初三二次函数的图像与性质

龙文教育学科导学

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学情分析二次函数部分内容中考难度不大，所以本套教案注重于基础知识的准确掌握。

课题二次函数的图像与性质

学习目标与考点分析学习目标：1、理解二次函数的概念；会识别最基本的二次函数并利用二次函数的概念求解析式中的未知数；

2、熟练的画出各种抛物线的图像，根据解析式的变化判断图像的平移方法；

3、熟练的选用合适的解析式利用待定系数法求解析式。

学习重点图像的平移；待定系数法求解析式

学习方法讲练结合、师生讨论、启发引导

学习内容与过程

教学内容：

知识回顾

1.一般地，形如y=ax2 +bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中，x 是自变量，

a，b，c分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项.

2.二次函数的解析式及其对称轴

（1）二次函数解析式的一般式（通式）：，它的顶点坐标为（，），对称轴为；（2）二次函数解析式的顶点式（通式）：，顶点坐标为（，）对称轴是；（3）二次函数解析式的交

点式：。此时抛物线的对称轴为。其中，（x

1,0）（x

2

,0）是抛

物线与X轴的交点坐标。显然，与X轴没有交点的抛物线不能用此解析式表示的

3.二次函数y=a(x-h) 2+k的图像和性质

4.二次函数的平移问题

5. 二次函数y=ax2 +bx+c中a，b，c的符号与图像性质的关系：

6.抛物线y=ax2+bx+c与X轴的交点个数与一元二次方程的根的判别式△的符号之间的的关系

二次函数的常规解法：

一、若已知二次函数图象上的三个点的坐标或是x、y的对应数值时，可选用y＝ax2+bx+c(a≠0)求解。我们称y＝ax2+bx+c(a≠0)为一般式（三点式）。

例：二次函数图象经过A(1，3)、B(-1，5)、C(2，-1)三点，求此二次函数的解析式。

说明：因为坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上，反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式。所以将已知三点的坐标分别代入y＝ax2+bx+c (a≠0)构成三元一次方程组，解方程组得a、b、c的值，即可求二次函数解析式。

二、若已知二次函数的顶点坐标或对称轴或最值时，可选用y＝a（x＋m）2+k (a≠0)求解。我们称y ＝a（x＋m）2+k (a≠0)为顶点式（配方式）。

例：若二次函数图像的顶点坐标为（－2,3），且过点（－3,5）,求此二次函数的解析式。

说明：由于顶点式中要确定a、m、k的值，而已知顶点坐标即已知了－m、k的值。用顶点式只要确定a的值就可以求二次函数解析式。若已知这两点的坐标用一般式来解是不能确定a、b、c的值的，不妨让学生尝试一下加深印象。

三、若已知二次函数与X轴的交点坐标是A(x1,0) 、B(x2,0)时, 可选用y＝a（x-x1）(x- x2 ) (a≠0)求解。我们称y＝a（x-x1）(x- x2 ) (a≠0)为双根式（交点式）。

例：已知一个二次函数的图象经过点A（－1，0）、B（3，0）和C（0，－3）三点，求此二次函数的解析式。

说明：很多同学看到此例会想到使用一般式来解，将已知三点的坐标分别代入去求a、b、c的值来求此二次函数的解析式。往往忽略A、B两点的坐标就是二次函数图象与x轴的交点坐标，而用双根式来求解就相对比较简单容易。

四、若已知二次函数在X轴上截得的线段长为d时，可选用

或

例：抛物线y＝2x2-mx-6在X轴截锝线段长为4，求此二次函数的解析式。

说明：对于此例主要让学生明白这两种二次函数解析式中线段长d的推导过程，记住公式套进去就行了。注意相互之间不要混淆。

总之，要求一个二次函数的解析式，可以根据不同的已知条件选择恰当的解题方法，使计算过程简单化，达到迅速解题的目的。当然，也只有在平时的练习中对基本解法的适用情况做到心中有数，才能在具体的问题中结合图形及二次函数的相关性质择优选取适当的解法，提高解题能力。

二次函数的概念

如果y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)，那么y叫做x的二次函数

注意：二次函数的表达形式为整式，且二次项系数不为0，b ，c可分别为0，也可同时为0

自变量的取值范围是全体实数

练习：

1．下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ）

A ．x+y 2-1=0

B ．y=（x+1）（x-1）-x 2

C ．y=1+21x +

D ．2（x-1）2+3y-2=0

2．若函数y=（m 2+m ）221m m x --是二次函数，那么m 的值是（ ）

A ．2

B ．-1或3

C ．3

D ．-1±2

3．写出下列各函数关系式，并判断是否是二次函数？

（1）两直角边的和为40cm ，其中一条直角边长为xcm ，直角三角形的面积是Scm 2，写出S 和x 之间的函数关系式；

（2）写出圆面积S 与半径r 之间的函数关系式；

（3）写出正方形面积y 与边长x 之间的函数关系式；

（4）圆的周长c 与半径r 之间的函数关系式．

2.二次函数的图像及其性质

二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的定点

1.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图像。（画图讲解）

2.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0,a,b,c 为常数)的图像

二次函数y=ax 2+bx+c 用配方法可化成y=a(x-h)2

+k h=-a b 2,k=a b ac 442- （注重推导过程）

练习：