基本不等式经典例题(学生用)

、
基本不等式
知识点：
1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”）
2. (1)若*,R b a ∈，则ab b
a ≥+2 (2)若*,R
b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）
(3)若*,R b a ∈，则2
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）
3.若0x >，则1
2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）
若0x <，则1
2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）
若0x ≠，则1
1
1
22-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）
~
4.若0>ab ，则2≥+a b
b a
(当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2
a b a b a b
b a b a b a +≥+≥+≤即或 (
当且仅当b a =时取“=”）
5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注意：
(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，
当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
(2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 `
例：求下列函数的值域
（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1
x
技巧一：凑项
例 已知5
4x <，求函数14245
y x x =-+-的最大值。

#
技巧二：凑系数
例： 当
时，求(82)y x x =-的最大值。

变式：设2
30<
<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

" 技巧三： 分离换元 例：求2710(1)1
x x y x x ++=>-+的值域。

技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数()a f x x x =+的单调性。

例：求函数224y x =
+的值域。

#
技巧六：整体代换（“1”的应用）
多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

例：已知0,0x y >>，且
191x y +=，求x y +的最小值。

·
技巧七
例：已知x ，y 为正实数，且x 2＋
y 22 ＝1，求x 1＋y 2
的最大值.
技巧八：
已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab
的最小值.
{
技巧九、取平方
例: 求函数15
()22
y x =<<的最大值。

应用二：利用均值不等式证明不等式
例：已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。

求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥
⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
：
应用三：均值不等式与恒成立问题
例：已知0,0x y >>且191x y
+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

应用四：均值定理在比较大小中的应用：
例：若
)2
lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=
⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 .。