第二类换元法解析

求
x(
x
1 7
dx 2)
解
令
x
1 t
dx
1 t2
dt ,
x(
1 x7
dx 2)
t 17
2
1 t2
dt
1
t
6
2t
7
dt
t
1 ln | 1 2t 7 | C 1 ln | 2 x7 | 1 ln | x | C.
14
14
2
作业 P207习题4-2
2(36)(38)(42)
三角代换的目的是化掉根式.
一般规律如下： 当被积函数中含有
(1)
a2 x2
可令 x a sin u , u ( , ) 22
(2)
a2 x2
可令
x
a tanu
,
u (
,
)
22
(3)
x2 a2
可令 x a sec u ,
u
(0,
)
2
4. 当分母的阶较高时，可采用倒代法，令x 1.
ห้องสมุดไป่ตู้
t
例4
第二类换元法
第二类换元法
思考：求
1 dx
1 x
该不定积分不能直接积分，也不属于常见的凑 微分法的类型。
该积分矛盾在于被积函数含有根式，为了去掉根 号，我们可以做变量代换，令
xt
第二类换元法
思考：求
1 dx
1 x
解 令 x t 则 x t 2 dx 2tdt
所以
1 dx 1 x
2t dt 1 t
2
回代
33 x 6 6 x 6ln | 1 6 x | C
3. 被积函数含有根式 a2 x2或 x2 a2
例3 求 a2 x2dx (a 0)
解 令 x a sin u，u ( , ) ,
22
ax
u
a2 x2
dx a cosudu
a2 x2 a cos u
则 a2 x2dx a cos u a cosudu a2 cos2 udu
a2
a2
1
2
(1 cos 2u)du
(u sin 2u) C 22
sin u x , cos u a2 x2
a
a
sin 2u 2sin ucos u
2 a2
x
a2 x2
a2 x2dx a2 arcsin x 1 x
2
a2
a2 x2 C
说明：以上三个例子所使用的均为三角代换.
可采用令 x u（n 其中 n为各根指数的最小公倍数）
例2 求
1 dx.
x 3 x2
解 令 x u6 dx 6u5du,
1 dx
x 3 x2
1
u3 u4
6u5du
u2
6
1
du u
6
u2 1 1 u
1du
6
u
1
1
1
u
du
6(1 u2 u ln | 1 u |) C
例1. 求 1 dx 1 x
解 令 x u， x u2 (u 0) dx 2udu
1
1
x
dx
2u du 1 u
2
(u 1) 1 u
1du
2[
(1
1
1
)du] u
2(u
ln
1
u
)
C
回代 2( x ln 1 x ) C
2. 当被积函数含有两种或两种以上根式 k x,, l x
F (u) C 回代u ( x)
F[ ( x)] C.
“先凑后换，不如不换” 一步到位
但有的问题还得先换.
f ( x)dx 令x (u) f [ (u)] (u)du F (u) C
回代u
1
(
x)
F
[
1
(
x
)]
C
第二类换元法
使用第二类换元法的关键是合理地选择变量代换：
1. 被积函数含有根式 n ax b.
2去根(1号 t) 1dt 1 t
2 (1 1 )dt 2(t ln 1 t ) C 1 t
上述用的变量代换求积分的方法就是变量置换法。
变量置换法也称为第二换元法
第二类换元法
第一类换元法
恒等变形（凑）
g( x)dx
f [ ( x)]d ( x)
代换u ( x)
f (u)du