二次函数图像与性质
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(2)当0≤a≤1时，f(x)max＝a2－a＋1， ∴a2－a＋1＝2，∴a2－a－1＝0， ∴a＝1±2 5(舍)． (3)当a＞1时，f(x)max＝f(1)＝a， ∴a＝2. 综上可知a＝－1或a＝2.
课堂互动讲练
考点三 二次函数的综合问题
二次函数常和二次方程、二次 不等式结合在一起．
三个“二次”以二次函数为核 心，通过二次函数的图象贯穿为一 体，因此，解题时通过画二次函数 的图象来探索解题思路是非常行之 有效的方法．
课堂互动讲练
(2)∵f(x)＝－21x2＋x＝－21(x－1)2＋12≤21， ∴一定有 3n≤21，即 n≤16. 6 分 而抛物线 f(x)＝－12x2＋x 的对称轴为 x＝1， ∴当 n≤16时，f(x)在[m，n]上是单调递增函 数. 8 分
课堂互动讲练
假设存在 m，n 满足要求，则有
f(m)＝3m， －12m2－2m＝0，①
课堂互动讲练
考点二 二次函数的最值
求二次函数的最值必须认清定 义域区间与对称轴的相对位置以及 抛物线的开口方向(即二次函数中 二次项系数的正负)，然后借助于 二次函数的图象或性质求解．因 此，定义域、对称轴及二次项系数 是求二次函数的最值的三要素．
课堂互动讲练
例2 函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间 [t，t＋1](t∈R)上的最小值记为g(t)．
第4课时 二次函数
基础知识梳理
1．二次函数的解析式有三种常用表 达形式
(1)一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0) ； (2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)， (h，k)是顶点； (3)标根式(或因式分解式)：f(x)＝a(x －x1)(x－x2)(a≠0)；其中x1，x2分别是f(x) ＝0的两实根．
D．f(1)＞25
答案：A
三基能力强化
2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足 f(4)＝f(1)，那么( )
A．f(2)＞f(3) B．f(3)＞f(2) C．f(3)＝f(2) D．f(3)与f(2)的大小关系不确定 答案：C
三基能力强化
3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区
间[0，m]上有最大值3，最小值2，则
f(n)＝3n，
－12n2－2n＝0，②
10 分
由①知m＝0或m＝－4， 由②知n＝0或n＝－4.
又∵m＜n≤16，
课堂互动讲练
∴取m＝－4，n＝0. 即存在实数m＝－4，n＝0使f(x) 的定义域为[－4,0]，值域为[－12,0].
12分 【名师点评】 解决本题的关键 是确定n的范围，从而把定义域[m， n]“放”在增区间内，问题便可解决．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱm的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．[1,2]
D．(－∞，2]
答案：C
三基能力强化
4．抛物线y＝8x2－(m－1)x＋m－7 的顶点在x轴上，则m＝_______. 答案：9或25
课堂互动讲练
考点一 求二次函数的解析式
利用已知条件求二次函数解析 式，常用的方法是待定系数法，但 可根据不同的条件选用适当形式求 f(x)解析式．
课堂互动讲练
(2)f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2 －a2的对称轴为x＝－a，
∵f(x)在[－5,5]上是单调函数， ∴－a≤－5，或－a≥5， 解得a≤－5，或a≥5. 10分
规律方法总结
1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a ＞0)在区间[m，n]上的最值．
当－2ba＜m 时，函数在区间[m， n]上单调递增，最小值为 f(m)，最大 值为 f(n)；
课堂互动讲练
互动探究
若题目变为：已知函数f(x)＝－x2＋ 2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a 的值．
解：函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a ＝－(x－a)2＋a2－a＋1 对称轴方程为x＝a. (1)当a＜0时，f(x)max＝f(0)＝1－a， ∴1－a＝2，∴a＝－1.
课堂互动讲练
(1)试写出g(t)的函数表达式； (2)作g(t)的图象并写出g(t)的最 小值．
【思路点拨】 二次函数的对 称轴x＝2，分情况讨论x＝2是否在 区间[t，t＋1]内．
课堂互动讲练
【解】 (1)f(x)＝x2－4x－4 ＝(x－2)2－8. 当t>2时，f(x)在[t，t＋1]上是增 函数， ∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4； 当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时， g(t)＝f(2)＝－8； 当t＋1<2，即t<1时，f(x)在[t，t ＋1]上是减函数， ∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.
课堂互动讲练
t2－2t－7，t<1，
从而 g(t)＝－8，1≤t≤2， t2－4t－4，t>2.
(2)g(t)的图象如图所示． g(t)的最小值为－8.
课堂互动讲练
【规律小结】 二次函数区间最 值主要有三种类型：轴定区间定，轴 定区间动和轴动区间定．
一般来说，讨论二次函数在闭区 间上的最值，主要是看区间是落在二 次函数的哪一个单调区间上，从而应 用单调性求最值．
课堂互动讲练
1．已知三个点坐标时，宜用一 般式．
2．已知抛物线的顶点坐标与对 称轴有关或与最大(小)值有关时，常 使用顶点式．
3．若已知抛物线与x轴有两个交 点，且横轴坐标已知时，选用两根式 求f(x)更方便．
课堂互动讲练
例1 已知f(x)是二次函数，且
f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)的解析 式．
规律方法总结
当 m≤－2ba≤n 时，最小值为 f(－2ba)＝ 4ac4－a b2，最大值为 f(m)或 f(n)(m，n 与－2ba 较远的一个为最大)．
当－2ba＞n 时，函数在区间[m，n]上单 调递减，最小值为 f(n)，最大值为 f(m)．
规律方法总结
2．注重数形结合，密切联系图 象是研究和掌握二次函数性质的基本 方法．对于二次方程根的分布，需要 结合图象，从三个方面考虑：(1)判别 式，(2)区间端点函数值的正负，(3)对 称轴与区间端点的位置关系．二次函 数、一元二次方程与一元二次不等式 是一个有机整体，用函数思想研究方 程和不等式是高考的热点．
课堂互动讲练
对于通过换元可转化为二次函数 的问题，要注意中间变元的取值范 围，它是转化后二次函数的定义域．
课堂互动讲练
例3 (解题示范)(本题满分12分) 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b
为常数，且a≠0)满足条件：f(－x＋5) ＝f(x－3)，且方程f(x)＝x有等根．
(1)求f(x)的解析式； (2)是否存在实数m，n(m＜n)， 使f(x)的定义域和值域分别为[m，n] 和[3m,3n]？如果存在，求出m，n的 值；如果不存在，说明理由．
课堂互动讲练
高考检阅
(本题满分10分)已知函数f(x)＝x2 ＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最 大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝ f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
课堂互动讲练
解：(1)当a＝－1时， f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1， x∈[－5,5]， ∵f(x)的对称轴为x＝1， ∴x＝1时，f(x)取最小值1； x＝－5时，f(x)取最大值37. 4分
基础知识梳理
2．二次函数的图象及其性质
基础知识梳理
基础知识梳理
基础知识梳理
二次函数可以为奇函数吗？ 【思考·提示】 不会为奇 函数．
三基能力强化
1．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在
区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的
范围是( )
A．f(1)≥25
B．f(1)＝25
C．f(1)≤25
课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)待定系数法．(2) 二次函数的单调性．
【解】 (1)依题意，方程f(x)＝ax2 ＋bx＝x有等根，
则有Δ＝(b－1)2＝0，∴b＝1. 2分 又f(－x＋5)＝f(x－3)， 故f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴－2ba＝1，解得 a＝－12，
∴f(x)＝－21x2＋x. 5 分
课堂互动讲练
考点三 二次函数的综合问题
二次函数常和二次方程、二次 不等式结合在一起．
三个“二次”以二次函数为核 心，通过二次函数的图象贯穿为一 体，因此，解题时通过画二次函数 的图象来探索解题思路是非常行之 有效的方法．
课堂互动讲练
(2)∵f(x)＝－21x2＋x＝－21(x－1)2＋12≤21， ∴一定有 3n≤21，即 n≤16. 6 分 而抛物线 f(x)＝－12x2＋x 的对称轴为 x＝1， ∴当 n≤16时，f(x)在[m，n]上是单调递增函 数. 8 分
课堂互动讲练
假设存在 m，n 满足要求，则有
f(m)＝3m， －12m2－2m＝0，①
课堂互动讲练
考点二 二次函数的最值
求二次函数的最值必须认清定 义域区间与对称轴的相对位置以及 抛物线的开口方向(即二次函数中 二次项系数的正负)，然后借助于 二次函数的图象或性质求解．因 此，定义域、对称轴及二次项系数 是求二次函数的最值的三要素．
课堂互动讲练
例2 函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间 [t，t＋1](t∈R)上的最小值记为g(t)．
第4课时 二次函数
基础知识梳理
1．二次函数的解析式有三种常用表 达形式
(1)一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0) ； (2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)， (h，k)是顶点； (3)标根式(或因式分解式)：f(x)＝a(x －x1)(x－x2)(a≠0)；其中x1，x2分别是f(x) ＝0的两实根．
D．f(1)＞25
答案：A
三基能力强化
2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足 f(4)＝f(1)，那么( )
A．f(2)＞f(3) B．f(3)＞f(2) C．f(3)＝f(2) D．f(3)与f(2)的大小关系不确定 答案：C
三基能力强化
3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区
间[0，m]上有最大值3，最小值2，则
f(n)＝3n，
－12n2－2n＝0，②
10 分
由①知m＝0或m＝－4， 由②知n＝0或n＝－4.
又∵m＜n≤16，
课堂互动讲练
∴取m＝－4，n＝0. 即存在实数m＝－4，n＝0使f(x) 的定义域为[－4,0]，值域为[－12,0].
12分 【名师点评】 解决本题的关键 是确定n的范围，从而把定义域[m， n]“放”在增区间内，问题便可解决．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱm的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．[1,2]
D．(－∞，2]
答案：C
三基能力强化
4．抛物线y＝8x2－(m－1)x＋m－7 的顶点在x轴上，则m＝_______. 答案：9或25
课堂互动讲练
考点一 求二次函数的解析式
利用已知条件求二次函数解析 式，常用的方法是待定系数法，但 可根据不同的条件选用适当形式求 f(x)解析式．
课堂互动讲练
(2)f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2 －a2的对称轴为x＝－a，
∵f(x)在[－5,5]上是单调函数， ∴－a≤－5，或－a≥5， 解得a≤－5，或a≥5. 10分
规律方法总结
1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a ＞0)在区间[m，n]上的最值．
当－2ba＜m 时，函数在区间[m， n]上单调递增，最小值为 f(m)，最大 值为 f(n)；
课堂互动讲练
互动探究
若题目变为：已知函数f(x)＝－x2＋ 2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a 的值．
解：函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a ＝－(x－a)2＋a2－a＋1 对称轴方程为x＝a. (1)当a＜0时，f(x)max＝f(0)＝1－a， ∴1－a＝2，∴a＝－1.
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(1)试写出g(t)的函数表达式； (2)作g(t)的图象并写出g(t)的最 小值．
【思路点拨】 二次函数的对 称轴x＝2，分情况讨论x＝2是否在 区间[t，t＋1]内．
课堂互动讲练
【解】 (1)f(x)＝x2－4x－4 ＝(x－2)2－8. 当t>2时，f(x)在[t，t＋1]上是增 函数， ∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4； 当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时， g(t)＝f(2)＝－8； 当t＋1<2，即t<1时，f(x)在[t，t ＋1]上是减函数， ∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.
课堂互动讲练
t2－2t－7，t<1，
从而 g(t)＝－8，1≤t≤2， t2－4t－4，t>2.
(2)g(t)的图象如图所示． g(t)的最小值为－8.
课堂互动讲练
【规律小结】 二次函数区间最 值主要有三种类型：轴定区间定，轴 定区间动和轴动区间定．
一般来说，讨论二次函数在闭区 间上的最值，主要是看区间是落在二 次函数的哪一个单调区间上，从而应 用单调性求最值．
课堂互动讲练
1．已知三个点坐标时，宜用一 般式．
2．已知抛物线的顶点坐标与对 称轴有关或与最大(小)值有关时，常 使用顶点式．
3．若已知抛物线与x轴有两个交 点，且横轴坐标已知时，选用两根式 求f(x)更方便．
课堂互动讲练
例1 已知f(x)是二次函数，且
f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)的解析 式．
规律方法总结
当 m≤－2ba≤n 时，最小值为 f(－2ba)＝ 4ac4－a b2，最大值为 f(m)或 f(n)(m，n 与－2ba 较远的一个为最大)．
当－2ba＞n 时，函数在区间[m，n]上单 调递减，最小值为 f(n)，最大值为 f(m)．
规律方法总结
2．注重数形结合，密切联系图 象是研究和掌握二次函数性质的基本 方法．对于二次方程根的分布，需要 结合图象，从三个方面考虑：(1)判别 式，(2)区间端点函数值的正负，(3)对 称轴与区间端点的位置关系．二次函 数、一元二次方程与一元二次不等式 是一个有机整体，用函数思想研究方 程和不等式是高考的热点．
课堂互动讲练
对于通过换元可转化为二次函数 的问题，要注意中间变元的取值范 围，它是转化后二次函数的定义域．
课堂互动讲练
例3 (解题示范)(本题满分12分) 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b
为常数，且a≠0)满足条件：f(－x＋5) ＝f(x－3)，且方程f(x)＝x有等根．
(1)求f(x)的解析式； (2)是否存在实数m，n(m＜n)， 使f(x)的定义域和值域分别为[m，n] 和[3m,3n]？如果存在，求出m，n的 值；如果不存在，说明理由．
课堂互动讲练
高考检阅
(本题满分10分)已知函数f(x)＝x2 ＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最 大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝ f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
课堂互动讲练
解：(1)当a＝－1时， f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1， x∈[－5,5]， ∵f(x)的对称轴为x＝1， ∴x＝1时，f(x)取最小值1； x＝－5时，f(x)取最大值37. 4分
基础知识梳理
2．二次函数的图象及其性质
基础知识梳理
基础知识梳理
基础知识梳理
二次函数可以为奇函数吗？ 【思考·提示】 不会为奇 函数．
三基能力强化
1．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在
区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的
范围是( )
A．f(1)≥25
B．f(1)＝25
C．f(1)≤25
课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)待定系数法．(2) 二次函数的单调性．
【解】 (1)依题意，方程f(x)＝ax2 ＋bx＝x有等根，
则有Δ＝(b－1)2＝0，∴b＝1. 2分 又f(－x＋5)＝f(x－3)， 故f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴－2ba＝1，解得 a＝－12，
∴f(x)＝－21x2＋x. 5 分