第2章例题_质点动力学分解

质点动力学
解：若求FT１以m１ 为研究对象
FT 1 m1 g m1a
FT 1 m1 (a g ) (1 )mm1 g m m1 m2 m3
若求FT２ ，以m２ 为研究对象
FT 2 FT1 m2 g m2a
(1 )(m1 m2 )mg FT 2 m m1 m2 m3
小球在竖直方向没有运动 FT cos mg 0
水平方向的分力恰好是小球做圆周运动的向心力
v2 v2 FT sin m m r l sin mg lg FT , 解得 v sin cos cos
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质点动力学
l 例2-5 一质量为m 的物体在流体中下落 ,物体所受到的黏滞 阻力与物体运动速率成正比,即 f = -kv .设物体受到的浮力 为F′,求该物体在下落过程中下落速率 v 和时间t 的关系式， 以及终极速率 vt （设t =0 时, v = 0）．
mg FT 3 ma FT 3 FN (m1 m2 m3 )a F (m m m ) g 1 2 3 N
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m (m1 m2 m3 ) a m m m m g 1 2 3 F m(1 )(m1 m2 m3 ) g T3 m m1 m2 m3 解方程组得
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质点动力学
例2-3 质量为M 的斜面装置,可在水 平面上做无摩擦的滑动, 斜面倾角为 , 斜面上放一质量为m 的木块,也可 做无摩擦的滑动. 现要保证木块m 相 对于斜面静止不动, 问对M 需作用的 水平力F0 有多大？ 此时m 与M 间的 正压力为多大？ M 与水平面间的正 压力为多大？ 解：m 相对M 静止，则m 与M 应有 相同的加速度 用隔离体法分别画出M与 m的示力图
质点动力学
例2-1 在倾角30°的光滑斜面（固定 于水平地面）上有两物体通过滑轮相 连，已知m1=3kg ，m2 =2kg ，且滑 轮和绳子质量可略．试求每一物体的 加速度a 及绳子的张力FT （重力加速 度g 取9.80m ·s-2 ） ． 解
' FT m1 g sin 30 m1a m2 g FT m2 a
x 0
(2t t 3 )
1 0
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质点动力学
例2-8 一辆静止在水平光滑轨道上且质量为M 的平板车上 站着两个人,设人的质量均为m ,试求他们从车上沿同方向 以相对于平板车水平速率u 同时跳下和依次跳下时平板车 的速率大小． 解：水平方向不受力,动量守恒 (1)两个人同时跳下,取两人和平板车为一个系统, 设两人跳下后平板车的速率为 v , 人相对地的速率为 v u 2mu 0 M v 2m( v u) v M 2m (2)两个人依次跳下,先取两人和平板车为一个系统， 设第一个人跳下后平板车的速率为 v 1 v mu 1 0 (M m)v1 m(v1 u) M 2m 第二个人跳下时，取平板车和第二个人为一个系统， 设第二个人跳下后平板车的速率为 v2 mu mu (M m)v1 M v2 m(v2 u) v2 M m M 2m
牛顿运动定律列出方程
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质点动力学
解： 对于M x方向 y方向 对于m x方向 y方向
' F0 FN sin Ma
' N FN con Mg 0 N (m M ) g
FN sin ma
FN con mg 0
' FN FN
解得
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质点动力学
例2-6 一辆运沙车以2m ·s-1 的速率从卸沙漏斗正下方驶过， 沙子落入运沙车厢的速率为400kg ·s-1 ．要使车厢速率保 持不变，需要多大的牵引力拉车厢？（设车厢和地面钢轨 的摩擦力可略）
解：t 时刻 m , t +Δt 时刻 m +Δm ，车厢速率不变 水平方向上动量增量为 根据动量定理 即 F p
6tdt Fdt , dv m m
v
v 2

v
2
1 t dv 6tdt m 0
t 1s , v1 5m s1
3t 2
t 0
,
v 2 3t 2 ,
dx 又由 dv dt
得
2
dx dv dt

x
0
dx (2 3t )dt
0
Fra Baidu bibliotek
1
，x
x 3m
FT F
解方程组得
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' T
a 0.98m s2 ,
FT 17.64N
质点动力学
例2-2将质量分别为m1 ，m2，m3 和m 的四个物体连接，桌 面与这些物体之间的摩擦系数都是 μ . 设桌子与滑轮位置 不变，绳子质量、滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦可忽略不 计．求该系统的加速度以及各物体之间的张力FT1 、FT2 、 FT3 ． 解：若先求加速度，可将m1 、 m2 、m3 视为一整体 并设FN 为三物体共同 对桌面的总压力
mg FN F cos
' N
,
F0 (M m) g tan
质点动力学
例2-4 这是一个圆锥摆．摆长为 l ,小球质量为m , 欲使小球 在锥顶角为θ 的圆周内做匀速圆周运动，给予小球的速率 应为多大？ 此时绳子的张力FT 有多大？ 解：小球在水平面内运动，则作用在小球 上的张力FT 和重力mg 均在竖直平面内， 设某一任意时刻, 在FT 和mg 所在平面内将 力进行分解
解：取竖直向下为正方向,
dv mg F k v ma m dt
'
dv dt , ' mg F k v m
'

v
0
t dt dv ' mg F k v 0 m
mg F 解得 v (1 e ) , k
k t m
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mg F ' t ,v k
p (m m)v mv m v
Ft p
m v 400 2 800(N) t
t
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质点动力学
例2-7 一质量为1kg 的质点在变力F =6 t (N )作用下沿x 轴 运动，设t =0 时，质点速率 v0= 2m ·s-1 ，质点位x0=0 m ， 试求质点在1s 末的速率和坐标位置． 解：根据动量定理微分形式 Fdt mdv