六年级数学思维训练：立体几何
小学六年级总复习之立体几何
数学问题中的立体几何应用
计算几何图形面积和体积 判断几何图形的形状和大小 解决几何图形的最值问题 确定几何图形的位置关系
科学问题中的立体几何应用
天文学：行星、 恒星和星系的形 状和运动规律可 以用立体几何来
描述。
物理学：电磁场、 引力场等物理现 象可以用立体几
何来描述。
化学：分子结构 可以通过立体几 何来描述，如分 子的键角、键长
立体几何中的基本概念
点、线、面的定义
平面几何的性质
空间几何体的构造
空间几何体的表面积和体积
03
立体图形的性质和 分类
立体图形的性质
定义：立体图 形是三维空间 中占据一定空 间的图形，具 有长度、宽度
和高度。
分类：根据几 何形状，立体 图形可以分为 多面体、旋转 体和组合体等。
性质：立体图 形具有三维性、 封闭性、占有 空间等性质。
特征：立体图 形具有空间感、 立体感和三维
性等特征。
立体图形的分类
柱体：包括圆柱、棱柱等 锥体：包括圆锥、棱锥等 球体：包括实心球、空心球等 其他多面体：包括长方体、正方体、三棱锥等
常见立体图形介绍
立方体：具有六个面，每个面都是正方形 球体：只有一个曲面，没有平面 圆柱体：由两个平行圆形面和一个曲面组成 圆锥体：由一个圆形底面和一个曲面组成
定义：立体几何是研究三维空间中图形和物体性质的一门学科。 基础概念：点、线、面、体等基本元素，以及它们的性质和关系。 目的：培养空间想象能力和逻辑思维能力。 应用：在建筑、工程、科学等领域有广泛应用。
立体几何中的基本元素
点：表示空间中的一个位置 直线：表示空间中一条无限延伸的线 平面：表示空间中一个无限延展的面 空间：表示三维的立体空间
立体图形思维培优
内侧表面积为：16×4×3+2×(4×4- ×22)+2×2 ×2×3=192+32-8 +24 =224+16 ．
总表面积=224+16 +536-8 =760+8 =785.12(平方厘米)．
计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如图，只要求出这个几何体的体积即可．挖出的几何体体积为：
3·如右图所示，圆锥形容器内装的水正好是它容积的 ，水面高度是容器高度的几分之几？
4·皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。皮球的直径为15厘米，水桶底面直径为60厘米。皮球有 的体积浸在水中（见右图）。问皮球掉进水中后，水桶中的水面升高了多少厘米？
分析：皮球的体积是： （立方厘米）；皮球浸在水中的部分是： （立方厘米）；水桶的底面积是： （平方厘米）；水面升高的高度是： （厘米）。
立体图形思维训练
教学目标
立体图形，主要考点集中在不规则形体的表面积与体积计算。其中有自成一类的“染色问题”，也是经常见到的“几何奥数题”。
小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下。
（3）如右图，在40×20的长方形铁皮的左右两侧各割下一条宽为5厘米的长方形铁皮(共二块)，分别焊到上、下的中间部分，这样做成的无盖铁皮盒的长=40-5-5-5-5=20(厘米)，宽=20(厘米)，高=5(厘米)，体积=20×20×5=2000(立方厘米)．因此，最后一种容积最大．
法2：你要想使容积最大，就要充分利用手中的铁皮，如果能将铁皮都用上那么就能得到一个最大的铁盒。如下图（1），我们从原铁皮上切割下4块5×20的长方体，如图（2），将其焊接上能做成一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒，那么此时的容积最大：20×20×5=2000(立方厘米)．
小升初数学思维拓展几何图形专项训练专题7-规则立体图形的表面积
专题7-规则立体图形的表面积小升初数学思维拓展几何图形专项训练（知识梳理+典题精讲+专项训练）立体图形表面积公式：1、圆柱体：表面积：2πR 2+2πRh 体积：πR 2h （R 为圆柱体上下底圆半径，h 为圆柱体高）2、圆锥体：体积：31πR 2h （r 为圆锥体低圆半径，h 为其高）3、长方体：表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×24、球：表面积=4πR 2．【典例一】一个棱长为11厘米的正方体，在它相邻的三个面中心各凿一个长宽各3厘米的洞，所凿的洞穿透这个正方体．现在，这个正方体比原来增加了多少平方厘米？【分析】根据切割方法可知：在它相邻的三个面的中心部分挖穿了3个长方体的孔后，原来正方体的表面积减少了6个边长为3厘米的横截面的面积，又增加了24个长(113)24-÷=厘米，宽3厘米的长方形的面的面积，由此即可解答．【解答】解：(113)2324336-÷⨯⨯-⨯⨯28854=-234=（平方厘米）答：正方体比原来增加了234平方厘米．【点评】根据切割特点，得出增加和减少的面，是解决本题的关键．【典例二】如图是一个机器零件．现在要对这个零件进行表面电镀防锈处理．需要电镀的面积有多大？【分析】这个机器零件是由4个边长30mm的小正方体组成，相接触的面共有6个面，正好是一个正方体的6个面，利用平移，也可看出，只要电镀3个正方体的表面即可，即6318⨯=个小正方形．【解答】解：303018⨯⨯，=⨯，900182=16200()mm16200mm．答：需要电镀的面积有2【点评】此题关键是理解4个正方体接触的6个面不用电镀．【典例三】有一个棱长为40cm的正方体，它的上下两个面各有一个直径为4cm的圆孔，孔深为10cm．求立体图形的表面积和体积各是多少．【分析】401010>+，所以两个圆孔没有相连；如图：（1）运用正方体体积减去圆柱体的体积，就是剩下机器零件形的体积．（2）运用正方体的表面积加上两个圆柱的侧面积，就是剩下机器零件的表面积．【解答】解：（1）剩下机器零件的体积：2⨯⨯-⨯÷⨯⨯，404040 3.14(42)102=-，64000251.2=（立方厘米）；63748.8答：剩下机器零件的体积是63748.8立方厘米．（2）剩下机器零件的表面积：⨯⨯+⨯⨯⨯，40406 3.144102=+，9600251.2=（平方厘米）；96251.2答：剩下机器零件的表面积96251.2平方厘米．【点评】本题考查了正方体圆柱体的体积公式及它们的表面积及侧面积公式．考查了学生的空间想象及思维能力．一．选择题（共8小题）1．如图甲、乙两个图形都是由大小相等的小正方体组成的，它们的表面积相比，()A．甲的表面积大B．乙的表面积大C．甲乙的表面积一样大D．无法比较2．把10个相同的小正方体按如图所示的位置堆放，它的外表含有若干个小正方形，如图将图中标有字母A的一个小正方体搬去，这时外表含有的小正方形个数与搬动前相比()A．不增不减B．减少1个C．减少2个D．减少3个3．如图，在一个棱长是5厘米的大正方体上面粘上一个棱长1厘米的小正方体，求整个图形的表面积是()平方厘米．A．120B．123C．158D．1544．挖掉一个棱长1厘米的小正方体，它的表面积()A．比原来大B．比原来小C．不变D．无法确定5．如图是一个长3米、宽与高都是2米的长方体.将它挖掉一个棱长1米的小正方体，它的表面积()A．比原来大B．比原来小C．不变D．无法确定6．一位美术老师在课堂上进行立体图形素描教学时，把14个棱长1分米的正方体摆在课桌上成如图的形状，然后他把露出的表面涂上不同的颜色，则被他涂上颜色部分的面积为()平方分米．A．33B．54C．36)cm。
数学思维导引-六年级-立体几何 (5)
（2）如果沿经过中轴线 AB 的平面切一刀，将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积 之和又是多少？
【分析】 （1） 蛋糕的表面积为：
2 π1 2
1
2 π1 1
2π3 2
1
2
π23
2
10.5
π32.97
（平方分米）
（2）
新切一刀，表面积增加了
2
2
1 2
2
1
2
3 2
12
，则现在的表面积变为
44.97
【分析】 （1）每一次拼合会少两个面，拼了 3 次，表面积之和少了 32 1 6 平方厘米； （2）原正方体的表面积为 6 1 6 ，且一刀会增加两个面，增加的面积为 2，则两部分的表
面积之和为 8；根据图 2，总共切了 5 刀，表面积增加了 10，则这 18 块长方体的表面积 总和为 16。 （第四届华杯赛初赛第 3 题） 7、如图所示，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径标在图上，单位是厘米。请问：
超越篇
1、有一个棱长为 20 的大立方体，在它的每个角上按如图所示的方式各做一个小立方体， 于是得到 8 个小立方体。在这些立方体中，上面 4 个的棱长为 12，下面 4 个的棱长为 13。请问：所有这 8 个小立方体公共部分的体积是多少？
【分析】上面四个立方体的公共部分是一个长方体，其底面积为一个正方形，底面边长为
7、一个无盖木盒从外面量时，其长、宽、高分别为 10 厘米、8 厘米、5 厘米。已知木板厚 1 厘米，那么做一个木盒，需要这样的木板多少平方厘米？这个木盒的容积又是多少？
【分析】由于此无盖木盒的外部体积为 810 5 400 立方厘米，而木盒的容积为192 立方
厘米。则根据题意，可知需要这样的木板 400 1921208 立方厘米。
六年级奥数专题训练-第五讲.几何-立体部分
【例 13】三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连 续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面．涂色后把三个长方 体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？
【解析】每个长方体的棱长和是 288 3 96 厘米，所以，每个长方体长、宽、高的和是 96 4 24 厘米．因 为，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，所以，每个长方体的长、宽、 高分别是9厘米、8厘米、7厘米． 要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少有多少个，则需每一个长方体按题意涂色时，应让切割 后只有一个面涂色的小正方体最少．所以，涂一面的长方体应涂一个 8 7 面，有 8 7 56 个； 涂两面的长方体，若两面不相邻，应涂两个 8 7 面，有 8 7 2 112 个；若两面相邻，应涂一
a
h b
图1
图2
图3
【巩固】要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？ 【解析】考虑所有的包装方法，因为6 1 2 3，所以一共有两种拼接方式：
第一种按长宽高1 1 6拼接，重叠面有三种选择，共3种包装方法. 第二种按长宽高1 2 3拼接，有3个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有2个长方体并列方向的 重叠面剩下2种选择，一共有6种包装方法. 其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为1034.
【例 5】 如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？
25块积木
【解析】当小积木互相重合的面最多时表面积最小. 设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个 3 3 3 的正方体时，表面积最小，现在要去掉2块小 积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增 加，该几何体表面积为54.
六年级数学思维训练：立体几何(六年级)竞赛测试.doc
六年级数学思维训练：立体几何（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型 选择题填空题简答题xx 题 xx 题 xx 题 总分 得分一、xx 题（每空xx 分，共xx 分）【题文】一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、1厘米．若它的棱长总和等于另一个正方体的棱长总和，则长方体与正方体的表面积之比是多少？长方体体积比正方体体积少多少立方厘米？ 【答案】11：12，2立方厘米． 【解析】试题分析：首先根据长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，求出棱长总和，用棱长总和除以12求出正方体的棱长，再根据长方体的表面积公式：s=（ab+ah+bh ）×2，正方体的表面积公式：s=6a2，长方体的体积公式：v=abh ，正方体的体积公式：v=a3，把数据分别代入公式解答． 解：（3+2+1）×4÷12 =6×4÷12 =24÷12 =2（厘米），（3×2+3×1+2×1）×2：（2×2×6） =11×2：24 =22：24 =11：12； 2×2×2﹣3﹣2﹣1 =8﹣6=2（立方厘米），答：长方体与正方体的表面积之比是11：12，长方体体积比正方体体积少2立方厘米． 点评：此题主要考查长方体、正方体的棱长总和公式、表面积公式、体积公式的灵活运用．【题文】如图，将长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米？如果四角去掉边长为3厘米的正方形呢？【答案】90立方厘米；63立方厘米．评卷人得分【解析】试题分析：先根据题意计算出折成的长方体的长，宽，高，即长方体的长=原长方形的长﹣2个正方形的边长，长方体的宽=原长方形的宽﹣2个正方形的边长，长方体的高=正方形的边长，再根据长方体的容积=长×宽×高，计算出容积．解：长方体的长：13﹣2﹣2=9（厘米）长方体的宽：9﹣2﹣2=5（厘米）容积为：9×5×2=90（立方厘米）答：这个容器的容积为90立方厘米．如果四角去掉边长为3厘米的正方形：长方体的长：13﹣3﹣3=7（厘米）长方体的宽：9﹣3﹣3=3（厘米）容积为：7×3×3=63（立方厘米）答：这个容器的容积为63立方厘米．点评：解决本题的关键是根据图意知道：长方体的长=原长方形的长﹣2个正方形的边长，长方体的宽=原长方形的宽﹣2个正方形的边长，长方体的高=正方形的边长．【题文】用棱长是1厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形，这个图形的表面积是多少平方厘米？【答案】46平方厘米．【解析】试题分析：可以从上下左右前后观察各有几个正方形的面，然后用一个正方形的面的面积乘它的个数，即是这个图形的表面积，据此解答．解：上、下共：9+9=18（个），左、右共：7+7=14（个），前、后共：7+7=14（个），表面积：1×1×（18+14+14），=46（平方厘米）；答：这个图形的表面积是46平方厘米．点评：本题考查了从不同角度观察组合图形，关键是分上下左右前后六个方向观察，得出各有几个正方形的面．【题文】（1）如图1，将一个棱长为6的正方体从某个角切掉一个长、宽、高分别为4、3、5的长方体，剩余部分的表面积是多少？（2）如图2，将一个棱长为5的正方体，从左上方切去一个长、宽、高分别为5、4、3的长方体，它的表面积减少了百分之几？【答案】（1）216．（2）19.2%．【解析】试题分析：图1由图意可知，减少的面积的和新增的面的面积相等，所以剩余部分的表面积就是原来长方体的表面积．图2由图意可知，减少的是长是4，宽是3的两个长方形的面积，用减少的面积除以正方体的表面积即可．解：（1）6×6×6=216答：剩余部分的表面积是216．（2）2×4×3÷（5×5×5）=24÷125=19.2%答：它的表面积减少了19.2%．点评：看懂图意，再正确运用正方体表面积的计算公式解答即可．【题文】（2013•北京模拟）如图是一个边长为2厘米的正方体．在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【答案】29平方厘米．【解析】试题分析：立体图形的好处就是可以直观视觉，虽然图形被挖去，但6个面看过去都还是面积不变的，特别是从上往下看是，3个正方体的下底面剩下的面积和等于原来的面积，这样就只增加了3个小正方体的各自的侧面；计算出原表面积再加上增加的3个小正方体的各自侧面的面积就是最后得到的立体图形的表面积．解：原正方体的表面积是：2×2×6=24（平方厘米），增加的面积：1×1×4+（×）×4+（×）×4，=4+×4+×4，=4+1+，=5（平方厘米），总表面积为：24+5=29（平方厘米）．答：最后得到的立体图形的表面积是29平方厘米．点评：立体图形中一定要学会想象，特别是这种面积分开时，我们仍可以看成相连的，这就要求学生必须学会如何看待面积的变化．【题文】（2012•北京模拟）（1）如图，将4块棱长为1的正方体木块排成一排，拼成一个长方体．那么拼合后这个长方体的表面积，比原来4个正方体的表面积之和少了多少？（2）一个正方体形状的木块，棱长为1，如图所示，将其切成两个长方体，这两部分的表面积总和是多少？如果在此基础上再切4刀，将其切成大大小小共18块长方体．这18块长方体表面积总和又是多少？【答案】（1）减少了6；（2）8； 16；【解析】试题分析：（1）观察图形可知，拼组后的长方体的表面积比原来减少了6个小正方体的面的面积，由此即可解答；（2）每切一刀，就增加2个正方体的面，所以这两部分的表面积之和就是8个正方体的面的面积之和；在此基础上再切4刀后，表面积比原来又增加了8个小正方体的面，由此即可解答．解：（1）6×1×1=6，答：拼组后表面积减少了6．（2）切一刀，得到的两个长方体的表面积之和是：1×1×（6+2）=8；再切4刀，则表面积之和是：1×1×（6+10）=16；答：切一刀后，表面积之和是8，再切4刀后，表面积之和是16．点评：抓住正方体的切割特点，得出每切1刀增加的表面积规律，是解决此类问题的关键．【题文】这里有一个圆柱和一个圆锥（如图），它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米．请回答：圆锥体积与圆柱体积的比是多少？【答案】1：24．【解析】试题分析：利用V=sh求得圆锥的体积，V=sh求得圆柱的体积，依此可得圆锥体积与圆柱体积的比．解：圆锥体积：圆柱体积=（×3.14×22×4）：（3.14×42×8）=（×22×4）：（42×8）=1：24；答：圆锥体积与圆柱体积的比是1：24．点评：此题是求圆柱、圆锥的体积，可利用它们的体积公式解答．【题文】如图，一块三层蛋糕，由三个高都为1分米，底面半径分别为1.5分米、1分米和0.5分米的圆柱体组成．请问：（1）这个蛋糕的表面积是多少平方分米？（л取3.14）（2）如果沿经过中轴线AB的平面切一刀，将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积之和又是多少？【答案】（1）32.97平方分米．（2）38.97平方分米．【解析】试题分析：由题意可知：这个物体的表面积是大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积，根据公式计算即可．如果沿经过中轴线AB的平面切一刀，将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积之和圆柱的表面积加上3个长方形的面积乘以2即可．解（1）大圆柱的表面积：3.14×1.52×2+2×3.14×1.5×1，=14.13+9.42，=23.55（平方分米），中圆柱侧面积：2×3.14×1×1=6.28（平方分米），小圆柱侧面积：2×3.14×0.5×1=3.14（平方分米），这个物体的表面积：23.55+6.28+3.14=32.97（平方分米）；答：这个物体的表面积是32.97平方分米．（2）（1×0.5+1×1+1×1.5）×2+32.97=6+32.97=38.97（平方分米）答：将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积之和是38.97平方分米．点评：此题主要考查圆柱的侧面积、表面积公式及其计算．【题文】有大、中、小三个立方体水池，它们的内部棱长分别是6米、3米、2米，三个池子都装了半池水．现将两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面会升高多少厘米？（结果精确到小数点后两位）【答案】1.94厘米．【解析】试题分析：根据题意，因为把碎石沉没在水中，水面升高所增加的体积，就等于所沉入的碎石的体积，所以应先求出两块碎石的体积．沉入在中水池的碎石的体积，即3×3×0.06=0.54（米3），而沉入小水池中的碎石的体积是：2×2×0.04=0.16（米3）；然后求出两块碎石的体积和，再根据大水池的底面积，求出大水池的水面升高的高度，解决问题．解：6厘米=0.06米4厘米=0.04米3×3×0.06=0.54（米3）2×2×0.04=0.16（米3）0.54+0.16=0.7（米3）大水池的底面积是：6×6=36（米3）大水池的水面升高了：0.7÷36=（米）米≈1.94（厘米）．答：大水池的水面大于会升高1.94厘米．点评：解答此题，关键在于理解：把碎石沉没在水中，水面升高所增加的体积，就等于所沉入的碎石的体积．【题文】有一个高24厘米，底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装了一半水，现有一根长30厘米，底面半径为2厘米的圆柱体木棒．将木棒竖直放入容器中，使棒的底面与容器的底面接触，这时水面升高了多少厘米？【答案】0.5厘米．【解析】试题分析：放入圆柱体木棒前后的水的体积不变，根据原来水深24÷2=12厘米，可以先求得水的体积，那么放入圆柱体木棒后，容器的底面积变小了，由此可以求得此时水的深度，进一步即可求解．解：[3.14×102×（24÷2）]÷（3.14×102﹣3.14×22）=（3.14×1200）÷（3.14×96）=1200÷96=12.5（厘米）12.5﹣24÷2=12.5﹣12=0.5（厘米）．答：这时水面升高了0.5厘米．点评：抓住前后水的体积不变，原来底面积减少了圆柱体木棒的底面积部分，利用圆柱的体积公式即可求得底面积减少后的水深，由此即可解决问题．【题文】将表面积分别为54、96和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积．【答案】216立方厘米．【解析】试题分析：因为正方体的每一个面的面积相等，所以这三个正方体的每一个面面积是9、16、25平方厘米．故三个正方体的棱长分别是3、4、5厘米．则大正方体的体积只需将三个正方体的体积相加即可．解：54÷6=9（平方厘米），因为3×3=9，所以这个正方体的棱长是3厘米，96÷6=16（平方厘米），因为4×4=16，所以这个正方体的棱长是4厘米，150÷6=25（平方厘米），因为5×5=25，所以这个正方体的棱长是5厘米，33+43+53，=27+64+125，=216（立方厘米），答：这个大正方体的体积是216立方厘米．点评：分别求出三个正方体的棱长是解答关键．【题文】一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米．求原长方体的表面积．【答案】148平方厘米．【解析】试题分析：由题意，长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽×高×2=40立方厘米，则宽×高=20平方厘米．同理可知长×高=30平方厘米，长×宽=24平方厘米，根据长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2．列式解答．解：长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽×高×2=40立方厘米，则宽×高=20平方厘米．同理可知长×高=90÷3=30平方厘米，长×宽=96÷4=24平方厘米，（长×宽+长×高+宽×高）×2=（24+30+20）×2，=74×2，=148（平方厘米）；答：原长方体的表面积是148平方厘米．点评：此题关键是理解长增加宽和高不变，宽增加长和高不变，高增加长和宽不变．根据长方体的表面积公式解答即可．【题文】如图，有30个棱长为1米的正方体堆成一个四层的立体图形．请问：这个立体图形的表面积等于多少？【答案】72平方米．【解析】试题分析：这个几何体的表面积就是露出小正方体的面的面积之和，从上面看有16个面；从下面看有16个面；从前面看有10个面；从后面看有10个面；从左面看有10个面；从右面看有10个面．由此即可解决问题．解：图中几何体露出的面有：10×4+16×2=72（个）所以这个几何体的表面积是：1×1×72=72（平方米）答：这个立体图形的表面积等于72平方米．点评：此题考查了观察几何体的方法的灵活应用；应抓住这个几何体的表面积是露出的小正方体的面的面积之和是解决此类问题的关键．【题文】如图1，将一个棱长为10的正方体从顶点A切掉一个棱长为4的正方体，得到如图2的立体图形，这个立体图形的表面积是多少？如果再从顶点B切掉一个棱长为6的正方体，那么剩下的立体图形的表面积又是多少？【答案】600；568.【解析】试题分析：将原正方体切去一个小正方体后，减少的表面积正好被新增加的表面积所补充，因此新的立体图形的表面积就等于原正方体的表面积，根据正方体的表面积公式即可求解，如果再从顶点B切掉一个棱长为6的正方体，那么剩下的立体图形的表面积是原正方体的表面积﹣边长是4的两个正方形的面积．解：10×10×6=600答：这个立体图形的表面积是600．如果再从顶点B切掉一个棱长为6的正方体，剩下的立体图形的表面积为：10×10×6﹣4×4×2=600﹣32=568答：剩下的立体图形的表面积是568．点评：解答此题的关键是明确图1新立体图形的表面积就等于原正方体的表面积．【题文】一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体（如图），这些小长方体的表面积之和为162平方厘米．请问：原正方体的体积是多少？【答案】27立方厘米．【解析】试题分析：由题意，一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体，则需要切6次，每次会增加两个答正方体的面，所以共增加12个大正方体的面，又知这些小长方体的表面积之和为162平方厘米，即原来大正方体的6+12=18个面的面积是162平方厘米，由此可求得一个面的面积，进而得到大正方体的棱长，再根据正方体的体积公式解答即可．解：一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体，则需要切6次，共增加12个大正方体的面，一个面的面积：162÷（12+6）=9（平方厘米），因为3×3=9，所以可知大正方体的棱长是3厘米，大正方体的体积：3×3×3=27（立方厘米），答：原正方体的体积是27立方厘米．点评：解答此题关键是明确一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体，则需要切6次，每次会增加两个答正方体的面，所以共增加12个大正方体的面．【题文】如图是一个棱长为4厘米的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一个棱长1厘米的小正方体，做成一种玩具．该玩具的表面积是多少平方厘米？如果把这些洞都打穿，表面积又变成了多少？【答案】120平方厘米；160平方厘米．【解析】试题分析：这个玩具的表面积是大正方体的面积，加上6个边长为1厘米的小正方体的4个侧面的面积，如果把这些洞都打穿，表面积增加4个边长4厘米的小正方体的4个侧面的面积，据此解答即可．解：玩具的表面积：4×4×6+1×1×6×4=96+24=120（平方厘米）如果把这些洞都打穿，表面积：4×4×6+1×4×4×4=96+64=160（平方厘米）答：它的表面积是120平方厘米．如果把这些洞都打穿，表面积变成了160平方厘米．点评：此题考查规则立体图形的表面积，解决此题的关键是在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长为1厘米的正方体，增加6个边长为1厘米的小正方体的4个侧面的面积．【题文】一个无盖木盒从外面量时，其长、宽、高分别为10厘米、8厘米、5厘米，已知木板厚1厘米，那么做一个木盒，需要这样的木板多少平方厘米？这个木盒的容积又是多少？【答案】做这个木盒至少需用1厘米厚的木板208平方厘米．这个木盒的容积是192立方厘米．【解析】试题分析：如下图：假设用长10厘米，宽8厘米，厚1厘米的木板作底面，那么4个侧面的木板的高就是（5﹣1）厘米，如果前后面用长10厘米，宽4厘米的木板，那么左右面的木板长是（8﹣1﹣1）厘米，左右面木板的宽也是4厘米．然后根据长方体表面积的计算方法，求这5个面的总面积即可．木盒里面的长是（10﹣1﹣1）厘米，宽是（8﹣1﹣1）厘米，高是（5﹣1）厘米，再根据长方体的容积（体积）公式解答．解：如图：根据分析：4个侧面的木板的宽是：5﹣1=4（厘米）10×8+10×4×2+（8﹣1﹣1）×4×2=80+80+6×4×2=160+48=208（平方厘米）（10﹣1﹣1）×（8﹣1﹣1）×（5﹣1）=8×6×4=192（立方厘米）答：做这个木盒至少需用1厘米厚的木板208平方厘米．这个木盒的容积是192立方厘米．点评：此题主要考查长方体的表面积公式、容积（体积）公式的实际应用．【题文】有一根长为20厘米，直径为6厘米的圆钢，在它的两端各钻一个4厘米深，底面直径也为6厘米的圆锥形的孔，做成一个零件（如图）．这个零件的体积为多少立方厘米？（л取3.14）【答案】489.84立方厘米．【解析】试题分析：根据题意可知：这个零件的体积等于圆柱的体积减去两个圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：v=sh，圆锥的体积公式：v=，把数据分别代入公式解答即可．解：3.14×（6÷2）2×4×2==565.2﹣75.36=489.84（立方厘米），答：这个零件的体积为489.84立方厘米．点评：此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的实际应用．【题文】现有一块长、宽、高分别为10厘米、8厘米、6厘米的长方体木块，把它切成体积尽可能大且底面在长方体表面上的圆柱体木块，这个圆柱体木块的体积为多少？（л取3）【答案】288立方厘米．【解析】试题分析：削出最大的圆柱的方法有三种情况：（1）以8厘米为底面直径，6厘米为高；（2）以6厘米为底面直径，8厘米为高；（3）以6厘米为底面直径，10厘米为高，由此利用圆柱的体积公式分别计算出它们的体积即可解答．解：（1）以8厘米为底面直径，6厘米为高，3×（8÷2）2×6=3×16×6=288（立方厘米）；（2）以6厘米为底面直径，8厘米为高；3×（6÷2）2×8=3×9×8=216（立方厘米）；（3）以6厘米为底面直径，10厘米为高，3×（6÷2）2×10=3×9×10=270（立方厘米）；答：这个圆柱最大的体积是288立方厘米．点评：此题考查了圆柱的体积公式的计算，圆柱的底面是一个圆形，此题抓住长方形内最大圆的特点，得出切割圆柱的不同方法即可解答．【题文】张大爷去年用长2米宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤，今年改用长3米宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍？【答案】4.5倍．【解析】试题分析：依据经验可得：用长方形的长作底面周长，宽作高，围成的圆柱的容积最大，据此利用圆柱的体积公式即可得解．解：π××2÷[π××1]=×2÷=÷=4.5倍；答：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的4.5倍．点评：解答此题的关键是明白：用长方形的长作底面周长，宽作高，围成的圆柱的容积最大．【题文】左边正方形的边长为4，右边正方形对角线长度为6．如果按照图中的方式旋转，那么得到的两个旋转体的体积之比是多少？【答案】8：9．【解析】试题分析：左边正方形旋转后交得到一个底面半径为，高为4的圆柱，根据圆柱的体积公式V=πr2h即可求出这个圆柱的体积；右边正方形旋后可得到两个底面半径为，高也为且底面重合的圆锥，根据圆锥的体积公式V=πr2h即可求出这两个圆柱的体积；再根据比的意义求出两个旋转体的体积之比即可（要化成最简整数比）．解：3.14×（）2×4=3.14×4×4=50.24，×3.14×（）2××2=×3.14×9×3×2=56.52，50.24：56.52=8：9．答：两个旋转体的体积之比是8：9．点评：此题主要是考查圆柱、圆锥的计算，比的意义等．圆柱、圆锥体积的计算关系记住公式．【题文】如图一个底面长30分米，宽10分米，高12分米的长方体水池，存有四分之三池水，请问：（1）将一个高11分米，体积330立方分米的圆柱放入池中，水面的高度变为多少分米？（2）如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？（3）如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？【答案】（1）9.9分米．（2）10.89分米．（3）12分米．【解析】试题分析：（1）由题意知，原来容器中的水可以看成是长30分米、宽10分米、高为12×=9分米的长方体，现将一个高11分米，体积330立方分米的圆柱放入池中，水面没有淹没，求出圆柱的底面积即330÷11=30（平方分米）再用30×9求出淹没部分圆柱的体积除以长方体的底面积即是水升高的高度，用水升高的高度加上9分米，（2、3）同（1）解答即可．解：（1）330÷11×12×=30×9=270（立方分米）270÷（30×10）=270÷300=0.9（分米）9+0.9=9.9（分米）答：水面的高度变为9.9分米．（2）330÷11×9.9=30×9.9=297（立方分米）297÷（30×10）=0.99（分米）9.9+0.99=10.89（分米）答：水面高度又变成了10.89分米．（3）330÷11×10.89=30×10.89=326.7（立方分米）326.7÷（30×10）=1.89（分米）10.89+1.89=12.78（分米）有一部分水溢出，水面高度为12分米答：水面高度又变成了12分米．点评：此题主要考查长方体的体积公式，完全和不完全浸入水中的圆柱的体积等于上升的水的体积．【题文】有一个棱长为20的大立方体，在它的每个角上按如图的方式各做一个小立方体，于是得到8个小立方体．在这些立方体中，上面4个的棱长为12，下面4个的棱长为13．请问：所有这8个小立方体公共部分的体积是多少？【答案】80.【解析】试题分析：如图1所示，从上向下看，上面的四个棱长是12的正方体重叠部分的边长是12+12﹣20=4的正方形；如图2所示，从上向下看，下面的四个棱长是13的正方体重叠部分是边长为13+13﹣20=6的正方形；如图3所示，从侧面看，上面四个棱长12的正方体和下面的四个棱长13的正方体的重叠部分高为12+13﹣20=5，据此即可求出这8个小正方体的公共部分的体积．解：根据题干分析可得：4×4×5=80答：公共部分的体积是80．点评：解答此题的关键是画出示意图，明确出公共部分的长宽高的值．【题文】地上有一堆小立方体，从上面看时如图1，从前面看时如图2，从左边看时如图3．这一堆立方体一共有几个？如果每个小立方体的棱长为1厘米，那么这堆立方体所堆成的立体图形表面积为多少平方厘米？【答案】43平方厘米．【解析】试题分析：从上面看时如图1可得3行，3列正方体，由从正面看得到的图形2可得组合几何体底层有3列，3层正方体，由从侧面看得到的图形3可得组合几何体底层有3行正方体，有3层，由此得：第一层每列有2个正方体，第二层第一列有2个正方体，第三列有1个正方体，第三层第一列有1个正方体，所以一共有2×3+2+1+1=10个正方体，每个正方体外露5个面的有5个正方体，外露有4个正方体有3个，外露3个面的正方体有2个，据此可以求出这堆立方体所堆成的立体图形表面积．解：由分析可知：2×3+2+1+1=10（个），1×1×5×5+1×1×4×3+1×1×3×2=25+12+6=43（平方厘米），答：这一堆立方体一共有10个l试题分析：（1）圆柱的侧面积=底面周长×高，圆柱的表面积=侧面积+底面积×2，圆柱的体积=底面积×高．把数据代入公式进行解答；（2）由已知利用弧长公式先求出这个圆弧长，圆弧长就是围成的圆锥的底面周长，由此可以求出圆锥的底面半径为及高，代入圆锥体积公式，即可得到答案．解：（1）侧面积：π×6×4=24π（平方厘米）；表面积：24π+π×（6÷2）2×2=24π+18π=42π（平方厘米）；体积：π×（6÷2）2×4=π×9×4=36π（立方厘米）；答：表面积是42π平方厘米，体积是36π立方厘米．（2）①圆心角为345.6°的圆弧长为：=48π（厘米）；则圆锥体的底面周长为48π厘米，则圆锥的底面半径为：48π÷π÷2=24（厘米）；因为母线长是25，所以：设圆锥的高为h，则：h2=252﹣152=625﹣225=400，因为20×20=400，所以h=20；所以圆锥的体积为：×π×242×20=3840π（立方厘米）；答：这个圆锥的体积是3840π立方厘米．②圆心角为216°的圆弧长为：=30π（厘米）；则圆锥体的底面周长为30π厘米，则圆锥的底面半径为：30π÷π÷2=15（厘米）；所以圆锥的体积为：×π×152×20=1500π（立方厘米）；答：这个圆锥的体积是1500π立方厘米．点评：此题主要考查圆柱的侧面积、表面积、体积的计算以及圆锥的体积计算，根据已知计算出圆锥的底面半径及高，是解答本题的关键．【题文】将图1、图2中的平面图形分别折叠成一个四棱锥和三棱柱，这两个立体图形的体积分别是多少？（图1正中央是一个面积为18平方厘米的正方形，每边上分别有一个腰长为5厘米的等腰三角形；图2中的图形由三个长方形和两个直角三角形组成．）【答案】72立方厘米．【解析】试题分析：图1首先求出四棱锥的高，根据四棱锥的体积公式：v=，把数据代入公式解答．图2根据三棱柱的体积公式：v=sh，把数据代入公式解答．解：3×4÷2×12=6×12=72（立方厘米），答：三棱柱的体积是72立方厘米．点评：此题主要考查棱锥、棱柱的体积公式的灵活运用．【题文】一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，如图圆柱体的底面直径和高都是12厘米，其内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时，水面离顶部5厘米．请问：这个容器的容积是多少立方厘米？（兀取3.14）【答案】1695.6立方厘米．【解析】试题分析：设圆锥体高是h厘米，水体积是v立方厘米，根据正放时和倒放时的体积不变，可得关于h的方程，求得圆锥体的高，再根据容器的容积=圆柱体的容积+圆锥体的容积列式计算即可求解．解：设圆锥体高是h厘米，水体积是v立方厘米，。
六年级数学竞赛上册奥数高思第10讲立体几何(彩色)
六年级上册第10讲10立体几何首先，我们来复习长方体、正方体的体积与表面积的计算方法．图形体积表面积c V=abc长方体S=2×(ab+bc+c a)长方体a bV=a=3 S6a2正方体正立方体a70身体健康立体几何课本例题1将表面积为54平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的三个实心铁质正方体熔铸成一个大正方体（不计损耗）．请问：这个大正方体的体积是多少立方厘米？分析所给的每个正方体的棱长是多少？体积是多少？熔铸成一个大正方体的体积怎么求？练习1.3个相同的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积为350平方厘米，那么每个正方体的体积是多少立方厘米？例题2一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米．请问：这个长方体的表面积是多少平方厘米？分析我们先考虑第一种情况，长增加2厘米，高和宽保持不变．如下图（1），多出的体积用虚线表示，我们就会发现，这一块的体积为2×高×宽=40（立方厘米），由此可以求出左右两个侧面的面积．当然另两对侧面也可以用类似的方法求出．?2??3 Щ?4Щ?1??2??3?71身体健康六年级上册第10讲练习2.一个长方体，如果长减少2厘米，宽和高不变，它的体积将减少48立方厘米；如果宽增加3厘米，长和高不变，它的体积将增加99立方厘米；如果高增加4厘米，长和宽都不变，它的体积则会增加352立方厘米．那么这个长方体的表面积是多少平方厘米？例题3有30个棱长为1米的正方体，如图所示堆成一个四层的立体图形．请问：该立体图形的表面积等于多少平方米？分析所谓表面积，就是立体图形露在外面的总面积．我们可以从上、下、左、右、前、后6个不同的方向去考虑这个立体图形，把每个方向露出的面积加在一起就行了．练习3.把棱长为1厘米的正方体，像下图这样层层重叠放置，那么当重叠到第五时，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？三视图众所周知，一个物体从正面看与从后面看，从左边看与从右边看、从上面看与从下面看得到的图形都是相同的，于是我们把从正面、左面、上面看过去得到的图形，分别叫做正视图、左视图、俯视图，三个图形合起来我们就称之为三视图．???????72身体健康立体几何课本那么请同学们想一想，一个圆锥的三视图是什么样子的呢？给定了三视图，它所对应的物体形状是不是唯一确定的呢？如果一个物体的三视图如下所示，它的形状又可能有哪几种呢？?????例题4一个正方体被切成24个大小形状相同的小长方体（见右图），这些小长方体的表面积之和为162平方厘米，那么原正方体的体积是多少立方厘米？分析我们先来分析一下切成小块的过程中，图形的表面积是如何变化的．同学们请看下图：一刀下去，正方体被一分为二．表面积和原来相比，正好多出了A、B 两个面．不难看出，这两个面的面积都等于原正方体6个面中1个面的面积．按这种方法，每切一刀，增加的都是两个面的面积．同学们可以计算一下，按如图的方式切了6刀后，表面积究竟增加了多少？练习4.如图所示，有一个长方体，先后沿不同方向切了三刀．切完第一刀后得到的两个小长方体的表面积之和是472平方厘米，切完第二刀后得到的四个小长方体的表面积之和是632平方厘米，切完第三刀后得到的八个小长方体的表面积之和是752平方厘米．那么在原来长73身体健康六年级上册第10讲方体的6个面中，面积最小的面是多少平方厘米？除了长方体、正方体之外，圆柱和圆锥在我们的生活中也特别常见．??????如图，圆柱的两个圆面叫做底面；周围的面叫做侧面；两个底面之间的距离叫做高．圆锥的圆面叫做底面；尖点叫做顶点；顶点到底面的距离叫做高；顶点到底面圆周上任意一点的连线叫做母线．关于圆锥的内容，我们不作深入的学习，同学们只需要学会如何计算它的体积即可．立体图形体积侧面展开图h V圆柱= 底面积×高= r2h圆柱的侧面展开图为长方形，长为圆柱底面周长，宽为圆柱的高．r圆锥的侧面展开图为扇形，半hr V圆锥=1313×底面积×高2h径为母线（不是圆锥的高！），弧长为圆锥底面周长．（注：圆锥侧面展开只需了解，不需掌握）大家可以把圆柱想象成一个底面是圆形的柱子，那其他柱体也就是底面是其他图形的柱子．如图，所有“上下一般粗”的图形都称为柱体，图中的两个图形分别叫做三棱柱和四棱柱，它们的体积计算公式都是：V= 底面积×高埃及金字塔金字塔是4000多年前古埃及法老的陵墓，因为其造型的雄伟和年代的久远，被誉为世界七大奇迹之首．其中最大的一座是兴建于公元前2760年的胡夫金字塔．据历史学家推测，当年建造这座金字塔一共动用了10万人的劳力，前后历时30年，才得以竣工．74身体健康立体几何课本在胡夫金字塔的东南面还有著名的狮身人面像，是法老胡夫的儿子哈佛拉的形象．两者交相辉映，甚为壮观．从形状上看，胡夫金字塔是一个正四棱锥，底座是一个正方形，侧面是4个形状一胡夫金字塔侧视图胡夫金字塔俯视图模一样的等边三角形．正方形底座每边长约230米，塔高约147米，有将近50层楼高！这么一个庞然大物，它的体积究竟是多少呢？例题5张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成了一个容积最大的圆柱体粮囤．今年他改用长3米、宽2米的长方形苇席来围，也同样围成容积最大的圆柱囤．请问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍？分析用长方形苇席成圆柱体的粮囤只有两种围法，如下图所示．用去年的苇席怎样围，得到的圆柱体粮囤最大？用今年的苇席呢？练习5.有一根长为20厘米、底面直径为6厘米的圆柱体钢材，在它的两端各钻一个深为4厘米、底面直径也为6厘米的圆锥形的孔，做成一个零件（如右图）．这个零件的体积为多少立方厘米？75六年级上册第10讲例题6一个底面长30分米、宽10分米、高12分米的长方形水池，存有四分之三的池水．（1）将一个高11分米，体积330立方分米的圆柱放入池中，水面的高度变为几分米？（2）如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了几分米？（3）如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了几分米？分析圆柱放入水中可能有如下几种情况：（1）水浸没了圆柱的一部分．这时的情况如图所示：????????????????????（2）水把圆柱都浸没了，但是水没有溢出池面，如图所示：?????????（3）水溢出了水池．这时水面的新高度就是水池的高度．如图所示：ē? ??? ??????因此，在一次次放入圆柱时，我们要做两次判断：先要判断放入圆柱后，水是否完全浸没圆柱；如果完全浸没，再判断水是否会溢出水池．然后才来求解．76立体几何课本练习6.一个底面长20分米、宽8分米、高15分米的长方形水池，存有三分之二池水．将一个高50分米，体积400立方分米的长方体竖直放入池中，那么长方体被水浸湿的部分有几分米高？思考题右图是一个棱长为4厘米的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一个棱长1厘米的正方体，做成一种玩具．该玩具的表面积是多少平方厘米？如果把这些洞都打穿，表面积又变成了多少平方厘米？本讲知识点汇总一、长方体、正方体的表面积与体积公式．二、圆柱体、圆锥体的体积公式．三、三视图法求表面积．四、立体图形与排水问题．作业1.一个长方体的体积是120立方厘米，底面是面积为4平方厘米的正方形，求长方体的表面积．77六年级上册第10讲2.如图，同样大小的立方体木块堆放在房间的一角，一共垒了10层，那么在这10层中看不见的木块共有多少个？3.一个正方体棱长10厘米，在它的表面上挖去一个棱长3厘米的小正方体．请求出剩下立体图形表面积的所有可能．4.求下面图形的体积：（取＝3.14）1410165.一个圆柱形玻璃杯内装着水，水面高2.5厘米．从里面量，玻璃杯的底面积是72平方厘米．将一个棱长为6厘米的正方体铁块放入杯中，水面会淹没铁块吗？如果没有，这时水面高多少厘米？78。
小学六年级总复习之立体几何
一、习题精选。
1、一堆小麦堆成圆锥形，底面周长是18. 84米，高1.8米，这堆小麦的体积是（）。
2、用边长为1分米的小正方体，拼成一个较大的正方体，至少需要（）个这样的小正方体，把这些小正方体排成一行，它的长度是（）分米。
3、一个圆柱体比和它等底等高的圆锥体体积大18立方厘米，那么圆柱体和圆锥体体积的和是（）。
4、一根长3米，底面半径5厘米的圆柱形木料锯成两段，表面积增加（）平方厘米或（）平方厘米。
5、一个长方形长15厘米，宽10厘米，以长边为轴旋转一周，会得到一个圆柱形，它的表面积是（）平方厘米，体积是（）立方厘米。
6、一个用立方块搭成的立体图形，淘气从前面看到的图形是，从上面看是，那么搭成这样一个立体图形最少要（）个小立方块。
7、一个半圆的周长是12.56厘米，将这个半圆扩大2倍，它的面积是（）平方厘米。
8、把一个棱长是0.5米的正方体钢坯，锻成横截面面积是10平方分米的长方体钢材。
锻成的钢材长度为（）。
9、把一个高为18厘米的圆锥形容器盛满水，将这些水全部倒入和这个圆锥形容器等底的圆柱形容器里，水的高度是（）厘米。
二、判断题1、圆柱的体积相当于圆锥体积的3倍。
（）2、一个圆柱体木料，把它加工成最大的圆锥体，削去的部分的体积和圆锥的体积比2：1. （）3、一个圆柱和圆锥等底等高，体积相差21立方厘米，圆锥的体积是7立方厘米（）4、正方体的棱长缩小一半后,体积比原来少一半。
（）5、一个长方体和一个圆柱，它们的体积和高都相等，那么，它们的底面积也相等。
（）三、选择题。
1、甲圆柱形容器底面半径是乙圆柱形容器底面半径的2倍(容器直立放置)。
现以相同的流量同时向这两个容器内注入水，经过一定的时间，甲、乙两个容器内水面的高度的比是？(容器内的水都未加满) （）A.1∶2B.2∶1C.4∶1D.1∶42、.如果一个长方体的长、宽、高都扩大3倍，则它的体积扩大( )倍。
A.3B.9C.273、一个长方体油箱，里面长60厘米，宽50厘米，高40厘米，这个油箱可以装油（）A.120升B. 12升C. 1.2升4、.把棱长2厘米的正方体木块装入长8厘米，宽6厘米，高3厘米的长方体盒子里，一共可以装（ ）块。
六年级数学专题思维训练—立体几何(含答案及解析)
六年级数学专题思维训练—立体几何1、下面四个图形都是由六个相同的正方形组成的，其中，折叠后不能围成正方体的是______________．（填序号）2、如下图所示，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米的三个正方体紧贴在一起，则所得到的立体图形的表面积是平方厘米．3、下图是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形，问这个直三棱柱的体积是多少？4、有一个足够深的水槽，底面是长为16厘米、宽为12厘米的长方形，原本在水槽里盛有6厘米深的水和6厘米深的油（油在水的上方）．在水槽中放人一个长、宽、高分别为8厘米、8厘米、12厘米的铁块，那么此时油层的层高是厘米。
5、圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是立方厘米。
（结果用兀表示）6、如下图所示，从正方形ABCD 上截去长方形DEFG ，其中AB=1厘米，DE=21厘米， DG=31厘米，将ABCGFE 以GC 边为轴旋转一周，所得几何体的表面积是 平方厘米，体积是 _____________ 立方厘米。
（结果用兀表示）7、若长方体的三个侧面的面积分别是6，8，12，则长方体的体积是 。
8、一个圆柱和一个圆锥（如下图所示），它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米。
请回答：圆锥体积与圆柱体积的比是多少？9、如下图所示，一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分，已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大2008平方厘米，则这个圆柱体木棒的侧面积是 平方厘米。
（兀取3. 14）10、两个同样材料做成的球A 和B ，一个实心，一个空心。
A 的直径为7、重量为22，B 的直径为10.6、重量为33.3。
问：哪个球是实心球？（球的体积公式V=34πr ³）11、铁路油罐车由两个半球面和一个圆柱面钢板焊接而成，尺寸如下图所示．问：该油罐车的容积是多少立方米？（兀=3. 1416）（球的体积公式V=34πr ³）12、某工厂原用长4米，宽1米的铁皮围成无底无顶的的正方体形状的围栏，现要将围栏容量增加27%，问：能否还用原来的铁皮围成？13、一个正方体的纸盒中，恰好能放人一个体积为6. 28立方厘米的圆柱体，纸盒的容积有多大？（兀=3. 14）．14、用若干个小正方体拼成下图所示的造型．其中有一个小孔分别由左至右、由上至下以及由前至后穿透整个造型．拼成此造型共需使用多少个小正方体？15、一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如下图所示，若用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注水多少次？（球的体积公式：V=34πr ³）16、下图是一个直圆柱形状的玻璃杯，一个长为12厘米的直棒状细吸管（不考虑吸管粗细）放在玻璃杯内，当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可露出上底面边缘2厘米，最多能露出4厘米．则这个玻璃杯的容积为立方厘米．（取兀=3. 14）17、威力集团生产的某种洗衣机的外形是长方体，装衣物部分是圆柱形的桶，直径40厘米，深36厘米，已知该洗衣机装衣物的空间占洗衣机体积的25% ，长方体外形的长为52厘米，宽50厘米．问：高是多少厘米？（兀取3. 14，结果保留整数）18、有两个高度一样的水瓶，瓶子的底部被钉子分别戳了一个同样大的小洞．粗瓶子的水12分钟可以漏完，细瓶子的水8分钟可以漏完．若两个瓶子同时漏水，过了一段时间后，粗瓶子中水的高度是细瓶子中的2倍．这两个瓶子同时漏了分钟．19、世界上最早的灯塔建于公元270年，塔分三层，如下图所示，每层都高27米，底座呈正四棱柱，中间呈正八棱柱，上部呈正圆锥．上部的体积是底座的体积的 。
六年级思维训练 第五讲 立体几何综合
第五讲 立体几何综合【专题知识点概述】本讲复习已经学过的立体图形的相关知识和解题技巧，主要有:长方体、立方体、圆柱、圆锥的体积及表面积求解，立体几何计数及多面体顶点与棱以及表面的关系。
主要知识点⑴规则立体图形的表面积和体积公式长方体：体积：长宽高 表面积：（长宽+宽高+长高）立方体：体积：棱长的立方 表面积：棱长的平方6圆柱： 体积：2r h π 侧面积：2rh π圆锥： 体积：213r h π ⑵不规则立体图形的表面积整体观照法⑶体积的等积变形①水中浸放物体：V 升水=V 物②测啤酒瓶容积：V=V 空气+V 水⑷三视图与展开图最短线路与展开图形状问题⑸染色问题几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。
【授课批注】可以结合以前所讲过的题进行更深入细致的讲解，加深学生的印象。
【重点难点解析】1．不规则立体图形的表面积或体积求解2．多面体的顶点与棱数计数3．体积的等量代换【竞赛考点挖掘】1．规则立体图形的表面积（侧面积）与体积计算2．不规则立体图形的表面积与体积计算3．染色问题4．立体图形的三视图与展开图【习题精讲】【例1】（难度等级 ※）一个长方体的表面积是33.66平方分米，其中一个面的长是2.3分米，宽是2.1分米，它的体积是_____立方分米.【分析与解】长方体的高是(33.66-2.1×2.3×2)÷2÷(2.1+2.3)= 1130(分米). 长方体的体积是2.1×2.3 × 1130=1101913(立方分米)．【例2】（难度等级 ※※）右图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上面的正中向下挖一个棱长为1厘米的正方形小洞；接着在小洞的底面正中再挖一个棱长为21厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，棱长为41厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是 平方厘米．【分析与解】 2×2×6+1×1×4+21×21×4+41×41×4=29．25(平方厘米)．【例3】（难度等级 ※※）把一个长25厘米，宽10厘米，高4厘米的长方体木块锯成若干个大小相等的正方体，然后拼成一个大的正方体．这个大正方体的表面积是_____平方厘米。
新版华数思维导引六年级 第七讲 立体图形几何综合1
几何图形的设计与构造．涉及比例与整数分解，需要添加辅助线、寻找规律或利用对称性解的较为复杂的直线形和圆的周长与面积计算问题．1．今有9盆花要在平地上摆成9行，其中每盆花都有3行通过，而且每行都通过3盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行.【分析与解】如下图所示，我们给出四种不同的排法．2．已知如图12-1，一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1、9、9、5厘米．求这个六边形的周长．【分析与解】如下图所示，将六边形的六条边分别延长，相交至三点，并将其标上字母，因为∠BAF=120°，而么∠IAF=180°-∠BAF=60°．又∠EFA=120°，而∠IFA=180°-∠EFA：60°，则△IAF为等边三角形．同理△BCG、△EHD、△IGH均为等边三角形．在△IAF中，有IA=IF=AF=9(厘米)，在△BGC中，有BG=GC=BC=1(厘米)，有IA+AB+BG=IG=9+9+1=19，即为大正三角形的边长，所以有IG=IH=GH=19(厘米)．则EH=IH-IF-FE=19-9-5=5(厘米)，在△EDH中，DH=EH=5(厘米)，所以CD=GH-GC-DH=19-1-5=13(厘米)．于是，原图中六边形的周长为1+9+9+5+5+13=42(厘米)．3．图12-2中共有16条线段，每两条相邻的线段都是互相垂直的．为了计算出这个图形的周长，最少要量出多少条线段的长度?【分析与解】如下图所示，我们想像某只昆虫绕图形爬行一周，回到原出发点，那么往右的路程等于往左的路程，往上的路程等于往下的路程．于是只用量出往右的路程，往下的路程，再将它们的和乘以2即为所求的周长．所以，最少的量出下列6段即可．4．将图12-3中的三角形纸片沿虚线折叠得到图12-4，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为2：3．已知图12-4中3个画阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少?【分析与解】设重叠部分的面积为x，则原三角形面积为1+2x，粗实线的面棚为1+x.因此(1+2x)：(1+x)=3：2，解得x=1，即重叠部分面积为1．5．如图12-5，涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米．问：大正六角星形的面积是多少平方厘米?【分析与解】 如下图所示，在正六边形ABCDEF 中,与面积相等，12个组成小正六角星形，那么由6个及12个组成的正六边形的面积为16÷12×(12+6)=24(平方厘米)．而通过下图，我们知道，正六边形ABCDEF 可以分成6个小正三角形，并且它们面积相等，且与六个角的面积相等，所以大正六角星形的积为24÷6×12=48(平方厘米)．6．如图12-6所示，在三角形ABC 中，DC=3BD ，DE=EA ．若三角形ABC 的面积是1．则阴影部分的面积是多少?【分析与解】 △ABC 、△ADC 同高，所以底的比等于面积比，那么有33.44ADC ABC ABC DC S S S BC ∆∆∆=⨯=⨯=而E 为AD 中点，所以13.28DEC ADC S S ∆∆== 连接FD ，△DFE 、△FAE 面积相等，设,FEA S x ∆=则．FDE S ∆的面积也为x ，11.44ABD ABC S S ∆∆==12,4BDF ABD FEA FDE S S S S x ∆∆∆∆=--=-而3.8FDC FDE DEC S S S x ∆∆∆=+=+ 13:(2);()1:348BDF FDC S S x x ∆∆=-+=，解得356x =.所以，阴影部分面积为333.8567DEC FEA S S ∆∆+=+=7．如图12-7，P 是三角形ABC 内一点，DE 平行于AB ，FG 平行于BC ，HI 平行于CA ，四边形AIPD 的面积是12，四边形PGCH 的面积是15，四边形BEPF 的面积是20．那么三角形ABC 的面积是多少?【分析与解】 有平行四边形AIPD 与平行四边形PGCH 的面积比为IP 与PH 的比，即为12：15=4：5． 同理有FP:PG=20:15=4:3， DP:PE=12:20=3:5．如图12-7(a)，连接PC 、HD ，有△PHC 的面积为152△DPH 与△PHC 同底PH ，同高，所以面积相等，即152DPH S ∆=，而△DPH 与△EP H 的高相等，所以底的比即为面积的比，有::3:5DPH EPH S S DP PE ∆∆==，所以551525.3322EPH DPH S S ∆∆=⨯=⨯⨯如图12-7(b)所示，连接FH 、BP ，4108;5IFP EPH FBP IP IP S S S PH PH ∆∆∆===⨯=如图12-7(c)所示，连接FD、AP，396.42 DPG DFP APDPG PGS S SFP FP∆∆∆===⨯=有925122015872.22 ABC AIPD BEPF CGPH IFP DGP EHPS S S S S S S∆∆∆∆=+++++=+++++=8．如图12-8，长方形的面积是小于100的整数，它的内部有三个边长是整数的正方形，①号正方形的边长是长方形长的512，②号正方形的边长是长方形宽的18．那么，图中阴影部分的面积是多少?【分析与解】有①号正方形的边长为长方形长的512，则图中未标号的正方形的边长为长方形长的712.而②号正方形的边长为宽的18，所以未标号的正方形的边长为长方形宽的78.所以在长方形中有：712长=78宽，则长：宽=12：8，不妨设长的为12k，宽为8k，则①号正方形的边长为5k，又是整数，所以k为整数，有长方形的面积为962k,不大于100．所以k只能为1，即长方形的长为12，宽为8．于是，图中①号正方形的边长为5，②号正方形的边长为1，则未标号的正方形的边长为7，所以剩余的阴影部分的面积为：22212851721.⨯---=9．如图12-9，三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内，A和B是两个正方形重叠部分，C，D，E是空出的部分，这些部分都是长方形，它们的面积比是A：B：C：D：E=1：2：3：4：5．那么这个长方形的长与宽之比是多少?【分析与解】以下用E横表示E部分横向的长度，E坚竖表示E部分竖向的长度，其他下标意义类似．有E横：D横=5：4，A横：B横=l：2．而E横+A横=D横+B横，所以有E横：D横：A横：B横=5：4：1：2．而A横+B横+C横=E横+A横对应为5+1=6，那么C横对应为3．而A面积：B面积：C面积=1：2：3，所以A坚=B坚=C坚．有A坚+C坚竖对应为6，所以A坚=C坚对应为3．那么长方形的竖边为6+C坚对应为9，长方形横边为E横+6+D横对应为5+6+4=15．所以长方形的长与宽的比为15：9=5：3．10．如图12-10，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相叠合．已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是lO．那么，正方形盒子的底面积是多少?【分析与解】如下图所示，我们将黄色的正方形纸片向左推向纸盒的过缘，有露在外面的部分，黄色减少的面积等于绿色增加的面积，也就是说黄色、绿色部分露在外面部分的面积和不变．并且有变化后，黄色露出面积+红色部分面积，绿色露出面积+红色部分面积，都是小正方形纸片边长乘以大正方形盒子边长的积．所以，黄色露出面积+红色部分面积=绿色露出面积+红色部分面积，于是．黄色露出面积=绿色露出面积，而它们的和为14+10=24，即黄色露出面积=绿色露出面积=12．有黄：空白=红：绿，12：空白=20：12，解得空白=7.2，所以整个正方形纸盒的底面积为12+7.2+20+12=51.2．11．如图12-11，在长260厘米，宽150厘米的台球桌上，有6个球袋A，B，C，D，E，F，其中AB=EF=130厘米．现在从4处沿45°方向打出一球，碰到桌边后又沿45°方向弹出，当再碰到桌边时，仍沿45°方向弹出，如此继续下去．假如球可以一直运动，直至落入某个球袋中为止，那么它将落人哪个袋中?【分析与解】将每个点的位置用一组数来表示，前一个数是这个点到FA的距离，后一个数是点到FD的距离，于是A的位置为(0，150)，球经过的路线为：(0,150)→(150,0) →(260,110) →(220，150) →(70，0) →(0，70) →(80，150) →(230,0) →(260，30) →(140，150) →(0，10) →(10，0) →(160，150) →(260，50) →(210,0) →(60，150) →(0，90) →(90，0) →(240，150) →(260，130) →(130，0)．因此，该球最后落入E袋．12．长方形ABCD是一个弹子盘，四角有洞．弹子从A出发，路线与边成45度角，撞到边界即反弹，并一直按此规律运动，直到落人一个洞内为止．如图12-12．当AB=4，AD=3时，弹子最后落入B洞．问：若AB=1995，AD=1994时，弹子最后落入哪个洞?在落入洞之前，撞击BC边多少次?【分析与解】撞击AD边的点，每次由A向D移动2；撞击BC边的点，每次由C向B移动2．因为第一次撞击BC边的点距C点1，第一次撞击AB边的点距A点为2，1994÷2=997．所以最后落人D洞，在此之前撞击BC边997次．13．10个一样大的圆摆成如图12-13所示的形状．过图中所示两个圆心A ，B 作直线，那么直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是多少?【分析与解】直线AB 的右上方的有2个完整的圆，2个半圆，1个1个而1个1个正好组成一个完整的圆，即共有4个完整的圆．那么直线AB 的左下方有10-4=6个完整的圆，每个圆的面积相等，所以直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是4：6=2：3．14．在图12-14中，一个圆的圆心是0，半径r=9厘米，∠1=∠2=15°.那么阴影部分的面积是多少平方厘米?(π取3.14)【分析与解】有AO=OB ，所以△A OB 为等腰三角形，AO=OC ，所以△A OC 为等腰三角形.∠ABO=∠1=15°，∠AOB=180°-∠1-∠ABO=150°. ∠ACO=∠2=15°,∠AOC=180°-∠2-∠ACO=150°. 所以 ∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC=60°，所以扇形BOC 的面积为260942.39360π⨯⨯≈(平方厘米)．15．图12-15是由正方形和半圆形组成的图形．其中P 点为半圆周的中点，Q 点为正方形一边的中点．已知正方形的边长为10，那么阴影部分的面积是多少?(π取3.14)【分析与解】 过P 做AD 平行线，交AB 于O 点，P 为半圆周的中点，所以0为AB 中点．有2ABCD DPC 101S 1010100S 12.522ππ=⨯==⨯⨯=半圆，（）. AOP OPQB 101101S 510+37.5S 105550.2222∆⎡⎤⎛⎫=⨯⨯==++⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦梯形（）， 阴影部分面积为ABCD AOP DPC OPQB S S S S 10012.537.55012.512.551.75.ππ∆+-=+--=+≈半圆梯形-。
六年级思维训练 第六讲 圆柱圆锥球体
第六讲 圆柱、圆锥、球体【专题知识点概述】立体图形，主要考点集中在不规则形体的表面积与体积计算。
其中有自成一类的“染色问题”，也是经常见到的“几何奥数题”。
小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，本讲重点讲解立体图形中的圆柱、圆锥和球体。
【授课批注】本讲在熟记体积和表面积公式的基础上，要鼓励学生多思考，勤动手，多画图，注重“数形结合以此来培养学生的空间想象能力。
另外，在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来。
一、圆柱、圆锥、球体圆柱体：如右图，圆柱体的底面是圆，其半径为r ；圆柱体的侧面展开图是一个长方形，长方形的宽相当于圆柱体的高，长相当于圆柱体的底面周长。
圆柱体的表面积：S 圆柱=侧面积+2个底面积=2πrh+2πr 2。
圆柱体的体积：2V r h π=圆柱圆锥体：如右图，圆锥体的底面是圆，其半径为r ；圆锥体的侧面展开图是一个扇形。
圆锥体的体积：213V r h π=圆锥体 球体：343V r π=球体 r求圆柱体的表面积．一般的方法是先求出圆柱体的侧面积，然后再加上圆柱的两个底面积。
求圆锥体的表面积需要先求出侧面积（扇形），再求出底面积（圆），两者相加即可。
【重点难点解析】1．圆柱、圆锥和球体的表面积和体积计算。
2．间接利用或逆用公式求解圆柱圆锥球体中的其它量。
3．圆柱圆锥球体等立体图形的组合图形。
【竞赛考点挖掘】1．常见较复杂的组合图形计算。
2．灵活运用公式求解体积表面积外的其余量。
【习题精讲】【例1】（难度级别※）一个底面半径的是５厘米．高是１５厘米的圆柱体，试求出它的表面积。
【分析与解】本题是较基础题型。
(１)侧面积：2x3.14x5x15=471(平方米）；(２）底面积：3.14x52=78.5（平方厘米）；(1)表面积：471+78.5x2=628(平方米）。
5升6思维拓展：长方体和正方体-数学六年级上册人教版
5升6思维拓展：长方体和正方体一、选择题1．把一个长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体滑虚线切成两个立体图形，下图中（）的切法增加的表面积最小。
A．B．C．D．2．有一个深4分米的长方体容器，其内侧底面为边长3分米的正方形。
当容器底面的一边紧贴桌面倾斜如图时，容器内的水刚好不溢出。
则此时容器内的水有（）。
A．13.5升B．18升C．22.5升D．27升3．某部门规定：旅客随身携带的行李的长、宽、高的和不能超过150厘米。
请问，旅客所带的长方体箱子A．100000 B．125000 C．150000 D．1800004．用小正方体搭成如下图的大正方体，如果（）块小正方体，剩下图形的表面积最大。
A．拿走A B．拿走B C．拿走C D．拿走任意5．下图长方体侧面4个面的总面积是70cm2，它的高是（）cm。
A．3 B．4 C．5 D．66．把棱长是5cm的正方体的表面涂色后，再锯成棱长是1cm的小正方体（无剩余，损耗不计），那么，只一面涂色的有（）块。
A．6 B．24 C．36 D．54二、填空题7．一个棱长为8分米的正方体水缸，水深6分米，如果放入一块石头完全浸入水中，水溢出25升，则这块石头的体积是( )立方分米。
8．用三个完全相同的正方体拼成一个长方体，它的表面积是126cm2，那么这个长方体的体积是( )cm3。
9．把一个长7dm、宽6dm、高4dm的长方体切成两个同样大小的小长方体，表面积最多增加( )，最少增加( )。
10．将小正方体按如图方式摆放在地上，根据摆放规律填写表格。
小正方体的个数 1 2 3 4 5 … n露在外面的面的个数 5 8 11 ( ) ( ) … ( )三、解答题15．做一个无盖的长方体铁桶，共用铁皮192平方分米。
已知桶底是边长10分米的正方形，请问桶高几分米？16．如图，张叔叔有一个长为60厘米，宽为40厘米，高为50厘米的无盖长方体水槽。
（1）做这样一个长方体水槽至少需要多少平方厘米的玻璃？（2）张叔叔把这个长方体水槽装入30厘米深的水，装入的水是多少毫升？（3）张叔叔在这个已有30厘米深的水的水槽中，放入一个长是20厘米，宽是20厘米，高是30厘米的长方体石块浸没在水槽中，水槽中的水将上升多少厘米？17．把四个大小、形状相同的盒子包装在一起，如果每个盒子的长、宽、高分别是8cm、6cm、5cm，那么最少需要多大的包装纸？18．一个长方体的玻璃缸，长8dm，宽6dm，高5dm，水深4.5dm，如果投入一块棱长为4dm的正方体铁块（完全淹没），这个正方体铁块的体积是多少？缸里会溢出多少L水？19．小明的爸爸被称为“制作小能手”。
【小升初培优专题】六年级下册数学-立体几何综合训练(解析版)
【小升初培优专题】六年级下册数学-立体几何综合训练（解析版）知识点1、正方体表面积＝棱长×棱长×６体积＝棱长×棱长×棱长图形切拼：一刀两面2、长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×２体积＝长×宽×高棱长和＝（长＋宽＋高）×4切成最大的正方体：找长、宽的最大公约数展开图挖小正方体在角上挖：表面积不变在棱上挖：增加２个小正方形的面积在面上挖：增加4个小正方形的面积染色问题3面被染色：８个2面被染色：关注棱长1面被染色：关注面0面被染色：关注内部3、圆柱侧面积＝Ｃh＝2πrh表面积＝2πrh ＋2πr ² 体积＝Sh ＝πr ²h 4、圆锥体积＝31×Sh ＝31πr ²h圆柱体体积是同底等高的圆锥体体积的3倍5、浸没问题完全浸没时，物体体积＝水变化的体积6、三视图俯视图 标数视图主视图 左视图一、填空题。
（每道小题6分，共72分）1. 要拼成一个棱长为2厘米的正方体，需要 个棱长为1厘米的小正方体。
【解答】2×2×2＝8（个）2. 一个长方体仓库从里面量约长10米，宽5米，高6米，如果放入棱长是2米的正方体木箱，至多可以放进 个。
【解答】分别从长、宽、高三个方向进行考虑：10÷2＝5（个）长这个方向可以放5个；5÷2＝2（个）……1（米），宽这个方向可以放2个； 6÷2＝3（个），高这个方向可以放3个， 5×2×3＝30（个），所以至多可以放30个。
3. 将一块长24厘米，宽18厘米，高12厘米的长方体木料，锯成尽可能大的同样大小的正方体木块，可以锯成块。
【解答】本题的关键在于正确解读"锯成尽可能大的同样大小的正方体木块"这句话，因为木块是整块整块的，所以正方体棱长必然是长、宽、高的公约数，要让木块尽可能大，那么棱长取长、宽、高的最大公约数即可。
小学数学思维训练题库(题目 解析)
【四边形】【1】在一本数学书的插图中，有100个平行四边形，80个长方形，40个菱形。
这本书的插图中正方形最多有_____个。
【答案】40个【最值】【剪拼】—个边长是7厘米的正方形纸片，最多能裁出多少个长是4厘米，宽是1厘米的长方形纸条？【答案】12【剪拼】【2】图中由24个正方形组成，请通过P点画一条直线，把这个图形分割成面积相等的两部分。
【答案】【面积】【2】求出图中梯形ABCD的面积。
其中BC=10厘米。
【答案】50平方厘米【面积】【3】用4个相同的等腰直角三角形相互交叠拼成下图，阴影正方形的面积是平方厘米。
【答案】18平方厘米图中的阴影部分面积是正方形面积的14。
3×3÷2×4=18（㎝2）【周长】【面积】【1】判断：在周长都为8厘米的正方形和长方形中，面积较大的是正方形。
【答案】√【周长面积】【2】由5个正方形组成的十字架图形的面积是180，求它的周长是多少？【答案】72【面积】【1】等腰梯形的对角线互相垂直,一条对角线的长是9厘米,求梯形的面积。
【答案】40.5平方厘米【面积】【差不变】【2】如图，有边长分别是16分米和24分米的两个正方形，一条直线把这两个相连的正方形分成四部分。
甲三角形的面积比乙三角形的面积多多少平方分米？【答案】96【面积】【格点多边形】【2】、在边长等于5厘米的正方形内有一个平行四边形，这个平行四边形面积是多少？【答案】14平方厘米【面积】【格点多边形】【2】如图，计算这个格点多边形的面积.（每一格为单位1）【答案】6.5【等高模型】【2】如图，一长方形被一条直线分成两个长方形，这两个长方形的宽的比为1∶3，若阴影三角形面积为1平方厘米，则原长方形面积为______平方厘米．【答案】22 3【等高模型】【2】As shown below,the area of the parallelogram ABCD is54cm2,E,F trisect CA and BA,the area of the shadow is_________.【答案】6cm2【等高模型】【3】如图：正方形ABCD的边长为12厘米，P是AB边上的任意一点，M、N、I、H分别是BC、AD上的三等分点（即BM=MN=NC），E、F、G是边CD上的四等分点，图中阴影部分面积是多少平方厘米。
小学六年级数学下立体图形思维训练
小学六年级数学下立体图形思维训练【知识分析】本课时是在学生学习了圆柱体和圆锥体的体积之后的拓展练习。
通过本课时的学习,学生能够根据所学的圆柱体、圆锥体的体积公式解决一些实际问题,培养学生解决问题的能力。
【例题解读】【例1】已知一个圆柱体的底面半径是4厘米,它的侧面积是60平方厘米,求它的体积是多少立方厘米？【思路简析】这道题的突破口是在“侧面积是60平方厘米”,侧面积的算法是πdh,而体积求法是πr²h,只需把60除以2,算出πrh,再乘上r（4）即可。
列式：60÷2×4＝120立方厘米【例2】一个底直径为20厘米的圆柱形木桶里装有水,水中放着一个底面直径为18厘米,高为20厘米的铁质圆锥体。
当圆锥体取出后,桶内水面降低多少厘米？【思路简析】仔细观察会发现,其实降低的水位与木桶底面积相乘就是圆锥的面积,而圆锥的面积为20×9²×3.14÷3,算出后只需除以圆柱底面积就行了。
列式：﹙20×9²×3.14÷3﹚÷﹙10²×3.14﹚=5.4厘米【例3】一个圆柱体,如果它的高增加2厘米,它的侧面积就增加50.24平方厘米。
这个圆柱体的底面半径是多少厘米？【思路简析】画一个示意图会发现增加的只是侧面积,底面积并没有增加,所以,只用50.24÷3.14÷2,算出它的底面直径,除以2就行了。
列式： 50.24÷3.14÷2÷2＝4厘米【经典题型练习】1.一个圆柱体,底面半径是5厘米,这个圆柱体的侧面积是100平方厘米。
它的体积是立方厘米？2.一个圆柱体,底面周长是6.28厘米,如果把圆柱体沿直径切成两个半圆柱体,表面积就增加20平方厘米,圆柱的体积是立方厘米？3.用直径为40毫米的圆形钢材截下一段压成直径为60毫米,高为40毫米的圆柱形零件毛坯,需要截取多少毫米圆钢？立体图形（二）【知识分析】本课时是在学生学习了立体图形之后的拓展练习。
小学六年级奥数--立体几何综合
学科培优 数学立体几何综合学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长知识定位本讲复习已经学过的立体图形的相关知识和解题技巧，主要有:长方体、立方体、圆柱、圆锥的体积及表面积求解，立体几何计数及多面体顶点与棱以及表面的关系。
重难点在于：1．不规则立体图形的表面积或体积求解2．多面体的顶点与棱数计数 3．体积的等量代换主要的考点：1．规则立体图形的表面积（侧面积）与体积计算2．不规则立体图形的表面积与体积计算 3．染色问题4．立体图形的三视图与展开图知识梳理主要知识点 立体几何⑴规则立体图形的表面积和体积公式长方体：体积：长宽高 表面积：（长宽+宽高+长高） 立方体：体积：棱长的立方 表面积：棱长的平方6 圆柱： 体积：2r h π 侧面积：2rh π 圆锥： 体积：213r h π⑵不规则立体图形的表面积整体观照法⑶体积的等积变形①水中浸放物体：V 升水=V 物 ②测啤酒瓶容积：V=V 空气+V 水⑷三视图与展开图最短线路与展开图形状问题⑸染色问题几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。
例题精讲【试题来源】【题目】一个长方体的表面积是33.66平方分米，其中一个面的长是2.3分米，宽是2.1分米，它的体积是_____立方分米.【试题来源】 【题目】右图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上面的正中向下挖一个棱长为1厘米的正方形小洞；接着在小洞的底面正中再挖一个棱长为21厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，棱长为41厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是 平方厘米【试题来源】【题目】把一个长25厘米，宽10厘米，高4厘米的长方体木块锯成若干个大小相等的正方体，然后拼成一个大的正方体．这个大正方体的表面积是_____平方厘米。
【试题来源】【题目】右图是3层没有缝隙的小立方块组成的．如果它的外表面(包括底面)全都被涂成红色，那么把它们再分开成一个个小立方块时，有多少个小立方块恰有三面是红色的?【试题来源】【题目】一个正方体木块，棱长是15．从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方体．这个木块剩下部分的表面积最少是( )．【试题来源】【题目】把一根长2．4米的长方体木料锯成5段(如图)，表面积比原来增加了96平方厘米．这根木料原来的体积是_____立方厘米．【试题来源】【题目】用棱长是1厘米的立方体拼成右图所示的立体图形．求这个立体图形的表面积．【试题来源】【题目】把1个棱长是3厘米的正方体分割成若干个小的正方体，这些小正方体的棱长必须是整厘米数．如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么最少可分割成个小正方体．【试题来源】【题目】用10块长7厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体积木堆成一个长方体，这个长方体的表面积最小是多少?【试题来源】【题目】一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放人容器中．求这时容器的水深是多少厘米?【试题来源】【题目】有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米?【试题来源】【题目】将高都是1米，底面半径分别为1．5米、1米和0．5米的三个圆柱组成一个物体．求这个物体的表面积．【试题来源】【题目】这里有一个圆柱和一个圆锥(下图)，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米．请回答：圆锥体积与圆柱体积的比是多少?【试题来源】【题目】一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体．现从它的上面尽可能大的切下一个正方体．然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体．最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体．剩下的体积是平方厘米．【试题来源】【题目】一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2．5厘米，玻璃杯内侧的底面积是72平方厘米．在这个杯中放进棱长6厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块．这时水面高多少厘米?【试题来源】【题目】图1是下面的表面展开图①甲正方体；②乙正方体；③丙正方体；④甲正方体或丙正方体．【试题来源】【题目】如图，剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型(沿虚线折，沿实线粘)．这个多面体的面数、顶点数和棱数的总和是多少?【试题来源】【题目】下面是一辆汽车模型纸工平面展开图，中轴线上面的一半标出了尺寸．将该图剪下折叠粘合(相同字母标记处粘合在一起)做成汽车模型的体积为V ．请回答：①403<v<445②473<V<500，哪一个正确，为什么?【试题来源】【题目】现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒(焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好)，你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米?【试题来源】【题目】如图，在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞在上下侧面的中心打通一个圆柱形的洞，已知立方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求该立方体的表面积和体积(取 =3．14)．【试题来源】【题目】用大小相等的无色透明玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大正方体ABCD —1A 1B 1C 1D (如图)，大正方体内的对角线A 1C ，B 1D ，C 1A ，D 1B 所穿的小正方体都是红色玻璃小正方体，其它部分都是无色透明玻璃小正方体，小红正方体共用了401个，问：无色透明小正方体用了多少个?习题演练【试题来源】【题目】一个长方体的各条棱长的和是48厘米，并且它的长是宽的2倍，高与宽相等，那么这个长方体的体积是______ 立方厘米【试题来源】【题目】右图是一个表面被涂上红色的棱长为lO厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是_____平方厘米【试题来源】【题目】张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．今年改用了长3米、宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍?【试题来源】【题目】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小长方体，其中只有两个面涂上红色的小长方体恰好是12块．那么至少要把这个大长方体分割成个小长方体．【试题来源】【题目】六个立方体A、B、C、D、E、F的可见部分如下图，下边是其中一个立体的侧面展开图，那么它是立方体____的侧面展开图．2。
六年级下册数学试题思维训练第14讲平面到立体PDF解析版人教版
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那么阴影部分扫出的立体的体积是 2V 180π 540 (立方厘米).
14. 如图，直角三角形如果以 BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16π ，以 AC 边为轴 旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为12π ，那么如果以 AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体 的体积是多少？（结果保留π）
9. 左边正方形的边长为 4，右边正方形对角线长度为 6.如果按照图中所示的方式旋转，那么得到的 两个旋转体的体积之比是 a:b（最简整数比），则 a+b=______.
【答案】17
【解析】左边正方形旋转所围成的体积为： 22 4 16 ；右边正方形旋转所围成的体积为：
1 62 6 18 ，所以两者所围成的体积之比为 8 : 9 ，a+b=17.
【答案】67.75
【解析】根据题意，
S阴
1 2
102
1 2
10方形的边长是 4 厘米，圆形的半径是 1 厘米.当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位 置时，扫过的面积有多大？（ π 取 3.14） （2）如图等边三角形的边长是 3 厘米，圆形的半径是 1 厘米.当圆形绕等边三角形滚动一周又回到 原来位置时，扫过的面积有多大？（ π 取 3.14）
【答案】（1）44.56 （2）30.56
【解析】(1)如下图，面积为： S 22 4 4 2 44.56 cm2
（2）如下图，
面积为： 22 3 2 3 4 18 30.56
8. 一个长方形的长是 5 厘米，宽是 2 厘米，以其中的一条边为轴旋转一周，可以得到一个圆柱，圆 柱体积最大是多少立方厘米?( π 取 3.14) 【答案】157 立方厘米 【解析】(1)以 5 为半径，高为 2 的圆柱体体积为 52 2 50 ，以 2 为半径，高为 5 的圆柱体体 积为 22 5 20 ，所以圆柱体积最大是 50 157 （立方厘米）.
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２０14年六年级数学思维训练：立体几何一、兴趣篇1.一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、1厘米.若它的棱长总和等于另一个正方体的棱长总和，则长方体与正方体的表面积之比是多少？长方体体积比正方体体积少多少立方厘米？２.如图,将长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米?如果四角去掉边长为3厘米的正方形呢?3.用棱长是1厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形,这个图形的表面积是多少平方厘米?4.(1)如图1，将一个棱长为6的正方体从某个角切掉一个长、宽、高分别为４、３、5的长方体，剩余部分的表面积是多少？（２）如图2，将一个棱长为５的正方体，从左上方切去一个长、宽、高分别为5、4、３的长方体，它的表面积减少了百分之几?5．（201３•北京模拟)如图是一个边长为2厘米的正方体.在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞;接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为厘米的小洞;第三个小洞的挖法与前两个相同,边长为厘米.那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？6．（20１2•北京模拟）(1)如图，将4块棱长为1的正方体木块排成一排,拼成一个长方体．那么拼合后这个长方体的表面积,比原来４个正方体的表面积之和少了多少?（2)一个正方体形状的木块,棱长为1，如图所示，将其切成两个长方体,这两部分的表面积总和是多少？如果在此基础上再切4刀,将其切成大大小小共1８块长方体.这1８块长方体表面积总和又是多少？7.这里有一个圆柱和一个圆锥（如图)，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米.请回答:圆锥体积与圆柱体积的比是多少?８．如图,一块三层蛋糕,由三个高都为１分米,底面半径分别为1．５分米、１分米和０．５分米的圆柱体组成.请问：（1)这个蛋糕的表面积是多少平方分米？（л取3.1４）（2)如果沿经过中轴线ＡＢ的平面切一刀,将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积之和又是多少?9．有大、中、小三个立方体水池,它们的内部棱长分别是6米、3米、2米，三个池子都装了半池水．现将两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了６厘米和４厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面会升高多少厘米?(结果精确到小数点后两位）１0．有一个高24厘米,底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装了一半水,现有一根长30厘米,底面半径为2厘米的圆柱体木棒．将木棒竖直放入容器中,使棒的底面与容器的底面接触,这时水面升高了多少厘米？二、拓展篇1１．将表面积分别为54、96和１５０平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体(不计损耗),求这个大正方体的体积．１2．（201２•深圳校级模拟)一个长方体,如果长增加２厘米，则体积增加4０立方厘米;如果宽增加3厘米,则体积增加90立方厘米;如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米．求原长方体的表面积．1３．如图,有30个棱长为１米的正方体堆成一个四层的立体图形．请问：这个立体图形的表面积等于多少？１4.如图1,将一个棱长为10的正方体从顶点A切掉一个棱长为4的正方体,得到如图2的立体图形,这个立体图形的表面积是多少？如果再从顶点B切掉一个棱长为6的正方体,那么剩下的立体图形的表面积又是多少?15．一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体(如图)，这些小长方体的表面积之和为162平方厘米.请问:原正方体的体积是多少？16．如图是一个棱长为４厘米的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一个棱长1厘米的小正方体，做成一种玩具．该玩具的表面积是多少平方厘米？如果把这些洞都打穿，表面积又变成了多少?17.一个无盖木盒从外面量时,其长、宽、高分别为1０厘米、8厘米、5厘米,已知木板厚1厘米，那么做一个木盒,需要这样的木板多少平方厘米？这个木盒的容积又是多少?1８．有一根长为20厘米,直径为6厘米的圆钢,在它的两端各钻一个４厘米深，底面直径也为6厘米的圆锥形的孔,做成一个零件（如图).这个零件的体积为多少立方厘米?（л取3.14）１9．现有一块长、宽、高分别为10厘米、8厘米、6厘米的长方体木块,把它切成体积尽可能大且底面在长方体表面上的圆柱体木块，这个圆柱体木块的体积为多少?（л取3) 20．张大爷去年用长２米宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤，今年改用长3米宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤.今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍？２1．左边正方形的边长为4,右边正方形对角线长度为６．如果按照图中的方式旋转,那么得到的两个旋转体的体积之比是多少?22．如图一个底面长30分米，宽10分米，高12分米的长方体水池,存有四分之三池水，请问：（1）将一个高1 1分米，体积３30立方分米的圆柱放入池中，水面的高度变为多少分米? (2）如果再放人一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米?(3)如果再放人一个同样的圆柱,水面高度又变成了多少分米？三、超越篇２3．有一个棱长为20的大立方体,在它的每个角上按如图的方式各做一个小立方体，于是得到８个小立方体．在这些立方体中,上面4个的棱长为12，下面4个的棱长为13．请问：所有这８个小立方体公共部分的体积是多少?24.地上有一堆小立方体,从上面看时如图1，从前面看时如图2，从左边看时如图３.这一堆立方体一共有几个?如果每个小立方体的棱长为1厘米，那么这堆立方体所堆成的立体图形表面积为多少平方厘米？25.(1)已知一个圆柱的底面直径为6厘米,高为4厘米．求它的体积和表面积;（答案用兀表示）(２)用一个半径为2５厘米,圆心角为3４５.6°的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的体积是多少?如果圆心角是216°呢？(答案用丌表示)26．将图１、图2中的平面图形分别折叠成一个四棱锥和三棱柱,这两个立体图形的体积分别是多少?（图1正中央是一个面积为１8平方厘米的正方形，每边上分别有一个腰长为5厘米的等腰三角形;图2中的图形由三个长方形和两个直角三角形组成.）27.一个透明的封闭盛水容器,由一个圆柱体和一个圆锥体组成,如图圆柱体的底面直径和高都是12厘米,其内有一些水，正放时水面离容器顶１1厘米，倒放时，水面离顶部5厘米．请问:这个容器的容积是多少立方厘米?(兀取3.１４）28.有一个长方体水池，底面为边长６0厘米的正方形,里面插着一根长1米的木桩，木桩的底面是一个边长15厘米的正方形,木桩有一部分浸在水中，一部分露出水面.现在将木桩提起来2４厘米(仍有部分浸在水里），那么露出水面的木桩浸湿部分面积为多少平方厘米？29．右图是个有底无盖的容器的平面展开图，其中①是边长为18厘米的正方形,②③④⑤是同样大的等腰直角三角形，⑥⑦⑧⑨是同样大的等边三角形．那么，这个容器的容积是毫升.30.有一个三棱柱和一个正方体,三棱柱的底面是一个等边三角形,边长恰好等于正方体的面对角线长度,三棱柱的高恰好等于正方体的体对角线长度,如果正方体的棱长为6,那么三棱柱的体积为多少？ﻬ２0１4年六年级数学思维训练：立体几何参考答案与试题解析一、兴趣篇1.一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、1厘米.若它的棱长总和等于另一个正方体的棱长总和，则长方体与正方体的表面积之比是多少？长方体体积比正方体体积少多少立方厘米?【分析】首先根据长方体的棱长总和=（长+宽＋高）×4,求出棱长总和,用棱长总和除以１2求出正方体的棱长,再根据长方体的表面积公式:ｓ=(ab+ah＋bｈ)×2，正方体的表面积公式：s=６a2,长方体的体积公式：v=abh,正方体的体积公式:v=a3,把数据分别代入公式解答.【解答】解：（３+2+1）×4÷1２＝6×4÷12=２4÷1２＝２（厘米），（３×2＋3×1+2×1）×2:（２×2×6)＝11×２：24=22：24=1１：１2；２×2×2﹣３×2×1＝8﹣6=２(立方厘米）,答:长方体与正方体的表面积之比是1１：12,长方体体积比正方体体积少２立方厘米.2．如图,将长为13厘米，宽为９厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体积是多少立方厘米？如果四角去掉边长为3厘米的正方形呢？【分析】先根据题意计算出折成的长方体的长，宽，高,即长方体的长=原长方形的长﹣２个正方形的边长，长方体的宽=原长方形的宽﹣2个正方形的边长,长方体的高=正方形的边长,再根据长方体的容积=长×宽×高,计算出容积．【解答】解：长方体的长:13﹣2﹣２＝９(厘米）长方体的宽：９﹣2﹣2=5（厘米)容积为：9×5×2=９０（立方厘米）答：这个容器的容积为９0立方厘米.如果四角去掉边长为3厘米的正方形:长方体的长：13﹣３﹣３=7(厘米）长方体的宽：9﹣3﹣3=３(厘米）容积为：7×3×3=63（立方厘米)答：这个容器的容积为63立方厘米．3.用棱长是1厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形，这个图形的表面积是多少平方厘米?【分析】可以从上下左右前后观察各有几个正方形的面，然后用一个正方形的面的面积乘它的个数,即是这个图形的表面积，据此解答．【解答】解:上、下共:9+9=1８(个），左、右共：７+7＝１4(个），前、后共：７+7＝1４(个),表面积:1×1×（18+14+14）,＝4６（平方厘米）；答：这个图形的表面积是4６平方厘米．4．(１)如图1，将一个棱长为6的正方体从某个角切掉一个长、宽、高分别为4、3、5的长方体,剩余部分的表面积是多少？(2)如图2,将一个棱长为５的正方体，从左上方切去一个长、宽、高分别为５、4、３的长方体，它的表面积减少了百分之几?【分析】图１由图意可知，减少的面积的和新增的面的面积相等,所以剩余部分的表面积就是原来长方体的表面积．图2由图意可知，减少的是长是４,宽是3的两个长方形的面积，用减少的面积除以正方体的表面积即可.【解答】解:（１）６×6×6=2１6答:剩余部分的表面积是216.（2)２×4×3÷（5×5×6)=2４÷15０=16％答:它的表面积减少了16%.5.（20１3•北京模拟）如图是一个边长为2厘米的正方体.在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞;接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同,边长为厘米.那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【分析】立体图形的好处就是可以直观视觉,虽然图形被挖去，但６个面看过去都还是面积不变的,特别是从上往下看是,3个正方体的下底面剩下的面积和等于原来的面积,这样就只增加了3个小正方体的各自的侧面;计算出原表面积再加上增加的3个小正方体的各自侧面的面积就是最后得到的立体图形的表面积.【解答】解：原正方体的表面积是:2×2×6＝24(平方厘米)，增加的面积：1×1×4+(×）×4+（×）×4，=４+×４+×4,=４+1+，=５（平方厘米),总表面积为:24＋５=29(平方厘米).答:最后得到的立体图形的表面积是29平方厘米．6．（２012•北京模拟）(1）如图,将4块棱长为1的正方体木块排成一排，拼成一个长方体.那么拼合后这个长方体的表面积，比原来4个正方体的表面积之和少了多少？（２)一个正方体形状的木块,棱长为１，如图所示，将其切成两个长方体,这两部分的表面积总和是多少？如果在此基础上再切４刀，将其切成大大小小共18块长方体．这18块长方体表面积总和又是多少?【分析】（1）观察图形可知,拼组后的长方体的表面积比原来减少了6个小正方体的面的面积，由此即可解答；（２)每切一刀，就增加2个正方体的面，所以这两部分的表面积之和就是８个正方体的面的面积之和;在此基础上再切４刀后，表面积比原来又增加了8个小正方体的面,由此即可解答．【解答】解：(1)6×１×1＝6，答：拼组后表面积减少了6.（２)切一刀，得到的两个长方体的表面积之和是：1×1×(６+2）＝8;再切4刀,则表面积之和是:１×1×（6+10)=16；答:切一刀后，表面积之和是8，再切４刀后，表面积之和是1６.７.这里有一个圆柱和一个圆锥(如图),它们的高和底面直径都标在图上,单位是厘米．请回答：圆锥体积与圆柱体积的比是多少?【分析】利用Ｖ=ｓh求得圆锥的体积,Ｖ=sh求得圆柱的体积，依此可得圆锥体积与圆柱体积的比.【解答】解：圆锥体积:圆柱体积=（×３.1４×22×4)：(3.14×４2×８）=（×2２×4)：(42×８)=１：２4；答：圆锥体积与圆柱体积的比是１：２4.8．如图，一块三层蛋糕,由三个高都为１分米，底面半径分别为１.５分米、１分米和0.5分米的圆柱体组成.请问:（1）这个蛋糕的表面积是多少平方分米？（л取3.１４)（2)如果沿经过中轴线AB的平面切一刀，将该蛋糕分成完全相同的两部分,那表面积之和又是多少？【分析】由题意可知:这个物体的表面积是大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积，根据公式计算即可．如果沿经过中轴线AB的平面切一刀,将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积之和圆柱的表面积加上３个长方形的面积乘以2即可．【解答】解（1）大圆柱的表面积：3.14×１.５2×2＋2×3．１4×1.5×1,=14.13+9.42，=２3.55(平方米),中圆柱侧面积:2×3.１4×1×1＝6．28（平方米）,小圆柱侧面积：2×３.1４×0．5×1=３.１4（平方米）,这个物体的表面积:23.55+6.28+3.１4＝32.97（平方米);答:这个物体的表面积是32.97平方米.(2)(1×0.5+１×1＋1×１．５)×2+32.９7=６＋3２．97＝３8．97(平方分米）答:将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积之和是38.9７平方分米.9．有大、中、小三个立方体水池,它们的内部棱长分别是６米、3米、2米，三个池子都装了半池水.现将两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里,两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米.如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里,大水池的水面会升高多少厘米？(结果精确到小数点后两位）【分析】根据题意，因为把碎石沉没在水中，水面升高所增加的体积，就等于所沉入的碎石的体积，所以应先求出两块碎石的体积.沉入在中水池的碎石的体积，即3×3×0.０6=0.5４（米３），而沉入小水池中的碎石的体积是：2×２×0.04=0.16(米3）；然后求出两块碎石的体积和,再根据大水池的底面积，求出大水池的水面升高的高度,解决问题．【解答】解：6厘米＝０.06米4厘米=0．04米3×3×0.06＝0.５4（米3）２×2×0.04=0.1６（米３）0.５4+０.16＝0.7(米3)大水池的底面积是:6×6=36(米3)大水池的水面升高了:０.7÷３6=（米）米≈１．94(厘米)．答：大水池的水面大于会升高1.9４厘米．１0.有一个高２４厘米，底面半径为10厘米的圆柱形容器,里面装了一半水，现有一根长30厘米,底面半径为2厘米的圆柱体木棒．将木棒竖直放入容器中，使棒的底面与容器的底面接触，这时水面升高了多少厘米?【分析】放入圆柱体木棒前后的水的体积不变，根据原来水深２4÷2=12厘米,可以先求得水的体积，那么放入圆柱体木棒后，容器的底面积变小了,由此可以求得此时水的深度,进一步即可求解．【解答】解:［3.14×10２×（２4÷2）]÷(3.14×1０2﹣３．１4×2２）=(3.14×１200)÷（3．14×96)=１２0０÷９6=12.5(厘米)12.5﹣2４÷2=１2.５﹣1２=０．５（厘米)．答:这时水面升高了0.5厘米．二、拓展篇１1.将表面积分别为5４、９6和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗)，求这个大正方体的体积．【分析】因为正方体的每一个面的面积相等,所以这三个正方体的每一个面面积是9、16、25平方厘米.故三个正方体的棱长分别是３、4、5厘米．则大正方体的体积只需将三个正方体的体积相加即可．【解答】解:５4÷6＝９（平方厘米),因为3×3＝9,所以这个正方体的棱长是３厘米,9６÷6=１6(平方厘米)，因为4×4＝16，所以这个正方体的棱长是４厘米,150÷6＝２5（平方厘米)，因为5×5=2５,所以这个正方体的棱长是5厘米,33＋4３+53,=2７+64+125，=２1６（立方厘米）,答:这个大正方体的体积是２1６立方厘米．12.(2０１2•深圳校级模拟）一个长方体,如果长增加2厘米,则体积增加４0立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加４厘米,则体积增加96立方厘米．求原长方体的表面积.【分析】由题意,长增加2厘米,体积增加４0立方厘米，可知宽×高×2=40立方厘米,则宽×高＝20平方厘米．同理可知长×高=30平方厘米,长×宽=24平方厘米，根据长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×２.列式解答．【解答】解：长增加2厘米,体积增加4０立方厘米，可知宽×高×2=4０立方厘米,则宽×高=20平方厘米．同理可知长×高=９0÷3＝30平方厘米,长×宽=９６÷4＝24平方厘米,（长×宽+长×高＋宽×高)×2＝（24+30＋20）×2,=74×２，＝14８(平方厘米）；答：原长方体的表面积是１4８平方厘米．1３.如图,有3０个棱长为1米的正方体堆成一个四层的立体图形.请问：这个立体图形的表面积等于多少?【分析】这个几何体的表面积就是露出小正方体的面的面积之和，从上面看有１6个面;从下面看有1６个面;从前面看有10个面;从后面看有1０个面；从左面看有1０个面；从右面看有10个面．由此即可解决问题．【解答】解:图中几何体露出的面有：10×4+16×２=72（个）所以这个几何体的表面积是:１×１×72=72(平方米)答：这个立体图形的表面积等于7２平方米.1４．如图1,将一个棱长为10的正方体从顶点A切掉一个棱长为４的正方体,得到如图2的立体图形,这个立体图形的表面积是多少?如果再从顶点B切掉一个棱长为6的正方体，那么剩下的立体图形的表面积又是多少？【分析】将原正方体切去一个小正方体后，减少的表面积正好被新增加的表面积所补充，因此新的立体图形的表面积就等于原正方体的表面积，根据正方体的表面积公式即可求解,如果再从顶点B切掉一个棱长为6的正方体，那么剩下的立体图形的表面积是原正方体的表面积﹣边长是4的两个正方形的面积．【解答】解:１０×1０×6=6０0答:这个立体图形的表面积是60０.如果再从顶点Ｂ切掉一个棱长为6的正方体，剩下的立体图形的表面积为:10×10×６﹣4×4×２=6０0﹣3２=568答:剩下的立体图形的表面积是５68．1５.一个正方体被切成2４个大小形状一模一样的小长方体(如图),这些小长方体的表面积之和为1６2平方厘米.请问：原正方体的体积是多少？【分析】由题意，一个正方体被切成２4个大小形状一模一样的小长方体,则需要切6次,每次会增加两个答正方体的面，所以共增加12个大正方体的面，又知这些小长方体的表面积之和为162平方厘米,即原来大正方体的6＋１2=18个面的面积是1６2平方厘米,由此可求得一个面的面积，进而得到大正方体的棱长,再根据正方体的体积公式解答即可.【解答】解：一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体,则需要切６次,共增加12个大正方体的面，一个面的面积:１6２÷(１2+6)＝９（平方厘米），因为３×3=９，所以可知大正方体的棱长是3厘米,大正方体的体积：3×3×３=27(立方厘米），答:原正方体的体积是2７立方厘米.16．如图是一个棱长为４厘米的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一个棱长1厘米的小正方体，做成一种玩具.该玩具的表面积是多少平方厘米?如果把这些洞都打穿,表面积又变成了多少？【分析】这个玩具的表面积是大正方体的面积,加上6个边长为1厘米的小正方体的4个侧面的面积,如果把这些洞都打穿，表面积增加4个边长4厘米的小正方体的4个侧面的面积,据此解答即可.【解答】解:玩具的表面积:4×4×6+1×１×６×4=9６+２４＝120(平方厘米）如果把这些洞都打穿,表面积:4×４×６﹣6+1.5×1×４×6=9０+３６=126（平方厘米）答：它的表面积是12０平方厘米．如果把这些洞都打穿,表面积变成了1２6平方厘米．１7.一个无盖木盒从外面量时，其长、宽、高分别为1０厘米、8厘米、5厘米，已知木板厚１厘米，那么做一个木盒,需要这样的木板多少平方厘米?这个木盒的容积又是多少?【分析】如下图:假设用长10厘米，宽8厘米，厚1厘米的木板作底面，那么4个侧面的木板的高就是（5﹣1）厘米,如果前后面用长10厘米,宽4厘米的木板,那么左右面的木板长是(8﹣1﹣１)厘米,左右面木板的宽也是4厘米．然后根据长方体表面积的计算方法，求这5个面的总面积即可．木盒里面的长是(１0﹣1﹣1)厘米，宽是（8﹣1﹣１)厘米,高是（5﹣1)厘米,再根据长方体的容积（体积）公式解答.【解答】解:如图:根据分析:4个侧面的木板的宽是:5﹣１＝4（厘米)１0×8＋10×4×2+(8﹣1﹣１)×４×2＝80+80＋6×4×2=160+48=2０8(平方厘米)(10﹣1﹣1)×(8﹣１﹣１）×(5﹣1)=8×6×4=192（立方厘米)答:做这个木盒至少需用1厘米厚的木板２０８平方厘米.这个木盒的容积是192立方厘米．１８.有一根长为２0厘米，直径为6厘米的圆钢,在它的两端各钻一个4厘米深，底面直径也为6厘米的圆锥形的孔，做成一个零件(如图).这个零件的体积为多少立方厘米？（л取３．14）【分析】根据题意可知：这个零件的体积等于圆柱的体积减去两个圆锥的体积，根据圆柱的体积公式:v＝sｈ，圆锥的体积公式:ｖ=，把数据分别代入公式解答即可．【解答】解：3．14×（6÷2)２×4×2==５65．２﹣7５.３6＝489.84（立方厘米),答：这个零件的体积为４89．84立方厘米.１9.现有一块长、宽、高分别为１0厘米、8厘米、６厘米的长方体木块，把它切成体积尽可能大且底面在长方体表面上的圆柱体木块,这个圆柱体木块的体积为多少?(л取3)【分析】削出最大的圆柱的方法有三种情况：(1）以8厘米为底面直径,6厘米为高;（2）以6厘米为底面直径,８厘米为高;（3）以6厘米为底面直径，10厘米为高,由此利用圆柱的体积公式分别计算出它们的体积即可解答.【解答】解:(1）以８厘米为底面直径,６厘米为高，３×（8÷2)２×6=３×1６×６＝2８8（立方厘米）;（2）以6厘米为底面直径,8厘米为高;3×(6÷2)2×8=３×9×8=216（立方厘米）；（3)以6厘米为底面直径，10厘米为高,３×（6÷２）2×１０＝3×9×10=２70(立方厘米）;答:这个圆柱最大的体积是288立方厘米．20.张大爷去年用长２米宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤，今年改用长3米宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍?【分析】依据经验可得:用长方形的长作底面周长,宽作高，围成的圆柱的容积最大,据此利用圆柱的体积公式即可得解．【解答】解：π××２÷[π××1]=×2÷＝÷=4.５倍;答：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的４．5倍．２1．左边正方形的边长为４,右边正方形对角线长度为6．如果按照图中的方式旋转，那么得到的两个旋转体的体积之比是多少？【分析】左边正方形旋转后交得到一个底面半径为，高为4的圆柱,根据圆柱的体积公式V=πr2ｈ即可求出这个圆柱的体积; 右边正方形旋后可得到两个底面半径为，高也为且底面重合的圆锥,根据圆锥的体积公式V＝πr２h即可求出这两个圆柱的体积;再根据比的意义求出两个旋转体的体积之比即可（要化成最简整数比).【解答】解：3.14×()2×4=3.1４×４×4＝50.２4,×3.1４×（）２××2＝×３.1４×9×3×2＝5６.５２，50．24:５６.52=8:9.答：两个旋转体的体积之比是８:９．２2.如图一个底面长3０分米,宽10分米，高12分米的长方体水池,存有四分之三池水，请问：（1）将一个高11分米，体积３3０立方分米的圆柱放入池中,水面的高度变为多少分米？（２）如果再放人一个同样的圆柱,水面高度又变成了多少分米?（3)如果再放人一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米?【分析】（1）由题意知,原来容器中的水可以看成是长3０分米、宽10分米、高为12×＝９分米的长方体,现将一个高１1分米，体积３３0立方分米的圆柱放入池中,水面没有淹没,求出圆柱的底面积即330÷11＝30(平方分米）再用３0×９求出淹没部分圆柱的体积除以长方体的底面积即是水升高的高度,用水升高的高度加上９分米，(2、3）同(1)解答即可．【解答】解：(１）330÷11×12×＝30×9=270（立方分米)2７0÷（30×10)=270÷3０0=0.9(分米）９+0．9＝９.９(分米)答:水面的高度变为9．9分米.（2)330÷11×９．９=３0×9．9＝297(立方分米）2９7÷(30×１０）=0．99（分米）９.9+0．9９=１0.89（分米)答：水面高度又变成了10.８9分米．。