22等差数列
两个等差数列公共项的求法
分析1 通过观察、分析，找到两数列公共项的规律、特点，进而求其前n项和．解法1 观察归纳法：数列为：1，3，5，7，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31，……数列为：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，35，39，……观察可知，两个数列的公共项依次为：1，7，13，19，25，31，……，可以看出数列{an}是首项为1，公差为6的等差数列，所以{an}的前n项和为点评观察题中的两个数列均为等差数列，所以它们的公共项具有规律性，通过列举得到由两个数列的公共项构成的数列，进而求得{an}的前n项和.在找公共项的时候，比较好的办法是在公差大的数列里面来找，因为间隔小，且项与项间隔相等.该解法适用于象该考题一样，比较简单的两数列公共项问题.分析2 分析两个等差数列的首项和公差的特征，找到两个数列的公共项所构成的新数列仍是等差数列，且公差是两个等差数列公差的最小公倍数的规律求解.解法2 特征分析法：因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1为首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{an}是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{an}的前n项和为点评首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.分析3 因为该题是两个等差数列的公共项问题，从公共项的本质看，即公共项就是两个数列相同的项，也就是说关于m，n的二元等式2n-1=3m-2的不定方程存在整数解，利用数的整除性解不定方程来解.解法3 解不定方程法：因为两数列与存在公共项，设2n-1=3m-2，m，n∈N*，则3m=2n+1，即因为2，3互质，所以n+2一定是3的倍数，不妨设n+2=3k，k∈N*，则n=3k-2，所以m=2k-1.由于2n-1=2(3k-2)-1=6k-5，3m-2=3(2k-1)-2=6k-5，所以两数列的公共项就是6k-5，k ∈N*，所以两数列的公共项所构成的新数列{an}是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{an}的前n项和为点评该解法在求解的过程中，利用了整数分解的方法，即提取公因式、配凑得到是解题的关键.象该高考题这样的两个等差数列的公共项问题，解不定方程法是一种通法，从上面的解法，我们可以得到结论：若两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同.分析4 对于两个等差数列的公共项问题，还有没有更一般的方法？因为公共项就是两个数列中的相同项，我们从中选取一个数列，一般选取数列中的项增加“较快”的数列，假如该数列的第n项是两个数列的公共项，然后逐一递推验证该数列的第n+1项、第n+2项、…是否是两个数列的公共项，进一步从中找到规律，得到两个数列的公共项从小到大排列的数列{an}的通项公式.解法4 “递推找项法”：记bn=2n-1，cn=3n-2.因为两数列与存在公共项，设bm=cn，即2m-1=3n-2，m，n∈N*.由cn=3n-2，所以由可知cn+1∉{bm}，即cn+1不是两个数列的公共项.cn+2=3(n+2)-2=3n+6-2=3n-2+6=2m-1+6=2(m+3)-1，由m+3∈N*，可知cn+2∈{bm}，所以cn+2是两个数列的公共项.因此，若ak=bm=cn，则ak+1=bm+3=cn+2.所以ak+1-ak=bm+3-bm=2(m+3)-1-(2m-1)=6，且a1=1，所以两数列的公共项所构成的新数列{an}是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{an}的前n项和为点评由上述过程总结“递推找项法”求两个等差数列{bn}、{cn}的公共项所构成的新数列{an}的一般步骤：(1)设bm=cn=ak，从中得到项数m，n的等式关系；(2)在项增加“较快”的数列(如{cn})中依次验证某个相同项(如cn)后面的递推项(如cn+1、cn+2…)，并将其项的表达式与另一个数列({bn})的通项公式相比较，断定后面的递推项是否是另一个数列({bn})的项，从而发现项ak后面的项；(3)发现ak+1、ak之间的递推关系得出数列{an}的通项公式.3 “通法”提炼由此可以看出，对于求两个等差数列{bn}、{cn}的公共项所构成的新数列{an}问题，“递推找项法”相对于解不定方程法更易于大家理解和接受，可以说，“递推找项法”是求两个等差数列{bn}、{cn}的公共项所构成的新数列{an}的一种“通法”.其实远不止于此，“递推找项法”除了能解决两个等差数列的公共项问题以外，还可以解决比如两个等比数列的公共项问题，一个等差数列与一个等比数列的公共项问题，乃至一个等差数列或等比数列与完全多项式型数列的公共项问题.4 应用拓展4.1 两个等差数列的公共项问题例1 数列{bn}与{cn}的通项公式分别为bn=5n-1，cn=2n+2，它们的公共项由小到大排列得到数列{an}，求数列{an}的通项公式.解析数列{bn}的增加“较快”，所以依据数列{bn}递推找公共项.设bm=cn，即5m-1=2n+2，m，n∈N*.由bm=5m-1，所以由可知bm+1∉{cn}，即bm+1不是两个数列的公共项.bm+2=5(m+2)-1=5m+10-1=5m-1+10=2n+2+10=2(n+5)+2，由n+5∈N*，可知bm+2∈{cn}，所以bm+2是两个数列的公共项.因此，若ak=bm=cn，则ak+1=bm+2=cn+5.所以ak+1-ak=bm+2-bm=5(m+2)-1-(5m-1)=10，且a1=4，所以两数列的公共项所构成的新数列{an}是以4为首项，以10为公差的等差数列，所以{an}的通项公式为an=4+(n-1)×10=10n-6.。
22：数列的概念和等差数列
数列的概念1.数列的定义与通项公式（1）数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列，即,,,,,,321 n a a a a 简记为数列}.{n a 其中，1a 称为数列的首项，n a 称为数列的第n 项。
（2）数列的通项公式：如果数列}{n a 的前n 项n a 与项数n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，可以记为).)((*∈=N n n f a n 填空题要写出数列的通项公式要记得写成“)(n f a n =”的形式。
如：已知数列}{n a 的前n 项和为,13-=n n S 那么该数列的通项公式为.321-⋅=n n a2.数列的前n 项和n S（1）,21n n a a a S +++= （2）n S 与n a 的关系：⎩⎨⎧≥-==-,2,,1,11n S S n S a n n n .例：已知数列}{n a 的前n 项和n S 的公式，求}{n a 的通项公式.（1）n n S n 322-=； （2）1322+-=n n S n .答案：（1）54-=n a n ；（2）..2,54,1,0⎩⎨⎧≥-==n n n a n3.数列的单调性①递增数列：对于任意,*∈N n 均有.1n n a a >+②递减数列：对于任意,*∈N n 均有.1n n a a <+例：已知数列}{n a 是递增数列，且,2n n a n λ+=则实数λ的取值范围为_________.答：).,3(+∞-4.求数列的最大项（或最小项）（1）利用数列的单调性：求n n a a -+1.例：若),()54(2n n a n n +=求数列}{n a 第几项最大.解：)1)(8)(51()54()()54(]1)1[()54(2211+--=+-+++=-++n n n n n n a a n n n n n ， ∴当71≤≤n 时，01>-+n n a a ；当8=n 时，01=-+n n a a ；当9≥n 时，01<-+n n a a .>>=<<<<∴1098721a a a a a a ，∴}{n a 中第8项或第9项最大.（2）利用相邻项的关系求解：若n a 最大，则⎩⎨⎧≥≥+-11n n n n a a a a ；若n a 最小，则⎩⎨⎧≤≤+-11n nn n a a a a .5.数列是关于项数n 的函数，其定义域是正整数集或它的子集，其图像是一些离散的点。
等差数列_PPT课件
已知正数数列{an}和{bn}满足：对任意 n(n∈N＋)，an， bn，an＋1 成等差数列，且 an＋1＝ bn·bn＋1. (1)求证：数列{ bn}是等差数列． (2)设 a1＝1，a2＝2，求{an}和{bn}的通项公式．
第(1)问可利用等式 2bn＝an＋an＋1，把 an，an＋1 用 bn－1， bn，bn＋1 代换，然后整理．再进行判断；解答本题第(2)问， 可利用第(1)问的结论，先求 bn，再求 bn 和 an.
等差数列的性质
1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规 律．
2．理解等差数列的性质． 3．掌握等差数列的性质及其应用． 4．掌握等差中项的概念与应用.
1．灵活应用等差数列的性质，求数列中的项 (或通项)(重点，难点)
2．利用等差中项及性质设元或列方程解题(重 点)
3．常与函数、方程结合命题，三种题型均可 出现，多为中低档题.
[策略点睛]
[规范作答] (1)方法一：设等差数列的等差中项为a，公差为d， 则这三个数分别为a－d，a，a＋d，
依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24， 所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24， 化6,2，－2. 方法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a
事实上，am＋(n－m)d＝a1＋(m－1)d＋(n－m)d ＝a1＋(n－1)d＝an.
2．等差数列的公差与斜率的关系 (1)一次函数 f(x)＝kx＋b(k≠0)的图像是一条直线，斜率 k＝fxx22－－xf1x1(x1≠x2)． 当 k＝0 时，对于常数函数 f(x)＝b，上式仍然成立． (2)等差数列{an}的公差本质上是相应直线的斜率． d＝amm－－ann其实就是斜率公式，并且当{an}是常数列时， d＝0，公式也仍然成立．
等差数列的概念(第1课时) 课件 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变 化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用 它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义 与应用. 下面， 我们从一类取值规律比较简单的数列人手. 请看下面几个问题中的数列：
创设情境
1.北京天坛圜丘坛的地面由石板 铺成, 最中间是圆形的天心石, 围 绕天心石的是9圈扇环形的石板, 从内到外各圈的石板数依次为 9,18,27,36,45,54,63,72,81 ①
取值规律： 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.
1. 等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于 同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的 公差，通常用字母d表示.
例如数列①②③④的公差依次为 9, 2, -0.6, -br.
等差数列的符号语言：
f(1)＝k＋b，f(2)＝2k＋b, …, f(n)＝nk＋b, 构成一个等差 数列{nk＋b}, 其首项为__(_k_＋__b_)_，公差为__k__.
③等差数列{an}的单调性与公差d有关. 当d>0时，等差数列{an}为递增数列； 当d＝0时，等差数列{an}为常数列； 当d<0时，等差数列{an}为递减数列．
3. 通项公式
首项为a1, 公差为d的等差数列{an}的通项公式为 an= a1＋(n－1)d.
(1) 等差数列通项公式的一般形式：an＝am＋(n－m)d (n,m∈N*) . (2)等差数列与一次函数的关系： ①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n, an)组成的集合, 这 些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上. ②任给一次函数f(x)＝kx＋b(k, b为常数), 则
小升初22次课程04-等差数列(教师版)
“数列”就是一列数，也就是一列数排成一列。
“等差”就是差相等，也就是相邻两数的差相等。
特别要注意的是，类似于1，2，3，2，1，2，3，2，1，...和1，0，1，0，1，0，...的数列，虽然相邻两个数的差都相等，但这样的数列不是等差数列，因为在同一个等差数列中，必须要么每一项都比前一项大，要么每一项都比前一项小，不能出现既有后一项比前一项大，又有后一项比前一项小的情况。
内1、概念及基本公式在等差数列中，称第1个数为第1项，第2个数为第2项，第3个数为第3项，......依此类推。
我们把等差数列第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中所有数的个数称为项数，等差数列知识结构模块一：等差数列初步知识精讲内容分析而相邻两项的差则被称为公差。
在等差数列中，首先要寻找这四个关键量（即首项、末项、项数和公差）之间的关系，请看下图：在上图中，你能看出第3项比第1项大几个公差吗？第5项比第2项大几个公差呢？第7项比第1项大几个公差呢？第17项比第9项大几个公差呢？更重要的是，首项其实就是第一项，末项就是第“项数”项，那么首项和末项之间相隔的公差个数就等于（项数-1）.由此，我们就知道末项减去首项等于（项数-1）个公差的和，因此由此可以得到等差数列的通项公式：同时我们还可以得到以下这些公式：【例1】⑴一个等差数列共有13项。
每一项都比它的前一项大2，并且首项为33，那么末项是多少？⑵一个等差数列共有13项。
每一项都比它的前一项小2，并且首项为33，那么末项是多少？【难度】★【答案】⑴57；⑵9【解析】分析：本题中的首项和末项相差了几个公差？是首项大还是末项大？⑴解：由题目已知，首项=33，公差=2，项数=13由公式可得：末项=首项+（项数-1）×公差=()21-1333⨯+=2433+=57⑵解：由题目已知，首项=33，公差=2，项数=13因为每一项都比它的前一项小2，所以首项最大由公式可得：末项=首项+（项数-1）×公差=()21-13-33⨯=24-33=9【总结】在运用公式时，审题要审清楚，不同的说法要相应的改变公式的加减。
等差数列
(2) 4, 8, 12, 16, 20 ,…
a1 4 d a 2 a1 4 an a1 (n 1)d 4 (n 1) 4
a n 4n
(3) 7, 4, 1, -2, -5, …
a1 7 d a 2 a1 3 an a1 (n 1)d 7 (n 1) ( 3)
Sn
n(a1 a n )
求和公式2： S n na 1
d
例 在等差数列中： (1)已知 a1 5, a10 15，求 S10 ； (2)已知 a1 5, d 3，求 S 20 .
解 (1)S10
10 (a1 a10 ) 2 10 (5 15) 2
四、前n项的求和公式
Sn a1 a 2 a 3 an
求和公式1：
Sn
n(a1 a n ) 2
例 求1ห้องสมุดไป่ตู้100的所有整数之和.
解 a1 1、d 1
S100 100 (1 100) 2
50 101 5050
2 将 an a1 (n 1)d 代入，得： Sn n(a1 a1 (n 1)d) 2 2na 1 n(n 1)d 2 n(n 1) 2
Sn 999 n(a1 a n ) 2 n( 20 54) 2
n 27
a 27 a1 26d
54 20 26d
d
34 26
17 13
4.在等差数列中 a15 10, d 2, 求S16 .
解 a15 a1 14d
10 a1 14 2 a1 38
a1 a4 a1 a1 3d 2a1 3 ( 2) 10 a1 8
四年级奥数第五讲-等差数列(二)-教师版
第五讲等差数列（二）解题方法某些问题以转化为求若干个数的和解决这些问题时先要判断这些数是否成为等差数列，如果是等差数列才可以运用它的一些公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
例题1小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。
这本书共有多少页？提示根据条件“以后每天比前一天多看2页”可以知道他每天看的页数都是按照一定规律排列的数，即20、22、24、…、76、78。
要求这本书共有多少页也就是求出这列数的和。
解：由题意可知，这列数是一个等差数列，首项=20，末项=78，项数=30，所以这本书共有（20+78）×30÷2=1470（页）答：这本书共有1470页。
引申1、文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。
文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？解：文丽每天学会的单词个数是一个等差数列，即3、4、5、6、…、21。
首项=3，末项=21，项数=（21-3）÷2+1=10。
所以，文丽在这些天中共学会了（3+21）×10÷2=120(个)答：文丽在这些天中共学会了120个英语单词。
2、李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。
这批零件共有多少个？答:（25+63）×20÷2=880（个）3、小李读一本短篇小说，她第一天读了20页这个等差数列共有多少项?答：这个等差数列共有29项。
例题2 建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。
提示：根据图可以知道，这是一个以3为首项，以1为公差的等差数列，求钢管一共有多少根其实是求这列数的和。
解：求钢管一共有多少根,其实就是求3+4+5+…+9+10的和。
项数=(10-3)÷1+1=8,根据公式求和为:3+4+5+…+9+10=(3+10)×8÷2=13×8÷ 2=52(根)。
数列的十种典型递推式
1 十大递推数列求通项： (1)等差数列：a n =a n-1+d例1：已知：数列{a n }中a 1=1,a n =a n-1+3,(n ≥2).求a n 的通项公式。
答a n =3n-2. (2)等比数列： a n =a n-1q例2：已知：数列{a n }中a 1=1,a n =2a n-1,(n ≥2).求a n 的通项公式。
答a n =12-n .(3)似等差数列： a n =a n-1+f(n) 用叠加法。
例3：已知：数列{a n }中a 1=1,a n =a n-1+3n+1,(n ≥2).求a n 的通项公式。
答a n =265n 3n 2-+.(4)线性数列： a n =pa n-1+q 构造等比数列。
例4：已知：数列{a n }中a 1=3,a n =2a n-1-1,(n ≥2).求a n 的通项公式。
答a n =12+n.(5) 似等比数列： a n =a n-1f(n) 叠乘法。
例5：已知：数列{a n }中a 1=3,a n =na n-1,(n ≥2).求a n 的通项公式。
答a n =3n ！.(6)三项递推： a n =pa n-1+qa n-2 设a n+1-xa n =y(a n -xa n-1),构造一个或二个等比数列再通过等差数列或解方程组求出。
例6：已知：数列{a n }中a 1=1,a 2=3,a n =3a n-1-2a n-2,(n ≥3).求a n 的通项公式。
答a n =2n -1. 例7：已知：数列{a n }中a 1=1,a 2=3,a n =4a n-1-4a n-2,(n ≥3).求a n 的通项公式。
答a n =(n+1)2n-2. 例8：已知：数列{a n }中a 1=1,a 2=4,a n =4a n-1-4a n-2,(n ≥3).求a n 的通项公式。
答a n =n2n-1.例9：已知：数列{a n }中a 1=2,a 2=3,a n =5a n-1-6a n-2,(n ≥3).求a n 的通项公式。
等差数列求和
等差数列求和在数学中，等差数列是指一个数列中的每个数与它的前一个数之间的差值都相等的数列。
等差数列求和是指求等差数列中所有项的和。
在本文中，我们将介绍等差数列求和的公式及其应用。
等差数列通项公式是指第n个数的表达式，通常用字母an表示。
对于一个等差数列而言，其通项公式可以表示为an = a1 + (n - 1)d，其中a1是数列的首项，d是等差（即相邻两项之间的差异）。
通过这个公式，我们可以根据数列的首项和差值求得任意一项的值。
等差数列求和的公式是等差数列中所有项的和Sn，通常用大写字母S表示。
求和公式可以表示为Sn = (n/2)(a1 + an)，其中n是数列的项数。
这个公式可以直接计算出等差数列的和，而不需要将数列中的每一项都相加。
下面我们来举个例子来说明等差数列求和的计算方法。
例题1：求和：1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 99首先，我们需要找到等差数列中的首项a1、公差d和项数n。
对于这个例子，a1 = 1（首项为1），d = 2（相邻两项之间的差为2），项数n = 50（共有50个奇数）。
然后，我们将这些值代入求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)：Sn = (50/2)(1 + 99)= 25(100)= 2500因此，1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 99的和为2500。
除了直接使用等差数列求和公式外，还可以通过求出首项和末项的和再乘以项数的一半来求得等差数列的和。
这个方法在某些情况下可能更便捷。
例题2：求和：2 + 7 + 12 + 17 + 22 + ... + 97首项a1 = 2，末项an = 97项数n = (an - a1)/d + 1 = (97 - 2)/5 + 1 = 20首项和末项的和为s = a1 + an = 2 + 97 = 99将这些值代入求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)：Sn = (20/2)(2 + 97)= 10(99)= 990因此，2 + 7 + 12 + 17 + 22 + ... + 97的和为990。
22等差数列
09:10
41
（2）若m n p q(m, n, p, q N*),则aman ap aq成立
吗？为什么？
(等差数列性质）
an是等差数列，则
m n p q(m, n, p, q N*) aman ap aq
09:10
34
探究3
练习：课本39页 5
已知an 是等差数列。
(1）2a5 a3 a7是否成立？2a5 a1 a9呢？为什么？
解：由题意可得
a1+5d=12 a1+17d=36
∴ d = 2 ，a1 =2 ∴ an = 2+(n-1) ×2 = 2n
09:10
18
例 、在等差数列{an}中 ，已知a6=12 ，a18=36 ,
求通项公式an
思考：你还能想到解决该问题的其它解法吗？
解法二：∵ a6=12 ，a18=36 ，a18=a6+(18-6)d
问题情景
1+2+3+···+100=?
高斯，(1777— 1855） 德国著 名数学家。
得到数列 1，2，3，4， … ，100 高斯是德国数学家，也是天文学家和物理学家，他和牛 顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。高斯是 近代数学奠基者之一，在历史上影响之大， 可以和阿 基09:米10 德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称。 1
09:10
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11．已知成等差数列的四个数之和为26，第 二个数与第三个数之积为40，求这四个数．
解 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d， 则由题设得
0所9:10以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.
31
13．在3与27之间插入7个数，使这9个数成等
等差数列
公差为kd.
(4)数列{c· an}，{c＋an}，{pan＋qbn}也是等差数列(其
中c 、 p、q均为常数，{an}，{bn}是等差数列).
10.等差数列与等差数列各项的和有关的性质
Sn 等差 数列其 （1）若{an}是等差数列，则 也成 n
1 首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的 2
二、等差数列的常用性质
1. 若 {an} 为等差数列，且 k+l=m+n （ k ， l ， m ， n∈N* ），
则 ak+al=am+an .
练 1．在等差数列{an}中，a3＋a7＝37， 则 a2＋a4＋a6＋a8＝__________________.
练 2. 在等差数列{an}中，a1＋a9＝10， 则 a5 的值为( )
等差数列及其前n项和
等差数列及其前n项和
要点梳理 1.等差数列的定义 如果一个数列 从第二项起每一项与它相邻前面一项
的差是同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差
数列，这个常数叫做等差数列的 公差
d 常用字母
，通
表示.
2.等差数列的通项公式
如果等差数列 {an} 的首项为a1 ，公差为d ，那 么它的通项公式是 an=a1+（n-1）d .
1 1 整理得： 2 Sn Sn1 1 1 1 ( n 1)2； Sn Sn 2n 1
S1 1 (n 1) an 2 S n S n1 ( 2n 1)( 2n 3), ( n 2)
4.由已知在数列{an}中a1＝1，求满足下列条件的数列的通项 公式． (1)an＋1＝ ；(2)an＋1＝2an＋2 n+1.
四年级奥数第四讲_等差数列含答案[1]
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第四讲等差数列一、知识点：1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。
数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。
数列中共有的项的个数叫做项数。
2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。
3、常用公式等差数列的总和=（首项+末项）⨯项数÷2项数=（末项-首项）÷公差+1末项=首项+公差⨯（项数-1）首项=末项-公差⨯（项数-1）公差=（末项-首项）÷（项数-1）等差数列（奇数个数）的总和=中间项⨯项数二、典例剖析：例（1）在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？分析：（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式：项数=（末项-首项）÷公差+1,便可求出。
（2）根据公式：末项=首项+公差⨯（项数-1）解：项数=（201-3）÷3+1=67末项=3+3⨯（201-1）=603答：共有67个数，第201个数是603练一练：在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？答案: 第48项是286，508是第85项例（2 ）全部三位数的和是多少？分析：：所有的三位数就是从100~999共900个数，观察100、101、102、 (998)999这一数列，发现这是一个公差为1的等差数列。
要求和可以利用等差数列求和公式来解答。
解：（100+999）⨯900÷2=1099⨯900÷2=494550答：全部三位数的和是494550。
练一练：求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。
答案: 1000例（3）求自然数中被10除余1的所有两位数的和。
分析一：在两位数中，被10除余1最小的是11，最大的是91。
从题意可知，本题是求等差数列11、21、31、……、91的和。
22人教版高中数学新教材选择性必修第二册--4.2 等差数列第1课时 等差数列的概念
探究点三 等差数列的单调性与证明
类型1 等差数列的单调性
例1 已知等差数列 { } 的公差为 , = 2 − 7 .
（1）求公差;
（2）判断数列的单调性.
[答案]（1）由 = 2 − 7 得,公差 = +1 − = [2( + 1) − 7] −
C.2020，2019，2021
D.2020，2020，2021
)
[解析] 通过判断等式 2 − 1 = 3 − 2 是否成立知选项A,B符合题意.
3.已知3和k的等差中项是 2 k ,则实数 的值为______,
1
3 k 与 9 k 的等差中项
6
为______.
[解析] 由3和k的等差中项是 2 k ,得 3 + = 4 ,则实数 = 1,3 k 与 9 k 的等
= + ，特殊地，若 + = 2 ，则 + = 2 , 是 和
的等差中项.
探究点一 等差数列的概念
1.下列关于等差数列 { } 的命题中是真命题的是(
A.若 { } 是等差数列，则 =
B.若 = ，则 { } 是等差数列
−1 = −1 − −2 = ⋯ = 2 − 1 = .
可见，等差数列的递推公式就是等差数列定义的符号表示，符号语言的
引入给叙述推理与运算变形提供了方便.
3.在等差数列 { } 中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都
是它的前一项与后一项的等差中项，表示为 +1 =
= () 属于一次函数；当 = 0 时， = () 属于常数函数。
2020年国家公务员考试数字推理题库附答案(共300题)
2020年国家公务员考试数字推理题库附答案（共300题）【1】1，8，9，4，（），1/6A，3；B，2；C，1；D，1/3分析：选C，1=14；8=23；9=32；4=41；1=50；1/6=6(-1)【2】63，26，7，0，-2，-9，（）分析：43-1=63；33-1=26；23-1=7；13-1=0；-13-1=-2；-23-1=-9 ；-33-1=－28【3】8，8，12，24，60，( )A,240；B,180；C,120；D,80分析：选B，8，8是一倍12，24两倍关系60，（180）三倍关系【4】-1，0，31，80，63，( )，5A．35；B．24；C．26；D．37；分析：选B，-1 = 07 - 1 0 = 16 - 1 31= 25 - 1 80 = 34 - 1 63 = 43 - 1 24 = 52 - 1 5 = 61–1【5】3，8，11，20，71，（）A．168；B．233；C．91；D．304分析：选B，每项除以第一项=>余数列2、2、2、2、2、2、2【6】88，24，56，40，48，（），46A.38；B.40；C.42；D.44分析：选D，前项减后项=>64、-32、16、-8、4、-2=>前项除以后项=>-2、-2、-2、-2、-2【7】4，2，2，3，6，（）A.10；B.15；C.8；D.6；分析：选B，后项/前项为：0.5，1，1.5，2，？=2.5 所以6×2.5=15【8】49/800，47/400，9/40，( )A.13/200；B.41/100；C.51/100；D.43/100分析：选D，思路一：49/800, 47/400, 9/40, 43/100=>49/800、94/800、180/800、344/800=>分子49、94、180、344 49×2-4=94；94×2-8=180；180×2-16=344；其中4、8、16等比。
第22讲 等差数列
第二十二讲 等差数列【复习目标】理解等差数列的概念；掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式与性质。
了解等差数列与函数的关系。
【基础知识回顾】1、等差数列： ，即___________ ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） 2、等差数列的通项公式：=n a ______________________= =3、等差数列前n 项和公式n S = =_________________ =___________________ = .4、等差数列的性质：已知数列{a n }是等差数列，n s 是其前 n 项和（1）若q p m n +=+，则 （其中m 、n 、p 、*∈N q ）。
反之未必成立； （2）若m+n=2p,则（3）从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个_______数列（4）若{}n a 和{ n b }是两个等差数列，则{n n a b ±}是等差数列吗？数列{ns n}、{n c a ∙},{n c a +},{}n n pa qb +(c 、p 、q 为常数) 是等差数列吗？（5）项数为n 的等差数列中，n 为奇数时，S S -=奇偶_______________;S S =奇偶n s = 。
若n 为偶数时，S S -=偶奇_______________;（6）{}n a 是等差数列，则232,,n n n n n s s s s s --为 ，公差为5、判断数列{a n }是等差数列的基本方法是：6、等差数列{a n }中，当a 1＜0，d ＞0时，数列{a n }为 （递增或递减）数列，S n 有最 值；当a 1＞0，d ＜0时，数列{a n }为 （递增或递减）数列，S n 有最 值；当d =0时，{a n }为 数列.【基础知识自测】1. c b a ,,都是实数，那么“c a b +=2”是“c b a ,,成等差数列”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件2、首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围为（ ） A. 38>d B.3<d C.338<≤d D. 338≤<d 3、（2010全国）如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 4、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若36324S S ==，，则9a = 。
等差数列
观察下列数列各项间的关系，找出规律， 填补空缺项，使之符合原来的规律：
① 50, (48), 46, 44, 42, 40.
1 ② 21, 21 2
1 1 22,22 , (23),23 , 2 2
24, …
③ 1, 1, ( 1 ), 1, 1, 1, 1, … ④ 3, 0, -3, -6, (-9), -12, …
自测自评
等差数列{an}中 ①已知a1 =2，d=3，n=10，求 an ②已知d = - 0.5，a7 =8，求 a1 ③已知a1 = 12，a6 = 27，求 d ④已知a1 = 3，an = 21，d = 2，求n ①a10 =29 ②a1 = 11 ③d=3 ④n=10
通项公式an a1 (n 1 )d中 已知a1，an，n，d中任意三个，可求另外 一个
①. 9 ，7，5，3，……, -2n+11， ……； ②. -1，11，23，35，……,12n-13，……； ③. 1，2，1，2，………………；
√ √
×
× √
④. 1，2，4，6，8，10， ……；
⑤. a, a, a, a, ……， a，…… ；
性质一
已知等差数列{an}中，am、公差d 是常数，试求出
A－a＝b－A
即
ab A＝ 2
这时，A就称为a与b的等差中项．
课堂练习
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ B ) A . -1 B. 1 C .-2 D. 2
提示1:
2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6)
性质3
自主探究三 等差数列的性质 数列an 是等差数列，m, n, p, q N , 且m n p q,
高中数学：22《等差数列》课件1必修
在解决某些数学问题时，可能需要综合考虑等差数列和等比数列的知识点，利 用它们的性质进行推导和计算。
等差数列的变种形式
线性递增与线性递减数列
线性递增数列是指每一项都比前一项大一个固定值的数列；线性递减数列是指每 一项都比前一项小一个固定值的数列。这两种数列都可以视为等差数列的特殊情 况。
现代应用领域
等差数列不仅在数学领域有广泛应用，还在物理、工程、经济等领域有实际应用价值。例 如，在物理学中的周期性现象、工程中的材料设计、经济学中的数据分析等方面，都可以 看到等差数列的身影。
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等差数列的通项公式
通项公式的推导
根据等差数列的定义和性质，可 以推导出通项公式a_n=a+(n-1)d 。
通项公式的应用
通项公式可以用于计算等差数列 中的任意一项，也可以用于判断 一个数列是否为等差数列。
02
等差数列的求和
等差数列求和公式
公式定义
等差数列求和公式是用于计算等差数列前n项和的公式， 其公式为Sn=n/2 * (a1+an)或者Sn=d/2 * n^2 + (a1 d/2) * n，其中a1是首项，an是第n项，d是公差，n是项 数。
高中数学22《等差数列 》课件1必修
目 录
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的求和 • 等差数列的应用 • 等差数列的拓展知识
01
等差数列的定义与性质
等差数列的定义
等差数列的定义
一个数列，从第二项开始，每一项与它的前一项的差都等于同一 个常数，这个数列就叫做等差数列。
等差数列的英文表示
Arithmetic Progression，简称AP。
2022年高考数学(文)一轮复习文档：第五章 数列 第2讲等差数列及其前n项和 Word版含答案
第2讲 等差数列及其前n 项和,)1．等差数列的有关概念 (1)定义假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ．(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝（a 1＋a n ）n2．3．等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ． (3)若{a n }的公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ． (4)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．1．辨明两个易误点(1)要留意概念中的“从第2项起”．假如一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．(2)留意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区分． 2．妙设等差数列中的项若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ；若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 3．等差数列的四种推断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列．1.教材习题改编 等差数列11，8，5，…，中－49是它的第几项( ) A ．第19项 B ．第20项 C ．第21项D ．第22项C a 1＝11，d ＝8－11＝－3， 所以a n ＝11＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋14. 由－3n ＋14＝－49，得n ＝21.故选C.2.教材习题改编 已知p ：数列{a n }是等差数列，q ：数列{a n }的通项公式a n ＝k 1n ＋k 2(k 1，k 2均为常数)，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C 若{a n }是等差数列，不妨设公差为d . 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ， 令k 1＝d ，k 2＝a 1－d ，则a n ＝k 1n ＋k 2，若数列{a n }的通项公式a n ＝k 1n ＋k 2(k 1，k 2为常数，n ∈N *)， 则当n ≥2且n ∈N *时，a n －1＝k 1(n －1)＋k 2， 所以a n －a n －1＝k 1(常数)(n ≥2且n ∈N *)， 所以{a n }为等差数列， 所以p 是q 的充要条件．3.教材习题改编 等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，若a 5＝6，则S 9为( ) A ．45 B ．54 C ．63D ．27B 法一：由于S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝9×6＝54.故选B.法二：由a 5＝6，得a 1＋4d ＝6，所以S 9＝9a 1＋9×82d ＝9(a 1＋4d )＝9×6＝54，故选B.4．(2021·金丽衢十二校联考)已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为________．设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝a 13－a 313－3＝33－1310＝2.25．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________． 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9d ×82＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1. 所以S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.－72等差数列的基本运算(高频考点)等差数列基本量的计算是高考的常考内容，多消灭在选择题、填空题或解答题的第(1)问中，属简洁题． 高考对等差数列基本量计算的考查主要有以下三个命题角度： (1)求公差d 、项数n 或首项a 1； (2)求通项或特定项； (3)求前n 项和．(1)(2021·高考全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A ．172B ．192C ．10D ．12(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( ) A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 (1)由于公差为1，所以S 8＝8a 1＋8×（8－1）2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.由于 S 8＝4S 4，所以8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，所以a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192，故选B.(2)法一：由题知S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n ＋n (n －1)＝n 2，S n ＋2＝(n ＋2)2，由S n ＋2－S n ＝36得，(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4＝36，所以n ＝8.法二：S n ＋2－S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋2(2n ＋1)＝36，解得n ＝8. 【答案】 (1)B (2)D等差数列基本运算的解题方法(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．角度一 求公差d 、项数n 或首项a 11．(2021·豫东、豫北十所名校联考)已知等差数列{a n }中，a 5＝13，S 5＝35，则公差d ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．3D 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝13，5a 1＋10d ＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3，故选D.角度二 求通项或特定项2．(2022·高考全国卷乙)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98D ．97C 设等差数列{a n }的公差为d ，由于{a n }为等差数列，且S 9＝9a 5＝27，所以a 5＝3.又a 10＝8，解得5d ＝a 10－a 5＝5，所以d ＝1，所以a 100＝a 5＋95d ＝98，选C.角度三 求前n 项和3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．由a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，可知数列{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，故S 9＝9a 1＋9×（9－1）2×12＝9＋18＝27. 27等差数列的判定与证明已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数． (1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．【解】 (1)证明：由题设知a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1， 由于a n ＋1≠0， 所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设知a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1， 可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4. 故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1， 公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2， 因此存在λ＝4， 使得数列{a n }为等差数列．(1)推断证明一个数列是否是等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简洁推断．(2)用定义证明等差数列时，常接受两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必需加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)．设b n ＝1a n －1(n ∈N *)，求证：数列{b n }是等差数列．由于a n ＝2－1a n －1，所以a n ＋1＝2－1a n.所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1，＝12－1a n－1－1a n －1，＝a n －1a n －1＝1， 所以{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．等差数列的性质及最值(1)在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( ) A ．18 B ．99 C ．198D ．297(2)已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________．(3)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．【解析】 (1)由于a 3＋a 9＝27－a 6，2a 6＝a 3＋a 9，所以3a 6＝27，所以a 6＝9，所以S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6＝99.(2)由于{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21.(3)当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，说明⎩⎪⎨⎪⎧a 8＞0，a 9＜0.所以⎩⎪⎨⎪⎧7＋7d ＞0，7＋8d ＜0.所以－1＜d ＜－78.【答案】 (1)B (2)21 (3)⎝⎛⎭⎪⎫－1，－78应用等差数列的性质应留意的两点(1)在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m 、n 、p 、q 、k ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k 是常用的性质． (2)把握等差数列的性质，悉心争辩每共性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口．1．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，全部奇数项之和为15，全部偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40A 设这个数列有2n 项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd ，即25－15＝2n ，故2n ＝10，即数列的项数为10.2．在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 17A 设{a n }的公差为d ， 由于a 1＝29，S 10＝S 20，所以10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，所以S n ＝29n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.所以当n ＝15时，S n 取得最大值．3．(2021·陕西省五校模拟)等差数列{a n }中，假如 a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．66C 由等差数列的性质可知，2(a 2＋a 5＋a 8)＝(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)＝39＋27＝66， 所以a 2＋a 5＋a 8＝33，所以数列{a n }前9项的和为66＋33＝99.,)——整体思想在等差数列中的应用在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________． 【解析】 法一：设数列{a n }的公差为d ，首项为a 1，则⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110.法二：法一中两方程相减得 －90a 1－100×99－902d ＝90，所以a 1＋110－12d ＝－1，所以S 110＝110a 1＋110（110－1）2d ＝－110.法三：由于S 100－S 10＝（a 11＋a 100）×902＝－90，所以a 11＋a 100＝－2，所以S 110＝（a 1＋a 110）×1102＝（a 11＋a 100）×1102＝－110.【答案】 －110(1)法一是利用等差数列的前n 项和公式求解基本量，然后求和，是等差数列运算问题的常规思路．而法二、法三都突出了整体思想，分别把a 1＋110－12d 、a 11＋a 100看成了一个整体，解起来都很便利．(2)整体思想是一种重要的解题方法和技巧，这就要求同学要娴熟把握公式，理解其结构特征．已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝5，a 7＋a 8＋a 9＝10，则a 19＋a 20＋a 21＝________．法一：设数列{a n }的公差为d ，则a 7＋a 8＋a 9＝a 1＋6d ＋a 2＋6d ＋a 3＋6d ＝5＋18d ＝10，所以18d ＝5，故a 19＋a 20＋a 21＝a 7＋12d ＋a 8＋12d ＋a 9＋12d ＝10＋36d ＝20.法二：由等差数列的性质，可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…，S 21－S 18成等差数列，设此数列公差为D . 所以5＋2D ＝10， 所以D ＝52.所以a 19＋a 20＋a 21＝S 21－S 18＝5＋6D ＝5＋15＝20. 20,)1．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15B 设{a n }的公差为d ，由S 5＝（a 2＋a 4）·52⇒25＝（3＋a 4）·52⇒a 4＝7，所以7＝3＋2d ⇒d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.2．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝( )A ．－1B ．0C ．14D ．12B 由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2， 又由于a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，所以a 2＝12，a 4＝32.所以公差d ＝a 4－a 22＝12.所以a 1＝a 2－d ＝0. 3．在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 11＋a 17＝4，且其前n 项和为S n ，则S 17为( ) A ．20 B ．17 C ．42D ．84B 由a 3＋a 5＋a 11＋a 17＝4⇒2(a 4＋a 14)＝4⇒a 1＋a 17＝2，故S 17＝17（a 1＋a 17）2＝17.4．(2021·东北三校联考(一))已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 2＝12，则a 8＝( )A ．0B ．－109C ．－181D ．121B 设等差数列{b n }的公差为d ，则d ＝－14，由于a n ＋1－a n ＝b n ，所以a 8－a 1＝b 1＋b 2＋…＋b 7＝7（b 1＋b 7）2＝72＝－112，则a 8＝－109. 5．(2021·黄冈质检)在等差数列{a n }中，假如a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．95 B ．100 C ．135D ．80B 由等差数列的性质可知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8构成新的等差数列，于是a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)＋(4－1)＝40＋3×20＝100.6．(2021·杭州重点中学联考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＜0，a 5＞|a 4|，则使S n ＞0成立的最小正整数n 为( )A ．6B ．7C ．8D ．9C 在等差数列{a n }中 ，由于a 4＜0，a 5＞|a 4|，所以a 5＞0，a 5＋a 4＞0，S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7×2a 42＝7a 4＜0，S 8＝8（a 1＋a 8）2＝8（a 4＋a 5）2＝4(a 4＋a 5)＞0.所以使S n ＞0成立的最小正整数n 为8，故选C.7．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为________． a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37. 所以m ＝37. 378．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝__________． 设{a n }的公差为d ，由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝6a 1＋6×52d ，a 1＋3d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2，所以a 5＝a 4＋d ＝1＋(－2)＝－1.－19．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5等于________．由于a 5＝a 1＋a 92，b 5＝b 1＋b 92，所以a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝9（a 1＋a 9）29（b 1＋b 9）2＝S 9T 9＝7×99＋3＝214.21410．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，当k ≥2时，若S k －1＝8，S k ＝0，S k ＋1＝－10，则S n 的最大值为________． 当k ≥2时，a k ＝S k －S k －1＝－8，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝－10，公差d ＝a k ＋1－a k ＝－2，S k ＝k （a 1＋a k ）2＝0，所以a 1＋a k ＝0，所以a 1＝8，所以a n ＝－2n ＋10，由a n ＝0得n ＝5，所以S 4＝S 5＝20最大．2011．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1a n(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明：由于b n ＝1a n ，且a n ＝a n －12a n －1＋1，所以b n ＋1＝1a n ＋1＝1a n2a n ＋1＝2a n ＋1a n，所以b n ＋1－b n ＝2a n ＋1a n －1a n＝2.又b 1＝1a 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知数列{b n }的通项公式为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又b n ＝1a n ，所以a n ＝1b n ＝12n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝12n －1.12．已知等差数列{a n }中，S n 是前n 项的和，a 1＝－2 017，S 2 0172 017－S 2 0152 015＝2，则S 2 019的值为________．由S 2 0172 017－S 2 0152 015＝a 1 009－a 1 008＝2. 即{a n }的公差d ＝2，又a 1＝－2 017，所以S 2 019＝2 019×(－2 017)＋2 019×2 0182×2＝2 019.2 01913．各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }的前n 项和． (1)求a 1，a 2的值； (2)求数列{a n }的通项公式． (1)当n ＝1时，a 21＝4S 1－2a 1－1， 即(a 1－1)2＝0，解得a 1＝1.当n ＝2时，a 22＝4S 2－2a 2－1＝4a 1＋2a 2－1＝3＋2a 2， 解得a 2＝3或a 2＝－1(舍去)． (2)a 2n ＝4S n －2a n －1，①a 2n ＋1＝4S n ＋1－2a n ＋1－1.②②－①得a 2n ＋1－a 2n ＝4a n ＋1－2a n ＋1＋2a n ＝2(a n ＋1＋a n )， 即(a n ＋1－a n )(a n ＋1＋a n )＝2(a n ＋1＋a n )．由于数列{a n }各项均为正数，所以a n ＋1＋a n >0，a n ＋1－a n ＝2， 所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． 所以a n ＝2n －1.14．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝12a n －30，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．由于2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，所以a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1， 故数列{a n }为等差数列．设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，6a 1＋15d ＝72，解得a 1＝2，d ＝4. 所以a n ＝4n －2，则b n ＝12a n －30＝2n －31，令⎩⎪⎨⎪⎧b n ≤0，b n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤0，2（n ＋1）－31≥0， 解得292≤n ≤312，由于n ∈N *，所以n ＝15，即数列{b n }的前15项均为负值，所以T 15最小． 由于数列{b n }的首项是－29，公差为2， 所以T 15＝15（－29＋2×15－31）2＝－225.。
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1+2+3+···+1德国著 名数学家。
得到数列 1，2，3，4， … ，100 高斯是德国数学家，也是天文学家和物理学家，他和牛 顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。高斯是 近代数学奠基者之一，在历史上影响之大， 可以和阿 基17:米12 德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称。 1
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an a1 (n 1)d
14
例1 (1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。
解： a1 8, d 5 8 3, n 20 , a20 8 (20 1) (3) 49
(2) –401是否是等差数列 -5，-9，-13，…，的 项？如果是，是第几项 ？
解： a1 5, d 9 (5) 4, an 401,
在过去的三百 多年里，人们 分别在下列时 间里观测到了 哈雷慧星：
相差76
1682，1758，1834，1910，1986，（2062 ）
你能预测出下一次 的大致时间吗？
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2
通常情况下，从地面 到10公里的高空，气 温随高度的变化而变 化符合一定的规律， 请你根据下表估计一 下珠穆朗玛峰峰顶的 温度。
＝(a1＋a4＋…＋a97)＋2d×33
＝50＋2×(－2)×33
＝－82.
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∴36=12+12d
知识延伸：
∴d=2 ∴ an=a6+(n-6)d
=12+(n-6) ×2
任意两项an和am之间的 关系： an=am +(n-m)d(n,m∈N*)
=2n 17:12
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7．若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75 ＝________.
解析 ∵a60＝a15＋45d， ∴a75＝a60＋15d＝20＋4＝24.
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5
等差数列定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项 与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个 数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列 的公差，通常用字母d表示。
①1，2，3,…,100；
公差d=1
②6000，6500，7000，7500，8000，8500,9000
公差d=500
1
公差d= 2
解：由题意可得
a1+5d=12 a1+17d=36
∴ d = 2 ，a1 =2 ∴ an = 2+(n-1) ×2 = 2n
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例 、在等差数列{an}中 ，已知a6=12 ，a18=36 ,
求通项公式an
思考：你还能想到解决该问题的其它解法吗？
解法二：∵ a6=12 ，a18=36 ，a18=a6+(18-6)d
7
等差数列定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项 与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个 数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列 的公差，通常用字母d表示。
数学语言： an-an-1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
或an+1－ an = d （ d是常数, n∈N*）
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8
小结： 1、判断一个数列是不是等差数列，主要是由定
因此， 401 5 (n 1) (4)
解得 n 100
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15
练习：课本39页 2
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16
3．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1(n∈N*)，
则a101的值为( )
A．49
B．50
C．51
D．52
答案 D
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17
例、在等差数列{an}中 ，已知a6=12 ，a18=36 , 求通项公式an
a4 a3 d (a1 2d ) d a1 3d
a5 a4 d (a1 3d) d a1 4d
n=1时亦适合
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13
等差数列的通项公式
a2 a1 d
a3 a2 d
a4 a3 d
an1 an2 d
…
迭加得
an an1 d
an a1 (n 1)d
8844.43米
高度 (km)
1 2 3 4 5 减… 少6.5 9
温度(℃) 28 21.5 15 8.5 2 …
-24
(2) 17:12 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24. 3
思考：以上数列有什么共同特点？
从第 2项起，每一项与前一项的 差都等于同一常数。
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4
2.2 等差数列
③
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22 1 2
，23，23
1 2
，24，24
1 2
，25，25 1 ，26
2
6
它们是等差数列吗？
(1) 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10 ×
(2) 5，5，5，5，5，5，…公差 d=0 常数列
(3) x, 3x, 5x, 7x, 9x,
公差 d= 2x
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a3 a2 d 7 ( 5) 2, a4 a3 d 2 ( 5) 3, a5 a4 d 3 ( 5) 8.
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思考
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数 就会成为一个等差数列：
（1）2 ，( 3 ) ， 4
（2）-12，( -6 ) ，0
( 3 ) a, (
), b
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A， b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。
A ab 2
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an1
an
an2 2
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问题情景
观察数列：1，3，5，7，…
思 考： 在数列中a100=？我 们该如何求解呢？
如何求一般等 差数列的通项 公式？
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已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d，
则
a2 a1 d
a3 a2 d (a1 d ) d a1 2d
义进行判断an+1-an 是不是同一个常数。
2、公差d是每一项（从第2项起）与它的前一项 的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可 以是正数，负数，也可以为0。
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9
练习： 已知等差数列的首项为12，公差为－5， 试写出这个数列的第2项到第5项．
解: 由于 a1 12 d 5 ，因此
a2 a1 d 12 ( 5) 7,
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20
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21
5．设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4 ＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等 于( )
A．－182
B．－
78
82C解．析－14a83＋a6＋a9＋…＋a99
D．－
＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)