Matlab实现生成树计数

Matlab 实现生成树计数

摘要

在信息学竞赛中，有关生成树的最优化问题如最小生成树等是我们经常遇到的，而对生成树的计数及其相关问题则少有涉及。事实上，生成树的计数是十分有意义的，在许多方面都有着广泛的应用。本文首先介绍了行列式的基本概念、性质，并在此基础上引入Matrix Tree -定理。

关键字：生成树的计数、Matrix Tree -定理

Matrix Tree -定理(Kirchhoff 矩阵-树定理)。Matrix Tree -定理是解决生成树计数问题最有力的武器之一。它首先于1847年被Kirchhoff 证明。在介绍定理之前，我们首先明确几个概念：

1、G 的度数矩阵[]D G 是一个n 阶矩阵，并且满足：0;()

.ij G i i j d d v i j =⎧=⎨≠⎩ ，()G i d v 为

顶点i v 的度数（度数即与顶点i v 关联的边的个数）。 2、G 的邻接矩阵[]A G 也是一个n 阶矩阵， 并且满足：01

i j ij i j v v a v v ⎧=⎨⎩；；

没直接连接直接连接 我们定义G 的Kirchhoff 矩阵(也称为拉普拉斯算子)[]C G 为[][][]C G D G A G =-，则Matrix Tree -定理可以描述为：G 的所有不同的生成树的个数等于其Kirchhoff 矩阵[]C G 任何一个1n -阶主子式的行列式的绝对值。所谓1n -阶主子式，就是对于()1r r n ≤≤，将[]C G 的第r 行、第r 列同时去掉后得到的新矩阵，用[]Cr G 表示。

Matlab 程序：

function n=STREEC( D,A )

C=D-A;

，

n=size(C);

C(:,n)=[]; %删除矩阵C 的第n 列

C(n,:)=[]; %删除矩阵C 的第n 行，形成了Cr ，为了节约空间，这里没有定义新的变量Cr,用C 代替Cr

n=abs(det(C)); %这里C 表示Cr.

end