《弹性力学》第六章温度应力问题的基本解法
弹塑性力学应力函数解法详细讲解
1 x y E 1 y y x E 21 代入到本构方程 xy xy E
x
x xy fx 0 x y xy x y y fy 0
f f 2 x y x y
V x V F y y F x
式子中的V为体力势函数。 同样可以引进一个airy函数，使得他满足下面的 关系式 2 x V 2
y
此时微分方程自动满足
y
xy
2 V x 2 2 xy
Company Logo
弹塑性平面问题的应力函数解法
相容方程可简化为
( x y ) 0
2
引进函数 ，使得它 满足如下的关系式
x, y
2 2 4 0 4 x x y y
4 4 4
x 2 / y 2 y 2 / x 2 xy 2 / xy
其中是拉普拉 斯算子
2 2 2 x 2 y 2 z 2
• 将airy函数代入平衡微 分方程，则平衡方程 自动满足，代入应变 协调方程 得到
上式可简化为
0
4 2 2
弹塑性平面问题的应力函数解法
2. 体力为有势的情况 即 代入平面微分方程化为
( x V ) xy 0 x y xy ( y V ) 0 x y
Z
将上式 代入本构方程得平 面 方程
应力问题中的物理方程即
1 x y E 1 y y x E
应变问题中的物理
x
1 xy G E 其中G 21
xy
1 2 x ( x y) E 1 1 2 y ( y x) E 1 21 xy xy E z xz yz 0
弹性力学第六章
介绍温度应力的基本 概念及其求解过程
温度应力基本概念
物体表面和内部温度发生变化会引起物体膨 胀与收缩
¾ 若物体不受任何阻力，则不引起内力；但物 体与外界总有接触，它的某一部分的伸缩受到 限制，产生阻止自由伸缩的内力—热应力； ¾ 物体内部单元间的变形不能任意，互相之间 有约束—产生阻止自由伸缩的内力—热应力；
−
Eα [
b
Trdr
+
A] + C
=0
a2
b2 a
∫ ∫ A = a 2
b
Trdr ,
C=
Eα
b
Trdr
b2 − a2 a
b2 − a2 a
∫ ∫ σ r
=
Eα r2
[r2 b2
− a2 − a2
b
r
Trdr − Trdr]
a
a
∫ ∫ σθ
=
Eα [ r 2 r2 b2
+ a2 − a2
b
Trdr
+
荷，则满足相容方程的应力函数可以取为：
ϕ = cy 2
相应地，应力分量为：
σ ′x′
=
∂ 2ϕ ∂y 2
=
2c
σ
′y′
=
∂ 2ϕ ∂x 2
=
0
τ ′x′y
=
−
∂ 2ϕ ∂x∂y
=
0
总的应力分量为：
σ
x
=σ
′x
+σ
′x′
=
2c
−
EαT0 (1 −
y2 b2
)
σ y = σ ′y + σ ′y′ = 0 τ xy = τ ′xy + τ ′x′y = 0
温度应力问题
K=
1+ ν α∆T 4(1 − ν )
2GK (2 ln b − 2 ln r − 1) ln b − ln a
d 2 T 1 dT 1 d dT ∇ T= 2 + = r r dr r dr dr dr
2
=0
•
•
其通解为
T=C1lnr+C2 lnr+C
• 边界条件
(T )r =a = Ta′ − T0 = Ta
Tb − Ta C1 = ln (b a )
(T )r =b = Tb′ − T0 = Tb
• 不满足边界条件
(σ ′r )r = a
1 = −2GK 2 + = − q1 ln b − ln a
2GK = −q 2 ln b − ln a
(σ ′r )r =b = −
• 求齐次解：在圆筒内外壁分别受均匀拉力q1和q2 • 最终解为
2 αETa ln b − ln r b 2 − r 2 a σr = − − ln b − ln a b 2 − a 2 r 2(1 − ν )
∂v ∂u ∂v ∂v ∂v ∂w αE∆T λθl + G l + m + n + G l + m + n − m=0 ∂x ∂y ∂y ∂z ∂y ∂y 1 − 2ν
∂w ∂w ∂w ∂v ∂w αE∆T ∂u λθl + G l+ m+ n + G l + m + n − n=0 ∂x ∂y ∂z ∂z ∂z ∂z 1 − 2ν
弹性力学简介及其求解方法
弹性力学简介及其求解方法2010-08-27弹性力学简介及其求解方法弹性力学又称弹性理论，是固体力学的一个分支，是研究弹性体由于外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。
确定弹性体的各质点应力、应变和位移的目的就是确定构件设计中的强度和刚度指标，以此用来解决实际工程结构中的强度、刚度和稳定性问题。
材料力学、结构力学三门学科所研究的内容和目的相同，但是研究对象和研究方法不同。
材料力学研究对象是杆状构件，结构力学是在材料力学基础上研究由多杆构成的杆系结构的强度和刚度问题。
而对于一般弹性实体结构，如板与壳结构、挡土墙与堤坝、地基以及其他三维实体结构来说，相应的强度和刚度问题要用弹性理论的方法来解决。
在研究方法上，弹性力学和材料力学都从静力学、几何关系、物理方程三方面着手来进行分析，但不同点是材料力学常借助于直观和实验现象做一些假设。
在具体问题计算时材料力学与结构力学都利用解决单一变量的常微分方程，在数学上求解容易。
弹性力学需解决的是满足边界条件的高阶多变量偏微分方程，在数学上求解困难，一般弹性体问题很难得到解析解。
所以，与材料力学相比，弹性力学的研究对象更加广泛，研究方法更加严密，能解决更加复杂的实际问题，因此需要用较多的数学工具。
弹性力学问题可以归结为边值问题：在弹性体内必须满足基本方程，即平衡微分方程、几何方程和物理方程；在应力边界上应满足应力边界条件；在位移边界上应满足位移边界条件；在混合边界上应满足相应的应力边界和位移边界条件。
满足基本方程的解答叫做弹性力学解；既满足基本方程，又满足边界条件的解答叫做弹性力学问题的解。
在求解弹性力学问题时，通常已知的是物体的形状、尺寸、约束情况和外载荷以及材料的物理常数。
需要求解的是应力、应变和位移，它们都是物体内点的坐标的函数。
对于空间问题，一共有15个未知函数：3个位移分量、6个应变分量和6个应力分量。
可利用的独立方程也有15个，即3个平衡微分方程、6个几何方程和6个物理方程。
弹性力学 第六章 简单问题
(7b)
代入侧面应力边界条件(2c)重的第一、二式得
[λ(b − 2a) − 2µa]ν x = 0 [λ(b − 2a) − 2µa]ν y = 0
(8)
第三式恒为零。由(6.1.8)式得到
a
=
λ
2(λ +
µ)b
= νb
(9)
ν 是 Possion 比。再由上底应力边界条件(2a)式得
ν
Tz
= σ zz
=
λ(b − 2a) + 2µb
(10)
用 (9) 式，并利用杨氏模量的定义得
60
第六章 简 单 问 题
σ zz
=
(3λ + 2µ)µ
λ+µ
b
=
Eb
上底的边界条件应写成(3b’), 故可设
σ zz
=
P A
由(11)式，有
b= P EA
式中
E = (3λ + 2µ )µ
λ+µ
利用(9)(13)和(5)式得到位移表达式为
=
M Jz
y,
ν
ν
Ty =Tz =0
⑵
满足
ν
ν
∫∫T xdA = 0, ∫∫T x ydA = M
⑶
A
A
61
第六章 简 单 问 题
求位移：由 Hooke 定律(4.1.7b)式得
e xx
=
M EJ z
y
e yy
= − νM EJ z
y
⑷
e zz
= − νM EJ z
y
exy = eyz = ezx = 0
引起的位移和应力？
6-3 一弹性体受一对大小相等方向相反的力 P 的作用，求其引起的体积缩小。
弹性力学热应力完美版PPT
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节
温度场与热传导的根本概念 热传导方程
温度场的边值条件 按位移求解温度应力的平面问题
微分方程的求解 轴对称温度场平面热应力问题 稳定温度场的差分解 应力函数差分解
第一节 温度场与热传导的根本概念
当弹性体的温度变化时，其体积将会有改变的 趋势，但是弹性体受外在约束及其本身各局部之间 的相互约束，这种体积改变的趋势不能自由地发生， 从而产生应力，称为温度应力。
如 图 取 微 小 六 面 体 如边界是绝热边界或对称轴，(qx)0=0,前二式可化简为：
第二节 热传导方程
dxdydz,假定该六面体的 第四类边界条件 以知两物体完全接触，并以热传导方式进行热交换。
(qn)s=β(Ts-Te)
即
T=T〔x,y,z,t〕
一般说来，温度场是位移和时间的函数。
u = u’+ u’’
温度在dt时间内升高了
T t
，
它所积蓄热量是
T ρc dxdydz dt ,
t 其中ρ是物体密度，c是比热容。
在时间dt内，由六面体ABA’B’ 面传入的热量 为qxdxdydzdt ,由CDC’D’面传入的热量为
(qxqxxdx)dydzdt
传入的静热量为：
由式
qx dxdydzdt x
qx
T
由式〔1〕和〔4〕知
q T
n
热流密度在坐标轴上的投影
qx
Tc
n
ons,x()
qy
Tcons,y()
n
(6)
qz
Tcons,z()
n
式〔6〕与式〔2〕比较得
qx
T x
弹性力学平面应力问题和平面应变问题
有限差分法的精度取决于差分格式的选择和网格的划分，同时需要注意数 值稳定性和计算精度的问题。
边界元法
边界元法是一种基于边界积 分方程的数值分析方法，通 过将微分方程转化为边界积
分方程来求解。
变形特点
应用领域
在平面应力问题中，变形主要发生在作用 面上，而在平面应变问题中，变形可以发 生在整个结构中。
平面应力问题在桥梁、建筑和机械等领域 有广泛应用，而平面应变问题在岩土、地 质和材料等领域有广泛应用。
06
结论与展望
结论总结
平面应力问题和平面应变问题在弹性力学中具有重要地位，它们是描述物体在应力作用下的变形和应 力分布的基础。
弹性模量表示材料在受力作用下的刚度，是衡量材料抵 抗弹性变形能力的重要参数。
剪切模量表示材料在剪切力作用下的刚度，与弹性模量 和泊松比有关。
03
平面应变问题
应变状态分析
平面应变条件
应变分量中，只有$varepsilon_{x}$ 、$varepsilon_{y}$和 $gamma_{xy}$不为零，其余分量为 零。
有限元法在弹性力学平面应力问题和平面应变问题中广泛 应用，因为它能够处理复杂的几何形状和边界条件，且计 算精度高。
有限元法的实现需要建立离散化的模型、选择合适的单元 类型和求解算法，并进行数值稳定性和误差分析。
有限差分法
有限差分法是一种基于差分原理的数值分析方法，通过将微分方程转化为 差分方程来求解。
薄板弯曲问题
考虑一个矩形薄板，受到一对相距较远的集中力作用，使板发生弯曲。根据平面应力问题，可以分析 板的应力分布、中性面位置以及挠度等。
温度应力问题的基本解法
） s
m（1
）T
（2）
这是按位移求解温度应力平面应力问题的应力边界条件。
位移边界条件仍然为：
us u，vs v
将式(1)、(2)与第二章§2-8中式(1)、(2)对比，可见
第十九页
E T 及 E T 1 x 1 y
代替了体力分量 X 及 Y ，而：
l ET 及m ET
1
1
代替了面力分量X 及 Y 。
r r
第二十九页
几何方程简化为
r
dur dr
,
ur r
x
1 E
[
x
(
y
z )] T
y
1 E
[
y
( z
x )] T
z
1 E
[ z
( x
y )] T
第十四页
yz
2(1 E
)
yz
zx
2(1 E
) zx
xy
2(1 E
)
xy
对于平面应力的变温问题，上式简化为
x
1 E
[ x
y ] T
y
1 E
[
y
x ] T
xy
2(1 E
y2 ） b2
b
o
b
x
其中的T0 是常量。若 a》b ，试求其温
度应力。
y
解：位移势函数 所应满足的微分方程为
2
（1
）T（0 1
y2 b2
）
取
Ay2 By2
代入上式，得
2A 12By 2
（1
）T（0 1
y2 b2
）
比较两边系数，得 A （1 ）T0 ，B （1 ）T0
06-弹性力学解题方法
§4－3 按应力求解弹性力学问题
基本方程
ij
x j
fi
0
ij
1
E
ij
E
ij
ij
1 ui 2 x j
u j xi
相容方程（应变协调方程）：
2 x
y 2
2 y
x 2
2 xy
xy
2 y
z 2
2 z
y 2
2 yz
yz
2 z
x 2
2 x
z 2
2 zx
zx
x
xy
z
zx
弹性方程：
r
E
1
1
2
u r
1
E
1
2
u r
z
E
1
1
2
w z
zr
E 2(1
)
u z
w r
r z 0
z 0 r 0
E 2(1
)
1
1
2
r
2u
u r2
fr
0
u u w
E 2(1
)
1
1
2
z
2w
fz
0
r r z
2
2 r 2
1 r
r
2 z 2
u z
w x
Fx
lG
u y
v x
m
2G
v y
nG
v z
w y
Fy
解题思路：
G
1 2
xi
G 2ui
fi
0
（4－3）
n
jG
ui x j
u j xi
弹性力学-06温度应力
y
2T 2T 2T 2 2 2 dxdydzdt x y z
qx
y
dy
q x qx dx x
z x
2Tdxdydzdt
（4） 物体内热源产生的热量 z
O
x dx
dz
设热源强度为：W（单位时间、单位体积内供给的热量），则dt时间内，
T T ( x, y, z, t )
稳定温度场： 若物体内各点的温度只随位置（坐标）而变化，而不随时间 而变化的温度场。 即：
不稳定温度场：
T ( x, y, z , t ) 0 t —— 稳定温度场也称定常温度场。
若物体内各点的温度不仅随位置（坐标）而变化，而且随时 间而变化的温度场。 —— 不稳定温度场也称非定常温度场。 平面稳定温度场：
（b） —— 热传导微分方程。
其中：
a c
2 （6-3） a —— 称为导温系数。 单位：米 /时。
混凝土的导温系数 a = 0.003 ~ 0.005。
T 2 W T t c c T W 2 a T t c
—— 热传导微分方程。
（a）
（b）
说明： 式中系数： , c, , a 均可近似地当作常数，但热源强度 W 一般不能 当作常量，而必须是
为了确定弹性体内的温度应力,须进行两方面的计算:
(1)按照热传导理论,根据弹性体的热学性质\内部热源\初始条 件和边界条件,计算弹性体内各点在各瞬时的温度,即决定温 度场,前后两个温度场之差就是弹性体的变温. (2)按照热弹性力学,由弹性体的变温来求出体内各点的温度应 力,即决定应力场.
§6-1 关于温度场和热传导的一些概念
位移势函数的应用 用极坐标求解问题 圆环和圆筒的轴对称温度应力 楔形坝体中的温度应力
弹性力学6
第六章 温度应力的平面问题当弹性体的温度有所改变时，它的每一部分一般都将由于温度的升高或降低而产生膨胀或收缩。
但是由于弹性体所受到的约束，以及各个部分之间的相互约束，这种膨胀或收缩并不能自由地发生，于是就产生了应力——变温应力，或称为温度应力。
该应力是由于变温引起的，一定的变温才相应于一定的应力。
为了决定弹性体内的温度应力，须1）确定弹性体内的变温，按照热传导理论，根据弹性体的热学性质、内部热源、初始条件与边界条件，计算弹性体内各点的瞬时温度，即决定温度场，而前后两个温度场之差就是弹性体的变温；2）按照“热弹性力学”，根据弹性体的变温求出体内各点的温度应力，即决定应力场。
6.1关于温度场与热传导的一些概念热传导：热量从物体的一部分传递到另一部分，或从一个物体传入与之接触的另一个物体。
在热传导理论中，与弹性力学中一样，不考虑物质的微粒构造，而将物体当作连续介质。
一般，热传导过程中，物体内的各点的温度随着各点的位置不同和时间的经过而变化，因而温度T是位置坐标和时间t的函数TxT= (6.1)),,,(t zy在任一瞬时，所有各点的温度值的总体，称为温度场。
一个温度场，如果它的温度随时间而变，称为非定常温度场；相反地，如果不随时间变化，称为定常温度场。
在定常温度场中，温度只是位置坐标的函数，即zyTT (6.2)T=tx,),∂,(=∂如果温度场的温度随着三个位置坐标而变，就称为空间温度场或三维温度场；如果温度只随平面内的两个位置坐标而变，就称为平面温度场，数学表述是tTyxT=zT (6.3),),,(=∂∂而平面定常温度场的数学表述为0,0),,(=∂=∂∂=t T z T y x T T (6.3)在任一瞬时，连接场内温度相同的各点，就得到这一瞬时的一个等温面，如图6-1所示，虚线表示温度相差为T Δ的一些等温面。
x图6-1 等温面显然，沿着等温面，温度不变；沿着其他方向，温度都有变化，沿着等温面的法线方向，温度的变化率最大。
弹性力学热应力
第二类边界条件 已知物体表面上任一点 点处的法向热流密度，即：
(qn)s=f(t)
编辑ppt
14
第三类边界条件 已知物体边界上任一点在 所有瞬间的对流放热情况，按照热量的运流规律， 在单位时间内从物体表面传向周围介质的热流密 度和两者的温差成正比。即：
(qn)s=β(Ts-Te) 其中：β 放热系数
y1 E 2(y1 x)(1)T
xy 2(1E)xy
因此和平面应力的热物理方程比较，将上述各方
程中的
E换成
E
1 2
ν换成
1
α换成
α(1+ α )
则得到在平面应变条件下编的辑pp相t 应方程。
24
第五节 微分方程的求解
在求解微分方程（14）时，应分两步进行。
1. 求出微分方程的任一组特解。
2. 不计变温T, 求出微分方程的一组补充解， 并使它和特解叠加以后满足边界条件。
xy E2(1)xy 编辑ppt
18
如图所示等厚薄板及坐标系中，没有体力和面力 作用，只有变温T的作用且变温T是x和y的函数。
因而有 z 0,yzzx0
并由式（8）得出用应力分量与变温T所表示的形变分 量的物理方程，即热弹力学物理方程：
x E 1(xy)T
y E 1(yx)T
(9)
xy E2(1)xy
由式（1）和（4）知
q T
n
热流密度在坐标轴上的投影
qx
Tcons,(x)
n
qy
Tcons,y()
n
(6)
qz
Tcons,(z)
n
编辑ppt
7
式（6）与式（2）比较得
弹性力学问题的基本解法
求得
其中
u v w x y z
w v u x 2G , yz G x y z v u w y 2G , xz G y z x v u w z 2G , xy G解法
w v u x 2G , yz G x y z v u w y 2G , xz G y z x v u w z 2G , xy G z x y
公式a
代入
x yx zx 2u Fx 0( 2 ) x y z t xy y zy 2v Fy 0( 2 ) x y z t xz yz z 2w Fz 0( 2 ) x y z t
公式2-18
位移解法
u w v x , yz x y z v u w y , xz y z x w v u z , xy z x y
公式2-16
代入
x 2G x , yz G yz y 2G y , xz G xz z 2G z , xy G xy
公式2-19 代入
f x x l yx m zx n f y xy l y m zy n f z xz l yz m zx n
求 得
u u u v w u f l G l m n G l m n x y z x x x v u v v v w f m G l m n G l m n x y z y y y w w w v w 公式2-24 u f n G x l y m z n G z l z m z n
热应力
热应力温度改变时，物体由于外在约束以及内部各部分之间的相互约束，使其不能完全自由胀缩而产生的应力。
又称变温应力。
基本概念求解热应力，既要确定温度场，又要确定位移、应变和应力场。
与时间无关的温度场称定常温度场,它引起定常热应力;随时间变化的温度场叫非定常温度场，它引起非定常热应力。
热应力的求解步骤：①由热传导方程和边界条件（求非定常温度场还须初始条件）求出温度分布；②再由热弹性力学方程求出位移和应力。
全面定义定义1所谓热应力是指半成品干燥和烧成热加工中由于温差作用而产生的一种应力.热应力源包括升降温过程中砖坯内外及砖坯与环境温差卜来源文章摘要：本文定义了彩釉砖板面细小裂纹的随机性，建立它的力学模型．在此基础上阐述了它的形成机理和工艺控制。
定义2(()热应力:凡由于在搪玻璃材料中存在温度差而产生的应力称为热应力.(2)制胎成型应力:在铁胎制造过程中,由于卷板、冲压、组焊等操作所造成的应力来源文章摘要：<正> 质量优良的搪玻璃设备,其瓷层表面不仅要具有玻化程度适当,光滑平整致密,色泽均匀一致以及无棕孔、泡影,外来固体夹杂物,尤其不能有裂纹等缺陷。
但是,事实上,在搪玻璃设备的烧成过程中,常常会出现各种缺陷,其中瓷层裂纹是该厂搪玻璃产品中危害最大的一种缺陷。
一段时间以来,在我厂100ol反应罐盖的生产过程中,b型小咀r部位和小咀内壁瓷层常出现裂纹,并且裂纹一旦产生,就不能消除,最后只有打瓷返工,造成了大量的人力、物力浪费,并且,严重挫伤了工人的生产积极性。
定义32热应力的分类和特性:2·1＄应力分类玻璃中由于存在温度差而产生的应力统称为热应力.浮法玻璃在退火过程中不可避免地会出现温度梯度.根据温度梯度的方向,玻璃板厚度方向的温度差所形成的热应力称作端面应力或厚度应力来源文章摘要：浮法玻璃退火的目的是消除或减小玻璃中的热应力。
本文从热应力的基本概念出发,分析讨论了热应力的起因、分类和特性,为正确制订浮法玻璃退火规范提供了理论依据。
弹性力学热应力
第二类边界条件 已知物体表面上任一点 点处的法向热流密度，即：
(qn)s=f(t)
第三类边界条件 已知物体边界上任一点在
所有瞬间的对流放热情况，按照热量的运流规律， 在单位时间内从物体表面传向周围介质的热流密 度和两者的温差成正比。即：
(qn)s=β(Ts-Te) 其中：β 放热系数
u ) y
(12)
为用位移分量和变温T表示的应力分量公式。 又平面平衡微分方程为：
ji, j Fbi 0
(13)
在此体力为零，
将式（13）代入（12）并化简得：
x 2 u 21 2 y 2 u 21 2 x 2 v y (1 ) T x0
(14)
y 2 v 21 2 x 2 v 21 2 x 2 u y (1 ) T y0
在平面应变条件下，将上述各方程中的
E换成
E
1 2
换成
1
α换成
α(1+ )。
第六节 轴对称温度场平面热应力问题
下面分析轴对称温度场引起的平面热应力问 题，对于该类问题，由于只存在位移分量 ，故可 直接按位移法求解。设圆筒的内外径分别为a, b， 不考虑体积力平面应力问题平衡微分方程
1 Fb0
3. 温度梯度 沿着等温面的法线方向，指向温 度增大的方向，其大小等于 ，取沿等温面法线方向 的单位矢量为n0。则
T
n0
T n
(1)
n0为沿等温面法线方 向的单位矢量。
温度梯度在各坐标轴的分量为:
(2)
4. 熱流密度 单位时间内通过等温面面积的热 量，称为热流速度，用 dQ 表示，通过单位等温面 面积的热流速度称为热流密度，即
在时间dt内，由六面体ABA’B’ 面传入的热量 为qxdxdydzdt ,由CDC’D’面传入的热量为
弹性力学热应力
第一节 温度场与热传导的基本概念 第二节 热传导方程 第三节 温度场的边值条件 第四节 按位移求解温度应力的平面问题 第五节 微分方程的求解 第六节 轴对称温度场平面热应力问题 第七节 稳定温度场的差分解 第八节 应力函数差分解
第一节 温度场与热传导的基本概念
当弹性体的温度变化时，其体积将会有改变的 趋势，但是弹性体受外在约束及其本身各部分之间 的相互约束，这种体积改变的趋势不能自由地发生， 从而产生应力，称为温度应力。
为了能够求解热传导微分方程，从而求得温 度场，必须已知物体在初始瞬间的温度分布，即 所谓初始条件，同时还要知道初始瞬间以后物体 表面与周围介质之间热交换的规律, 即所谓边界 条件。二者合成边值条件。
初始条件一般表示如下：
(T)t=0=f(x,y,z)
边界条件有四种形式： 第一类边界条件 已知物体表面上任 一点在所有瞬间的温度，即：
函数φ（x,y），使
u' v'
x
y
u.’v’为微分方程的特解。
代入微分方程（14）并化简得：
x33 x3y2
(1)T
x
3 3 (1)T
y3 yx2
x
即为
(22)(1)T
x x2 y2
x
(22)(1)T
y x2 y2
y
又u.v都是常量，所以取：
22(1)T
(16)
x2 y2
时， φ（x,y）满足(14)式，因此可以作为微分方 程(14)的一组特解。
Ts=f(t) 其中Ts表示物体表面的温度。
第二类边界条件 已知物体表面上任一点 点处的法向热流密度，即：
(qn)s=f(t)
第三类边界条件 已知物体边界上任一点在