同时存在动生电动势和感生电动势问题方法例析

同时存在动生电动势和感

生电动势问题方法例析 Prepared on 22 November 2020

同时存在动生电动势和感生电动势问题方法例析 一、磁感应强度按B=kt 规律变化 例1：如图1所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为r 0＝Ω/m ，导轨的端点P 、Q 用电阻可忽略的导线相连，两导轨间的距离l ＝0.20m 。有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感强度B 与时间t 的关系为B ＝kt ，比例系数k ＝s ，一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直，在t ＝0时刻，金属杆紧靠在P 、Q 端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动，求在t ＝时金属杆所受的安培力。

分析和解：：以a 表示金属杆运动的加速度，在t 时刻，

金属杆的位移：22

1at L = ① 回路电阻：02Lr R = ②

解法一：求磁感应强度的变化率，需要将感生电动势和动生电动势叠加

由图2据k t

B =∆∆=，kt B （斜率） 金属杆的速度：at v = ③

回路的面积：Ll S = ④

回路的电动势等于感生电动势与动生电动势的代数和

Blv t

B S +∆∆=ε ⑤ 感应电流：R i ε

= ⑥

作用于杆的安培力：Bli F = ⑦

解以上诸式得 t r l k F 0

2

2123=，代入数据为N F 31044.1-⨯= 解法二：求磁通量的变化率（勿须再求感生电动势）

t 时刻的磁通量：322

121klat at ktl BlL =⋅==ϕ 磁通量的变化量：)(2121213132313212t t kla klat klat -=-=

-=∆ϕϕϕ 感应电动势：)(2

121222*********t t t t kla t t t t kla t ++=--=∆∆=ϕε 在上式中当klL klat t t t t 32

3于是时0221====→∆ε 安培力：t r l k Lr klL ktl R ktl Bli F 02

202323====ε

.

代入数据，与解法一所得结果相同 二、磁感应强度按B=k/t 规律变化 例2：如图3所示，两根完全相同的光滑金属导轨OP 、OQ 固定在水平桌面上，导轨

间的夹角为 74=θ，导轨单位长度的电阻为r0＝Ω/m 。导轨所在空间有垂直于桌面向下

的匀强磁场，且磁场随时间变化，磁场的磁感应强度Ｂ与时间t 的关系为B ＝k/t ，其中比例系数k ＝2T·s 。将电阻不计的金属杆MN 放置在水平桌面上，在外力

作用下，t ＝0时刻金属杆以恒定速度v ＝2m/s 从O 点开始向右滑动。

在滑动过程中保持MN 垂直于两导轨间夹角的平分线，且与导轨接触

良好。（已知导轨和金属杆均足够长，

（8.037cos ,6,037sin == ）求:在t=时,回路中的感应电动势的大小;

分析和解：经时间t 时，金属杆切割磁感线的有效长度为

L ＝2vt tan37°＝3t ①

回路所围的面积为：S ＝vtL 2

1＝3t 2 ② 回路的总电阻为：R ＝2cos 20

θ

vtr ＝ ③

解法一：通过求磁感应强度的变化率求感生电动势，需要将动生电动势和感生电动势叠加。

经过时间t ，金属杆的有效长度切割磁感线产生的动生电动势为

V BLv E 121==，用右手定则判断方向为逆时针

设t 1、t 2是t 时刻前后两个时刻，则在12t t t -=∆时间内磁感应强度B 的变化量为 上式变为2t

k Δt ΔB -= 感生电动势为 6V 3k 3t t

k S Δt ΔB E 222-=-=⋅-=⋅=，磁通量减小，用楞次定律判断方向为顺时针 回路的电动势等于感生电动势与动生电动势的之代数和

E=E 1+E 2=12V-6V=6V, 方向为逆时针

解法二：通过求磁通的变化率直接求回路的感应电动势，勿须再求动生电动势。 设经过时间△t=t 2-t 1,磁通量的变化量为

6V 3k Δt

t 3k Δt ΔE ==∆==ϕ，0>∆ϕ，磁通量增大，用楞次定律判断方向为逆时针 从上二例看出两种方法的区别是：如果通过计算磁感强度的变化率△B/△t 求电动势，因为是按某一时刻t 确定的回路面积计算磁通量的，还需另求动生电动势，分别用楞次定律和右手定则判断其方向，最后求感生电动势与动生电动势的代数和；如果利用磁通量的变化率t ∆∆/ϕ求电动势，磁通量的变化ϕ∆已经同时考虑了由于导体棒运动和磁感应强度变化双重因素的影响，不必再求动生电动势，因而也就不存在电动势叠加的问题。