最新变量之间的关系单元知识总结

学科：数学

教学内容：变量之间的关系单元知识总结

【基本目标要求】

—、经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，体验一个变量的变化对另一个变量的影响，发展符号感．

二、在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，能用关系式表示某些变量之间的关系，会根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的对应关系．

三、能用表格表示变量之间的关系，会根据表格中的数据对变化趋势进行预测.

四、经历从图象中分析变量之间关系的过程，能从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言进行描述．

【基础知识导引】

一、变量、自变量、因变量的概念

在—个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量，数值保持不变的量叫做常量.例如在表示路程关系式s=50t中，速度50恒定不变为常量，随t取不同数值时也取不同数值，s 与t都为变量．t是自变量，s是因变量．

二、变量之间关系的表示法

【重点难点点拨】

本章主要内容阐述变量、自变量、因变量的概念，用表格、关系式、图象表示变量本章重点是理解变量、自变量、因变量的概念．本章难点是掌握用关系式表示变量之间的关系．要掌握上述重点、难点，必须注意以下问题：

1．通过丰富的现实情境引入变量和对变量之间关系的讨论，并通过对变量之间关系的分析解决问题、进行预测.

2．体验探索和表示变量之间关系的过程，获得对表格、关系式、图象等多种表示方法的体验，能读懂表格、关系式、图象所表示的信息，还能运用表格或关系式刻画一些具体情境中变量之间的关系．

3．能用自己的语言大致描述表格、关系式和图象所表示的关系．

【发散思维分析】

本章引导学生从常量的世界进入了变量的世界，开始接触一种新的思维方式．本章的主要内容阐述变量、自变量、因变量的概念．用表格、关系式、图象表示变量之间的关系．尤其是认关系式、图象中分析变量之间的关系，获得信息，对变化关系进行预测．本章安排—定数量的题型发散，转化发散题．题型发散可增大知识点的覆盖面，训练计算的正确性和熟练程度，培养严密的逻辑推理能力及简明、正确的书面表达能力，转化发散促进数形结合解题．可发挥“形”的直观作用和“数”的思路规范优势．由数思形，由形定数，数形渗透，互相作用．扬长避短，直入捷径．综上所述，发散思维启迪我们注重观察、分析问题，利用形数转化，寻觅解决问题的方法，为提高综合运用数学知识的能力奠定坚实的基础.

【发散思维应用】 1．小车下滑的时间 2．变化中的三角形 3．温度的变化 4．速度的变化 典型例题

1．在一次实验中，小强把—根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y 与所挂物体的质量x 的一组对应值：

(1)上述表格反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量? (2)当所挂重物为4kg 时，弹簧多长?不挂重物呢?

(3)若所挂重物为6kg 时(在弹簧的允许范围内)，你能说出此时弹簧的长度吗? 分析 抓住表格中的对应数据，找出变量之间的规律．

解 (1)弹簧长度y,物体重量x 是变量，物体重量是自变量，弹簧长度是因变量； (2)当所挂重物为4kg 时，弹簧长度为28cm ，不挂重物时弹簧长度为20cm ； (3)当所挂重物为6kg 时，弹簧长度为32cm ．

2．如图6—1所示，梯形上底的长是x ，下底的长是15，高是8．

(1)梯形面积y 与上底长x 之间的关系式是什么?

(2)用表格表示当x 从10变到20时(每次增加1)，y 的相应值； (3)当x 每增加1时，y 如何变化?说说你的理由； (4)当x=0时，y 等于什么?此时它表示的是什么?

分析 (1)根据梯形面积公式可推出y 与x 的关系式； (2)通过计算列表说明；

(3)由表格中的数据可以观察出；

(4)当上底为零时(即成为一个点)，成为三角形． 解 (1)()8152

1

⨯+=

x y ， 即y=4x+60； (2)

(3)当x 每增加1时，y 的值随之增加4；

(4)当x=0时，y=60，此时梯形成为了三角形．

3．地壳的厚度约为8到40km ．在地表以下不太深的地方，温度可按y=35x+t 计算，其中x 是深度(km)，t 是地球表面温度（℃），y 是所达深度的温度（℃)．

(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么?

(2)分别计算当x 为lkm ，5km ，10km,20km 时地壳的温度(地表温度为2℃)． 解 (1)自变量是深度，因变量是温度；

(2)当x=1km 时，y=35x+t=35x ×1+2=37(℃)； 当x=5km 时，y=35x+t=35×5+2=177(℃)； 当x=10km 时，y=35x+t=35×10+2=352(℃)； 当x=20km 时，y=35x+t=35×20+2=702(℃)．

说明 初步体会自变量和因变量的数值对应关系，能由自变量的值求得因变量的值． 题型发散

发散1 选择题 把正确答案的代号填入题中的括号内．

(1)下面的图表列出了—项试验的统计数据，表示将皮球从高处d 落下时，弹跳高度b

(A)2

d b = (B)b=2d (C)2

b =

(D)b=d+25 (2)某地一天的气温随时间的变化如图6—2，根据图象可知：在这一天中最高气温与达到最高气温的时刻分别是 ( )

(A)14℃；12h (B)4℃；2h (C)12℃；14h (D)2℃；4h 解 (1)用验证法．

当d=50时，252502===

d b ； 当d=80时，40280

2===d b ；

当d=100时，502100

2===d b ；

当d=150时，752

150

2==

=d b ． 因上述数字完全与表格中的数字符合．

故本题应选(C)． (2)用直接法．

由图6—2知一天达到最高气温12℃的时间是14时． 故本题应选(C)． 发散2 填空题

如图6—3，△ABC 是等腰三角形，周长是60cm ，腰为xcm ，底为ycm ．