二次函数性质一览表

二次函数性质一览表

表达式(a≠0) a值图像

开

口

方

向

对称

轴

顶点

坐标增减性最值举例

①

y=ax2a＞0

向

上

y轴

（0，

0）

①当x＞0

时，y随x的

增大而增大

②当x＜0

时，y随x的

增大而减小

当x=0

时，y

有最小

值，即

y最小值=0

y=

4

3x2

y=3x2 a＜0

向

下

y轴

（0，

0）

①当x＞0

时，y随x的

增大而减小

②当x＜0

时，y随x的

增大而增大

当x=0

时，y

有最大

值，即

y最大值=0

y=-5x2

y=

3

1

x2

②

y=ax2+ k a＞0

向

上

y轴

（0，

k）

①当x＞0

时，y随x的

增大而增大

②当x＜0

时，y随x的

增大而减小

当x=0

时，y

有最小

值，即

y最小值=k

y=4x2+5

y=3x2-1 a＜0

向

下

y轴

（0，

k）

①当x＞0

时，y随x的

增大而减小

②当x＜0

时，y随x的

增大而增大

当x=0

时，y

有最大

值，即

y最大值=k

y=-2x2+3

y=-3x2-2

③

y=a(x-h)2a＞0

向

上

直线

x=h

（h，

0）

①当x＞h

时，y随x的

增大而增大

②当x＜0

时，y随x的

增大而减小

当x=h

时，y

有最小

值，即

y最小值=0

y=2(x-3

)2

y=

2

1(x+2

)2

a ＜0

向下

直线x=h （h ，0） ①当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小 ②当x ＜0时，y 随x 的增大而增大

当x=h

时，y

有最大

值，即

y 最大值=0 y=-3(x-2)2 y=-2(x+1)2

④y=a(x-h)2+k

a ＞0

向上

直线x=h （h ，k ） ①当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大 ②当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小

当x=h

时，y

有最小

值，即

y 最小值=k y=5(x-2)2+1 y=2(x-1)2-3 y=3(x+1)2+2 y=4(x+2)2-4 a ＜0

向下

直线x=h （h ，k ） ①当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小 ②当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大

当x=h

时，y

有最大

值，即

y 最大值=k y=-2(x-1)2+3 y=-3(x-2)2+1 y=-4(x+1)2+3 y=-5(x+2)2+4 ⑤ y=ax 2+bx+c

可化为： y=a(x+

)

2a b

2+a

b a

c 442

-

a ＞0

向上

直线x=-a b 2

（-a b

2，

a b

ac 442

-）

①当x ＞-a

b 2时，

y 随x 的增大而增大 ②当x ＜-a b 2时，y 随x 的增大而减小

当x=-a

b 2时，y 有最小值，即y 最小值=a b a

c 442

- y=2x 2+3x

+4

y=3x 2-3x +4 y=4x 2-3x -4 y=5x 2+3x -4

a

＜0向

下

直线

x=-

a

b

2

（-

a

b

2

，

a

b

ac

4

42

-

）

①当x＞-

a

b

2

时，y随x的

增大而减小

②当x＜-

a

b

2

时，y随x的

增大而增大

当

x=-

a

b

2

时，y

有最大

值，即

y最大值

=

a

b

ac

4

42

-

y=-2x2+3

x+4

y=-3x2-3

x+4

y=-4x2-3

x-4

y=-5x2+3

x-4

二次函数的有关知识

一、用代定系数法求二次函数表达式的方法(a≠0)：

1、一般式：y=ax2+bx+c [已知抛物线任意三点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)可设一般式求得]

2、顶点式：y=a(x-h)2+k [已知顶点坐标（h，k）和任意一点(x,y)可设顶点式求得]

3、两根式：y=a(x-x1)(x-x2) [已知抛物线与x轴是的两个交点（x1，0），（x2，0）和任意一点(x,y)可设两根式求得]

二、二次函数图象平移变换关系：

三、二次函数图象（抛物线）与x轴交点情况的判断：

y＝ax2+bx+c （a≠0，a、b、c都是常数）

四、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解之间的关系：

1、二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0