一元一次方程的讲义
《一元一次方程的应用》 讲义
《一元一次方程的应用》讲义一元一次方程是数学中的重要基础知识，在我们的日常生活和实际问题中有着广泛的应用。
通过建立一元一次方程，可以将一些看似复杂的问题转化为数学语言，从而找到解决问题的方法。
一、行程问题行程问题是一元一次方程常见的应用场景之一。
比如，甲乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲的速度为每小时 5 千米，乙的速度为每小时 4 千米，经过 3 小时两人相遇，求 A、B 两地的距离。
我们设 A、B 两地的距离为 x 千米。
甲走的路程为 5×3 ＝ 15 千米，乙走的路程为 4×3 ＝ 12 千米。
由于两人是相向而行，所以他们走过的路程之和等于两地的距离，即 15 ＋ 12 ＝ x，解得 x ＝ 27 千米。
再比如，一辆汽车以每小时 60 千米的速度从甲地开往乙地，4 小时后到达。
返回时由于路况不好，速度变为每小时 48 千米，求返回时需要的时间。
设返回时需要的时间为 x 小时。
根据路程相等，去时的路程为 60×4 ＝ 240 千米，返回的路程为 48x 千米，所以 48x ＝ 240，解得 x ＝ 5 小时。
二、工程问题工程问题也是经常用到一元一次方程的领域。
例如，一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成，两人合作需要多少天完成？设两人合作需要 x 天完成。
把这项工程的工作量看作单位“1”，甲每天的工作效率为 1/10，乙每天的工作效率为 1/15，两人合作每天的工作效率为 1/10 ＋ 1/15。
根据工作量＝工作效率×工作时间，可得（1/10 ＋ 1/15)x ＝ 1，解得 x ＝ 6 天。
又如，一个水池，有甲、乙两个进水管，单开甲管8 小时可以注满，单开乙管 12 小时可以注满，现在两管同时打开，多少小时可以注满水池？设 x 小时可以注满水池。
甲管每小时的注水量为 1/8，乙管每小时的注水量为 1/12，两管同时开每小时的注水量为 1/8 ＋ 1/12，所以（1/8 ＋ 1/12)x ＝ 1，解得 x ＝ 48 小时。
(完整)一元一次方程复习讲义
一元一次方程复习讲义1．方程的有关概念2．等式的基本性质3．解一元一次方程的基本步骤：4.应用一元一次方程解决实际问题的一般步骤（1)审 （2）找 （3）设 （4)列 (5）解 （6）验 （7）答1．下列方程是一元一次方程的有哪些? x+2y=9 x 2－3x=111=x x x 3121=- 2x=1 3x –5 3+7=10 x 2+x=12、解下列方程:⑴ 103.02.017.07.0=--x x ⑵16110312=+-+x x⑶03433221=-+++++x x x ⑷2362132432⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+--x x x x x(5)｜5x 一2｜＝33、8=x 是方程a x x 2433+=- 的解，又是方程 ()[]b x b x x x +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---913131的解，求 b4、小张在解方程1523=-x a （x 为未知数)时，误将 - 2x 看成 2x 得到的解为3=x ，请你求出原来方程的解5、已知关于x 的方程 ()()x n x m 121232+=-+无穷多解，求m 、n1、(本题7分）按要求完成下面题目：323221+-=--x x x解:去分母，得424136+-=+-x x x ……① 即 8213+-=+-x x ……②移项，得 1823-=+-x x ……③合并同类项，得 7=-x ……④∴ 7-=x ……⑤上述解方程的过程中，是否有错误？答：__________；如果有错误，则错在__________步。
如果上述解方程有错误,请你给出正确的解题过程：2、（本题7分）请阅读下列材料:让我们来规定一种运算：bcad dc ba -=，例如：5432=2×5－3×4=10－12=－2. 按照这种运算的规定，若2121x x-=23，试用方程的知识求x 的值。
3、检修一处住宅区的自来水管,甲单独完成需要14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需要12天。
一元一次方程教学课件
解的实际意义
总结词
解的实际意义是指解在现实生活中的应用价 值。
详细描述
一元一次方程通常用于解决实际问题，如路 程、速度和时间的关系，商品价格和销售量 的关系等。因此，解必须具有实际意义，能 够解释现实生活中的现象和问题。同时，解 的实际意义也有助于学生更好地理解和应用
一元一次方程。
THANKS
总结词
解的唯一性是一元一次方程的重要特性，确 保方程只有一个解。
详细描述
一元一次方程只有一个解，这是由于方程中 的变量只受一个等式约束。解的唯一性是方 程的基本属性，也是判断方程解的标准。
解的合理性
总结词
解的合理性是指解必须符合实际情况和数学原理。
详细描述
在求解一元一次方程时，得到的解必须符合实际情况和数学原理。例如，如果方程涉及 到距离、速度或时间等物理量，解必须符合物理定律。此外，解不能是负数、分数或无
谢谢
试值法
总结词
通过尝试不同的数值代入方程，找到满 足方程的解。
VS
详细描述
对于一些特殊的一元一次方程，可以通过 尝试不同的数值代入方程，找到满足方程 的解。例如，对于形如 (ax + b = 0) 的方 程，可以尝试将不同的数值代入x，找到满 足方程的解。
05
CHAPTER
一元一次方程的注意事项
解的唯一性
详细描述
对于一些简单的一元一次方程，可以通过观察方程的形式，直接得出方程的解，无需进行复杂的计算。例如，对 于形如 (ax = b) 的方程，可以直接得出解为 (x = frac{b}{a})（当a≠0）。
代数法
总结词
通过对方程进行变形，将其转化为标准形式，然后求解。
详细描述
(完整版)一元一次方程讲义
去分母，得;根据等式的性质（ ）
去括号，得；
移 项,得;根据等式的性质（ ）
合并同类项，得；
系数化为 ,得；根据等式的性质（ ）
【例10】解方程：
（3）含有多层括号的一元一次方程的解法
【例11】解方程：
（4）一元一次方程的技巧解法
【例12】解方程：
五、一元一次方程的实际应用
（一）行程问题：
最简形式：方程 （ ， ， 为已知数）叫一元一次方程的最简形式．
注意：
（1）任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证，如方程 是一元一次方程。如果不变形，直接判断就出会现错误。
(2）方程 与方程 是不同的，方程 的解需要分类讨论完成.
教学准备
课本,5年中考3年模拟,历年中考真题
教学过程
知识详解
一、等式的概念和性质小四
1、等式的概念
楷体五号用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式。
在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边。等式可以是数字算式,可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则。号
2、等式的性质
注意：定义中含有两层含义，即:方程必定是等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必定有一个
待确定的数即未知的字母,二者缺一不可。
2、方程的次和元
楷体五号方程中未知数的最高次数称为方程的次，方程中不同未知数的个数称为元.号
3、方程的已知数和未知数
楷体五号已知数：一般是具体的数值，如 中（ 的系数是1，是已知数．但可以不说）。5和0
【例06】下列各式中:① ；② ；③ ;④ ；⑤ ；⑥ ;⑦ ；⑧ 。哪些是一元一次方程?
《一元一次方程》 讲义
《一元一次方程》讲义一、什么是一元一次方程在数学的世界里，一元一次方程是我们解决许多实际问题的有力工具。
那到底什么是一元一次方程呢？一元一次方程指的是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1 的整式方程。
举个简单的例子，像 3x ＋ 5 ＝ 14 就是一个一元一次方程。
在这个方程中，只有一个未知数 x，而且 x 的最高次数是 1。
为了更清楚地理解一元一次方程，我们需要明白几个关键的概念。
首先是“元”，它表示未知数的个数；“次”则表示未知数的最高次数。
所以，“一元”就是一个未知数，“一次”就是未知数的最高次数是 1。
二、一元一次方程的形式一元一次方程的一般形式是：ax ＋ b ＝ 0（其中 a、b 是常数，且 a ≠ 0）。
在这个一般形式中，a 被称为方程的系数，x 是未知数，b 则是常数项。
例如，在方程 2x 7 ＝ 0 中，2 是系数，－7 是常数项。
需要注意的是，当 a ＝ 0 时，方程就不再是一元一次方程了。
比如0x ＋ 5 ＝ 0，因为 0x 等于 0，这个方程实际上就变成了 5 ＝ 0，这显然是不成立的。
三、一元一次方程的解法接下来，我们来学习如何解一元一次方程。
解一元一次方程的基本步骤可以概括为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。
（一）去分母如果方程中各项的分母不同，我们需要先找到分母的最小公倍数，然后将方程两边同时乘以这个最小公倍数，把分母去掉。
例如，方程（x ＋ 1) ／ 2 ＋（x 1) ／ 3 ＝ 6 ，分母 2 和 3 的最小公倍数是 6 ，方程两边同时乘以 6 ，得到 3(x ＋ 1) ＋ 2(x 1) ＝ 36 。
（二）去括号如果方程中有括号，我们需要运用乘法分配律把括号去掉。
比如，在方程 3(x ＋ 5) 2(2x 1) ＝ 10 中，去括号得到 3x ＋ 15 4x ＋ 2 ＝ 10 。
（三）移项把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边。
一元一次方程讲义
一元一次方程一、等式及其性质1、等式用等号表示相等关系的式子叫等式。
如：m+n=n+m,x+2x=3,3×3+1=5×2,3x+1=5y,等等。
注意：等式中一定含有等号。
2、等式的性质等式性质1 等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等。
a=b ，那么a ±c=b ±c等式性质2 等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
a=b ，那么ac=bc ；如果a=b ，那么a ／c=b ／c （c ≠０）。
注意：①等式两边除以一个数时，这个数必须不为０；②对等式变形必须同时进行，且是同一个数或式。
思考：回答下列问题：（１）从a+b=b+c ，能否能到a=c ，为什么？（2） 从a-b=b-c ，能否能到a=c ，为什么？（3） 从ab=bc ，能否能到a=c ，为什么？（4） 从a/b=c/b ，能否能到a=c ，为什么？（5）从xy=1，能否能到x=1/y ，为什么？二、解一元一次方程的步骤：①去分母； ⇐（没有分母的项不要漏乘；去掉分数线，同时要把分子加上括号） ②去括号； ⇐（当括号外面是负号，去掉括号后，要注意变号）③移项； ⇐（移项要注意变号）④合并同类项； ⇐（如果方程中有同类项，一定要合并同类项）⑤系数化为1； ⇐（记得每一项都要除系数） 例：解一元一次方程3122133---=+x x x三、一元一次方程解的实际应用1、列方程解应用题的步骤（1）审：明确已知什么，求什么及基本关系。
找出能表示题目全部含义的相等关系（2）设：设未知数。
可直接设，也可间接设，要尽量使列出的方程简单。
①直接设未知数：题目求什么就设什么。
②间接设未知数：设的未知数不是题目直接求的量。
③设辅助未知数：所设未知数仅作为题目中量与量之间关系的桥梁，它在解方程的过程中会自然消去（3）列：根据等量关系列方程。
（4）解：解方程（5）验：检验方程的解和解是否符合实际问题。
《一元一次方程的应用》 讲义
《一元一次方程的应用》讲义一元一次方程是数学中的重要基础知识，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
掌握一元一次方程的应用，不仅能够提高我们的数学解题能力，还能培养我们用数学思维解决生活中各种问题的能力。
一、一元一次方程的基本概念在深入探讨一元一次方程的应用之前，我们先来回顾一下一元一次方程的基本概念。
一元一次方程指的是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1 的整式方程。
其一般形式为：＄ax ＋ b ＝ 0$（其中$a$，＄b$为常数，且$a ≠ 0$）。
例如：＄3x ＋5 ＝14$就是一个一元一次方程，其中$x$是未知数，＄3$是$x$的系数，＄5$是常数项。
二、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤为：1、去分母（如果方程中有分母）：在方程两边同时乘以各分母的最小公倍数，去掉分母。
2、去括号：运用乘法分配律去掉括号。
3、移项：将含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边，注意移项要变号。
4、合并同类项：将方程化为$ax ＝ b$的形式。
5、系数化为 1：在方程两边同时除以未知数的系数$a$，得到方程的解$x ＝＼frac{b}｛a}＄。
例如，解方程$2(x 3) ＋ 3 ＝ 5 （x ＋ 1)＄：首先去括号：＄2x 6 ＋ 3 ＝ 5 x 1$然后移项：＄2x ＋ x ＝ 5 1 ＋ 6 3$合并同类项：＄3x ＝ 7$系数化为 1：＄x ＝＼frac{7}｛3}＄三、一元一次方程在行程问题中的应用行程问题是一元一次方程常见的应用场景之一。
基本公式：路程＝速度×时间例如，甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。
甲的速度为每小时5 千米，乙的速度为每小时4 千米，经过3 小时两人相遇。
问 A、B 两地的距离是多少？设 A、B 两地的距离为$x$千米。
甲行驶的路程为$5×3 ＝ 15$千米，乙行驶的路程为$4×3 ＝ 12$千米。
由于两人相向而行，所以他们行驶的路程之和等于 A、B 两地的距离，即$15 ＋ 12 ＝ x$解得$x ＝ 27$千米。
一元一次方程 讲义
【一元一次方程 讲义】第一节 一元一次方程1．一元一次方程的有关概念一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，这样的方程叫做一元一次方程. 训练题：1.判断下列各式哪些是一元一次方程：（1）43x=21； （2）3x －2； （3）71y －51=32x －1； （4）5x 2－3x+1； （5）3x+y=1－2y ； （6）1－7y 2=2y. 2.若关于x 的方程3x3a+1－5=0是一元一次方程，则a=＿＿＿＿.3.写出一个解是－2的一元一次方程为＿＿＿＿.4.若2x －a=3,则2x=3+＿＿,这是根据等式的性质1,在等式两边同时＿＿. 若－6a=4.5,则＿＿＿=－1.5,这是根据等式的性质,在等式两边同时＿＿ ＿＿___.5.下列方程中以x=21为解的是（ ） A.－2x=4 B.－2x －1=－3 C.－21x －1=－43 D.－21x+1=43 6.已知5a －3b －1=5b －3a ，利用等式的性质比较a 、b 的大小.7.某钢铁厂今年5月份的某种钢产量是50吨，预计6月份产量是a 吨，比5月份增长x%，那么a 是（ ）A.50（1+x%）B.50x%C.50+x%D.50（1+x ）%8.已知关于x 的方程5x+3k=24的解为3，求k 2－1+k 的值9.利用等式性质解方程：－23x+3=－10.10.服装厂用355米布做成人服装和儿童服装,成人服装每套平均用布3.5米,儿童每套平均用布1.5米,现在已做了80套成人服装,用余下的布还可以做几套儿童服装?直通中考下列方程是一元一次方程的是（ ）．A ．-5x+4=3y 2B ．5（m 2-1）=1-5m 2C ．2-145n n -= D ．5x-32.解一元一次方法（1）等式的基本性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式。
用字母表示若a=b ，则a+m=b+m ,a-m=b-m（2）等式的两边都乘以同一个数或都除以同一个数（除数不为0），所得的 结果仍是等式.用字母表示：若a=b,则am=bm,n a =nb(n 不为0)（2）解一元一次方程的基本步骤：例1、解方程 （1）y-52221+-=-y y例2、由两个方程的解相同求方程中子母的值已知方程104x x =-的解与方程522x m +=的解相同，求m 的值.例3 、解方程知识与绝对值知识综合题型 解方程：73|12|=-x 训练题： 1.在1,－2,21这三个数中,是方程7x+1=10－2x 的解的是＿＿＿＿. 2.当k=＿＿＿＿时,方程5x －k=3x+8的解是－2. 3.若代数式21-x +612x +与31-x +1的值相等,则x=＿＿＿＿. 4.如果2x5a －4－3=0是关于x 的一元一次方程,那么a=＿＿＿＿,此时方程的解是＿＿＿＿.5.如果x ＝－2是方程3x ＋5＝4x －m 的解，那么m 2＝＿＿＿＿. 6.解方程:5x-|x|=8.7.今年儿子13岁,父亲40岁,多少年后父亲的年龄是儿子年龄的2.5倍?8.一群小孩分一堆梨,1人1个多1个,1人两个少2个,问有几个小孩、几个梨?9.一个三位数，三个数位上的和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的3倍，求这个三位数.10.某市居民生活用电基本价格为每度0.40元，若每月用电量超过a 度，超出部分按基本电价的70%收费.（1）某户五月份用电84度，共交电费30.72元，求a.（2）若该户六月份的电费平均为每度0.36元，求六月份共用电多少度？应交电费多少元？ 直通中考[2010年辽宁中考]已知关于x 的方程ax ＋2＝2（a －x ），它的解满足|x ＋21|＝0，则a ＝＿。
一元一次方程复习讲义
第三章一元一次方程复习讲义知识点1．等式：用“=”号连接而成的式子叫等式.2．等式的性质：等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个不为零的数，所得结果仍是等式.例1(1)怎样从等式x-5=y-5得到等式x=y?(2)怎样从等式3+x=1得到等式x=-2?(3)怎样从等式4x=12得到等式x=3?例2利用等式的性质解下列方程：(1)x+7=26(2)-5x=203．方程：只含有一个未知数，未知数的次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.4．方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”！5．移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1. 6．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.7.一元一次方程的标准形式：ax+b=0(x是未知数，a、匕是已知数，且aW0).8．一元一次方程解法的一般步骤：化简方程分数基本性质去分母同乘(不漏乘)最简公分母去括号先去小括号,再去中括号,最后去大括号.依据是去括号法则和乘法分配律，注意符号变化移项把含有未知数的项移到一边,常数项移到另一边.“过桥变号”，依据是等式性质一合并同类项将未知数的系数相加，常数项相加.依据是乘法分配律合并后注意符号系数化为1在方程的两边除以未知数的系数.依据是等式性质二.例1解下列方程[1]用合并同类项的方法解一元一次方程(1)2x-£%=6-8;(2)7x—2.5x+3x-1.5x=-15x4—6x3.[2]用移项的方法解一元一次方程(1)7-2x=3-4x(2)4x+10=6x[3]利用去括号解一元一次方程去括号法则：去掉“+()”，括号内各项的符号不变.去掉“-()”，括号内各项的符号改变.用三个字母a、b、c表示去括号前后的变化规律：a+(b+c)=a+b+ca-(b+c)=a—b—c(1)2x-(x+10)=5x+2(x—1)(2)3x—7(x—1)=3—2(x+3)[4]利用去分母解一元一次方程(总结：像上面这样的方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化为整数，则可以使解方程中的计算更方便些.)2x+2x+7x+x=33(2)3x+x-1=3-2x-1(1)^要点归纳1.去分母时，应在方程的左右两边乘以分母的最小公倍数；2.去分母的依据是等式性质2，去分母时不能漏乘没有分母的项；3.去分母与去括号这两步分开写，不要跳步，防止忘记变号.10．列一元一次方程解应用题：(1)读题分析法:多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出 未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.（2）画图分析法:…………多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.11.列方程（组）的应用题的一般步骤：审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．设：设未知数，设其中某个未知量为x.列：根据题意寻找等量关系列方程．解：解方程．验：检验方程的解是否符合题意．答：写出答案（包括单位）．［注意］审题是基础，找等量关系是关键.11．解实际应用题：知识点1:市场经，^、打折销售问题（1）商品利润=商品售价一商品成本价（3）商品销售额=商品销售价X 商品销售量（4）商品的销售利润=（销售价一成本价）X 销售量例1一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?变式1.某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为960元.其中一台盈利20%，另一台亏损20%.这次琴行是盈利还是亏损，或是不盈不亏？例2一件服装先将进价提高25%出售，后进行促销活动，又按标价的8折出售,此时售价为60元.请问商家是盈是亏，还是不盈不亏？例3.某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出 售，但又要保证利润率不低于5%,那么商店最多可打几折出售此商品？（2） 商品利润率= 商品利润 商品成本价X 100%例4.某商场国庆节搞促销活动，购物不超过200元不给优惠，超过200元但不超过500元的优惠10%，超过500元，其中500元按9折优惠，超过的部分按8折优惠。
《一元一次方程的应用》 讲义
《一元一次方程的应用》讲义一、一元一次方程的基本概念在数学的世界里，一元一次方程就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们解决许多实际问题。
那么，什么是一元一次方程呢？一元一次方程指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 1 的整式方程。
一般形式为：ax ＋ b ＝ 0（其中 a、b 为常数，a ≠ 0）。
例如：3x ＋ 5 ＝ 11 就是一个一元一次方程，其中 x 是未知数，3是 x 的系数，5 是常数项。
二、一元一次方程的解法解一元一次方程的主要步骤包括：1、去分母：如果方程中有分母，要乘以分母的最小公倍数，将分数化为整数。
2、去括号：运用乘法分配律去掉括号。
3、移项：将含有未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边，注意移项要变号。
4、合并同类项：将同类项进行合并。
5、系数化为1：等号两边同时除以未知数的系数，得到方程的解。
例如，解方程：（2x ＋ 1) ／ 3 （5x 1) ／ 6 ＝ 1首先，去分母，两边同时乘以 6，得到：2(2x ＋ 1) （5x 1) ＝ 6然后，去括号：4x ＋ 2 5x ＋ 1 ＝ 6接着，移项：4x 5x ＝ 6 2 1合并同类项：x ＝ 3最后，系数化为 1，两边同时除以－1：x ＝－3三、一元一次方程在实际问题中的应用1、行程问题行程问题中，速度、时间和路程之间有着密切的关系。
基本公式为：路程＝速度×时间。
例如：小明骑自行车以每小时 15 千米的速度从 A 地到 B 地，用了3 小时。
返回时速度变为每小时 10 千米，问返回时用了多长时间？设返回时用了 x 小时，根据路程相等，可列出方程：10x ＝ 15×3解得 x ＝ 45所以返回时用了 45 小时。
2、工程问题工程问题中，工作效率、工作时间和工作量之间的关系是：工作量＝工作效率×工作时间。
例如：一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成。
两人合作需要多少天完成？设两人合作需要 x 天完成，将工作总量看作单位“1”，则甲的工作效率为 1/10，乙的工作效率为 1/15。
一元一次方程 课件ppt
图像法
定义：图像法是一种通过绘制函数图像来解一元一次方 程的方法。 1. 确定函数：根据方程的形式确定表示该方程的函数。
3. 标记解：在图像上标记交点的坐标，即为方程的解。
型，例如成本、价格、利润等问题的计算。
物理问题的数学模型建立
03
在物理领域中，一元一次方程可以用于建立各种问题的数学模
型，例如速度、加速度、时间等问题的计算。
04
一元一次方程的变式
移项
概念
移项是将方程中的项改变符号后 移动到另一边的过程。
目的
通过移项，将方程中的未知数系 数变为正数，以便更容易求解。
步骤
2. 绘制图像：绘制函数的图像，将坐标轴上的交点作 为方程的解。
例子：例如，解方程 x + 2 = 5，确定函数为 y = x + 2，绘制图像后，交点为 (3,5)，因此方程的解为 x = 3 。
实际应用法
定义：实际应用法是一种通过实际应用案例来解一元一次 方程的方法。
步骤
1. 分析问题：分析实际问题中涉及到的变量和关系。
2. 建立方程：根据实际问题建立一元一次方程。
3. 解方程：通过解方程得到未知数的值，解决实际问题 。
例子：例如，解方程 3x + 2 = 14，分析问题为求解 x 的 值使得 3x + 2 = 14，建立方程为 3x + 2 = 14，解方程 得 x = 4。因此，x 的值为4。
03
一元一次方程的应用
THANKS
感谢观看
06
一元一次方程的注意事项和易错点
《一元一次方程的应用》 讲义
《一元一次方程的应用》讲义一、一元一次方程的基本概念首先，咱们来了解一下啥是一元一次方程。
简单说，一元一次方程就是含有一个未知数，并且这个未知数的次数是 1 的等式。
比如 3x ＋5 ＝ 17 ，这里只有一个未知数 x ，而且 x 的次数是 1 。
一元一次方程一般的形式是：ax ＋ b ＝ 0 （其中 a 、 b 是常数， a ≠ 0 ）。
在解决实际问题时，我们经常需要通过设未知数、找等量关系来列出一元一次方程。
二、一元一次方程在行程问题中的应用行程问题是一元一次方程常见的应用场景之一。
比如说，小明骑自行车以每小时 15 千米的速度去某地，回来时因为逆风，速度变成了每小时 10 千米，去的时候用了 3 小时，问回来用了多长时间？咱们可以设回来用的时间为 x 小时。
去的路程＝回来的路程，根据路程＝速度×时间，去的时候速度是 15 千米/小时，时间是 3 小时，所以路程是 15×3 ＝ 45 千米。
回来的速度是 10 千米/小时，时间是 x 小时，路程就是 10x 千米。
那么就可以列出方程： 10x ＝ 45 ，解得 x ＝ 45 ，所以回来用了 45 小时。
再比如，甲乙两人同时从 A 、 B 两地相向而行，甲的速度是每小时 8 千米，乙的速度是每小时 6 千米， 3 小时后两人相遇，问 A 、 B 两地相距多远？设 A 、 B 两地相距 x 千米。
甲走的路程＋乙走的路程＝总路程，甲 3 小时走的路程是 8×3 ＝24 千米，乙 3 小时走的路程是 6×3 ＝ 18 千米。
方程就是： 24 ＋ 18 ＝ x ，解得 x ＝ 42 千米， A 、 B 两地相距 42 千米。
三、一元一次方程在工程问题中的应用工程问题也是常考的类型。
比如一项工程，甲单独做 10 天完成，乙单独做 15 天完成，两人合作需要几天完成？设两人合作需要 x 天完成。
把这项工程的工作量看成单位“ 1 ”，甲每天的工作效率就是 1/10 ，乙每天的工作效率就是 1/15 。
一元一次方程的基础解法-讲义(学生版)
一元一次方程的基础解法一、课堂目标1．掌握移项、去分母、去括号的依据，会用移项和合并同类项、去括号、去分母等手段解一元一次方程．2．掌握解一元一次方程的一般步骤，能熟练准确的解方程．二、知识引入前面我们学过等式的性质：等式性质——如果，那么．等式性质——如果，那么；如果（），那么．也能用等式的性质解简单的一元一次方程，例如，①解方程；②解方程．三、知识讲解1. 解方程——移项、合并同类项解方程解：两边加，得这个过程也可以看成把原方程左端的常数项移动到方程右端、得，此时这项在等号右端变成符号（ →）；像上面这样把等式一边某一项变号后移到另一边叫做移项，所以我们可以用移项这个手段来解形如的一元一次方程．【注意】移项要变号．解方程解：两边减 ，得这个过程也可以看成把原方程左端的未知数项 移动到方程右端、得 ，此时这项在等号右端变成符号（ →）．再比如，解方程 ，观察到这个方程两边都有含未知数项和常数项，因此【总结】解形如 的一元一次方程的一般步骤为：移项→合并同类项→系数化．经典例题11.已知关于的方程的解是，那么．思路梳理知识点：1、2、3、A. B.C.D.2.方程移项后，正确的是（ ）．思路梳理知识点：1、2、3、题目练习1A. B. C.D.1.对方程合并同类项正确的是（）．（1）（2）（3）（4）2.给下列各方程移项：： ．：．： ．：．A. B. C. D.3.若，则的值是（）．经典例题2解关于的方程：．思路梳理知识点：1、2、3、 题目练习21.解方程：．2.解方程：．（1）3.解方程：．4.当 时，代数式与的值互为相反数．2. 解方程——去括号接下来看这个方程．观察发现这个方程多了带括号的成分，因此【总结】解带括号的一元一次方程的一般步骤：去括号→移项→合并同类项→系数化．经典例题3阅读下列解方程的过程，回答问题：，去括号，得： ①，移项，得： ②，合并同类项，得： ③，系数化为， 得： ④，上述过程中，第 步计算出现错误，其错误原因是 ，第②步的数学依据是．思路梳理知识点：1、2、3、题目练习3A.由 得B.由 得C.由得 D.由得1.下列方程去括号正确的是（）．。
《一元一次方程的解法》 讲义
《一元一次方程的解法》讲义一、什么是一元一次方程在数学的世界里，一元一次方程是我们经常会遇到的一个重要概念。
那什么是一元一次方程呢？简单来说，一元一次方程就是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程。
例如：3x ＋ 5 ＝ 17 ， 2y 8 ＝ 10 ，这些都是一元一次方程。
它的一般形式可以表示为：ax ＋ b ＝ 0 （其中 a、b 为常数，且a ≠0 ）。
二、为什么要学习一元一次方程的解法学习一元一次方程的解法有着非常重要的意义。
首先，它是解决实际问题的有力工具。
在我们的日常生活中，很多问题都可以通过建立一元一次方程来解决。
比如计算购物时的折扣、计算行程中的速度和时间等。
其次，它为我们后续学习更复杂的数学知识打下了坚实的基础。
像二元一次方程、一元二次方程等，如果我们能够熟练掌握一元一次方程的解法，那么在学习这些新知识时就会更加轻松。
三、一元一次方程的解法步骤接下来，让我们详细了解一下一元一次方程的解法步骤。
1、去分母如果方程中存在分数，我们需要先去分母。
方法是在方程两边同时乘以分母的最小公倍数。
例如，方程：（x ＋ 1) ／ 2 ＋（x ＋ 2) ／ 3 ＝ 5 。
分母 2 和 3 的最小公倍数是 6 ，所以方程两边同时乘以 6 ，得到：3(x ＋ 1) ＋ 2(x ＋ 2) ＝ 302、去括号去掉方程中的括号，运用乘法分配律将括号外的数乘以括号内的每一项。
对于上面的例子，去括号后得到：3x ＋ 3 ＋ 2x ＋ 4 ＝ 303、移项把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边。
继续上面的例子，移项后得到：3x ＋ 2x ＝ 30 3 44、合并同类项将方程中相同类型的项进行合并。
上式合并同类项后得到：5x ＝ 235、系数化为 1在方程两边同时除以未知数的系数，得到方程的解。
继续上面的例子，方程两边同时除以 5 ，得到：x ＝ 23 ／ 5四、例题讲解为了让大家更好地掌握一元一次方程的解法，我们来看几个具体的例题。
《一元一次方程》课件
一元代表方程中只有一个未知数 ，一次代表未知数的指数为1，即 未知数为线性关系。
方程形式
标准形式
ax + b = 0（a ≠ 0）
特殊形式
a = 0 或 b = 0 或 ax + b = c（c 为常数）
方程解的概念
01
02
03
解的概念
满足方程的未知数的值称 为方程的解。
解的求法
通过移项、合并同类项、 系数化为1等步骤求解。
PART 03
一元一次方程的应用
代数式与方程的关系
代数式
由数字、字母通过有限次加、减 、乘、乘方运算得到的数学表达
式。
方程
含有未知数的等式，通过等号连接 。
关系
方程是代数式的一种特殊形式，用 于表示未知数与已知数之间的关系 。
实际问题中的一元一次方程
购物问题
速度与时间问题
如“买x个苹果，每个苹果y元，共花 费z元”，可以建立一元一次方程 z = x × y。
a。
利润问题
某商品进价为p元，售价为q元， 利润为r元，可以建立一元一次
方程 r = q - p。
时间与速度问题
某人在路上行走，从起点到终点 需要的时间为t小时，行走的距 离为d公里，可以建立一元一次
方程 d = v × t。
PART 04
一元一次方程的解法技巧
观察法
总结词
通过观察方程的形式，直接得出解的方法。
图解法
总结词
通过绘制数轴上的点来表示方程的解的 方法。
VS
详细描述
对于一些一元一次方程，可以通过在数轴 上绘制点来表示方程的解。例如，对于形 如 (x - 3 = 0) 的方程，可以在数轴上找 到表示 (3) 的点，该点即为方程的解。这 种方法直观易懂，适用于一些简单的一元 一次方程。
《一元一次方程》 讲义
《一元一次方程》讲义一、什么是一元一次方程在数学的世界里，一元一次方程就像是一座基础的桥梁，连接着各种数学知识和实际问题。
那到底什么是一元一次方程呢？一元一次方程，简单来说，就是含有一个未知数，并且这个未知数的最高次数是 1 的等式。
比如，“3x ＋ 5 ＝14”就是一个典型的一元一次方程，其中“x”是未知数，只有一个，而且“x”的次数是 1。
这个定义虽然听起来简单，但它却有着非常重要的作用。
它能够帮助我们解决很多生活中的实际问题，比如计算购物时的折扣、计算行程中的速度和时间等等。
二、一元一次方程的形式一元一次方程一般可以写成“ax ＋ b ＝0”的形式，其中“a”和“b”是常数，“a”不能为 0 ，“x”是未知数。
当“a ＝1”，“b ＝－5”时，方程就是“x 5 ＝0”；当“a ＝2”，“b ＝3”时，方程就是“2x ＋ 3 ＝0”。
这种形式可以让我们更清楚地看到方程中各项的系数和常数，方便我们进行计算和分析。
三、一元一次方程的解既然有方程，那就必然有解。
那么，什么是一元一次方程的解呢？一元一次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值。
比如说，对于方程“2x ＋ 3 ＝7”，我们通过计算可以得出“x ＝2”，把“x ＝2”代入方程中，左边等于“2×2 ＋ 3 ＝7”，右边也是 7，方程左右两边相等，所以“x ＝2”就是这个方程的解。
那怎么求解一元一次方程呢？四、求解一元一次方程的步骤求解一元一次方程一般有以下几个步骤：1、去分母如果方程中存在分数，我们可以通过在等式两边同乘各分母的最小公倍数来去掉分母。
比如方程“（x ＋ 1)／2 ＋（x 1)／3 ＝6”，分母 2 和 3 的最小公倍数是 6，所以在等式两边同乘 6，得到“3(x ＋ 1) ＋ 2(x1) ＝36”。
2、去括号运用乘法分配律去掉括号。
对于上面得到的方程“3(x ＋ 1) ＋ 2(x 1) ＝36”，去括号后变为“3x ＋ 3 ＋ 2x 2 ＝36”。
《一元一次方程的解法》 讲义
《一元一次方程的解法》讲义一元一次方程是数学中的一个重要基础知识，它在解决实际问题和进一步学习数学知识中都有着广泛的应用。
掌握一元一次方程的解法对于我们提高数学解题能力和思维能力都非常关键。
一、一元一次方程的定义只含有一个未知数（元），未知数的次数都是 1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。
一般形式为：＄ax ＋ b ＝0$（＄a$，＄b$为常数，＄a≠0$）。
例如：＄3x ＋ 5 ＝ 11$，＄05x 7 ＝ 2$ 都是一元一次方程。
二、等式的基本性质在学习一元一次方程的解法之前，我们先来复习一下等式的基本性质，这是解方程的重要依据。
性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立。
例如：如果$x ＝ 5$，那么$x ＋ 3 ＝ 5 ＋ 3$，＄x 2 ＝ 5 2$。
性质 2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为 0 的数，等式仍然成立。
例如：如果$2x ＝ 6$，那么$2x × 2 ＝ 6 × 2$，＄2x ÷ 2 ＝ 6 ÷ 2$。
三、一元一次方程的解法步骤1、去分母如果方程中有分母，我们要先去分母。
方法是在方程两边同时乘以各分母的最小公倍数。
例如：方程$＼frac{x}｛2} ＋＼frac{x}｛3} ＝ 6$，分母 2 和 3 的最小公倍数是 6，方程两边同时乘以 6 得到：＄6 ×＼frac{x}｛2} ＋ 6 ×＼frac{x}｛3} ＝ 6 × 6$＄3x ＋ 2x ＝ 36$2、去括号如果方程中有括号，要运用乘法分配律去括号。
例如：方程$2(x ＋ 3) ＝ 10$，去括号得：＄2x ＋ 6 ＝ 10$3、移项把含未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边，移项要变号。
例如：方程$3x ＋ 5 ＝ 11 2x$，移项得：＄3x ＋ 2x ＝ 11 5$4、合并同类项将方程中同类项合并，化简方程。
第22课一元一次方程(学生版)七年级数学上册讲义(浙教版)
第22课一元一次方程目标导航学习目标1.进一步认识方程及其解的概念.2.理解一次方程的概念，会根据简单数量关系列一元一次方程.3.体验用尝试、检验解一元一次方程的思想与方法.知识精讲知识点01 方程及一元一次方程的概念(1)方程是指含有未知数的等式．(2)只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次，这样的方程叫做一元一次方程．知识点02 方程的解1.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．2.使一元一次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫做方程的根.3.对于一些较简单的方程，可以确定未知数的一个较小的取值范围,逐一将这些可取的值代人方程进行会试检验，能使方程两边相等的未知数的值就是方程的解.这种尝试检验的方法是解决问题的一种重要的方法.能力拓展考点01 方程及一元一次方程的概念【典例1】下列方程中，属于一元一次方程的是（）A．2y﹣3x＝5 B．y﹣3＝5y+1 C．x﹣3＝D．y2﹣2y+3＝0【即学即练1】已知方程（m+1）x|m|+3＝0是关于x的一元一次方程，则m的值是（）A．±1 B．1 C．﹣1 D．0或1考点02 方程的解【典例2】下列方程中，以x＝﹣1.5为解的方程是（）A．2x＝3 B．3x＝x+3 C．x＝3x+3 D．x＝3x﹣3【即学即练2】若﹣2是关于x的方程3x+4＝﹣a的解，则a100﹣＝．考点03 根据简单数量关系列一元一次方程【典例3】某商品因换季准备打折销售，如果按定价的七五折出售，将亏本35元，而按定价的九五折出售，将赚25元．设这种商品的定价为x元，可列方程为（）A．75%x﹣35＝95%x+25 B．75%x+35＝95%x+25C．75%x﹣35＝95%x﹣25 D．75%x+35＝95%x﹣25【即学即练3】今年父亲的年龄是儿子的5倍，5年前父亲的年龄是儿子的15倍，设今年儿子的年龄为x，可得方程（）A．5x﹣5＝15（x﹣5）B．5x+5＝15（x﹣5）C．5x﹣5＝15（x+5）D．5x+5＝15（x+5）分层提分题组A 基础过关练1.下列方程中是一元一次方程的是（）A．x﹣1＝2x B．＝2 C．x+3＝y+2 D．x2﹣1＝02.已知x＝5是方程ax﹣8＝20+a的解，则a的值是（）A．2 B．3 C．7 D．83.将一些课外书分给某班学生阅读，若每分2本，则剩余35本，若每人分4本，则还差25本，设这个班共有x名学生，则可列方程（）A．2x+35＝4x+25 B．2x+35＝4x﹣25C．2x﹣35＝4x+25 D．35+2x＝25﹣4x4.方程2+▲＝3x，▲处被墨水盖住了，已知方程的解是x＝2，那么▲处的数字是．5.已知x＝1是方程3x﹣m＝x+2n的一个解，则整式m+2n+2020的值为．6.已知关于x的方程（m+3）x|m+4|+18＝0是一元一次方程，试求：（1）m的值；（2）2（3m+2）﹣3（4m﹣1）的值．题组B 能力提升练7.已知下列方程：①3x＝6y；②2x＝0；③＝4x+x﹣1；④x2+2x﹣5＝0；⑤3x＝1；⑥﹣2＝2．其中一元一次方程的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个8.已知b是关于x的方程（1﹣2ax）＝2x+1的解，则2020﹣4ab﹣8b的值为．9.关于x的方程a﹣3x＝bx+2是一元一次方程，则b的取值情况是（）A．b≠﹣3 B．b＝﹣3 C．b＝﹣2 D．b为任意数10.如果（a﹣2）x|a|﹣1﹣3＝6是关于x的一元一次方程，那么﹣a2﹣＝．11.已知ax2+5x+14＝2x2﹣2x是关于x的一元一次方程，则其解为．12.（|k|﹣1）x2+（k﹣1）x+3＝0是关于x的一元一次方程，求k的值．题组C 培优拔尖练13.已知（m2﹣1）x2+（m﹣1）x+7＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为（）A．±1 B．﹣1C．1 D．以上答案都不对14.已知（m2﹣9）x2﹣（m﹣3）x+6＝0是以x为未知数的一元一次方程，如果|a|≤|m|，那么|a+m|+|a﹣m|的值为（）A．2 B．4 C．6 D．815.方程（a﹣4）x|a﹣2|+x﹣4＝0是关于x的一元一次方程，则a＝．16.已知（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+8＝0是关于x的一元一次方程，求代数式199（m+x）（x﹣2m）+m的值．17. 已知关于x的方程20x+2021＝3x+m2的解为x＝3，则方程20（x﹣2）+2021＝3（x﹣2）+m2的解为．18.已知关于x的方程的解是x＝22，那么关于y的一元一次方程的解是y＝．19.观察下列方程：+＝1的解是x＝2；+＝1的解是x＝3；+＝1的解是x＝4；根据观察得到的规律，写出解是x＝5的方程是；写出解是x＝2022的方程是．20.七年级（1）班有44名同学，其中会下围棋的有28人，会下中国象棋的有32人，这两种棋都不会下的人数比都会下的人数的还少1人，求这两种棋都会下的有多少人？若设这两种棋都会下的有x人，根据题意可列出方程为．。
一元一次方程教学讲义
一元一次方程的解法一、知识梳理1．只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的一类方程叫做一元一次方程．（一个未知数，最高次数为1，整式方程）23．一元一次方程的标准形式ax+b=0（其中x 是未知数，a 、b 是已知数，并且a≠0） 4．等式的基本性质及用等式的性质解方程。
性质1：m b m a b a ±=±=,性质2：)0(;,≠=⋅=⋅=d dbd a m b m a b a 性质3：a b b a ==,性质4：)(,,传递性则c a c b b a ===（性质是解题的依据，在使用时注意等式性质成立的条件） 5搬硬套．为了检验解方程时的计算有没有错误，可以把求得的解代入原方程，看左、右两边的值是否相等，这叫验根，一元一次方程的验根过程可以不写出来． 6．一元一次方程的基本变形与它的解法（1）变形：同加、同减、同乘、同除（不为0），解不变。
（2）步骤：去分母; (2)去括号; (3)移项; (4)合并同类项; (5)系数化为1.（3）注意：过“桥”变号 7.方程ax=b 的解的讨论1）当a ≠0时，方程ax=b 有惟一解x=ba(此时方程为一元一次方程，ax=b(a ≠0))是一元一次方程的最简形式.2）当a=0,b ≠0时，方程ax=b 无解(此方程不是一元一次方程).3）当a=0,b=0时，方程ax=b 有无穷多解(此方程不是一元一次方程).二、典例剖析（一）概念问题 例1：（武汉二中模拟）下列方程中是一元一次方程的是（ ）。
A.3+7=10 B.2x-5 C.-x+3=1 D.2x+7y=0 变式1：下列各式中，是方程的个数为（ ）。
（1）－3－3＝－7 （2）3x －5＝2x ＋1 （3）2x ＋6 （4）x －y ＝0 （5）a ＋b>3 （6）a 2＋a －6＝0A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个变式2：下列说法中，正确的是。
（ ）A 、 代数式是方程B 、方程是代数式C 、等式是方程D 、方程是等式变式3：若2x 3-2k+2k=41是关于x 的一元一次方程，则k= （二）分母化整问题 例2：（1）解方程：43160.20.5x x +--=- （2）解方程：431625x x +--=-变式训练： 1.511241263x x x +--=+x x 238)4121(3443.2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3.x 41-132x 43=+ 4.[1－2x+（3x －5）]=x（三）方程的解问题例3：若x=0是方程2002x-a=2003x+3的解，那么代数式的值是-a 2+2变式1：已知关于x 的方程23()2,ax a x x a -=+=的解是求的值. 变式2：已知5x 61y ,1x 32y 21-=+-=,若12y +y 20=,则x=( ) A.-30 B.-48 C.48 D.301212（四）同解问题例4：如果方程6x+3a=22与方程3x+5=11的解相同，那么a=（ ）A. 103B. 310C. -103D.- 310 变式1：与方程3523=-x 的解相同的方程是（ ）A 、163=xB 、133=xC 、83=xD 、43=x变式2：已知关于x 的方程3[x-2（x-3a ）]=4x 和123a x +-851x-=1有相同的解，求这个解。
一元一次方程讲义
一元一次方程【知识点归纳】一、方程的有关概念1.方程：含有未知数的等式就叫做方程.2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x ，未知数x 的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程.例如： 1700+50x=1800， 2（x+1.5x ）=5等都是一元一次方程.3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.注：⑴ 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程. ⑵ 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.二、等式的性质等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等.等式的性质(1)用式子形式表示为：如果a=b ，那么a±c=b±c(2)等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，等式的性质(2)用式子形式表示为：如果a=b ，那么ac=bc;如果a=b(c≠0)，那么{eq \f(a,c)|=b c| 三、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．四、去括号法则1. 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．2. 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变．五、解方程的一般步骤1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)2. 去括号(按去括号法则和分配律)3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)4. 合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式)5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解x=b a|). 六、用方程思想解决实际问题的一般步骤1. 审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系．2. 设：设未知数(可分直接设法，间接设法)3. 列：根据题意列方程．4. 解：解出所列方程．5. 检：检验所求的解是否符合题意．6. 答：写出答案(有单位要注明答案)七、有关常用应用类型题及各量之间的关系1. 和、差、倍、分问题：增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现.（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.2. 等积变形问题：（1）“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为：①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积.（2 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝r2h②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc3. 劳力调配问题：这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：（1）既有调入又有调出；（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变4. 数字问题（1）要搞清楚数的表示方法：一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a．然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示.5. 工程问题：工程问题：工作量＝工作效率×工作时间完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝16.行程问题：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．7.商品销售问题（1）商品利润率＝×100%（2）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（3）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（4）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．有关关系式：商品售价=商品标价×折扣率（5）商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价8. 储蓄问题⑴顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税⑵利息=本金×利率×期数本息和=本金+利息利息税=利息×税率（20%）（3）利润＝×100% 、【典型例题】一、一元一次方程的有关概念例1.一个一元一次方程的解为2，请写出这个一元一次方程 .二、一元一次方程的解例2.若关于的一元一次方程的解是,则的值是（ ）A ．B ．1C ．D ．0三、一元一次方程的解法例3.如果,那么等于（ ）(A)1814.55 (B)1824.55 (C)1774.45 (D)1784.45例4. 23|{32|[12|(x-1)-3]-3}=四、一元一次方程的实际应用例5.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅．经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐．（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由．例6.工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？例7.（2006·益阳市）八年级三班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长李小波去商店买奖品，下面是李小波与售货员的对话：李小波：阿姨，您好！售货员：同学，你好，想买点什么？李小波：我只有100元，请帮我安排买10支钢笔和15本笔记本.售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，退你5元，请清点好，再见.根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？跟踪练习1.若ax+b=0为一元一次方程，则__________.2.当时,关于字母x的方程是一元一次方程.3.若9a x b7 与– 7a 3x–4 b 7是同类项，则x= .4.如果，则的值是 .5.当＿＿＿时，代数式与的值互为相反数.6.已知是关于x的一元一次方程，则m= .7.（2003北京）已知是方程的根,则的值是( )A. 8B. -8C. 0D. 2 8．如果a、b互为相反数，（a≠0）,则ax+b=0的根为（）A．1 B．－1 C．－1或1 D．任意数9.下列方程变形中，正确的是（）（A）方程，移项，得（B）方程，去括号，得（C）方程，未知数系数化为1，得（D）方程化成10.方程去分母后可得（）A 3x－3 =1＋2x ，B 3x－9 =1＋2x ，C 3x－3 =2＋2x ，D 3x－12=2＋4x ；11.如果关于x的方程是一元一次方程，则m的值为( )A． B、 3 C、 -3 D、不存在12．若使A－B=8，x的值是（）A．6 B．2 C．14 D．18提高练习1．下列各方程中变形属于移项的是（）A．由B．由C．由得 D．由，得2．下列方程中（）是一元一次方程.A．3x- B.2x+y=4 C.x(x+2)=8 D. 3．下列方程的解法中，正确的是（）A．，移项得 B．，两边都除以5，得C．D．，两边都乘以100，得x=7004. 一个一元一次方程的解为2,请写出这个方程:_______________5.解方程：（1）（2）1-（3）（4）x-3（）=2（x+2）（5）y- （6）（7）1- （8）（9）（10）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
乐杰数理化 乐中学，学中杰乐杰数理化教师辅导讲义 课 题一元一次方程基础讲解教学目标1、了解方程的有关概念，会根据已知条件，设未知数，列出简单的方程；2、了解等式的概念和两条性质，并运用这两条性质解方程。
重点、难点难点：1、找出问题中的等量关系； 2、由具体实例抽象出等式的性质教学内容基础知识回顾：有理数1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.2．一元一次方程的标准形式： ax+b=0（x 是未知数，a 、b 是已知数，且a ≠0）.3．一元一次方程解法的一般步骤： 整理方程 …… 去分母 …… 去括号 …… 移项 …… 合并同类项 …… 系数化为1 …… （检验方程的解）.4．列一元一次方程解应用题：（1）读题分析法:………… 多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.5．列方程解应用题的常用公式：（1）行程问题： 距离=速度·时间 时间距离速度= 速度距离时间=； （2）工程问题： 工作量=工效·工时 工时工作量工效=工效工作量工时=； （3）比率问题： 部分=全体·比率 全体部分比率= 比率部分全体=； （4）顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；（5）商品价格问题： 售价=定价·折·101 ，利润=售价-成本， %100⨯-=成本成本售价利润率； （6）周长、面积、体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab ， C 正方形=4a ，乐杰数理化 乐中学，学中杰S 正方形=a 2，S 环形=π(R 2-r 2),V 长方体=abc ，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=31πR 2h. 经典例题1、下列方程中，一元一次方程有几个？① 2210x x --= ② 223x y -= ③ 11x --= ④120x -= 2、若关于x 的方程3x 4n －7＋5＝17是一元一次方程，求n ．3、．已知：y 1＝4x －3，y 2＝12－x ，当x 为何值时，(1)y 1＝y 2；(2)y 1与y 2互为相反数；(3)y 1比y 2小4．4、已知关于y 的方程y ＋3m ＝24与y ＋4＝1的解相同，则m 的值是( )．5、已知2232012x x +=，求代数式2466x x --+的值。
举一反三1、若3x ＋2a ＝12和方程3x －4＝2的解相同，则a ＝______．2、已知x ，y 互为相反数，且(x ＋y ＋3)(x －y －2)＝6，则x ＝______．3、已知(m 2－1)x 2－(m －1)x ＋8＝0是关于x 的一元一次方程，它的解为n ．(1)求代数式200(m ＋n )(n －2m )－3m ＋5的值；(2)求关于y 的方程m ｜y ｜＝n 的解．3.2 解一元一次方程（一）移项与合并1、．已知x ，y 互为相反数，且(x ＋y ＋3)(x －y －2)＝6，则x ＝______．2、 (1)21323-=-x (2)21132-=-x x3、k 为何值时，多项式x 2－2kxy －3y 2＋3xy －x －y 中，不含x ，y 的乘积项．4、已知21=x 是方程x x a +=+21125的解，求关于x 的方程ax ＋2＝a (1－2x )的解．5、学校暑期组织一些学生到外地做一项社会调查，每张车票原价50元，甲车主说：“乘我的车，可以八折优惠”；乙车主说：“乘我得车学生九折，老师不用买票”，负责的老师计算了一下不管乘谁的车，花费都一样，请问参加社会调查的学生有多少名？乐杰数理化 乐中学，学中杰举一反三1、下列说法中正确的是( )．(A)3x ＝5＋2可以由3x ＋2＝5移项得到(B)1－x ＝2x －1移项后得1－1＝2x ＋x(C)由5x ＝15得515=x 这种变形也叫移项 (D)1－7x ＝2－6x 移项后得1－2＝7x －6x2、一个邮递员骑自行车需要在规定的时间内把信件送到某地，如果每小时走15千米可以提早24分钟到达，如果每小时走12千米就要迟到15分钟。
求原规定的时间是多少？他去某地的路程有多远？3、某地出租车计价规则如下：行程不超过3千米，收起步价6元，超过部分每千米的路程收费1.2元，某天老师去看望学生，坐出租车付了15.6元，问李老师乘车多少千米？3.3解一元一次方程（二）去括号与去分母1、今年哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍，4年前哥哥的年龄是妹妹年龄的3倍，若设妹妹今年x 岁，可列方程为( )．(A)2x ＋4＝3(x －4) (B)2x －4＝3(x －4)(C)2x ＝3(x －4) (D)2x －4＝3x2、将3(x －1)－2(x －3)＝5(1－x )去括号得( )(A)3x －1－2x －3＝5－x (B)3x －1－2x ＋3＝5－x(C)3x －3－2x －6＝5－5x (D)3x －3－2x ＋6＝5－5x3、已知关于x 的方程(a ＋1)x ＋(4a －1)＝0的解为－2，则a 的值等于( )．(A)－2 (B)0 (C)32 (D)23 4、已知y ＝1是方程y y m 2)(312=--的解，那么关于x 的方程m (x －3)－2＝m (2x －5)的解是( ) (A)x ＝10(B)x ＝0 (C)34=x (D)43=x 5、若关于x 的方程)1(422-=+x a x 的解为x ＝3，则a 的值为( )． (A)2(B)22 (C)10 (D)－26、解方程 (3)3.15.032.04-=--+x x (4)2]2)14(32[23=---x x乐杰数理化 乐中学，学中杰7．已知关于x 的方程27x －32＝11m 多x ＋2＝2m 的解相同，求221m m +的值． 8、若2｜x －1｜＝4，则x 的值为_________．9、若｜x ＋3｜＝x ＋3，则x 的范围为______________．10、有一批零件，甲单独做需要40小时完成，乙单独做需要30小时完成，现在甲做几小时后，其余任务由乙完成，乙比甲多做2个小时，则甲做了几个小时举一反三1、解方程 (1)454436+=-y y (2)62372345---=+-x x x x2、将103.001.05.02.0=+-x x 的分母化为整数，得( )． (A)1301.05.02=+-x x (B)1003505=+-x x (C)100301.05.020=+-x x (D)13505=+-x x 3、关于x 的方程(k ＋2)x 2＋4kx －5k ＝0是一元一次方程，则k ＝________． 4、已知方程mx ＋2＝2(m －x )的解满足,0|21|=-x 则m 为________． 5、 方程｜x ｜＝3的解是______，｜x －3｜＝0的解是______，3｜x ｜＝－3的解是______，若｜x ＋3｜＝3，则x ＝______．6、机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工16个大齿轮或者10个小齿轮，已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成一套，问需要分别安排多少名工人加工大齿轮和小齿轮？ 3.4 实际问题与一元一次方程1、（经济利润问题）一家商店将某种服装进价提高30%作为标价，又乙九折优惠卖出，结果每件仍可获利17元，这种服装每件进价是多少元？2、（方案选择问题）某同学在A ，B 两家超市发现他看中的英语学习机的单价相同，书包单价也相同，英语学习机和书包单价之和是452元，且英语学习机的单价比书包单价的4倍少8元．(1)求该同学看中的英语学习机和书包单价各是多少元?(2)某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，A 超市所有商品打七五折销售；B 超市全场购物满100元返购物券30元销售(不足100元不返券，购物券全场通用)，但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的英语学习机、书包，那么在哪一家购买更省钱?乐杰数理化乐中学，学中杰3、（配套问题）某车间有62名工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件23个．已知每3个甲种零件和2个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套?4、（工程问题）检修一处住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天，前7天由甲、乙两人合做，但乙中途离开了一段时间，后2天由乙、丙合作完成．问乙中途离开了几天?5、（数字问题）一个两位数，十位数字比个位数字的4倍多1．将两个数字调换顺序后所得数比原数小63．求原数．6、（行程问题）某行军纵队以8千米/时的速度行进，队尾的通讯员以12千米/时的速度赶到队伍前送一个文件．送到后立即返回队尾，共用14.4分钟．求队伍长．7、（实际问题）八年级三班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长李强去商店买奖品，下面是李强与售货员的对话：李强说：阿姨好!售货员：同学，你好，想买点什么?李强说：我只有100元，请您帮忙安排买10支钢笔和15本笔记本。
售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，退你5元，请清点好．根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗?1、选择题（1）．篮球赛的组织者出售球票，需要付给售票处12％的酬金，如果组织者要在扣除酬金后，每张球票净得12元，按精确到0.1元的要求，球票票价应定为()．(A)13.4元(B)13.5元(C)13.6元(D)13.7元（2）．一商店把彩电按标价的九折出售，仍可获利20％，若该彩电的进价是2400元，则彩电的标价为()．(A)3200元(B)3429元(C)2667元(D)3168元(3)．某商店将彩电按原价提高40％，然后在广告上写“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电仍获利270元，那么每台彩电原价是()(A)2150元(B)2200元(C)2250元(D)2300元2、某商场节日酬宾，全场八折，一种DVD的利润率是10%，这种DVD的进价是1600元，那么它的标价是多少元？乐杰数理化乐中学，学中杰3、某中学组织初一同学春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；如果租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满．已知45座客车日租金为每辆220元，60座客车日租金为每辆300元．试问：(1)初一年级人数是多少?原计划租用45座客车多少辆?(2)要使每个同学都有座位，怎样租车更合算?4、有一个三位数的百位数字是1，如果把1移到最后，其他两位数字顺序不变，所得的三位数比这个三位数的2倍少7，求这个三位数．5、一项工程甲、乙两队合作10天可以完成，甲队独做15天完成，现两队合作7天后，其余工程由乙队独做．乙队还需几天完成?7、某市居民生活用电基本价格为每度0.4元，若每月用电量超过a度，超过部分按基本电价的70％收取．(1)某户5月份用电84度，共交电费30.72元，求a是多少；(2)若6月份的电费平均为每度0.36元，求该户6月份共用多少度电，应交纳多少电费?8、某校组织10位教师和部分学生外出考察，全程票价为25元，对机体购票，客运公司有两种优惠方案可供选择：方案一，所有师生按票价的88%购票；方案二：前20位购全票，从第21人开始，每人按票价的80%购票。