基本不等式经典例题(学生用)

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基本不等式

知识点：

1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”）

2. (1)若*,R b a ∈，则ab b

a ≥+2 (2)若*,R

b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）

(3)若*,R b a ∈，则2

2⎪⎭

⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）

3.若0x >，则1

2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）

若0x <，则1

2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）

若0x ≠，则1

1

1

22-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）

~

4.若0>ab ，则2≥+a b

b a

(当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2

a b a b a b

b a b a b a +≥+≥+≤即或 (

当且仅当b a =时取“=”）

5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注意：

(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，

当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

(2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 `

例：求下列函数的值域

（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1

x

技巧一：凑项

例 已知5

4x <，求函数14245

y x x =-+-的最大值。

#

技巧二：凑系数

例： 当

时，求(82)y x x =-的最大值。

变式：设2

30<

" 技巧三： 分离换元 例：求2710(1)1

x x y x x ++=>-+的值域。

技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数()a f x x x =+的单调性。 例：求函数224y x =

+的值域。

#

技巧六：整体代换（“1”的应用）

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 例：已知0,0x y >>，且

191x y +=，求x y +的最小值。

·

技巧七

例：已知x ，y 为正实数，且x 2＋

y 22 ＝1，求x 1＋y 2

的最大值.

技巧八：

已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab

的最小值.

{

技巧九、取平方

例: 求函数15

()22

y x =<<的最大值。 应用二：利用均值不等式证明不等式

例：已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥

⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

：

应用三：均值不等式与恒成立问题

例：已知0,0x y >>且191x y

+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

应用四：均值定理在比较大小中的应用：

例：若

)2

lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=

⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 .