随机事件的概率
随机事件的概率
随机事件的概率在日常生活中，有很多随机事件，比如掷硬币的结果、抽彩票的概率、汽车事故的发生率等等。
我们常常会用到概率这个概念来描述这些随机事件的可能性。
那么，什么是概率？如何计算概率？本文将就此问题展开讨论。
一、概率的定义与性质概率是一个描述随机事件发生可能性的数值，它一般用0到1之间的小数来表示。
0表示事件不可能发生，1表示事件必然发生，其他值则表示事件发生的可能性大小。
例如，掷骰子得到1的概率是1/6，抽中特等奖的概率可能是几百万分之一。
概率有以下几个性质：1.非负性：任何事件的概率都是非负数，即P(A)≥0。
2.规范性：必然事件的概率为1，即P(S)=1。
3.可列可加性：对于任意两个不相交的事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。
二、概率的计算方法在实际应用中，概率的计算方法非常丰富，下面简单介绍几种常用的方法：1.古典概型如果一个随机试验有n个互不相同的基本事件，每个基本事件发生的可能性相等，且每个事件与试验的其他事件相互独立，那么这个试验就是一个古典概型。
例如，掷一枚硬币，得到正面或反面的概率都是1/2；从一副有5张红牌和5张黑牌的牌组中随机抽取一张牌，得到红牌或黑牌的概率都是1/2。
对于古典概型，可以采用排列组合的方法进行计算。
例如，从n个不同的元素中任选r个元素的方案数为C(n,r)，也称为组合数。
因此，在n个互不相同的元素中选取r个元素的概率为：P(r)=C(n,r)/C(n,1)+C(n,2)+…+C(n,n)2.几何概率几何概率是指利用几何形状来求解概率的方法。
例如，将一个点均匀地撒在正方形区域中，落在某个子区域内的概率就是这个子区域的面积与正方形面积之比。
对于N个互不相同的点，如果每个点落在某个子区域内的可能性相等，且每个点与试验的其他点相互独立，那么这个试验就是一个几何概型。
3.条件概率条件概率指的是在已知某一事件发生的情况下，另一事件发生的概率。
例如，如果一个桶里有4个红球和3个蓝球，从中任取一个球，如果已知这个球是红球，那么再抽到红球的概率是多少？这个问题可以用条件概率来解答。
随机事件的概率
第一节 随机事件的概率一.基本知识概要：1.随机事件：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，其概率10≤≤P2.如果是必然要发生的事件，则叫必然事件，其概率P=1；3.如果是不可能发生的事件，则叫不可能事件，其概率P=0。
4.事件的概率：在进行n 次重复同一试验中事件A 发生了m 次，随着试验次数的增大，事件A 发生的频率m/n 总是接近于某一常数P ，则P 就叫事件A 发生的概率。
5.基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。
6.等可能事件：在一次实验中，所有可能的结果有n 个，则叫事件A 包含有n 个基本事件，如果每个基本事件发生的概率都是等可能的，则叫等可能事件，所以每个基本事件发生的概率是n1。
如果事件A 包含了其中的m 个基本事件，则事件A 发生的概率P （A ）=nm 。
7.概率的计算：事件A 发生的概率P （A ）=种数所有事件发生的可能总发生的可能种数事件A =)()(I card A card （其中I为所有基本事件的集合，A 为事件A 所含基本事件的集合）。
二、例题： 例1、（1）给出下列四个命题：①“当R x ∈时，1cos sin ≤+x x ”是必然事件；②“当R x ∈时，1cos sin ≤+x x ”是不可能事件；③“当R x ∈时，2cos sin <+x x ”是随机事件；④“当R x ∈时，2cos sin <+x x ”是必然事件；其中正确的命题个数是：A ． 0；B 1；C 2；D 3（2）判断是否正确：“若某疾病的死亡率是90℅，一地区已有9人患此病死亡，则第10个病人必能成活。
”(3) 判断是否正确:“某次摸彩的彩票共有10万张，中大奖的概率是10万分子1，若已有9万9千张彩票已被摸出而且没有大奖，某人包下剩下的1千张彩票，那么此人必能中大奖。
” （4解：（1）B ；（2）否；（3）是；（4）0.8.[思维点拔]：正确理解概率辩证的概念，它既不是机械的也不是虚无缥缈的． 例2、用数字1，2，3，4，5组成五位数，求其中恰有4个相同数字的概率。
1.2随机事件的概率
三、 概率的公理化定义
公理化的必要性 任何一个数学概念都是对现实世界的抽象 这种抽象使
得其具有广泛的适应性 并成为进一步数学推理的基础 前面 指出 概率的频率解释为概率提供了经验基础 但不能作为一 个严格的数学定义 它没能抓住“概率”这一概念的抽象本 质 如果人们对概率的认识只停留在这一简单的直观上 那么 人们对概率论的研究便只能停留在对一些肤浅的问题的零散 研究上 概率论的研究和应用就会受到很大的局限
频率的性质
记一个事件 A 在 n 次重复试验中发生的次数为 rn(A) 则其
发生的频率
fn ( A)
rn(A) n
满足下列性质
(1) fn()1
(2)对任意事件A 有fn(A)0
(3)对任意一组两两不相容的事件A1 A2 An
P(
i1
Ai
)
i1
P(
Ai
)
说明 值得指出的是 fn(A)还满足许多其他性质 比如 比较显 然的性质有 fn()0 fn(A)1 然而这些性质均可由上述三条 性质导出 所以上述三条性质是反映频率特征的核心性质
一、 概率和频率解释
定义11(概率的直观定义) 随机事件A发生的可能性大小的度量(数值) 称为事件A
发生的概率 记作P(A)
说明 一个事件的概率是由事件本身特征所决定的客观存在
就好比一根木棒有它的长度一样 频率的稳定值是概率的外 在的必然表现 当进行大量重复试验时 频率会接近稳定值 因而 频率可用来作为概率的估计 就好比是测定概率的“尺 子” 随着试验次数的增加 测定的精度会越来越高
例110 观察某地区未来5天的天气情况 记Ai为事件 “有i 天不下雨”(i0 1 2 3 4 5) 已知P(Ai)iP(A0)(i1 2 3 4 5) 求下列各事件的概率
随机事件的概率
0 P A 1．
例题讲解
例2、某企业生产的乒乓球被2012年伦敦奥运会指定为 乒乓球比赛专用球,目前有关部门对某批产品进行了抽 样检测，检查结果如表所示：
3.1.1 随机事件的概率
知识引入
概率论的生日：1654年7月29日 这一天，法国一位贵族、职业赌徒梅累（De Mere） 向法国数学家、物理学家帕斯卡（Pascal）提出了一个 十分有趣的“分赌注”问题． 问题是这样的，一次梅累和赌友掷硬币，各押赌注32 个金币．双方约定先胜三局者为胜, 取得全部64个金币. 赌博进行了一段时间，梅累已经赢了两局，赌友已经赢了 一局．这时候梅累接到通知，要他马上陪同国王接见外宾， 赌博只好中断了．请问：两个人应该怎样分这64个金币才 算合理呢?
象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数
足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率.
跟踪练习
某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,结果如下表:
投篮次数 进球次数
8
6
10 8 0.80
15
20 17
30
25
40
32
50 39
12 0.80
进球频率 0.75
0.85 0.83 0.80 0.78
思考1：那么如何才能获得随机事件发生的概率呢？
试验
第一步: 每人各取一枚同样的硬币，做10次掷硬币试验，
记录正面向上的次数和比例,填入下表中:
姓名 试验次数 正面朝上的次数 正面朝上的比例
随机事件的概率
随机事件的概率导言：随机事件是指在一定条件下，由于种种因素的不确定性而发生的事件。
生活中的许多事情都是随机事件，无法预测和控制。
我们对于随机事件的发生与否往往抱有一定的期望或预测，这就引出了随机事件的概率。
一、什么是概率？概率（probability）是现代数学中研究事件发生的一种数学方法。
概率既是一种数学工具，同时也是描述随机现象出现“规律”的一种观念。
概率的大小通常用数字来表示，范围在0到1之间，概率越大，表示事件发生的可能性越大。
二、概率的计算方法1. 古典概率：古典概率也叫“理论概率”，它是指当各种结果发生的机会是等可能的时候，可以根据有限的样本空间中可能结果的数目比来计算。
例如投掷均匀的骰子，每一个面都有相同的机会出现，那么每一个面出现的概率就是1/6。
2. 频率概率：频率概率也叫“实验概率”，它是指在实际的重复试验中，事件发生的次数与总的试验次数的比例。
例如，我们可以通过多次投掷骰子的实验来计算每个面出现的概率，通过实验的结果来估计概率。
3. 主观概率：主观概率也叫“人为概率”，它是指个人根据经验、直觉和一些可能的关联性来估计事件发生的概率。
这种概率是主观的，因为它依赖于个人的判断和看法。
三、随机事件的应用随机事件的概率在现实生活中有着广泛的应用，下面举几个例子进行阐述：1. 赌场中的赌博：在赌场中，很多赌博游戏都基于随机事件的概率来决定输赢。
例如，在轮盘赌中，赌徒根据小球停在哪一个数字上来下注，而小球停留在哪个数字上是完全由随机事件决定的。
赌徒可以根据每个数字出现的概率来决定下注的策略。
2. 保险业的风险评估：在保险业中，概率是一个非常重要的概念。
保险公司需要根据客户的信息以及历史数据来评估风险，并计算出合理的保险费用。
例如，在车险中，保险公司需要根据客户的驾驶记录和车辆信息来评估客户发生车祸的概率，并根据概率来决定保险费用的高低。
3. 股票市场：在股票市场中，投资者根据股票的历史数据和一些基本面分析来预测股票的未来涨跌。
随机事件概率计算
随机事件概率计算随机事件的概率计算是概率论中的重要内容，通过计算可以得出不同事件发生的可能性大小。
在日常生活和工作中，我们经常会遇到各种随机事件，并希望通过概率计算来提前了解事件发生的可能性，以便做出合理的决策。
本文将介绍随机事件概率计算的基本原理和常用方法。
一、概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P(A)表示事件A发生的概率。
概率的取值范围在0到1之间，其中，0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
二、概率计算方法1. 经典概率法经典概率法是根据事件的样本空间进行计算的方法。
当事件的每个基本结果发生的可能性相等时，可以使用该方法计算概率。
概率的计算公式如下：P(A) = N(A) / N(S)其中，N(A)表示事件A中基本结果的数目，N(S)表示样本空间中基本结果的总数。
2. 相对频率法相对频率法是通过实际观察事件发生的频率来计算概率。
该方法要求多次观察或重复实验，计算事件发生的频率，从而逼近事件的概率。
概率的计算公式如下：P(A) = n(A) / n其中，n(A)表示事件A发生的次数，n表示实验或观察的总次数。
3. 主观概率法主观概率法是基于主观判断和经验估计的方法，根据个人对事件发生的主观认知来计算概率。
该方法常用于无法进行重复实验的情况，但其结果可能受到主观因素的影响。
三、概率计算的实例下面通过两个实例来说明概率计算的具体过程。
1. 掷骰子问题：假设有一个普通的六面骰子，如果我们想要计算投掷骰子时出现6的概率，可以使用经典概率法进行计算。
该事件的样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}，基本结果的数目为6，因此事件发生的概率为：P(出现6) =1/6。
2. 抽取扑克牌问题：假设有一副52张的扑克牌，其中有4张A牌。
如果我们想要计算从扑克牌中抽取一张A牌的概率，可以使用相对频率法进行计算。
进行多次实验，记录抽取到A牌的频率。
如果进行100次实验，抽取到A牌的次数为10次，则事件发生的概率为：P(抽取A) = 10/100 = 0.1。
随机事件的概率计算方法
随机事件的概率计算方法引言在数学中，概率是用于描述随机事件发生的可能性的工具。
随机事件是在相同的条件下可能发生或不发生的事件。
概率计算方法是解决随机事件的可能性问题的数学工具。
本文将介绍随机事件的概率计算方法，包括基本概率公式、条件概率、乘法原理和加法原理等。
基本概率公式基本概率公式是计算随机事件概率的基础方法。
假设有一个试验，结果有n个可能的等可能性事件（即每个事件发生的概率相等），那么某一事件发生的概率可以通过以下公式计算：P(A) = n(A) / n其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的次数，n表示试验的总次数。
条件概率条件概率是指在已知某一事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率可以通过以下公式计算：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A ∩ B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
乘法原理乘法原理是用于计算多个事件同时发生的概率的方法。
假设事件A和事件B相互独立，即事件A的发生与事件B的发生没有关系，那么事件A和事件B同时发生的概率可以通过以下公式计算：P(A ∩ B) = P(A) * P(B)其中，P(A ∩ B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。
加法原理加法原理是用于计算多个事件至少发生一个的概率的方法。
假设事件A和事件B相互独立，那么事件A或事件B发生的概率可以通过以下公式计算：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)其中，P(A ∪ B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A 和事件B发生的概率，P(A ∩ B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
示例应用下面通过一个简单的示例来说明随机事件的概率计算方法的应用。
假设有一个标准的扑克牌牌组，共有52张牌。
随机事件的概率
随机事件的概率一、知识概述1、随机事件的概率（1）必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件：在一定条件下必然要发生的事件．不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件．随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．（2）概率的定义及其理解事件A的概率的定义：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A 为事件A出现的频数，称事件A出现的比例为事件A出现的出现的次数nA频率．在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近≤n，0≤≤1，摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)，由定义知，0≤nA0≤P(A)≤1．显然，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0．注：①注意频率与概率的区别：频率总是在P（A）附近摆动，当n越大时，摆动幅度越小．②0≤P(A)≤1，不可能事件的概率为0，必然事件概率为1，随机事件的概率大于0而小于1．③大量重复进行同一试验时，随机事件呈现出规律性．2、概率的基本性质事件Ｂ包含事件A：一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B 一定发生，记作（或）．并事件：某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，记作．交事件：某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，记作．互斥事件：若为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥，如果事件A与事件B互斥，那么．对立事件：若为不可能事件，为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，事件A的对立事件通常用表示．3、古典概型古典概型需要满足的两个条件：①所有基本事件有限个；②每个基本事件发生的可能性都相等．如果一次试验的等可能的基本事件的个数为n，则每一个基本事件发生的概率都是，如果某个事件A包含了其中的m个等可能的基本事件，则事件A发生的概率为．4、几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：．二、重难点知识归纳重点：1、了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，正确理解概率的意义．2、理解古典概型及其概率计算公式．3、体会随机模拟中的统计思想：用样本估计总体．难点：1、理解频率与概率的关系.2、设计和运用模拟方法近似计算概率．3、把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题．三、典型例题剖析例1、（1）计算表中优等品的各个频率？（2）该厂生产的电视机优等品的概率是多少？分析：（1）将值逐个代入公式进行计算.（2）观察各频率能否与一常数接近，且在它附近摆动.解答：（1）各次优等品的频率分别为0.8，0.92，0.96，0.95，0.954.（2）由以上数据可得优等品的概率为0.95.例2、将骰子先后抛掷2次，计算：（1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的数之和是5的结果有多少种？（3）向上的数之和是5的概率是多少？分析：有些等可能事件的概率问题中，有时在求m时，不采取分析的方法，而是结合图形采取枚举的方法，即数出事件A发生的结果数，当n较小时，这种求事件概率的方法是常用的.解答：将抛掷2次的所有结果数一一列举出来，如下表所示上表可知，将骰子先后抛掷2次，一共有36种不同的结果，其中向上的数之和是5的结果有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共4种，由于骰子是均匀的，将它抛掷2次的所有36种结果是等可能出现的，故向上的数之和是5的概率是.例3、如图，在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM<AC的概率？分析：点M随机的落在线段AB上，故线段AB为构成试验的全部结果所构成的区域长度，当点M位于如图的内时AM<AC，故线段即为构成事件A的区域长度．解：在AB上截取=AC ，于是．答：AM<AC的概率为．例4、袋中装有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：（1）3只全是红球的概率．（2）3只颜色全相同的概率．（3）3只颜色不全相同的概率．分析：有放回地抽3次的所有不同结果总数为33，3只全是红球是其中的1种结果，同样3只颜色全相同是其中3种结果：全红、全黄、全白，用求等可能事件的概率方式可以求它们的概率．“3种颜色不全相同”包含的类型较多，而其对立事件为“三种颜色全相同”却比较简单，所以用对立事件的概率方式求解．解析：有放回地抽取3次，所有不同的抽取结果总数为27，3只全是红球的概率为，3只颜色全相同的概率为，“3只颜色不全相同”的对立事件为“三只颜色全相同”，故“3只颜色不全相同”的概率为.例5、在50件产品中，有35件一级品，15件二级品．从中任取5件，设“取得的产品都是一级品”为事件A，试问：表示什么事件？解析：事件表示“取得的产品不都是一级品”或“取得的产品中至少有1件不是一级品”．首先，“取得的产品都是一级品”发生了，“取得的产品不都是一级品”这个事件就不发生，它们是互斥的；其次，“取得的产品都是一级品”和“取得的产品不都是一级品”必然有一个发生．所以“取得的产品不都是一级品”这一事件表示．。
随机事件的概率简介
随机事件的概率简介概率是数学中一个非常重要的概念，它用来描述随机事件发生的可能性大小。
在我们日常生活中，随机事件无处不在，比如抛硬币的结果、掷骰子的点数、抽奖的中奖概率等等。
本文将简要介绍随机事件的概率以及相关概念。
一、基本概念1. 随机事件随机事件指的是在一次试验中，可能发生也可能不发生的结果。
比如抛掷一枚硬币出现正面，就是一个随机事件。
2. 样本空间样本空间是指试验所有可能结果的集合。
以抛硬币为例，样本空间就是{正面，反面}。
3. 事件事件是样本空间的一个子集，表示我们关注的一些结果。
以抛硬币为例，出现正面就是一个事件。
二、概率的定义概率可以通过频率和古典概型来定义。
1. 频率定义频率定义是通过实验结果的频率来计算概率。
当试验次数趋于无穷大时，事件发生的频率将逐渐接近概率。
比如抛硬币，当我们大量重复抛掷硬币，并记录正面朝上的次数，我们就可以得到近似的概率。
2. 古典概型古典概型也称为等可能概型。
它适用于所有的试验结果等可能且有限的情况。
比如抛硬币，正反两面出现的概率都是1/2。
三、概率的性质概率具有以下几个性质：1. 非负性概率值始终大于等于0。
对于任何事件A，P(A) ≥ 0。
2. 规范性对于样本空间Ω，必然发生的概率为1。
即P(Ω) = 1。
3. 加法性对于两个互斥事件A和B，它们的概率之和等于它们分别的概率之和。
即P(A∪B) = P(A) + P(B)。
四、概率的计算方法概率的计算可以通过以下方法进行：1. 经典概型法当试验结果等可能且有限时，可以使用经典概型法计算概率。
比如抛硬币，正反两面的概率均为1/2。
2. 频率法当试验次数无限大时，可以通过频率法计算概率。
即记录实验结果的频率，当试验次数很大时，事件发生的频率接近概率。
3. 条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率可以表示为P(A|B)，读作“在事件B发生的条件下，事件A发生的概率”。
4. 乘法定理乘法定理用于计算多个事件同时发生的概率。
随机事件的概率(共48张PPT)
死于工伤：危险概率是1／26000 走路时被汽车撞死：危险概率是1／40000
问题1. 你是彩民吗？你买的彩票一定能中奖吗？
在现实生活中，有很多问题我们很难给予准确无误的回答,因为在客
观世界中，有些事情的发生是偶然的，有些事情的发展是必然的, 而且偶然和必然之间往往存在某种内在联系.
①从一个只装有红球的盒子里摸出一个红球
②人总有一天会死去
③投一枚骰子（点数为1—6）投出7点 ④人可以一生都不喝水
1.概率的正确理解
事实上，我们在连续投掷两次硬币时，可能出现3种结果：
1
（25％）
2
（50％）
且每中情况都是随机出现的
3
（25％）
Ex1.如果某种彩票的中奖概率为 1 ，那
1000
么买1000张这种彩票一定能中奖吗？请说 明理由.（假设该彩票有足够多的张数）
不一定，每张彩票是否中奖是随机的, 1000张 彩票中有几张中奖当然也是随机的.买1000 张这种彩票的中奖概率约为：1000，即有 63.2%的可能性中奖，但不能肯定中奖.
2. 游戏的公平性
在一场乒乓球比赛前，必须要决定由 谁先发球，并保证具有公平性，你知道裁 判员常用什么方法确定发球权吗？其公平 性是如何体现出来的？请你举出几个公平 游戏的实例.
裁判员拿出一个抽签器，它是－个像大硬币似的 均匀塑料圆板，一面是红圈，一面是绿圈，然后 随意指定一名运动员，要他猜上抛的抽签器落到 球台上时，是红圈那面朝上还是绿圈那面朝上。 如果他猜对了，就由他先发球，否则，由另一方
随机事件的概率
随机事件的概率知识要点：1．必然事件:在一定的条件下必然要发生的事件。
2．不可能事件:在一定的条件下不可能发生的事件。
3．随机事件:在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件。
4．随机事件的概率:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总是接近于某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P(A)。
注意:0≤P(A)≤1。
5．基本事件:一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。
6．等可能性事件的概率:如果一次试验由n个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是,如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率:P(A)= 。
理解随机事件及其概率的意义;理解等可能性事件的概率的意义；会用计数方法和排列组合基本公式计算一些等可能性事件的概念。
典型题目:例1．条件:将一枚五角硬币和壹角硬币同时向上抛,落在有弹性的桌面上(有国徽那一面叫做正面)。
事件A:伍角的正面朝上,壹角的正面朝上；事件B:伍角的正面朝上,壹角的反面朝上；事件C:伍角的正面朝上或反面朝上；事件D:壹角的正面朝上同时反面朝上。
判断事件A、B、C、D是什么事件。
解:可以断定:A和B是随机事件,C是必然事件,D是不可能事件。
例2．指出下列事件是必然事件,不可能事件,还是随机事件:（1）当x≥10时,lgx≥1；（2）数列{a n}是单调递增数列,a2003>a2004；（3）sinα>sinβ时,α<β。
解:（1）根据对数函数y=lgx在（0,+∞）上是增函数及lg10=1,知当x≥10时,lgx≥1是成立的,所以,（1）是必然事件。
（2）因为数列{a n}是单调递增数列,所以对任意的n∈N*,都有a n<a n+1成立,所以，a2003>a2004不可能成立，所以,（2）是不可能事件。
（3）如图（2）,sinα>sinβ时:①取β=β1,这时sinα>sinβ1, α>β1, α<β不成立；②取β=β2, 这时sinα>sinβ2, α<β2, α<β成立。
随机事件的概率计算和加法法则
随机事件的概率计算和加法法则随机事件的概率计算是概率论的基础知识，它帮助我们理解和预测可能发生的事件。
本文将重点介绍随机事件的概率计算方法以及加法法则，以便更好地理解和应用这些概念。
一、随机事件的概率计算方法1.经典概率经典概率是指在确定性条件下，根据事件发生的可能性来计算概率。
其中，“可能性”指的是有利结果数与样本空间的比值。
例如，抛一枚均匀硬币的正反面概率各为1/2，因为有利结果（正面或反面）为1个，样本空间（正面与反面）为2个，所以概率为1/2。
2.几何概率几何概率是指通过测量和计算几何空间中相对位置的概率。
它通常用于解决连续性随机变量的问题。
几何概率的计算方法与经典概率不同，它涉及到使用测量工具和数学模型来确定概率。
3.条件概率条件概率是指在已经发生了某一事件的条件下，另一事件发生的概率。
条件概率的计算方法利用了已知信息，其中"已知信息"是指条件发生的情况下样本空间的范围。
条件概率通常用符号P(A|B)表示，表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
4.乘法法则乘法法则是计算多个事件同时发生的概率。
它的计算方法是将每个事件的概率相乘。
例如，假设有两个独立事件A和B，概率分别为P(A)和P(B)，那么同时发生事件A和B的概率为P(A)×P(B)。
二、加法法则加法法则是计算两个或多个事件发生的概率。
它可以用于计算事件A或事件B发生的概率，以及事件A和B同时发生的概率。
加法法则可以分为两种情况：互斥事件和不互斥事件。
1.互斥事件互斥事件是指两个事件不可能同时发生的情况。
如果事件A和事件B是互斥的，那么它们的概率可以通过将它们的概率相加来计算。
例如，假设事件A是抛一次硬币正面朝上的概率，事件B 是抛一次硬币反面朝上的概率，由于它们互斥，所以它们的概率可以计算为P(A)+P(B)。
2.不互斥事件不互斥事件是指两个事件可能同时发生或者其中一个事件发生时另一个事件也可以发生的情况。
随机事件的概率
随机事件的概率3.1.1随机事件的概率一、引入：概率论的产生和发展概率论产生于十七世纪,传说早在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢3局就算赢，全部赌本就归谁。
但是当其中一个人赢了2局，另一个人赢了1局的时候，由于某种原因,赌博终止了。
问赌本应该如何分法才合理？”帕斯卡是17世纪著名的数学家，但这个问题却让他苦苦思索了三年未果，荷兰著名的数学家惠更斯也企图解决这一问题，写成了《论赌博中的计算》成为概率论最早的著作信息论、对策论、排队论、控制论都以概率论为基础随机现象——若现象的结果是无法预知的，即在一定的条件下，出现哪种结果是无法预先确定的1、确定性现象——若现象的结果总是确定的，即在一定的条件下，它所出现的结果是可以预知的二、几个概念思考：下面各事件的发生与否，各有什么特点？（1）导体通电时发热（3）标准大气压下温度低于0°C时，冰融化（5）掷一枚硬币，出现正面（4）在常温下，焊锡熔化（2）抛一石块，下落（6）李强射击一次，中靶2.必然事件：在一定条件下必然要发生的事件例（1）导体通电时发热（2）抛一石块，下落不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件例（3）在常温下，焊锡熔化（4）在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件例（6）李强射击一次，中靶（5）掷一枚硬币，出现正面注：确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C，…表示例1指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？（2）手电筒的电池没电,灯泡发亮（5）当x是实数时，x2≥0（6）一个袋内装有形状大小相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出1个球是白球（3）在标准大气压下，水在温度时沸腾（4）直线过定点（1）某地10月18日刮西北风案例1历史上抛掷硬币的重复试验结果正面次数（频数）抛掷次数频率（）106120480.5181204840400.50696019120000.501612012240000.50051498436124300000.4996720880.5011三、随机事件的频率及概率4、规律：当抛掷硬币的次数很多时，出现正面的频率值是稳定的，接近于常数0.5,并在它附近摆动结论：随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性案例2某批乒乓球产品质量检查结果表当抽查的球数很多时，抽到优等品的频率接近于常数0.95，并在它附近摆动。
随机事件的概率计算方法总结
随机事件的概率计算方法总结随机事件的概率计算是概率论中的一个重要内容，通过计算随机事件发生的可能性，能够帮助我们做出合理的决策和预测。
本文将总结一些常见的随机事件概率计算方法，以供参考和学习。
一、频率法频率法是最常见的概率计算方法之一，它通过实际实验或观察的结果来确定随机事件发生的概率。
具体步骤如下：1. 设立实验并重复进行多次，记录事件发生的次数。
2. 将事件发生的次数除以实验总次数，得到事件发生的频率。
3. 根据频率来逼近概率，频率越接近某个特定值，则认为该事件发生的概率越接近该特定值。
频率法的优点在于可以通过实际实验来获得准确的概率值，但需要进行大量的实验才能得到较为可靠的结果。
二、古典概率法古典概率法适用于有限样本空间且每个样本发生的概率相等的情况。
具体步骤如下：1. 确定样本空间S，即所有可能的结果集合。
2. 根据样本空间中每个样本的可能性相等的假设，计算每个样本的概率P(A)。
3. 根据概率定义，将样本的概率相加得到所要求的事件的概率P(A)。
古典概率法的缺点在于假设每个样本发生的概率相等并且适用于有限样本空间的情况，因此不适用于复杂的实际问题。
三、条件概率法条件概率法适用于已知一些附加信息的情况，通过这些附加信息来计算随机事件的概率。
具体步骤如下：1. 确定附加信息，即已知的条件。
2. 根据附加信息来限定样本空间，将样本空间缩小为满足条件的样本集合。
3. 根据缩小后的样本集合中事件的发生次数与实验总次数的比值，来计算事件的概率。
条件概率法的优点在于能够利用已知信息来计算随机事件的概率，使得计算结果更加准确。
四、事件的相互关系在概率计算中，经常需要考虑多个事件之间的相互关系。
常见的事件相互关系有交集、并集、互斥等。
交集：事件A与事件B的交集表示同时发生事件A和事件B的情况，记为A∩B。
计算交集的概率可以使用条件概率公式：P(A∩B) =P(A) * P(B|A)。
并集：事件A与事件B的并集表示事件A和事件B中至少发生一个的情况，记为A∪B。
随机事件的概率
§12.1 随机事件的概率1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别． 2．了解两个互斥事件的概率加法公式．1． 事件(1)不可能事件、必然事件、随机事件：在同样的条件下重复进行试验时，有的结果始终不会发生，它称为不可能事件；有的结果在每次试验中一定会发生，它称为必然事件；有的结果可能发生，也可能不发生，它称为随机事件． (2)基本事件、基本事件空间：试验连同它出现的每一个结果称为一个基本事件，它是试验中不能再分的最简单的随机事件；所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，基本事件空间常用大写希腊字母Ω表示． 2． 概率与频率：(1)概率定义：在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率mn ，当n 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P (A )． (2)概率与频率的关系：概率可以通过频率来“测量”，频率是概率的一个近似． 3． 事件的关系与运算名称 定义并事件(和事件) 由事件A 和B 至少有一个发生所构成的事件C互斥事件 不可能同时发生的两个事件A 、B 互为对立事件不能同时发生且必有一个发生的两个事件A 、B4． 概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率：P (E )＝1. (3)不可能事件的概率：P (F )＝0. (4)互斥事件的概率加法公式： ①P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )(A ，B 互斥)．②P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )(A 1，A 2，…，A n 彼此互斥)． 教学目标学习内容知识梳理(5)对立事件的概率：P (A )＝1－P (A )．题型一 随机事件的关系例1 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A 为“只订甲报纸”，事件B 为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D 为“不订甲报纸”，事件E 为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件． (1)A 与C ；(2)B 与E ；(3)B 与C ；(4)C 与E .思维启迪 判断事件之间的关系可以紧扣事件的分类，结合互斥事件，对立事件的定义进行分析．解 (1)由于事件C “至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A 与事件C 有可能同时发生，故A 与C 不是互斥事件．(2)事件B “至少订一种报纸”与事件E “一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B 与E 是互斥事件．由于事件B 不发生可导致事件E 一定发生，且事件E 不发生会导致事件B 一定发生，故B 与E 还是对立事件． (3)事件B “至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，事件C “至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B 与C 不是互斥事件．(4)由(3)的分析，事件E “一种报纸也不订”是事件C 的一种可能，即事件C 与事件E 有可能同时发生，故C 与E 不是互斥事件．思维升华 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系．巩 固 对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没击中飞机}，C ＝{恰有一弹击中飞机}，D ＝{至少有一弹击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．答案 A 与B ，A 与C ，B 与C ，B 与D B 与D解析 设I 为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A ∩B ＝∅，A ∩C ＝∅，B ∩C ＝∅，B ∩D ＝∅. 故A 与B ，A 与C ，B 与C ，B 与D 为彼此互斥事件，而B ∩D ＝∅，B ∪D ＝I ，故B 与D 互为对立事件． 题型二 随机事件的频率与概率例2 某企业生产的乒乓球被2012年伦敦奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：抽取球数n 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数m 45 92 194 470 954 1 902 优等品频率mn例题讲解(1)计算表中乒乓球优等品的频率；(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位) 思维启迪 可以利用公式计算频率，在试验次数很大时，用频率来估计概率． 解 (1)依据公式f ＝mn ，计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)由(1)知，抽取的球数n 不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率约为0.950.思维升华 频率是个不确定的数，在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小，但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小．但从大量重复试验中发现，随着试验次数的增多，事件发生的频率就会稳定于某一固定的值，该值就是概率．巩 固 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y (单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X (单位：毫米)有关．据统计，当X ＝70时，Y ＝460；X 每增加10，Y 增加 5.已知近20年X 的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160. (1)完成如下的频率分布表： 近20年六月份降雨量频率分布表降雨量 70 110 140 160 200 220 频率120420220(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．解 (1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量 70 110 140 160 200 220 频率120320420720320220(2)由已知可得Y ＝X2＋425，故P (“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”) ＝P (Y <490或Y >530)＝P (X <130或X >210) ＝P (X ＝70)＋P (X ＝110)＋P (X ＝220) ＝120＋320＋220＝310. 故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为310.题型三 互斥事件、对立事件的概率例3 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A 、B 、C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．思维启迪 明确事件的特征、分析事件间的关系，根据互斥事件或对立事件的概率公式求解． 解 (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100， P (C )＝501 000＝120. 故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C . ∵A 、B 、C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件， ∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎫11 000＋1100＝9891 000. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.思维升华 (1)解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算．(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P (A )＝1－P (A )计算．巩 固 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，黑球或黄球的概率是512，绿球或黄球的概率也是512.求从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是多少？解 从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则事件A ，B ，C ，D 彼此互斥，所以有P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝512，P (D ＋C )＝P (D )＋P (C )＝512，P (B ＋C ＋D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝1－P (A )＝1－13＝23，解得P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14.故从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是14，16，14.思想与方法 用正难则反思想求互斥事件的概率典例：(2012·湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率)思维启迪若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解．规范解答解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.[2分]该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．[6分](2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝20100＝15，P(A2)＝10100＝110.[9分]P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－15－110＝710.[11分]故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.[12分]温馨提醒(1)要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征的含义．(2)正确判定事件间的关系，善于将A转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式．易错提示：(1)对统计表的信息不理解，错求x，y难以用样本平均数估计总体．(2)不能正确地把事件A转化为几个互斥事件的和或转化为B＋C的对立事件，导致计算错误.A组1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)事件发生频率与概率是相同的． ( × ) (2)随机事件和随机试验是一回事．( × ) (3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值． ( √ ) (4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( × )2． 一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 ( )A ．至多有一次中靶B ．两次都中靶C ．只有一次中靶D ．两次都不中靶答案 D3． 某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为 ( )A ．0.5B ．0.3C ．0.6D ．0.9答案 A解析 依题意知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5. 4． 下列事件中，随机事件为________，必然事件为________．(填序号)①冬去春来 ②某班一次数学测试，及格率低于75% ③体育彩票某期的特等奖号码 ④三角形内角和为360° ⑤骑车到十字路口遇到交警 答案 ②③⑤ ①5． 给出下列三个命题，其中正确的命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．答案 0解析 ①错，不一定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．B 组1． 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )A ．至少有一个红球与都是红球B ．至少有一个红球与都是白球C ．至少有一个红球与至少有一个白球D ．恰有一个红球与恰有二个红球 答案 D2． 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )A ．0.7B ．0.65C ．0.35D ．0.3 答案 C解析 事件“抽到的不是一等品”与事件A 是对立事件，由于P (A )＝0.65，所以由对立事件的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率为P ＝1－P (A )＝1－0.65＝0.35.3． 某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为( )A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.08 答案 C解析 记抽验的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而抽验的产品是正品(甲级)的概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0.92，故选C.4． 在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )A ．至多有一张移动卡B ．恰有一张移动卡C ．都不是移动卡D ．至少有一张移动卡答案 A解析 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.5． 甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是( )A.56B.23C.12D.13 答案 A解析 乙不输包含两种情况：一是两人和棋，二是乙获胜，故所求概率为12＋13＝56.6． 在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品； ②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品； ③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品．其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件． 答案 ③ ② ①7． 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率为0.28，若红球有21个，则黑球有________个． 答案 15解析 1－0.42－0.28＝0.30,21÷0.42＝50， 50×0.30＝15.8． 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________． 答案 0.25解析 20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为520＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25. 9． 黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B 型血，若小明因病需要输血，问： (1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解 (1)对任一人，其血型为A ，B ，AB ，O 型血的事件分别记为A ′，B ′，C ′，D ′，它们是互斥的． 由已知，有P (A ′)＝0.28，P (B ′)＝0.29，P (C ′)＝0.08，P (D ′)＝0.35.因为B ，O 型血可以输给B 型血的人，故“可以输给B 型血的人”为事件B ′＋D ′. 根据互斥事件的加法公式，有P (B ′＋D ′)＝P (B ′)＋P (D ′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)方法一 由于A ，AB 型血不能输给B 型血的人，故“不能输给B 型血的人”为事件A ′＋C ′，且P (A ′＋C ′)＝P (A ′)＋P (C ′)＝0.28＋0.08＝0.36.方法二 因为事件“其血可以输给B 型血的人”与事件“其血不能输给B 型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式，有P (A ′＋C ′)＝P (B'D' )＝1－P (B ′＋D ′)＝1－0.64＝0.36.10．对一批衬衣进行抽样检查，结果如表：(1)(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A ，求P (A )；(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1 000件衬衣，至少需进货多少件？ 解 (1)次品率依次为0,0.02,0.06,0.054,0.045,0.05,0.05. (2)由(1)知，出现次品的频率mn 在0.05附近摆动，故P (A )＝0.05. (3)设进衬衣x 件， 则x (1－0.05)≥1 000， 解得x ≥1 053，故至少需进货1 053件．C组1．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件．那么()A．甲是乙的充分但不必要条件B．甲是乙的必要但不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件答案 B解析根据互斥事件和对立事件的概念可知互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件．2．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A、B、C、D的概率分别是0.2、0.2、0.3、0.3，则下列说法正确的是()A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件答案 D解析由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的Venn图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．故选D.3．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．答案8151415解析(1)由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P＝715＋115＝815.(2)由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－115＝1415.4. 某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39、32、33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________．答案351315解析 “至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为 P ＝11＋10＋7＋86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝35.“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”． 故他属于不超过2个小组的概率是 P ＝1－86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝1315.5. 如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概 率为________． 答案 45解析 记其中被污损的数字为x ，依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是15(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的五次综合测评的平均成绩是15(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x ＋9)＝15(442＋x )，令90>15(442＋x )，解得x <8，所以x 的可能取值是0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为810＝45.6． 如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择L 1的人数 6 12 18 12 12 选择L 2的人数416164(1)试估计40分钟内不能．．赶到火车站的概率； (2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解 (1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)， ∴用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L 1的有60人，选择L 2的有40人， 故由调查结果得频率为所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 L 1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L 2的频率0.10.40.40.1(3)设A 1，A 2分别表示甲选择L 1和L 2时，在40分钟内赶到火车站；B 1，B 2分别表示乙选择L 1和L 2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P (A 1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6， P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5， ∵P (A 1)＞P (A 2)，∴甲应选择L 1.同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B1)＜P(B2)，∴乙应选择L2.方法与技巧1．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A)．2．从集合角度理解互斥和对立事件从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．失误与防范1．正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．2．需准确理解题意，特别留心“至多……”，“至少……”，“不少于……”等语句的含义．。
随机事件的概率
随机事件的概率概率理论是一门研究随机事件发生的可能性的数学学科。
通过计算和统计，我们可以了解随机事件发生的概率。
在这篇文章中，我们将探讨随机事件的概念、概率的定义和计算方法，以及一些实际问题中与概率相关的应用。
一、随机事件的概念随机事件是指在一次试验中可能出现的各种结果。
每个结果都有一定的概率发生。
例如，掷骰子时，1到6的点数出现的概率都是相等的，并且总和为1。
我们用事件的符号表示随机事件。
例如，事件A表示掷骰子出现点数为2的结果。
事件B表示掷骰子出现点数为偶数的结果。
事件的发生取决于试验的结果。
如果一个事件发生了，我们称之为该事件发生。
二、概率的定义概率是描述事件发生可能性大小的数值。
概率的取值范围是0到1之间，0表示不可能发生，1表示肯定会发生。
在数学中，我们用P(A)表示事件A的概率。
例如，P(A)表示掷骰子出现点数为2的概率。
概率的计算需要考虑事件发生的可能性和总体样本空间的大小。
三、概率的计算方法1. 经典概率经典概率是指在一次试验中，每个事件发生的可能性相等的情况下，计算事件发生概率的方法。
假设一个袋子里有红、蓝、绿三种颜色的球，每种球的数量相等。
从袋子中随机抽取一球，事件A表示抽到红球的结果。
由于每种颜色出现的概率相等，所以P(A) = 1/3。
2. 统计概率统计概率是通过实验和统计数据来计算事件发生概率的方法。
例如，我们抛硬币的实验中，事件A表示出现正面的结果。
通过大量的实验数据，我们可以统计出正面出现的次数与总实验次数的比值，从而得到事件A的概率。
3. 条件概率条件概率是指在已知一定条件下，某个事件发生的概率。
条件概率用P(A|B)表示，读作在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
例如，事件A表示抛一次硬币出现正面的结果，事件B表示抛一次硬币出现的是铜币。
我们知道铜币的一面是正面，因此在已知抛出的是铜币的情况下，事件A发生的概率为1。
四、概率的应用1. 游戏与赌博概率理论在游戏和赌博中扮演着重要的角色。
随机事件的概率与计算
随机事件的概率与计算在日常生活中，我们会遇到许多随机事件，如抛硬币、掷骰子、抽奖等。
而了解这些随机事件发生的概率以及如何进行计算，对我们能够做出合理的决策和判断至关重要。
本文将介绍随机事件的概率概念，以及一些常见的概率计算方法。
一、概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数值，在0和1之间取值。
0表示事件绝对不会发生，而1表示事件一定会发生。
一般而言，概率越高，事件发生的可能性就越大。
二、随机事件的分类随机事件可以分为两类：离散型和连续型。
1. 离散型事件：指在有限个取值中取值的事件，例如抛硬币的结果只能是正面或反面。
2. 连续型事件：指在某个区间内取值的事件，例如一个人的身高可以是任意实数。
三、概率计算方法常见的概率计算方法有三种：古典概率、几何概率和统计概率。
1. 古典概率：也称为“理论概率”，适用于等可能性事件。
它的计算公式为：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的样本空间中的元素个数，n(S)表示样本空间中的总元素个数。
2. 几何概率：适用于随机事件的概率与其可能的取值范围的长度成正比的情况。
计算公式为：P(A) = 长度(A) / 长度(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，长度(A)和长度(S)分别表示事件A和样本空间S的长度。
3. 统计概率：也称为“频率概率”，基于大量重复试验的统计结果。
计算公式为：P(A) = lim(n->∞) (n(A) / n)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的次数，n表示试验的总次数。
四、概率计算的实例以下是几个概率计算的实例，以帮助更好理解概率的计算过程。
1. 抛硬币的概率假设我们有一枚公平的硬币，它的正反面出现的概率应该相等。
因此，抛一次硬币正反面的概率都是1/2。
2. 掷骰子的概率假设我们有一个六面骰子，每个面的概率都是1/6。
因此，掷一次骰子每个面出现的概率都是1/6。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
6 1 （3）所求的概率为P(B)= 216 36
答：在3次抛掷 中，向上的数之和为10的概率是
1 36
2.某人有5把钥匙，但忘记开房门的是哪能一把，逐把试开，
问：⒈恰好第三次打开房门锁的概率是多少？⒉三次内打 开房门锁的概率是多少？⒊如5把内有2把房门钥匙，三次 内打开的概率是多少？ 〔答：⒈ 1/5 ⒉ 3/5 ⒊ 9/10 〕 小结：求随机事件的概率时，首先对于在试验中出现的结果 的可能性认为是相等的；其次是通过一个比值的计算来确 定随机事件的概率，并不需要通过大量重复试验，因此， 从方法上来说这一节所提到的方法，要比上一节所提到方 法简便得多，并且具有实用价值。
（3）由于正方体玩具是均匀的，所以36种结果是 等可能出现的,记“向上的数之和是5”为A事件，则
4 1 P ( A) 36 9
答：抛掷 玩具2次，向上的数之和为5的概率是1/9。
练 1
习
一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数1、2、3、 4、5、6。将这个玩具先后抛掷3次，计算：（1）一共有 多少种不同的结果？（2）其中向上的数之和是5的结果有 多少种？（3）向上的数之和是5的概率是多少？ 解：（1）将正方体玩具抛掷一次，它落地时向上的数有6种 结果，根据分步计数原理，先后将这种玩具掷 3次 一共有6×6×6=216 种不同的结果 答：先后抛掷 正方体玩具3次， 一共有216种不同的结果。 （2）在上面所有结果中，向上的数之和为5的结果有 (1,2,2,).(2,1,2),(2,2,1);(3,1,1),(1,3,1),(1,1,3)这6种,
6 5· 4·
7 6
8 7
9 8
10 9 8
11 10 9 8 7 6
12 11
5 4
3 2 · 1
6 5
4 3 · 2
7 6
5 4 · 3
10 9
8 7
第一次抛掷后向上的数
3· 2·
1·
7
6 5 · 4
· 6 · 5
(2).其和为5共有2种组合1和4,2和3,组合结果 为(1,4). (4,1). (2,3). (3,2) 共4种;
又如抛掷一个骰子，它落地时向上的数的可能是 1， 2，3 ，4，5，6之一， 即可能出现的结果有6种．由于骰子是均匀的，可以认为这6种结果出现的可能 性都相等，即出现每一种结果的概率都是6分之一．这种分析与大量重复试验 的结果也是一致的．
现在进一步问：骰子落地时向上的数是3的倍数的概率是多少? 由于向上的数是 3， 6这2 种情形之一出现时，“向上的数是 3的 2 倍数”这一事件（记作事件A）发生，因此事件A的概率P(A 6) ＝ ＝⅓．
m 在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率 总是 n
三、概率的性质
0≤P(A)≤1, 必然事件的概率为1， 不可能事件的概率为0， 随机事件的概率大于0而小于1.
等可能性事件的概率
随机事件的概率，一般可以通过大量重复试验求得其近 似值．但对于某些随机事件，也可以不通过重复试验，而只 通过对一次试验中可能出现的结果分析来计算其概率． 例如，掷一枚均匀的硬币，可能出现的结果有：正面向 上，反面向上这2种．由于硬币是均匀的，可以认为出现这2 种结果的可能性是相等的．即可以认为出现“正面向上”的 概率是2分之一，出现“反面向上”的概率也是2分之一．这 与大量重复试验的结果黑2 黑1黑3 黑2黑3 A
答：共有6种不同的结果。
2 （2）从3个黑球摸出2个球，共有 C3 3 种不同结果。 答：从口袋内摸出2个黑球有3种不同的结果。 （3）由于口袋内4个球大小相等，从中摸出2个球的6种结 果是等可能的，所以从中摸出2个黑球的概率是
3 1 P ( A) 6 2
一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个 基本事件。 通常此试验中的某一事件 A 由几个基本事件组 成．如果一次试验中可能出现的结果有n个，即此试 验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性 都相等，那么每一个基本事件的概率都是 1 n ．如果 某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率P(A) ＝ m． n
答：从口袋内摸出2个黑球的概率是1/2
例4. 将骰子先后抛掷2次，计算： ⑴一共有多少种不同的结果？ ⑵其中向上的数之和是5的结果有多少种？ ⑶向上的数之和是5的概率是多少？ 解:(1)将骰子抛掷1次,落地出现的结果有 1,2,3,4,5,6,这6种情况,先后掷2次共有6╳6=36.
第 二 次 抛 掷 后 向 上 的 数
基本事件:
例如 :⑴现有 10个大小相同编号不同的球，其中红色球 6 个，黄色球3个，蓝色球1个．从中任取1个，取到每一个球的 可能性是相等的．由于是从10个球中任取1个，共有10种等可 能的结果．又由于其中有6个红色球，从这10个球中取到红色 6 3 球的结果有6种．因此，取到红色球的概率是 10 ，即 5 ．同理， 1 3 取到黄色球的概率 ，取到蓝色球的概率是 ． 10 10
等可能事件概率的计算方法：
⑴基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一 个基本事件。 如抛掷硬币的试验中，由2个基本事件组成。抛掷一个均 匀的正方体玩具试验中，由6个基本事件组成。 ⑵如果一次试验由n个基本事件组成，而且所有的基本事件 出现 的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1/n 。 ⑶如果一次试验中共有n种基本事件，而且所有的基本事件 出现的可能性都相等，其中事件A包含的结果有m种，那 么事件A的概率P（A）=m/n（m≤n） 在一次试验中，等可能出现的n个结果组成一个集合I，包含 m个结果的事件A对应于I的含有m个元素的子集A，则
A所包含的基本事件数 Card （A） mm P （= A） = ——————— = —— P（A ） ———————————— Card （I） 基本事件的总数 n n
例3：一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码 的3个黑球，从中摸出2个球，（1）共有多少种不同结果？ （2）摸出2个黑球有多少种不同结果？(3)摸出2个黑球的概 率是多少？ 解 （1）从装有4 个球的口袋内摸出2个球，共有 2 C4 6 种不同的结果。
随机事件的概率
等可能事件的概率
（一）
复习回顾
一.必然事件、不可能性事件、随机事件
1.在一定的条件下必然要发生的事件,叫必然事件; 2.在一定的条件下不可能发生的事件,叫不可能事件； 3.在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件,叫随机事件.
二、随机事件的概率
接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件 A的概率,记作P(A).