高考典型例题：等效重力场.doc

运用等效法巧解带电粒子在匀强电场中的运动

一、等效法

将一个过程或事物变换成另一个规律相同的过程和或事物进行分析和研究就是等效法。中学物理中常见的等效变换有组合等效法（如几个串、并联电阻器的总电阻）；叠加等效法（如矢量

的合成与分解）；整体等效法（如将平抛运动等效为一个匀速直线运动和一个自由落体运动）；

过程等效法（如将热传递改变物体的内能等效为做功改变物体的内能）

概念的全面类比

为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相

关概念之间关系。具体对应如下：

等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场

等效重力重力、电场力的合力

等效重力加速度等效重力与物体质量的比值

等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置

等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置等

效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积

二、题型归类

（ 1）单摆类问题（振动的对称性）

例 1、如图 2-1 所示 ` ，一条长为 L 的细线上端固定在Ｏ点，下端系一个质量为 m的小球，将它置于一个很大的匀强电场中，电场强度为Ｅ，方向水平向右，已知小球在Ｂ点时平衡，细线与竖直

线的夹角为。求：当悬线与竖直线的夹角为多大时，才能使小球由静止释放后，细线到竖直位置

时，小球速度恰好为零？

O

E

O

E

O

E αααβ

T qE

B B B

图 2-1 图 2-2 图 2-3

mg

mg

运动特点：小球在受重力、电场力两个恒力与不做功的细线拉力作用下的运动。

对应联想：在重力场只受重力与细线拉力作用下的运动的模型：单摆模型。

等效分析：对小球在 B 点时所受恒力力分析（如图2-2 ），将重力与电场力等效为一个恒力，将

其称为等效重力可得：mg

mg

mg′与绳拉力运动，可等效为单摆运，小球就做只受“重力”

cos

动。

规律应用：如图2-3 所示，根据单摆对称运动规律可得， B 点为振动的平衡位置，竖直位置对应小球速度为零是最大位移处，另一最大位移在小球释放位置，根据振动对称性即可得出，当悬线

与竖直线的夹角满足 2 ，小球从这一位置静止释放后至细线到竖直位置时，小球速度恰好为零。

针对训练：

1、如图所示，在水平方向的匀强电场中的 O 点，用长为 l 的轻、软绝

缘细线悬挂一质量为 m 的带电小球，当小球位于

B 点时处于静止状态，

O

此时细线与竖直方向（即

OA 方向）成 θ 角．现将小球拉至细线与竖

θ

E

直方向成 2θ 角的 C 点，由静止将小球释放．若重力加速度为 g ，则

θ

对于此后小球的受力和运动情况，下列判断中正确的是

C

A ．小球所受电场力的大小为 tan θ

mg

A

B

B ．小球到 B 点的速度最大

C ．小球可能能够到达 A 点，且到 A 点时的速度不为零

D ．小球运动到 A 点时所受绳的拉力最大 答案： AB

2、用长为 l 的细线悬挂一质量为 m ，带电荷量为 +Q 的小球， 将其置于水平方向向右且大小为 E 的匀

强电场中，如下图所示。现将小球固定于悬点的正下方且

OA l 的位置 A 处，然后释放小球。已知

电场力大于重力，求悬线受到的最大拉力。 解析：小球释放后受恒力

mg 、 QE 和变力 F T 的作用，在位置 A 、 B 之间做往

复振动，电势能和重力势能、动能发生相互转化，则在点 A 、 B 之间必存在一个平衡位置（切向加速度为零） ，由运动的对称性可知，这个位置必然在

点 A 、B 中间，设为点 C ，与竖直方向的夹角为θ，则

tan QE / mg ，等效

重力加速度

g'

g 2 (QE / m)2

g / cos

设点 C 为等效重力势能的零势能面，则

mg l (1 cos ) 1

mv C 2， F T mg mv C 2 / l ， 2

F T mg' 2mg'(1 cos )

3mg' 2mg'cos

3 (mg) 2 (QE )2

2mg

3、如图所示，一条长为 L 的细线上端固定，下端拴一个质量为

m 的带电小球，将它置于一方向水

平向右，场强为正的匀强电场中，已知当细线离开竖直位置偏角α时，小球处于平衡状态。

（ 1）若使细线的偏角由α增大到

，然后将小球由静止释放。则 应为多大，

才能使细线到达竖直位置时小球的速度刚好为零？

（ 2）若α角很小，那么（ 1）问中带电小球由静止释放在到达竖直位置需多少时间？

解析：带电小球在空间同时受到重力和电场力的作用， 这两个力都是恒力， 故不妨将两个力合成，并称

合力为“等效重力” ，“等效重力”的大小为：

(mg ) 2 ( Eq )

2

mg

，令

mg

mg '

cos

cos

g 这里的 g'

可称为“等效重力加速度” ，方向与竖直方向成α角，如下图所示。这样一个

cos

“等效重力场”可代替原来的重力场和静电场。