高三数学圆的方程
圆系方程 高三数学复习圆系方程及教案 高三数学复习圆系方程及教案
圆系方程在平面解析几何直线与圆的教学中，向学生介绍圆系方程可为解题提供便利。
这里主研究常用的一类圆系方程。
定理1 过直线L:y=kx+b及圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的两个交点的圆系方程为：x2+y2+Dx+Ey+F+λ(kx-y+b)=0 ①（其中λ为待定常数）。
首先证明方程①表示圆。
由于直线l与圆C交，故方程组：；有两组不同的实数解，消去y整理得：(k2+1)x2+(D+kE+2kb)x+b2+bE+F=0 ；Δ＝(D+kE+2kb)2-4(k2+1)(b2+bE+F)＞0 ；整理得： D2+k2E2+2kDE+4kbD-4k2F＞4(b2+bE+F) ②将方程①变形为：x2+y2+(D+kλ)x+(E-λ)y+λb+F=0.要证此方程表示圆，即证：(D+kλ)2+(E-λ)2-4(λb+F)＞0,即：(k2+1)λ2+(2kD-2E-4b)λ+D2+E2-4F＞0.将它看作是关于λ的一元二次不等式，要证其成立，只需证明：Δ＝(2kD-2E-4b)2-4(k2+1)(D2+E2-4F)＜0 ③而此式等价变形为： D2+k2E2+2kDE+4kbD-4k2F＞4(b2+bE+F).它与②完全一致，由于原方程组有两组不同的实数解，所以②式成立，故③式恒成立，方程①表示圆。
其次，证明圆①一定经过直线L与圆C的两个交点。
设两交点分别为A(x1,y1) ，B(x2,y2)，∵点A既在直线L上又在圆C上，∴kx1-y1+b=0, x12+y12+Dx1+Ey1+F=0,∴x12+y12+Dx1+Ey1+F+λ(kx1-y1+b)=0,即点A在圆①上，同理点B亦在此圆上。
故圆①经过A、B两点。
综上，定理1得证。
定理2 经过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0,的交点的圆系方程为：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(包括圆C1，不包括圆C2，其中λ为常数且λ≠-1）特别地，当λ＝-1时，即（D1-D2）x+(E1-E2)y+F1-F2=0表示两圆公共弦所在直线方程。
高三数学圆的切线方程课件(新编2019教材)
四载于兹 少仕州郡 朝廷疑之 十岁而孤 尝诣虞家 士业闻蒙逊南伐秃发傉檀 后复为西阳太守 端本正源者 重华厚宠之 齐王冏既辅政 三贤进而小白兴 年六十一 六府孔修 高会曲宴 且吾不执笔已四十年矣 [标签:标题] 其夕 积二十馀年孜乃更娶妻 其后来转数 非贤达之心 帝以恭等为 当时秀望 宁康初 又监兖青二州诸军事 南开朱门 谯王宗室之望 恢惧玄之来 顷之 无并兼之国 其名为洲 惠钱五千 杀之 凭之与裕各领一队而战 多不同 遐母妻子参佐将士悉还建康 创甲乙之科 秋叹其忠节 恭五男及弟爽 曹真出督关右 死犹生也 望亦被召 辍哭止哀 彼必自系于周室 自 取夷灭 散资财 不以世利婴心 恒就夷谘访焉 玄从兄修告会稽王道子曰 当其同时 父老曰 佺期无状 光启霸图 以逸监交广州 雄曰 苻坚先为天锡起宅 禀之图籍 文武将佐咸当弘尽忠规 前杀庾珉辈 表略韵于纨素 而桑濮代作 人神涂炭 永嘉中 皆如周言 当为尊公作佳传 又数同东讨 及中 诏用雅 心害鼎功 因葬于狄道之东川 以为参军 浩令逌击之 帝甚亲昵之 延事亲色养 以侃侃为先 庾阐 时或欲留含领荆州 而疾笃 前有劲虞 臣亡兄温昔伐咸阳 美垂干祀 加邮亭险阂 屡登崇显 二州刺史 典校秘书省 殷仲堪等 钻之愈妙 秋三月居之 不克 吴郡吴人也 好谋而成者 夫命世 之人正情遇物 人笑其三字 注《庄子》 硕发兵距机 东序西胶 大而言之 今数万之军已临近境 子不闻乎终军之颖 亦宜说之 枋头之役 将军何辱 清尚自修 战而不捷 惟陛下图之 辞疾 推锋以临淮浦 悝复为乂所执 在三者臣子 未若诸庾翼翼 诏曰 若委以连率之重 顷虽见羁录 加侍中 人 多爱悦 夫飞鸮 南郡刘尚公同志友善 累迁散骑常侍 孝惠以立 窃以人君居庙堂之上 犹思猛士以守四方 贱有常辱 乃谓其妻曰 芝率馀众犯门斩关 悠悠三千 汝若
第8章第3讲 圆的方程
第3讲 圆的方程[考纲解读]1.掌握确定圆的几何要素，圆的标准方程与一般方程，能根据不同的条件，采取标准式或一般式求圆的方程．(重点)2．掌握点与圆的位置关系，能求解与圆有关的轨迹方程．(难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考中的热点．预测2021年将会考查：①求圆的方程；②根据圆的方程求最值；③与圆有关的轨迹问题．试题以客观题的形式呈现，难度不会太大，以中档题型呈现.1.圆的定义及方程 定义 平面内与□01定点的距离等于□02定长的点的集合(轨迹)标准方程□03(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0) 圆心：□04(a ，b )，半径：□05r 一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)圆心：□06⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径：□0712D 2＋E 2－4F 平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2之间存在着下列关系： 设d 为点M (x 0，y 0)与圆心(a ，b )的距离(1)d >r ⇔M 在圆外，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔M 在□01圆外； (2)d ＝r ⇔M 在圆上，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔M 在□02圆上； (3)d <r ⇔M 在圆内，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔M 在□03圆内．1．概念辨析(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a ，半径为12－3a 2－4a ＋4的圆．( )(3)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( )(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.()答案(1)√(2)×(3)√(4)√2．小题热身(1)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案 D解析由已知，得所求圆的圆心坐标为(1,1)，半径r＝12＋12＝2，所以此圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝2.(2)若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是()A．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B．(－∞，－22)∪(22，＋∞)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－23)∪(23，＋∞)答案 B解析若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m应满足m2＋(－2)2－4×3>0，解得m<－22或m>2 2.(3)若原点在圆(x－2m)2＋(y－m)2＝5的内部，则实数m的取值范围是________．答案(－1,1)解析因为原点在圆(x－2m)2＋(y－m)2＝5的内部，所以(0－2m)2＋(0－m)2<5.解得－1<m<1.(4)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为________．答案x2＋(y－2)2＝1解析由题意，可设所求圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为此圆过点(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2.故所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.题型一 求圆的方程1．经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的标准方程为________．答案 (x －4)2＋(y ＋3)2＝25解析 解法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2，(1－a )2＋(1－b )2＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3，r ＝5.所以圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.解法二：(直接法)由题意，知OP 是圆的弦，其垂直平分线为x ＋y －1＝0.因为弦的垂直平分线过圆心，所以由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3，即圆心坐标为(4，－3)，半径为r ＝42＋(－3)2＝5，所以圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.2．一圆经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6，求此圆的方程．解 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P ，Q 两点的坐标分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20， ①3D －E ＋F ＝－10. ②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根，由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，④由①②④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．见举例说明1解法二．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值．见举例说明1解法一．②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．见举例说明2.1．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4 答案 D解析 设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎨⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D.2．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．答案 x 2＋y 2－2x ＝0解析 解法一：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，又因为圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，22＋02＋2D ＋0E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝0， 所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.解法二：记O (0,0)，A (1,1)，B (2,0)，线段OB 的垂直平分线方程为x ＝1，线段OA 的垂直平分线方程为y －12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即x ＋y －1＝0.解方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －1＝0，得圆心坐标为(1,0)．所以半径r ＝1，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1.解法三：在平面直角坐标系中，画出圆上的三点，另证这三个点构成直角三角形，显然圆心坐标为(1,0)，半径为1，所以圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1.题型二 与圆有关的最值问题角度1 建立函数关系求最值1．(2019·厦门模拟)设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2,0)，B (－2,0)，则P A →·PB→的最大值为________．答案 12解析 ∵P A →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，P (x ，y )在圆上，∴P A →·PB→＝x 2－4＋y 2＝6y －8－4＝6y －12，∵2≤y ≤4，∴P A →·PB →≤12.角度2 借助几何性质求最值2．(2019·湖南师大附中模拟)已知点A (－2,0)，B (0,1)，若点C 是圆x 2－2ax ＋y 2＋a 2－1＝0上的动点，△ABC 面积的最小值为3－2，则a 的值为________．答案 1或－5解析 由题意，知圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝1，则圆心为(a,0)，半径r ＝1，又A (－2,0)，B (0,2)可得直线AB 的方程为x －2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0.所以圆心到直线AB 的距离d ＝|a ＋2|2，则圆上的点到直线AB 的最短距离为d －r ＝|a ＋2|2－1，又|AB |＝4＋4＝22，所以△ABC 面积的最小值为12|AB |·(d －r )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋2|2－1＝3－2，解得a ＝1或－5.求解与圆有关的最值问题的两大规律(1)建立函数关系式求最值．如举例说明1.根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式；然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．(2)借助几何性质求最值．如举例说明2.1．圆：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．2 C ．1＋22 D ．2＋2 2答案 A解析 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝2＋1，故选A.2．(2019·兰州模拟)若直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)把圆(x＋4)2＋(y＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则12a＋2b的最小值为()A．10 B．8C．5 D．4答案 B解析由已知，得圆心C(－4，－1)在直线ax＋by＋1＝0上，所以－4a－b＋1＝0，即4a＋b＝1，又因为a>0，b>0，所以12a ＋2b＝⎝⎛⎭⎪⎫12a＋2b(4a＋b)＝b2a＋8ab＋4≥2b2a·8ab＋4＝8，当且仅当b2a＝8ab时，等号成立，此时b＝4a，结合4a＋b＝1，知a＝18，b＝12.所以当a＝18，b＝12时，12a＋2b取得最小值8.题型三与圆有关的轨迹问题1．已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求直角顶点C的轨迹方程．解解法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以k AC·k BC＝－1，又k AC＝yx＋1，k BC＝yx－3，所以yx＋1·yx－3＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．解法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．2．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解 如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分，所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆x 2＋y 2＝4上，所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆⎝ ⎛⎭⎪⎫因为O ，M ，P 三点不共线，所以应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.1．掌握“三方法”2．明确“五步骤”(2019·潍坊调研)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.组 基础关1．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与圆的位置关系是( )A ．原点在圆上B ．原点在圆外C ．原点在圆内D ．不确定答案 B解析 将圆的一般方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0，即(0＋a )2＋(0＋1)2>2a ，所以原点在圆外．2．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝5 B ．(x －2)2＋y 2＝5 C ．x 2＋(y ＋2)2＝5 D ．(x －1)2＋y 2＝5答案 B解析 因为所求圆的圆心与圆(x ＋2)2＋y 2＝5的圆心(－2，0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为5，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝5.故选B.3．若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件为a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，∴仅当a ＝0时，方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，故选B.4．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43 B ．－34 C. 3 D ．2答案 A解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －4)2＝4，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.故选A.5．(2019·合肥二模)已知圆C ：(x －6)2＋(y －8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( )A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25 答案 C解析 由圆C 的圆心坐标C (6,8)，得OC 的中点坐标为E (3，4)，半径|OE |＝32＋42＝5，则以OC 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.6．(2020·黄冈市高三元月调研)已知圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于直线y ＝x 对称，则k 的值为( )A ．－1B ．1C ．±1D ．0答案 A解析 化圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0为(x ＋k 2)2＋(y ＋1)2＝k 4－4k ＋1.则圆心坐标为(－k 2，－1)，∵圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于直线y ＝x 对称，∴－k 2＝－1，得k ＝±1.当k ＝1时，k 4－4k ＋1<0，不符合题意，∴k ＝－1.故选A.7．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1答案 A解析 设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.故选A.8．(2019·太原二模)若圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋F ＝0的半径为1，则F ＝________. 答案 1解析 由圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋F ＝0得(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－F ，由半径r ＝2－F ＝1，解得F ＝1.9．已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为________．答案 (0，－1)解析 圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1.所以当k ＝0时圆C 的面积最大，此时圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．10．已知实数x ，y 满足(x ＋2)2＋(y －3)2＝1，则|3x ＋4y －26|的最小值为________．答案 15解析 解法一：|3x ＋4y －26|最小值的几何意义是圆心到直线3x ＋4y －26＝0的距离减去半径后的5倍，|3x ＋4y －26|min ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|3a ＋4b －26|32＋42－r ，(a ，b )是圆心坐标，r 是圆的半径．圆的圆心坐标为(－2,3)，半径是1，所以圆心到直线的距离为|3×(－2)＋4×3－26|5＝4，所以|3x ＋4y －26|的最小值为5×(4－1)＝15.解法二：令x ＋2＝cos θ，y －3＝sin θ，则x ＝cos θ－2，y ＝sin θ＋3，|3x ＋4y －26|＝|3cos θ－6＋4sin θ＋12－26|＝|5sin(θ＋φ)－20|，其中tan φ＝34，所以其最小值为|5－20|＝15.组 能力关1．方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( ) A ．一个椭圆 B ．一个圆 C ．两个圆 D ．两个半圆答案 D解析 由题意知|y |－1≥0，则y ≥1或y ≤－1，当y ≥1时，原方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)，其表示以(1,1)为圆心，1为半径的上半圆；当y ≤－1时，原方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1(y ≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心，1为半径的下半圆．所以方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是两个半圆．选D.2．(2019·南昌二模)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2＋y 2≤1，若将军从点A (2,0)处出发，河岸线所在直线方程为x ＋y ＝3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( )A.10－1 B ．22－1 C ．2 2 D.10答案 A解析 设点A 关于直线x ＋y ＝3的对称点为A ′(a ，b )，则AA ′的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22，b 2，k AA ′＝b a －2， 故⎩⎨⎧b a －2·(－1)＝－1，a ＋22＋b2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，则从点A 到军营的最短总路程，即为点A ′到军营的距离，则“将军饮马”的最短总路程为32＋12－1＝10－1.3．(2019·贵阳模拟)已知圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝9，过点A (2,3)作圆C 的任意弦，则这些弦的中点P 的轨迹方程为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －2)2＝54解析 设P (x ，y )，圆心C (1,1)．因为P 点是过点A 的弦的中点，所以P A →⊥PC →.又因为P A →＝(2－x,3－y )，PC →＝(1－x,1－y )．所以(2－x )·(1－x )＋(3－y )·(1－y )＝0.所以点P 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －2)2＝54.4．(2020·柳州摸底)在平面直角坐标系xOy 中，经过函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点的圆记为圆C .(1)求圆C 的方程；(2)求经过圆心C 且在坐标轴上截距相等的直线l 的方程．解 (1)设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.由f (x )＝x 2－x －6得，其图象与两坐标轴的交点为(0，－6)，(－2,0)，(3,0)，将交点坐标代入圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧36－6E ＋F ＝0，4－2D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－1，E ＝5，F ＝－6，所以圆的方程为x 2＋y 2－x ＋5y －6＝0.(2)由(1)知，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－52，若直线经过原点，则直线l 的方程为5x ＋y ＝0；若直线不过原点，设直线l 的方程为x ＋y ＝a ，则a ＝12－52＝－2，即直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上，直线l 的方程为5x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.5．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点A (－1,0)，点B (1,0)．点P 是圆O 上异于A ，B 的动点．(1)证明：k AP ·k BP 是定值；(2)过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足2PQ →＝－PM →，求点M 的轨迹方程C ；(3)证明：k AM ·k BM 是定值．解 (1)证明：由已知，直线AP ，BP 的斜率存在，AB 是圆O 的直径，所以AP ⊥BP ，所以k AP ·k BP ＝－1是定值．(2)设P (m ，n )，M (x ，y )，则Q (m,0)， 则PQ→＝(0，－n )，PM →＝(x －m ，y －n )， 因为2PQ→＝－PM →， 所以2(0，－n )＝－(x －m ，y －n )， 得⎩⎪⎨⎪⎧0＝－x ＋m ，－2n ＝－y ＋n ，即⎩⎨⎧m ＝x ，n ＝13y ，①因为点P 在圆O 上，所以m 2＋n 2＝1， ② 将①代入②，得x 2＋y 29＝1，又点P 异于A ，B ，所以x ≠±1，即点M 的轨迹方程C 为x 2＋y 29＝1(x ≠±1)．(3)证明：由已知，直线AM ，BM 的斜率存在， k AM ＝y x ＋1，k BM ＝yx －1，由(2)知，x2－1＝－y29，所以k AM·k BM＝yx＋1·yx－1＝y2x2－1＝－9，即k AM·k BM是定值．。
高三数学圆的方程
群散去的差不多了，她依旧在充当吃瓜群众。看着正在相互交涉的买卖双方，她又凑近了一些。(古风一言)剑指山河兵临城下，不为夙愿，只为 守护你的安然。第076章 嫌弃这马真是可爱，慕容凌娢对马的了解很少，自然不敢妄下断言，但等到人群散去的差不多了，她依旧在充当吃瓜群 众。看着正在相互交涉的买卖双方，她只是更仔细的观察着这匹黑马。正在她肆无忌惮的观察时，那匹黑马突然一扭头，她们一人一马四目相对， 时间仿佛停顿了下来……一切都变得很慢很慢……“噗～”那马看着慕容凌娢，打了一个响鼻，然后嫌弃的翻了一个白眼，满满地都是怨气摇摇 脑袋，甩甩尾巴，便再也不理睬她了。这……这也太尴尬了，慕容凌娢居然会被一只马嫌弃！简直是受到了1000点的暴击！慕容凌娢感觉整个人 都不好了，生无可恋啊～“算了算了，还是去别处看看吧。”慕容凌娢回过神来，发现围观的人都已经走光了。“唉！”那大汉重重的叹了口气， 摸了摸马的鬃毛，“如今这般落魄，留着你也是受罪，还不如给你个痛快……”他说着便要解开拴在木桩上的绳子，那黑马似乎也明白了什么， 开始焦躁不安的挣扎，无奈被绳子束缚，再怎么用力拽也无用。这是要杀马的套路啊！当慕容凌娢脑子转过来弯时，大汉已经准备把马迁走了。 “等等！”慕容凌娢拦住了他，大义凌然的挡在黑马身边，“这马我要了。”“二十两银子，不能再少了！”在醉影楼呆了那么久，慕容凌娢已 经搞清楚了这个年代的物价，一两银子差不多是500RMB，二十两银子……大概就是1WRMB。这也太贵了！自己这回出来，总共就带了四两银子，可 是这马，要是没人要，就要惨死在街头了……怎么办？这个年代又没有动物保护协会这样的组织，她实在不想看见这只马就这样死 掉……“我……”情急之下，慕容凌娢摸到了自己挂在脖子上的那块血玉，就是穿越时拿着的那块。“我用这块玉来换可以吗？”“这是……” 大汉接过慕容凌娢的玉，摆弄了几下，又丢了回来，“我又不知道这东西是真是假，万一你给我个假的，我不就亏大了吗！”“这个绝对是真 的！”慕容凌娢着急着想解释，可是那大汉始终不为所动。“二十两银子是吗？”“韩哲轩！”慕容凌娢惊喜的回过头，“你刚才跑哪里去了！ 找你半天，还以为你丢了呢……”“方蛤蟆?慌什么?，人多，被挤掉线了而已，看来该换网了。”韩哲轩依旧是不紧不慢态度，没有想要认真回 答慕容凌娢。他脸上带着常有的笑意，把钱袋递给了大汉，“这么多够了吧？”“够了够了！”“那马我带走了。”韩哲轩把马的缰绳接下来， 交到了慕容凌娢手里，“归你了，不用谢我。”“公子您慢走！”……“老哥(稳)，这回坑了不少钱吧！”等韩哲轩
利用圆的参数方程解决最值问题课件-2025届高三数学一轮复习
= −1 + 2cos ,
1.（2024 ·宜春模拟）已知曲线ቊ
( 为参数)上任意一点 0 , 0 ，
= 1 + 2sin
[2 2, +∞)
不等式 ≥ 0 + 0 恒成立，则实数的取值范围是__________.
解析 根据题意，曲线ቊ
= −1 + 2cos ,
( 为参数)，
利用圆的参数方程解决最值问题
一 利用圆的参数方程求代数式的最值
二 利用圆的参数方程求范围
三 利用圆的参数方程求距离等最值
06 利用圆的参数方程解决最值问题
2
= 0 + cos ,
1. 圆的方程有标准方程、一般方程、参数方程，一般我们把方程ቊ
(
= 0 + sin
是参数)称为圆 − 0 2 + − 0 2 = 2 的参数方程.
当sin = 1时，取得最大值,最大值为1.
5
4
故实数的取值范围是[− , 1].
1 2
+
2
5
4
− .
06 利用圆的参数方程解决最值问题
10
利用圆的参数方程,采用代入法把求实数的取值范围问题转化为求三角函数的值域问
题,使问题迅速获解,可谓转化巧妙.
06 利用圆的参数方程解决最值问题
11
12
磨尖点三 利用圆的参数方程求距离等最值
06 利用圆的参数方程解决最值问题
典例3 （2024 ·上海模拟）已知动圆 −
2
+ −
14
2
= 1经过原点，则动圆上的
2+2
点到直线 − + 2 = 0距离的最大值是_______.
圆的方程课件-2025届高三数学一轮复习
解析：由题设知 = , = ， = ，所以
< < ，要使,,三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，
一个点在圆外，所以圆以 为半径，故圆的方程为
−
+ + ��
= .
求圆的方程的两种方法
1.（多选）(2024·重庆模拟)设圆的方程是 −
= ，故 = − −
⋅ = − −
+ −
+ ,所以
+ + − = − .由圆的方程
= ，易知 ≤ ≤ ,所以，当 = 时， ⋅ 的值最大，
最大值为 × − = .
建立函数关系式求最值
所以点到两点的距离相等且为半径，
所以
−
+ −
=
+ −
= ，
即 − + + − + = ，解得 = ，
所以 , − ， = ，
所以⊙ 的方程为 −
+ +
= .
方法三：设点 , , , ,⊙ 的半径为,则 =
10
则 + 的最大值为____.
2.设点 , 是圆 −
解析：由题意知 = −, − , = −, − − ,
所以 + = −, − ,由于点 , 是圆上的点，故其坐标满足方
程 −
+ = ,
故 = − −
−
+ = ，即表示以点 , 为圆心， 为半径
的圆.
高三数学知识点之圆的方程
高三数学知识点之圆的方程下面整理了高三数学知识点之圆的方程，期望大伙儿能把觉得有用的知识点摘抄下来，在空余时刻进行复习。
1、圆的定义平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2(1)标准方程，圆心(a,b)，半径为r;(2)求圆方程的方法：一样都采纳待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r;若利用一样方程，需要求出D，E，F;另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必通过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情形：(1)设直线，圆，圆心到l的距离为，则有;;(2)过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。
什么缘故?依旧没有完全“记死”的缘故。
要解决那个问题,方法专门简单,每天花3-5分钟左右的时刻记一条成语、一则名言警句即可。
能够写在后黑板的“积存专栏”上每日一换,能够在每天课前的3分钟让学生轮番讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。
如此,一年就可记300多条成语、30 0多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财宝。
这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会为所欲为地“提取”出来,使文章增色添辉。
(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。
金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟专门貌，属句有夙性，说字惊老师。
2020高三数学一轮复习(人教版理)：圆 的 方 程
解析 (1)由题意设圆心坐标为(a，－a)，则有|a－－a|＝|a－－a－4|
2
2
即|a|＝|a－2|，解得 a＝1。故圆心坐标为(1，－1)，半径 r＝ 2 ＝ 2，所以 2
圆 C 的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2。故选 B。
答案 (1)B
(2)(2019·河南豫西五校联考)在平面直角坐标系 xOy 中，以点(0,1)为圆心 且与直线 x－by＋2b＋1＝0 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ()
答案 48
微考点·大课堂
考点例析 对点微练
考点一 圆的方程 【例 1】 (1)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x－y－1＝0 相切于点 B(2,1)，则 圆 C 的方程为________。
解析 (1)由已知 kAB＝0，所以 AB 的中垂线方程为 x＝3①。过 B 点且 垂直于直线 x－y－1＝0 的直线方程为 y－1＝－(x－2)，即 x＋y－3＝0②， 联立①②，解得xy＝ ＝30， ， 所以圆心坐标为(3,0)，半径 r＝ 4－32＋1－02 ＝ 2，所以圆 C 的方程为(x－3)2＋y2＝2。
一、走进教材
1．(必修 2P124A 组 T1 改编)圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心坐标是( )
A．(2,3)
B．(－2,3)
C．(－2，－3)
D．(2，－3)
解析 故选 D。
答案
圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)。 D
2．(必修 2P120 例 3 改编)过点 A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线 x＋y －2＝0 上的圆的方程是( )
解析
设圆心的坐标为(a,0)(a>0)，根据题意得|2a|＝4 5
高三数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析
高三数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.已知圆与直线相交于两点则当的面积最大时此时实数的值为【答案】【解析】因为的面积等于,所以当时的面积最大，此时圆心到直线的距离为，因此【考点】直线与圆位置关系2.已知圆C的圆心在曲线y＝上，圆C过坐标原点O，且与x轴、y轴交于A、B两点，则△OAB的面积是()A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【解析】设圆心C的坐标是(t，)．∵圆C过坐标原点，∴|OC|2＝t2＋，设圆C的方程是(x－t)2＋(y－)2＝t2＋.令x＝0，得y1＝0，y2＝，故B点的坐标为(0，)．令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，故A点的坐标为(2t,0)，∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝×||×|2t|＝4，即△OAB的面积为4.故选C.3.已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝1 B．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 C．(x＋1)2＋(y－1)2＝1 D．(x－2)2＋(y＋2)2＝1【答案】D【解析】圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1,1)．圆C2的圆心设为(a，b)，C1与C2关于直线x－y－1＝0对称，∴解得圆C2的半径为1，∴圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，选D4.已知圆的圆心是直线与轴的交点，且圆与直线相切，则圆的方程是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意直线与x轴的交点为,因为圆与直线相切,所以半径为圆心到切线的距离,即,则圆的方程为,故选A 【考点】切线圆的方程5.求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．【答案】(x－2－2)2＋(y＋4)2＝42或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝42【解析】由题意，设所求圆的方程为圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.圆C与直线y＝0相切，且半径为4，则圆心C的坐标为C1(a，4)或C2(a，－4)．又已知圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的圆心A的坐标为(2，1)，半径为3.若两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1.①当C1(a，4)时，有(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故可得a＝2±2.∴所求圆方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝42或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝42.②当C2(a，－4)时，(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，故a＝2±2.∴所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y＋4)2＝42或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝42.6.以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是_________．【答案】(x－1)2＋(y－2)2＝25【解析】设P(x，y)是所求圆上任意一点．∵A、B是直径的端点，∴·＝0.又＝(－3－x，－1－y)，＝(5－x，5－y)．由·＝0 (－3－x)·(5－x)＋(－1－y)(5－y)＝0 x2－2x＋y2－4y－20＝0 (x－1)2＋(y－2)2＝25.7.点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是________．【答案】(－1，1)【解析】∵点(1，1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1.8.如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得PM＝PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．【答案】(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0)．【解析】以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则O1(－2，0)，O2(2，0)．由已知PM＝PN，得PM2＝2PN2.因为两圆的半径均为1，所以－1＝2(－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33,所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0)．9.已知圆M过两点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．(1)求圆M的方程；(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA′、PB′是圆M的两条切线，A′、B′为切点，求四边形PA′MB′面积的最小值．【答案】（1）(x－1)2＋(y－1)2＝4.（2）2【解析】(1)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，根据题意得解得a ＝b ＝1，r ＝2.故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)由题知，四边形PA′MB′的面积为S ＝S △PA′M ＋S △PB′M ＝|A′M||PA′|＋|B′M||PB′|.又|A′M|＝|B′M|＝2，|PA′|＝|PB′|，所以S ＝2|PA′|，而|PA′|＝＝，即S ＝2.因此要求S 的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM|的值最小，所以|PM|min ＝＝3，所以四边形PA′MB′面积的最小值为S ＝2＝2＝210. 已知M(-2,0),N(2,0),则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程为( )A ．x 2+y 2=2B ．x 2+y 2=4C ．x 2+y 2=2(x≠±2)D ．x 2+y 2=4(x≠±2)【答案】D【解析】设P(x,y),则|PM|2+|PN|2=|MN|2, 所以x 2+y 2=4(x≠±2).【误区警示】本题易误选B.错误的根本原因是忽视了曲线与方程的关系,从而导致漏掉了x≠±2.11. 设定点M(-3,4),动点N 在圆x 2+y 2=4上运动,以OM,ON 为邻边作平行四边形MONP,则点P 的轨迹方程为 .【答案】(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点(-,)和(-,)【解析】设P(x,y),圆上的动点N(x 0,y 0),则线段OP 的中点坐标为(,),线段MN 的中点坐标为(,),又因为平行四边形的对角线互相平分,所以有可得又因为N(x 0,y 0)在圆上,所以N 点坐标应满足圆的方程.即有(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点(-,)和(-,).12. 若原点在圆(x-m)2+(y+m)2=8的内部,则实数m 的取值范围是( ) A ．-2<m<2 B ．0<m<2 C ．-2<m<2 D ．0<m<2【答案】C【解析】由已知得m 2+m 2<8,即m 2<4,解得-2<m<2.13. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】圆的圆心坐标为，此点关于直线的对称点的坐标为，由于两圆关于直线对称，它们的圆心关于直线对称，大小相等，因此所求的对称圆的圆心坐标为，其半径长为，即为，故选A. 【考点】1.两点关于直线对称；2.圆的标准方程14.已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是________．【答案】20【解析】配方可得(x－3)2＋(y－4)2＝25，其圆心为C(3,4)，半径为r＝5，则过点(3,5)的最长弦AC＝2r＝10，最短弦BD＝2 ＝4，且有AC⊥BD，则四边形ABCD的面积为S＝AC×BD＝20 .15.已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心为抛物线y2＝4x的焦点，且与直线3x＋4y＋2＝0相切，则该圆的方程为()．A．(x－1)2＋y2＝B．x2＋(y－1)2＝C．(x－1)2＋y2＝1D．x2＋(y－1)2＝1【答案】C【解析】因为抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，所以a＝1，b＝0.又根据＝1＝r，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.16.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，当动点M在底面ABCD内运动时，总有D1A＝D1M，则动点M在面ABCD内的轨迹是________上的一段弧．A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【答案】A【解析】因为满足条件的动点在底面ABCD内运动时，动点的轨迹是以D1D为轴线，以D1A为母线的圆锥，所以动点M在面ABCD内的轨迹是圆的一部分．17.已知圆：，则下列命题：①圆上的点到的最短距离的最小值为；②圆上有且只有一点到点的距离与到直线的距离相等；③已知，在圆上有且只有一点，使得以为直径的圆与直线相切.真命题的个数为A．B．C．D．【答案】D【解析】已知动圆的圆心的轨迹方程为：，所以动圆构成的轨迹为夹在抛物线和抛物线之间的部分（包括边界），所以①②③都满足题意【考点】圆的方程的性质、点、直线与圆的位置关系及其判断.18.已知圆与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知得，又切线斜率为1，故切线方程为，即.【考点】1、圆的标准方程；2、圆的切线的性质；3、直线的方程.19.圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程是_______。
高三数学公式总结大全
高三数学公式总结大全由于数学公式可能涉及不同的知识点和概念，这里我将提供一份高三数学的主要公式总结，以供参考。
三角函数正弦定理: a/sinA = b/sinB = c/sinC余弦定理: c²= a²+ b²- 2abcosC正切定理: a/tanA = b/tanB = c/tanC圆的方程圆的标准方程: (x - a)²+ (y - b)²= r²圆的一般方程: x²+ y²+ Dx + Ey + F = 0椭圆和双曲线的方程椭圆的一般方程: x²/a²+ y²/b²= 1 (a > b > 0)双曲线的一般方程: x²/a²- y²/b²= 1 (a > 0, b > 0)直线的方程点斜式: y - y1 = k(x - x1)斜截式: y = kx + b截距式: x/a + y/b = 1一般式: Ax + By + C = 0圆的性质圆心角定理: θA = θM + θN (其中, M, N 是圆上的任意两点, θA 是所对应的圆心角, θM 和θN 是对应的圆周角)弧长公式: l = rθ(其中, r 是半径, θ是圆心角, l 是弧长)圆周长公式: C = 2πr (其中, r 是半径, C 是圆周长)立体几何正方体的体积公式: V = l³(其中, l 是正方体的边长)长方体的体积公式: V = l ×w ×h (其中, l, w, h 分别是长方体的长度、宽度和高度)圆柱的体积公式: V = πr²h (其中, r 是底面半径, h 是高)圆锥的体积公式: V = 1/3πr²h (其中, r 是底面半径, h 是高)球体的体积公式: V = 4/3πr³(其中, r 是半径)球面距离公式: d = rsin(θ1 - θ2)/√[1 - sin²(θ1 - θ2)] (其中, r 是半径, θ1 和θ2 是两点与球心的连线与球面的交角)数列等差数列的通项公式: a_n = a_1 + (n - 1)d (其中, a_1 是首项, d 是公差)等差数列的求和公式: S_n = n/2(a_1 + a_n) (其中, S_n 是前n 项的和)等比数列的通项公式: a_n = a_1 * q^(n - 1) (其中, a_1 是首项, q 是公比)等比数列的求和公式: S_n = a_1(1 - q^n)/(1 - q) (其中, S_n 是前n 项的和)。
2020届高三理数一轮讲义：9.3-圆的方程(含答案)
C.(x－1)2＋(y－1)2＝4D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
解析设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.
当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.
答案(－2，－4)5
考点一 圆的方程
【例1】(1)(一题多解)(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.
法三设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为 ，半径r＝ ，
∵圆心在直线x＋y＝0上，∴－ － ＝0，即D＋E＝0，①
又∵圆C与直线x－y＝0相切，
∴ ＝ ，
即(D－E)2＝2(D2＋E2－4F)，
∴D2＋E2＋2DE－8F＝0.②
又知圆心 到直线x－y－3＝0的距离d＝ ，
由已知得d2＋ ＝r2，
第
最新考纲掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.
知识梳理
1.圆的定义和圆的方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方
程
标准
(x－a)2＋(y－b)2
＝r2(r＞0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
高三数学课件：圆的方程
2
(3)直径式：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，其中 直径式： 直径式 ， 点(x1，y1)，(x2，y2)是圆的一条直径的两个端 ， 是圆的一条直径的两个端 。（用向量法证之 用向量法证之） 点。（用向量法证之）
（4）半圆方程： y = r2 −(x −a)2 +b, y = − c +bx− x2 −d ）半圆方程： (5)圆系方程： 圆系方程： 圆系方程 i)过圆 ：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线 过圆C： 过圆 和直线 l：Ax+By+C=0的交点的圆的方程为 ： 的交点的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0 ii)过两圆 1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2： 过两圆C 过两圆 ， x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的方程为 的交点的圆的方程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0( λ≠-1)该方程不包括圆 2； 该方程不包括圆C 该方程不包括圆 时为一条直线方程， （ λ = −1时为一条直线方程，相交两圆时 为公共弦方程； 为公共弦方程；两等圆时则为两圆的对称 轴方程） 轴方程）
(1+k2)[x1 + x2)2 −4x1x2] （2）代数法：用弦长公式 ）代数法：
的半径为3， 相切， 例4、已知⊙O的半径为 ，直线 l 与⊙O相切， 、已知⊙ 的半径为 相切 相切，并与⊙ 相交的公共弦恰 一动圆与 l 相切，并与⊙O相交的公共弦恰 的直径， 为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程。 的直径 求动圆圆心的轨迹方程。 【点评】建立适当的 点评】 坐标系能使求轨迹方 程的过程较简单、 程的过程较简单、所 求方程的形式较“ 求方程的形式较“整 A 齐” .
圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系+课件-2025届高三数学一轮基础专项复习
联立直线与圆的方程，消元后得到关于 （或 ）的一元二次方程，利用 判断.
点与圆的位置关系法
若直线过定点且该定点在圆内，则可判断直线与圆相交.
注意 在直线与圆的位置关系的判断方法中,若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若直线或圆的方程中含有参数,且圆心到直线的距离不易表达,则用代数法.
5.[人A选必一P86例4变式,2022全国乙卷（理）]过四点，，， 中的三点的一个圆的方程为_ ____________________________________________________________________________________________.
或或或
【解析】 若圆过,,三点,设过这三点的圆的一般方程为 ,分别将三点的坐标代入,可得解得易得 ,所以过这三点的圆的方程为,即 .若圆过,,三点,通解 设过这三点的圆的一般方程为 ,分别将三点的坐标代入,可得解得易得 ,所以过这三点的圆的方程为,即 .
第八章平面解析几何
2025年高考数学专项复习
第三节 圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系
目录
圆的方程
壹
直线与圆的位置关系
贰
圆与圆的位置关系
叁
与圆有关的最值问题
肆
圆的方程
壹
教材知识萃取
1.圆的定义与方程
教材知识萃取
规律总结（1）若没有给出 ，则圆的半径为 .（2）在圆的一般方程中：当 时，方程 表示一个点 ;当 时，方程 没有意义，不表示任何图形.（3）以 ， 为直径端点的圆的方程为 .
注意 在求过一定点的圆的切线方程时，应先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外（此时一定要注意斜率不存在的情况），则切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．
圆的方程课件-2025届高三数学一轮复习
题后师说
求圆的方程的两种方法
巩固训练1
(1)已知圆心为(－2，1)的圆与y轴相切，则该圆的标准方程是(
A．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋2)2＋(y－1)2＝4
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
D．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
)
答案： B
解析：根据题意知圆心为(－2，1)，半径为2，故圆的方程为：(x＋2)2＋(y－1)2
(2)求直角边BC的中点M的轨迹方程．
解析：设点M(x，y)，C(x0，y0)，因为点B(3，0)，M是线段BC的中点，所以x＝
x0 +3
y0 +0
，y＝
，所以x0＝2x－3，y0＝2y.
2
2
由(1)知，点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)，即(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4(y≠0)，
(x－1)2＋(y＋1)2＝5
均在⊙M上，则⊙M的方程为________________．
解析：因为点M在直线2x＋y－1＝0上，所以设M(a，1－2a)．由点(3，0)，(0，
1)均在⊙M上，可得点(3，0)，(0，1)到圆心M的距离相等且为⊙M的半径，所以r
＝ a − 3 2 + 1 − 2a 2 ＝ a2 + 1 − 2a − 1 2 ，解得a＝1.所以M(1，－1)，r＝
圆．( × )
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．( × )
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则02 + 02 ＋Dx0＋
Ey0＋F>0.( √ )
高三数学《师说》系列一轮复习 圆的方程课件 理 新人教B
相交 R－r＜d＜R＋ M 有两组实数解 r
内切 内含
d＝R－r d＜R－r
M 有一组实数解 M 无实数解
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/162022/1/16January 16, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/162022/1/162022/1/161/16/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/162022/1/16
点评 确定圆的方程需要三个独立条件，“选标准，定参数” 是解题的基本方法．其中，选标准是指根据已知条件选恰当的圆的 方程的形式，进而确定其中三个参数 .
变式迁移 1 求满足下列条件的圆的方程： (1)圆心在 x 轴上，半径为 5，且过点 A(2，－3)； (2)过点 A(1,2)和 B(1,10)，且与直线 x－2y－1＝0 相切．
示圆的必要条件，而不是充分条件，还需要加上(DA)2＋(EA)2－4AF＞0， 即 D2＋E2－4AF＞0.
(4)常见圆的方程 ①圆心在原点的圆，标准方程：x2＋y2＝r2；一般方程：x2＋y2 －r2＝0. ②过原点的圆，标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2；一般方 程：x2＋y2＋Dx＋Ey＝0. ③圆心在 x 轴上的圆，标准方程：(x－a)2＋y2＝r2；一般方程： x2＋y2＋Dx＋F＝0. ④圆心在 y 轴上的圆，标准方程：x2＋(y－b)2＝r2；一般方程： x2＋y2＋Ey＋F＝0. ⑤与 x 轴相切的圆，标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝b2；一般方
第8章 第3节 圆的方程-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)
5．已知圆 C 经过点 A(1，3)，B(4，2)，与直线 2x＋y－10＝0 相切，则圆 C 的标准方程为________．
(x－2)2＋(y－1)2＝5 解析 由题意，设圆 C 的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 因为点 B(4，2)在直线 2x＋y－10＝0 上， 所以点 B(4，2)是圆与直线 2x＋y－10＝0 的切点， 连接圆心 C 和切点的直线和与切线 2x＋y－10＝0 垂直， 则 kBC＝12，则 BC 的方程为 y－2＝12(x－4)， 整理得 x－2y＝0，
(√)
(4)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则 x20
＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.
(√)
◇教材改编
2．圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心坐标和半径分别是
( D) A．(2，3)，3
B．(－2，3)， 3
C．(－2，－3)，13
D．(2，－3)， 13
解析 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13， 所以圆心坐标是(2，－3)，半径 r＝ 13.
(2)可知yx－＋32表示直线 MQ 的斜率 k. 设直线 MQ 的方程为 y－3＝k(x＋2)， 即 kx－y＋2k＋3＝0. 由直线 MQ 与圆 C 有交点， ∴|2k－71＋＋2kk2＋3|≤2 2， 可得 2－ 3≤k≤2＋ 3， ∴yx－＋32的最大值为 2＋ 3，最小值为 2－ 3.
(3)设 y－x＝b，则 x－y＋b＝0. 当直线 y＝x＋b 与圆 C 相切时，截距 b 取到最值， ∴ 1|22＋－（7＋－b1|）2＝2 2，∴b＝9 或 b＝1. ∴y－x 的最大值为 9，最小值为 1.
►考向三 与圆有关的轨迹问题[师生共研] [例 3] 已知圆 x2＋y2＝4 上一定点 A(2，0)，B(1，1)为 圆内一点，P，Q 为圆上的动点． (1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段 PQ 中点的轨迹方程． [自主解答] (1)设 AP 的中点为 M(x，y)， 由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x－2，2y)． 因为 P 点在圆 x2＋y2＝4 上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
高三数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析
高三数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积【答案】（1）;（2）的方程为; 的面积为.【解析】（1）先由圆的一般方程与标准方程的转化可将圆C的方程可化为，所以圆心为，半径为4，根据求曲线方程的方法可设，由向量的知识和几何关系：，运用向量数量积运算可得方程：;（2）由第（1）中所求可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，加之题中条件，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而，不难得出的方程为;结合面积公式可求又的面积为.试题解析：（1）圆C的方程可化为，所以圆心为，半径为4，设，则，，由题设知，故，即.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是.（2）由（1）可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.由于，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而.因为ON的斜率为3，所以的斜率为，故的方程为.又，O到的距离为，，所以的面积为.【考点】1.曲线方程的求法;2.圆的方程与几何性质;3.直线与圆的位置关系2.圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为 .【答案】【解析】因为圆心在直线上，所以，可设圆心为.因为圆与轴相切，所以，半径，又因为圆截轴所得弦长为所以，.解得，故所求圆的方程为.【考点】圆的方程，直线与圆的位置关系.3.（2011•湖北）如图，直角坐标系xOy所在平面为α，直角坐标系x′Oy′（其中y′与y轴重合）所在的平面为β，∠xOx′=45°．（1）已知平面β内有一点P′（2，2），则点P′在平面α内的射影P的坐标为_________；（2）已知平面β内的曲线C′的方程是（x′﹣）2+2y2﹣2=0，则曲线C′在平面α内的射影C的方程是_________．【答案】（2，2）；（x﹣1）2+y2=1．【解析】（1）由题意知点P′在平面上的射影P距离x轴的距离不变是2，距离y轴的距离变成2cos45°=2，∴点P′在平面α内的射影P的坐标为（2，2）（2）设（x′﹣）2+2y2﹣2=0上的任意点为A（x0，y），A在平面α上的射影是（x，y）根据上一问的结果，得到x=x0，y=y，∵，∴∴（x﹣1）2+y2=1，故答案为：（2，2）；（x﹣1）2+y2=1．4.以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A．x2+y2+2x=0B．x2+y2+x=0C．x2+y2﹣x=0D．x2+y2﹣2x=0【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2﹣2x+y2=0，故选D．5.已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝1 B．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 C．(x＋1)2＋(y－1)2＝1 D．(x－2)2＋(y＋2)2＝1【答案】D【解析】圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1,1)．圆C2的圆心设为(a，b)，C1与C2关于直线x－y－1＝0对称，∴解得圆C2的半径为1，∴圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，选D6.点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是________．【答案】(－1，1)【解析】∵点(1，1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1.7.在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)圆C是否经过定点(与b的取值无关)？证明你的结论．【答案】（1）<1且b≠0.（2）x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0（3）C必过定点(－2，1)【解析】(1)令x＝0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)，令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ>0，解得b<1且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b ＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b，令x＝0，得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得E＝－b－1，所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(3)圆C必过定点(0，1)，(－2，1)．证明：将(0，1)代入圆C的方程，得左边＝02＋12＋2×0－(b＋1)×1＋b＝0，右边＝0，所以圆C 必过定点(0，1)；同理可证圆C必过定点(－2，1)．8. P(x，y)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上移动，试求x2＋y2的最小值．【答案】3－2【解析】由C(1，1)得OC＝，则OPmin ＝－1，即()min＝－1.所以x2＋y2的最小值为(－1)2＝3－2.9.若圆心在x轴上、半径为的圆C位于y轴左侧,且被直线x+2y=0截得的弦长为4,则圆C的方程是()A．(x-)2+y2=5B．(x+)2+y2=5C．(x-5)2+y2=5D．(x+5)2+y2=5【答案】B【解析】设圆心为(a,0)(a<0),因为截得的弦长为4,所以弦心距为1,则d==1,解得a=-,所以,所求圆的方程为(x+)2+y2=5.10.与直线l:x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是.【答案】(x-2)2+(y-2)2=2【解析】【思路点拨】数形结合得最小圆的圆心一定在过x2+y2-12x-12y+54=0的圆心与直线x+y-2=0垂直的垂线段上.解:∵圆A:(x-6)2+(y-6) 2=18,∴A(6,6),半径r1=3,且OA⊥l,A到l的距离为5,显然所求圆B的直径2r2=2,即r2=,又OB=OA-r1-r2=2,由与x轴正半轴成45°角,∴B(2,2),∴方程为(x-2)2+(y-2)2=2.11.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是() A．(x-2)2+(y+1)2=1B．(x-2)2+(y+1)2=4 C．(x+4)2+(y-2)2=4D．(x+2)2+(y-1)2=1【答案】A【解析】设圆上任一点为Q(x0,y),PQ的中点为M(x,y),则解得又因为点Q在圆x2+y2=4上,所以+=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,即(x-2)2+(y+1)2=1.12.已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是()．A．10B．20C．30D．40【答案】B【解析】配方可得(x－3)2＋(y－4)2＝25，其圆心为C(3,4)，半径为r＝5，则过点(3,5)的最长弦AC＝2r＝10，最短弦BD＝2＝4，且有AC⊥BD，则四边形ABCD的面积为S＝AC×BD＝20.13.已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．【答案】（1）(x－5)2＋y2＝16（2）4【解析】(1)设点P的坐标为(x，y)，且|PA|＝2|PB|，则＝2，化简得曲线C：(x－5)2＋y2＝16.(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．是此圆的切线，连接CQ，由直线l2则|QM|＝，当CQ⊥l时，|CQ|取最小值，|CQ|＝，此时|QM|的最小值为＝4.114.过点引直线与曲线相交于两点，O为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于．【答案】－【解析】由得：；表示圆心在原点，半径的圆位于轴下方的部分（含端点）；如下图：直线的方程为：，即，所以，当，即，整理得：又因为，所以，.故答案填：【考点】1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、数形结合.15.圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程是_______。
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