黄金30题系列 高二年级数学(理) 大题好拿分【基础版】
专题02 大题好拿分20题-2017-2018学年下学期期中复习
1．求下列函数的导函数． (1) y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2) x y xe =.【来源】甘肃省临夏中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学（文）试题 【答案】(1)18x 2－4x ＋9；(2)(x ＋1)e x . 【解析】试题分析：(1)由题意结合导数的运算法则可得：y ′＝18x 2－4x ＋9. (2)由题意结合导数的运算法则可得：y ′＝(x ＋1)e x . 试题解析：(1)由函数的解析式结合导数的运算法则可得：y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9. (2)由函数的解析式结合导数的运算法则可得：y ′＝e x ＋xe x ＝(x ＋1)e x .2．复数()()22563m m m m i -++-， m R ∈， i 为虚数单位．(I)实数m 为何值时该复数是实数； (Ⅱ)实数m 为何值时该复数是纯虚数．【来源】【全国区级联考】天津市红桥区2017-2018学年高二上学期期末考试数学（文）试题 【答案】（Ⅰ）0m =或3m =时为实数；（Ⅱ） 2m =时为纯虚数.3．已知复数121i,46i z z =-=+． ⑴求21z z ；⑵若复数1i z b =+ ()R b ∈满足1z z +为实数，求z ．【来源】江苏省泰州市2017～2018学年度高二第一学期期末考试数学（理科）试题【答案】⑴15i -+⑵z =【解析】试题分析：（1）利用复数的除法法则进行求解；（2）先利用复数的加法法则得到1z z +，再利用复数的概念确定b 值，再利用模长公式进行求解.4．已知函数()32392f x x x x =-++-，求：（1）函数()y f x =的图象在点()()0,0f 处的切线方程； （2）()f x 的单调递减区间．【来源】【全国百强校】湖南省衡阳市第八中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）试题 【答案】（1）920x y --=；（2）()(),1,3,-∞-+∞【解析】试题分析：（1）求导得()2369f x x x '=-++，故()09f '=，又()02f =-，根据点斜式方程可得切线方程；（2）令()0f x '<，解不等式可得函数的单调递减区间。
高二数学(理)备考黄金30题：专题01 小题好拿分(基础版)
上学期期末考试备考黄金30题之小题好拿分【基础版】1．下列几何体各自的三视图中，只有两个视图相同的是()A．①③B．②③C．②④D．③④2．如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是()3．已知球的表面积为20π，球面上有A、B、C三点，如果AB＝AC＝BC＝23，则球心到平面ABC的距离为________．4．已知α，β，γ是平面，a，b，c是直线，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，若a∩b＝P，则()A．P∈c B．P∉cC．c∩a＝∅D．c∩β＝∅5．已知两条相交直线a、b，a∥平面α，则b与α的位置关系是()A．b⊂平面αB．b与平面α相交C．b∥平面αD．b与平面α相交或b∥平面α6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AA1与BC1所成的角为()A．60°B．45°C．30°D．90°7．若三条直线2x －y ＋4＝0，x －2y ＋5＝0，mx －3y ＋12＝0围成直角三角形，则m ＝________．8．经过两条直线2x －y －3＝0和4x －3y －5＝0的交点，并且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线方程一般式为________．9．直线x －y ＋1＝0与圆(x ＋1)2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相切 B ．直线过圆心C ．直线不过圆心但与圆相交D ．相离10．圆x 2＋y 2－8x ＋6y ＋16＝0与圆x 2＋y 2＝16的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．内切 D ．外切11．若过点A (4，0)的直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[－3，3]B ．(－3，3) C.⎣⎡⎦⎤－33，33D.⎝⎛⎭⎫－33，33 12．命题“若x 2＜1，则－1＜x ＜1”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥1，则x ≥1，或x ≤－1 B ．若－1＜x ＜1，则x 2＜1 C ．若x ＞1，或x ＜－1，则x 2＞1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥113．命题p ：x ＋y ≠3，命题q ：x ≠1或y ≠2，则命题p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．“关于x 的不等式f (x )＞0有解”等价于( ) A ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)＞0成立 B ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)≤0成立 C ．∀x ∈R ，使得f (x )＞0成立 D ．∀x ∈R ，f (x )≤0成立15．已知p ：点P 在直线y ＝2x －3上；q ：点P 在直线y ＝－3x ＋2上，则使p ∧q 为真命题的点P 的坐标是( ) A ．(0，－3)B ．(1，2)C ．(1，－1)D ．(－1，1)16．已知点F ，A 分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点、右顶点，点B (0，b )满足FB →²AB →＝0，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.1＋32D.1＋5217.如图1，已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，P 是椭圆上的一点，PF ⊥x 轴，OP ∥AB (O 为原点)，则该椭圆的离心率是( )A.22B.24C.12D.3218．已知定点A ，B 满足|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则|P A |的最小值是( ) A.12 B.32 C.72D ．519．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2n ＝1的离心率为12，则n ＝( )A. 3B.32C.23D.8320．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________．21.如图2所示，已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上，且在x 轴的上方，过点A 作AB ⊥l 于B ，|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为________.22．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两个不同的点，抛物线的焦点为F ，且|AF |，4，|BF |成等差数列，则k ＝( ) A ．2或－1 B ．－1 C ．2D ．1± 523．已知空间向量a ＝(t ，1，t )，b ＝(t －2，t ，1)，则|a －b |的最小值为( ) A. 2 B. 3 C ．2D ．424．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则( )A ．x ＝1，y ＝12B ．x ＝1，y ＝13C ．x ＝12，y ＝1D ．x ＝1，y ＝1425．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列结论不正确的是( ) A.AB →＝－C 1D 1→ B.AB →²BC →＝0 C.AA 1→²B 1D 1→＝0D.AC 1→²A 1C →＝026．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则二面角C 1AB C 为( ) A.π3 B.2π3 C.3π4D.π427.如图1，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为( )图1A.63B.255C.155D.10528.如图，空间正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是( )A.π6B.π4C.π3D.π229．若a ＝(2x ，1，3)，b ＝(1，－2y ，9)，且a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________.30．四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为________．。
高二数学上学期期末复习备考黄金30题 专题02 大题好拿分(基础版,20题)理
大题好拿分【基础版】1．【题文】设条件P: 22310x x -+≤,条件q :()()22110x a x a a -+++≤,若P ⌝是q ⌝的必要不充分条件,求实数a 的取值范围. 【答案】102a ≤≤【解析】试题分析：利用不等式的解法求解出命题p ，q 中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a 的不等式，从而求解出a 的取值范围． 试题解析：()()21:2310211012p x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤, ()():101q x a x a a x a ⎡⎤--+≤⇒≤≤+⎣⎦ 则1:,2p x ⌝<或1x > :q x a ⌝<或1x a >+,由p ⌝是q ⌝成立的必要不充分条件,即只能q p ⌝⇒⌝,故必须满足11{ 02211a a a ≤⇒≤≤≤+. 2．【题文】已知2:,21p x R m x x ∃∈≤--+； :q 方程221x my +=表示焦点在x 轴上的椭圆.若p q ∧为真，求m 的取值范围. 【答案】(]1,2.【解析】 试题分析：因为(]221,2x x --+∈-∞，可命题p 为真时2m ≤，又由命题q 为时()1,m ∈+∞，即可求解实数m 的取值范围. 试题解析：因为()(]222112,2x x x --+=-++∈-∞， 所以若命题p 为真，则2m ≤. 若命题q 为真，则101m<<，即()1,m ∈+∞. 因为p q ∧为真，所以(]1,2m ∈.3．【题文】已知命题P ：函数()()25xf x a =-是R 上的减函数；命题Q ： x R ∈时，不等式220-+>恒成立.若命题“P Qx ax∨”是真命题，求实数a的取值范围.-【答案】()∨为真命题，则命题P和Q中至少有一【解析】试题分析：分别求出命题,P Q下的a的取值，根据P Q个真命题，分成三种情况讨论，即可求解实数a的取值范围．4．【题文】如果一个几何体的主视图与左视图是全等的长方形，边长分别是4,2，如图所示，俯视图是一个边长为4的正方形．(1)求该几何体的表面积；(2)求该几何体的外接球的体积．【答案】（1）64；（2）36π.【解析】试题分析：（1）该几何体是长方体，其底面是边长为4的正方形，高为2，求其3对面积之和；（2）由长方体与球的性质，可得长方体的体对角线是其外接球的直径，求出其面积.试题解析：(1)由题意可知，该几何体是长方体，其底面是边长为4的正方形，高为2，因此该几何体的表面积是2×4×4＋4×4×2＝64.(2)由长方体与球的性质，可得长方体的体对角线是其外接球的直径，则外接球的半径r3=，因此外接球的体积V＝43πr3＝43×27π＝36π，所以该几何体的外接球的体积是36π.5．【题文】某几何体的三视图如图所示,P是正方形ABCD对角线的交点,G是PB的中点.(1)根据三视图,画出该几何体的直观图.(2)在直观图中,①证明:PD∥平面AGC;②证明:平面PBD⊥平面AGC.【答案】（1）见解析；（2）见解析试题解析：(1)该几何体的直观图如图所示.(2)如图,①连接AC,BD交于点O,连接OG,因为G 为PB 的中点,O 为BD 的中点,所以OG∥PD，又OG ⊂平面AGC,PD ⊄平面AGC,所以PD∥平面AGC. ②连接PO,由三视图,PO⊥平面ABCD,所以AO⊥PO.又AO⊥BO,BO∩PO=O,所以AO⊥平面PBD ，因为AO ⊂平面AGC,所以平面PBD⊥平面AGC.6．【题文】如图所示，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形， PAD ∆为等腰三角形，90APD ∠=，平面PAD ⊥平面ABCD ，且1AB =， 2AD =， ,E F 分别为,PC BD 的中点.（1）证明： //EF 平面PAD ； （2）证明：平面PDC ⊥平面PAD ； （3）求四棱锥P ABCD -的体积. 【答案】（1）见解析；（2）2V 3=. 【解析】试题分析：（1）EF ∥平面PAD ，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF 与平面PAD 内一直线平行，连AC ，根据中位线可知EF∥PA，EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，满足定理所需条件； （2平面PAD ⊥平面ABCD ，根据面面垂直的判定定理可知在平面ABCD 内一直线与平面PAD 垂直，根据面面垂直的性质定理可知CD ⊥平面PAD ，又CD ⊂平面ABCD ，满足定理所需条件；（3）过P 作PO⊥AD 于O ，从而PO ⊥平面ABCD ，即为四棱锥的高，最后根据棱锥的体积公式求出所求即可．解：(1)如图所示，连接AC . ∵四边形ABCD 为矩形，且F 为BD 的中点, ∴F 也是AC 的中点. 又E 是PC 的中点， //EF AP , ∵EF ⊄平面PAD ， AP ⊂平面PAD .//EF ∴平面PAD(2) 证明：∵平面PAD ⊥平面ABCD ， CD AD ⊥，平面PAD ⋂平面ABCD AD =， ∴CD ⊥平面PAD . ∵CD ⊂平面PDC ，∴平面PDC ⊥平面PAD .(3)取AD 的中点O ，连接PO . ∵平面PAD ⊥平面ABCD ， PAD ∆为等腰三角形， ∴PO ⊥平面ABCD ，即PO 为四棱锥P ABCD -的高. ∵2AD =，∴1PO =. 又1AB =， ∴四棱锥P ABCD -的体积1233V PO AB AD =⋅⋅=. 7．【题文】已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标为()()()14,21,23A B C ---，，，. （Ⅰ）在ABC ∆中，求边AC 中线所在直线方程 （Ⅱ） 求ABC ∆的面积.【答案】(I) 95130x y -+=；(II)8.【解析】试题分析：（I ）由中点坐标公式得AC 边的中点17,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，由斜率公式得直线BM 斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可；（II ）由两点间距离公式可得可得BC 的值，由两点式可得直线BC的方程为10x y -+=，由点到直线距离公式可得点A 到直线BC 的距离d =由三角形的面积公式可得结果.试题解析：(I)设AC 边中点为M ，则M 点坐标为1722（，）∴直线71921522BMk +==+. ∴直线BM 方程为： ()()9125y x --=+ 即： 95130x y -+=∴AC 边中线所在直线的方程为： 95130x y -+=8．【题文】如图所示，在四棱锥P ABCD -中， AB ⊥平面,//,PAD AB CD E 是PB 的中点， F 是DC 上的点且1,2DF AB PH =为PAD ∆中AD 边上的高.（1）证明： //EF 平面PAD ； （2）若3,1PH AD FC ===，求三棱锥E BCF -的体积.【答案】（1）见解析；（2【解析】试题分析：（1）利用平行四边形得到线线平行，从而可证线面平行；（2）求棱锥髙时，利用E 是中点，转化为求P 到底面距离的一半，而易证PH ⊥平面ABCD ，高即为PH. 试题解析：（1）取PA 中点G ，连接,.GE DG∵E 为PB 中点，∴ //EG AB ， 12EG AB =,∵1//,2DF AB DF AB =，∴ //EG DF ， ∴四边形DGEF 是平行四边形，∴ //EF DG ，∵ DG ⊂平面PAD ， EF ⊄平面PAD ∴//EF 平面PAD（2）∵AB ⊥平面PAD ， PH ⊂平面PAD ，∴AB PH ⊥，∵,PH AD AB AD A ⊥⋂=，∴ PH ⊥平面ABCD ，∵ E 为PB 中点，∴E 到平面ABCD 的距离13=22h PH =，又111222BCF S CF AD ∆=⋅⋅=⨯=，11333224E BCF BCF V S h -∆=⋅=⨯=9．【题文】在直四棱柱中，，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：(1)先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,得两直线方向向量,利用向量数量积得两向量垂直(2)先利用方程组得平面法向量,根据向量数量积求得两向量夹角余弦值,最后根据线面角正弦值与两向量夹角余弦值绝对值相等,得结果试题解析：以方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.则10．【题文】已知229x y +=的内接三角形ABC 中， A 点的坐标是()3,0-，重心G 的坐标是1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，求（1）直线BC 的方程； （2）弦BC 的长度.【答案】（1）48150x y --=；（2 【解析】试题分析：（1）设()()1122,,,B x y C x y ,，根据重心的性质，我们不难求出BC 边上中点D 的坐标，及BC 所在直线的斜率，代入直线的点斜式方程即可求出答案． （2）求出圆心到BC 所在直线的距离，即可求出弦BC 的长度．11．【题文】已知⊙C 经过点()2,4A 、()3,5B 两点，且圆心C 在直线220x y --=上. （1）求⊙C 的方程；（2）若直线3y kx =+与⊙C 总有公共点，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）2268240x y x y +--+=（2）304k ≤≤ 【解析】试题分析：(1)解法1：由题意利用待定系数法可得⊙C 方程为2268240x y x y +--+=.解法2：由题意结合几何关系确定圆心坐标和半径的长度可得⊙C 的方程为()()22341x y -+-=. (2)解法1：利用圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到关系k 的不等式，求解不等式可得304k ≤≤. 解法2：联立直线与圆的方程，结合()()22623610k k ∆=+-+≥可得304k ≤≤. 试题解析：（1）解法1：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则2222242406{35350 {8 2422022D E F D D E F E F D E ++++==-++++=⇒=-=⎛⎫⎛⎫----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以⊙C 方程为2268240x y x y +--+=. 解法2：由于AB 的中点为59,22D ⎛⎫⎪⎝⎭， 1AB k =， 则线段AB 的垂直平分线方程为7y x =-+而圆心C 必为直线7y x =-+与直线220x y --=的交点，由7{220y x x y =-+--=解得3{ 4x y ==，即圆心()3,4C ，又半径为1CA ==，故⊙C 的方程为()()22341x y -+-=.点睛：判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．12．【题文】已知直线:l x m =（2m <-）与x 轴交于A 点，动圆M 与直线l 相切，并且与圆22:4O x y +=相外切，（1）求动圆的圆心M 的轨迹C 的方程； （2）若过原点且倾斜角为3π的直线与曲线C 交于,M N 两点，问是否存在以MN 为直径的圆经过点A ？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()()22222y m x m =-+-（2m <-）（2）故不存在以MN 为直径的圆恰好过点A 【解析】试题分析：（1）设出动圆圆心坐标，由动圆圆心到切线的距离等于动圆与定圆的圆心距减定圆的半径列式求解动圆圆心的轨迹方程； （2）求出过原点且倾斜角为3π的直线方程，和曲线C 联立后利用根与系数关系得到M ，N 的横纵坐标的和与积，由AM AN ⊥，得0AM AN ⋅=列式求解m 的值，结合m 的范围说明不存在以MN 为直径的圆过点A ． 试题解析：（1）设动圆圆心为(),M x y ，则()2OM x m =+-，化简得()()22222y m x m =-+-（2m <-），这就是动圆圆心的轨迹C 的方程.（2）直线MN 的方程为y x =，代入曲线C 的方程得()()2232220x m x m ----= 显然()21620m ∆=->.设()11,M x y ， ()22,N x y ，则12x x += 423m- ， 12x x = ()223m --，而121212•3y y x x x x ==若以MN 为直径的圆过点A ，则AM AN ⊥，∴0AM AN ⋅= 由此得()2121240x x m x x m -++=∴()22442m 2?033m m m ----+=，即2121603m m -+=.解得16m =±故不存在以MN 为直径的圆过点A点睛：本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用数量积判断两个向量的垂直关系，考查了学生的计算能力.13．【题文】已知1F 、2F 为椭圆C ： 22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点，点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭为椭圆上一点，且124PF PF +=．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若圆O 是以12F F 为直径的圆，直线l ： y kx m =-与圆O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且32OA OB ⋅=-，求k 的值．【答案】（1）22143x y +=；（2）2k =±．【解析】试题分析：（1）根据椭圆定义得24a =，再代入点P坐标得b =2）由直线与圆相切得221m k =+，由32OA OB ⋅=-，利用向量数量积得121232x x y y +=-，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理代入化简得k 的值．试题解析：（1）由题意得： 22191,{ 424,a ba +==解得2,{ a b == 则椭圆方程为22143x y +=． （2）由直线l 与圆O 相切，得21m k+， 221m k =+，设()11,A x y ， ()22,B x y ，由221,{ 43,x y y kx m +==+消去y ，整理得()2223484120k x kmx m +++-=， ()()()()2222844123416960km m k k ∆=--⋅+=+>恒成立，所以122834kmx x k +=-+， 212241234m x x k -=+， ()()221212231234m k y y kx m kx m k -=++=+，∵221m k =+， 212122553342k x x y y k --+==-+，解得2k =±．14．【题文】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，左顶点为A ， 122F F =，椭圆的离心率12e =. （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上任意一点，求1PF PA ⋅的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）[]0,12.【解析】试题分析：（1）由题意可得到： 2,1a c ==， b =（2）设()00,P x y ，利用向量的数量积即可得21001354PF PA x x ⋅=++，结合022x -≤≤，利用二次函数求最值即可. 试题解析：（1）由已知可得122,2c c e a === 所以2,1a c == 因为222a b c =+所以b =所以椭圆的标准方程为： 22143x y += （2）设()00,P x y ，又 ()()12,0,1,0A F -- 所以()()2100012PF PA x x y ⋅=----+，因为P 点在椭圆22143x y +=上， 所以2200143x y +=，即2200334y x =-，且022x -≤≤，所以21001354PF PA x x ⋅=++， 函数()20001354f x x x =++在[]2,2-单调递增， 当02x =-时， ()0f x 取最小值为0；当02x =时， ()0f x 取最大值为12. 所以1PF PA ⋅的取值范围是[]0,12.15．【题文】在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2C x py =的焦点为()0,1F ，过O 作斜率为k 的直线l 交抛物线于A （异于O 点），已知()0,5D ，直线AD 交抛物线于另一点B .（1）求抛物线C 的方程； （2）OA BF ⊥，求k 的值.【答案】(1) 2:4C x y =;(2) k =【解析】试题分析：（1）由抛物线22x py =的焦点为0,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，结合题意得抛物线方程； （2）已知直线:OA y kx =代入抛物线方程： 24x y =，消去y ， 240x kx -=，得()24,4A k k ，直线AB 与直线BF 联立得得222164154141k k B k k ⎛⎫-+ ⎪--⎝⎭，，由B 在抛物线C 上可解得k .试题解析： （1）由题意，12P=，所以2p =，所以抛物线2:4C x y = （2）已知直线:OA y kx =代入抛物线方程： 24x y =，消去y ， 240x kx -=，得()24,4A k k ；245,k 04ADk k k-=≠.直线245:54k AB y x k -=+，代入抛物线方程： 24x y =， 22452004k x x k ---=，得2525,4B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭. ()225254,4,,14OA k k BF kk ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.由OA BF ⊥得2204250OA BF k =+-=，解得2k =±.16．【题文】已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左右焦点分别为1F 、2F ，离心率e =过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，三角形2ABF 的周长为8. （1）求椭圆的方程；（2）若弦3AB =，求直线AB 的方程.【答案】（1）2214x y +=;（2）(:4AB y x =±+. 【解析】试题分析：（1）利用椭圆的离心率以及2ABF 的周长为8，求出a ，c ，b ，即可得到椭圆的方程， （2）求出直线方程与椭圆方程联立，点A 的坐标为()11x y ，, B 的坐标为()22,x y ，求出A ，B 坐标，然后求解三角形的面积即可． 试题解析：（1）三角形2ABF 的周长48a =，所以2a =.离心率2c e a ==，所以c =1b =. 椭圆的方程为： 2214x y +=点睛: 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．17．【题文】已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点C F ,上一点),3(m 到焦点的距离为5. （1）求C 的方程；（2）过F 作直线l ，交C 于B A ,两点，若直线AB 中点的纵坐标为1-，求直线l 的方程. 【答案】（1）x y 82=（2）084=-+y x 【解析】试题分析：（1）利用抛物线的定义，求出p ，即可求C 的方程；（2）利用点差法求出直线l 的斜率，即可求直线l 的方程试题解析：（1）法一：抛物线C : )0(22>=p px y 的焦点F 的坐标为)0,2(p，2分 解得4=p 或16-=p ∵0>p ，∴4=p∴C 的方程为x y 82=.……4分法二：抛物线C : )0(22>=p px y 的准线方程为,2p x -= 由抛物线的定义可知3()52p--= 解得4=p …………………3分∴C 的方程为x y 82=.……………4分￥法二：由（1）得抛物线C 的方程为x y 82=，焦点)0,2(F 设直线l 的方程为2+=my x由282y x x my ⎧=⎨=+⎩ 消去x ，得28160y my --=设B A ,两点的坐标分别为),(),,(2211y x B y x A ，∵线段AB 中点的纵坐标为1-∴12(8)122y y m +--==- 解得41-=m ……………………………………10分直线l 的方程为241+-=y x 即084=-+y x ……………………………………12分18．【题文】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，其长轴为4，短轴为2.（1）求椭圆C 的方程及离心率.（2）直线l 经过定点()0,2，且与椭圆C 交于,A B 两点，求OAB ∆面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=， e =（2）1【解析】试题分析：（1）根据条件可得2a =， 1b =，即得椭圆C 的方程，及离心率．（2）先设直线方程为： 2y kx =+，与椭圆联立方程组，利用韦达定理，结合弦长公式求得底边边长AB ，再根据点到直线距离得高，根据三角形面积公式表示OAB 面积，最后根据基本不等式求最大值试题解析：解：（Ⅰ） 2a =， 1b =， c =∴椭圆C 的方程为： 2214x y +=，离心率： c e a ==．（Ⅱ）依题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为k ，则直线方程为： 2y kx =+，由2244{ 2x y y kx +==+，得()224116120k x kx +++=，()()()22216441121643k k k ∆=-+⨯=-，由0∆>得： 2430k ->， 设()11,A x y ， ()22,B x y ，则1221641k x x k -+=+， 1221241x x k =+，AB ==又∵原点O到直线的距离d =，∴12OABSAB d =⨯==41=≤=． 当且仅当22164343k k -=-，即2434k -=时，等号成立， 此时OAB 面积的最大值为1．点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决. 19．【题文】正方体的棱长为，是与的交点，为的中点．（I ）求证：直线平面． （II ）求证：平面． （III ）二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】试题分析:（1）先根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结论（2）由侧棱垂直底面得，由正方形性质得，因此可由线面垂直判定定理得平面，同理可得，从而有面．（3）利于空间向量求二面角：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，通过解方程组得各面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据法向量夹角与二面角关系确定所求值（I）连接，在中，∵为的中点，为的中点，∴，又∵面，∴直线平面．（III）以为原点，建立空间坐标系，则，，，．易知面的一法向量为，设面的一法向量为中，∵，，，，，， ∴， 设二面角为， 则， 故二面角的余弦值为．20．【题文】已知过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于()()112212,,,()A x y B x y x x <两点，且6AB =.（1）求该抛物线C 的方程；（2）已知抛物线上一点(),4M t ，过点M 作抛物线的两条弦MD 和ME ，且M D M E ⊥，判断直线DE 是否过定点？并说明理由.【答案】（1）24y x =；（2）定点()8,4- 【解析】试题分析：（1）利用点斜式设直线直线AB 的方程,与抛物线联立方程组,结合韦达定理与弦长公式求AB ,再根据6AB =解得2p =.（2）先设直线DE 方程x my t =+, 与抛物线联立方程组,结合韦达定理化简MD ME ⊥，得48t m =+或44t m =-+,代入DE 方程可得直线DE 过定点()8,4-（2）由（1）可得点()4,4M ，可得直线DE 的斜率不为0，设直线DE 的方程为： x my t =+，联立2{ 4x my t y x=+=，得2440y my t --=， 则216160m t ∆=+>①.设()()1122,,,D x y E x y ，则12124,4y y m y y t +==-.∵()()11224,44,4MD ME x y x y ⋅=--⋅--()()12121212416416x x x x y y y y =-+++-++()2222121212124164164444y y y y y y y y ⎛⎫=⋅-+++-++ ⎪⎝⎭ ()()()2212121212343216y y y y y y y y =-++-++ 22161232160t m t m =--+-=即2212321616t t m m -+=+，得： ()()226421t m -=+， ∴()6221t m -=±+，即48t m =+或44t m =-+，代人①式检验均满足0∆>，∴直线DE 的方程为： ()4848x my m m y =++=++或()44x m y =-+.∴直线过定点()8,4-（定点()4,4不满足题意，故舍去）.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.。
专练07(理数解答题-基础)(30道)高二数学上学期期末考点必杀黄金200题(北师大版)
专练07（理数解答题-基础）（30道）一、解答题1．已知()223sin cos 2cos 1f x x x x =+-． （1）求()f x 的最大值及该函数取得最大值时x 的值；（2）在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，1a =，S 是ABC 的面积，22A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，比较33b c +与163S 的大小． 2．已知等差数列{}n a 中，11a =，321a a -=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .3．等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=.（1）求{}n a 的通项公式.（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，求数列{}n b 的前n 项和.4．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足：2cos cos cos b B C Aac c a=+. （1）求B ；（2）若ABC 面积为23S =，外接圆直径为4，求ABC 的周长. 5．如图所示，△ABC 中，AB =AC =2，BC =23.（1）求内角B 的大小;（2）设函数f (x )=2sin(x +B )，求f (x )的最大值，并指出此时x 的值. 6．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*n S nn N =∈，数列{}n b 满足12b =，()*1322,n n b b n n N -=+≥∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：数列{}1n b +是等比数列； （3）设数列{}n c 满足1nn n a c b =+，其前n 项和为n T ，证明：1n T <. 7．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）2n nb a =-+求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 8．已知不等式2364ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >． （1）求a ，b ；（2）解不等式2()0ax ac b x bc -++<．9．已知命题p ：2680x x -+<，命题q ：21m x m -<<+. （1）若命题p 为真命题，求实数x 的取值范围. （2）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；10．已知a R ∈，命题p ：[]0,1x ∃∈，使得(1)10a x -->；命题q ：x R ∀∈使得240x ax ++>.（1）写出命题p 的否定p ⌝，并求p ⌝为真时，实数a 的取值范围； （2）若命题,p q 有且只有一个为真，求实数a 的取值范围．11．设命题p ：实数满足()()30x a x a --<，其中0a >.命题q ：实数x 满足302x x -≤-. （1）当1a =时，命题p ，q 都为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.12．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD 、底面ABCD 为菱形，E 为PD 的中点.（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）设1,120PA BAD ︒=∠=，菱形ABCD 的面积为23，求二面角D AE C --的余弦值.13．在长方体1111OABC O A B C -中，2OA =，3AB =，12AA =，E 是BC 的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解下列问题：（1）求直线1AO 与1B E 所成的角的余弦值； （2）作1O D AC ⊥于D ，求点1O 到点D 的距离．14．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为菱形，BE ⊥平面ABCD ，G 为AC 与BD 的交点.（1）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（2）若60BAD ∠=︒，AE EC ⊥，求直线EG 与平面EDC 所成角的正弦值.15．设P 为矩形ABCD 所在平面外的一点，直线PA ⊥平面ABCD ，3AB =，4BC =，1PA =.求点P 到直线BD 的距离.16．如图，在多面体ABC—A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝2AB，B1C1=12BC，二面角A1-AB-C是直二面角.求证：（1）A1B1⊥平面AA1C；（2）AB1∥平面A1C1C.17．已知椭圆22149x y+=，一组平行直线的斜率是1.（1）这组直线何时与椭圆有公共点？（2）当它们与椭圆相交时，求这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程. 18．已知动圆经过点F(2,0)，并且与直线x＝－2相切（1）求动圆圆心P的轨迹M的方程；（2）经过点(2,0)且倾斜角等于135°的直线l与轨迹M相交于A，B两点，求|AB|19．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>与双曲线22142-=y x有相同的渐近线，且经过点2,2)M.（1）求双曲线C的方程；（2）求双曲线C的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.20．焦点在x轴上的椭圆的方程为2214x ym+=，点(2,1)P在椭圆上.（1）求m的值.（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.21．已知双曲线22221x ya b-=的离心率为2e=(2,3)P（1）求双曲线的方程；（2）求双曲线的焦点到渐近线的距离22．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，实轴长为2. （1）求双曲线C 的标准方程； （2）若直线l：y kx =+C 的左支交于A ､B 两点，求k 的取值范围.23．已知函数()xf x e x a =+-是偶函数. （1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）求不等式(x)x f ≥的解集.24．已知函数()22f x x x =-及点P ，过点P 作直线l 与曲线()y f x =相切（1）求曲线在点()1,1P 处的切线l 方程； （2）求曲线过点()1,0P 的切线l 的斜率.25．已知等差数列{}n a 满足833a a =，124a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 26．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知332a =，392S =. （1）求公比q ；（2）若m n ≠时，m n a a ≠.求数列16n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .27．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ca =.（1）求B ；（2）若ABC的面积为()A C +，4b =，求a 和c .28．已知锐角三角形ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2b =，3c =，三角形ABC的面积为2. （1）求BC 边上的高； （2）求()sin A C -29．已知正数x ，y 满足23x y +=，且12x y+的最小值为k ． （1）求k ．（2）若a ，b ，c 为正数，且a b c k ++=，证明：22232b c a k a b c+++≥．30．目前脱贫攻坚进入决胜的关键阶段，某扶贫企业为了增加工作岗位和增加员工收入，决定投入90万元再上一套生产设备，预计使用该设备后前()*n n ∈N年的支出成本为()2105nn -万元，每年的销售收入95万元．（1）估计该设备从第几年开始实现总盈利；（2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；问哪种方案较为合理？并说明理由．参考答案1．（1）当,6x k k Z ππ=+∈时，()f x 有最大值2；（2）33b c +≥【分析】（1）先化简函数()f x ，再根据正弦函数的性质即可求出答案；（2）先代入求出角A ，再根据立方和公式与面积公式化简代数式，再根据基本不等式即可比较大小． 【详解】解：（1）∵()2cos 2cos 1f x x x x =+-2cos2x x =+2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴当22,62x k k Z πππ+=+∈，即,6x k k Z ππ=+∈时，()f x 有最大值2；（2）由题意可得2sin 226A f A π⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴62A ππ+=，∴3A π=，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，代入数据得221b c bc +-=，==，∴()()3322b c b c b c bc +=++--()b c =+-0≥=， 当且仅当b c =时取等号，∴33b c +≥【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数与解三角形，第一问的解题关键在于化简函数解析式，第二问的关键在于熟记立方和公式与基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．2．（1）n a n =；（2）()12n n n S +=.【分析】（1）根据题中条件，先得出公差，进而可求出通项公式； （2）根据（1）的结果，由等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】（1）因为等差数列{}n a 中，首项为11a =，公差为321d a a =-=， 所以其通项公式为()11n a n n =+-=； （2）由（1）可得，数列{}n a 的前n 项和()()1122n n n a a n n S ++==. 3．（1）22n a n =+；（2）224n +-. 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解即可；（2）根据条件计算23,b b ，从而求出1,b q ，利用等比数列前n 项和公式即可求出n s . 【详解】解：(1)∵{}n a 是等差数列，121431021022a a a d a a d +=+=⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩， ∴解出2d =，14a =， ∴1(1)n a a d n =+-422n =+- 22n =+.(2)∵232328b a ==⨯+=，3727216b a ==⨯+=，{}n b 是等比数列，322b q b ==， ∴b 1=421(1)4(12)24112n n n n b q s q +--===---4．（1）3π；（2）6+. 【分析】（1）首先将已知等式化简，再利用正弦定理将边化角，即可求出结果；（2）根据三角形面积公式可得ac ， 再正弦定理可求b ，再利用余弦定理可求a c +，由此即可求出结果. 【详解】（1）2cos cos cos 2cos cos cos b B C Ab B a Cc A ac c a=+⇒=+， 得2sin cos sin cos sin cos sin()B B A C C A A C =+=+sin B =，1sin 0cos 2B B ≠∴=()0,B π∈∴3B π=.（2）ABC 的面积1sin 82S ac B ac ==⇒=，由正弦定理可知4sin bb B=⇒= 由222222cos 12b a c ac B a c ac =+-⇒+-=2()12336a c ac ⇒+=+=，则6a c +=，∴ABC 的周长为6+. 【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.5．（1）6B π=，（2）f (x )的最大值为2，此时2,3x k k Z ππ=+∈【分析】（1）利用余弦定理求解即可；（2）利用正弦函数的性质直接求其最大值 【详解】解：（1）因为△ABC 中，AB =AC =2，BC所以222cos 2AB BC AC B AB BC +-===⋅ 因为(0,)B π∈，所以6B π=，（2）由（1）可知()2sin()6f x x π=+，所以当2,62x k k Z πππ+=+∈时，()f x 取最大值2，即2,3x k k Z ππ=+∈【点睛】此题考查余弦定理的应用，考查正弦函数的性质的应用，属于基础题 6．（1）()*21n a n n N =-∈；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-.检验，当1n =时11211a ==⨯-符合，即可得解； （2）当2n ≥时，根据()111311311n n n n b b b b ---++==++，即可得证；（3）利用错位相减法可得：11(1)3nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即可得证.【详解】（1）当1n =时，111a S ==.当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-.检验，当1n =时11211a ==⨯-符合. 所以()*21n a n n N=-∈.（2）当2n ≥时，()111113113213111n n n n n n b b b b b b -----++++===+++， 而113b +=，所以数列{}1n b +是等比数列，且首项为3，公比为3.（3）由（1）（2）得11333-+=⋅=n nn b ，211(21)133nn n n n a n c n b -⎛⎫===- ⎪+⎝⎭，所以1231n n n T c c c c c -=+++++23111111135(23)(21)33333n nn n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①2341111111135(23)(21)333333nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②由①-②得12342111111(21)23333333n nn T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 2111113311(21)213313n n n -+⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=--⋅+ ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭11111(21)3333n nn +⎛⎫⎛⎫=--⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2221333nn +⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以11(1)3nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 因为1(1)03nn ⎛⎫+> ⎪⎝⎭， 所以1n T <. 【点睛】本题考查了利用n S 和n a 的关系求通项，构造法证明等比数列，以及错位相减法求和，是数列基本方法的考查，属于基础题. 7．（1）2n a n =-；（2）1n nT n =+. 【分析】（1）由30S =，55S =-，可得113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩求出1,a d ，从而可得{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得n b n =，从而可得11111(1)1n n b b n n n n +==-++，然后利用裂项相消求和法可求得n T 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为30S =，55S =-.所以113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩，化简得11021a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解得111a d =⎧⎨=-⎩，所以1(1)1(1)(1)2n a a n d n n =+-=+--=-， （2）由（1）可知2(2)2n n b a n n =-+=--+=，所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 所以111111(1)()()1223111n n T n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 【点睛】此题考查等差数列前n 项和的基本量计算，考查裂项相消求和法的应用，考查计算能力，属于基础题8．（1）1a =，2b =；（2）答案见解析. 【分析】（1）根据一元二次不等式与对应方程之间的关系，利用根与系数的关系，列出方程组，求出a ，b 的值；（2）将a ，b 的值代入，并将不等式因式分解为(2)()0x x c --<，通过对c 与2的大小关系进行讨论，得出不等式的解集. 【详解】（1）因为不等式2364ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >， 所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1．由根与系数的关系，得3121b ab a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩， 解得12a b =⎧⎨=⎩； （2）原不等式化为：2(2)20x c x c -++<，即(2)()0x x c --<，①当2>c 时，不等式的解集为{}2x x c <<， ②当2c <时，不等式的解集为{}2x c x <<， ③当2c =时，不等式的解集为∅． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，根与系数的关系的应用，考查了分类讨论的思想，属于基础题.9．（1）24x <<；（2）34m ≤≤. 【分析】（1）解不等式2680x x -+<即可求解；（2）由p 是q 的充分条件转化为集合的包含关系即可求解. 【详解】（1）由p ：2680x x -+<为真，解得24x <<. （2）q ：21m x m -<<+，若p 是q 的充分条件，()2,4是()2,1m m -+的子集所以22434143m m m m m -≤≤⎧⎧⇒⇒≤≤⎨⎨+≥≥⎩⎩.即[3,4]m ∈10．（1）2a ≤；（2）42a -<≤或4a ≥. 【分析】（1）根据命题p ，改量词否结论，即可得出p ⌝；由p ⌝为真，得到11-≤a x()0,1x ∀∈恒成立，进而可求出结果；（2）先分别求出命题p 为真，命题q 为真时，对应的a 的范围；根据命题,p q 有且只有一个为真，分p 真q 假，p 假q 真两种情况，分别求解，即可得出结果. 【详解】（1）由题意，p ⌝：()0,1x ∀∈，使得(1)10--≤a x ；若p ⌝为真，即11-≤a x()0,1x ∀∈恒成立，所以只需11a -≤，解得2a ≤． （2）由（1）可得，p ⌝为真时，2a ≤；所以，若命题p 为真，则2a >；若命题q 为真，则对于x R ∀∈，240x ax ++>恒成立， 因此只需∆<0，即2160a -<，解得44a -<<； 因为命题,p q 有且只有一个为真， 若p 真q 假，则有24a a >⎧⎨≤-⎩或24a a >⎧⎨≥⎩，解得4a ≥；若p 假q 真，则有244a a ≤⎧⎨-<<⎩，解得42a -<≤；综上，p 、q 有且只有一个为真时，a 的取值范围是42a -<≤或4a ≥. 11．（1）()2,3；（2）[)20,3,3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦．【分析】（1）由 1a =，化简命题p ，q ，然后根据两个命题都为真求解.（2）化简命题p ：(),3x a a ∈，q ⌝：(](),23,x ∈-∞⋃+∞，根据p 是q ⌝的充分不必要条件，由(),3a a (](),23,-∞+∞∪求解. 【详解】（1） 1a =时，p ：13x <<，q ：23x <≤， 因为p ，q 都为真，所以()2,3x ∈； （2） 0a >时 p ：(),3x a a ∈，q ⌝：(](),23,x ∈-∞⋃+∞， 因为p 是q ⌝的充分不必要条件， 所以(),3a a (](),23,-∞+∞∪， 则32a ≤或3a ≥， 解得203a <≤或3a ≥， 所以实数a 的取值范围是[)20,3,3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦．12．（1）证明见解析；（2）14. 【分析】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，则//PB OE ，利用线面平行的判定定理，即可得证；（2）根据题意，求得菱形ABCD 的边长，取BC 中点M ，可证AM BC ⊥，如图建系，求得点坐标及,AE AC 坐标，即可求得平面ACE 的法向量，根据AM ⊥平面P AD ，可求得面ADE 的法向量，利用空间向量的夹角公式，即可求得答案.【详解】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，则O 、E 分别为,AB ACAM PAD AE AC =⊥、PD 的中点，所以//PB OE ， 又OE ⊂平面,ACE PB ⊄平面ACE 所以//PB 平面ACE（2）由菱形ABCD 的面积为23，120BAD ︒∠=，易得菱形边长为2， 取BC 中点M ，连接AM ，因为AB AC =，所以AM BC ⊥，以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，AD 方向为y 轴，AP 方向为z 轴，建立如图所示坐标系.则()())10,2,0,0,0,0,0,1,,3,1,02D A E C⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()10,1,,3,1,02AE AC ⎛⎫== ⎪⎝⎭设平面ACE 的法向量()1,,n x y z =，由11,n AE n AC ⊥⊥得10230y z x y ⎧+=⎪⎪+=⎩，令3x =3,6y z =-= 所以一个法向量()13,3,6n =-，因为AM AD ⊥，AM PA ⊥，所以AM ⊥平面P AD ， 所以平面ADE 的一个法向量()21,0,0n =所以1212121cos ,43n n n n n n ⋅<>===，又二面角D AE C --为锐二面角，所以二面角D AE C --的余弦值为14【点睛】解题的关键是熟练掌握证明平行的定理，证明线面平行时，常用中位线法和平行四边形法来证明；利用空间向量求解二面角为常考题型，步骤为建系、求点坐标、求所需向量坐标、求法向量、利用夹角公式求解，属基础题. 13．（1）10；（2）13． 【分析】（1）由题意写出点的坐标，求出1AO ，1B E 的坐标，利用空间向量求异面直线所成角即可； （2）由题意得，1O D AC ⊥，//AD AC ，设(),,0D x y ，求出1O D ，AD ，AC 的坐标，列出方程组，求解,x y ，得出D 点坐标，利用向量的模求解即可. 【详解】（1）由题意得()2,0,0A ，()10,0,2O ，()12,3,2B ，()1,3,0E ． ∴()12,0,2AO =-，()11,0,2B E =--， ∴11cos ,10AO B E ==-， ∴1AO 与1B E 所成的角的余弦值为10． （2）由题意得，1O D AC ⊥，//AD AC ， ∵()0,3,0C，设(),,0D x y ，∴()1,,2O D x y =-，()2,,0AD x y =-，()2,3,0AC =-，∴230223x y x y -+=⎧⎪-⎨=⎪-⎩，解得18131213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1812,,01313D ⎛⎫⎪⎝⎭，∴111813O D O D ⎛=== ．14．（1）证明见解析；（2）10. 【分析】（1）由平面几何知识可得AC BD ⊥.，再由线面垂直的性质定理和判断可证得AC ⊥平面BED .根据面面垂直的判定可得证；.（2）在点G 建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -.根据线面角的向量求解方法可求得答案. 【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥. 因为BE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC BE ⊥. 又BE BD B ⋂=，所以AC ⊥平面BED .又AC ⊂平面AEC ， 所以平面AEC ⊥平面BED .（2）解法1：设1AB =，在菱形ABCD 中，由60BAD ∠=︒，可得2==AG GC ，12BG GD ==. 因为AE EC ⊥，所以在Rt AEC △中可得2EG AG ==. 由BE ⊥平面ABCD ，得EBG 为直角三角形，则222EG BE BG =+，得2BE =. 过点G 作直线//GZ BE ，因为BE ⊥平面ABCD ，所以GZ ⊥平面ABCD ，又AC BD ⊥， 所以建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -.()0,0,0 G，30,,02C⎛⎫⎪⎪⎝⎭，1,0,02D⎛⎫-⎪⎝⎭，12,0,22E⎛⎫⎪⎪⎝⎭，所以12,0,22GE⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭.设平面EDC的法向量为(),,n x y z=，21,0,2DE⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，132,,22CE⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，由DE nCE n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22132222x zx y z⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，取1x=，33y=-，2z=-，所以平面EDC的一个法向量为31,,2n⎛⎫=--⎪⎪⎝.设直线EG与平面EDC所成角为θ，则11011022sin cos,1113101242323GE nθ+--====+⋅++⨯.所以直线EG与平面EDC所成角的正弦值为10.解法2：如图以点B为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系B xyz-.不妨设2AB=，则()3,0A-，()2,0,0C，(2E，()3,0D，132G⎛⎫⎪⎪⎝⎭，所以1,22EG ⎛= ⎝.设平面EDC 的法向量为(),n x yz =，(1,ED =，(2,0,EC =，则00n ED n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得020x x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩， 令x =1y=，z =所以平面EDC的一个法向量为(3,1,n =.设EG 与平面EDC 所成角为θ，则2sin cos ,1EG n θ===.所以直线EG 与平面EDC 15．135. 【分析】由于BP 在BD 上的射影长为()()BP BDBA AP BC BA BDBD⋅+⋅+=，结合已知条件可求出其值为95，然后利用勾股定理可求出点P 到直线BD的距离 【详解】解：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AB ⊥， 所以BP==因为四边形ABCD 为矩形，所以90,4BAD AD BC ∠=︒==, 所以5BD ==,因为2|()()|9BP BD BA AP BC BA AB ⋅=+⋅+==，5BD =，所以BP 在BD上的射影长为95，又10BP =， 所以点P 到直线BD 的距离135d ==.故答案为：13516．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】利用面面垂直的性质定理证出AB ，AC ，AA 1两两互相垂直，建立空间直角坐标系A-xyz ， （1）求出平面AA 1C 的一个法向量，证出11//A B n ，即可证明. （2）求出平面A 1C 1C 的一个法向量，证明10AB m ⋅=即可证明. 【详解】因为二面角A 1-AB -C 是直二面角，四边形A 1ABB 1为正方形， 所以AA 1⊥平面BAC .又因为AB ＝AC ，BC 2， 所以∠CAB ＝90°， 即CA ⊥AB ，所以AB ，AC ，AA 1两两互相垂直. 建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，设AB ＝2，则A (0，0，0)，B 1(0，2，2)，A 1(0，0，2)，C (2，0，0)，C 1(1，1，2). （1）11A B ＝(0，2，0)，1A A ＝(0，0，－2)，AC ＝(2，0，0)， 设平面AA 1C 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则100n A A n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020z x -=⎧⎨=⎩，即00x z =⎧⎨=⎩，取y ＝1，则n ＝(0，1，0).所以112A B n=，即11//A B n . 所以A 1B 1⊥平面AA 1C .（2）易知1AB ＝(0，2，2)，11AC ＝(1，1，0)，1AC ＝(2，0，－2)， 设平面A 1C 1C 的一个法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，则11100m AC m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11110220x y x z +=⎧⎨-=⎩，令x 1＝1，则y 1＝－1，z 1＝1， 即m ＝(1，－1，1).所以1AB m ⋅＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0， 所以1AB m ⊥， 又AB 1⊄平面A 1C 1C ， 所以AB 1∥平面A 1C 1C . 【点睛】本题考查了空间向量法证明线面垂直、线面平行，考查了基本运算，属于基础题. 17．（1）截距在[范围内；（2）940x y +=. 【分析】（1）由已知设直线方程y x b =+结合椭圆方程，根据有公共点即所得方程的判别式2264208(9)0b b ∆=--≥即可知直线截距在[上有交点；（2）结合（1）由中点坐标可得49(,)1313b b-，而其中必有原点即可求直线方程； 【详解】（1）设平行直线的方程为y x b =+，若直线与椭圆有公共点，则：将y x b =+代入22149x y +=，整理得：221384360x bx b ++-=，∴2264208(9)0b b ∆=--≥解得：b ≤≤； （2）令交点坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，由（1）知：12813b x x +=-，而121218213by y x x b +=++=， 所以线段中点坐标为49(,)1313b b -，其中必有一个中点为坐标原点，故直线的斜率为94k =-，∴所在的直线方程：940x y +=； 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，计算确定何时它们会有公共点，以及求交点弦的中点所构成直线的方程.18．（1）28y x =（2）16【分析】（1）设(,)P x y ，根据题目条件列方程可求得结果； （2）联立直线与抛物线方程，根据弦长公式可得结果. 【详解】（1）设(,)P x y |(2)|x =--， 化简得28y x =，所以动圆圆心P 的轨迹M 的方程为28y x = （2）直线l 的方程为(2)y x =--，即2y x =-+，联立228y x y x=-+⎧⎨=⎩，消去y 并整理得21240x x -+=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则1212x x +=，124x x =，由弦长公式可得||AB =16==. 所以|16|AB = 【点睛】本题考查了求动点的轨迹方程，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理和弦长公式，属于基础题.19．（1）2212y x -=；（2）实轴长2 【分析】（1）由共渐近线双曲线方程的求法求解即可； （2）由双曲线方程及点到直线的距离求解即可. 【详解】解：（1）解：在双曲线22142-=y x 中，2a '=，b '=，则渐近线方程为a y x b''=±=，∵双曲线2222:1x y C a b -=与双曲线22142-=y x 有相同的渐近线，ba∴=， ∴方程可化为222212x y a a -=，又双曲线C 经过点M ，代入方程，222212a a ∴-=，解得1a =，b = ∴双曲线C 的方程为2212y x -=.（2）解；由（1）知双曲线22:12y C x -=中，1a =，b =c =∴实轴长22a =，离心率为==ce a设双曲线C 的一个焦点为(，一条渐近线方程为y =，d ∴==，.【点睛】本题考查了共渐近线双曲线方程的求法，重点考查了点到直线的距离，属基础题.20．（1）2（2）长轴长4、短轴长2【分析】（1）根据题意，代入点P ，即可求解.（2）由（1），写出椭圆方程，求解,,a b c ，根据椭圆长轴长、短轴长、焦距、离心率定义，即可求解. 【详解】（1）由题意，点P 在椭圆上，代入，211m+=，解得2m =（2）由（1）知，椭圆方程为22142x y +=，则2,a b c ===椭圆的长轴长24a =；’短轴长2b =焦距2c =；离心率c e a ==. 【点睛】本题考查（1）代入点求椭圆方程（2）求解长轴长、短轴长、焦距、离心率；考查概念辨析，属于基础题.21．（1）221x y -=；（2）1.【分析】（1）由条件得22431caa b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，从而可得方程；（2）分别写出焦点坐标和渐近线方程，再由点到直线距离公式可得解. 【详解】（1）双曲线22221x y a b-=的离心率为e =(2,P ，可得22431caa b⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ，解得：2211a b ⎧=⎨=⎩，所以221x y -=；（2）双曲线的焦点为(，渐近线为0x y ±=，1=，22．（1）2213x y -=；（21k <<.【分析】（1）由条件可得a =2c =，然后可得答案；（2）联立直线与双曲线的方程消元，然后可得()22221303610,0,1390,13A B A B k k x x k x x k ⎧-≠⎪∆=->⎪⎪⎪+=<⎨-⎪-⎪=>⎪-⎪⎩，解出即可. 【详解】（1）设双曲线方程为22221x y a b-=(0a >，0b >).由已知得：a =2c =，再由222+=a b c ，∴21b =，∴双曲线方程为2213x y -=.（2）设()A A A x y ，，()B B B x y ，，将y kx =+2213x y -=，得()221390k x ---=，由题意知()22221303610,0,1390,13A B A B k k x x k x x k ⎧-≠⎪∆=->⎪⎪⎪+=<⎨-⎪-⎪=>⎪-⎪⎩解得13k <<.1k <<时，l 与双曲线左支有两个交点. 23．(1) ()1y e x =+；（2）R . 【分析】（1）根据函数()xf x e x a =+-是偶函数，则()()f x f x -=恒成立，由x a x a +=-恒成立求得0a =，进而得到0x ≥时，()xf x e x =+，然后求得(1),(1)f f '，用点斜式写出切线方程.（2）不等式(x)x f ≥，即为xe x x +≥，然后分0x ≥，0x <求解. 【详解】（1）因为函数()xf x e x a =+-是偶函数， 所以()()xxf x ex a e x a f x --=+--=+-=恒成立，即x a x a +=-恒成立， 即()()22x a x a +=-恒成立， 即40ax =恒成立， 解得0a =.所以()xf x e x =+， 当0x ≥时，()xf x e x =+，所以()1xf x e '=+，(1)1,(1)1f e f e '=+=+，所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程()()()111y e e x -+=+-， 即；()1y e x =+.（2）不等式(x)x f ≥，即xe x x +≥， 当0x ≥时，0x e ≥，此时0x ≥， 当0x <时，2x e x -≥，此时0x <， 综上：不等式(x)xf ≥的解集是R .24．（1）320x y --=（2）3+或3- 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，根据点斜式求出切线方程； （2）利用导数的几何意义和斜率公式可解得结果. 【详解】（1）因为()22f x x x =-，所以()41f x x '=-，所以切线l 的斜率为(1)413f '=-=，又(1)211f =-=， 所以切线l 方程为13(1)y x -=-，即320x y --=.（2）设切点为2000(,2)x x x -，则2000020411x x x x ---=-，整理得2002410x x -+=，解得01x =+或012x =-，所以切线l的斜率为3+或3-， 综上所述：切线l的斜率为3+3- 【点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题. 25．（1）21n a n =-；（2）221=+n nT n 【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，由831234a a a a =⎧⎨+=⎩，可求出1,a d ，进而可求出数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）知2(21)(21)n b n n =-+112121n n =--+，利用裂项相消求和法可求出n T .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵831234a a a a =⎧⎨+=⎩，∴()11173224a d a d a d ⎧+=+⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，∴21n a n =-. （2）由（1）知2(21)(21)n b n n =-+，∴112121n b n n =--+，∴1111112(1)()()133521212121n nT n n n n =-+-++-=-=-+++. 26．（1）1q =或12-；（2）()1146492n n ⎡⎤⎛⎫-+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据题设条件可得关于q 的方程组，解方程组后可得q 的值. （2）利用错位相减法可求n T . 【详解】（1）由()22122213123210912a q q q q q q a q q ⎧=⎪++⎪⇒=⇒--=⎨⎪++=⎪⎩，∴1q =或12-. （2）易知数列非常数列，由（1）知1162n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭，∴11162n n na n -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭.∴012111111232222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.()1211111112122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+-⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.相减得：0121311111222222n nn T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+--⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴()11311124641229212nn nn n T n T n ⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-⨯-⇒=-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭.27．（1）4B π=；（2）a =4c =或4a =，c =【分析】（1）由正弦定理的边化角公式化简得出sin cos B B =，再结合辅助角公式以及解三角方程得出4B π=；（2）根据三角形的面积公式得出ac =2248a c +=，解方程得出答案. 【详解】解（1sin A =因为sin 0A ≠，所以sin cos B B =所以sin cos 4B B B π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭sin 14B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭则42B ππ+=，所以4B π=.（2）ABC的面积()1sin 824S ac B ac A C ===+=，ac =由4b =，得22162cos a c ac B =+-，即2248a c +=由2248ac a c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得a =4c =或4a =，c =28．（1）7（2）14-【分析】(1)利用三角形的面积公式可求sin A 的值，可得3A π=，由余弦定理可得a 的值，根据三角形的面积公式即可求解BC 边上的高；(2）由余弦定理可求cos C 的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin C 的值，根据两角差的正弦公式即可求解sin (A -C )的值．【详解】(1)在A BC 中，因为S =12bc sin A ，2b =，3c =123sin 2A =⨯⨯， 解得sin A=2，又0<A <2π 所以A =3π 由余弦定理得：2a =22+23-2x 2x 3x cos3π=7，a设BC 边上的高为h ，因为S =12a h ，12，解得h =（2）由（1）知a，A =3π， 因为c sinc =a sinA， 所以sin C=314csinA a⨯==， 因为0<C <2π， 所以cos C，所以1sin()sin cos cos sin 21421414A C A C A C -=-=-⨯=- 29．（1）3；（2）证明见解析.【分析】 （1）整体代入可得12112122(2)533y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由基本不等式可得； （2）由（1）得3a b c ++=，再利用基本不等式直接可以得证.【详解】（1）正数x ，y ，且23x y +=，所以12112122(2)533y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为0x >，0y >，所以224y x x y +≥=，当且仅当1x y ==时取等号， ()1221554333y x x y ⎛⎫∴++≥+= ⎪⎝⎭，故3k =；（2）证明：由（1）得3a b c ++=，因为a ，b ，c 为正数，所以22b a b a +≥=①，当且仅当a b =时取等号， 同理可得22c b c b+≥②，当且仅当c b =时取等号， 22a c a c+≥③，当且仅当c a =时取等号， ①+②+③得222b c a a b c a b c +++++22232()62b c a a b c k a b c=+++≥++==，当且仅当1a b c ===时取等号．【点睛】结论点睛：利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；②,a b R +∈，a b +≥，当且仅当a b =时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．30．（1）第2年；（2）方案二较为合理，理由见详解.【分析】（1）先设()f n 为前n 年的总盈利额，由题中条件得出()f n ，列出不等式求解，即可得出结果；（2）分别求出两种方案的总利润，以及所需要的时间，即可得出结论.【详解】（1）设()f n 为前n 年的总盈利额，单位：万元；由题意可得()()()()22951059010100901019n n n f n n n n n +-=--=--=---， 由()0f n >得19n <<，又*n ∈N ，所以该设备从第2年开始实现总盈利；（2）方案二更合理，理由如下：方案一：由（1）知，总盈利额()()221009010516010f n n n n +-=--+=-，当5n =时，()f n 取得最大值160；此时处理掉设备，则总利润为16020180+=万元； 方案二：由（1）可得，平均盈利额为()21009091010010020401n n n f n n n n +-⎛⎫=-++≤-⎪-== ⎝⎭， 当且仅当9n n=，即3n =时，等号成立；即3n =时，平均盈利额最大，此时()120f n =， 此时处理掉设备，总利润为12060180+=万元；综上，两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.。
专题01 小题好拿分(基础版)-2017-2018学年下学期期末复习备考高二数学(理)黄金30题
1．若曲线 321y a 2x C x x =-+：与曲线2:x C y e =在1x =处的两条切线互相垂直，则实数a 的值为______． 【答案】13e-∵曲线C 1：y=ax 3﹣x 2+2x 与曲线C 2：y=e x 在x=1处的切线互相垂直， ∴3a•e=﹣1，解得：a=﹣13e． 故答案为：﹣13e． 点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点()00,P x y 及斜率，其求法为：设()00,P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：()()000'y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点()()00,P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =． 2．函数 f (x )＝x e x 的单调减区间是______． 【答案】(－∞，－1)或(－∞，－1] 【解析】函数 f (x )＝x e x ，求导得： ()()x 1xf e x '=+.令()x 0f '<，解得1x <-.所以函数 f (x )＝x e x 的单调减区间是(－∞，－1)（ (－∞，－1]也可以). 故答案为: (－∞，－1)或(－∞，－1].3．如图，直线l 经过点(0，1)，且与曲线y ＝f (x ) 相切于点(a ，3)．若f ′(a )＝23，则实数a 的值是______．【答案】3【解析】由导数的几何意义知f ′(a )＝23，即为切线斜率为23. 所以2313a-=，解得3a =. 故答案为：3.4．若函数f (x )＝x 3－3x 2＋mx 在区间 (0，3) 内有极值，则实数m 的取值范围是______． 【答案】(－9，3)点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了分类讨论的思想，属于难题. 求函数()f x 极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数()f x '；③解方程()0f x '=，求出函数定义域内的所有根；④检验()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号,如果左正右负,那么()f x 在0x 处取极大值,如果左负右正,那么()f x 在0x 处取极小值．5．已知函数()f x 的定义域为R ， ()'f x 是()f x 的导函数，且()23f =， ()'1f x <，则不等式()1f x x >+的解集为_______．【答案】(),2-∞【解析】令()()()1g x f x x =-+，因为()23f =，且()'1f x <，所以()20g =， ()'0g x <， 即()()()1g x f x x =-+在R 上单调递减，且()1f x x >+可化为()()0g x g >，则2x <，即不等式()1f x x >+的解集为(),2-∞.点睛：本题考查利用导数研究不等式的解集.解决本题的关键是合理根据条件（()'1f x <且()23f =）构造函数()()()1g x f x x =-+和()()0g x g >，再利用单调性进行求解.6．_______.【答案】63.点睛：本题主要考查了二项式定理展开式的逆用和二项式系数的性质问题，试题比较基础属于基础题，着重考查了推理与运算能力.7．已知（1+x ）（a ﹣x ）6=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 7x 7，a ∈R ，若a 0+a 1+a 2+…+a 6+a 7=0，则a 3=___． 【答案】-5【解析】分析：先根据赋值法求a ，再根据x 3项系数求a 3.点睛：求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，.8．项是__________.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和．970．【答案】【解析】分析：先求出二项式展开式的通项公式,,,系数,70 ,.，求得的系数为，，故答案为点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.10时，变形为____________【解析】分析：用数学归纳法证明：6整除的过程中，6时，式子6整除，而26.11．用数学归纳法证明“__________ .点睛：项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.12．【解析】分析：根据函数表达式含义，准确判断出论.详解：，，，点睛：项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.13．甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为__________ .【答案】0.65【解析】分析：根据互相独立事件的概率乘法公式，求得甲乙都没有击中敌机的概率，然后利用对立事件的概率公式求解即可.详解：根据独立事件与独立事件的概率公式可得，由对立事件的概率公式可得，点睛：本题主要考查对立事件及独立事件的概率公式，属于中档题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.14．人民路华石路口一红绿灯东西方向的红灯时间为37 s，黄灯时间为3 s，绿灯时间为60 s．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到绿灯的概率为______．点睛：本题主要考查长度型几何概型，属于简单题，可直接绿灯的时间除以总时间求解.15．袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为___________.【答案】3/5【解析】袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，基本事件总数n=25C =10，这2只球颜色不同包含的基本事件个数m=326⨯=， ∴这2只球颜色不同的概率为p=63105m n ==． 故答案为：35． 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.16．已知长方形ABCD 中， 2AB =， 1BC =， O 为AB 的中点，若在长方形ABCD 内随机取一点M ，则1OM ≤的概率为______． 【答案】4π【解析】概率为几何概型，测度为面积，概率等于2112214ππ⋅=⨯17．已知实数[]1,9x ∈，执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为__________．【答案】38【解析】设实数x ∈[1,9]，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2，经过第二循环得到x=2(2x+1)+1，n=3，经过第三次循环得到x=2[2(2x+1)+1]+1，n=4此时输出x，输出的值为8x+7，令8x+7⩾55，得x⩾6，由几何概型得到输出的x不小于55的概率为963918 P-==-.故答案为：3 8 .18．从0,1,2,3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是__________．【答案】5 919．袋中混装着9个大小相同的球（编号不同），其中5只白球，4只红球，为了把红球与白球区分开来，采取逐只抽取检查，若恰好经过5次抽取检查，正好把所有白球和红球区分出来了，则这样的抽取方式共有__________种（用数字作答） .【答案】600:个红球、球，分别求出每种情况下的取法数目，再利用分类计数原理可得结果.详解：种请况：①前取出的全部为白球，安排在前.个红球、个红球中取出个，安排在前种不同的抽取方式，故答案为点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.20 .【答案】-1可得，.点睛：本题主要考查二项展开式定理的应用及灵活变形求值，特别是解决二项式的系数和的问题时，常采取赋值法，属于中档题.21．若=，则x的值为___．【答案】1或3【解析】分析：根据组合数性质，列方程，解得x的值.22________种.(结果用数值作答) 【答案】80.的位置分类，因为左右对称，所以只看左的情况最后乘以..点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．23．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为______．【答案】4 9点睛：本题主要考查分步计数乘法原理与古典概型概率公式的应用，属于中档题.24．用数字1到9组成没有重复数字的三位数，且至多有一个数字是偶数，这样的四位数一共有______个．（用数字作答）【答案】300【解析】分析：分两种情况讨论：①三位数中没有一个偶数数字，②三位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下三位数的数目，由分类计数原理计算可得答案.数数字三位数；②三位数中只有一个偶数数字，点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.25【解析】分析：.点睛：本题主要考查组合式的运算，解答这类问题，一定注意记忆常见组合式：（1（2）（3 26．从4个男生3个女生中挑选3人参加智力竞赛，要求既有男生又有女生的选法共有__________种．（用数字作答）【答案】30【解析】这3人中既有男生又有女生，包括2男1女和1男2女两种情况：若3人中有2男1女，则不同的选法共有2143C C 18=种；若3人中1男2女，则不同的选法共有1243C C 12=种，根据分类计数原理，既有男生又有女生的选法共有181230+=种，故答案为30．【方法点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.27．已知()()100111x a a x +=+- ()()21021011a x a x +-+⋅⋅⋅+-，则8a =__________．【答案】180【解析】()()()()1010101121x x x ⎡⎤+=--=-+-⎣⎦，()()100111x a a x +=+- ()()2102101...1a x a x +-++-， ()288102180a C ∴=⋅-=，故答案为180.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.28．口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回的逐一取球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为__________． 【答案】3529的分布列为，2，3，4 .【解析】分析：根据所给的离散型随机变量的分布列,可以写出变量等于,结合互斥事件的概率公式可得结果.详解：点睛：本题主要考查分布列的性质以及互斥事件的概率公式，属于简单题.30．已知随机变量X ～B (5，13)，则P (X ≥4)＝________. 【答案】11243【解析】()()4545551211145333243P X P X C C ⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。
专题02+大题好拿分【基础版】(20题)备考高二数学(理)黄金30题
1．（1）求函数()3231f x x x =-+的极小值；（2）求函数()22ln g x x x =-的单调减区间．答案（1）3-；（2）()0,1（2）函数()g x 的定义域为()0,+∞，()2'2g x x x=-， 令()'0g x <，即： 220x x-<，解得： 01x << 所以函数()g x 的单调递减区间为()0,1．点睛：求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增那么()f x 在0x 处取极小值． （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值．2．复数()()22563m m m m i -++-， m R ∈， i 为虚数单位． (I)实数m 为何值时该复数是实数； (Ⅱ)实数m 为何值时该复数是纯虚数．答案（Ⅰ）0m =或3m =时为实数；（Ⅱ） 2m =时为纯虚数．解析试题分析：（Ⅰ）当230m m -=，为实数；(Ⅱ)当22560{ 30m m m m -+=-≠，可得复数为纯虚数． 试题解析：（Ⅰ）当230m m -=，即0m =或3m =时为实数．（Ⅱ）当22560{ 30m m m m -+=-≠，即2,3{ 0,3m m m m ==≠≠，则2m =时为纯虚数． 3．已知复数121i,46i z z =-=+． ⑴求21z z ；⑵若复数1i z b =+ ()R b ∈满足1z z +为实数，求z ． 答案⑴15i -+⑵2z =解析试题分析：（1）利用复数的除法法则进行求解；（2）先利用复数的加法法则得到1z z +，再利用复数的概念确定b 值，再利用模长公式进行求解．4．已知函数()32392f x x x x =-++-，求：（1）函数()y f x =的图象在点()()0,0f 处的切线方程； （2）()f x 的单调递减区间．答案（1）920x y --=；（2）()(),1,3,-∞-+∞解析试题分析：（1）求导得()2369f x x x '=-++，故()09f '=，又()02f =-，根据点斜式方程可得切线方程；（2）令()0f x '<，解不等式可得函数的单调递减区间。
专题01 经典母题30题-数学(理)走出题海之黄金30题系列
母题1【集合运算】（2016甲卷理2）已知集合{123}A =，,，{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，，则AB =（ ）.A.{}1B.{12}，C.{}0123，，，D.{10123}-，，，， 【答案】C【解析】 因为()(){}120Z B x x x x =+-<∈，{}12Z x x x =-<<∈，，所以{}01B =，，所以{}0123A B =，，，.故选C.母题2【充分条件和必要条件】（2016四川理7）设p ：实数，y 满足22(1)+(1)2x y --；：实数，y 满足111yx yx y -⎧⎪-⎨⎪⎩，则p 是的（ ）. A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A母题3【函数的性质】（2016甲卷理12）已知函数()()f x x ∈R 满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，⋯，()m m x y ，，则()1miii x y =+=∑( ).A. B.m C. 2m D. 4m 【答案】B【解析】 由()()2f x f x -=-得，()f x 关于()01，对称，而111x y x x+==+也关于()01，对称，所以对于每一组对称点有0i i x x '+=，=2i i y y '+，所以()111m m mi i i ii i i x y x y ===+=+=∑∑∑022mm +⋅=.故选B. 母题4【函数的图象】（2016乙卷理7）函数22e xy x =-在[]2,2-的图像大致为（ ）.-221Oxy-221Oxy -221Oxy -221OxyA. B. C.D.【答案】D 分析 对于函数图像识别题一般是利用函数性质排除不符合条件的选项.母题5【三角形函数的图象和性质】（2016全国乙理12）已知函数π()sin()0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，π4x =-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π1836⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（ ）. A.11 B. C. D. 【答案】B【解析】 依题意，可得()π2124T k =⋅+，k ∈N ，且5ππ36182T-，即π6T . 故2112k +，k ∈N ，即112k，k ∈N .当5k =时，2π11T =.又ππ2π3π5π184114436<-=<，因此()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭上不单调.当4k =时，2π9T =，且π2πππ5π,49361836⎛⎫-=∉ ⎪⎝⎭.又ππ5ππ5π,49361836⎛⎫-=∉ ⎪⎝⎭，因此()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为9.故选B. 母题6【平面向量数量积】（2016天津理7）已知ABC △是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为（ ）.A. 58-B.18C.14D.118【答案】B【解析】 由题意作图，如图所示.则()AF BC AE EF BC ⋅=+⋅=111cos60448AC BC ⋅==.故选B.FEDCBA母题7【内切球】（2016全国丙理10）在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）. A.4π B.9π2C.6πD.32π3【答案】B【解析】 如图所示，假设在直三棱柱111ABC A B C -中，有一个球与平面11ABB A ，平面11BCC B ，平11AAC C 面相切，其俯视图如图所示.设其球的半径为，则16822,11(6810)22ABC ABCS r C ⨯⨯===⨯++△△且123r AA =，得32r.因此，直三棱柱内球的半径最大值为32，则33max 4439πππ3322V r ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.故选B.母题8【平面与平面平行的判定】(2016全国乙理11)平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，α∥平面11CB D ，α平面=ABCD m ，α平面11=ABB A n ，则m ，所成角的正弦值为（ ）. A.32 B.22 C. 33 D.13【答案】AABCDA 1B 1C 1D 1EFD 1C 1B 1A 1DCBAB ACC 1B 1A 1CBA母题9【直线和双曲线位置关系】2016天津理6）已知双曲线()2224=10y b bx ->，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）.A.22443=1y x - B.22344=1y x - C.2244=1y x - D.2224=11x y - 【答案】D【解析】 根据对称性，不妨设A 在第一象限，(),A A A x y ，联立2242x y b y x⎧+=⎪⎨=⎪⎩，得2244,244b A b b ⎛⎫⋅ ⎪++⎝⎭.所以216422A A b b x y b =⋅=+，得212b =. 故双曲线的方程为2224=11x y -.故选D. 母题10【直线和抛物线位置关系】（2016四川理8）设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为( ). A.33 B.23C.22D. 母题11【程序框图】（2016全国丙理7）执行右图的程序框图，如果输入的4,6a b ==，那么输出的n =（ ）.A. B. C. D.停止s=s +a ,n =n +1b =b-an =0,s =0否a =b-a输入a ，b开始s >16输出n是a =b+a【答案】B母题12【排列和组合】（2016全国甲理5）如图所示，小明从街道的E 处出发，先到处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）.A.24B.18C.12D.9【答案】B【解析】 从→E F 的最短路径有种走法，从→F →G 的最短路径有种走法，由乘法原理知，共6318⨯=种走法.故选B ．母题13【几何概型】（2016全国乙理4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）. A. B.12 C.23 D. 34【答案】B母题14【复数的运算及概念】（2016全国乙理2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（ ）.23【答案】B【解析】 由()1i 1i x y +=+，得1x y ==，所以i 1i 2x y +=+=故选B.母题15【导数的几何意义】（2016甲卷理16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，则b = . 【答案】1ln2-【解析】 ln 2y x =+的切点为()11ln +2x x ，，则它的切线为111ln 1y x x x =⋅++.()ln 1y x =+的切点为()22ln +2x x ，，则它的切线为：()22221ln 111xy x x x x =++-++， 所以()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩，解得112x =，212x =-，所以1ln 11ln 2b x =+=-.母题16【二项式定理】（2016全国乙理14）()52x x+的展开式中，3x 的系数是 （用数字填写答案）. 【解析】()52x x+的展开式的通项公式为()()55555221555C 2C 2C 20,1,,5k k k kkkk kk kk T x x xxk -+----+====.令532k -=，得4k =.故3x 的系数是4545C 210-=. 母题17【直线和圆】（2016全国丙理16）已知直线:330l mx y m ++-=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别做的垂线与轴交于C ，D 两点，若23AB =，则CD =__________________.【解析】 解法一：根据直线与圆相交弦长公式有22223AB r d =-=，得223r d -=，又212r =，得3d =.因此圆心()0,0O 到直线：330mx y m ++-=的距离23331m d m -==+，解得3.3m =-因此直线的方程为3233y x =+.所以直线的倾斜角为30.如图所示，过点C 作CE BD ⊥于点E ，A DCxOy E B则234cos30cos3032CE AB CD ====.母题18【线性规划】（2016全国乙卷理16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用个工时；生产一件产品需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用个工时.生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元，该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A ，产品B 的利润之和的最大值为 元.【答案】216000母题19【平面向量坐标运算】（2016全国乙理13）设向量(,1)m =a ，(1,2)=b ，且222+=+a b a b ，则m = .【答案】2-【解析】 因为()2222222222==++=++=+a +b a +b a b ab a b ab a b ，故20=ab ，即0=ab .所以()(),11,220m m =⋅=+=ab ，得2m =-.母题20【等比数列通项公式和性质】（2016全国乙理15）设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 .【答案】64解法一：由1n a ，得4112n -⎛⎫⎪⎝⎭，得4n，且41a =.故当3n =或时，12n a a a 取得最大值， 即()321121231234max11164222n a a a a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.解法二：()()211720121221211822n n n n n n nn a a a a q--+++++-⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭.故当3n =或时，12n a a a 取得最大值6264=.母题21【立体几何与空间向量】【2014高考北京理第17题】如图，正方体MADE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点，在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF与棱FD ，PC 分别交于G ，H . （1）求证：FG AB //；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA AE =，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长.△的内角A，B，C的对边分别为a，，，已母题22【解三角形】（2016全国乙理17）ABC知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （1）求C ； （2）若7c =，ABC △的面积为332，求ABC △的周长． 【解析】（1）由已知及正弦定理得，2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，即2cos sin()sin C A B C +=，故2sin cos sin C C C =，可得1cos 2C =，所以3C π=.母题23【等差数列通项公式和数列求和】（2016全国甲理17）n S 为等差数列{}n a 的前项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过的最大整数，如[]0.90=，[]lg 991=．（1）求1b ，11b ，101b ；（2）求数列{}n b 的前1000项和．【解析】 （1）设{}n a 的公差为，74728S a ==，所以44a =，所以4113a a d -==，所以1(1)n a a n d n =+-=．所以[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===，[][]101101lg lg1012b a ===．（2）当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，；当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，； 当2lg 3n a <≤时，100101999n =⋅⋅⋅，，，；当lg 3n a =时，1000n =． 所以1000121000=T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg =a a a ++⋅⋅⋅+091902900311893⨯+⨯+⨯+⨯=．母题24【数列递推公式和数列求和】（2016山东理18）已知数列{}n a 的前项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）令1(1).(2)n n n nn a c b ++=+求数列n C 的前项和n T .【解析】 （1）由题意知当2n 时，165n n n a S S n -=-=+，当1n =时，1111a S ==，所以()*65n a n n =+∈N .设数列{}n b 的公差为d，由112223a b b a b b ⎧⎨⎩=+=+，即111121723b db d=+⎧⎨=+⎩，解得14b =，3d =，所以()*31n b n n =+∈N .（2）由（1）知11(66)3(1)2(33)n n n nn c n n +++==+⋅+，又123n n T c c c c =+++⋅⋅⋅+， 得23413[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，345223[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，两式作差，得：234123[22222(1)2]n n n T n ++-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯=224(21)3[4(1)2]3221n n n n n ++-⨯+-+⨯=-⋅-，所以232n n T n +=⋅.母题25【空间向量与立体几何】（2016全国乙理18）如图所示，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，2AF FD =，90AFD ∠=，且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60．FEDC BA（1）求证：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （2）求二面角E BC A --的余弦值．由（1）知DFE ∠为二面角D AF E --的平面角，故60DFE ∠=︒，则2DF =，3DG =，可得(140)A ，，，(340)B -，，，(300)E -，，，(003)D ，，.由已知，AB EF ，所以AB 平面EFDC . 又平面ABCD 平面EFDC CD =，故ABCD ，CD EF .由BEAF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以CEF ∠为二面角C BE F --的平面角，母题26【离散型随机变量的分布列和期望】（2016全国乙理19）某公司计划购买台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买台机器的同时购买的易损零件数. （1）求X 的分布列； （2）若要求()0.5P Xn ，确定n 的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？【解析】（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为，，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2. 从而：(16)0.20.20.04P X ==⨯=；(17)20.20.40.16P X ==⨯⨯=；(18)20.20.20.40.40.24P X ==⨯⨯+⨯=；(19)20.20.220.40.20.24P X ==⨯⨯+⨯⨯=； (20)20.20.40.20.20.2P X ==⨯⨯+⨯=；(21)20.20.20.08P X ==⨯⨯=；(22)0.20.20.04P X ==⨯=.所以X 的分布列为：X 16 17 18 19 20 21 22P0.040.160.240.240.20.08 0.04（2）由（1）知，(18)0.44P X =≤，(19)0.68P X =≤，故的最小值为19. （3）记Y 表示台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）. 当19n =时，192000.68(19200500)0.2EY =⨯⨯+⨯+⨯+(192002500)0.08(192003500)0.04⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯4040=.当20n =时，202000.88(20200500)0.08EY =⨯⨯+⨯+⨯+(202002500)0.044080⨯+⨯⨯=. 可知当19n =时所需费用的期望值小于20n =时所需费用的期望值，故应选19n =.母题27【直线和椭圆位置关系】（2016全国甲理20）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在轴上，A是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥. （1）当4t =，AM AN =时，求AMN △的面积； （2）当2AM AN =时，求k 的取值范围.解法二：设点()00M x y ，，且MN 交轴于点D . 因为AM AN =，且AM AN ⊥，所以MD AD ⊥，MD AD = .由2200+143x y =，得2001232x y -=.又0022AD x x =--=+，所以20012322x x -=+，解之得02x =-或27-. 所以127AD = ，所以211214422749AMN S ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭△.因为2AM AN =，所以()222322222332616112113332122m m ma ma m a m m a m a m m --+=+⇒=>⇒<<++-所以)312k m=∈，.解法二：设直线AM 的方程为()y k x t=+，联立()2213x y t y k x t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()222223230tk xt tk x t k t +++-=，解得x t=-或2233t tk t x tk -=-+，所以22222361133t tk t t AM k t k tk tk -=+-+=+⋅++，所以2613t AN k t k k=+⋅+.因为2AM AN =，所以2226621133t tk k t tk k k⋅+⋅=+⋅++，整理得，23632k k t k -=-． 因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以3t >，即236332k k k ->-，整理得()()231202k k k +-<-，解得322k <<． 母题28【导数的综合运用】（2016乙卷理21）21.已知函数2()(2)e (1)x f x x a x =-+-有两个零点.（1）求a 的取值范围；（2）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，求证：122x x +<.（ⅱ）当()ln 21a -=，即e2a =-时， 当1x 时，10x -，1e 2e e 0x a +-=，所以()0f x '.同理1x >时，()0f x '>. 故()f x 的单调增区间为(),-∞+∞； （ⅲ）当()ln 21a -<，即e02a -<<时.令()0f x '>，则()ln 2x a <-或1x >， 所以()f x 的单调增区间为()(),ln 2a -∞-和()1,+∞，同理()f x 的单调减区间为()()ln 2,1a -.综上所述，当e2a <-时，()f x 的单调增区间为(),1-∞和()()ln 2,a -+∞，单调减区间为()()1,ln 2a -；当e2a =-时，()f x 的单调增区间为(),-∞+∞； 当e02a -<<时，()f x 的单调增区间为()(),ln 2a -∞-和()1,+∞，单调减区间为()()ln 2,1a -；当0a 时，()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为(),1-∞.（2）若()f x 有两个零点，则0a >，且()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 要证明122x x +<，不妨设12x x <，且121x x <<.只需证明：122x x <-，因为()f x 在(),1-∞上单调递减， 所以()()122f x f x >-，又()()12f x f x =，则()()222f x f x >-，即令()()()()21g x f x f x x =-->，()()()()()()22222e 122e 212e e x x x x g x x a x x a x x x --=-+-------=-+，因为()10g =，()()()()()()22221e e e 1e 1e 1e e x x x x x x x g x x x x x x ----'=-+-=-+-=--， 当1x >时，10x ->且2e e x x ->，所以()0g x '>，所以函数()g x 在()1,+∞上单调递增，因此()()10g x g >=，故()()()21f x f x x >->，即有()()222f x f x >-，则()()122f x f x >-， 又()y f x =在(),1-∞上单调递减，则122x x <-.故122x x +<.证毕.母题29【坐标系与参数方程】（2016全国乙理23）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（为参数，0a >）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cos C ρθ=.（1）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（2）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a .又12,C C 公共点都在3C 上，故3C 的方程即为公共弦24210x y a -+-=. 又3C 为0θα=，0tan 2α=，即为2y x =，从而可知1a =． 母题30【不等式选讲】（2016全国甲理24）已知函数11()22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集.（1）求M ；（2）证明：当a b M ∈，时，1a b ab +<+.【解析】 （1）当12x <-时，()112222f x x x x =---=-<，所以112x -<<-；。
2017_2018学年高二数学上学期期末复习备考黄金30题专题03小题好拿分(提升版,30题)理
小题好拿分【提升版】一、单选题1．“0x ∀>， 2sin x x >”的否定是（ ） A. 0x ∀>， 2sin x x < B. 0x ∀>， 2sin x x ≤ C. 00x ∃≤， 002sin x x ≤ D. 00x ∃>， 002sin x x ≤ 【答案】D【解析】“0x ∀>， 2sin x x >”的否定是00x ∃>， 002sin x x ≤,故选D. 2．下列说法中，正确的是（ ）A. 命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b >，则221a b≤-”B. 命题“存在x R ∈，使得210x x ++<”的否定是：“任意x R ∈，都有210x x ++>”C. 若命题“非p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题D. “a b >”是“22ac bc >”的充分不必要条件【答案】C3．已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为（ ）A. 1612π+B. 3212π+C. 2412π+D. 3220π+ 【答案】A4，球的半径为2，所以几何体的表面积为： 221422412162S πππ=⨯⨯+⨯+=+，故选A ．4．已知圆锥的高为5表面积为（ ）A. 4πB. 36πC. 48πD. 24π 【答案】B【解析】设球的半径为R ，则∵圆锥的高h=5，底面圆的半径， ∴R 2=（R ﹣h ）2+r 2，即R 2=（R ﹣5）2+5， 解得：R=3，故该球的表面积S=4πR 2=36π， 故选：B.5．在四面体S ABC -中， ,2,AB BC AB BC SA SC ⊥===平面SAC ⊥平面BAC ，则该四面体外接球的表面积为（）A.163π B. 8π C. 83π D. 4π 【答案】A【解析】AB BC ⊥， A B BC ==2AC ∴=， 2,SA SC ==SAC ∴为等边三角形又平面SAC ⊥平面BAC取AC 中点D ，连接SD ，则球心O 在SD 上，有r =3r =∴该四面体外接球的表面积为163π 故选A .6．已知矩形,4,3ABCD AB BC ==.将矩形ABCD 沿对角线AC 折成大小为θ的二面角B AC D --，则折叠后形成的四面体ABCD 的外接球的表面积是（ ） A. 9π B. 16π C. 25π D. 与θ的大小无关 【答案】C【解析】由题意得，在二面角D B AC --内AC 的中点O 到点A,B,C,D 的距离相等，且为522AC =，所以点O 即为外接球的球心，且球半径为52R =，所以外接球的表面积为24=25S R ππ=.选C. 7．在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是侧面11AA D D 与底面ABCD 的中心，则下列命题中错误的个数为（ ）①//DF 平面11D EB ； ②异面直线DF 与1B C 所成角为60︒； ③1ED 与平面1B DC 垂直； ④1112F CDB V -=． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】A8．圆锥的轴截面SAB 是边长为4的正三角形（S 为顶点），O 为底面中心， M 为SO 中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周），若AM MP ⊥，则点P 形成的轨迹长度为（ ）【答案】D【解析】 过M 点作3MP AM ⊥交AB 于3P ，过3P 作12PP AB ⊥交圆锥底面圆周为12,P P ， 则12PP ⊥平面3AMP ，所以12AM PP⊥，即点P 轨迹为线段12PP ，因为SAB ∆是边长为4的对边三角形，所以2,AO SO ==，所以12OM SO == 因为0390AMP ∠=，所以23OM AO OP =⋅，解得332OP=，所以12PP ==D.点睛：本题主要考查了空间几何体的结构特征及其应用，其中解答中涉及到直线与平面垂直的判定和性质，等边三角形的性质等知识点的综合运用，试题有一定的难度，属于中档试题，解答中正确作出点P 的轨迹是解答的关键. 9．已知直线，平面且给出下列命题： ①若∥，则； ②若，则∥；③若，则； ④若∥，则. 其中正确的命题是A. ①④B. ③④C. ①②D. ①③ 【答案】A10．已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，在对角线1A D 上取点M ，在1CD上取点N ，使得线段MN 平行于对角面11ACC A ，则MN 的最小值是（ ）1【答案】A【解析】作1MM AD ⊥于点1M ，作1NN CD ⊥于点1N ，易证11//M N AC ，设11DM DN x ==，则11,1MM x NN x ==-，在直角梯形11MNN M ，易得)()22221112633MN x x x ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，当13x =时， MN 故选A.【方法点睛】本题主要考查正方体的性质、线面平行的判定与性质以及求最值问题，属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域.11．如图，在长方体ABCD A B C D '-'''中，点,P Q 分别是棱,BC CD 上的动点，4,3,BC CD CC '===直线CC '与平面'PQC 所成的角为030，则PQC ∆'的面积的最小值是（ ）B. 8D. 10 【答案】B【解析】以C 为原点，以CD ，CB ，CC ′为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则C （0，0，0），((0,23,0,,23,C P C a ''=- 设P （0，a ，0），Q （b ，0，0），于是0＜a≤4，0＜b≤3． ()()(,0,23,0,,23,QC b PC aCC ∴=-=-=''' 设平面PQC ′的一个法向量为(),,n x y z = 则00{{ 00ay n PC n QC bx '-+=⋅=∴⋅=-+'＝ 令z=1，得2223231212,,123,23,1n n CC CC n b ⎛⎫=∴⋅===++ ⎪ ⎪⎝''⎭22221112121cos ,324n CC ab a b b ∴==∴+=∴='+a 2b 2≥2ab，解得ab≥8． ∴当ab=8时，S △PQC =4，棱锥C′-PQC 的体积最小，∵直线CC ′与平面PQC ′所成的角为30°，∴C 到平面PQC ′的距离12=∵V C′-PQC =V C-PQC′，114833PQC PQC S S '∆'∆∴⨯⨯=⨯= 故选B点睛：本题考查了线面角的计算，空间向量的应用，基本不等式，对于三棱锥的体积往往进行等积转化,可以求对应的三角形的面积.12．已知抛物线22y px =，直线l 过抛物线焦点，且与抛物线交于A ， B 两点，以线段AB 为直径的圆与抛物线准线的位置关系是（ ）A. 相离B. 相交C. 相切D. 不确定点睛:本题考查直线与圆的位置关系以及抛物线的定义的应用,属于中档题. 以线段AB 为直径的圆的圆心为AB 中点M,圆心到抛物线准线的距离为MN,由图可知MN 为梯形APQB 的中位线,即()12MN AP BQ =+,再根据椭圆的定义可得2AB r AF BF AP BQ ==+=+,圆心M 到准线的距离等于半径,故直线与圆相切.13．若直线l ：ax ＋b y ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为 ( )【答案】B【解析】圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的标准方程为()()22214x y +++=，圆心()2,1M --，所以()()2110,21,12a b a b b a ⨯-+⨯-+=+==- ，则()()()()22222222122555a b a a a -+-=-+--=+≥，选B.点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系以及二次函数的最值，属于中档题。
黄金30题系列 高二年级数学江苏版 小题好拿分【基础版】
黄金30题系列高二年级数学江苏版小题好拿分【基础版】学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、填空题1. 棱长均为的正四棱锥的全面积为_________.2. 若直线ax+2y+6=0与直线x+（a﹣1）y+2=0垂直，则实数a的值为_____．3. 命题“若α是钝角，则sinα＞0”的逆否命题为_____．4. 抛物线的准线方程是_____．5. 已知双曲线上一点到一个焦点的距离等于2，则点到另一个焦点距离为______．6. 在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的横坐标是____．7. 函数的图象在点处的切线方程为__________________．8. 若椭圆短轴一端点到椭圆一个焦点的距离是该焦点到同侧长轴端点距离的倍，则该椭圆的离心率为___________．9. 函数的单调递增区间为_______.10. 已知，，则以为直径的圆的方程为___________．11. 函数在区间[ －2,3 ]上的最小值为________．12. 抛物线的准线方程为________．13. 方程表示双曲线的充要条件是_________.14. 过椭圆的右焦点F作倾斜角为的直线交椭圆与A,B两点，则线段AB=_________15. 若，则等于___________.16. 如图是4位评委给某作品打出的分数的茎叶图，那么4位评委打出的分数的方差是__________．8 899 1217. 阅读下列伪代码，当，的输入值分别为2，3时，则输出的实数的值是__________．Read ,If ThenElseEnd IfPrint18. 已知甲、乙、丙3类产品共1200件，且甲、乙、丙3类产品的数量之比为3：4：5，现采用分层抽样的方法从中抽取60件，则乙类产品抽取的件数是__________．19. 判断任意输入的数x是否是正数，若是，输出它的平方值；若不是，输出它的相反数．则填入的条件应该是___．20. 如图所示，该程序运行后输出的结果为_____．21. 已知直线与圆相交于两点，为坐标原点，若，则实数的值为_____．22. 一份共3道题的测试卷，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为、、和，若班级共有50名学生，则班级平均分为_____．23. 已知命题：“”，则：______24. 已知复数z与（z-3）2+5i 均为纯虚数，则z=___________．25. 已知函数f(x)的导函数，x∈(－1,1)，f(0)＝0，若，则实数x的取值范围__________.26. 已知函数，则__________.27. “”为真命题，则的取值范围是___________．28. 已知是两条不同直线，、β、γ是三个不同平面．下列命题中正确的是_______．（1）．若⊥γ，β⊥γ，则//β（2）．若⊥，⊥，则//（3）．若//，//，则//（4）．若//，//β，则//β29. 若圆与圆相外切，则实数=______．30. 已知平面上定点F1、F2及动点M．命题甲：“（为常数）”；命题乙：“ M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线”．则甲是乙的_____条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个）。
专题02 大题好拿分(基础版)-2016-2017学年上学期期末考试高二数学(理)备考黄金30题(原卷版)
2016-2017学年度上学期期末考试备考黄金20题之大题好拿分【基础版】1.命题p ：x ∈{x |x 2＋2x －3>0}，命题q ：x ∈{x |13－x>1}，若p ∧q 为真，求 x 的取值范围. 2.已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，20x ＋2ax 0＋2－a ＝0”.若命题“P ⌝∧q ”是真命题，求实数a 的取值范围.3.若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1”为真命题，求实数m 的最大值. 4.如图（1）所示,在直角梯形ABCD 中, BC ∥AP , AB ⊥BC ,CD ⊥AP,AD =DC =PD =2.又 E 、F 、G 分别为线段PC 、PD 、BC 的中点,现将△PDC 折起,使平面PDC ⊥平面ABCD （图（2））．（1）求证：平面EFG ∥平面P AB ；（2）求三棱锥C -EFG 的体积．5. 已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋2≤0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，求实数m 的取值范围.6.椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，求此弦所在直线的方程7.已知椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1 (0<b <2)的离心率为32，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点是椭圆的顶点． (1)求抛物线C 2的方程．(2)过点M (－1，0)的直线l 与抛物线C 2交于E ，F 两点，过E ，F 作抛物线C 2的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．8. 已知双曲线的方程为2x 2－y 2＝2.(1)求以A (2，1)为中点的双曲线的弦所在直线的方程；(2)过点B (1，1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q 1，Q 2两点，且点B 是弦Q 1Q 2的中点？如果l 存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．9.已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为21，且经过点)23,1(-，过点P （2，1）的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ．（1）求椭圆C 的方程；（2）求直线l 的方程以及点M 的坐标；（3） 是否存过点P 的直线1l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ，满足2=⋅？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．10.已知圆O 的直径AB=4，定直线l 到圆心的距离为4，且直线l ⊥直线AB. 点P 是圆O 上异于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 分别交l 与M 、N 点. 如图，以AB 为x 轴，圆心O 为原点建立平面直角坐标系xOy .（Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN 为直径的圆方程；（Ⅱ）当点P 变化时，求证：以MN 为直径的圆必过圆O 内的一定点.11．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是平行四边形，NM Q PD C B A(1)求证：//BD 截面PQMN(2)若截面PQMN 是正方形，求异面直线PM 与BD 所成的角.12．如图，一个几何体的三视图△ABC 是边长为2的等边三角形，(Ⅰ)画出直观图；(Ⅱ)求这个几何体的体积13．一个正四棱台的斜高为12，侧棱长为13，侧面积为720，求它的体积．14．已知点(74)A -，，(56)B -，，求线段AB 的垂直平分线的方程．15．已知圆()22:19C x y -+=内有一点()2,2P ，过点P 作直线l 交圆C 于,A B 两点． （Ⅰ）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45时，求弦AB 的长．16．如图，在多面体ABCD EF -中，四边形ABCD 为正方形，//EF AB ，EF EA ⊥，22AB EF ==，90AED ∠=，AE ED =，H 为AD 的中点．（1）求证：EH ⊥平面ABCD ；（2）在线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角B FD P --的大小为3π？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由．17.抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，且过点（4，4），焦点为F ．（1）求抛物线的焦点坐标和标准方程：（2）P 是抛物线上一动点，M 是PF 的中点，求M 的轨迹方程．18．已知椭圆22221(0),x y a b a b+=>>过点A （a,0）,B(0,b)的直线倾斜角为56π，. （1）求椭圆的方程；（2）斜率小于零的直线过点D （1，0）与椭圆交于M ，N 两点，若2,MD DN =求直线MN 的方程；19．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为21，且经过点)23,1(-，过点P （2，1）的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ．（1）求椭圆C 的方程；（2）求直线l 的方程以及点M 的坐标； 20.在平面直角坐标系xOy 中，设点(,),(,4)P x y M x -，以线段PM 为直径的圆经过原点O ． （Ⅰ）求动点P 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）过点(0,4)E -的直线l 与轨迹W 交于两点,A B ，点A 关于y 轴的对称点为'A ，试判断直线'A B 是否恒过一定点，并证明你的结论．高考一轮复习：。
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黄金30题系列高二年级数学（理）大题好拿分
【基础版】
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、解答题
1. 设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
2. 已知；方程表示焦点在轴上的椭圆.若为真，求的取值范围.
3. 已知命题：函数是上的减函数；命题：时，不等式恒成立.若命题“”是真命题，求实数的取值范围.
4. 如果一个几何体的主视图与左视图是全等的长方形，边长分别是，如图所示，俯视图是一个边长为的正方形．
(1)求该几何体的表面积；
(2)求该几何体的外接球的体积．
5. 某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．
(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；
(2)在直观图中，①证明：PD∥面AGC；
②证明：面PBD⊥面AGC．
6. 如图所示，在四棱锥中，四边形为矩形，为等腰三角形，，平面平面，且分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面；
（3）求三棱锥的体积．
7. 已知平行四边形的三个顶点的坐标为.
（Ⅰ）在中，求边中线所在直线方程
（Ⅱ）求的面积.
8. 如图所示，在四棱锥中，平面是的中点，是上的点且为中边上的高.
（1）证明：平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
9. 在直四棱柱中，，
.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
10. 已知的内接三角形中，点的坐标是，重心的坐
标是，求
（1）直线的方程；
（2）弦的长度.
11. 已知⊙C经过点、两点，且圆心C在直线上. （1）求⊙C的方程；
（2）若直线与⊙C总有公共点，求实数的取值范围.
12. 已知直线l：与x轴交于A点，动圆M与直线l相切，并且和圆O：相外切．
求动圆圆心M的轨迹C的方程．
若过原点且倾斜角为的直线与曲线C交于M、N两点，问是否存在以MN 为直径的圆过点A？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．
13. 已知为椭圆的左右焦点，点为其上一
点，且有.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）圆是以，为直径的圆，直线与圆相切，并与椭圆
交于不同的两点，若，求的值.
14. 已知椭圆的左右焦点分别为、，左顶点为A，若
，椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围．
15. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过
作斜率为的直线交抛物线于（异于点），已知，直线交抛物线于另一点.
（1）求抛物线的方程；
（2），求的值.
16. 已知椭圆（）的左右焦点分别为、，离心率
.过的直线交椭圆于、两点，三角形的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若弦，求直线的方程.
17. 已知抛物线：的焦点，上一点到焦点的距离为5．
（1）求的方程；
（2）过作直线，交于，两点，若直线中点的纵坐标为-1，求直
线的方程．
18. 已知椭圆，其长轴为，短轴为.
（1）求椭圆的方程及离心率.
（2）直线经过定点，且与椭圆交于两点，求面积的最大值.
19. 正方体的棱长为，是与的交点，为的中点．
（I）求证：直线平面．
（II）求证：平面．
（III）二面角的余弦值．
20. 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于
两点，且.
（1）求该抛物线的方程；
（2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.。