52第5章第2节区间估计

X P ≤ ≤ 2 1 n 1， X 由于 1 ≤ 2 ≤ ≤ X 1 ， ≤2 X n n n
对给定的置信水平 1-α ，若取λ1和λ2使得
从而得置信区间的区间长为 X X ( 2 1 ) 。 1 2
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第 5 章 参数估计与假设检验
§5.2 区间估计
第4页
定义5.2.1 设 (X1, …, Xn )为来自总体X 的样本，θ是总体 X 分布中的一个未知参数，θ∈Θ。对给定的α( 0＜α＜1)，假设有两 个统计量
L L ( X1, ,和 Xn)
U U ( X1, ，使得 , Xn)
率越小越好，可认为置信下限为 0 ，人们关心的往往是置信上限。
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第 5 章 参数估计与假设检验
§5.2 区间估计
第7页
§5.2.2 枢轴量法
求未知参数θ的置信区间的最常用的方法是枢轴量法，其一般步骤为： 第一步：选取θ的一个较优的点估计 ； 第二步：围绕 构建一个仅依赖样本(X1, …, Xn )和θ的函数 G = G ( X1, …, Xn ;θ ) ， 且 G 的分布已知（不依赖于θ）。 像 G = G ( X1, …, Xn ;θ) 这样的函数（即仅依赖样本(X1, …, Xn )和未知参 数θ的函数，且其分布已知。）称为枢轴量。 第三步：对给定的置信水平 1-α ，确定λ1和λ2使得 P (λ1≤G ( X1, …, Xn ;θ)≤λ2) = 1-α。 第四步：将不等式λ1≤G ( X1, …, Xn ;θ)≤λ2变形为 L ( X 1 , , X n ) ≤ ≤ U ( X 1 , , X n ) ， 即得θ的置信水平为1-α的置信区间 [ L ( X1, , X n ), U ( X1, , X n。 )]
P( L ( X1 ,
, X n ) ≤ ≤ U ( X1 ,
, X n )) 1 , .
则称随机区间 [ L ( X1, , X n ), U ( X1, , X n )] 为θ的置信水平为1-α的置 θ的置信下限和置信上限。 分别称为 U 对任一 ( x1, … , xn ) ，由于样本的随机性， [ L ( x1 , , xn ), U ( x1, , xn )] 能否盖 住未, X n ), U ( X1, , X n )] 能 盖住未知参数θ的概率尽可能大些；同时也希望 [ L ( X1, , X n ), U ( X1, , X n )] 的 信区间， 和 L
X P ≤ ≤ 2 1 n 1， X 由于 1 ≤ 2 ≤ ≤ X 1 ， ≤2 X n n n
对给定的置信水平 1-α ，若取λ1和λ2使得
从而得置信区间的区间长为 X X ( 2 1 ) 。 1 2

导出θ的置信水平为1-α的置信区间。
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§5.2 区间估计
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§5.2.3 正态总体参数的置信区间
设 X ~ N( µ ,σ2)，( X1, X2, … , Xn ) 为取自总体 X 的样本。 ⑴ 方差σ2 已知时均值 µ 的置信区间 由于 µ 的矩估计和最大似然估计均为 X ，故取 X X U ~ N (0,1) 作为 µ 的点估计，围绕 X 构建枢轴量并确定其分布： n
度。为此我们引入区间估计的概念。
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§5.2 区间估计
第3页
§5.2.1 区间估计的概念
设(X1, … , Xn )为来自总体X 的样本，θ是总体X 分布中的一个未知参数，
所谓区间估计就是要找两个统计量 L L ( X1, , X n ) 和 U U ( X1, , X n )， 且 L U ，在得到样本观察值 ( x1, … , xn ) 之后，就可以得到一个区间
n n n
所以，应取 [λ1,λ2 ] = [ uα/2, u1-α/2 ] = [ - u1-α/2, u1-α/2 ] ，即 µ 的置信水平为 1 α的置信区间为
。 X u , X u 1 2 1 2 n n
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这时置信区间的 区间长最短！ 江苏师范大学
定义5.2.1 设 (X1, …, Xn )为来自总体X 的样本，θ是总体 X 分布中的一个未知参数，θ∈Θ。对给定的α( 0＜α＜1)，假设有两 个统计量
L L ( X1, ,和 Xn)
U U ( X1, ，使得 , Xn)
P( L ( X1 ,
, X n ) ≤ ≤ U ( X1 ,
区间长度尽可能短些。 一般来说，要使得“随机区间能盖住未知参数θ的概率”尽可 能大，则必然导致 “随机区间的长度” 增大。为解决此矛盾，先给定 “随机区间能 盖住未知参数θ的概率”的要求，这就产生了置信区间的概念。
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对任一 ( x1, … , xn ) ，由于样本的随机性， [ L ( x1 ,
n n n
所以，应取 [λ1,λ2 ] = [ uα/2, u1-α/2 ] = [ - u1-α/2, u1-α/2 ] ，即 µ 的置信水平为 1 α的置信区间为
。 X u , X u 1 2 1 2 n n
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这时置信区间的 区间长最短！ 江苏师范大学
n n n
所以，应取 [λ1,λ2 ] = [ uα/2, u1-α/2 ] = [ - u1-α/2, u1-α/2 ] ，即 µ 的置信水平为 1 α的置信区间为
。 X u , X u 1 2 1 2 n n
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§5.2 区间估计
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解决未知参数θ的区间估计问题，关键是确定θ的置信水平为 1-α的置信区间。有了置信区间，将样本值( x1, … , xn )代入置信 区间而得到的区间称为置信区间的值，也简称为置信区间。 在一些实际问题中，人们感兴趣的可能是未知参数的一个置 信下限或一个置信上限。譬如，产品的寿命越大越好，可认为置 信上限为 +∞，人们关心的往往是置信下限；又如，产品的次品
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§5.2 区间估计
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§5.2.3 正态总体参数的置信区间
设 X ~ N( µ ,σ2)，( X1, X2, … , Xn ) 为取自总体 X 的样本。 ⑵ 方差σ2 未知时均值 µ 的置信区间 由于 µ 的矩估计和最大似然估计均为 X ，故取 X X U ~ N (0,1) 作为 µ 的点估计，围绕 X 构建枢轴量并确定其分布： n
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§5.2 区间估计目录
§5.2.1 §5.2.2 区间估计的概念 枢轴量法
§5.2.3
§5.2.4
正态总体参数的置信区间
大样本情形的近似置信区间
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§5.2 区间估计
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§5.2 区间估计
参数的点估计，即用一个点去估计未知参数。估计 量的无偏性、有效性以及相合性从各个不同角度描述了 点估计量的合理性，但点估计不能直接提供其估计的精
区间长度尽可能短些。 一般来说，要使得“随机区间能盖住未知参数θ的概率”尽可 能大，则必然导致 “随机区间的长度” 增大。为解决此矛盾，先给定 “随机区间能 盖住未知参数θ的概率”的要求，这就产生了置信区间的概念。
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§5.2 区间估计
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, X n )) 1 , .
则称随机区间 [ L ( X1, , X n ), U ( X1, , X n )] 为θ的置信水平为1-α的置 信区间， 和 L θ的置信下限和置信上限。 分别称为 U
定义5.2.1说明随机区间能盖住未知参数θ的概率为1-α ，在满 足这一要求下，随机区间 些为好。 的区间长度短 [ L ( X1, , X n ), U ( X1, , X n )]
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§5.2 区间估计
[ L ( X1 ,
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注：确定λ1和λ2时，还要注意变形后的区间 的长度是否比较短些？
X (n)
, X n ), U ( X1,
, X n )]
例5.2.1 设总体X 服从[0,θ]上的均匀分布，其中θ＞0为未知参数， (X1, …, Xn )(n≥2)是取自 X 的样本，试利用 解
X P ≤ ≤ 2 1 n 1， X 由于 1 ≤ 2 ≤ ≤ X 1 ， ≤2 X n n n
对给定的置信水平 1-α ，若取λ1和λ2使得
从而得置信区间的区间长为 X X ( 2 1 ) 。 1 2
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§5.2.3 正态总体参数的置信区间
设 X ~ N( µ ,σ2)，( X1, X2, … , Xn ) 为取自总体 X 的样本。 ⑴ 方差σ2 已知时均值 µ 的置信区间 由于 µ 的矩估计和最大似然估计均为 X ，故取 X X U ~ N (0,1) 作为 µ 的点估计，围绕 X 构建枢轴量并确定其分布： n