .{}2,4D .{}1,2,3,4【答案】C 2.计算:1364lg0.001-+的值为( )A .114-B .23-C .54D .34【答案】A3. 设,a b ∈R ,则“21a b ab +>⎧⎨>⎩”是“1a >且1b >”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件 【答案】B6. 已知集合|01x A x x x ⎧⎫=∈⎨⎬-⎩⎭R ≥,,{}2|31B y y x x ==+∈R ,,则A B =( )A .∅B .(1)+∞,C .[1)+∞,D .(0)(1)-∞+∞,,【答案】B7. 某产品的两种原料相继提价,第一次提价p ,第二次提价q ,如果这两次的平均提价为x,那么x 与2p q+(p >q >0)的大小关系是( ) B. 2p q x +< B .2p q x += C .2p q x +> D.与p ,q 的取值有关【答案】A6.已知命题p :,10m R m ∃∈+<,命题q :2R,10x x mx ∀∈++>恒成立,若p ,q 至少有一个是假命题,则实数m 的取值范围( )A. [)2,1--B. (],2-∞-C. []2,1--D. [)1,-+∞【答案】B7. 下列说法:①只有正数有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式;③以5为底25的对数等于2±;④()3log 553-=-成立.其中正确的个数为( )A .0B .1C .2D .3【答案】B10. 若实数a ,b 满足12a b+=ab 的最小值为( )B. 2 B .2 C .22 D .4 【答案】C三、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分) 11. 已知命题p :111x >-,则p 成立的一个必要不充分条件是 ( ) B. 12x << B. 12x -<< C. 21x -<< D. 22x -<< 【答案】BD10. 下列各组数既符合分数指数幂的定义,值又相等的是( ) A .13(1)-和26(1)- B .20-和110C .122和144D .413和1413-【答案】CD11. 下列说法正确的是 ( )A .“,a b 是正数”是“2a b ab +≥”的充分不必要条件;B .函数222y x =+的最小值为4;C .12≥x x+; D .已知3a >时,44233a a a a +≥⋅--,当且仅当43a a =-即4a =时,43a a +-取得最小值8;【答案】AC12.设X 是全集,⎩⎨⎧∉∈=⊆As As f X A sA ,0,1,定义, 对X 的真子集B A 和,下列说法正确的是A .若sB s A s B A f f f B A +==⋂⋃则,φ B .若s B s A s B A f f f B A +<≠⋂⋃则,φC .若sB s A f f B A ≤⊆则,D .若sB s A s B A f f f B A +≤≠⋂⋂则,φ【答案】ACD三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知命题p :21R,023x x x ∀∈>--的否定p ⌝是 ▲ ,p ⌝是一个 ▲ 命题(填“真”或“假”).【答案】2R,230x x x ∃∈--≤;真 14. 已知不等式23344a x xb ≤-+≤的解集为[],a b ,则a b +的值为 ▲ .【答案】415. 若0,0,2,a b a b >>+=则下列不等式对一切满足条件的a ,b 恒成立的是 ▲ . (写出所有正确命题的序号)①1ab ≤; 2 ;③222a b +≥;④333a b +≥;⑤112a b+≥. 【答案】①③⑤17. 已知(x y ∈,,且1xy =,则222424x y +--的最小值是 ▲ . 【答案】72416+ 四、解答题(本题共6小题,共70分,解答题应写文字说明) 17. (本小题满分10分)计算: (1)()2lg 25lg 2lg50lg 2+⨯+;(2)()2 ln33e 250.125-++.解:(1)原式()()22lg5lg 2lg100lg 2lg 2=+⨯-+ ()()22lg5lg 22lg 2lg 2=+⨯-+ ()2lg5lg2=⨯+ 2lg10=2=. ……5分(2)原式()122 3325=3log 50.5-⎡⎤++⎣⎦()252=3log 50.512-++()21=342--++2=342++=11. ……10分 18.(本小题满分12分)设集合{}{}22320,||0.A x x x B x x a =-+≤=+< (1)当4a =-时,求AB 和A B ;(2)若,R C A B B =()求实数a 的取值范围. 解: (1){}[]23201,2|A x x x =-+≤=当4a =-时,()2402|2},B x x =-<=-{ ……2分所以[)(]1,2,2,2AB A B ==- ……4分()()2,12,R C A =-∞+∞()因为()R C A B B =,所以R B C A ⊆ ……6分若B =∅,则0a ≥; ……8分若B ≠∅,则0a <,且{}20|B x x a =+<=(,因为,所以B =(⊄()2,+∞1≤,解得10a -≤<. ……11分 综上,实数a 的取值范围是[-1,+∞) ……12分 19.(本小题满分12分)某国营企业集团公司现有员工1000名,平均每人每年创造利润10万元.为了激化内部活力,增强企业竞争力,集团公司董事会决定优化产业结构,调整出x (*x ∈N )名员工从事第三产业;调整后,他们平均每人每年创造利润310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元(0)a >,剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业?(2)在(1)的条件下,若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,则实数a 的取值范围是多少?解:(1)由题意,得()()10100010.2%101000x x -+≥⨯, ……2分 整理得25000x x -≤,解得0500x ≤≤, 又0x >,∴0500x <≤, ……4分答:最多调整出500名员工从事第三产业. ……5分 (2)从事第三产业的员工创造的年总利润为310500⎛⎫-⎪⎝⎭x a x 万元, 从事原来产业的员工的年总利润为()1010001500x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭万元. 则由题意,知当0500x <≤时,恒有31010(1000)1500500x x a x x ⎛⎫⎛⎫-≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ……7分 整理得10001250x a x≤++在0500x <≤时恒成立.10004250x x +≥=, 当且仅当1000250x x=,即500x =时等号成立, ∴5a ≤, ……11分又0a >,∴05a <≤,∴a 的取值范围是(0,5]. ……12分20.(本小题满分12分) (1)描述并证明基本不等式;(2)已知,,a b c 为正数,且满足1abc =,证明:222111cb ac b a ++≤++;证明:(1)0,,2a b a b +≥≥≤当且仅当a =b 时,等号成立.……2分证法1:对于0,0≥≥b a ,有ab ba -+2)2(21ab b a -+=()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=b a b a 22122()221b a -=.因为(),02≥-b a 所以 ,02≥-+ab ba 即 2ba ab +≤. 当且仅当b a =,即b a =时,等号成立. 证法2:对于0,0≥≥b a ,要证2ba ab +≤ 只要证 b a ab +≤2 只要证 ab b a 20-+≤ 只要证 ()20b a -≤因为最后一个不等式成立,所以2ba ab +≤成立,当且b a =时,等号成立. 证法3:对于0,0≥≥b a , 有(),02≥-b a 02≥-+⇒ab b a ab b a 2≥+⇒ab ba ≥+⇒2当且仅当b a =时,等号成立. ……6分(2)由条件1abc =得2211122c a b ab +≥=,当且仅当a b =时等号成立 2211122a b c bc +≥=,当且仅当b c =时等号成立 2211122b c a ca+≥=,当且仅当c a =时等号成立 以上三个不等式相加可得:22211122()a b c a b c ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭,当且仅当a b c ==时等号成立 得证222111cb ac b a ++≤++. ……12分 (第一问中基本不等式描述错误本小问不得分) 22. (本小题满分12分)解关于x 不等式2440ax x ++>(a ∈R ).0a =时,此不等式解集为()1,-+∞; ……2分 01a <<时,此不等式解集为22a ⎛⎛⎫-+-∞+∞ ⎪⎝⎭⎝⎭; ……4分1a =时,此不等式解集为()(),22,-∞--+∞; ……6分1a >时,此不等式解集为R ;……8分 0a <时,此不等式解集为⎝⎭……10分(此题每个结果2分,最后综上2分) 22. (本小题满分12分)已知:二次函数2y ax bx c =++,0a b c ++=(1)二次函数顶点坐标为(2,1)-,求二次函数的解析式; (2)若a b c >>,①求证:20ax bx c ++=必有两个不相等的实数根1x ,2x ; ②求12x x -的取值范围.【答案】(1)由顶点坐标可得二次函数为:()2221441y a x ax ax a =--=-+-441b ac a =-⎧∴⎨=-⎩,又0a b c ++=4410a a a ∴-+-=,解得:143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴二次函数解析式为:243y x x =-+ ……3分(2)①假设0a ≤,由0a b c ++=知:0b c a +=-≥a b c >> 0c b ∴<< 0b c ∴+<与0b c +≥矛盾 0a ∴> ……4分则()()2222244442b ac b a a b b a ab a b ∆=-=---=++=+ 若20a b +=,则2b a =-,2c a a a =-+=,不满足a c >20a b ∴+≠,即()220a b ∆=+>20ax bx c ∴++=必有两个不相等的实根12,x x ……7分②由①知:12bx x a +=-,12c x x a=且0a >1222a b bx x a a+∴-=====+……9分 0a b c ++=且b c > 20a b ∴+>,即2a b >-,又0a > 12b a ∴>-又a b >且0a > 1b a ∴< 112b a ∴-<< 3232ba∴<+< 32,32b a ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭,即12x x -的取值范围为3,32⎛⎫⎪⎝⎭……12分。
江苏省2021版高一下学期期中数学试卷(理科)(I)卷

江苏省2021版高一下学期期中数学试卷(理科)(I)卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题;共24分)1. (2分)已知向量 =(1,2), =(2,x)若 + 与﹣平行,则实数x的值是()A . ﹣2B . 0C . 4D . 12. (2分) (2019高二上·兰州期中) 在△ 中,分别为角的对边,已知,,面积,则等于()A .B .C .D .3. (2分)已知等差数列{an}中,Sn是它的前n项和.若S16>0,且S17<0,则当Sn最大时n的值为()A . 8B . 9C . 10D . 164. (2分) (2017高一下·长春期末) 已知,则a10=()A . ﹣3B .C .D .5. (2分)(2017·青岛模拟) 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若1+ = ,则A=()A . 30°B . 45°C . 60°D . 120°6. (2分)(2017·番禺模拟) 已知向量、、满足 = + ,| |=2,| |=1,E、F分别是线段BC、CD的中点,若• =﹣,则向量与的夹角为()A .B .C .D .7. (2分) (2019高三上·汉中月考) 已知平面向量,满足,且,则与的夹角为()A .B .D .8. (2分)设、是两个非零向量,则“(+)2=||2+||2”是“⊥”的()A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件9. (2分)等差数列中,已知前15项的和,则等于()A .B . 6C .D . 1210. (2分)在函数的图像上有点列,若数列是等差数列,数列{}是等比数列,则函数的解析式可能为()A .B .C .D .11. (2分)数列的通项公式,则数列的前10项和()A .C .D .12. (2分) (2019高一下·大庆期中) 下列叙述正确的个数是()①若 ,则;②若 ,则;③锐角三角形中,则;④若 , 平行,则;⑤若 ,且 ,则 .A .B .C .D .二、填空 (共4题;共5分)13. (1分) (2019高三上·沈河月考) 与垂直的单位向量是________.14. (2分) (2016高一下·宁波期中) 已知钝角△ABC的面积为,AB=1,BC= ,则角B=________,AC=________.15. (1分)(2017·晋中模拟) 我们可以利用数列{an}的递推公式an= (n∈N+),求出这个数列各项的值,使得这个数列中的每一项都是奇数,则a64+a65=________.16. (1分) (2015高二下·广安期中) 函数y=f(x)图像上不同两点A(x1 , y1),B(x2 , y2)处的切线的斜率分别是kA , kB ,规定φ(A,B)= 叫曲线y=f(x)在点A与点B之间的“弯曲度”,给出以下命题:(1.)函数y=x3﹣x2+1图像上两点A、B的横坐标分别为1,2,则φ(A,B)>;(2.)存在这样的函数,图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数;(3.)设点A、B是抛物线,y=x2+1上不同的两点,则φ(A,B)≤2;(4.)设曲线y=ex上不同两点A(x1 , y1),B(x2 , y2),且x1﹣x2=1,若t•φ(A,B)<1恒成立,则实数t的取值范围是(﹣∞,1);以上正确命题的序号为________(写出所有正确的)三、解答题 (共6题;共50分)17. (10分) (2018高二上·泰安月考) 设公差不为的等差数列的首项为,且构成等比数列.(1)求数列的通项公式,并求数列的前项和为;(2)令,若对恒成立,求实数的取值范围.18. (5分)(2017·晋中模拟) 在△AB C中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足 = .(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)若a=2 ,求△ABC面积的最大值.19. (10分) (2016高一下·江门期中) 平面内有向量 =(1,7), =(5,1), =(2,1),点X为直线OP上的一个动点.(1)当• 取最小值时,求的坐标;(2)当点X满足(1)的条件和结论时,求cos∠AXB的值.20. (10分) (2020高一下·海南期末) 某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东的方向上,距离为海里,在A处看灯塔C在货轮的北偏西的方向上,距离为海里,货轮由A处向正北方向航行到D处时,再看灯塔B在南偏东的方向上,求(1) A、D间的距离;(2) C、D间的距离.21. (10分) (2016高一下·桐乡期中) 设数列{an}是公差为d的等差数列,其前n项和为Sn ,已知a4=7,a7﹣a2=10.(1)求数列{an}的通项an及前n项和为Sn;(2)求证:.22. (5分) (2019高一下·宁波期末) 正项数列的前项和满足 .(I)求的值;(II)证明:当,且时,;(III)若对于任意的正整数,都有成立,求实数的最大值.参考答案一、选择题 (共12题;共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空 (共4题;共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题;共50分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。
2022-2023学年江苏省南通市海安高级中学高一(下)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年江苏省南通市海安高级中学高一(下)期中数学试卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设x ∈R ,则“ln (x ﹣2)<1”是“x >2”的( )条件. A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要D .既不充分又不必要2.已知集合A ={x ||x ﹣1|<1},B ={x |x <1或x ≥4},则A ∪(∁R B )=( ) A .{x |1<x <2} B .{x |0<x <4}C .{x |1≤x <2}D .{x |0<x ≤4}3.已知复数z 满足1+√3iz=3+4i ,则|z|=( )A .2√55B .√105C .√25D .254.如图,梯形A 1B 1C 1D 1是一水平放置的平面图形ABCD 在斜二测画法下的直观图.若A 1D 1平行于y 1轴,A 1B 1∥C 1D 1,A 1B 1=34C 1D 1=3,A 1D 1=1,则平面图形ABCD 的面积是( )A .14B .7C .7√2D .14√25.已知sin θ﹣5cos θ=0,则cos 4θ−sin 4θsin 2θ−sin2θ=( )A .−85B .85C .−83D .836.在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,E 为CD 中点,AE 与BD 交于点F ,若FE →=14AC →+mBD →,则m =( ) A .14B .34C .112D .167.已知α∈(π4,π2),a =(sin α)sin α,b =(sin α)tan α,c =(tan α)sin α,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .a <b <cB .b <a <cC .b <c <aD .c <a <b8.如图,河边有一座塔OP ,其高为20m ,河对面岸上有A ,B 两点与塔底在同一水平面上,由塔顶部测得A ,B 两点的俯角分别为45°和30°,而且A ,B 两点分别与塔底部O 连线成150°角,则A ,B 两点的距离为( )A .20mB .10√3mC .20√7mD .10√42m二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,至少有两项是符合题目要求的.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9.已知复数z =3+4i ,则( ) A .z 的共轭复数是3﹣4i B .z 2对应的点在第二象限C .z =izD .若复数z 0满足|z 0﹣z |=1,则|z 0|的最大值是610.已知向量a →=(−2,2),b →=(2,1),c →=(λ,1),下列结论正确的是( ) A .若(a →+2b →)⊥c →,则λ=2 B .若a →=tb →+c →,则λ+t =﹣3C .若向量12a →+b →与向量2b →+c →的夹角为锐角,则λ的取值范围为λ>﹣10且λ≠﹣5D .|a →+μb →|的最小值为6√5511.已知函数f (x )=A sin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,若将f (x )的图象向右平移m (m >0)个单位长度后得到函数g (x )=A sin (ωx ﹣2φ)的图象,则m 的值可以是( )A .π4B .π3C .4π3D .9π412.已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形,P A ⊥底面ABCD ,P A =AB =2,平面α过点A 且与侧棱PB ,PC ,PD 的交点分别为E ,F ,G ,若直线PC ⊥平面α,则( ) A .直线BD ∥平面αB .直线EG ⊥直线AFC .直线P A 与平面α所成的角为45°D .截面四边形AEFG 的面积为4√33三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在平面直角坐标系中,已知A (2,0),B (﹣1,0),C ,D 为y 轴上两个动点,且|CD |=2,则AC →⋅BD →的最小值为 .14.如图,在四面体ABCD 中,BD =2√2,AC =2,M ,N 分别为BC ,AD 的中点,MN =1,则异面直线AC 与BD 所成的角是 .15.设f(x)=cosxcos(30°−x),则f (28°)+f (29°)+f (30°)+f (31°)+f (32°)= .16.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,A =90°,则cb−b 2b 2+c 2的最大值为 .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(10分)设向量a →=(2cosα,2sinα),b →=(cosβ,sinβ)(α∈R ,β∈R ),且|a →−b →|=√7. (1)求向量a →与b →的夹角;(2)若|ta →−b →|=√3|a →+tb →|,求实数t 的值.18.(12分)已知函数f(x)=√3sin(ωx)cos(ωx)−cos 2(ωx)+12(ω>0)且函数f (x )相邻两个对称轴之间的距离为π2.(1)求f (x )的解析式及最小正周期;(2)若方程f(x)=35在(0,π)上的解为x 1,x 2,求cos (x 1﹣x 2).19.(12分)如图所示,在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别为DD 1、DB 的中点. (Ⅰ)求证:EF ∥平面ABC 1D 1; (Ⅱ)求证:EF ⊥B 1C .20.(12分)某市计划新修一座城市运动公园,设计平面如图所示:其为五边形ABCDE 其中三角形ABE区域为球类活动场所;四边形BCDE 为文艺活动场所.其中AB ,BC ,CD ,DE ,EA 为运动小道(不考虑宽度),∠BCD =∠CDE =120°,∠BAE =60°,DE =2BC =2CD =6千米. (1)求小道BE 的长度;(2)设∠ABE =x ,试用x 表示△ABE 的面积,并求x 为何值时,球类活动场所△ABE 的面积最大值,并求出最大值.21.(12分)已知向量a →=(cosωx ,1),b →=(−√3sinωx ,1)(ω>0),f(x)=2a →⋅(a →−b →)−2,且f (x )的最小正周期为π.(1)求f (x )在[0,π]上的单调递增区间;(2)将f (x )的图象上的点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的4倍,再把整个图象向左平移23π个单位得到g (x )的图象,已知A (﹣2,2),B (2,5),则在g (x )上是否存在一点Q ,使得QA →⊥QB →,若存在,求出Q 的坐标,若不存在,说明理由.22.(12分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,AD ⊥BC ,垂足为D (D 在边BC 上且异于端点),设AD =h ,且满足b +c =a +h . (1)若ℎ=12a ,求tan A 2的值; (2)求tan A2的最小值.2022-2023学年江苏省南通市海安高级中学高一(下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设x ∈R ,则“ln (x ﹣2)<1”是“x >2”的( )条件. A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要D .既不充分又不必要解:由ln (x ﹣2)<1,得到0<x ﹣2<e ,即2<x <e +2,所以ln (x ﹣2)<1时,能得出x >2,当x >2时,不妨取x =e 3+2, 此时ln (x ﹣2)=lne 3=3>1,故x >2时,得不出ln (x ﹣2)<1, 所以“ln (x ﹣2)<1”是“x >2”的充分不必要条件. 故选:A .2.已知集合A ={x ||x ﹣1|<1},B ={x |x <1或x ≥4},则A ∪(∁R B )=( ) A .{x |1<x <2}B .{x |0<x <4}C .{x |1≤x <2}D .{x |0<x ≤4}解:由题意可得:A ={x ||x ﹣1|<1}={x |0<x <2},∁R B ={x |1≤x <4}, 所以A ∪(∁R B )={x |0<x <4}. 故选:B . 3.已知复数z 满足1+√3i z=3+4i ,则|z|=( )A .2√55B .√105C .√25D .25解:由已知可得,z =1+√3i3+4i =(1+√3i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=3+4√3+(3√3−4)i 25=3+4√325+3√3−425i , 所以,z =3+4√325−3√3−425i ,所以,|z|=√(3+4√325)2+(−3√3−425)2=25. 故选:D .4.如图,梯形A 1B 1C 1D 1是一水平放置的平面图形ABCD 在斜二测画法下的直观图.若A 1D 1平行于y 1轴,A 1B 1∥C 1D 1,A 1B 1=34C 1D 1=3,A 1D 1=1,则平面图形ABCD 的面积是( )A .14B .7C .7√2D .14√2解:根据直观图画法的规则,直观图中A 1D 1平行于y 轴,A 1D 1=1, 可知原图中AD ∥Oy ,从而得出AD ⊥DC ,且AD =2A 1D 1=2,直观图中A 1B 1∥C 1D 1,A 1B 1=34C 1D 1=3,可知原图中AB ∥CD ,AB =34CD =3, 即四边形ABCD 上底和下底边长分别为3,4,高为2,如图,故其面积S =12×(3+4)×2=7. 故选:B .5.已知sin θ﹣5cos θ=0,则cos 4θ−sin 4θsin 2θ−sin2θ=( )A .−85B .85C .−83D .83解:由sin θ﹣5cos θ=0,得到tan θ=5, 故cos 4θ−sin 4θsin 2θ−sin2θ=(cos 2θ+sin 2θ)(cos 2θ−sin 2θ)sin 2θ−2sinθcosθ=cos 2θ−sin 2θsin 2θ−2sinθcosθ=1−tan 2θtan 2θ−2tanθ=1−2525−10=−85.故选:A .6.在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,E 为CD 中点,AE 与BD 交于点F ,若FE →=14AC →+mBD →,则m =( ) A .14B .34C .112D .16解:画出图形,如图所示:因为平行四边形ABCD 中,E 为CD 中点, 所以△ABF ∽△EDF ,AF EF=BF DF=AB DE=2,又BO =OD ,设OF =nFD ,则BF DF=OB+OF DF=BO DF+OF DF=DO DF+n =DF+OF DF+n =1+n +n =2,解得n =12,则FE →=12AF →=12(AO →+OF →)=12(12AC →+16BD →)=14AC →+112BD →,故m =112.故选:C .7.已知α∈(π4,π2),a =(sin α)sin α,b =(sin α)tan α,c =(tan α)sin α,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .a <b <cB .b <a <cC .b <c <aD .c <a <b解:因为α∈(π4,π2),则0<√22<sinα<1,tanα>1,即sin α<tan α,且y =(sin α)x 在定义域内单调递减,则(sin α)tan α<(sin α)sin α<(sin α)0=1,即b <a <1, 又因为c =(tan α)sin α>1,所以b <a <c . 故选:B .8.如图,河边有一座塔OP ,其高为20m ,河对面岸上有A ,B 两点与塔底在同一水平面上,由塔顶部测得A ,B 两点的俯角分别为45°和30°,而且A ,B 两点分别与塔底部O 连线成150°角,则A ,B 两点的距离为( )A .20mB .10√3mC .20√7mD .10√42m解:在直角三角形P AO 中,∠P AO =45°,可得AO =PO =20, 在直角三角形PBO 中,∠PBO =30°,可得BO =POtan30°=20√3,且∠AOB =150°,可得AB 2=AO 2+BO 2﹣2AO •BO cos ∠AOB =400+400×3﹣2×20×20√3×(−√32)=2800,可得AB =20√7. 故选:C .二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,至少有两项是符合题目要求的.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9.已知复数z =3+4i ,则( ) A .z 的共轭复数是3﹣4i B .z 2对应的点在第二象限C .z =izD .若复数z 0满足|z 0﹣z |=1,则|z 0|的最大值是6解:对于选项A ,由复数z =3+4i ,得z 的共轭复数是3﹣4i ,故选项A 正确;对于选项B ,由复数z =3+4i ,得z 2=(3+4i )2=9+24i +(4i )2=9+24i ﹣16=﹣7+24i , 所以z 2对应的点为(﹣7,24)在第二象限.故选项B 正确;对于选项C ,z =3−4i ,iz =i (3+4i )=3i +4i 2=﹣4+3i ,故选项C 错误; 对于选项D ,解法一:因为|z|=√32+42=5,利用复数模的三角不等式得|z 0﹣z |≤|z 0|+|z |=1+5=6. 解法二:如图,因为z =3+4i 在复平面上对应的点为A (3,4),|z 0﹣z |=1表示在复平面上z 0对应的点到(3,4)的距离等于1,所以z 0表示的点的轨迹为圆心在(3,4),半径等于1的圆. 因为P A =1,OA =|z|=√32+42=5,所以当z 0对应的点在P 处时,|z 0|的最大值为OP =P A +OA =1+5=6,故选项D 正确. 故选:ABD .10.已知向量a →=(−2,2),b →=(2,1),c →=(λ,1),下列结论正确的是( ) A .若(a →+2b →)⊥c →,则λ=2 B .若a →=tb →+c →,则λ+t =﹣3C .若向量12a →+b →与向量2b →+c →的夹角为锐角,则λ的取值范围为λ>﹣10且λ≠﹣5D .|a →+μb →|的最小值为6√55解:向量a →=(−2,2),b →=(2,1),c →=(λ,1),a →+2b →=(2,4),(a →+2b →)⊥c →,则2λ+4=0,解得λ=﹣2,A 错误; tb →+c →=(2t +λ,t +1),则由向量相等的条件可知,{2t +λ=−2t +1=2,解得t =1,λ=﹣4,即λ+t =﹣3,B 正确;12a →+b →=(1,2),2b →+c →=(4+λ,3),依题意,(12a →+b →)⋅(2b →+c →)=λ+10>0,解得λ>﹣10且向量12a →+b →与向量2b →+c →不共线,当向量12a →+b →与2b →+c →共线时,2(4+λ)=3,解得λ=−52,所以λ的取值范围为λ>﹣10且λ≠−52,C 错误;a →+μb →=(2μ−2,μ+2),则|a →+μb →|=√(2μ−2)2+(μ+2)2=√5(μ−25)2+365≥6√55,当且仅当μ=25时取等号,所以|a →+μb →|的最小值为6√55,D 正确.故选:BD .11.已知函数f (x )=A sin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,若将f (x )的图象向右平移m (m >0)个单位长度后得到函数g (x )=A sin (ωx ﹣2φ)的图象,则m 的值可以是( )A .π4B .π3C .4π3D .9π4解:根据函数f (x )=A sin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象, 可得A =2,14⋅2πω=5π12−π6,∴ω=2.再根据五点法作图,可得2×5π12+φ=π,∴φ=π6,f (x )=2sin (2x +π6).将f (x )的图象向右平移m (m >0)个单位长度后得到函数g (x )=A sin (ωx ﹣2φ)=2sin (2x −π3)=2sin (2x ﹣2m +π6) 的图象, ∴﹣2m +π6=−π3+2k π,k ∈Z .故令k =0,可得m 的值为π4;令k =﹣2,可得m =9π4. 故选:AD .12.已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形,P A ⊥底面ABCD ,P A =AB =2,平面α过点A 且与侧棱PB ,PC ,PD 的交点分别为E ,F ,G ,若直线PC ⊥平面α,则( ) A .直线BD ∥平面αB .直线EG ⊥直线AFC .直线P A 与平面α所成的角为45°D .截面四边形AEFG 的面积为4√33解:由P A ⊥底面ABCD ,BD ⊂底面ABCD ,则P A ⊥BD ,由P ﹣ABCD 的底面为正方形,则AC ⊥BD , 又P A ∩AC =A ,P A ,AC ⊂面P AC ,故BD ⊥面P AC , 因为PC ⊂面P AC ,故BD ⊥PC ,由平面α过点A 且与侧棱PB ,PC ,PD 的交点分别为E ,F ,G ,若直线PC ⊥平面α, 所以PC ⊥EG ,故BD ∥EG ,因为BD ⊄平面α,EG ⊂平面α,故BD ∥面α,A 正确;因为BD ⊥面P AC ,则EG ⊥面P AC ,AF ⊂面P AC ,所以EG ⊥AF ,B 正确; 由PC ⊥平面α,即PF ⊥面AEFG ,故∠P AF 为直线P A 与平面α所成角的平面角, 因为AF ⊂面AEFG ,则PF ⊥AF ,而AC =√AB 2+BC 2=2√2, 因为AC ⊂底面ABCD ,则P A ⊥AC ,所以PC =√PA 2+AC 2=2√3, 综上,12PA ⋅AC =12AF ⋅PC ,故AF =2√63,则cos ∠PAF =AF PA =√63, 显然,∠P AF 不为45°,C 错误;因为BC ⊂底面ABCD ,则P A ⊥BC ,又AB ⊥BC , 由AB ∩P A =A ,AB ,P A ⊂面P AB ,所以BC ⊥面P AB , 而PB ⊂面P AB ,故BC ⊥PB ,由EF ⊂面AEFG ,则PF ⊥EF ,故Rt △PBC ~Rt △PFE ,即PF PB=PE PC,同理可证:PFPD=PG PC,而PB =PD =2√2,则PE =PG ,由上知:PF =√PA 2−AF 2=2√33,则PE =PC⋅PF PB =2√3×2√3322=√2,即PE =PG =√2,综上,△PBD 中有PEPB=PG PD=EG BD =12,则EG =12BD =12×2√2=√2, 所以截面四边形AEFG 的面积为12AF ⋅EG =12×2√63×√2=2√33,D 错误. 故选:AB .三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在平面直角坐标系中,已知A (2,0),B (﹣1,0),C ,D 为y 轴上两个动点,且|CD |=2,则AC →⋅BD →的最小值为 ﹣3 .解:设C (0,a ),D (0,b ),由|CD |=2,则|a ﹣b |=2,不妨设a >b ,则a =b +2,又AC →=(−2,a),BD →=(1,b),则AC →⋅BD →=ab ﹣2=b 2+2b ﹣2=(b ﹣1)2﹣3, 当b =1时,AC →⋅BD →取最小值﹣3. 故答案为:﹣3.14.如图,在四面体ABCD 中,BD =2√2,AC =2,M ,N 分别为BC ,AD 的中点,MN =1,则异面直线AC 与BD 所成的角是 45° .解:取CD 的中点E ,连接ME ,NE ,因为M 为BC 的中点,N 为AD 的中点,所以NE ∥AC 且NE =12AC ,ME ∥BD 且ME =12BD , 所以∠NEM 即为异面直线AC 与BD 所成的角或其补角, 又BD =2√2,AC =2,MN =1,所以NE =1,ME =√2,所以ME 2=MN 2+NE 2,所以∠MNE =90°, 所以△MNE 为等腰直角三角形,所以∠NEM =45°; 故答案为:45°. 15.设f(x)=cosxcos(30°−x),则f (28°)+f (29°)+f (30°)+f (31°)+f (32°)= 5√32.解:因为f(x)+f(60°−x)=cosx cos(30°−x)+cos(60°−x)cos[30°−(60°−x)]=cosx cos(30°−x)+cos(60°−x)cos[−(30°−x)]=cosx cos(30°−x)+cos(60°−x)cos(30°−x)=cosx+12cosx+√32sinx cos(30°−x)=32cosx+√32sinx cos(30°−x)=√3cos(30°−x)cos(30°−x)=√3, 即f(x)+f(60°−x)=√3,令x =28°,可得f(28°)+f(32°)=√3;令x =29°,可得f(29°)+f(31°)=√3; 令x =30°,可得f(x)=cos30°cos0°=√32; 所以f(28°)+f(29°)+f(30°)+f(31°)+f(32°)=2√3+√32=5√32. 故答案为:5√32. 16.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,A =90°,则cb−b 2b 2+c2的最大值为 √2−12. 解:因为A =90°,所以C =90°﹣B ,可得sin C =sin (90°﹣B )=cos B , 由正弦定理可得cb−b 2b 2+c 2=sinCsinB−sin 2B sin 2B+sin 2C=sinBcosB−sin 2B sin 2B+cos 2B=12sin2B −12(1−cos2B)=sin2B+cos2B−12=√2sin(2B+π4)−12, 因为B ∈(0,π2),则2B +π4∈(π4,5π4),当2B +π4=π2,即B =π8时,cb−b 2b 2+c 2取到最大值√2−12.故答案为:√2−12. 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(10分)设向量a →=(2cosα,2sinα),b →=(cosβ,sinβ)(α∈R ,β∈R ),且|a →−b →|=√7. (1)求向量a →与b →的夹角;(2)若|ta →−b →|=√3|a →+tb →|,求实数t 的值.解:(1)由题意可得:|a →|=2,|b →|=1,因为|a →−b →|=√7, 则(a →−b →)2=a →2−2a →⋅b →+b →2=5−2a →⋅b →=7,解得a →⋅b →=−1, 可得cos〈a →,b →〉=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=−12,又〈a →,b →〉∈[0,π],所以向量a →与b →的夹角为2π3;(2)由(1)可得:|a →|=2,|b →|=1,a →⋅b →=−1,若|ta →−b →|=√3|a →+tb →|,即(ta →−b →)2=√3(a →+tb →)2, 则t 2a →2−2ta →⋅b →+b →2=3(a →2+2ta →⋅b →+t 2b →2),即4t 2+2t +1=3(4﹣2t +t 2),整理得t 2+8t ﹣11=0,解得t =−4±3√3, 所以实数t 的值为−4±3√3.18.(12分)已知函数f(x)=√3sin(ωx)cos(ωx)−cos 2(ωx)+12(ω>0)且函数f (x )相邻两个对称轴之间的距离为π2.(1)求f (x )的解析式及最小正周期;(2)若方程f(x)=35在(0,π)上的解为x 1,x 2,求cos (x 1﹣x 2). 解:(1)因为f(x)=√3sin(ωx)cos(ωx)−cos 2(ωx)+12=√32sin2ωx −1+cos2ωx 2+12=√32sin2ωx −12cos2ωx =sin(2ωx −π6), 又函数f (x )相邻两个对称轴之间的距离为π2,所以T =π=2π|2ω|,又ω>0,则ω=1, 所以f(x)=sin(2x −π6),最小正周期为π;(2)由题意可得sin(2x 1−π6)=35>0,同理可得sin(2x 2−π6)=35>0, 当0<x <π时,则−π6<2x −π6<11π6,所以0<2x 1−π6<π,0<2x 2−π6<π, 令2x −π6=π2,得x =π3,因为f(x 1)=f(x 2)=35,所以点(x 1,f (x 1))、(x 2,f (x 2))关于直线x =π3对称, 所以x 1+x 2=2π3, 所以cos(x 1−x 2)=cos[x 1−(2π3−x 1)]=cos(2x 1−2π3)=cos[(2x 1−π6)−π2]=sin(2x 1−π6)=35. 19.(12分)如图所示,在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别为DD 1、DB 的中点. (Ⅰ)求证:EF ∥平面ABC 1D 1; (Ⅱ)求证:EF ⊥B 1C .证明:(Ⅰ)连接BD 1,在△DD 1B 中,E 、F 分别为D 1D ,DB 的中点,则EF ∥D 1BD 1B ⊂平面ABC 1D 1EF 不包含于平面ABC 1D 1}⇒EF ∥平面ABC 1D 1; (Ⅱ)根据题意可知:B 1C ⊥ABB 1C ⊥BC 1AB ,B 1C ⊂平面ABC 1D 1AB ∩BC 1=B}⇒B 1C ⊥面ABC 1D 1BD 1⊂面ABC 1D 1} ⇒B 1C ⊥BD 1EF ∥BD 1}⇒EF ⊥B 1C .20.(12分)某市计划新修一座城市运动公园,设计平面如图所示:其为五边形ABCDE 其中三角形ABE 区域为球类活动场所;四边形BCDE 为文艺活动场所.其中AB ,BC ,CD ,DE ,EA 为运动小道(不考虑宽度),∠BCD =∠CDE =120°,∠BAE =60°,DE =2BC =2CD =6千米. (1)求小道BE 的长度;(2)设∠ABE =x ,试用x 表示△ABE 的面积,并求x 为何值时,球类活动场所△ABE 的面积最大值,并求出最大值.解:(1)如图,连接BD ,在△BCD 中,BC =CD =DE2=3千米, ∠BCD =∠CDE =120°,由余弦定理得:BD 2=BC 2+CD 2﹣2BC •CD cos ∠BCD =27, ∴BD =3√3. ∵BC =CD ,∴∠CDB =∠CBD =30°, 又∠CDE =120°,∴∠BDE =∠CDE ﹣∠CDB =120°﹣30°=90°,在Rt △BDE 中,所以BE =√BD 2+DE 2=√(3√3)2+62=3√7. (2)∵∠ABE =x ,∵∠BAE =60°,∴∠AEB =120°﹣x . 在△ABE 中,由正弦定理,得AB sin∠AEB =AE sin∠ABE=BE sin∠BAE=√7√32=2√21,∴AB =2√21 sin (120°﹣x ),AE =2√21sin x .∴S △ABE =12|AB ||AE |sin 60°=12×2√21×2√21×√32sin (120°﹣x )sin x =21√3×{−12[cos (120°﹣x +x )﹣cos (120°﹣x ﹣x )]} =21√32cos (120°﹣2x )+21√34∵0<x <120°,∴﹣120°<2x ﹣120°<120°. ∴当x =60°时,S △ABE 取得最大值为21√32+21√34=63√34. 即球类活动场所△ABE 面积的最大值为63√34km 2.21.(12分)已知向量a →=(cosωx ,1),b →=(−√3sinωx ,1)(ω>0),f(x)=2a →⋅(a →−b →)−2,且f (x )的最小正周期为π.(1)求f (x )在[0,π]上的单调递增区间;(2)将f (x )的图象上的点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的4倍,再把整个图象向左平移23π个单位得到g (x )的图象,已知A (﹣2,2),B (2,5),则在g (x )上是否存在一点Q ,使得QA →⊥QB →,若存在,求出Q 的坐标,若不存在,说明理由.解:(1)由题意可知f(x)=2a →⋅(a →−b →)−2=2(cosωx ,1)⋅(√3sinωx +cosωx ,0)−2=2√3sinωxcosωx +2cos 2ωx −2=2(√32sin2ωx +12sin2ωx)=2sin(2ωx +π6)−1,因为f (x )的最小正周期为π,所以π=2π2ω,得ω=1,所以f(x)=2sin(2x +π6)−1,由−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ,解得kπ−π3≤x ≤kπ+π6,所以f (x )单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ],k ∈Z , 又因为x ∈[0,π],所以0≤x ≤π6和2π3≤x ≤π,所以f (x )在[0,π]上的单调增区间为[0,π6],[2π3,π].(2)将f(x)=2sin(2x +π6)−1的图象纵坐标不变,横坐标伸长为原来的4倍,得到y =2sin(12x +π6)−1,再把整个图象向左平移23π个单位得到g(x)=2cos 12x −1,设Q(x ,2cos 12x −1),A (﹣2,2),B (2,5),则QA →=(−2−x ,3−2cos 12x),QB →=(2−x ,6−2cos 12x), 则QA →⋅QB →=x 2−4+4cos 212x −18cos 12x +18,若x 2−4+4cos 212x −18cos 12x +18=0,即4cos 212x −18cos 12x +18=4−x 2,整理得:4(cos 12x −94)2=254−x 2,因为−1≤cos 12x ≤1,所以−134≤cos 12x −94≤−54, 所以2516≤(cos 12x −94)2≤16916,所以254≤4(cos 12x −94)2≤1694,而254−x 2≤254,所以254−x 2=254,x =0,此时y =1,则在g (x )上存在一点Q (0,1),使得QA →⊥QB →.22.(12分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,AD ⊥BC ,垂足为D (D 在边BC 上且异于端点),设AD =h ,且满足b +c =a +h . (1)若ℎ=12a ,求tan A 2的值; (2)求tan A 2的最小值.解:(1)在△ABC 中,可得12bcsinA =12aℎ,所以bc =aℎsinA =a 22sinA ,又b +c =a +ℎ=3a2, 由余弦定理可得cosA =b 2+c 2−a 22bc =(b+c)2−2bc−a 22bc =94a 2−a 22bc−1=54a 2a 2sinA−1=54sinA −1,即54sinA −cosA =1,所以54×2sinA 2⋅cosA 2−2cos2A 2+1=1,又A ∈(0,π),所以A 2∈(0,π2),故cos A2≠0, 所以52sinA2=2cos A2,得到tan A 2=45. (2)由b +c =a +h ,结合(1)可得cosA =b 2+c 2−a 22bc =(b+c)2−a 2−2bc 2bc =(a+ℎ)2−a 22aℎsinA−1=(1+ℎ2a)sinA −1, 所以1+ℎ2a =cosA+1sinA =2cos 2A2−1+12sin A 2cos A 2=1tan A 2, 如图,过点C 作CE ⊥BC ,使得CE =2h ,连接AE ,BE ,取CE的中点H,易得CH∥AD且CH=AD,所以AH⊥CE,故AC=AE,在Rt△BCE中,BE=√a2+4ℎ2,又a+h=b+c=AB+AE≥BE,即a+ℎ≥√a2+4ℎ2,解得0<ℎa≤23,则1+ℎ2a=1tan A2∈(1,43],所以tan A2∈[34,1),所以tan A2的最小值为34.。
高一数学下学期期中试题含解析 25

海安高级中学2021-2021学年高一数学下学期期中试题〔含解析〕一、选择题〔每一小题5分,一共50分〕2{|52},{|90},A x x B x x A B =-<<=-<⋂=求〔 〕A. {|32}x x -<<B. {|52}x x -<<C. {|33}x x -<<D.{|53}x x -<<【答案】A 【解析】 【分析】利用集合交集运算性质即可解得. 【详解】{|52},A x x =-<<2{|90}={|-33}B x x x x =-<<<所以{|32}A B x x ⋂=-<< 应选A【点睛】此题主要考察集合的运算性质,属于根底题.2.,m n R ∈,i 是虚数单位,假设(1)(1)mi i n +-=,那么m ni +的值是〔 〕A. 1【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算性质,分别求出m,n,然后求解复数的模. 【详解】()()11mi i n +-=()11m m i n ∴++-=11m n m +=⎧∴⎨=⎩ 21n m =⎧∴⎨=⎩12m ni i +=+=应选D【点睛】此题考察复数运算性质和复数模的计算,属于根底题,解题时要准确计算.(0,2)m =-,(3,1)n =,那么与2m n +一共线的向量可以是〔 〕A. 1)-B. (-C. (1)-D.(1,-【答案】B 【解析】 【分析】先利用向量坐标运算求出向量2m n +,然后利用向量平行的条件判断即可. 【详解】()()0,2,3,1m n =-=()23,3m n ∴+=-()33-=--应选B【点睛】此题考察向量的坐标运算和向量平行的断定,属于根底题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位.2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移12π单位后,所得图象对应的函数解析式为〔 〕A. 52sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B. 52sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. 2sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. 2sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】 先将函数2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中x 换为x-12π后化简即可.【详解】2sin 2()124y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭化解为2sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭应选D【点睛】此题考察三角函数平移问题,属于根底题目,解题中根据左加右减的法那么,将x 按要求变换.,y 满足的约束条件10200x y x y y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,那么z x y =+的取值范围是〔 〕A. [1,1]-B. [1,2]-C. [1,3]-D. [0,4]【答案】C 【解析】 【分析】先画出可行域的几何图形,再根据z x y =+中z 的几何意义(直线在y 轴上的截距)求出z 的范围.【详解】如图:做出满足不等式组的10200x y x y y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域,由图可知在A(1,2)处获得最大值3,在点B(-1,0)处获得最小值-1; 应选C【点睛】此题主要考察线性规划问题中的截距型问题,属于根底题型,解题中关键是准确画出可行域,再结合z 的几何意义求出z 的范围.22,0()(),0x x x f x a R x ax x ⎧+≥=∈⎨-<⎩为偶函数,那么以下结论正确的选项是〔 〕A. ()()()20f a f a f >>B. ()()()02f a f f a >>C. ()()()20f a f a f >>D. ()()()20f a f f a >>【答案】C 【解析】 【分析】函数()()22,0,0x x x f x a R x ax x ⎧+≥=∈⎨-<⎩为偶函数,那么有f(-1)=f(1),可解得a=1,函数在区间(),0-∞ 单调递减,在区间()0,∞+单调递增,故自变量间隔 0越远函数值越大,即可求解.【详解】因为函数()()22,0,0x x x f x a R x ax x ⎧+≥=∈⎨-<⎩为偶函数所以f(-1)=f(1),解得a=1又因为函数在(),0-∞ 单调递减,在()0,∞+单调递增 所以()()()20f a f a f >> 应选C【点睛】此题考察了分段函数的奇偶性和单调性的应用,属于中等难度题目,解题中关键是利用偶函数的性质求解a 的值,其次是利用偶函数的单调性比拟大小(先减后增,离原点越远函数值越大,先增后减,离原点越远越小).()2229x y -+=的圆心为C ,过点()2,0M -且与x 轴不重合的直线l 交圆A 、B 两点,点A 在点M 与点B 之间。
高一数学下学期期中试题创班 试题

海安中学2021-2021学年高一数学下学期期中试题〔创新班〕一、填空题:本大题一一共14小题,每一小题5分,一共70分.请把答案填写上在答题卡...相应位置上...... 1. 集合{}2320A x x x =-+>,那么A =R▲ .2. 设i 是虚数单位,假设复数z 满足)1()1(i i z -=+,那么复数z 3. 函数y =的定义域为 ▲ .4. 假设()π1sin 123α+=,那么()7πcos 12α+的值是 ▲ .5. () 0 αβ∈π,,,且()1tan 2αβ-=,1tan 5β=-,那么tan α的值是 ▲ . 6. 双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程是y =3x ,它的一个焦点与抛物线y2=16x 的焦点一样,那么双曲线的方程为 ▲ .7. 由0,1,2,3,4,5这6个数字一共可以组成 ▲ 个没有重复数字的四位偶数. 8. 用数学归纳法证明:“11123+++…121n n +<-即2111n k n k -=<∑,其中2n ≥,且*n ∈N 〞时,第一步需验证的不等式为:“ ▲ .〞 9.函数()f x x b =-+有且只有一个零点,那么实数b 的取值范围是 ▲ .10.设x ,y ,z 均是不为0的实数,9x ,12y ,15z 成等比数列,且1x ,1y ,1z成等差数列,那么x z z x+的值是 ▲ .11.设,x y 满足约束条件0,0,210,x x y x y ⎧⎪-⎨⎪-+⎩≤≤≥那么目的函数z xy =的取值范围为 ▲ .12. 如图,在△ABC 中,边BC 的四等分点依次为D ,E ,F .假设AB →·AC →=2,AD →·AF →=5,那么AE 的长为13. 设函数)(x f 在R 上存在导数)('x f ,对任意的x ),0(+∞上()f x 'x >.假设a a f a f 22)()2(-≥--,那么实数a 的取值范围▲ .14.设,,a b c 是三个正实数,且()b a b c ac ++=,那么ba c+的最大值为 ▲ . 二.解答题:本大题一一共6小题,一共90分.请在答题卡指定区域内答题,解答时应写出文字说明,证明过程或者演算步骤. 15.〔本小题满分是14分〕如图,在正三棱柱111ABC A B C -中,D ,E 分别为BC ,11B C 的中点,点F 在棱1CC 上,且1EF C D ⊥.求证: 〔1〕直线1A E ∥平面1ADC ; 〔2〕直线EF ⊥平面1ADC .ABCDEA 1B 11C 1 F〔第15题〕(第12题) BE CDF16.〔此题满分是14分〕向量()1sin 2A =,m 与()3sin A A =+,n 一共线,其中A 是△ABC 的内角.〔1〕求角A 的大小;〔2〕假设BC =2,求△ABC 面积S 的最大值,并判断S 获得最大值时△ABC 的形状.17. 〔此题满分是14分〕椭圆C :22221x y a b +=〔0a b >>,椭圆C 与y 轴交于,A B 两点,且2AB =.〔1〕求椭圆C 的方程;〔2〕设点P 是椭圆C 上的一个动点,且点P 在y 轴的右侧,直线,PA PB 与直线4x =交于,M N 两点,假设以MN 为直径的圆与x 轴交于,E F ,求点P 横坐标的取值范围及EF 的最大值.18.(本小题满分是16分)如图,一个角形海湾AOB ,∠AOB =2θ〔常数θ为锐角〕.拟用长度为l 〔l 为常数〕的围网围成一个养殖区,有以下两种方案可供选择: 方案一 如图1,围成扇形养殖区OPQ ,其中⌒PQ =l ; 方案二 如图2,围成三角形养殖区OCD ,其中CD =l ;〔1〕求方案一中养殖区的面积S 1 ;〔2〕求证:方案二中养殖区的最大面积S 2=l 24tan θ;〔3〕为使养殖区的面积最大,应选择何种方案?并说明理由.19.〔本小题满分是16分〕函数32()f x ax bx cx b a =-++- (a > 0,b ,c ∈R ). 〔1〕设0c =.①假设a b =,()f x 在0x x =处的切线过点(1,0),求0x 的值; ②假设a b >,求()f x 在区间[0 1],上的最大值;〔2〕设()f x 在1x x =,2x x =两处获得极值,求证:11()f x x =,22()f x x =不同时成立.20.〔本小题满分是16分〕n S 是数列{}n a 的前n 项和,31=a ,且)(32*1N ∈-=+n a S n n .〔1〕求数列{}n a 的通项公式;〔2〕对于正整数)(,,k j i k j i <<,k i j a a a μλ,6,成等差数列,求正整数μλ,的值; 〔3〕设数列{}n b 前n 项和是n T ,且满足:对任意的正整数n ,都有等式3331123121--=+++++--n b a b a b a b a n n n n n 成立.求满足等式31=n n a T 的所有正整数n .参考答案1.【答案】[1,2]2.【答案】13.【答案】()1 12,4.【答案】13-5.【答案】3116.【答案】 x 24-y 212=17.【答案】116 8.【答案】111223++<9.【答案】{}(22,2--10.【答案】341511.【答案】1,18⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12. 13.【答案】(,1]-∞14..15. 证明:〔1〕连结ED ,因为D ,E 分别为BC ,11B C 的中点,所以1B E BD ∥且1B E BD =,所以四边形1B BDE 是平行四边形,…………………2分 所以1BB DE ∥且1BB DE =,又11BB AA ∥且11BB AA =, 所以1AA DE ∥且1AA DE =,所以四边形1AA ED 是平行四边形,…………………4分所以1A E AD ∥,又因为11A E ADC ⊄平面,1AD ADC ⊂平面,所以直线1A E ∥平面1ADC .…………………………………………………7分〔2〕在正三棱柱111ABC A B C -中,1BB ⊥平面ABC ,又AD ⊂平面ABC ,所以1AD BB ⊥,又ABC △是正三角形,且D 为BC 的中点,所以AD BC ⊥,……………9分 又1,BB BC ⊂平面11B BCC ,1BB BC B =,所以AD ⊥平面11B BCC ,又EF ⊂平面11B BCC ,所以AD EF ⊥,……………………………………11分 又1EF C D ⊥,1,C D AD ⊂平面1ADC ,1C DAD D =,所以直线EF ⊥平面1ADC .…………………………………………………14分16. 解:〔1〕因为m //n ,所以3sin (sin )02A A A ⋅+-=. ……………2分所以1cos 232022A A --=,12cos 212A A -=, ………3分即 ()πsin 216A -=. ……………………………………4分因为(0,π)A ∈ , 所以()ππ11π2666A -∈-,. ……………………5分 故ππ262A -=,π3A =. ………………………………………7分〔2〕由余弦定理,得 224b c bc =+-. …………………………………8分又1sin 2ABC S bc A ∆==, ………………………………9分 而222424b c bc bc bc bc +⇒+⇒≥≥≤,〔当且仅当b c =时等号成立〕 ……11分所以1sin 42ABC S bc A ∆===. ………………………12分 当△ABC 的面积取最大值时,b c =.又π3A =,故此时△ABC 为等边三角形. …14分17. 解:〔1〕由题意可得,1b =,c e a ==2分得22134a a -=, 解24a =, 椭圆C 的HY 方程为2214x y +=.…………………4分 〔2〕设000(,)(02)P x y x <≤,(0,1)A ,(0,1)B -,所以001PA y k x +=,直线PA 的方程为0011y y x x +=-,同理得直线PB 的方程为 0011y y x x -=+, 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+, 直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-, 线段MN 的中点04(4,)y x ,…………………………………………………………8分 所以圆的方程为22200044(4)()(1)y x y x x -+-=-,令0y =, 那么2220200164(4)(1)y x x x -+=-, 因为220014x y +=,所以 2020114y x -=-,所以28(4)50x x -+-=, 因为这个圆与x 轴相交,该方程有两个不同的实数解, 所以0850x ->,解得08(,2]5x ∈.………………………………………………12分设交点坐标12(,0),(,0)x x,那么12||x x -=〔0825x <≤〕, 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2.………………………………………14分18. 解:〔1〕设OP =r ,那么l =r ·2θ,即r =l2θ,所以 S 1=12lr =l 24θ,θ∈(0,π2). ……………………………4分(2)设OC =a ,OD =b .由余弦定理,得l 2=a 2+b 2-2ab cos2θ,所以l 2≥2ab -2ab cos2θ. (6)分所以ab ≤l 22(1-cos2θ),当且仅当a =b 时“=〞成立. 所以S △OCD=12ab sin2θ≤l 2sin2θ4(1-cos2θ)=l 24tan θ,即S 2=l 24tan θ. ………………8分(3)1S 2-1S 1=4l 2(tan θ-θ),θ∈(0,π2),. ………………………………10分令f (θ)=tan θ-θ,那么 f (θ)=(sin θcos θ)-1=sin 2θcos 2θ. ……………12分 当θ∈(0,π2)时,f (θ)>0,所以f (θ)在[0,π2)上单调增,所以,当θ∈(0,π2), 总有f (θ)>f (0)=0.所以1S 2-1S 1>0,得S 1>S 2.答:为使养殖区面积最大,应选择方案一.(没有答题扣一分) …………16分19. 解:〔1〕当0c =,0a >时,32()f x ax bx b a =-+-,[]0 1x ∈,, ①假设a b =,那么32()f x ax ax =-,从而2000()32f x ax ax '=-,故()f x 在0x x =处的切线方程为()3200y ax ax --= ()200032()ax ax x x --,将点(1,0)代入上式并整理得,()2001x x -=()000(1)32x x x --,解得00x =或者01x =; …… 5分②假设a b >,那么由()22()32303b f x ax bx ax x a '=-=-=得,0x =或者213b x a=<,假设0b ≤,那么()0f x '≥,所以()f x 为[]0 1x ∈,上的增函数,从而()f x 的最大值为(1)0f =; …… 7分 假设0b >,列表:所以()f x 的最大值为(1)0f =,综上,()f x 的最大值为0; …… 10分 〔2〕证明:假设存在实数a ,b ,c ,使得11()f x x =与22()f x x =同时成立, 不妨设12x x <,那么1()f x <2()f x ,因为1x x =,2x x =〔12x x <〕为()f x 的两个极值点, 所以212()323()()f x ax bx c a x x x x '=-+=--(a >0),因为[]12 x x x ∈,时,()0f x '≤,所以()f x 为区间[]12 x x ,上的减函数, 从而1()f x >2()f x ,这与1()f x <2()f x 矛盾,故假设不成立,即不存在实数a ,b ,c ,使得11()f x x =与22()f x x = 同时成立. …… 16分20.解:〔1〕由)(3-2*1N ∈=+n a S n n 得3-221++=n n a S ,两式作差得121-2+++=n n n a a a , 即)(3*12N ∈=++n a a n n . ………………………………………………………2分 31=a ,93212=+=S a ,所以)(3*1N ∈=+n a a n n ,0≠n a ,那么)(3*1N ∈=+n a a n n ,所以数列{}n a 是首项为3公比为3的等比数列,所以)(3*N ∈=n a n n ; …………………………………………4分 〔2〕由题意i k j a a a 62⋅=+μλ,即i k j 36233⋅⋅=+μλ,所以1233=+--i k i j μλ,其中12j i k i --≥,≥,所以333399j i k i λλμμ--≥≥,≥≥, ……………………6分 123312j i k i λμ--=+≥,所以1,21===-=-μλi k i j ,; …………………8分 〔3〕由3331123121--=+++++--n b a b a b a b a n n n n n 得3)1(33211213211-+-=+++++++-+n b a b a b a b a b a n n n n n n ,3)1(33)(3212112111-+-=++++++--+n b a b a b a b a b a n n n n n n ,3)1(33)333(32111-+-=--++++n n b a n n n ,所以)333(33)1(333121----+-=+++n n b n n n ,即3631+=+n b n , 所以)(12*1N ∈+=+n n b n , ……………………10分 又因为331331111=-⋅-=+b a ,得11=b ,所以)(12*N ∈-=n n b n , 从而)(2121)12(531*2N ∈=-+=-++++=n n n n n T n , )(3*2N ∈=n n a T n n n 当1=n 时3111=a T ;当2=n 时9422=a T ;当3=n 时3133=a T ;……………………………12分下面证明:对任意正整数3>n 都有31<n n a T , )122(31)3)1((313131)1(2122121211++-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+++++n n n n n n a T a T n n n n n n n n …14分当3n ≥时,0)2()1(12222<-+-=++-n n n n n ,即011<-++nn n n a T a T , 所以当3n ≥时,n n a T 递减,所以对任意正整数3>n 都有3133=<a T a T n n ; …………15分 综上可得,满足等式31=n n a T 的正整数n 的值是1和3. ………………………………16分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
【全国百强校】江苏省海安高级中学【最新】高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.已知全集U =R ,{|1}A x x =>,2{|1}B x x =>,那么()UA B 等于( )A .{|11}x x -<≤B .{|11}x x -<<C .{|1}x x <-D .{|1}x x ≤-2.直线30()x m m R ++=∈的倾斜角为( ) A .30B .60︒C .120︒D .150︒3.已知非零向量m ,n 的夹角为3π,且(2)n m n ⊥-+,则||||m n =( ) A .2B .1C .12D .134.已知函数f (x )={log 2x,x >0x 2,x ≤0 ,若f(4)=2f(a),则实数a 的值为()A .-1或2B .2C .-1D .-25.已知ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,a b ==,60A =,则B =( )A .45B .60C .120D .1356.如图,为测量A,C 两点间的距离,选取同一平面上的B,D 两点,测出四边形ABCD 各边的长度(单位:km)分别为AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,若A ,B ,C ,D 四点共圆,则AC 的长为()A .5 kmB .6 kmC .7 kmD .8 km7.关于直线,,a b l 以及平面,αβ,下面命题中正确的是( ) A .若//,//a b αα,则//a b B .若//,a b a α⊥,则b α⊥ C .若,//a a αβ⊥,则αβ⊥D .若,a b αα⊂⊂,且,l a l b ⊥⊥,则l α⊥ 8.已知函数f(x)=Asin(x ωϕ+ )(A>0,ω>0,22ππϕ-<<)的部分图象如图所示.若横坐标分别为-1、1、5的三点M,N,P 都在函数f(x)的图象上,则sin ∠MNP 的值为( )A .35B .35C .45-D .459.如图,在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,P 为11A D 的中点,Q 为11A B 上任意一点,E 、F 为CD 上两点,且EF 的长为定值,则下面四个值中不是定值的是( )A .点P 到平面QEF 的距离B .直线PQ 与平面PEF 所成的角C .三棱锥P QEF -的体积D .△QEF 的面积10.如图所示,已知PA ⊥面ABC ,AD BC ⊥于D ,1BC CD AD ===,令PD x =,BPC θ∠=,则( )A .2tan 2xx θ=+ B .2tan 1x x θ=+ C .21tan 2x θ=+D .21tan 1x θ=+二、填空题11.若tan(2)2αβ+=,tan 3β=-,则tan()αβ+=__________.12.正方形铁片的边长为8cm ,以它的一个顶点为圆心,一边长为半径画弧剪下一个顶角为4π的扇形,用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器,则这个圆锥形容器的容积为________cm 3.13.已知ΔABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,且5tanB =6ac a 2+c 2−b 2,则sinB 的值是___.14.已知()()74,1,1xa x a x f x a x ⎧--<=⎨≥⎩是-∞+∞(,)上的增函数,那么a 的取值范围是______.15.已知坐标原点为O ,过点()P 2,6作直线()2mx 4m n y 2n 0(m,-++=n 不同时为零)的垂线,垂足为M ,则OM 的取值范围是______.16.在等腰三角形ABC 中,AB AC =,D 在线段AC 上,AD kAC =(k 为常数,且01k <<),(BD l l =为定长),则ABC ∆的面积最大值为_______.三、解答题17.三角形ABC 中,角A 、B 、C 所对边分别为a ,b ,c ,且a 2+c 2=b 2+ac . (1)若cosA =13,求sinC 的值;(2)若b =√7,a =3c ,求三角形ABC 的面积.18.如图所示,在三棱柱111ABC A B C -中, 11AA B B 为正方形,11BB C C 是菱形,平面11AA B B ⊥平面11BB C C .(1)求证://BC 平面11AB C ; (2)求证:1B C ⊥ 1AC ;(3)设点E,F,H,G 分别是111111,,,B C AA A B B C 的中点,试判断,,,E F H G 四点是否共面,并说明理由.19.已知直线12:210:280,l x y l ax y a ,++=+++=且12l l //.(1)求直线12,l l 之间的距离;(2)已知圆C 与直线2l 相切于点A ,且点A 的横坐标为2-,若圆心C 在直线1l 上,求圆C 的标准方程.20.已知函数f(x)=4x +a ⋅2x ,x ∈[−1,2] (1)若f(x)≤0恒成立,求a 的取值范围; (2)若f(x)的最小值为−1,求a 的值.21.如图,两座建筑物,AB CD 的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是9cm 和15cm ,从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角45CAD ∠=︒.(1)求BC 的长度;(2)在线段BC 上取一点(P 点P 与点,B C 不重合),从点P 看这两座建筑物的视角分别为,,APB DPC αβ∠=∠=问点P 在何处时,αβ+最小?22.在平面直角坐标系xOy 中,过点()P 0,1且互相垂直的两条直线分别与圆22O :x y 4+=交于点A ,B ,与圆()()22M :x 2y 11-+-=交于点C ,D .(1)若AB =372,求CD 的长; (2)若直线AB 斜率为2,求ABM ∆的面积; (3)若CD 的中点为E ,求ABE ∆面积的取值范围.参考答案1.C 【解析】 【分析】可求出集合B ,然后进行补集、交集的运算即可. 【详解】由题得{|1B x x =<-或1}x >, {|1}UA x x =,(){|1}U A B x x ∴=<-.故选:C 【点睛】本题主要考查集合的补集和交集运算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2.C 【分析】先根据直线方程得斜率,再求倾斜角. 【详解】因为直线30x m ++=,所以直线斜率为=120︒,选C. 【点睛】本题考查直线斜率以及倾斜角,考查基本分析求解能力,属基本题. 3.B 【详解】∵()2n m n ⊥-+,∴()20nm n -+=即220n m n -=,又非零向量,m n 的夹角为3π ∴20n m n -=,∴1m n=故选B4.A 【解析】 【分析】利用分段函数对a 讨论,列出方程求解即可. 【详解】函数f (x )={log 2x ,x >0x 2,x ≤0,则f (4)=2,当a >0时,f (4)=2f (a )=2,解得a =2. 当a ≤0时,f (4)=2f (a ),2a 2=2,解得a =﹣1, 综上a =﹣1或2. 故选:A . 【点睛】本题考查分段函数的应用,函数值的求法,考查计算能力. 5.A 【分析】直接利用正弦定理求解即可. 【详解】3a b =>= ,B A B ∴<为锐角,由正弦定理可得,sin sin 2b AB a===,所以45B =,故选A. 【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用,属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具,其常见用法有以下几种:(1)知道两边和一边的对角,求另一边的对角(一定要注意讨论钝角与锐角);(2)知道两角与一个角的对边,求另一个角的对边;(3)证明化简过程中边角互化;(4)求三角形外接圆半径. 6.C【分析】利用余弦定理,结合∠B+∠D=π,即可求出AC的长.【详解】∵A、B、C、D四点共圆,圆内接四边形的对角和为π.∴∠B+∠D=π,∴由余弦定理可得AC2=52+32﹣2•5•3•cos D=34﹣30cos D,AC2=52+82﹣2•5•8•cos B=89﹣80cos B,∵∠B+∠D=π,即cos B=﹣cos D,∴22 34893080AC AC---=,∴可解得AC=7.故选C【点睛】本题考查余弦定理,考查三角函数知识,正确运用余弦定理是关键,属于基本知识的考查.7.C【分析】利用正方体模型,举出A、B、D三项的反例,得出A、B、D三项均为假命题,通过排除法可得C选项为正确答案.【详解】以正方体为例对于A选项,设下底面ABCD为平面α,在上底面A1D1所在直线为a,B1D1所在直线为b,直线a、b都平行于平面α,但直线a、b不平行,故A项不对(如图1)对于B选项,设下底面ABCD为平面α,上底面A1C1所在直线为a,B1D1所在直线为b,直线a是平面α的平行线,直线b与a垂直,但直线b与平面α不垂直,故B选项不对(如对于D 选项,设下底面ABCD 为平面α,直线AB 、CD 所在直线分别为a 、b ,AD 1所在直线为l .可见直线a 、b 是平面α内的平行线,虽然直线a 、b 都与直线l 垂直,但直线l 与平面α不垂直,故D 选项不对(如图3) 由A 、B 、D 都不对,得应该选择C 选项.故选C 【点睛】判断空间直线与平面的位置关系时,常常借助于空间几何体如长方体、正方体、三棱锥等,结合立体几何的定理或推论解决问题. 8.D 【解析】 【分析】根据图象,可得函数的最小正周期T =8,结合周期公式得ω4π=.再根据f (1)=1是函数的最大值,列式可解出φ的值,得到函数f (x )的解析式进而得出M 、N 、P 三点的坐标,结合两点的距离公式得到MN 、PN 、PM 的长,用余弦定理算出cos ∠MNP 的值,最后用同角三角函数平方关系,可得sin ∠MNP 的值. 【详解】由图可知,最小正周期T =(3﹣1)×4=8,所以ω24T ππ==. 又∵当x =1时,f (x )有最大值为1,∴f (1)=sin (4π+φ)=1,得4π+φ2π=+2k π,k ∈Z ∵2π-<φ2π<,∴取k =0,得φ4π=.所以函数的解析式为f (x )=sin (4πx 4π+).∵f (﹣1)=0,f (1)=1且f (5)=sin (4π⨯54π+)=﹣1.∴三点坐标分别为M (﹣1,0),N (1,1),P (5,﹣1),由两点的距离公式,得|MN |=|PN |=|MP |=∴根据余弦定理,得cos ∠MNP 35==-.∵∠MNP ∈(0,π)∴sin ∠MNP 是正数,得sin ∠MNP 45== 故选D 【点睛】本题函数y =A sin (ωx +φ)的图象和解析式,着重考查了三角函数的图象与性质、余弦定理和同角三角函数的基本关系等知识,属于中档题. 9.B 【详解】试题分析:将平面QEF 延展到平面11CDA B 如下图所示,由图可知,P 到平面11CDA B 的距离为定值.由于四边形11CDA B 为矩形,故三角形QEF 的面积为定值,进而三棱锥P QEF -的体积为定值.故A ,C ,D 选项为真命题,B 为假命题.考点:空间点线面位置关系.10.A【分析】由PA⊥平面ABC,AD⊥BC于D,BC=CD=AD=1,利用x表示PA,PB,PC,由余弦定理得到关于x的解析式,进一步利用x表示tanθ.【详解】因为PA⊥平面ABC,AD⊥BC于D,BC=CD=AD=1,设PD=x,所以AC AB PA===,PC BP==在△PBC中,根据余弦定理可得2222cos2PB PC BCBP PCθ+-==⨯所以()()()()222222222141tan11cos22x x xx xθθ++=-=-=++所以2tan2xxθ=+所以选A【点睛】本题考查直线与平面垂直的性质,余弦定理的应用,基本不等式的应用,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于中档题.11.-1【分析】根据()2αβαββ+=+-,利用两角差的正切公式计算即可得结果.【详解】()()tan tan 2αβαββ⎡⎤+=+-⎣⎦ ()()231123--==-+⨯-.【点睛】该题考查的是有关角的正切值的求解,涉及到的知识点有两角差的正切公式,属于简单题目. 12【解析】 由题意知,弧长为4π×8=2π, 即围成圆锥形容器底面周长为2π, 所以圆锥底面半径为r=1, 可得圆锥高, 所以容积V=13πr 2×h=13πcm 3;13.35【解析】试题分析:因,故由5tanB =6aca 2+c 2−b 2可得,即.故应填答案35.考点:余弦定理及同角关系得的运用.14.776⎡⎫⎪⎢⎣⎭,【解析】 【分析】根据题意,由分段函数的单调性分析可得()70174a a a a a ⎧-⎪⎨⎪--≤⎩>>,解可得a 的取值范围,即可得答案. 【详解】根据题意,f (x )()7411x a x a x a x ⎧--=⎨≥⎩,<,是(﹣∞,+∞)上的增函数, 必有()70174a a a a a⎧-⎪⎨⎪--≤⎩>>,解可得76≤a <7,即a 的取值范围为:776⎡⎫⎪⎢⎣⎭, 故答案为776⎡⎫⎪⎢⎣⎭,【点睛】本题考查了分段函数的图象与性质,注意三点:第一段单调性,第二段单调性,断点处的函数值的比较,属于中档题. 15.5⎡⎣【分析】根据题意,将直线变形为()()2420m x y n y ---=,分析可得该直线恒过点()4,2,设()4,2Q ,进而分析可得点M 的轨迹是以PQ 为直径的圆,其方程为()()22345x y -+-=,据此分析可得答案. 【详解】根据题意,直线()2420mx m n y n -++=,即()()2420m x y n y ---=,则有2402x y y -=⎧⎨=⎩,解可得42x y =⎧⎨=⎩,则直线l 恒过点()4,2.设()4,2Q ,又由MP 与直线垂直,且M 为垂足,则点M 的轨迹是以PQ 为直径的圆,其方程为()()22345x y -+-=,所以55OM ≤≤;即OM的取值范围是5⎡⎣;故答案为5⎡⎣.【点睛】此类问题为“隐形圆问题”,常规的处理办法是找出动点所在的轨迹(通常为圆),常见的“隐形圆”有:(1)如果,A B 为定点,且动点M 满足()1MA MB λλ=≠,则动点M 的轨迹为圆; (2)如果ABC ∆中,BC 为定长,A 为定值,则动点A 的轨迹为一段圆弧.特别地,当2A π=,则A 的轨迹为圆(除去,B C );(3)如果,A B 为定点,且动点M 满足22MA MB λ+=(λ为正常数),则动点M 的轨迹为圆;16.222(1)l k -【解析】 【分析】如图所示,以B 为原点,BD 为x 轴建立平面直角坐标系,设A (x ,y ),y >0,根据题意得到AD =kAB ,两边平方得到关系式,利用勾股定理化简后表示出y 2,变形后利用二次函数的性质求出y 的最大值,进而确定出三角形ABD 面积的最大值,根据AD =kAC 即可得出三角形ABC 面积的最大值. 【详解】如图所示,以B 为原点,BD 为x 轴建立平面直角坐标系,设A (x ,y ),y >0, ∵AB =AC ,∴AD =kAC =kAB ,即AD 2=k 2AB 2, ∴(x ﹣l )2+y 2=k 2(x 2+y 2),整理得:y2()()2222222222222221()121111(1)l k l k x k x lx l k lk k kk k ---+--+---==≤---, ∴y max 21klk =-, ∵BD =l ,∴(S △ABD )max ()2221kl k =-,则(S △ABC )max 1k=(S △ABD )max ()2221l k =-.故答案为()2221l k -【点睛】此题考查了二次函数的性质,坐标与图形性质,弄清题意是解本题的关键.17.(1)√3+2√26; (2)3√34.【解析】 【分析】(1)根据a 2+c 2=b 2+ac .由余弦定理求出cos B ,cos A =13,再求解sin A ,sin B ,根据sin C =sin (B +A )打开即可求解.(2)由a 2+c 2=b 2+ac .b =√7,a =3c ,根据余弦定理求解a ,c 的值,即可求出三角形ABC 的面积. 【详解】(1)由余弦定理,cosB =a 2+c 2−b 22ac=ac 2ac =12.又B 为三角形内角,则B =π3 .因为cosA =13,且A 为三角形内角,则sinA =2√23, 故sinC =sin(B +A)=sin(π3+A)= √32cosA +12sinA =√3+2√26.(2)由a =3c ,由余弦定理知:b 2= a 2+c 2-2accosB ,则7=9c 2+c 2-3c 2,解得c =1,则a =3.面积S =12acsinB =3√34.【点睛】本题考查了余弦定理的运用和三角形ABC 的面积的计算.属于基础题. 18.(1)见解析; (2)见解析; (3)见解析. 【分析】(1)根据线面平行的判定定理即可证明BC ∥平面AB 1C 1;(2)先证明AB ⊥平面BB 1C 1C ,得AB ⊥B 1C ,再证明B 1C ⊥平面ABC 1,得出B 1C ⊥AC 1;(3)先证明平面EHG ∥平面11AAC C ,由 F ∈平面11AAC C ,得 F ∉平面EHG ,即,,,E F H G 四点不共面.(1)在菱形11BB C C 中,BC ∥11B C . 因为 BC ⊄平面11AB C ,11B C ⊂平面11AB C ,所以 //BC 平面11AB C .(2)在正方形11ABB A 中,1AB BB ⊥. 因为 平面11AA B B ⊥平面11BB C C , 平面11AA B B平面111BB C C BB =,AB平面11ABB A ,所以 AB ⊥平面11BB C C . 故 1AB B C ⊥在菱形11BB C C 中, 111,,B C BC AB BC B ⊥⋂= 故1B C ⊥ 面1ABC , 1AC ⊂面1ABC ,故1B C ⊥ 1AC ;(3)四点不共面. 理由如下: 因为E,G 分别是111,B C B C 的中点, 所以 GE ∥1CC . 同理可证:GH ∥11C A . 因为 GE平面11BB C C ,GH ⊂平面EHG ,GEGHG ,1CC ⊂平面11AAC C ,11A C ⊂平面11AAC C ,所以 平面EHG ∥平面11AAC C . 因为 F ∈平面11AAC C ,所以 F ∉平面EHG ,即,,,E F H G 四点不共面. 【点睛】本题考查了空间中的平行与垂直的判断与直线的应用问题,也考查了判断空间中的四点是否共面问题,是综合性题目.19.(12)22x (y 1)5++=.【解析】()1先由两直线平行解得a 4=,再由平行直线间的距离公式可求得;()2代x 2=-得()A 2,2--,可得AC 的方程,与1l 联立得()C 0,1-,再求得圆的半径,从而可得圆的标准方程. 【详解】 解:()121l //l ,a 28a211+∴=≠,解得a 4=,1l ∴:2x y 10++=,2l :2x y 60++=,故直线1l 与2l的距离d ===. ()2当x 2=-代入2x y 60++=,得y 2=-,所以切点A 的坐标为()2,2--, 从而直线AC 的方程为()1y 2x 22+=+,得x 2y 20--=, 联立2x y 10++=得()C 0,1-. 由()1知C所以所求圆的标准方程为:22x (y 1)5++=. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,考查了两条平行线的距离公式,属中档题. 20.(1)(−∞,−4](2)-2 【解析】 【分析】(1)通过f(x)≤0恒成立,得到4x +a ⋅2x ≤0,x ∈[−1,2],利用分离a 转化求解即可. (2)令t =2x ,则t ∈[12,4],g(t)=t 2+at 开口向上,对称轴为直线t =−a2,通过a 的范围转化求解函数的最值推出结果. 【详解】(1)因为f(x)≤0恒成立,所以4x +a ⋅2x ≤0,x ∈[−1,2], 化得a ≤−2x ,所以(−2x )min =−22≤−4,所以a ≤−4,即a 的取值范围为(−∞,−4].(2)令t =2x ,则t ∈[12,4],g(t)=t 2+at 开口向上,对称轴为直线t =−a2, ①当−a2<12,即a >−1时,f(x)min =g(12)=14+a2=−1,则a =−52,不满足条件; ②当12≤−a2≤4,即−8≤a ≤−1时,f(x)min =g(−a2)=a 24−a 22=−1,则a =−2;③当−a 2>4,即a <−8时,f(x)min =g(4)=16+4a =−1,则a =−174,不满足条件. 综上所述,a 的值为−2. 【点睛】本题考查二次函数的最值,不等式恒成立问题,易错点是讨论对称轴与区间的关系分类不全. 21.(1)18 (2)当BP为27)m 时,αβ+取得最小值 【解析】试题分析:(1)作AE ⊥CD ,垂足为E ,在已知三角形ACD 中将所求的BC 边与已知的AB ,CD 用三角形内角45的三角函数值联系起来,得到所求边的方程,从而求解边长值;(2)求角的大小一般转化为先求角的三角函数值的大小,借助于得到的BC 边长将两角的正切值用已知三边表示即得到了角与边长的三角函数关系,从而转化为求函数值域问题,当函数式较复杂时可考虑函数导数工具求值域试题解析:(1)作AE ⊥CD ,垂足为E ,则9CE =,6DE =,设BC x =, 则tan tan tan tan()1tan tan CAE DAECAD CAE DAE CAE DAE∠∠∠=∠∠=-∠⨯∠++961961x x x x==-⋅+,化简得215540x x --=,解之得,18x =或3x =-(舍) 答:BC 的长度为18m .(2)设BP t =,则18(018)CP t t =-<<,2291516266(27)18tan()9151813518135118t t t t t t t t t tαβ-===-----⋅-++++++.设227()18135tf t t t =--++,222542723()(18135)t t f t t t -⨯'=-++,令()0f t '=,因为018t <<,得27t =,当27)t ∈时,()0f t '<,()f t是减函数;当27,18)t ∈时,()0f t '>,()f t 是增函数,所以,当27t =时,()f t 取得最小值,即tan()αβ+取得最小值,12分 因为2181350t t --<+恒成立,所以()0f t <,所以tan()0αβ<+,(,)2αβπ∈π+, 因为tan y x =在(,)2ππ上是增函数,所以当27t =时,αβ+取得最小值. 答:当BP为27)m 时,αβ+取得最小值. 考点:1.三角函数基本公式;2.函数导数求值域 22.(1)(2)(3) ,42⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. 【分析】(1)分析直线斜率是否存在,当斜率存在时,利用圆中半弦长,半径,弦心距构成直角三角形求解即可(2)直线AB 斜率为2,则直线AB 方程为210x y -+=,求出弦长,点M 到直线的距离,利用三角形面积公式求解即可(3)表示出△ABE 的面积S =12AB·d =2214t k =+>,换元后根据二次函数求最值即可.【详解】(1) 由题可知,直线AB 斜率显然存在,设为k ,则直线AB :y =kx +1. 因为O 点到直线AB 的距离d 1,∴22AB ⎛⎫⎪⎝⎭+2⎛⎫=4,∴AB =由k 2=15. 因为直线AB 与直线CD 互相垂直,则直线CD :y =1k-x +1,∴M 点到直线CD 的距离d 2211-+-,∴22CD ⎛⎫ ⎪⎝⎭=1-2211⎛⎫⎪-+-,CD =. (2) 直线AB 斜率为2,则直线AB 方程为210x y -+=O ∴到直线AB距离为5M 到直线AB距离为5d =AB ∴==1·2ABM S AB d ∆∴== (3)当直线AB 的斜率不存在时,△ABE 的面积S =12×4×2=4; 当直线AB 的斜率存在时,设为k ,则直线AB :y =kx +1,k≠0,直线CD :y =-1kx +1.<1得k 2>3, 所以k ∈(-∞∪∞).因为22AB ⎛⎫ ⎪⎝⎭+2⎛⎫=4,所以AB =因为E 点到直线AB 的距离即M 点到直线AB 的距离d,所以△ABE 的面积S =12AB·d =令214t k=+>,则S==41104t t >∴<<S ∴∈4⎫⎪⎪⎝⎭.综上,△ABE面积的取值范围是4⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,考查了圆中弦心距、半径、半弦长构成的直角三角形,换元法,二次函数求最值,属于难题.。