高考数学压轴大题 2

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高考数学压轴大题规范练(2)——函数与导数.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作专题分层训练(三十三) 压轴大题规范练(2)——函数与导数1．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )． (1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图象上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解 (1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋ax (x >0)， F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2.∵a >0，由F ′(x )>0⇒x ∈(a ，＋∞)， ∴F (x )在(a ，＋∞)上是增函数．由F ′(x )<0⇒x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上是减函数．综上，F (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)由F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3)，得k ＝F ′(x )＝x －a x 2≤12(0<x 0≤3)恒成立⇒a ≥－12x 20＋x 0(0<x 0≤3)恒成立．∵当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12，即实数a 的最小值为12.2．(2015·重庆卷)设函数f (x )＝3x 2＋axe x (a ∈R )．(1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围．解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝(6x ＋a )e x －(3x 2＋ax )e x (e x )2＝－3x 2＋(6－a )x ＋a e x，因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6x e x ，故f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e ，从而f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e (x －1)，化简得3x －e y ＝0.(2)由(1)知f ′(x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋ae x ，令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ，由g (x )＝0解得x 1＝6－a －a 2＋366，x 2＝6－a ＋a 2＋366. 当x <x 1时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数；当x 1<x <x 2时，g (x )>0，即f ′(x )>0，故f (x )为增函数；当x >x 2时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数．由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－92，故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞.3．已知f (x )＝x 3＋ax 2－a 2x ＋2.(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若a ≠0，求函数f (x )的单调区间；(3)若不等式2x ln x ≤f ′(x )＋a 2＋1恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)∵a ＝1，∴f (x )＝x 3＋x 2－x ＋2， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x －1，∴k ＝f ′(1)＝4，又f (1)＝3，∴切点坐标为(1,3)， ∴所求切线方程为y －3＝4(x －1)，即4x －y －1＝0.(2)f ′(x )＝3x 2＋2ax －a 2＝(x ＋a )(3x －a )，由f ′(x )＝0，得x ＝－a 或x ＝a3. ①当a >0时，由f ′(x )<0，得－a <x <a3. 由f ′(x )>0，得x <－a 或x >a3，此时f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，a 3，单调递增区间为(－∞，－a )和⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞. ②当a <0时，由f ′(x )<0，得a3<x <－a . 由f ′(x )>0，得x <a3或x >－a ，此时f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，－a ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3和(－a ，＋∞)．综上，当a >0时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a 3，单调递增区间为(－∞，－a )和⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞. 当a <0时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫a 3，－a ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3和()－a ，＋∞. (3)依题意x ∈(0，＋∞)，不等式2x ln x ≤f ′(x )＋a 2＋1恒成立，等价于2x ln x ≤3x 2＋2ax ＋1在(0，＋∞)上恒成立，可得a ≥ln x －32x －12x 在(0，＋∞)上恒成立，设h (x )＝ln x －3x 2－12x ，则h ′(x )＝1x －32＋12x 2＝－(x －1)(3x ＋1)2x 2. 令h ′(x )＝0，得x ＝1，x ＝－13(舍)，当0<x <1时，h ′(x )>0；当x >1时，h ′(x )<0. 当x 变化时，h ′(x )与h (x )变化情况如下表x (0,1) 1 (1，＋∞)h ′(x ) ＋ 0 － h (x )单调递增－2单调递减∴当x ＝1时，h (x )取得最大值，h (x )max ＝－2， ∴a ≥－2，即a 的取值范围是[－2，＋∞)． 4．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx .(1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x .若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1≤0，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1≥0，f ′(x )>0.若m <0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1>0，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1<0，f ′(x )>0.所以，f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1,0]单调递减，在[0,1]单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e－1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f (1)－f (0)≤e －1，f (－1)－f (0)≤e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1.① 设函数g (t )＝e t －t －e ＋1，则g ′(t )＝e t －1. 当t <0时，g ′(t )<0；当t >0时，g ′(t )>0.故g (t )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e<0，故当t ∈[－1,1]时，g (t )≤0.当m ∈[－1,1]，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立；当m >1时，由g (t )的单调性，g (m )>0，即e m －m >e －1，不符题意；当m <－1时，g (－m )>0，即e －m ＋m >e －1，不符题意．综上，m 的取值范围是[－1,1]．5．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14，g (x )＝－ln x . (1)当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线；(2)用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值，设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x >0)，讨论h (x )零点的个数．解 (1)设曲线y ＝f (x )与x 轴相切于点(x 0,0)，则f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝0，即⎩⎨⎧x 30＋ax 0＋14＝0，3x 20＋a ＝0.解得x 0＝12，a ＝－34.因此，当a ＝－34时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线． (2)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＝－ln x <0，从而h (x )＝min{f (x )，g (x )}≤g (x )<0，故h (x )在(1，＋∞)上无零点．当x ＝1时，若a ≥－54，则f (1)＝a ＋54≥0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝g (1)＝0，故x ＝1是h (x )的零点；若a <－54，则f (1)<0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝f (1)<0，故x ＝1不是h (x )的零点．当x ∈(0,1)时，g (x )＝－ln x >0.所以只需考虑f (x )在(0,1)上的零点个数．①若a ≤－3或a ≥0，则f ′(x )＝3x 2＋a 在(0,1)上无零点，故f (x )在(0,1)上单调．而f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当a ≤－3时，f (x )在(0,1)上有一个零点；当a ≥0时，f (x )在(0,1)上没有零点．②若－3<a <0，则f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－a 3，1上单调递增，故在(0,1)中，当x ＝－a3时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 3＝2a 3－a 3＋14.a ．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3>0，即－34<a <0，f (x )在(0,1)上无零点； b ．若f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 3＝0，即a ＝－34，则f (x )在(0,1)上有唯一零点；c ．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3<0，即－3<a <－34，由于f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当－54<a <－34时，f (x )在(0,1)上有两个零点；当－3<a ≤－54时，f (x )在(0,1)上有一个零点．综上，当a >－34或a <－54时，h (x )有一个零点；当a ＝－34或a ＝－54时，h (x )有两个零点；当－54<a <－34时，h (x )有三个零点．。

专题02 函数概念与基本初等函数Ι(选填压轴题)(学生版)-备战2022年高考数学高分必刷必过题

专题02函数概念与基本初等函数Ι（选填压轴题）一、单选题1．（2021·全国）已知函数222,1()11,1x x x f x x x⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，若对任意x ∈R ，()|2||1|0f x x k x ----≤恒成立，则实数k 的取值范围是（）A．1,[1,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ B．11,,42⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C．11,,84⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D．(,1][2,)-∞+∞ 2．（2021·全国高三专题练习）设min{,}m n 表示,m n 二者中较小的一个，已知函数2()814f x x x =++，()221,log 42()min x g x x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭=(0x >)，若1[5,](4)x a a ∀∈-≥-，2(0,)x ∃∈+∞，使得12()()f x g x =成立，则a 的最大值为A．－4B．－3C．－2D．03．（2021·和平·天津一中）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[]0,2x 时，()[)[)232,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，若当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．[]2,3B．[]1,3C．[]1,4D．[]2,44．（2021·河北·天津二中）已知函数01,()1,1.x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为A．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．59,44⎛⎤ ⎥⎝⎦C．59,{1}44⎛⎤⎝⎦ D．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．（2021·全国高二课时练习）函数()()2,,x x a k a x a f x e x a a x ⎧----≤⎪=⎨>⎪-⎩，若(]0,x a ∃∈-∞，使得()1,x a ∀∈+∞都有()()10f x f x ≤，则实数k 的取值范围是A．(),1-∞B．[)1,+∞C．(],2-∞D．[)2,+∞6．（2021·奉新县第一中学）已知函数()()f x g x 、是定义在R 上的函数，其中()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()22f x g x ax x +=++，若对于任意1212x x <<<，都有()()12122g x g x x x ->--，则实数a 的取值范围是（）A．1(,[0,)2-∞-⋃+∞B．(0,)+∞C．1[,)2-+∞D．1[,0)2-7．（2021·全国高一专题练习）函数()f x 的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数，设函数()f x 在[]0,1上为非减函数，且满足以下三个条件：①()00=f ；②()11()f x f x -=-；③1()32x f f x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则12019f ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（）A．116B．132C．164D．11288．（2021·全国高一专题练习）我们把定义域为[0,)+∞且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为“Ω函数”：（1）对任意的[0,)x ∈+∞，总有()0f x ≥；（2）若0x ≥，0y ≥，则有()()()f x y f x f y +≥+成立，下列判断正确的是（）A．若()f x 为“Ω函数”，则(0)0f =不一定成立B．若()f x 为“Ω函数”，则()f x 在[0,)+∞上一定是增函数C．函数0,,()1,x Q g x x Q ∈⎧=⎨∉⎩在[0,)+∞上是“Ω函数”D．函数2()g x x x =+在[0,)+∞上是“Ω函数”9．（2021·全国）已知函数()y f x =，若给定非零实数a ，对于任意实数x M ∈，总存在非零常数T ，使得()()af x f x T =+恒成立，则称函数()y f x =是M 上的a 级T 类周期函数，若函数()y f x =是[0,)+∞上的2级2类周期函数，且当[0,2]x ∈时()2101()212x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<<⎪⎩，，，又函数21()2ln 2g x x x x m =-+++．若1[6,8]x ∃∈，2(0,)x ∃∈+∞，使21()()0g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣∞，112]B．（﹣∞，132]C．[112+∞，）D．[132+∞，）10．（2021·安徽省怀宁县第二中学高三月考（理））已知()'f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当(,0]x ∈-∞时，()1f x '>，则不等式(21)(2)3f x f x x --+≥-的解集为A．(3,)+∞B．[3,)+∞C．(,3]-∞D．(,3)-∞11．（2021·重庆北碚·西南大学附中高三月考）已知3142342,3,log 4,log 5a b c d ====，则a b c d,,,的大小关系为（）A．b a d c>>>B．b c a d>>>C．b a c d>>>D．a b d c>>>12．（2021·全国高一专题练习）已知函数32()log (31x f x x =+-+，若()()22122f a f a -+-≤-，则实数a 的取值范围是（）A．[]3,1-B．[]2,1-C．(]0,1D．[]0,113．（2021·黔西南州同源中学（文））设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则A．a b c>>B．a c b>>C．c a b>>D．c b a>>14．（2021·绥德中学高一月考）定义在R 上的函数()f x 满足()()121f x f x +=+，当[)0,1x ∈时，()()()2122x xf x --=，若()f x 在[),1n n +上的最小值为23，则n =A．4B．5C．6D．715．（2021·新密市第一高级中学高二期末（文））已知函数()12019ln 112019x x a xf x a x -+=+-+-，若定义在R 上的奇函数()g x 满足()()11g x g x -=+，且()()211log 255g f f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()2019g =A．2B．0C．1-D．2-二、多选题16．（2021·江苏鼓楼·高二期末）已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足：①()0,x ∀∈+∞，()()55f x f x =；②当(]1,5x ∈时，()5f x x =-，则（）A．105f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B．m Z ∀∈，()30mf =C．函数()f x 的值域为[)0,+∞D．n Z ∃∈，()512019nf +=17．（2021·湖南岳阳·高三模拟预测）已知函数3()13xxf x =+，设(1,2,3)i x i =为实数，且1230x x x ++=．下列结论正确的是（）A．函数()f x 的图象关于点10,2⎛⎫⎪⎝⎭对称B．不等式1(1)2f x ->的解集为{}1x x >C．若1230x x x ⋅⋅<，则()()()12332f x f x f x ++<D．若1230x x x ⋅⋅<，则()()()12332f x f x f x ++>18．（2021·全国）1837年，德国数学家狄利克雷(P.G.Dirichlet，1805-1859)第一个引入了现代函数概念：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数”.由此引发了数学家们对函数性质的研究.下面是以他的名字命名的“狄利克雷函数”：1,()0,R x QD x x Q ∈⎧=⎨∈⎩ð(Q 表示有理数集合)，关于此函数，下列说法正确的是（）A．()D x 是偶函数B．,(())1x R D D x ∀∈=C．对于任意的有理数t ，都有()()D x t D x +=D．存在三个点112233(,()),(,()),(,())A x D x B x D x C x D x ，使ABC ∆为正三角形19．（2021·湖南华容·）设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数.令()[]f x x x =-，以下结论正确的有（）A．()1.10.9f -=B．函数()f x 为奇函数C．()()11f x f x +=+D．函数()f x 的值域为[)0,120．（2021·浙江）定义：若函数()F x 在区间[]a b ，上的值域为[]a b ，，则称区间[]a b ，是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间[],a b 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数()21f x x =-，则（）A．[]0,1是()f x 的一个“完美区间”B．1122⎡+⎢⎥⎣⎦是()f x 的一个“完美区间”C．()f x的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3D．()f x的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+21．（2021·岳麓·湖南师大附中高二月考）德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”()1,0,R x Qy f x x C Q ∈⎧==⎨∈⎩其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数()f x 有如下四个命题,正确的为A．函数()f x 是偶函数B．1x ∀,2R x C Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立C．任取一个不为零的有理数T ,()()f x T f x +=对任意的x ∈R 恒成立D．不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()33C x f x ，,使得ABC ∆为等腰直角三角形22．（2021·汕头市第一中学）已知函数f (x )满足：当30x -≤<时，|2|()32x f x +=-，下列命题正确的是（）A．若f (x )是偶函数，则当03x <≤时，|2|()32x f x +=-B．若(3)(3)f x f x --=-，则()()1g x f x =-在(6,0)x ∈-上有3个零点C．若f (x )是奇函数，则()()1212,[3,3],14x x f x f x ∀∈--<D．若(3)()f x f x +=，方程2[()](2)()20f x k f x k -++=在[3,3]x ∈-上有6个不同的根，则k 的范围为11k -<<三、填空题23．（2021·全国高三专题练习）定义域为集合{1,2,3,,12}⋅⋅⋅上的函数()f x 满足：①(1)1f =；②|(1)()|1f x f x +-=（1,2,,11x =⋅⋅⋅）；③(1)f 、(6)f 、(12)f 成等比数列；这样的不同函数()f x 的个数为________24．（2021·全国高三专题练习）已知函数1(31)0()2ln 0x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩，，，，若存在实数a b c <<，满足()()()f a f b f c ==，则()()()af a bf b cf c ++的最大值是____．25．（2021·江西上高二中高二月考（文））定义在R 上函数()f x 满足()()112f x f x +=，且当[)0,1x ∈时，()121f x x =--，则使得()116f x ≤在[),m +∞上恒成立的m 的最小值是______________.26．（2021·上海徐汇·位育中学）设()1f x x =-，4()g x x =-，若存在121,,,[,4]4n x x x ⋅⋅⋅∈，使得12()()f x f x ++⋅⋅⋅+1121()()()()()()n n n n f x g x g x g x g x f x --+=++⋅⋅⋅++成立，则正整数n 的最大值为________27．（2021·广东潮阳·）函数())22ln41ax a xf x x a++=++，若()f x 最大值为M ，最小值为N ，[]1,3a ∈，则M N +的取值范围是______.28．（2021·全国高一专题练习）下列说法中正确的是______.①函数32y x -=的定义域是{}0x x ≠；②方程()230x a x a +-+=的有一个正实根，一个负实根，则0a <；③函数1lg1xy x-=+在定义域上为奇函数；④函数()log 252a y x =--(0a >，且1a ≠)恒过定点()3,2-；⑤若33x x--=，则33x x -+的值为2.。

贵州省黔东南州2025届高考压轴卷数学试卷含解析

贵州省黔东南州2025届高考压轴卷数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．中，如果，则的形状是（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形2．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( ) A ． 3B ．2 C ． 33D ． 223．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足1()(2)2f x f x =+，且当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为n a （*n N ∈），且数列{}n a 的前n 项的和为n S .若对于任意正整数n 不等式()129n k S n +≥-恒成立，则实数k 的取值范围为（）A ．[)0,+∞B ．1,32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．3,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．7,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭4．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1a d=（） A ．4B ．3C ．2D ．15．已知椭圆22y a +22x b =1(a >b >0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（） A 5-1B 3-1C 31+D 51+ 6．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则3a b -＝（） A 11B 37C ．10D 437．已知复数z 满足()125z i ⋅+=（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是 A ．5z =B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限9．函数()231f x x x =-+在[]2,1-上的最大值和最小值分别为（） A ．23，-2 B ．23-，-9 C ．-2，-9 D ．2，-210．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（）A ．()722+πB ．()1022+πC ．()1042+πD ．()1142+π11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．24π+B ．24π-C ．242π-D ．243π-12．在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，若函数()()322213f x x bx a c ac x =+++- 1+有极值点，则B 的范围是（）A ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．0,3π⎛⎤⎥⎝⎦C ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,3π⎛⎫π⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考数学高三模拟考试试卷压轴题第02节一元二次不等式及解法

高考数学高三模拟考试试卷压轴题第02节一元二次不等式及解法一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1. 【·湖北八校联考】不等式4x －2≤x －2的解集是( )A ．(－∞，0]∪(2,4]B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)2.【·潍坊质检】“01a <<”是“2210ax ax >＋＋的解集是实数集R ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 关于x 的不等式x2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( )A ．(4,5)B ．(－3，－2)∪(4,5)C ．(4,5]D ．[－3，－2)∪(4,5]4. 若函数f(x)＝(a2＋4a －5)x2－4(a －1)x ＋3的图像恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A ．[1,19]B ．(1,19)C ．[1,19)D ．(1,19]5. 如果关于x 的不等式250x a ≤－的正整数解是1,2,3,4，那么实数a 的取值范围是( )A ．80≤a<125B ．80<a<125C ．a<80D ．a>1256.【厦门模拟】不等式(x2－2)log2x>0的解集是( )A ．(0,1)∪(2，＋∞)B ．(－2，1)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－2，2)7.【莆田二模】若不等式20ax bx c >＋＋的解集是(－4,1)，则不等式2()(13)0b x a x c >－＋＋＋的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，1B ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ C ．(－1,4)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)8. 若不等式201x ax a ≤-+≤有唯一解,则a 的取值为( ) A. 0B. 2C. 4D. 69. 设2()1f x x bx =++,且(1)(3),f f -=则()0f x >的解集是 ( ) A.(,1)(3,)-∞-⋃+∞ B.R C.{}|1x x ≠ D.{}|1x x =10. 设奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数，且()11f -=-，若函数()221f x t at ≤-+对所有的[]1,1x ∈-，[]1,1a ∈-都成立，则t 的取值范围是（）A ．22t -≤≤B ．1122t -≤≤ C ．12t ≤-或0t =或12t ≥ D ．2t ≤-或0t =或2t ≥11．【北京市房山区周口店中学高三上学期期中考试】已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或,则(10)>0x f 的解集为（）A ．{}|<-1>lg2x x x 或B ．{}|-1<<lg2x xC ．{}|>-lg2x xD ．{}|<-lg2x x12.【南昌二中高三上学期第三次考试】不等式2162a bx x b a+<+对任意,(0,)a b ∈+∞恒成立，则实数x 的取值范围是A ．(2,0)-B ．(,2)(0,)-∞-+∞C ．(4,2)-D ．(,4)(2,)-∞-+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.） 13．若关于x 的不等式1420x x a ≥＋－－在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．14．已知不等式222xy ax y ≤+，若对任意[]2,1∈x 且[]3,2∈y ，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是．15．已知⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f ，则不等式(2)(2)5x x f x ++⋅+≤的解集是 .16．【绍兴市一中高三9月回头考数学】已知关于x 的不等式220x ax a -+<的解集为A ，若A 中恰有两个整数，则实数a 的取值范围为三、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．【日照模拟】已知函数2f(x)=21ax ax ++的定义域为R.(1)求a 的取值范围； (2)若函数f(x)的最小值为22，解关于x 的不等式220x x a a <－－－. 18．已知集合{}2|230,,A x x x x R =--≤∈{}22|240,,B x x mx m x R m R =-+-≤∈∈ （1）若[]0,3AB =,求实数m 的值；（2）若⊆A B C R ，求实数m 的取值范围. 19．已知不等式012<--mx mx ．（1）若对R x ∈∀不等式恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若对]3,1[∈∀x 不等式恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若对满足2||≤m 的一切m 的值不等式恒成立，求实数x 的取值范围．20．【定州中学高三第一次月考数学】已知函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+∈≤≤-+-<--=)21(15))(212(3)2(1)(x x R x x x x x x f ．（1）求函数)(x f 的最小值；（2）已知R m ∈，命题p ：关于x 的不等式+≥2)(m x f 22-m 对任意R m ∈恒成立；q ：函数x m y )1(2-=是增函数，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

2025届黑龙江省哈尔滨市第九中学高考压轴卷数学试卷含解析

2025届黑龙江省哈尔滨市第九中学高考压轴卷数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，(1,1)A ，当PAF ∆周长最小时，PF 所在直线的斜率为（） A ．43-B ．34-C ．34D ．432．设i 是虚数单位，复数1ii+=（） A ．1i -+B ．-1i -C ．1i +D ．1i -3．若平面向量,,a b c ，满足||2,||4,4,||3a b a b c a b ==⋅=-+=，则||c b -的最大值为（）A ．523+B ．523-C ．2133+D ．2133-4．已知圆锥的高为3，底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( ) A ．53B ．329C ．43D ．2595．如图，设P 为ABC ∆内一点，且1134AP AB AC =+，则ABP ∆与ABC ∆的面积之比为A ．14 B ．13 C ．23D ．166．若AB 为过椭圆22116925x y +=中心的弦，1F 为椭圆的焦点，则△1F AB 面积的最大值为（）A ．20B ．30C ．50D ．607．i 是虚数单位，复数1z i =-在复平面上对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知函数()2331x x f x x ++=+，()2g x x m =-++，若对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（） A ．17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[)17,9,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4179,,2⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭9．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（）A ．B ．C ．D ．10．已知非零向量a ，b 满足()2a b a -⊥，()2b a b -⊥，则a 与b 的夹角为（） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 11． “2a =”是“直线210ax y +-=与(1)20x a y +-+=互相平行”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件12．已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ω=的图象,只要将()y f x =的图象( )A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年高考数学(新高考压轴卷)(全解全析)

2024年高考压轴卷【新高考卷】数学·全解全析一、单选题1．已知集合105x A x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，(){}22log 16B x y x ==-，则()R A B ⋂=ð（）A ．()1,4-B ．[]1,4-C ．(]1,5-D ．()4,52．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是3:4，则该汝窑双耳罐的体积是（）A ．1784π3B ．1884π3C ．2304π3D ．2504π33．如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（）种.A ．10B ．20C ．60D ．120【答案】A【分析】合流结束时5辆车需要5个位置，第一步从5个位置选2个位置安排左边的2辆汽车，第二步剩下3个位置安排右边的3辆汽车，从而由分步乘法计数原理可得结果.【详解】设左车辆汽车依次为12,A A ，右车辆汽车依次为123,,B B B ，则通过顺序的种数等价于将12,A A 安排在5个顺序中的某两个位置（保持12,A A 前后顺序不变），123,,B B B 安排在其余3个位置（保持123,,B B B 前后顺序不变），123,,B B B ，所以，合流结束时汽车通过顺序共有2353C C 10=.故选：A.4．已知等比数列{}n a 的各项均为负数，记其前n 项和为n S ，若6467813,8S S a a a -=-=-，则2a =（）A ．－8B ．－16C ．－32D ．－485．已知圆C ：22()1x y m +-=，直线l ：()1210m x y m ++++=，则直线l 与圆C 有公共点的必要不充分条件是（）A ．11m -≤≤B ．112m -≤≤C ．10m -≤≤D ．102m ≤≤6．已知函数2()log f x x =，则对任意实数,a b ，“0a b +≤”是“()()0f a f b +≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件故选：C.7．已知0.50.2a =，cos2b =，lg15c =，则（）A ．a b c <>外一点()00,P x y 向椭圆引两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 称作点P关于椭圆C 的极线，其方程为00221x x y ya b+=.现有如图所示的两个椭圆12,C C ，离心率分别为12,e e ，2C 内含于1C ，椭圆1C 上的任意一点M 关于2C 的极线为l ，若原点O 到直线l 的距离为1，则2212e e -的最大值为（）A ．12B ．13C ．15D ．14二、多选题9．已知非零复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1Z ，2Z ，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（）A ．若1211z z -=-，则12=z z B ．若1212z z z z +=-，则120OZ OZ ⋅=C ．若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=D ．若1212z z z z +=+，则存在实数t ，使得21z tz =10．已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边长为B，C分别为AE，FD的中点，BD=）⊥A．BE CDB．BE与平面DCE所成角的余弦值为15C．四面体ABCD的内切球半径为30D．四面体ABCD的外接球表面积为8π【点睛】11．对于数列{}n a （N n a +∈），定义k b 为1a ，2a ，…，k a 中最大值（1,2,,k n =⋅⋅⋅）（N n +∈），把数列{}n b 称为数列{}n a 的“M 值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M 值数列”为2，2，3，7，7，则（）A ．若数列{}n a 是递减数列，则{}n b 为常数列B ．若数列{}n a 是递增数列，则有n na b =C ．满足{}n b 为2，3，3，5，5的所有数列{}n a 的个数为8D ．若()1()2N n n a n -+=-∈，记n S 为{}n b 的前n 项和，则1001002(21)3S =-三、填空题12．已知向量()1,1,4a b == ，且b 在a 上的投影向量的坐标为()2,2--，则a 与b的夹角为.13．已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足135a a +=，22a =.设22log 7n n b a =-，则当5n ≥时，数列{}n b 的前n 项和n S =.14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 且斜率为34-的直线与C 交于,A B两点．若112AF F F ⊥，则C 的离心率为；线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，则22BF DF =．5.【点睛】方法点睛：椭圆求离心率或者范围关键是找到关于,a c 的齐次式求得.四、解答题15．如图，在平面四边形ABCD ，已知1BC =，3cos 5BCD ∠=-.（1）若AC 平分BCD ∠，且2AB =，求AC 的长；（2）若45CBD ∠=︒，求CD 的长.16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是边长为2的正三角形，侧面11BB C C 是矩形，11AA A B =．(1)求证：三棱锥1A ABC -是正三棱锥；(2)若三棱柱111ABC A B C -的体积为221AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理，证明1A O ⊥平面ABC 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦即可.【详解】（1）分别取AB ，BC 中点D ，E ，连接CD ，AE 交于点O ，则点O 为正三角形ABC 的中心．因为11AA A B CA CB ==，得1CD AB AD AB ⊥⊥，，又11,,A D CD D A D CD =⊂ 平面1A CD ，所以AB ⊥平面1A CD ，又1A O ⊂平面1A CD ，则1AB A O ⊥；取11B C 中点1E ，连接111A E E E ，，则四边形11AA E E 是平行四边形，因为侧面11BB C C 是矩形，所以1BC EE ⊥，又BC AE ⊥，又11,,EE AE E EE AE =⊂ 平面11AA E E ，所以BC ⊥平面11AA E E ，又1A O ⊂平面11AA E E ，则1BC A O ⊥；又AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，所以1A O ⊥平面ABC ，所以三棱锥1A ABC -是正三棱锥．17．某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成[0,2],(2,4]，(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16]，(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在(14,16]内的学生人数为X ，求X 的分布列和期望；(2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“20()P k ”表示这20名学生中恰有k 名学生参加公益劳动时间在(10,12]（单位:小时）内的概率，其中0,1,2,,20k = .当20()P k 最大时，写出k 的值.18．已知双曲线(22:10,0x y C a b a b-=>>）的左右焦点分别为12,F F ，C 的右顶点到直线2:a l x c =的距离为1，双曲线右支上的点到1F 的最短距离为3(1)求双曲线C 的方程；(2)过2F 的直线与C 交于M 、N 两点，连接1MF 交l 于点Q ，证明：直线QN 过x 轴上一定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.19．函数()e xf x a x=-图像与x 轴的两交点为()()()1221,0,0A x B x x x >，(1)令()()ln h x f x x x =-+，若()h x 有两个零点，求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x <；(3)证明：当5a ≥时，以AB 为直径的圆与直线)1y x =+恒有公共点．（参考数据：0.25 2.5e 1.3e 12.2≈≈，）。

高考数学压轴题讲练：专题02 曲线的切线问题探究【解析版】

第一章函数与导数专题02 曲线的切线问题探究【压轴综述】纵观近几年的高考命题，对曲线的切线问题的考查，主要与导数相结合，涉及切线的斜率、倾斜角、切线方程等问题，题目的难度有难有易.利用导数的几何意义解题，主要题目类型有求切线方程、求切点坐标、求参数值（范围）等.与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略有： 1.已知斜率求切点．已知斜率k ，求切点()()11,x f x ，即解方程()f x k '=.2.求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.即注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点．（1）已知切点求切线方程：①求出函数()y f x =在点0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为()()000y y f x x x '-=-．（2）求过点P 的曲线的切线方程的步骤为：第一步，设出切点坐标P ′(x 1，f(x 1))；第二步，写出过P ′(x 1，f(x 1))的切线方程为y-f(x 1)＝f ′(x 1)(x-x 1)；第三步，将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步，将x 1的值代入方程y-f(x 1)＝f ′(x 1)(x-x 1)可得过点P(x 0，y 0)的切线方程．3.求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．4.根据导数的几何意义求参数的值（范围）时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．5.已知两条曲线有公切线，求参数值（范围）.6.导数几何意义相关的综合问题．【压轴典例】例1.（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 【答案】(e, 1). 【解析】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=，当0x x =时，01y x '=，点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1xy x x -=-，代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-，即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,H x H x >单调递增，注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =，故点A 的坐标为(),1A e .例2.（2019·全国高考真题（理））已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e xy =的切线. 【答案】（1）函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数，证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，2211()ln ()1(1)x x f x x f x x x x ++'=-⇒=--，因为函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，所以()0f x '>，因此函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数；当(0,1)x ∈，时，0,x y →→-∞，而11112()ln 0111e f e e e e+=-=>--，显然当(0,1)x ∈，函数()f x 有零点，而函数()f x 在(0,1)x ∈上单调递增，故当(0,1)x ∈时，函数()f x 有唯一的零点；当(1,)x ∈+∞时，2222221213()ln 0,()ln 01111e e ef e e f e e e e e e +-+-=-=<=-=>----，因为2()()0f e f e ⋅<，所以函数()f x 在2(,)e e 必有一零点，而函数()f x 在(1,)+∞上是单调递增，故当(1,)x ∈+∞时，函数()f x 有唯一的零点综上所述，函数()f x 的定义域(0,1)(1,)⋃+∞内有2个零点；（2）因为0x 是()f x 的一个零点，所以000000011()ln 0ln 11x x f x x x x x ++=-=⇒=-- 1ln y x y x'=⇒=，所以曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线l 的斜率01k x =，故曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线l 的方程为：0001ln ()y x x x x -=-而0001ln 1x x x +=-，所以l 的方程为0021x y x x =+-，它在纵轴的截距为021x -.设曲线x y e =的切点为11(,)x B x e ，过切点为11(,)x B x e 切线'l ，x xy e y e '=⇒=，所以在11(,)x B x e 处的切线'l 的斜率为1x e ，因此切线'l 的方程为111(1)x xy e x e x =+-，当切线'l 的斜率11xk e =等于直线l 的斜率01k x =时，即11001(ln )x e x x x =⇒=-，切线'l 在纵轴的截距为01ln 110001(1)(1ln )(1ln )x xb e x ex x x -=-=+=+，而0001ln 1x x x +=-，所以01000112(1)11x b x x x +=+=--，直线',l l 的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线',l l 重合，故曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线也是曲线x y e =的切线.例3. （2019·湖北高考模拟（理））已知函数2()1f x x ax =-+，()ln ()g x x a a R =+∈. （1）讨论函数()()()h x f x g x =+的单调性；（2）若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(],1-∞ 【解析】（1）函数()h x 的定义域为()0,∞+,()()()2h x f x g x x ax lnx a 1(x 0)=+=-+++>，所以()212x ax 1x 2x a x xh -+=-+='所以当2Δa 80=-≤即a -≤≤()'x 0h >，()h x 在()0,∞+上单调递增；当2Δa 80=->即a a ><-当a <-()'x 0h >，()h x 在()0,∞+上单调递增；当a >时，令()'x 0h =得x =综上：当a ≤时，()h x 在()0,∞+上单调递增；当a >时()h x 在⎛ ⎝⎭，∞⎫+⎪⎪⎝⎭单调递增，在⎝⎭单调递减.（2）设函数()f x 在点()()11x ,f x 与函数()g x 在点()()22x ,g x 处切线相同，()()111x 2,x f x a g x''=-=，则()()()()121212f x g x x x x x f g -==-''，由1212x a x -=，得121a x 2x 2=+，再由()2112212x ax 1lnx a 1x x x -+-+=- 得2121122x x x ax 1lnx a x -=-+--，把121a x 2x 2=+代入上式得()222221a a lnx a 20*4x 2x 4++++-= 设()221a a F x lnx a 24x 2x 4=++++-（∵x 2＞0，∴x ∈（0，+∞））, 则()23231a 12x ax 1x 2x 2x x 2xF --=--+=' 不妨设20002x ax 10(x 0)--=>. 当00x x <<时，()x 0F '<，当0x x >时，()x 0F '>所以()F x 在区间()00,x 上单调递减，在区间()0x ,∞+上单调递增，把001a=2x x -代入可得：()()20000min1F x F x x 2x lnx 2x ==+-+- 设()21G x x 2x lnx 2x =+-+-，则()211x 2x 20x xG =+++>'对x 0>恒成立，所以()G x 在区间()0,∞+上单调递增，又()G 1=0所以当0x 1<≤时()G x 0≤，即当00x 1<≤时()0F x 0≤,又当2ax e -=时，()22a 42a 2a 1a a F x lne a 24e 2e 4---=-+++- 22a 11a 04e -⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭因此当00x 1<≤时，函数()F x 必有零点；即当00x 1<≤时，必存在2x 使得()*成立；即存在12x ,x 使得函数()f x 在点()()11x ,f x 与函数()g x 在点()()22x ,g x 处切线相同．又由()1y 2x 0,1x=-在单调递增得，因此(]0001a=2x ,x 0,1x -∈所以实数a 的取值范围是(],1-∞．【总结提升】（1）求切线方程的方法：①求曲线在点P 处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在点P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P 的切线，则P 点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程；(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 例4.（2019·山东高考模拟（文））已知函数ln 1()x f x x+=. (Ⅰ)证明：2()f x e x e ≤-； (Ⅱ)若直线(0)yax b a =+>为函数()f x 的切线，求b a的最小值.【答案】(1)见解析.(2) 1e-.【解析】(Ⅰ)证明：整理2()f x e x e ≤-得22ln 10(0)x e x ex x -++≤>令22()ln 1g x x e x ex =-++，2221(1)(21)()e x ex ex ex g x x x-++-+'==-当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x '>，所以()g x 在1(0,)e上单调递增；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0g x '<，所以()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以1()0g x g e ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，不等式得证.(Ⅱ)221(ln 1)ln ()x xf x x x-+-'==，设切点为()()00,x f x ，则02ln x a x -=，函数()f x 在()()00,x f x 点处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=- ()000200ln 1ln x x y x x x x +-=--，令0x =，解得002ln 1x b x +=，所以()0002ln 1ln x x ba x +=-，令()()00002ln 1ln x x h x x +=-，因为0a >，02ln 0x x ->，所以100<<x ， ()()()()20000000022202ln 3ln 2ln 12ln 1ln 12ln ln 1ln ln ln x x x x x x x h x x x x +---++-'=-=-=-，当010,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()00h x '<，所以()h x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()00h x '<，所以()h x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，因为100<<x ，()011h x h e e⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭. 【思路点拨】（1）由2()f x e x e ≤-即为22ln 10(0)x e x ex x -++≤>，令22()ln 1g x x e x ex =-++，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，即可得到结论；（2）求得函数()f x 的导数，设出切点，可得020ln x a x -=的值和切线方程，令0x =，求得002ln 1x b x +=，令()()00002ln 1ln x x h x x +=-，利用导数求得函数()0h x 的单调性与最小值．对于恒成立问题，往往要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．例5.（2014·北京高考真题（文））已知函数3()23f x x x =-. （1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论）【答案】【解析】(1)由3()23f x x x =-得2'()63f x x =-，令'()0f x =，得x =或x =，因为(2)10f -=-，(2f -=()2f -=(1)1f =-，所以()f x 在区间[2,1]-上的最大值为(f =（2）设过点P （1，t ）的直线与曲线()y f x =相切于点00(,)x y ，则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-，所以切线方程为2000(63)()y y x x x -=--，因此2000(63)(1)t y x x -=--，整理得：32004630x x t -++=，设()g x =32463x x t -++，则“过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”，()g x '=21212x x -=12(1)x x -，()g x 与()g x '的情况如下：x(,0)-∞0 (0,1)1 (1,)+∞()g x '+0 -+()g xt+3所以，31t -<<-是()g x 的极大值，31t -<<-是()g x 的极小值，当，即1t ≥-时，此时()g x 在区间(,0)-∞和(1,)+∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点，当，(1,)P t 时，此时()g x 在区间(,0)-∞和(,0)-∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点.当且(3,1)--，即时，因为，，所以()g x 分别为区间和()g x 上恰有1个零点，由于()g x 在区间(,0)-∞和(1,)+∞上单调，所以()g x 分别在区间(,0)-∞和上恰有1个零点.综上可知，当过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是.（3）过点A （-1，2）存在3条直线与曲线()y f x =相切；过点B （2，10）存在2条直线与曲线()y f x =相切；过点C （0，2）存在1条直线与曲线()y f x =相切.例6. （2018·天津高考真题（理））已知函数()xf x a =， ()log a g x x =，其中a >1.（I ）求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；（II ）若曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线与曲线()y g x =在点()()22,x g x 处的切线平行，证明()122lnln ln ax g x a+=-；（III ）证明当1ea e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线. 【答案】(Ⅰ)单调递减区间(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析. 【解析】（I ）由已知， ()xh x a xlna =-，有()xh x a lna lna ='-.令()0h x '=，解得x =0.由a >1，可知当x 变化时， ()h x '， ()h x 的变化情况如下表：所以函数()h x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞.（II ）由()x f x a lna '=，可得曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线斜率为1xa lna .由()1g x xlna='，可得曲线()y g x =在点()()22,x g x 处的切线斜率为21x lna .因为这两条切线平行，故有121xa lna x lna=，即()1221x x a lna =. 两边取以a 为底的对数，得21220a log x x log lna ++=，所以()122lnlnax g x lna+=-. （III ）曲线()y f x =在点()11,x x a 处的切线l 1： ()111xxy a a lna x x -=⋅-.曲线()y g x =在点()22,a x log x 处的切线l 2： ()2221a y log x x x x lna-=⋅-. 要证明当1ea e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线，只需证明当1ea e ≥时，存在()1,x ∈-∞+∞， ()20,x ∈+∞，使得l 1和l 2重合.即只需证明当1ea e ≥时，方程组1112121{1x x x a a lna x lnaa x a lna log x lna=-=-①②有解，由①得()1221x x a lna =，代入②，得1111120x x lnlna a x a lna x lna lna-+++=. ③ 因此，只需证明当1ea e ≥时，关于x 1的方程③存在实数解. 设函数()12x x lnlnau x a xa lna x lna lna=-+++，即要证明当1ea e ≥时，函数()y u x =存在零点.()()21x u x lna xa '=-，可知(),0x ∈-∞时， ()0u x '>；()0,x ∈+∞时， ()u x '单调递减，又()010u '=>， ()()212110lna u a lna ⎡⎤=-<⎢⎥⎥'⎢⎣⎦，故存在唯一的x 0，且x 0>0，使得()00u x '=，即()02010x lna x a-=.由此可得()u x 在()0,x -∞上单调递增，在()0,x +∞上单调递减.()u x 在0x x =处取得极大值()0u x .因为1ea e ≥，故()1ln lna ≥-，所以()()000000201212220xxlnlna lnlna lnlna u x a x a lna x x lna lna lna lna x lna +=-+++=++≥≥. 下面证明存在实数t ，使得()0u t <.由（I ）可得1xa xlna ≥+，当1x lna>时，有()()()1211lnlnau x xlna xlna x lna lna≤+-+++()22121lnlna lna x x lna lna=-++++，所以存在实数t ，使得()0u t <因此，当1e a e ≥时，存在()1,x ∈-∞+∞，使得()10u x =.所以，当1ea e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线. 例7.（2015·广东高考真题（理））（14分）（2015•广东）设a ＞1，函数f （x ）=（1+x 2）e x﹣a ．（1）求f （x ）的单调区间；（2）证明f （x ）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f （x ）在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m ，n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：m≤﹣1．【答案】（1）f （x ）=（1+x 2）e x﹣a 在（﹣∞，+∞）上为增函数．（2）见解析（3）见解析【解析】（1）f'（x ）=e x（x 2+2x+1）=e x（x+1）2∴f′（x ）≥0，∴f（x ）=（1+x 2）e x﹣a 在（﹣∞，+∞）上为增函数．（2）证明：由（1）问可知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数．又f （0）=1﹣a ， ∵a＞1．∴1﹣a ＜0∴f（0）＜0．当x→+∞时，f （x ）＞0成立． ∴f（x ）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点（3）证明：f'（x ）=e x（x+1）2，设点P （x 0，y 0）则）f'（x ）=e x0（x 0+1）2，∵y=f（x ）在点P 处的切线与x 轴平行，∴f'（x 0）=0，即：e x0（x 0+1）2=0， ∴x 0=﹣1将x 0=﹣1代入y=f （x ）得y 0=．∴，∴…10分令；g （m ）=e m﹣（m+1）g （m ）=e m﹣（m+1），则g'（m ）=e m﹣1，由g'（m ）=0得m=0．当m∈（0，+∞）时，g'（m ）＞0 当m∈（﹣∞，0）时，g'（m ）＜0 ∴g（m ）的最小值为g （0）=0…12分 ∴g（m ）=e m ﹣（m+1）≥0 ∴e m≥m+1∴e m（m+1）2≥（m+1）3即： ∴m≤…14分例8.（2019·四川棠湖中学高考模拟（文））已知抛物线2:4C x y = ，M 为直线:1l y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA,MB ，切点分别为A,B.（1）当M 的坐标为(0,-1)时，求过M,A,B 三点的圆的方程；（2）证明：以AB 为直径的圆恒过点M. 【答案】（1）22(1)4x y +-=（2）见证明【解析】（1）解：当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，由24,1,x y y kx ⎧=⎨=-⎩消y 得2440x kx -+=. (1) 令2(4)440k ∆=-⨯=，解得1k =±. 代入方程(1)，解得A(2,1),B(-2,1).设圆心P 的坐标为(0,)a ，由PM PB =，得12a +=，解得1a =. 故过,,M A B 三点的圆的方程为22(1)4x y +-=．（2）证明：设0(,1)M x -，由已知得24x y =，12y x '=，设切点分别为211(,)4x A x ，222(,)4x B x ，所以12MA x k =，22MB xk =，切线MA 的方程为2111()42x x y x x -=-即2111124y x x x =-，切线MB 的方程为2222()42x x y x x -=-即2221124y x x x =-．又因为切线MA 过点0(,1)M x -，所以得201111124x x x -=-. ① 又因为切线MB 也过点0(,1)M x -，所以得202211124x x x -=-. ②所以1x ，2x 是方程2011124x x x -=-的两实根，由韦达定理得1202,x x x +=124x x =-．因为2110(,1)4x MA x x =-+，2220(,1)4x MB x x =-+，所以22121020()()(1)(1)44x x MA MB x x x x ⋅=--+++22221212012012121()()21164x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+++++-+⎣⎦．将1202,x x x +=124x x =-代入，得0MA MB ⋅=. 所以以AB 为直径的圆恒过点M ．【压轴训练】1．（2019·湖南高考模拟（理））过抛物线()220x py p =>上两点,A B 分别作抛物线的切线，若两切线垂直且交于点()12P -，，则直线AB 的方程为（） A ．122y x =+ B ．134y x =+ C ．132y x =+ D ．124y x =+ 【答案】D 【解析】由22x py =，得22x y p=，∴'x y p =．设()()1122,,,A x y B x y ，则1212','x x x x x x y y p p====，抛物线在点A 处的切线方程为2112x x y x p p=-，点B 处的切线方程为2222x x y x p p=-，由21122222x x y x p px x y x p p⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得121222x x x x x y p +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又两切线交于点()1,2P -，∴12121222x x x x p+⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故得12122,4x x x x p +==- （*）． ∵过,A B 两点的切线垂直，∴121x x p p⋅=-，故212x x p =-，∴4p =，故得抛物线的方程为28x y =．由题意得直线AB 的斜率存在，可设直线方程为y kx b =+，由28y kx bx y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得2880x kx b --=， ∴12128,8x x k x x b +==- （**），由（*）和（**）可得14k =且2b =， ∴直线AB 的方程为124y x =+．故选：D ．2.（2019·山东高考模拟（文））设函数的图象上任意一点处的切线为，若函数的图象上总存在一点，使得在该点处的切线满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】，即又，即本题正确结果：3.（2019·山东高考模拟（理））已知函数()2f x x 2ax =+，()2g x 4a lnx b =+，设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，且在P 点处的切线相同，当()a 0,∞∈+时，实数b 的最大值是______．【答案】e 【解析】设()00,P x y ，()'22f x x a =+，()24'a g x x=．由题意知，()()00f x g x =，()()00''f x g x =，即2200024x ax a lnx b +=+，①200422a x a x +=，②解②得0x a =或02(x a =-舍)，代入①得：2234b a a lna =-，()0,a ∞∈+，()'684214b a alna a a lna =--=-，当140,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0b >，当14,a e ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，'0b <．∴实数b 的最大值是1144342b e e elne e ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．故答案为：2e ．4.（2013·北京高考真题（理））设l 为曲线C ：在点(1，0)处的切线.(I)求l 的方程；(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线l 的下方【答案】(I)(II)见解析【解析】 (1)设f(x)＝，则f′(x)＝所以f′(1)＝1，所以L 的方程为y ＝x －1.(2)证明：令g(x)＝x －1－f(x)，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g(x)>0(∀x>0，x≠1)． g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝.当0＜x ＜1时，x 2－1＜0，ln x ＜0，所以g′(x)＜0，故g(x)单调递减；当x>1时，x 2－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增．所以，g(x)>g(1)＝0(∀x>0，x≠1)．所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．5.（2015·天津高考真题（文））已知函数（Ⅰ）求的单调区间;（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;（Ⅲ）若方程有两个正实数根且,求证:.【答案】（Ⅰ）的单调递增区间是,单调递减区间是;（Ⅱ）见试题解析;（Ⅲ）见试题解析.【解析】（Ⅰ）由,可得的单调递增区间是,单调递减区间是;（Ⅱ）,,证明在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x,,对于任意的正实数,都有;（Ⅲ）设方程的根为,可得,由在单调递减,得,所以.设曲线在原点处的切线为方程的根为,可得,由在在单调递增,且,可得所以.试题解析:（Ⅰ）由,可得,当,即时,函数单调递增;当,即时,函数单调递减.所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是.（Ⅱ）设,则,曲线在点P处的切线方程为,即,令即则.由于在单调递减,故在单调递减,又因为,所以当时,,所以当时,,所以在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x,,对于任意的正实数,都有.（Ⅲ）由（Ⅱ）知,设方程的根为,可得,因为在单调递减,又由（Ⅱ）知,所以.类似的,设曲线在原点处的切线为可得,对任意的,有即.设方程的根为,可得,因为在单调递增,且,因此,所以.6.（2013·福建高考真题（文））已知函数（为自然对数的底数）（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；（Ⅱ）求函数的极值；（Ⅲ）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值（Ⅲ）的最大值为【解析】（1）由,得．又曲线在点处的切线平行于轴,得,即,解得．（2）,①当时,,为上的增函数,所以函数无极值．②当时,令,得,．,;,．所以在上单调递减,在上单调递增,故在处取得极小值,且极小值为,无极大值．综上,当时,函数无极小值当,在处取得极小值,无极大值．（3）当时,令,则直线:与曲线没有公共点,等价于方程在上没有实数解．假设,此时,,又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故．又时,,知方程在上没有实数解．所以的最大值为．解法二:（1）（2）同解法一．（3）当时,．直线:与曲线没有公共点,等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程:（*）在上没有实数解．①当时,方程（*）可化为,在上没有实数解．②当时,方程（*）化为．令,则有．令,得,当变化时,的变化情况如下表:当时,,同时当趋于时,趋于,从而的取值范围为．所以当时,方程（*）无实数解, 解得的取值范围是．综上,得的最大值为．7.（2013·北京高考真题（文））已知函数f(x)＝x2＋x sin x＋cos x.(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．【答案】（Ⅰ）求两个参数，需要建立两个方程.切点在切线上建立一个，利用导数的几何意义建立另一个，联立求解.（Ⅱ）利用导数分析曲线的走势，数形结合求解.【解析】由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x，得f′(x)＝2x＋sin x＋x(sin x)′－sin x＝x(2＋cos x)．（1）因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)．解得a＝0，b＝f(0)＝1. （5分）（2）设g(x)＝f(x)－b＝x2＋xsin x＋cos x－b.令g′(x)＝f′(x)－0＝x(2＋cos x)＝0，得x＝0.当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：所以函数g(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，且g(x)的最小值为g(0)＝1－b.①当1－b≥0时，即b≤1时，g(x)＝0至多有一个实根，曲线y＝f(x)与y＝b最多有一个交点，不合题意．②当1－b<0时，即b>1时，有g(0)＝1－b<0，g(2b)＝4b2＋2bsin 2b＋cos 2b－b>4b－2b－1－b>0.∴y＝g(x)在(0,2b)内存在零点，又y ＝g(x)在R 上是偶函数，且g(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴y＝g(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，在(－∞，0)也有唯一零点．故当b>1时，y ＝g(x)在R 上有两个零点，则曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有两个不同交点．综上可知，如果曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1，＋∞)．（12分）8.（2019·北京高考模拟（文））已知函数32()f x x ax =-．（Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 在区间]2,0[上的最小值；（Ⅱ）当3a >时，求证：过点(1,(1))P f 恰有2条直线与曲线()y f x =相切．【答案】（I ）4-.（Ⅱ）见解析. 【解析】（Ⅰ）当a ＝3时，f （x ）＝x 3﹣3x 2，f '（x ）＝3x 2﹣6x ＝3x （x ﹣2）．当x ∈[0，2]时，f '（x ）≤0，所以f （x ）在区间[0，2]上单调递减．所以f （x ）在区间[0，2]上的最小值为f （2）＝﹣4．（Ⅱ）设过点P （1，f （1））的曲线y ＝f （x ）的切线切点为（x 0，y 0），f '（x ）＝3x 2﹣2ax ，f （1）＝1﹣a ，所以()()()32000200001321y x ax y a x ax x ⎧=-⎪⎨--=--⎪⎩，．所以()3200023210x a x ax a -+++-=．令g （x ）＝2x 3﹣（a +3）x 2+2ax +1﹣a ，则g '（x ）＝6x 2﹣2（a +3）x +2a ＝（x ﹣1）（6x ﹣2a ），令g '（x ）＝0得x ＝1或3ax =，因为a ＞3，所以1a ＞．∴g （x ）的极大值为g （1）＝0，g （x ）的极小值为()103a g g ⎛⎫=⎪⎝⎭＜，所以g （x ）在3a ，⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上有且只有一个零点x ＝1．因为g （a ）＝2a 3﹣（a +3）a 2+2a 2+1﹣a ＝（a ﹣1）2（a +1）＞0，所以g （x ）在3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上有且只有一个零点．所以g （x ）在R 上有且只有两个零点．即方程()3200023210x a x ax a -+++-=有且只有两个不相等实根，所以过点P （1，f （1））恰有2条直线与曲线y ＝f （x ）相切． 9.（2019·四川高考模拟（理））已知函数，.（1）若，求函数在区间（其中，是自然对数的底数）上的最小值；（2）若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）由题意，可得，，令，得. ①当时，在上单调递减，∴.②当时，在上单调递减，在上单调递增，∴.综上，当时，，当时，.（2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线，则，∴，∴，代入得.∴问题转化为：关于的方程有解，设，则函数有零点，∵，当时，，∴. ∴问题转化为：的最小值小于或等于0.，设，则当时，，当时，.∴在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为.由知，故.设，则，故在上单调递增，∵，∴当时，，∴的最小值等价于.又∵函数在上单调递增，∴.10.（2019·湖南高考模拟（理））设函数()()()22,42x f x e ax g x x x =+=++.（Ⅰ）讨论()y f x =的极值；（Ⅱ）若曲线()y f x =和曲线()y g x =在点()0,2P 处有相同的切线，且当2x ≥-时，()()mf x g x ≥，求m 的取值范围 .【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21,e ⎡⎤⎣⎦.【解析】（Ⅰ）∵()()2xf x e ax =+，∴()()2xf x eax a '=++．①当0a =时，()20xf x e '=>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，无极值．②当0a >时，由()0f x '=得2a x a+=-，且当2a x a +<-时，()0,()f x f x '<单调递减；当2a x a+>-时，()0,()f x f x '>单调递增．所以当2a x a+=-时，()f x 有极小值，且()2=a a f x ae +--极小值，无极大值． ③当0a <时，由()0f x '=得2a x a+=-，且当2a x a +<-时，()0,()f x f x '>单调递增；当2a x a+>-时，()0,()f x f x '<单调递减．所以当2a x a+=-时，()f x 有极大值，且()2=a a f x ae +--极大值，无极小值．综上所述，当0a =时，()f x 无极值；当0a >时，()2=a af x ae +--极小值，无极大值；当0a <时， ()2=a af x ae +--极大值，无极小值．（Ⅱ）由题意得()2+4g x x '=，∵()y f x =和()y g x =在点()0,2P 处有相同的切线， ∴(0)(0)f g =''，即24a +=，解得2a =， ∴()()22xf x ex =+．令()()()()222(42)xF x mf x g x me x x x =-=+-++，则()()()124xF x me x '=-+，由题意可得()0220F m =-≥，解得1m ≥．由()0F x '=得12ln ,2x m x =-=-．①当ln 2m ->-，即21m e ≤<时，则120x -<≤，∴当()12,x x ∈-时，()0,()F x F x '<单调递减；当()1,x x ∈+∞时，()0,()F x F x '>单调递增， ∴()()2,F x -+∞在上的最小值为()()2112111224220F x x x x x x =+---=-+≥，∴()()mf x g x ≥恒成立．②当ln 2m -=-，即2m e =时，则()()2()124x F x ex +'=-+，∴当2x ≥-时，()0,()F x F x '≥在()2,-+∞上单调递增，又(2)0F -=，∴当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()mf x g x ≥恒成立． ③当ln 2m -<-，即2m e >时，则有()222(2)2220F me em e --=-=--+<-，从而当2x ≥-时，()()g x mf x ≤不可能恒成立．综上所述m 的取值范围为21,e ⎡⎤⎣⎦．11.（2019·天津高考模拟（理））已知函数()()()()21ln f x x x x a a R =---∈.(1)若()f x 在()0,∞+上单调递减，求a 的取值范围；(2)若()f x 在1x =处取得极值，判断当(]0,2x ∈时，存在几条切线与直线2y x =-平行，请说明理由； (3)若()f x 有两个极值点12,x x ，求证：1254x x +>. 【答案】(Ⅰ)(],1-∞；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)证明见解析. 【解析】(Ⅰ)由已知,()()11ln 2ln 2120x f x x x a x x a x x-=+--=--++≤'恒成立令()1ln 212g x x x a x=--++,则()()()222221111212(0)x x x x g x x x x x x-+--++='=+-=>, ()210x -+<,令()'0g x >,解得:01x <<,令()'0g x <,解得:1x >,故()g x 在()0,1递增,在()1,+∞递减,()()max 122g x g a ∴==-，由()'0f x ≤恒成立可得1a ≤.即当()f x 在()0,+∞上单调递减时,a 的取值范围是(],1-∞. (Ⅱ)()f x 在1x =处取得极值，则()’10f =，可得1a =. 令()1ln 232f x x x x -'=-+=-，即 1ln 250x x x--+=. 设()1ln 25h x x x x =--+，则()()()222221111212x x x x h x x x x x-+--++='=+-=. 故()h x 在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减，注意到()55520h eee --=--<，()()112,2ln202h h ==+>，则方程1ln 250x x x--+=在(]0,2内只有一个实数根，即当(]0,2x ∈时，只有一条斜率为2-且与函数()f x 图像相切的直线. 但事实上，若1a =，则()1'ln 23f x x x x=--+， ()()()2121''x x f x x--+=，故函数()'f x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,2上单调递减，且()'101230f =--+=，故函数()'0f x ≤在区间(]0,2上恒成立，函数()f x 在区间(]0,2上单调递减，即函数不存在极值点，即不存在满足题意的实数a ，也不存在满足题意的切线. (Ⅲ)若函数有两个极值点12,x x ,不妨设120x x <<，由(Ⅰ)可知1a >,且：()11111ln 212f x x x a x -+'=-+①, ()22221ln 212f x x x a x -+'=-+②, 由①-②得:()()112112122121221211ln20,2ln 0,2x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-+--=∴--=->∴< ⎪⎝⎭, 即12112x x e>> , 由①+②得:()()12121212ln 2240x x x x x x a x x ++--++=, ()121212ln 24124512242x x a x x x x ++-++∴+=>=++. 12.（2019·辽宁高考模拟（理））已知a R ∈，函数()()2ln ,0,6.f x a x x x =+∈()I 讨论()f x 的单调性；()II 若2x -是()f x 的极值点，且曲线()y f x =在两点()()()()1122,,,P x f x Q x f x 12x x 处的切线相互平行，这两条切线在y 轴上的截距分别为12,b b ，求12b b -的取值范围【答案】()I 当13a ≤时，()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；当13a >时，()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2,6a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；()II 2ln 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ）()2222a ax f x x x x-'=-+=.()0,6x ∈∴ ①当0a ≤时，()0f x '<在()0,6x ∈上恒成立. ∴ ()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；②当0a >，且26a≥，即103≤a <时，()0f x '<在()0,6x ∈上恒成立.∴ ()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；③当0a >，且26a <，即13a >时，在20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，在2,6x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，∴ ()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2,6a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.综上，当13a ≤时，()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；当13a >时，()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2,6a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. （Ⅱ）2x =是()f x 的极值点，∴由()1可知22,1a a=∴= 设在()()11.P x f x 处的切线方程为()112111221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在()()22,Q x f x 处的切线方程为()222222221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴若这两条切线互相平行，则2211222121x x x x -+=-+，121112x x ∴+= 令0x =，则1114ln 1b x x =+-，同理，2224ln 1b x x =+- 【解法一】211112x x =- 121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭ 111211114ln ln 22x x x ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设()182ln ln 2g x x x x ⎛⎫=--+-⎪⎝⎭，11,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2211168180122x x g x x x x x-+'∴=--=<--，()g x ∴在区间11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭即12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解法二】12122x x x =- 121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭1182ln 12x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭令()1182ln 12x g x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，其中()3,4x ∈ ()()2228181622x x g x x x x x -+'∴=-+=-- ()()22402x x x -=>-∴函数()g x 在区间()3,4上单调递增，()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭.∴ 12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解法三】()12122x x x x =+121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭ ()2111224ln ·x x x x x x -+ ()2112122ln x x x x x x -=++ 12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=++设()()21ln 1x g x x x-=++，则()()()()22214111x g x x x x x --'=+=++ 11211,122x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，()0g x ∴'>，∴函数()g x 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭ ∴ 12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.13.（2019·安徽高考模拟（文））已知函数()ln x f x x =+，直线l ：21y kx =-.（Ⅰ）设(,)P x y 是()y f x =图象上一点，O 为原点，直线OP 的斜率()k g x =，若()g x 在(,1)x m m ∈+(0)m 上存在极值，求m 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得直线l 是曲线()y f x =的切线？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）试确定曲线()y f x =与直线l 的交点个数，并说明理由. 【答案】11e m e k -<<=Ⅰ，（Ⅱ），（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）∵()ln (0)y x x g x x x x +==>，∴()1ln 0xg x x='-=，解得x e =. 由题意得： 01m e m <<<+，解得1e m e -<<.（Ⅱ）假设存在实数k ，使得直线是曲线()y f x =的切线，令切点()00,P x y ， ∴切线的斜率0121k x =+. ∴切线的方程为()()00001ln 1y x x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，又∵切线过（0，-1）点，∴()()000011ln 10x x x x ⎛⎫--+=+- ⎪⎝⎭.解得01x =，∴22k =， ∴1k =.（Ⅲ）由题意，令ln 21x x kx +=-，得 ln 12x x k x++=.令()ln 1(0)2x x h x x x ++=>， ∴()2ln 2xh x x-='，由()0h x '=，解得1x =. ∴()h x 在（0,1）上单调递增，在()1,+∞上单调递减，∴()()max 11h x h ==,又0x →时，()h x →-∞；x →+∞时，()1ln 11222x h x x +=+→， {}1,12k ⎛⎤∴∈-∞⋃ ⎥⎝⎦时，只有一个交点；1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有两个交点；()1,k ∈+∞时，没有交点.14. （2019·河北高考模拟（理））已知函数()xf x e =，()g x alnx(a 0)=>． ()1当x 0>时，()g x x ≤，求实数a 的取值范围；()2当a 1=时，曲线()y f x =和曲线()y g x =是否存在公共切线？并说明理由．【答案】（1）(]0,e ；（2）存在公共切线，理由详见解析.【解析】()1令()()ln m x g x x a x x =-=-，则()1a a x m x x x-=-='. 若0x a <<，则()0m x '>，若x a >，则()0m x '<.所以()m x 在()0,a 上是增函数，在(),a +∞上是减函数.所以x a =是()m x 的极大值点，也是()m x 的最大值点，即()max ln m x a a a =-.若()g x x ≤恒成立，则只需()max ln 0m x a a a =-≤，解得0a e <≤.所以实数a 的取值范围是(]0,e . ()2假设存在这样的直线l 且与曲线()y f x =和曲线()y g x =分别相切与点()()1122,,,ln x A x e B x x . 由()x f x e =，得()xf x e '=. 曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()111x x y e e x x -=-，即()1111x xy e x x e =+-. 同理可得，曲线()y g x =在点B 处的切线方程为()2121ln y x x x x -=-，即221ln 1y x x x =+-. 所以()11212111x x e x x e lnx ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩则()1111lne 1x x x e --=-，即()111110x x e x -++= 构造函数()()x11,h x x e x =-++ x R ∈ 存在直线l 与曲线()y f x =和曲线()y g x =相切,等价于函数()()x11h x x e x =-++在R 上有零点对于()1xh x xe ='-. 当0x ≤时，()0h x '>，()h x 在上单调递增.当0x >时，因为()()()'10x h x x e +'=-<，所以()h x '在()0,+∞上是减函数.又()()010,110h h e ''=>=-<，，所以存在()00,1x ∈，使得()00010x h x x e'=-=，即001x e x =. 且当()000,x x ∈，()0h x '>时，当()00,x x ∈+∞时，()0h x '<.综上，()h x 在()00,x 上是增函数，在()0,x +∞上是减函数.所以()0h x 是()h x 的极大值，也是最大值，且()()()()0000000max 0011111?10x h x h x x e x x x x x x ==-++=-++=+＞. 又()22310h e --=-<，()2230h e =-+<，所以()h x 在()02,x -内和()0,2x 内各有一个零点. 故假设成立，即曲线()y f x =和曲线()y g x =存在公共切线.15.（2019·广西高考模拟（理））已知函数1()ln f x x mx x =--在区间(0,1)上为增函数，m R ∈.（1）求实数m 的取值范围；（2）当m 取最大值时，若直线l ：y ax b =+是函数()()2F x f x x =+的图像的切线，且,a b ∈R ，求+a b 的最小值.【答案】（1）2m ≤；（2）+a b 的最小值为-1.【解析】（1）∵()1ln f x x mx x =--， ∴()211f x m x x=+-'．又函数()f x 在区间()0,1上为增函数，∴()2110f x m x x =-'+≥在()0,1上恒成立， ∴()221111124m t x x x x ⎛⎫≤+=+-= ⎪⎝⎭在()0,1上恒成立．令()()2211111,0,124t x x x x x ⎛⎫=+=+-∈ ⎪⎝⎭，则当1x =时，()t x 取得最小值，且()2min t x =，∴2m ≤，∴实数m 的取值范围为(],2∞-．（2）由题意的()11ln 22ln F x x x x x x x ⎛⎫=--+=- ⎪⎝⎭，则()211F x x x +'=，设切点坐标为0001,ln x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则切线的斜率()020011a f x x x ==+'，又0001ln x ax b x -=+， ∴002ln 1b x x =--， ∴020011ln 1a b x x x +=+--．令()211ln 1(0)h x x x x x=+-->，则()()()23233211212x x x x h x x x x x x'+-+-=-+==，故当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '<单调递减；当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '>单调递增． ∴当1x =时，()h x 有最小值，且()()11min h x h ==-，∴a b +的最小值为1-．16．（2019·四川高考模拟（理））已知函数()ln x a f x x e +=-．（1）若曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线与x 轴正半轴有公共点，求a 的取值范围；（2）求证：11a e>-时，()1f x e <--．【答案】（1）1a <-；（2）证明见解析.【解析】（1）函数f （x ）＝lnx ﹣e x +a 的导数为f ′（x ）＝1x﹣e x +a ．曲线f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为1﹣e 1+a ，切点为（1，﹣e 1+a ），可得切线方程为y +e 1+a ＝（1﹣e 1+a ）（x ﹣1），可令y ＝0可得x ＝111a e +-，由题意可得111a e+-＞0，可得e 1+a ＜1，解得a ＜﹣1；（2）证明：f ′（x ）＝1x ﹣e x +a ．设g （x ）＝f ′（x ）＝1x ﹣e x +a ．可得g ′（x ）＝﹣（21x +e x +a ），当x ＞0时，g ′（x ）＜0，g （x ）递减；由a ＞1﹣1e ，e x +a ＞e x ．若e x ＞1x ，g （x ）＜1x﹣e x ＜0，当0＜x ＜1时，e x +a ＜e 1+a ．若e 1+a ＜1x，即x ＜e ﹣1﹣a ，故当0＜x ＜e ﹣1﹣a 时，g （x ）＞0，即g （x ）＝f ′（x ）有零点x 0，当0＜x ＜x 0时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增；当x ＞x 0时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减，可得f （x ）≤f （x 0），又f （x 0）＝lnx 0﹣e x 0+a ，又e x 0+a ＝01x ，可得f （x 0）＝lnx 0﹣01x ，在x 0＞0递增，又a ＝ln 01x ﹣x 0＝﹣（lnx 0+x 0）， a ＞1﹣1e ⇔﹣（lnx 0+x 0）＞1﹣1e ＝﹣（ln 1e +1e），所以lnx 0+x 0＜ln 1e +1e，由于lnx 0+x 0递增，可得0＜x 0＜1e ，故f （x ）≤f （x 0）＜f （1e ）＝﹣1﹣e ．。

2023-2024高考模拟压轴卷(二) 数学试卷(含答案解析)

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（二）本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码､考场号､座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点()06,P y 在焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>上，若152PF =，则p =（）A.3B.6C.9D.122.电影《孤注一郑》的上映引发了电信诈骗问题的热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多（）A.6人B.9人C.12人D.18人3.已知0a b c >>>，则下列说法一定正确的是（）A.a b c >+ B.2a bc <C.2ac b >D.2ab bc b ac+>+4.已知向量()()2,3,1,2a b =-=- ，则a b + 在a b - 方向上的投影向量为（）A.816,1717⎛⎫-⎪⎝⎭ B.1220,1717⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.1220,1717⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.2020,1717⎛⎫- ⎪⎝⎭5.已知某正六棱柱的体积为（）A.18+B.18+C.24+D.24+6.已知甲､乙两地之间的路线图如图所示，其可大致认为是()()cos 03πf x x x =……的图像.某日小明和小红分别从甲､乙两地同时出发沿着路线相向而行，当小明到达乙地时，小红也停止前行.若将小明行走轨迹的点记为(),a b ，小红行走轨迹的点记为(),c d ，且满足3π2ac +=，函数()2g a bd =-，则()g a 的一个单调递减区间为（）A.4π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.π5π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.4π8π,33⎛⎫⎪⎝⎭D.()2π,3π7.已知椭圆22:1(09,)9x y C m m m+=<<∈Z 的左､右焦点分别为12,F F ，点P 在C 上但不在坐标轴上，且12PF F 是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为78，则m =（）A.4B.5C.6D.88.已知函数()()e eln e 1xmf x m x x=++-的定义域为()0,∞+，若()f x 存在零点，则m 的取值范围为（）A.1,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B.(]0,eC.10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦D.[)e,∞+二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知1232i,4i z z =+=-，则（）A.12z z +的虚部为-1B.1243z z -是纯虚数C.12z z 在复平面内所对应的点位于第一象限D.214iz z =+10.已知()7270127(43)13(13)(13)x a a x a x a x -=+-+-++- ，则（）A.4945a =B.77141ii a==-∑C.136024622a a a a +++=+D.613135722a a a a +++=-11.设()M x 是定义在*N 上的奇因函数，是指x 的最大奇因数，比如：()()33,63M M ==，()81M =，则（）A.对()()*,212k M k M k ∈-N …B.()()2M k M k =C.()()()1263931M M M +++= D.()126363M +++= 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}2450,{}A xx x B x x m =-->=>∣∣，若0m =，则()A B ⋂=R ð__________；若A B ⋃=R ，则m 的取值范围为__________.13.某校拟开设“生活中的数学”“音乐中的数学”“逻辑推理论”“彩票中的数学”和“数学建模”5门研究性学习课程，要求每位同学选择其中2门进行研修，记事件A 为甲､乙两人至多有1门相同，且甲必须选择“音乐中的数学”，则()P A =__________.14.定义：对于函数()f x 和数列{}n x ，若()()()10n n n n x x f x f x +-+='，则称数列{}n x 具有“()f x 函数性质”.已知二次函数()f x 图像的最低点为()0,4-，且()()121f x f x x +=++，若数列{}n x 具有“()f x 函数性质”，且首项为1的数列{}n a 满足()()ln 2ln 2n n n a x x =+--，记{}n a 的前n 项和为n S ，则数列52n n S ⎧⎫⎛⎫⋅-⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）公众号《全元高考》，且()2tan tan tan b B a B A B =-+.已知函数()在 ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，其中c =（1）求C ；（2）求a 2+b 2的取值范围.16.（15分）ln x f x x a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）讨论()f x 的最值；（2）若1a =，且()e x k xf x x-…，求k 的取值范围.17.（15分）在如图①所示的平面图形中，四边形ACDE 为菱形，现沿AC 进行翻折，使得AB ⊥平面ACDE ，过点E 作EF ∥AB ，且12EF AB =，连接,,FD FB BD ，所得图形如图②所示，其中G 为线段BD 的中点，连接FG .（1）求证：FG ⊥平面ABD ；（2）若2AC AD ==，直线FG 与平面BCD，求AB 的值.18.（17分）某汽车销售公司为了提升公司的业绩，现将最近300个工作日每日的汽车销售情况进行统计，如图所示.（1）求a 的值以及该公司这300个工作日每日汽车销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）以频率估计概率，若在所有工作日中随机选择4天，记汽车销售量在区间[200,250)内的天数为X ，求X 的分布列及数学期望；公众号《全元高考》公众号《全元高考》（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：抽奖区有,A B 两个盒子，其中A 盒中放有9张金卡､1张银卡，B 盒中放有2张金卡､8张银卡，顾客在不知情的情况下随机选择其中一个盒子进行抽奖，直到抽到金卡则抽奖结束（每次抽出一张卡，然后放回原来的盒中，再进行下次抽奖，中途可更换盒子），卡片结果的排列对应相应的礼品.已知顾客小明每次抽奖选择两个盒子的概率相同，求小明在首次抽奖抽出银卡的条件下，第二次从另外一个盒子中抽奖抽出金卡的概率.19.（17分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左顶点为A ，直线1:2l y x =-与C 的一条渐近线平行，且与C 交于点B ，直线AB 的斜率为13.（1）求C 的方程；（2）已知直线()2:28l y x m m =+≠与C 交于,P Q 两点，问：是否存在满足EA EP EP EQ EA EQ ⋅=⋅=⋅ 的点()00,E x y ？若存在，求2200x y -的值；若不存在，请说明理由.数学（二）一､选择题1.A 【解析】由抛物线的定义可知15622p PF =+=，解得3p =.故选A 项.2.B 【解析】设中年人抽取x 人，青少年抽取y 人，由分层随机抽样可知20080,48036480x ==36y，解得15,6x y ==，故中年人比青少年多9人.故选B 项.3.D 【解析】当3,2,1a b c ===时，a b c =+，且2ac b <，故A ，C 项错误；因为0a b >>，0a c >>，所以2a bc >，故B 项错误；()()()20ab bc b ac b c a b +-+=-->，故D 项正确.故选D项.4.C 【解析】由题意得()()1,1,3,5a b a b +=--=- ，则a b + 在a b - 方向上的投影向量为2()()1220(),1717||a b a b a b a b +⋅-⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，故选C 项.5.D 【解析】设该正六棱柱的底面边长为a ，高为h ，其外接球的半径为R，易知34ππ3R =，则R ==①26h ⋅⋅=②，联立①②，因为h ∈Z ，解得1,4a h ==，所以正六棱柱的表面积212624S ah =⋅+=.故选D 项.6.A 【解析】依题意得cos ,cos cos 3πcos 22a a b a d c ⎛⎫===-=- ⎪⎝⎭，且03π,03π3π,2a a⎧⎪⎨-⎪⎩…………解得03πa ……，则()2cos 2cos2cos 2cos 1222a a a g a a =+=+-，令cos 2at =，则[]1,1t ∈-，因为2221y t t =+-在区间11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭内单调递减，在区间1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增，所以()g a 在区间4π8π0,,2π,33⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内单调递减.故选A 项.7.B 【解析】依题意得126PF PF +=，设12F F n =，不妨设点P 在第一象限，则112PF F F n ==，则26(06)PF n n =-<<，故222122(6)7cos 28n n n PF F n ∠+--==或()22221(6)7cos 268n n n PF F n n ∠+--==-，解得4n =或2411n =，又2,2n m m ⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭Z 9，所以4,5n m ==.故选B 项.8.C 【解析】由题意得0m >，令()0f x =，则()ln ln ee ln e eln x mx x m x +++=+.令()e e x g x x =+，易知()g x 单调递增，所以()()ln ln g x m g x +=，即ln ln x m x +=，即ln ln m x x =-.令()ln h x x x =-，则()1xh x x'-=，当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,x ∞∈+时，()()0,h x h x '<单调递减，又()11h =-，当0x →时，()h x ∞→-，所以ln 1m -…，解得10em <….故选C 项.二､多选题9.BC 【解析】127i z z +=+的虚部为1，故A 项错误；124311i z z -=为纯虚数，故B 项正确；()()1232i 4i 145i z z =+-=+，其在复平面内所对应的点()14,5位于第一象限，故C项正确；24i 14i i iz -==--=，144z +=+，故D 项错误.故选BC 项.10.AC 【解析】依题意得()77(43)[313]x x -=+-，所以4347C 33527a =⨯=⨯=945，故A 项正确；令13x =，得03a =，令0x =，得7704i i a ==∑，所以777143i i a ==-∑，故B 项错误；令23x =，得7012345672a a a a a a a a =-+-+-+-①，又7012345674a a a a a a a a =+++++++②，由①+②可得77135024642222a a a a ++++==+，故C 项正确；同理，由②-①得136135722a a a a +++=-，故D 项错误.故选AC 项.11.ABD 【解析】由题意得()()2M k M k =，故B 项正确；()()()2,2121M k M k k M k k k =-=-……，故A 项正确；516312363632632+++++=⨯=⨯ ，所以()()123636363M M ++++== ，故D 项正确；()()()()1263[1M M M M +++=+ ()()][()()36324M M M M ++++++ ()][()6213631M M =+++++()()()1023121M M M ⎤⎡++=++⎦⎣ ()()][()()33124M M M M ++++++ ()108642030]222222M ==+++++=614136514-=-，故C 项错误.故选ABD 项.三､填空题12.()50,14x x ∞⎧⎫<--⎨⎬⎩⎭… 【解析】集合{1A xx =<-∣或54x ⎫>⎬⎭，所以R A =ð504B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭….若A B ⋃=R ，结合数轴可知1m <-，故m 的取值范围为(,1)∞--.13.925【解析】若甲､乙两人的选课都不相同则共有1243C C 4312=⨯=种；若甲､乙两人的选课有1门相同，则共有2114432C C C 24+=种.故()225512249C C 25P A +==.14.-5112【解析】由题意知()24(0)f x ax a =->，又()()()12121f x f x a x x +-=+=+，所以1a =，则()24f x x =-.由题意得()()2ln 2ln 2ln2n n n n n x a x x x +=+--=-，由()()()10n n n n x x f x f x +-+='，得()()1n n n n f x x x f x +='-，即2214422n n n n n nx x x x x x +-+=-=，又()()2211222,222n n n n nnx x x x x x +++-+=-=，所以()()21212222n n n n x x x x ++++=--，则1122ln 2ln 22n n n nx x x x ++++=--，即12n n a a +=，故{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12,21n n n n a S -==-.令n n c S =.()552122n n n ⎛⎫⎛⎫-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()111822n n nc c n -+-=-⋅-，故当8n …时，1n n c c +<，当9n …时，1n n c c +>，故()9min 5112n c c ==-.四､解答题15.解：（1）因为()()tan tan πtan A B C C +=-=-，所以2tan tan tan b B a B C=+，由正弦定理得sin 2tan sin tan tan B BA B C==+()2sin cos 2sin cos sin cos cos sin sin B C B CB C B C B C ==++2sin cos sin B C A因为sin 0,sin 0A B ≠≠，所以2cos 1C =，则1cos 2C =，又()0,πC ∈，所以π3C =.（2）由余弦定理得223a b ab =+-，因为222a b ab +…，所以22222222,22a b a b a b ab a b +++-+-=…即226a b +….当且仅当a b ==.又223a b ab +=+，且0ab >，所以223a b +>.综上，22a b +的取值范围为(]3,6.16.解：（1）由题意得()f x 的定义域为()0,∞+，()11,ax f x a x x-=-='当()0,0,a x ∞∈+…时，()0f x '<，所以()f x 在区间()0,∞+内单调递减，无最值；当0a >时，令()0f x '=，得1x a=，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '<单调递减，当1,x a ∞⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '>单调递增.故当1x a =时，()f x 取得最小值，且最小值为11ln f a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，无最大值.综上，当0a …时，()f x 无最值；当0a >时，()f x 的最小值为1ln a +，无最大值.（2）当1a =时，由()e x k xf x x -…，得e ln x k xx x x--…，整理得2e ln x k x x x x +-…，即2ln e x x x x xk +-….令()2ln e x x x x xh x +-=，则()h x '()()()2221ln 1e ln e e x xx x x x x x x +---+-=()()ln 1e x x x x --=，由（1）知，当1a =时，()ln f x x x =-的最小值为()110f =>，即ln 0x x ->恒成立，所以当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '>单调递增；当()1,x ∞∈+时，()()0,h x h x '<单调递减.故当1x =时，()h x 取得最大值()21e h =，即2e k …，故k 的取值范围为2,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.17.（1）证明：连接CE 交AD 于点O ，连接GO .在菱形ACDE 中，CE AD ⊥，因为AB ⊥平面,ACDE CE ⊂平面ACDE ，所以CE AB ⊥，又,,AB AD A AB AD ⋂=⊂平面ABD ，所以CE ⊥平面ABD .因为,G O 分别为,BD AD 的中点，所以1,2GO AB GO =∥AB ，又1,2EF AB EF =∥AB ，所以GO EF ∥，所以四边形GOEF 为平行四边形，所以FG ∥EO ，所以FG ⊥平面ABD .（2）解：在菱形ACDE 中，因为AC AD =，所以ACD 和ADE 都是正三角形，取ED 的中点H ，连接AH ，则AH AC ⊥，又AB ⊥平面ACDE ，所以,AB AC AB AH ⊥⊥，即,,AB AC AH 两两垂直.以A 为坐标原点，,,AB AC AH 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设2(0)AB a a =>，则1(0,2,0),(2,0,0),(,,2C B a D F a G a ⎛- ⎝则()2,2,0,(0,1BC a CD =-=-，30,,2FG ⎛= ⎝ .设平面BCD 的法向量为(),,m x y z =，则220,0,m BC ax y m CD y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 取1z =，则m ⎫=⎪⎪⎭.记直线FG 与平面BCD 所成角为θ，则||sin |cos ,|||||FG m FG m FG m θ⋅=〈〉===解得1a =，即AB 的值为2.18.解：（1）依题意得(0.0010.0020.00320.006)50 1.a ++++⨯=解得0.004a =.所求平均数为250.1750.15125⨯+⨯+⨯0.21750.32250.22750.05150+⨯+⨯+⨯=.（2）依题意得14,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()4425605625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()314142561C 55625P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭()222414962C ,55625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()33414163C 55625P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭()41145625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭X 01234P 25662525662596625166251625故()14455E X =⨯=.（3）设“选到A 盒”为事件1A ，“选到B 盒”为事件2A ，，摸到金卡”为事件1B ，，摸到银卡”为事件2B ，因为12,B B 是对立事件，所以()119121*********P B =⨯+⨯=.()()2191.20P B P B =-=由题意得()()1212P A P A ==，所以()()()12122P A B P A B P B ==∣()()()2112111102,9920P B A P A P B ⨯==∣则()()2212819P A B P A B =-=∣∣.故所求的概率89123791091045P =⨯+⨯=.19.解：（1）易知C 的一条渐近线方程为y x =，则a b =.设(),2B t t -，又(),0,0A a a ->，直线AB 的斜率为13，所以213t t a -=+，解得62a t +=，则62,22a a B ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入222x y a -=中，解得4a =.故C 的方程为2211616x y -=.（2）因为EA EP EP EQ ⋅=⋅ ，所以()0EP EA EQ ⋅-= ，即0EP QA ⋅=，所以PE AQ ⊥，同理可得,AE PQ EQ AP ⊥⊥.设()()1122,,,P x y Q x y ，联立221,16162.x y y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩整理得2234160x mx m +++=，由题意知()22Δ1612160m m =-+>，且8m ≠，解得m <-m >8m ≠，所以21212416,33m m x x x x ++=-=.过点A 与2l 垂直的直线的方程为122y x =--，设该直线与C 的右支交于另一点H ，联立221,161612,2x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩整理得238800x x --=，解得203x =或4x =-（舍去）.所以2016,33H ⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为(1122016,33PH AQ x y x ⎛⎫⋅=---⋅+ ⎪⎝⎭)22121220801644333y x x x x y ⋅=+----(122121220801642333y y x x x x x =+---+()()1212)225(1m x m x m x x -++=--+()()()22128016164802)54233333m m x x m m m m +⎛⎫++--=-⨯-+⋅-+- ⎪⎝⎭222216580168801603333333m m m m m m m -=--+++--=所以PH AQ ⊥，同理可证QH AP ⊥.又AH PQ ⊥，所以H 与E 重合.因为H 在C 上，所以220016x y -=.故存在点E 满足EA EP EP EQ EA EQ ⋅=⋅=⋅ ，且220ij x y -的值为16.。

高考数学专题02 分段函数及其应用(第二季)压轴题必刷题理-人教版高三全册数学试题

专题02分段函数及其应用第二季1．已知函数，若函数在定义域内有且只有三个零点，则实数的取值X围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数在定义域内有且只有三个零点，等价于有且有三个根，当时，，不是方程的根，当时，，令，当时，在单调递增，当时，在单调递增，在单调递减，图象如图所示：其中可得时与图象有三个交点，方程有且有三个根，函数在定义域内有且只有三个零点，所以实数的取值X围是，故选A..2．设f(x)＝．若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)成立，则实数a的取值X围是A．(0，) B．(，) C．(0，) D．(，)【答案】B3．已知定义域为R的奇函数，当时，满足，则A． B． C． D．0【答案】B【解析】定义域为的奇函数，可得，当时，满足，可得时，，则，，，，，，，，，故选B.4．已知函数，则函数的零点个数为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得：或，当时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，函数在处有极小值，绘制函数的图象如图所示，观察可得，函数的零点个数为3.本题选择B选项.5．已知，若恰有两个根，，则的取值X围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】作出f（x）的函数图象如图所示：由[f（x）]2=a可得f（x）=，∴＞1，即a＞1．不妨设x1＜x2，则x12=e=，令=t（t＞1），则x1=﹣，x2=lnt，∴x1+x2=lnt﹣，令g（t）=lnt﹣，则g′（t）=﹣ =，∴当1＜t＜4时，g′（t）＞0，当t＞4时，g′（t）＜0，∴当t=4时，g（t）取得最大值g（4）=ln4﹣2=2ln2﹣2．∴x1+x2≤2ln2﹣2．故选：C．6．对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值X围是( )．A．(－∞，－2]∪B．(－∞，－2]∪C．∪D．∪【答案】B表示为区间形式即.本题选择B选项.7．已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根,则实数a的取值X围为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为当时，有，所以在的图像与上的图像一致，故的图像如下图所示：因为直线与有两个不同的交点，故，选A．8．已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max，H2(x)＝min (max表示p，q中的较大值，min表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B ＝( )A．16 B．－16C．a2－2a－16 D．a2＋2a－16【答案】B【解析】令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣2（a+2）x+a2﹣[﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8]=2x2﹣4ax+2a2﹣8=2（x﹣a）2﹣8．①由2（x﹣a）2﹣8=0，解得x=a±2，此时f（x）=g（x）；②由h（x）＞0，解得x＞a+2，或x＜a﹣2，此时f（x）＞g（x）；③由h（x）＜0，解得a﹣2＜x＜a+2，此时f（x）＜g（x）．综上可知：（1）当x≤a﹣2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x）=[x﹣（a+2）]2﹣4a﹣4，H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）=﹣[x﹣（a﹣2）]2﹣4a+12，（2）当a﹣2≤x≤a+2时，H1（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=f（x）；（3）当x≥a+2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x），故A=g（a+2）=﹣[（a+2）﹣（a﹣2）]2﹣4a+12=﹣4a﹣4，B=g（a﹣2）=﹣4a+12，∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣（﹣4a+12）=﹣16．故选：B．9．若函数满足且时，，函数，则函数在区间内的零点的个数为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解析】因为，所以函数是周期为2的函数，作出时，的图象，并根据周期扩展到上，再作出函数的图象，如图所示：从图中易看出有8个交点，故选B.10．已知函数，其中表示不超过的最大整数．设，定义函数：，，，，则下列说法正确的有（）个①的定义域为；②设，，则；③；④若集合，则中至少含有个元素．A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【解析】①，当时，，所以；当时，成立，所以；当时，成立，所以；因此定义域为；②；；，因此；③因为，即，因此④由上可知为中元素，又，所以中至少含有个元素．综上共有3个正确说法，选C．11．已知函数，若，则的取值X围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，即；当时0，即；当时，由图可知；综上的取值X围是，选D．12．设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值X围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】不妨设，则，得，结合图象可知，则，故选C．13．已知定义在上的函数满足，且，则方程在区间上的所有实根之和为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】14．已知函数，若的图像与轴有个不同的交点，则实数的取值X围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于函数的图像与轴有个不同的交点，则方程有三个根，故函数与的图象有三个交点．由于函数，则其图象如图所示，从图象可知，当直线位于图中两虚线之间时两函数有三个交点，因为点能取到，则4个选项中区间的右端点能取到，排除BC，∴只能从中选，故只要看看选项区间的右端点是选还是选，设图中切点的坐标为，则斜率，又满足：，解得，∴斜率，故选B．15．已知定义域为R的奇函数，当时，满足，则A． B． C． D．0【答案】B【解析】定义域为的奇函数，可得，当时，满足，可得时，，则，，，，，，，，，故选B.16．定义函数，若存在实数使得方程无实数根，则实数的取值X围是（）A． B． C．D．【答案】C【解析】存在实数使得方程无实数根，等价于值域不为，当时，时，，时，，值域为，不合题意，排除；当时，时，，时，，值域为，不合题意，排除；当时，时，，时，，值域不为，合题意，排除，故选C. 17．已知函数，函数有四个不同的零点，且满足：，则的取值X围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】作出的解析式如图所示：根据二次函数的对称性知，且，，，因为所以当时，函数等号成立，又因为在递减，在递增，所以，所以的取值X围是，故选D.18．著名的狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集.现有如下四个命题：①；②函数为奇函数；③，恒有；④，恒有. 其中真命题的个数是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于①，时，，，故①错误；对于②，时，，时，，不是奇函数，故②错误；对③，时，，，时，，，故③正确.对④，时，，，④错误，故真命题个数为，故选A.19．设是定义在R上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B20．设，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值X围为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】函数在上单调递增，所以的值域为，当时，为增函数，在]上的值域为，由题意可得当时，为减函数，在]上的值域为，由题意可得当时，为常数函数，值域为，不符合题意；综上，实数的取值X围为. 故选D.。

压轴题型02 构造法在函数中的应用(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练

压轴题型02构造法在函数中的应用近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而终．因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数，本文以近几年的高考题和模考题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结，供大家参考．○热○点○题○型1构造法解决高考函数对称与周期性问题○热○点○题○型2主元构造法○热○点○题○型3分离参数构造法○热○点○题○型4局部构造法○热○点○题○型5换元构造法○热○点○题○型6特征构造法○热○点○题○型7放缩构造法一、单选题1．若正数x满足532-+=，则x的取值范围是（）.x x xA x2．设函数()f x =若曲线sin 22y x =+上存在点0(x ，0)y 使得00(())f f y y =成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[0，21]e e -+B ．[0，21]e e +-C ．[0，21]e e --D ．[0，21]e e ++3．“米”是象形字.数学探究课上，某同学用拋物线1和2构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线1C ，2C 的焦点分别为1F ，2F ，点P 在拋物线1C 上，过点P 作x 轴的平行线交抛物线2C 于点Q ，若124==PF PQ ，则p =（）A ．2B ．3C ．4D ．6树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据.玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12cm ，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O 上，则球O 的表面积为（）A ．272πcmB ．2162πcmC ．2216πcmD ．2288πcm 【答案】C【分析】根据题意可知正方体的体对角线即是外接球的直径，又因圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，可利用勾股定理得出正方体边长，继而求出球的表面积.【详解】不妨设正方体的边长为2a ，球О的半径为R ，则圆柱的底面半径为a ，因为正方体的体对角线即为球О直径，故223R a =，利用勾股定理得：222263a R a +==，解得18a =，球的表面积为2ππ44318216πS R ==⨯⨯=，故选：C.5．若函数()()有两个零点，则实数的取值范围是（）A ．()1,2B ．()0,2C ．()1,+∞D ．(),2-∞【答案】A【分析】将函数()()ln 2f x x a x a =+-+有两个零点的问题转化为函数ln ,(2)y x y a x a ==--的图象交点个数问题，结合导数的几何意义，数形结合，即可求解.【详解】由()()ln 2f x x a x a =+-+有两个零点，即()ln 20x a x a +-+=有两个正根，即函数ln ,(2)y x y a x a ==--的图象有2个交点，直线(2)y a x a =--可变为(1)20a x x y -++-=，令=1x -，则=2y -，即直线(2)y a x a =--过定点(1,2)P --，当该直线与ln y x =相切时，设切点为00(,)x y ，则1y x'=，则000ln 211x x x +=+，即001ln 10x x -+=，令1g()ln 1,(0)x x x x=-+>，则()g x 在(0,)+∞上单调递增，又(1)0g =，故1g()ln 1,(0)x x x x=-+>有唯一零点1x =，故01x =，即(2)y a x a =--与曲线ln y x =相切时，切点为(1,0)，则切线斜率为1，要使函数ln ,(2)y x y a x a ==--的图象有2个交点，需满足021a <-<，即(1,2)a ∈，故选：A【点睛】方法点睛：根据函数的零点个数求解参数范围，一般方法：（1）转化为函数最值问题，利用导数解决；（2）转化为函数图像的交点问题，数形结合解决问题；（3）参变分离法，结合函数最值或范围解决.6．已知()f x 是定义域为R 的函数，()220f x +为奇函数，()221f x +为偶函数，当10x -≤<时，()f x =()()()60y f x a x a =-+>有5个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．11,73⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,124⎛ ⎝⎭C ．⎝⎭D ．11,62⎛⎫ ⎪⎝⎭当直线()2y a x =-与圆()()22910x y y -+=≥相切时，271aa +()2y a x =-与圆()()22510x y y -+=≥相切时，2311a a =+，解得32124a <<．故选：B ．【点睛】通过函数的奇偶性挖掘周期性与函数图像的对称性，从而能作出整个函数的大致图像，将函数零点转化为方程的根，再转化为两个函数图像交点的横坐标．交点的个数时注意数形结合思想的应用，动中蕴静，变化中抓住不变，抓住临界状态，利用直线与圆相切，借助点到直线的距离公式得到参数的临界值，从而求出参数的取值范围，考生综合分析问题和解决问题的能力要求比较高．二、填空题7．已知函数21()(1)1x f x x x -⎛⎫=> ⎪+⎝⎭，如果不等式1(1)()(x f x m m -->-对11,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数m 的取值范围_______________.5⎛⎫①ln52<；②lnπ>③11<；④3ln2e>其中真命题序号为__________.9．设函数4()log ,0f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的函数()()()()2g 23x fx a f x =-++恰好有四个零点，则实数a 的取值范围是____________.令()f x t =，函数()()()()2g 23x fx a fx =-++恰好有四个零点．则方程()()()2230f x a f x -++=化为()2230t a t -++=，设()2230t a t -++=的两根为12,t t ，因为123t t =，所以两根均大于0，且方程的一根在区间(]0,1内，另一根在区间()2+∞，内．令()()223g t t a t =-++所以()()()()2Δ2120001020a g g g ⎧=+->⎪>⎪⎨≤⎪⎪<⎩，解得：2a ≥，综上：实数a 的取值范围为[)2,.∞+故答案为：[)2,.∞+【点睛】复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数.三、解答题10．已知正数a b 、满足1a b +=，求M =的最小值.11．已知函数在处的切线方程为(1).求()f x 的解析式；(2).若对任意的0x >，均有()10f x kx -+≥求实数k 的范围；(3).设12x x ，为两个正数，求证:()()()121212f x f x x x f x x +++>+。

新高考数学高考数学压轴题多选题专项训练分类精编含解析(2)

一、数列多选题1．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．a 8＝34 B ．S 8＝54C ．S 2020＝a 2022－1D ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝a 2022答案：BCD 【分析】由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误；对于B ，，故B 正确；对于C ，可解析：BCD 【分析】由题意可得数列{}na 满足递推关系()12211,1,+3nn n aa a aan --===≥，依次判断四个选项，即可得正确答案.【详解】对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误；对于B ，81+1+2+3+5+8+13+2154S ==，故B 正确；对于C ，可得()112nn n a aan +-=-≥，则()()()()1234131425311++++++++++nn n a a a a aa a a aa a a aa+-=----即212++1nnn n S a a aa++=-=-，∴202020221Sa=-，故C 正确；对于D ，由()112n n n a aan +-=-≥可得，()()()135202124264202220202022++++++++a a a a a a a a a aaa=---=，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，()12211,1,+3nn n a a a aan --===≥，能根据数列性质利用累加法求解.2．已知数列{}na 中，11a =，1111n na a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212n at a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（）A ．－4B ．－2C ．0D ．2答案：AB 【分析】由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解. 【详解】，，则，，，，上述式子累加可得：，，对于任意的恒成立解析：AB 【分析】由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n =-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解. 【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-，上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<， ()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误，故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.3．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}na 称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{}na 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68a =B ．733S =C ．13520192022a a a aa++++=D ．22212201920202019a a a aa+++=答案：ABD 【分析】根据，，，计算可知正确；根据，，，，，，累加可知不正确；根据，，，，，，累加可知正确. 【详解】依题意可知，，，，，，，，故正确；，所以，故正确；由，，，，，，可得，故不解析：ABD 【分析】根据11a =，21a =，21n n n aaa ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018aaa=-，累加可知C 不正确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a aaaaaaa=-=-，累加可知D 正确. 【详解】依题意可知，11a =，21a =，21n n naaa ++=+，312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确；7565813a a a =+=+=，所以712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018aaa=-，可得13572019a a a a a+++++=242648620202018a a a a a a a aa+-+-+-++-2020a=，故C 不正确；2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a aaaaaaa=-=-，所以2222212342019a a a a a +++++122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a aaaa=+-+-+-+-20192020aa=，所以22212201920202019a a a aa+++=，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题.4．已知数列{}na 满足112a =-，111n na a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（） A ．2-B ．23C ．32D ．3答案：BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论．【详解】因为数列满足，，；；；数列是周期为3的数列，且前3项为，，3；故选：．【点睛】本题主要解析：BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论．【详解】因为数列{}n a 满足112a =-，111n na a +=-，212131()2a ∴==--； 32131a a==-； 4131112a a a ==-=-； ∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-，23，3；故选：BD ．【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．5．设数列{}na 的前n 项和为*()nS n N ∈，关于数列{}na ，下列四个命题中正确的是（） A ．若1*()n naa n N +∈=，则{}na 既是等差数列又是等比数列B ．若2nS An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}na 是等差数列C ．若()11n nS =--，则{}na 是等比数列D ．若{}na 是等差数列，则nS ，2n n SS -，*32()n nS S n N -∈也成等差数列答案：BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: ,得是等差数列，当时不是等比数列，故错; 选项B: ,,得是等差数列，故对; 选项C: ,,当时也成立，是等比数列解析：BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n aa +∴-=得{}na 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2nS An Bn =+,12nn a aA -∴-=,得{}na 是等差数列，故对;选项C: ()11n nS =--,112(1)(2)n nn nS Sa n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n na -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}na 是等差数列，由等差数列性质得nS ，2n n SS -，*32()n nS S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.6．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（） A ．4B ．5C ．7D ．8答案：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为，公差即每一层比上一层多的根数为，设一共放层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差解析：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差即每一层比上一层多的根数为1d =，设一共放()2n n ≥层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差为1d =，设一共放()2n n ≥层，则总得根数为：()()111110022n n n d n n S na na --=+=+= 整理得120021a n n=+-，因为1a *∈N，所以n 为200的因数，()20012n n+-≥且为偶数，验证可知5,8n =满足题意. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题.7．公差不为零的等差数列{}na 满足38aa =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的A ．110S =B ．10nnS S-=（110n ≤≤）C ．当110S >时，5nS S ≥D ．当110S <时，5nS S ≥答案：BC 【分析】设公差d 不为零,由，解得，然后逐项判断. 【详解】设公差d 不为零, 因为，所以，即，解得，，故A 错误；，故B 正确；若，解得，，故C 正确；D 错误；故选：BC解析：BC 【分析】设公差d 不为零,由38a a =，解得192a d =-，然后逐项判断. 【详解】设公差d 不为零, 因为38a a =，所以1127a d a d +=+，即1127a d a d +=--，解得192a d =-， 11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=≠ ⎪⎝⎭，故A 错误； ()()()()()()221101110910,10102222n n n n n n d d na d n n n a n n S S d ----=+=-=-+=-，故B 正确；若11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=> ⎪⎝⎭，解得0d >，()()22510525222n d d d n n S n S =-=--≥，故C 正确；D 错误；8．设{}na 是等差数列，nS是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（） A ．0d > B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为nS 的最大值答案：BD 【分析】设等差数列的公差为，依次分析选项即可求解. 【详解】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：是等差数列，若，则，故B 正确；又由得，则有，故A 错误；而C 选项，，即，可得，解析：BD 【分析】设等差数列{}na 的公差为d ，依次分析选项即可求解.【详解】根据题意，设等差数列{}na 的公差为d ，依次分析选项：{}na 是等差数列，若67SS =，则7670S S a -==，故B 正确；又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误；而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a+>，又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的.∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为nS 的最大值，故D 正确；故选：BD. 【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题.9．已知等差数列{}na 的前n 项和为nS ()*n N ∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（） A ．2d =-B ．120a=-C ．当且仅当10n =时，nS 取最大值D ．当0nS <时，n 的最小值为22答案：AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由解不等式可判断D ．【详解】等差数列的前n 项和为，公差，由，可解析：AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由0nS <解不等式可判断D ．【详解】等差数列{}na 的前n 项和为nS，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化为1100a d +=，②由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222na n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-，由22144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，可得10n =或11时，n S 取得最大值110；由2102nS n n -<=，解得21n >，则n 的最小值为22.故选：AD 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题. 10．下列命题正确的是（）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}na的公差0d >，则{}na 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c可能成等差数列D ．若数列{}na是等差数列，则数列{}12++nn aa也是等差数列答案：BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知，必是递增数列；C 选项：时，是等差数列，而a = 1，解析：BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知0d >，{}na必是递增数列；C 选项：1a b c ===时，1111a b c===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立；D 选项：数列{}na是等差数列公差为d ，所以11112(1)223(31)nn a aa n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；故选：BCD 【点睛】本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题.11．在下列四个式子确定数列{}na 是等差数列的条件是（）A ．na knb =+（k ，b 为常数，*n N ∈）； B ．2n naa d +-=（d 为常数，*n N ∈）；C ．()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ； D ．{}na 的前n 项和21nSn n =++（*n N ∈）.答案：AC 【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．【详解】A 选项中（，为常数，），数列的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B 选项中（为常数，），不符合从第二项起解析：AC 【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．【详解】A 选项中na knb =+（k ，b 为常数，*n N ∈），数列{}na 的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确， B 选项中2n naa d +-=（d 为常数，*n N ∈），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误； C 选项中()*2120n n n aaa n ++-+=∈N ，对于数列{}na 符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；D 选项{}na 的前n 项和21nSn n =++（*n N ∈），不符合2nS An Bn =+，所以{}na 不为等差数列．故错误．故选：AC 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12．无穷数列{}na 的前n 项和2nSan bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（）A ．{}na 可能为等差数列B ．{}na 可能为等比数列 C ．{}na 中一定存在连续三项构成等差数列 D ．{}na 中一定存在连续三项构成等比数列答案：ABC 【分析】由可求得的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当时，．当时，．当时，上式＝．所以若是等差数列，则所以当时，是等差数列，时是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列．解析：ABC 【分析】由2nS an bn c =++可求得na 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S abc ==++．当2n ≥时，()()221112nnn a S San bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+．当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}na 是等差数列，则0.ab a bc c +=++∴=所以当0c时，{}n a 是等差数列， 00a cb ==⎧⎨≠⎩时是等比数列；当0c ≠时，{}na 从第二项开始是等差数列．故选：A B C 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和nS 与通项公式na 的关系，利用nS 求通项公式，属于基础题．二、等差数列多选题13．在等差数列{}na 中，公差0d ≠，前n 项和为nS，则（）A ．4619a a a a >B ．130S >，140S <，则78a a >C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12SD ．若2nS n n a =-+，则0a =解析：AD 【分析】对于A ，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于B ，根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<，进而可得80a <，由此可知78||||a a <，故B 不正确；对于C ，由915S S =得到，12130a a +=，然后分类讨论d 的符号可得答案；对于D ，由nS 求出na 及1a ，根据数列{}na 为等差数列可求得0a =.【详解】对于A ，因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =，且0d ≠，所以24619150a a a a d -=>，所以4619a a a a >，故A 正确；对于B ，因为130S >，140S <，所以77713()1302a a a +=>，即70a >，787814()7()02a a a a +=+<，即780a a +<，因为70a >，所以80a <，所以7878||||0a a a a -=+<，即78||||a a <，故B 不正确；对于C ，因为915S S =，所以101114150a a a a ++++=，所以12133()0a a +=，即12130a a +=，当0d >时，等差数列{}na 递增，则12130,0a a <>，所以n S 中的最小值是12S ，无最大值；当0d <时，等差数列{}na 递减，则12130,0aa ><，所以n S 中的最大值是12S ，无最小值，故C 不正确；对于D ，若2nS n n a =-+，则11a S a ==，2n ≥时，221(1)(1)nnn a S Sn n a n n a -=-=-+--+--22n =-，因为数列{}n a 为等差数列，所以12120a a =⨯-==，故D 正确.故选：AD 【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键.14．题目文件丢失！15．已知数列{}na 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（）A ．0,2,nn a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n na -=-+C ．2sin 2n n a π=D ．cos(1)1na n π=-+解析：BD 【分析】根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】解：因为数列{}na 的前4项为2，0，2，0，选项A ：不符合题设；选项B ：01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+=23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；选项C ：，12sin2,2a π==22sin 0,a π==332sin 22a π==-不符合题设；选项D ：1cos012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.故选：BD. 【点睛】本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题.16．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（） A ．4 B ．5 C ．7D ．8解析：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差即每一层比上一层多的根数为1d =，设一共放()2n n ≥层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差为1d =，设一共放()2n n ≥层，则总得根数为：()()111110022n n n d n n S na na --=+=+=整理得120021a n n=+-，因为1a *∈N ，所以n 为200的因数，()20012n n+-≥且为偶数，验证可知5,8n =满足题意. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题. 17．已知数列{}na ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记nS为数列{}na 的前n 项和，则下列结论正确的是（）A ．68S a = B ．733S =C ．13520212022a a a aa++++=D ．2222123202020202021a a a a aa++++=解析：BCD 【分析】根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误．【详解】对A ，821a =，620S =，故A 不正确；对B ，761333S S =+=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020aaa=-，可得13520212022a a a aa +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；对D ，该数列总有21n n n aaa ++=+，2121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018aaaa-，220202020202120202019a aaaa=-，故2222123202020202021a a a a a a+++⋅⋅⋅+=，故D 正确．故选：BCD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n na aa ++=+对所给式子进行变形.18．已知等差数列{}na 的公差不为0，其前n 项和为nS，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（）A ．59823a a S +=B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =解析：BD【分析】设等差数列{}na 的公差为d ，根据条件12a 、8S、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出na 、nS 的表达式，进而可判断各选项的正误.【详解】设等差数列{}na 的公差为d ，则8118788282S a d a d ⨯=+=+，9119899362S a d a d ⨯=+=+，因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122nnn d n n dS na --=+=.对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d S d -⨯==-，A 选项错误；对于B 选项，()2229272d S d -⨯==-，()2779772d S d -⨯==-，B 选项正确；对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误；对于D 选项，50a =，D 选项正确.故选：BD. 【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和nS 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解. 19．定义11222n nna a a H n-+++=为数列{}na 的“优值”.已知某数列{}na 的“优值”2n nH =，前n 项和为nS ，则（）A ．数列{}na 为等差数列 B ．数列{}na 为等比数列C ．2020202320202S =D ．2S ，4S ，6S 成等差数列解析：AC 【分析】由题意可知112222n n nna a a H n-+++==，即112222n n na a a n -+++=⋅，则2n ≥时，()()111221212n n n n na n n n ---=⋅--⋅=+⋅，可求解出1na n =+，易知{}na 是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出nS ，判断C ，D 的正误.【详解】解：由112222n n nna a a H n-+++==，得112222n n na a a n -+++=⋅，①所以2n ≥时，()211212212n n n a a an ---+++=-⋅，②得2n ≥时，()()111221212n n n n na n n n ---=⋅--⋅=+⋅，即2n ≥时，1na n =+，当1n =时，由①知12a =，满足1na n =+．所以数列{}na 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错，所以()32n n n S +=，所以2020202320202S =，故C 正确．25S =，414S =，627S =，故D 错，故选：AC ．【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般.20．数列{}n a 满足11,121n n naa a a +==+，则下列说法正确的是（） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2nS n =C ．数列{}na 的通项公式为21nan =-D ．数列{}na 为递减数列解析：ABD【分析】首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=，从而得到1na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.【详解】对选项A ，因为121n n naa a +=+，11a =，所以121112n n nna a a a ++==+，即1112n na a+-= 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确.对选项B ，由A 知：112121nn n a数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21212n n n S n +-==，故B 正确. 对选项C ，因为121nn a =-，所以121n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为121n a n =-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题.21．设等差数列{}na 的前n 项和为nS，若39S =，47a =，则（）A ．2nS n =B ．223nS n n =-C ．21na n =-D ．35na n =-解析：AC 【分析】利用等差数列{}na 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出na 与nS ．【详解】等差数列{}na 的前n 项和为n S ．39S =，47a =，∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩，解得11a =，2d =，1(1)221na n n ∴+-⨯=-=．()21212nn nS n +-==故选：AC ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．22．已知数列{}na 满足：13a =，当2n ≥时，()21111nn a a-=++-，则关于数列{}na 说法正确的是（）A ．28a =B ．数列{}na 为递增数列C ．数列{}na 为周期数列D ．22na n n =+解析：ABD【分析】由已知递推式可得数列{}1na +是首项为112a +=，公差为1的等差数列，结合选项可得结果. 【详解】()21111nn a a-=++-得()21111nn a a-+=++，∴1111nn a a-+=++，即数列{}1na +是首项为112a +=，公差为1的等差数列，∴12(1)11na n n +=+-⨯=+，∴22na n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}na 为递增数列，所以易知ABD 正确，故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.23．无穷数列{}na 的前n 项和2nSan bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（）A ．{}na 可能为等差数列 B ．{}na 可能为等比数列 C ．{}na 中一定存在连续三项构成等差数列 D ．{}na 中一定存在连续三项构成等比数列解析：ABC 【分析】由2nS an bn c =++可求得na 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S abc ==++．当2n ≥时，()()221112nnn a S San bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+．当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}na 是等差数列，则0.ab a bc c +=++∴=所以当0c时，{}na 是等差数列， 00a cb ==⎧⎨≠⎩时是等比数列；当0c ≠时，{}na 从第二项开始是等差数列．故选：A B C 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和nS 与通项公式na 的关系，利用nS 求通项公式，属于基础题．24．等差数列{}na 的前n 项和为n S ，若90a <，100a >，则下列结论正确的是（）A ．109S S >B ．170S <C ．1819S S >D ．190S>解析：ABD 【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出A 正确；根据题意可知数列为递减数列，则190a >，又181919S S a =-，进而可知1516S S >，判断出C 不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知()01179179172171722aaa Sa <+⨯⨯===，()1191019101921919022aaa S a +⨯⨯===>，故BD 正确.【详解】根据题意可知数列为递增数列，90a <，100a >，∴前9项的和最小，故A 正确； ()11791791721717022a a a S a +⨯⨯===<，故B 正确；()1191019101921919022aaa S a +⨯⨯===>，故D 正确；190a >，181919S S a ∴=-， 1819S S ∴<，故C 不正确. 故选：ABD . 【点睛】本题考查等差数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.三、等比数列多选题25．题目文件丢失！ 26．题目文件丢失！27．在数列{}na 中，如果对任意*n N ∈都有211n n n na a k aa+++-=-（k 为常数），则称{}na 为等差比数列，k 称为公差比.下列说法正确的是（） A ．等差数列一定是等差比数列 B ．等差比数列的公差比一定不为0 C ．若32n na =-+，则数列{}na是等差比数列D ．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比解析：BCD 【分析】考虑常数列可以判定A 错误，利用反证法判定B 正确，代入等差比数列公式判定CD 正确. 【详解】对于数列{}na ，考虑121,1,1nn n aaa++===，211n n n na aa a+++--无意义，所以A 选项错误；若等差比数列的公差比为0，212110,0n n n n n na aa a a a+++++---==，则1n n a a +-与题目矛盾，所以B 选项说法正确；若32n n a =-+，2113n n n na aa a+++-=-，数列{}n a 是等差比数列，所以C 选项正确；若等比数列是等差比数列，则11,1n n q a a q -=≠，()()11211111111111n n nn n n n n n na q q a a a q a q q a a a q a q a q q +++--+---===---，所以D 选项正确. 故选：BCD 【点睛】易错点睛：此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意：（1）常数列作为特殊的等差数列公差为0；（2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1.28．已知数列{}na 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中正确的是（）A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．13n S n= C ．13(1)n a n n =--D ．{}3nS 是等比数列解析：ABD 【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥代入已知式，可得{}n S 的递推式，变形后可证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，从而可求得nS ，利用nS 求出na ，并确定3n S 的表达式，判断D．【详解】因为1(2)n n n a S S n -=-≥，1130n n n n S S S S ---+=，所以1113nn S S--=，所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，A 正确；公差为3，又11113S a ==，所以133(1)3nn n S =+-=，13n S n =．B 正确； 2n ≥时，由1n n n a S S -=-求得13(1)n a n n =-，但13a =不适合此表达式，因此C 错；由13n S n =得1311333n n n S +==⨯，∴{}3n S 是等比数列，D 正确．故选：ABD．【点睛】本题考查等差数列的证明与通项公式，考查等比数列的判断，解题关键由1(2)n n n a S S n -=-≥，化已知等式为{}n S 的递推关系，变形后根据定义证明等差数列．29．已知数列{}na 前n 项和为nS.且1a p =，122(2)nn S Sp n --=≥（p 为非零常数）测下列结论中正确的是（）A ．数列{}na 为等比数列 B ．1p =时，41516S = C ．当12p =时，()*,m n m n a a a m n N +⋅=∈ D ．3856a a a a +=+解析：AC 【分析】由122(2)nn S Sp n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 错误；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确．【详解】由122(2)n n S S p n --=≥，得22p a =. 3n ≥时，1222n n SSp ---=，相减可得120nn a a--=，又2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列，故A 正确；由A 可得1p =时，44111521812S -==-，故B 错误；由A 可得mnm na a a+⋅=等价为2121122m n m n p p ++⋅=⋅，可得12p =，故C 正确；38271133||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，56451112||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，则3856a a a a +>+，即D 不正确；故选：AC. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的递推关系式，考查学生的计算能力，属于中档题．30．设等比数列{}na 的公比为q ，其前n 项和为nS，前n 项积为nT ，并且满足条件11a >，671a a >，67101a a -<-，则下列结论正确的是（） A ．01q <∴<与671a a >矛盾；若1q ≥，则11a >∴671,1a a >>∴67101a a ->-与67101a a -<-矛盾；因此01q <<，所以A 正确；667710101a a a a -<∴>>>-，因此2768(,1)0a a a =∈，即B 正确；因为0na >，所以n S 单调递增，即n S 的最大值不为7S ，C 错误；因为当7n ≥时，(0,1)na ∈，当16n ≤≤时，(1,)na ∈+∞，所以nT 的最大值为6T ，即D正确；故选：ABD 【点睛】本题考查等比数列相关性质，考查综合分析判断能力，属中档题.31．记单调递增的等比数列{}na 的前n 项和为nS，若2410a a +=，23464a a a =，则（） A ．112n n nSS ++-=B ．12n naC ．21n nS =-D ．121n nS -=-解析：BC 【分析】先求得3a ，然后求得q ，进而求得1a ，由此求得1,,nnn na S SS +-，进而判断出正确选项.【详解】由23464a a a =得3334a =，则34a =．设等比数列{}na 的公比为()0q q ≠，由2410a a +=，得4410q q+=，即22520q q -+=，解得2q 或12q =．又因为数列{}na 单调递增，所以2q，所以112810a a +=，解得11a =．所以12n na，()1122112n nnS ⨯-==--，所以()1121212n n n n n S S ++-=---=.故选：BC 【点睛】本题考查等比数列的通项公式、等比数列的性质及前n 项和，属于中档题.32．已知数列{a n }，{b n }均为递增数列，{a n }的前n 项和为S n ，{b n }的前n 项和为T n ．且满足a n +a n +1＝2n ，b n •b n +1＝2n （n ∈N *），则下列说法正确的有（） A ．0＜a 1＜1 B ．1＜b 12＜ C ．S 2n ＜T 2nD ．S 2n ≥T 2n解析：ABC 【分析】利用代入法求出前几项的关系即可判断出a 1，b 1的取值范围，分组法求出其前2n 项和的表达式，分析，即可得解.【详解】∵数列{a n }为递增数列；∴a 1＜a 2＜a 3；∵a n+a n +1＝2n ，∴122324a a a a +=⎧⎨+=⎩； ∴12123212244a a aa a a a +⎧⎨+=-⎩＞＞ ∴0＜a 1＜1；故A 正确．∴S 2n ＝（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n ﹣1+a 2n ）＝2+6+10+…+2（2n ﹣1）＝2n 2； ∵数列{b n}为递增数列；∴b 1＜b 2＜b 3； ∵b n•b n +1＝2n∴122324b b b b =⎧⎨=⎩； ∴2132b b b b⎧⎨⎩＞＞； ∴1＜b 12＜，故B 正确．∵T 2n ＝b 1+b 2+…+b 2n＝（b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）()()()()121212122122nnn b b b b⋅--=+=+-()()122212221n n b b ≥-=-； ∴对于任意的n ∈N*，S 2n ＜T 2n；故C 正确，D 错误．故选：ABC 【点睛】本题考查了分组法求前n 项和及性质探究，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.33．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}na ，数列(){}nf a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的四个函数中，是“保等比数列函数”的为（）A ．()2f x x =B ．()2x f x =C ．()f x x =D ．()ln f x x =解析：AC 【分析】直接利用题目中“保等比数列函数”的性质，代入四个选项一一验证即可. 【详解】设等比数列{}na 的公比为q .对于A ，则2221112()()n n n n n nf a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ，故A 是“保等比数列函数”；对于B ，则111()22()2n n n na a a n a nf a f a ++-+==≠ 常数，故B 不是“保等比数列函数”；对于C ，则111()()n n n nnnaf a aq f a aa+++=== ，故C 是“保等比数列函数”；对于D ，则11ln ln ln ln ln ()1()ln ln ln ln n n n n nnnnna a q a q q f a f a a a a a++⋅+====+≠ 常数，故D 不是“保等比数列函数”. 故选：AC. 【点睛】本题考查等比数列的定义，考查推理能力，属于基础题.34．已知等比数列{a n }的公比23q =-，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9＞b 9且a 10＞b 10，则以下结论正确的有（） A ．a 9•a 10＜0 B ．a 9＞a 10C ．b 10＞0D ．b 9＞b 10解析：AD 【分析】设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D 正确．【详解】数列{a n }是公比q 为23-的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列，则8912()3a a =-，91012()3a a =-， ∴a 9•a 1021712()3a =-＜0，故A 正确； ∵a 1正负不确定，故B 错误； ∵a 10正负不确定，∴由a 10＞b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误；由a 9＞b 9且a 10＞b 10，则a 1（23-）8＞12+8d ，a 1（23-）9＞12+9d ，由于910,a a 异号，因此90a <或100a<故 90b <或100b <，且b 1＝12可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d ＜0，即有a 9＞b 9＞b 10，故D 正确．故选：AD 【点睛】本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了等比数列的通项公式、求和公式和等差数列的单调性，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.35．等差数列{}na 的公差为d ，前n 项和为nS，当首项1a 和d 变化时，3813++a a a 是一个定值，则下列各数也为定值的有( )A ．7aB ．8aC ．15SD ．16S解析：BC 【分析】根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果. 【详解】由等差中项的性质可得381383a a a a ++=为定值，则8a 为定值，()11515815152a aS a +==为定值，但()()11616891682a aS a a +==+不是定值.故选：BC. 【点睛】本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.36．对于数列{}na ，若存在正整数()2k k ≥，使得1kk aa-<，1kk a a+<，则称ka 是数列{}na 的“谷值”，k 是数列{}na 的“谷值点”，在数列{}na 中，若98nan n=+-，下面哪些数不能作为数列{}na 的“谷值点”？（）A ．3B ．2C ．7D ．5解析：AD。

2023年高考数学复习压轴题专练(选择+填空)专题02 函数的奇偶性与单调性

专题02 函数的奇偶性与单调性【方法点拨】1. 若函数f (x )为偶函数，则f (x )＝f (|x |)，其作用是将“变量化正”，从而避免分类讨论．2. 以具体的函数为依托，而将奇偶性、单调性内隐于函数解析式去求解参数的取值范围，是函数的奇偶性、单调性的综合题的一种重要命题方式，考查学生运用知识解决问题的能力，综合性强，体现能力立意，具有一定难度.【典型题示例】例1 （2022·江苏新高考基地高三第一次联考·19改编）已知函数f (x )＝1－a5x ＋1为奇函数，且存在m ∈[－1，1]，使得不等式f (x 2)＋f (mx －2)≤2－x 2－mx 成立，则x 的取值范围是．【答案】[－2,2]【解析】求得a =2，且f (x )为R 上的增函数，f (x 2)＋f (mx －2)≤2－x 2－mx 可化为f (x 2)＋x 2≤2－mx －f (mx －2) 由f (x )为奇函数，得2－mx －f (mx －2)= 2－mx ＋f (2－mx )令F (x )=f (x )＋x ，则F (x 2)≤F (2－mx )，故有x 2≤2－mx ，即x 2＋mx －2≤0 令G (x )= x 2＋mx －2因为存在m ∈[－1，1]，使G (x )= x 2＋mx －2≤0 故G (－1)= x 2－x －2≤0或G (1)= x 2＋x －2≤0 解之得－2≤x ≤2.例2 已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，在f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________. 【答案】1[1,]2-【分析】直接发现函数的单调性、奇偶性，将2(1)(2)0f a f a -+≤移项，运用奇偶性再将负号移入函数内，逆用单调性脱“f ”．【解析】 ∵f (－x )＝(－x )3＋2x ＋e －x －e x ＝－f (x )且x ∈R ， ∴f (x )是奇函数∵函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1ex ，∴f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ≥0(当且仅当x ＝0时取等号)，∴f (x )在R 上单调递增.，由f (a －1)＋f (2a 2)≤0，得f (2a 2)≤f (1－a ). 所以2a 2≤1－a ，解之得－1≤a ≤12.所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 例3 已知函数()e +1e x x f x -=-（e 为自然对数的底数），若2(21)42)(f x f x +->-，则实数x 的取值范围为．【答案】()1,3-【分析】本题是例2的进一步的延拓，其要点是需对已知函数适当变形，构造出一个具有奇偶性、单调性的函数,其思维能力要求的更高，难度更大.【解析】令()()1e e x xx F x f -=-=-，易知()F x 是奇函数且在R 上单调递增由2(21)42)(f x f x +->-得[]2(4)11(21)(21)1f x f x f x -->--=--- 即2(4)(21)F x F x ->--由()F x 是奇函数得(21)(12)F x F x ---=，故2(4)(12)F x F x ->-由()F x 在R 上单调递增，得2412x x ->-，即2302x x -<-，解得13x -<<，故实数x 的取值范围为()1,3-.例4 已知函数()222131x x f x x =-++．若存在()1,4m ∈使得不等式()()2432f ma f m m -++>成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】(),8-∞【分析】令()()1F x f x =-，判断函数()F x 的奇偶性与单调性，从而将不等式转化为234m m ma +>-，分离参数可得43a m m<++，令4()3g m m m =++，(1,4)m ∈，利用对勾函数的单调性可得()8g m <，结合题意即可求解a 的取值范围．【解析】函数222()()131xx f x f x x ==-++，若存在(1,4)m ∈使得不等式2(4)(3)2f ma f m m -++>成立，令2222()()1(31)3131xx x x x F x f x x =-=-=-++，22(31)(13)()()3113x x xxx x F x F x -----===-++，所以，()F x 为奇函数．不等式2(4)(3)2f ma f m m -++>，即2(4)1(3)10f ma f m m --++->，即2(4)(3)0F ma F m m -++>，所以2(3)(4)(4)F m m F ma F ma +>--=-，因为20y x=>在(0,)+∞上为增函数，21031x y =->+在(0,)+∞上为增函数，所以22()(1)31x F x x =-+在(0,)+∞上为增函数，由奇函数的性质可得()F x 在R 上为增函数，所以不等式等价于234m m ma +>-，分离参数可得43a m m<++，令4()3g m m m=++，(1,4)m ∈，由对勾函数的性质可知()g m 在(1,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增，g （1）8=，g （4）8=，所以，()8g m <，所以由题意可得8a <，即实数a 的取值范围是(,8)-∞．故答案为：(,8)-∞．例5 已知函数112,1()2,1x x x f x x --⎧≥=⎨<⎩，若()2(22)2f x f x x -≥-+，则实数x 的取值范围是（） A ．[2,1]-- B ．[1,)+∞C ．RD ．(,2][1,)-∞-+∞【答案】D【解析】函数1112,1()22,1x x x x f x x ----⎧==⎨<⎩，故()f x 关于直线1x =对称，且在[1，)+∞上单减，函数()f x 的图象如下： 2(22)(2)x f x x --+，且f22172()124x x x -+=-+>恒成立，2|221|21x x x ∴---+-，即2|23|1x x x --+，当32x时，不等式化为：2231x x x --+，即2340x x -+，解得x ∈R ，即32x ；当32x <时，不等式化为：2321x x x --+，即220x x +-，解得2x -或1x ，即2x -或312x <；综上，2(22)(2)f x f x x --+时，实数x 的取值范围是(-∞，2][1-，)+∞．故选：D ．例6 已知函数，，则t 的取值范围是．【答案】[1,)+∞【分析】将已知按照“左右形式相当，一边一个变量”的原则，移项变形为3133(3log 1)log (12log )f t t f t -≥--，易知是奇函数，故进一步变为3333(3log 1)(3log 1)(2log 1)(2log 1)f t t f t t -+-≥-+-（#），故下一步需构造函数()()F x f x x =+，转化为研究()()F x f x x =+的单调性，而()()F x f x x =+单增，故（#）可化为3log 0t ≥，即333log 12log 1t t -≥-，解之得1t ≥.例7 (2022·江苏南通期末·8)已知函数()422xf x x =-+，()3log 2a f =，()4log 3b f =，43c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则（）A. a b c <<B. b c a <<C. c a b <<D.c b a <<【答案】B【分析】分析可知函数()f x 在()1,+∞上为增函数，推导出函数()f x 的图象关于直线1x =对称，则函数()f x 在(),1-∞上为减函数，可得出23c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用函数()f x 在(),1-∞上()33x xf x -=-3313(12log )(3log 1)log f t f t t -+-≥3313(12log )(3log 1)log f t f t t -+-≥()33x xf x -=-的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【解析】令()422xg x x =-+，其中x ∈R ，则()10g =，因为函数y x =、422x y =-+均为R 上的增函数，故函数()g x 也为R 上的增函数，当1x >时，()()10g x g >=，此时()442222x x f x x x =-=-++，故函数()f x 在()1,+∞上为增函数，因为()()2322222244222222222x xxx x f x x x x -----+--=--=-=-+++ ()()3222442222222xxx x x x x x x f x --⋅=-=-=-=+++故函数()f x 的图象关于直线1x =对称，则函数()f x 在(),1-∞上为减函数，所以，4233c f f ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3223<，则3lg 22lg3<，即3lg 22log 2lg 33=<， 2343<，则2lg 43lg3<，则4lg 32log 3lg 43=>，即342log 2log 313<<<，因此，b c a <<. 故选：B.【巩固训练】1．若函数(()=ln f x x x +为偶函数，则实数a = 2.设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（）． A ．()1,+∞ B ．()(),11,-∞-+∞ C ．()1,1- D ．()()1,00,1-3.已知函数1()22x x f x =-，则满足2(5)(6)0f x x f -+>的实数x 的取值范围是．4. 已知函数()||31f x x x x =⋅++，若()2()22f a f a +-<，则实数a 的取值范围__________.5.已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，若()()22f a f a ->，则实数a 的取值范围是__________.6.已知函数()x xg x e e -=-，()()f x xg x =，若1ln 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，140.2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.25c f =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<7. （多选题）关于函数12()11xf x x e ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭下列结论正确的是（） A ．图像关于y 轴对称 B ．图像关于原点对称 C ．在(),0-∞上单调递增D ．()f x 恒大于08.已知函数())20202020log 20201xx f x x -=+-+，则关于x 的不等式()()21120f x f x +++->的解集为（）.A ．1,2020⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．()2020,-+∞C ．2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭9.已知函数222()131x x f x x =-++.若存在m ∈(1,4)使得不等式(4)f ma -+2(3)2f m m +>成立，则实数a 的取值范围是A . (),7-∞B . (],7-∞C . (),8-∞D . (],8-∞ 10. 已知函数()e e 2sin xxf x x -=--，则关于x不等式()()2320f x f x -+<的解集为（） A. ()3,1-B. ()1,3-C. ()(),31,-∞-⋃+∞D. []1,3-11. 已知()sin xxf x e e x x -=-+-，若2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围___．12.已知()sin xxf x e ex x -=-+-，若2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围_ __． 13. 已知函数()1e e 21x x xf x -=+-+，若不等式()()2121f ax f ax +-≥对x ∀∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．(]0,eB ．[]0,eC ．(]0,1D ．[]0,114.已知函数()())2+1sin lnf x x x x =++，若不等式()()39334x x xf f m -+⋅-<对任意x ∈R 均成立，则m 的取值范围为（）A ．(),1-∞B ．(),1-∞-C ．()1-D ．()1,-+∞【答案或提示】1．【答案】1【解析】(g()=ln x x +奇函数，g(0)=0=，1a =.2. 【答案】B【解析】()f x 偶函数，且在(0,)+∞单增，()()1f x f >转化为1x >，解得1x >或1x <-. 3.【答案】（2,3）【解析】()f x 奇函数，且单减，2(5)(6)0f x x f -+>转化为2560x x -+<，解得23x <<.4. 【答案】(2,1)-【解析】设()||3g x x x x =⋅+，则()g x 奇函数，且单增，而()()1f x g x =+，由()2()22f a f a +-<得()2211()f a f a --<-即()22()()g a g a g a -<-=-，故22a a -<-，解之得21a -<<.5.【答案】(2,1)-【解析】22y x x =+在[0,)+∞上单调递增，22y x x =-在(,0)-∞上单调递增，且220+20=200⨯⨯-，()f x ∴在R 上单调递增，因此由()()22f a f a ->得2221aa a ->∴-<<，，故答案为：()2,1-6. 【答案】A 【解析】()()()x x f x xg x x e e -==-，该函数的定义域为R ，()()()x x x x f x x e e x e e ---=--=-，所以，函数()y f x =为偶函数，当0x >时，()0xxg x e e-=->，任取120x x >>，12x x -<-，则12x xe e >，12x x e e --<，所以，1122x x x x e e e e --->-，()()120g x g x ∴>>，()()1122x g x x g x ∴>，即()()12f x f x >，所以，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增，()11ln lnln333a f f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 10 1.2400.20.21ln355<<=<<<，则()()1 1.240.2ln 35f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即b a c <<.故选：A. 7.【答案】ACD 8. 【答案】C【解析】构造函数()())202012020log 2020xx F x fx x -=-=+-，x>=0x>，所以()F x 的定义域为R .())20202020log 2020x xF x x --=+-20202020log 2020x x xx -⎡⎤=+-20202020log 2020x x-⎡⎤=+-)()20202020log 2020x x x F x -=--=-，所以()F x 为奇函数， ()00F =.当0x >时，)20202020,2020,log x xy y y x -==-=都为增函数，所以当0x >时，()F x 递增，所以()F x 在R 上为增函数.由()()21120f x f x +++->，得()()211110f x f x +-++->，即()()2110F x F x +++>，所以2110x x +++>，解得23x >-. 所以不等式的解集为2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.故选：C 9. 【答案】C【解析】22222231()1111313131xx x x x f x x x x -⎛⎫=-+=-+=⋅+ ⎪+++⎝⎭设231()()131x x g x f x x -=-=⋅+，则()g x 为定义在R 的奇函数所以()f x 关于点()0,1对称又2223131312ln 33()231313131x x x xx x x x x g x x x x '⎡⎤---⋅⋅''⎡⎤=⋅+⋅=⋅+⎢⎥⎣⎦++++⎣⎦所以当0x >时，()0g x '>，()g x 在()0,+∞上单增故()g x 在(),-∞+∞上也单增因为2(4)(3)2f ma f m m -++>可化为2(4)1(3)1f ma f m m -->-++所以2(4)(3)g ma g m m ->-+因为()g x 为R 的奇函数，22(4)(3)(3)g ma g m m g m m ->-+=--所以243ma m m ->--又因为存在m ∈(1,4)使得不等式243ma m m ->--成立，分参得43a m m<++ 易得[)437,8m m++∈，所以8a <，故选C . 10.【答案】A【分析】根据题意可判断函数()e e 2sin xxf x x -=--为奇函数且在R 上单调递增，进而根据奇偶性与单调性解不等式即可.【解析】函数()e e 2sin xxf x x -=--的定义域为R ，()()()e e 2sin e e 2sin x x x x f x x x f x ---=---=-+=-，所以函数()e e 2sin xxf x x -=--为奇函数，因为()'e e 2cos 22cos 0xxf x x x -=+-≥-≥，所以函数()e e 2sin xxf x x -=--在R 上单调递增，所以()()()()()22320322f x f x f x f x f x -+<⇔-<-=-，所以232x x -<-，即2230x x +-<，解得31x -<< 所以不等式()()2320f x f x -+<的解集为()3,1-故选：A11.【答案】12ln 2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先分析()f x 的奇偶性和单调性，则2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭等价于2(2ln(1))2x f a x f ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭，所以22ln(1)2x a x -+≥-，可转化为2()2ln(1)2x a g x x ≥=-++，即max ()a g x ≥，求max ()g x 即得解【解析】因为()()sin xx f x ee x xf x --=--+=-，所以()f x 是R 上的奇函数，()cos 1x xf x e e x -'=++-，()cos 1cos 11cos 0x x f x e e x x x -'=++-≥-=+≥，所以()f x 是R 上的增函数，2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭等价于22(2ln(1))22x x f a x f f ⎛⎫⎛⎫-+≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22ln(1)2x a x -+≥-，所以22ln(1)2x a x ≥-++，令2()2ln(1)2x g x x =-++，则max ()a g x ≥，因为()()g x g x -=且定义域为R ，所以()g x =22ln(1)2x x -++是R 上的偶函数，所以只需求()g x 在()0,∞+上的最大值即可.当[)0,x ∈+∞时，2()2ln(1)2x g x x =-++，()()22122()111x x x x g x x x x x +---+'=-+==-+++，则当[)0,1x ∈时，()0g x '>；当[)1,x ∈+∞时，()0g x '<；所以()g x 在[)0,1上单调递增，在[)1,+∞上单调递减，可得：max 1()(1)2ln 22g x g ==-，即12ln 22a ≥-. 故答案为：12ln 2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 12.【答案】12ln 2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先分析()f x 的奇偶性和单调性，则2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭等价于2(2ln(1))2x f a x f ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭，所以22ln(1)2x a x -+≥-，可转化为2()2ln(1)2x a g x x ≥=-++，即max ()a g x ≥，求max ()g x 即得解【解析】因为()()sin x x f x e e x x f x --=--+=-，所以()f x 是R 上的奇函数，()cos 1x x f x e e x -'=++-，()cos 1cos 11cos 0x x f x e e x x x -'=++-≥-=+≥，所以()f x 是R 上的增函数，2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭等价于22(2ln(1))22x x f a x ff ⎛⎫⎛⎫-+≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22ln(1)2x a x -+≥-，所以22ln(1)2x a x ≥-++，令2()2ln(1)2x g x x =-++，则max ()a g x ≥，因为()()g x g x -=且定义域为R ，所以()g x =22ln(1)2x x -++是R 上的偶函数，所以只需求()g x 在()0,∞+上的最大值即可.当[)0,x ∈+∞时，2()2ln(1)2x g x x =-++，()()22122()111x x x x g x x x x x +---+'=-+==-+++，则当[)0,1x ∈时，()0g x '>；当[)1,x ∈+∞时，()0g x '<；所以()g x 在[)0,1上单调递增，在[)1,+∞上单调递减，可得：max 1()(1)2ln 22g x g ==-，即12ln 22a ≥-. 故答案为：12ln 2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 13.【答案】D【分析】构造函数()()12g x f x =-，判断函数的奇偶性与单调性，将所求不等式转化为()()2111222f ax f ax ⎡⎤-≥---⎢⎥⎣⎦，即()()221g ax g ax ≥-，再利用函数单调性解不等式即可. 【解析】()1e e 21x x x f x -=+-+， ()()1111e e e e 121212121x x x x x x x x f x f x ----∴+-=+-+-+=++=+++令()()12g x f x =-，则()()0g x g x +-=，可得()g x 是奇函数，又()()()2121e e e e e 21e 21ln 2ln 2++2122x x x x x x x x x x x g x --'⎛⎫''=+-== ⎪+⎝++--+⎭，又利用基本不等式知e 2+1e x x ≥当且仅当1e ex x =，即0x =时等号成立； ln 2ln 214222x x ≤++当且仅当122x x =，即0x =时等号成立；故()0g x '>，可得()g x 是单调增函数，由()()2121f ax f ax +-≥得()()()21111212222f ax f ax f ax ⎡⎤-≥--+=---⎢⎥⎣⎦，即()()()21221g ax g ax g ax ≥--=-，即2210ax ax -+≥对x ∀∈R 恒成立. 当0a =时显然成立；当0a ≠时，需20440a a a >⎧⎨∆=-≤⎩，得01a <≤，综上可得01a ≤≤，故选：D.14.【答案】A【分析】由题设，构造()()2g x f x =-，易证()g x 为奇函数，利用导数可证()g x 为增函数，结合题设不等式可得(39)(33)x x x g g m -<-⋅，即3313x x m <+-对任意x ∈R 均成立，即可求m 的范围.【解析】由题设，令()()22sin )g x f x x x x =-=++，∴()2sin())2sin )()g x x x x x x x g x -=-+-+=---=-，∴()g x 为奇函数，又()2cos 0g x x '=++>，即()g x 为增函数，∴()()39334x x x f f m -+⋅-<，即(39)2[(33)2]x x x f f m --<-⋅--， ∴(39)(33)(33)x x x x g g m g m -<-⋅-=-⋅，则3933x x x m -<-⋅，∴3313x x m <+-对任意x ∈R 均成立，又331113x x +-≥=，当且仅当12x =时等号成立，∴1m <，即m ∈(),1-∞.故选：A。

2024全国数学高考压轴题(数列选择题)附答案

2024全国数学高考压轴题(数列)一、单选题1．若数列{b n }、{c n }均为严格增数列且对任意正整数n 都存在正整数m 使得b m ∈[c n ，c n+1] 则称数列{b n }为数列{c n }的“M 数列”．已知数列{a n }的前n 项和为S n 则下列选项中为假命题的是（）A ．存在等差数列{a n } 使得{a n }是{S n }的“M 数列”B ．存在等比数列{a n } 使得{a n }是{S n }的“M 数列”C ．存在等差数列{a n } 使得{S n }是{a n }的“M 数列”D ．存在等比数列{a n } 使得{S n }是{a n }的“M 数列”2．已知函数f(x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R 记g(x)=f ′(x)．若f(x +3)为奇函数 g(32+2x)为偶函数且g(0)=−3 g(1)=2 则∑g 2023i=1(i)=（） A ．670B ．672C ．674D ．6763．我们知道按照一定顺序排列的数字可以构成数列那么按照一定顺序排列的函数可以构成函数列.设无穷函数列{f n (x)}（n ∈N +）的通项公式为f n (x)=n 2+2nx+x 2+1(n+x)(n+1)x ∈(0，1) 记E n 为f n (x)的值域 E =U n=1+∞E n 为所有E n 的并集则E 为（）A ．(56，109)B ．(1，109)C ．(56，54)D ．(1，54)4．已知等比数列{x n }的公比q >−12则（）A ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 100|<1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 100|<10B ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 100|>1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 100|>10C ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 101|<1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 101|<10D ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 101|>1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 101|>105．已知数列{a n } {b n }满足a 1=2 b 1=12 {a n+1=b n +1an b n+1=a n +1bn,，,n ,∈,N ∗ 则下列选项错误的是（） A ．a 2b 2=14B ．a 50⋅b 50<112C ．a 50+b 50=52√a 50⋅b 50D ．|a 50−b 50|≤156．已知数列{a n }满足：a 1=2 a n+1=13(√a n +2a n )(n ∈N ∗)．记数列{a n }的前n 项和为S n 则（）A ．12<S 10<14B ．14<S 10<16C ．16<S 10<18D ．18<S 10<207．已知数列 {a n } 满足： a 1=100，a n+1=a n +1an则（）A ．√200+10000<a 101<√200.01+10000B ．√200.01+10000<a 101<√200.1+10000C ．√200.1+10000<a 101<√201+10000D ．√201+10000<a 101<√210+100008．已知数列 {a n } 满足 a 1=a(a >0) √a n+1a n =a n +1 给出下列三个结论：①不存在 a 使得数列 {a n } 单调递减；②对任意的a 不等式 a n+2+a n <2a n+1 对所有的 n ∈N ∗ 恒成立；③当 a =1 时存在常数 C 使得 a n <2n +C 对所有的 n ∈N ∗ 都成立.其中正确的是（） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③9．已知F 为抛物线y 2=4x 的焦点点P n (x n ，y n )(n =1，2，3，⋯)在抛物线上.若|P n+1F|−|P n F|=1 则（） A ．{x n }是等差数列 B ．{x n }是等比数列 C ．{y n }是等差数列D ．{y n }是等比数列10．已知数列 11 21 12 31 22 13 41 32 23 14… 其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数并且从大到小排列依次类推.此数列第n 项记为 a n 则满足 a n =5 且 n ≥20 的n 的最小值为（） A ．47B ．48C ．57D ．5811．已知△A n B n C n (n =1，2，3，⋯)是直角三角形 A n 是直角内角A n ，B n ，C n 所对的边分别为a n ，b n ，c n 面积为S n ．若b 1=4，c 1=3，b n+12=a n+12+c n 23，c n+12=a n+12+b n 23则下列选项错误的是（）A ．{S 2n }是递增数列B ．{S 2n−1}是递减数列C ．数列{b n −c n }存在最大项D ．数列{b n −c n }存在最小项12．已知数列{a n }的各项都是正数 a n+12−a n+1=a n (n ∈N ∗)．记b n =(−1)n−1a n −1数列{b n }的前n 项和为S n 给出下列四个命题：①若数列{a n }各项单调递增则首项a 1∈(0，2)②若数列{a n }各项单调递减则首项a 1∈(2，+∞)③若数列{a n }各项单调递增当a 1=32时 S 2022>2④若数列{a n }各项单调递增当a 1=23时S2022<−5则以下说法正确的个数（）A．4B．3C．2D．113．已知正项数列{a n}对任意的正整数m、n都有2a m+n≤a2m+a2n则下列结论可能成立的是（）A．a nm+a mn=a mn B．na m+ma n=a m+n C．a m+a n+2=a mn D．2a m⋅a n=a m+n14．古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从A点走向B点要先走完总路程的三分之一再走完剩下路程的三分之一如此下去会产生无限个“剩下的路程” 因此他有无限个“剩下路程的三分之一”要走这个人永远走不到终点．另一方面我们可以从上述第一段“三分之一的路程”开始通过分别计算他在每一个“三分之一距离”上行进的时间并将它们逐个累加不难推理出这个人行进的总时间不会超过一个恒定的实数．记等比数列{a n}的首项a1=13公比为q 前n项和为S n则造成上述悖论的原理是（）A．q=16，∃t∈R，∀n∈N ∗，Sn<t B．q=13，∃t∈R，∀n∈N∗，S n<tC．q=12，∃t∈R，∀n∈N ∗，Sn<t D．q=23，∃t∈R，∀n∈N∗，S n<t15．已知sinx，siny，sinz依次组成严格递增的等差数列则下列结论错误的是（）A．tanx，tany，tanz依次可组成等差数列B．cosx，cosy，cosz依次可组成等差数列C．cosx，cosz，cosy依次可组成等差数列D．cosz，cosx，cosy依次可组成等差数列16．记U={1，2，⋯，100}．对数列{a n}(n∈N∗)和U的子集T 若T=∅定义S T=0；若T={t1，t2，⋯，t k}定义S T=a t1+a t2+⋯+a tk．则以下结论正确的是（）A．若{a n}(n∈N∗)满足a n=2n−1，T={1，2，4，8}则S T=15B．若{a n}(n∈N∗)满足a n=2n−1则对任意正整数k(1≤k≤100)，T⊆{1，2，⋯，k}，S T< a kC．若{a n}(n∈N∗)满足a n=3n−1则对任意正整数k(1≤k≤100)，T⊆{1，2，⋯，k}，S T≥a k+1D ．若{a n }(n ∈N ∗)满足a n =3n−1 且C ⊆U ，D ⊆U ，S C ≥S D 则S C +S C∩D ≥2S D17．已知数列 {a n }、{b n }、{c n } 满足 a 1=b 1=c 1=1，c n =a n+1−a n ，c n+2=bn+1b n ⋅c n (n ∈N ∗)，S n =1b 2+1b 3+⋯+1b n （n ≥2），T n =1a 3−3+1a 4−4+⋯+1a n −n （n ≥3）则下列有可能成立的是（）A ．若 {a n } 为等比数列则 a 20222>b 2022B ．若 {c n } 为递增的等差数列则 S 2022<T 2022C ．若 {a n } 为等比数列则 a 20222T 202218．已知数列{a n }满足a 1=1 a n =a n−1+4(√a n−1+1√an−1)(n ∈N ∗，n ≥2) S n 为数列{1a n }的前n 项和则（） A ．73<S 2022<83B ．2<S 2022<73C ．53<S 2022<2 D ．1<S 2022<5319．已知数列{a n }满足a n ⋅a n+1⋅a n+2=−1(n ∈N ∗)，a 1=−3 若{a n }的前n 项积的最大值为3 则a 2的取值范围为（） A ．[−1，0)∪(0，1] B ．[−1，0)C ．(0，1]D ．(−∞，−1)∪(1，+∞)20．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n (a n +1)2=4S n 记b n =S n ⋅sin nπ2+S n+1⋅sin (n+1)π2若数列{b n }的前n 项和为T n 则T 100=（） A ．-400B ．-200C ．200D ．40021．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和 a 2=−7 S 5=2a 1 当|S n |取得最小值时 n =（）A ．10B ．9C ．8D ．722．已知数列{a n }中 a 2+a 4+a 6=285 na n =(n −1)a n+1+101(n ∈N ∗) 当数列{a n a n+1a n+2}(n ∈N ∗)的前n 项和取得最大值时 n 的值为（） A ．53B ．49C ．49或53D ．49或5123．定义在R 上的函数序列{f n (x)}满足f n (x)<1nf n ′(x)（f n ′(x)为f n (x)的导函数）且∀x ∈N ∗ 都有f n (0)=n ．若存在x 0>0 使得数列{f n (x 0)}是首项和公比均为q 的等比数列则下列关系式一定成立的是（）．A ．0<q <2√2e x 0B ．0<q <√33e x 0C ．q >2√2e x 0D ．q >√33e x 024．已知数列{a n }的前n 项和为S n 满足a 1=1 a 2=2 a n =a n−1⋅a n+1(n ≥2) 则（）A ．a 1：a 2：a 3=a 6：a 7：a 8B ．a n ：a n+1：a n+2=1：2：2C ．S 6 S 12 S 18成等差数列D ．S 6n S 12n S 18n 成等比数列25．已知S n 为数列{a n }的前n 项和且a 1=1 a n+1+a n =3×2n 则S 100=（）A ．2100−3B ．2100−2C ．2101−3D ．2101−226．已知 {a n } 为等比数列 {a n } 的前n 项和为 S n 前n 项积为 T n 则下列选项中正确的是（）A ．若 S 2022>S 2021 则数列 {a n } 单调递增B ．若 T 2022>T 2021 则数列 {a n } 单调递增C ．若数列 {S n } 单调递增则 a 2022≥a 2021D ．若数列 {T n } 单调递增则 a 2022≥a 2021二、多选题27．“冰雹猜想”也称为“角谷猜想” 是指对于任意一个正整数x 如果x 是奇数㩆乘以3再加1 如果x 是偶数就除以2 这样经过若干次操作后的结果必为1 犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想” 提出了如下问题：设k ∈N ∗ 各项均为正整数的数列{a n }满足a 1=1 a n+1={a n2，a n 为偶数，a n +k ，a n 为奇数，则（）A ．当k =5时 a 5=4B ．当n >5时 a n ≠1C ．当k 为奇数时 a n ≤2kD ．当k 为偶数时 {a n }是递增数列28．已知数列{a n } a 2=12且满足a n+1a n 2=a n −a n+1 n ∈N ∗ 则（） A ．a 4−a 1=1929B ．a n 的最大值为1C ．a n+1≥1n+1D ．√a 1+√a 2+√a 3+⋅⋅⋅+√a 35>1029．已知数列{a n }的前n 项和为S n a 1=1 且4a n ⋅a n+1=a n −3a n+1（n =1 2 …）则（）A ．3a n+1<a nB ．a 5=1243C ．ln(1an )<n +1D ．1≤S n <171430．如图已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1顶点处有一质点Q 点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q 的初始位置位于点A 处记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为P n 则下列说法正确的是（）A ．P 2=59B ．P n+1=23P n +13C ．点Q 移动4次后恰好位于点C 1的概率为0D ．点Q 移动10次后仍在底面ABCD 上的概率为12(13)10+1231．已知数列{a n } {b n } 有a n+1=a n −b n b n+1=b n −a n n ∈N ∗ 则（）A ．若存在m >1 a m =b m 则a 1=b 1B ．若a 1≠b 1 则存在大于2的正整数n 使得a n =0C ．若a 1=a a 2=b 且a ≠b 则b 2022=−b ×22020D ．若a 1=−1 a 2=−3 则关于x 的方程2a 3+(2a 3+1)cosx +2cos2x +cos3x =0的所有实数根可构成一个等差数列32．已知△A n B n C n (n =1，2，3，⋯)是直角三角形 A n 是直角内角A n 、B n 、C n 所对的边分别为a n 、b n 、c n 面积为S n 若b 1=4 c 1=3 b n+12=a n+12+c n 23 c n+12=a n+12+b n 23则（） A ．{S 2n }是递增数列 B ．{S 2n−1}是递减数列 C ．{b n −c n }存在最大项D ．{b n −c n }存在最小项33．已知S n 是数列{a n }的前n 项和且S n+1=−S n +n 2 则下列选项中正确的是（）.A ．a n +a n+1=2n −1（n ≥2）B ．a n+2−a n =2C ．若a 1=0 则S 100=4950D ．若数列{a n }单调递增则a 1的取值范围是(−14，13)三、填空题34．已知n ∈N ∗ 将数列{2n −1}与数列{n 2−1}的公共项从小到大排列得到新数列{a n } 则1a 1+1a 2+⋯+1a 10= .35．若函数f(x)的定义域为(0，+∞) 且f(x)+f(y)=f(xy) f(a n )=n +f(n) 则∑f ni=1(a i i )= ．36．在数列{a n }中 a 1=1 a n+1=a n +1an（n∈N ∗）若t ∈Z 则当|a 7−t|取得最小值时整数t 的值为 .37．已知函数f(x)满足f(x −2)=f(x +2)，0≤x <4时 f(x)=√4−(x −2)2 g(x)=f(x)−k n x(n ∈N ∗，k n >0)．若函数g(x)的图像与x 轴恰好有2n +1个不同的交点则k 12+k 22+⋅⋅⋅+k n 2= ．38．已知复数z =1+i 对于数列{a n } 定义P n =a 1+2a 2+⋅⋅⋅+2n−1a n n为{a n }的“优值”．若某数列{a n}的“优值”P n =|z|2n 则数列{a n }的通项公式a n = ；若不等式a n 2−a n +4≥(−1)nkn 对于∀n ∈N ∗恒成立则k 的取值范围是．39．数列{a n }是公比为q(q ≠1)的等比数列 S n 为其前n 项和. 已知a 1⋅a 3=16 S3q=12 给出下列四个结论： ①q <0 ；②若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最大则m 的一个可能值是3； ③若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最大则m 的一个可能值是4； ④若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最小则m 的值只能是2．其中所有正确结论的序号是 .40．如图某荷塘里浮萍的面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）满足关系式：y =a t lna （a 为常数）记y =f(t)（t ≥0）．给出下列四个结论：①设a n=f(n)(n∈N∗)则数列{a n}是等比数列；②存在唯一的实数t0∈(1，2)使得f(2)−f(1)=f′(t0)成立其中f′(t)是f(t)的导函数；③常数a∈(1，2)；④记浮萍蔓延到2m23m26m2所经过的时间分别为t1t2t3则t1+t2>t3．其中所有正确结论的序号是．41．在现实世界很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列{a n}{b n}分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度数列模型：a n+1=2a n+b n，b n+1=a n+2b n(n=1，2⋯)描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足a1>b1则在该模型中关于两组信息给出如下结论：①∀n∈N∗，a n>b n；②∀n∈N∗，a n+1>a n，b n+1>b n；③∃k∈N∗使得当n>k时总有|a nb n−1|<10−10④∃k∈N∗使得当n>k时总有|a n+1a n−2|<10−10．其中所有正确结论的序号是答案解析部分1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】A9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】B12．【答案】B13．【答案】D14．【答案】D15．【答案】B16．【答案】D17．【答案】B18．【答案】D19．【答案】A20．【答案】C21．【答案】C22．【答案】D23．【答案】D24．【答案】C25．【答案】D26．【答案】D27．【答案】A,C,D28．【答案】B,C,D29．【答案】A,D30．【答案】A,C,D 31．【答案】A,C,D 32．【答案】A,C,D 33．【答案】A,C 34．【答案】102135．【答案】n(n+1)236．【答案】4 37．【答案】n 4(n+1) 38．【答案】n+1；[−163，5] 39．【答案】①②③ 40．【答案】①②④ 41．【答案】①②③。

吴淞中学2025届高考压轴卷数学试卷含解析

吴淞中学2025届高考压轴卷数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设a ，b 是非零向量，若对于任意的R λ∈，都有a b a b λ-≤-成立，则 A ．//a bB ．a b ⊥C ．()-⊥a b aD ．()-⊥a b b2．将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（） A ．228(0,][,]939 B ．2(0,]9C ．28(0,][,1]99D ．(0,1]3．设12,x x 为()()3sin cos 0f x x x ωωω=->的两个零点，且12x x -的最小值为1，则ω=（） A ．πB ．2πC ．3π D ．4π 4．已知,m n 为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是（） A ．m ∥n m n ,,αβ⊂⊂ B ．m ∥n m n ,,αβ⊥⊥ C ．m n m ,⊥∥,n α∥βD ．m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥5．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x yxy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( ) A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④6．若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（）A ．5B ．52C ．52-D ．-57．已知函数()22018tan 1xx m f x x x m =+++()0,1m m >≠，若()13f =，则()1f -等于（）A ．-3B ．-1C ．3D ．08．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅9．已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（）A ．16,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．741,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．74160,,e e e ⎡⎫⎛⎤⎪⎢ ⎥⎝⎦⎣⎭ D ．746,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．已知数列{}n a 为等差数列，且16112a a a π++=，则()39sin a a +=的值为（） A ．32B ．32-C ．12D ．12-11．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，535S =，则数列{}n a 的公差为（） A ．-2B ．2C ．4D ．712．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为（） A ．19B ．29C ．13D ．49二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

新高考数学高考数学压轴题等差数列选择题专项训练分类精编及答案(2)

一、等差数列选择题1．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（） A ．3、8、13、18、23 B ．4、8、12、16、20 C ．5、9、13、17、21 D ．6、10、14、18、22解析：C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则171,25a a ==，则712514716a a d --===-，则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C2．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（） A ．15 B ．30C ．3D ．64解析：A 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列的通项公式列方程组，求出1a 和d 的值，12111a a d =+，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则111681631a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，即117831a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得：174174d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以12117760111115444a a d =+=-+⨯==，所以12a 的值是15，故选：A3．若数列{}n a 满足121()2n n a a n N *++=∈，且11a =，则2021a =（） A ．1010 B ．1011 C ．2020 D ．2021解析：B 【分析】根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】由121()2n n a a n N *++=∈，则11()2n n a a n N *+=+∈，即112n n a a +-=，所以数列{}n a 是以1为首项，12为公差的等差数列，所以()()11111122n n a a n d n +=+-=+-⨯=，所以2021a =2021110112+=. 故选：B4．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（） A ．36 B ．48 C ．56 D ．72解析：A 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，得出54a =，再由等差数列前n 项和公式，即可得出结果. 【详解】因为{}n a 为等差数列，25812a a a ++=，所以5312a =，即54a =，所以()1999983622a a S +⨯===. 故选：A . 【点睛】熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键.5．已知递减的等差数列{}n a 满足2219a a =，则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =（）A ．4或5B ．5或6C ．4D ．5解析：A 【分析】由2219a a =，可得14a d =-，从而得2922n d d S n n =-，然后利用二次函数的性质求其最值即可【详解】解：设递减的等差数列{}n a 的公差为d （0d <），因为2219a a =，所以2211(8)a a d =+，化简得14a d =-，所以221(1)9422222n n n d d d dS na d dn n n n n -=+=-+-=-，对称轴为92n =，因为n ∈+N ，02d<，所以当4n =或5n =时，n S 取最大值，故选：A6．在等差数列{}n a 中，()()3589133224a a a a a ++++=，则此数列前13项的和是（） A ．13 B ．26C ．52D ．56解析：B 【分析】利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果. 【详解】由等差数列的性质，可得3542a a a +=，891371013103a a a a a a a ++=++=，因为()()3589133224a a a a a ++++=，可得410322324a a ⨯+⨯=，即4104a a +=，故数列的前13项之和()()11341013131313426222a a a a S ++⨯====. 故选：B.7．已知等差数列{}n a 中，161,11a a ==，则数列{}n a 的公差为（） A ．53B ．2C ．8D ．13解析：B 【分析】设公差为d ，则615a a d =+，即可求出公差d 的值. 【详解】设公差为d ，则615a a d =+，即1115d =+，解得：2d =，所以数列{}n a 的公差为2，故选：B8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（） A ．60 B ．120C ．160D ．240解析：B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()11515815152a a S a +==，从而可得出结果.【详解】解：由题可知，2938a a a +=+，由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选：B.9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（） A ．214a =-B ．648211S S S =+ C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为712D ．1121n n n n nT T T n n +-=++ 解析：D 【分析】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-代入120n n n a S S -+=可推导出数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，由221a S S =-可判断A 选项的正误；利用n S 的表达式可判断BC 选项的正误；求出n T ，可判断D 选项的正误. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-，由120n n n a S S -+=可得111112020n n n n n nS S S S S S ----+=⇒-+=，整理得1112n n S S --=（2n ≥且n +∈N ）. 则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以2为首项，以2为公差的等差数列()12122n n n S ⇒=+-⋅=，12n S n ∴=. A 中，当2n =时，221111424a S S =-=-=-，A 选项正确； B 中，1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，显然有648211S S S =+，B 选项正确； C 中，记()()1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=+-++，()()()1123111212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++，()()()1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=--=-<++++，故{}n b 为递减数列， ()1123max 111724612n b b S S S ∴==+-=+-=，C 选项正确； D 中，12n n S =，()()2212n n n T n n +∴==+，()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()11112112111n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=⋅++⋅++=+--+++++222122212n n n n n n T =-++=+-≠，D 选项错误.故选：D ．【点睛】关键点点睛：利用n S 与n a 的关系求通项，一般利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解，在变形过程中要注意1a 是否适用，当利用作差法求解不方便时，应利用1n n n a S S -=-将递推关系转化为有关n S 的递推数列来求解. 10．已知数列{}n a 中，132a =，且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有n a nλ≥成立，则实数λ的最小值是（） A ．2 B ．4C ．8D ．16解析：A 【分析】将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出22n n n a +=，从而得出()22n n n λ+≥，求出()max22n n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，即可得出答案. 【详解】因为2n ≥时，11122n n n a a -=+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{}2n n a 是首项为3公差为1的等差数列，故22nn a n =+，从而22n n n a +=. 又因为n a n λ≥恒成立，即()22n n n λ+≥恒成立，所以()max22n n n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦.由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A11．已知等差数列{}n a 满足48a =，6711a a +=，则2a =（） A ．10 B ．9C ．8D ．7解析：A 【分析】利用等差数列的性质结合已知解得d ，进一步求得2a ．【详解】在等差数列{}n a 中，设公差为d ，由467811a a a =⎧⇒⎨+=⎩444812311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩，24210a a d ∴=-=. 故选：A12．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则1215a b =（） A ．32B ．7059C ．7159D ．85解析：C 【分析】可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，进而求得n a 与n b 的关系式，即可求得结果．【详解】因为{}n a ，{}n b 是等差数列，且3221n n S n T n +=+，所以可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，又当2n 时，有1(61)n n n a S S k n -=-=-，1(41)n n n b T T k n -=-=-， ∴1215(6121)71(4151)59a k b k ⨯-==⨯-，故选：C ．13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（）A ．21B ．20C ．19D ．19或20解析：B 【分析】由题得出1392a d =-，则2202n dS n dn =-，利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由11101921a a =得11102119a a =，则()()112110199a d a d +=+，解得1392a d =-，10a <，0d ∴>，()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-，对称轴为20n =，开口向上， ∴当20n =时，n S 最小.故选：B. 【点睛】方法点睛：求等差数列前n 项和最值，由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 14．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（） A ．16 B ．-16 C ．4 D ．-4解析：A 【详解】由()()18458884816222a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选A.15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足122527n na a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（）A ．6-B ．2-C ．1-D ．0解析：A 【分析】转化条件为122527n na a n n +-=--，由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--，求得满足0n a ≤的项后即可得解.【详解】因为122527n n a a n n +-=--，所以122527n na a n n +-=--，又1127a =--，所以数列27n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1-为首项，公差为2的等差数列，所以()1212327na n n n =-+-=--，所以()()2327n a n n =--，令()()23270n a n n =--≤，解得3722n ≤≤，所以230,0a a <<，其余各项均大于0，所以()()()3123min13316p q S S a a S S =-=+=⨯-+--⨯=-.故选：A. 【点睛】解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项，即可得解.二、等差数列多选题16．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的值不可能为（） A ．2 B ．5C ．3D ．4解析：BD 【分析】利用递推关系可得1211n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案．【详解】解：∵23n n n S a +=， ∴2n ≥时，112133n n n n n n n a S S a a --++=-=-，化为：112111n n a n a n n -+==+--，由于数列21n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递减，可得：2n =时，21n -取得最大值2． ∴1n n a a -的最大值为3．故选：BD ．【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值解析：AC 【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=，所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定； 18．已知数列{}2nna n +是首项为1，公差为d 的等差数列，则下列判断正确的是（） A ．a 1＝3 B ．若d ＝1，则a n ＝n 2+2n C ．a 2可能为6D ．a 1，a 2，a 3可能成等差数列解析：ACD 【分析】利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可求解【详解】因为1112a =+，1(1)2n n a n d n =+-+，所以a 1＝3，a n ＝[1+(n -1)d ](n +2n ).若d ＝1，则a n ＝n (n +2n )；若d ＝0，则a 2＝6.因为a 2＝6+6d ，a 3＝11+22d ，所以若a 1，a 2，a 3成等差数列，则a 1+a 3＝a 2，即14+22d ＝12+12d ，解得15d =-. 故选ACD19．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（） A ．59823a a S += B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =解析：BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则8118788282S a d a d ⨯=+=+，9119899362S a d a d ⨯=+=+，因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d S d -⨯==-，A 选项错误；对于B 选项，()2229272d Sd -⨯==-，()2779772d Sd -⨯==-，B 选项正确；对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误；对于D 选项，50a =，D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.20．（多选题）在数列{}n a 中，若221n n a a p --=，（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A ．若{}n a 是等差数列，则{}2n a 是等方差数列B ．(){}1n-是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列解析：BCD 【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项，取n a n =，则()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++不是常数，则{}2n a 不是等方差数列，A 选项中的结论错误；对于B 选项，()()22111110n n+⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦为常数，则(){}1n-是等方差数列，B 选项中的结论正确；对于C 选项，若{}n a 是等方差数列，则存在常数p R ∈，使得221n n a a p +-=，则数列{}2na 为等差数列，所以()221kn k n a a kp +-=，则数列{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列，C 选项中的结论正确；对于D 选项，若数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则存在m R ∈，使得n a dn m =+，则()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++，由于数列{}n a 也为等方差数列，所以，存在实数p ，使得221n n a a p +-=，则()222d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立，则()2202d m d d p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得0p d ==，此时，数列{}n a 为常数列，D 选项正确.故选BCD. 【点睛】本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题.21．在数列{}n a 中，若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}()*,kn a k N k ∈为常数)也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列解析：BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可.【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}n a 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，，2k a ，数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，，()()()()2222222212132221k k k k k k k k aa a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加得()()()()2222222212132221k kk k k k kk aa a a a a a a kp +++++--+-+-++-=，222k k aa kp ∴-=，()221kn k n a a kp +∴-=，{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确；对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题.22．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（） A ．60a > B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 C ．0nS <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项解析：ACD 【分析】由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知得出2437d -<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d =-，可得出1na 在1,6n n N上单调递增，1na 在7nnN，上单调递增，可判断B ；由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ；【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-，()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，故A 正确；由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩，解得2437d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d=-，所以[]1,6n ∈时，1>0na ，7n ≥时，10n a <，所以1na 在1,6n n N上单调递增，1na 在7n n N，上单调递增，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列，故B 不正确；由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13，故C 选项正确；当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，0n S <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，0nnS a <，[]712n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项，故D 正确；【点睛】本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题. 23．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（） A ．2n S n = B ．223n S n n =-C ．21n a n =-D ．35n a n =-解析：AC 【分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =，∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩，解得11a =，2d =，1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=．()21212n n n S n +-==故选：AC ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．24．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项解析：ABCD 【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确．【详解】∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0，又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0．对于：7≤n ≤12时，nnS a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0，但是随着n 的增大而减小，可得：nnS a ＜0，但是随着n 的增大而增大． ∴n ＝7时，nnS a 取得最小值．综上可得：ABCD 都正确．故选：ABCD ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．25．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（）A ．320n a n =-B ．325n a n =-+C ．当4n =时，n T 取最小值D ．当6n =时，n T 取最小值解析：AC 【分析】由已知求出数列{}n a 的首项与公差，得到通项公式判断A 与B ；再求出n T ，由{}n b 的项分析n T 的最小值．【详解】解：在递增的等差数列{}n a 中，由5105a a +=，得695a a +=，又6914a a =-，联立解得62a =-，97a =，则967(2)3963a a d ---===-，16525317a a d =-=--⨯=-． 173(1)320n a n n ∴=-+-=-．故A 正确，B 错误；12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---可得数列{}n b 的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正．而5610820b b +=-=>．∴当4n =时，n T 取最小值，故C 正确，D 错误．故选：AC ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．。

压轴题02 指、对、幂形数的大小比较问题(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)

压轴题02指、对、幂形数的大小比较问题指、对、幂形数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以选择题为主．每年高考题都会出现，难度逐年上升．考向一：引入媒介值考向二：含变量问题考向三：构造函数考向四：数形结合考向五：特殊值法、估算法考向六：放缩法考向七：不定方程（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a ，b ，c 的大小．（2）指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如1x a 和2x a ，利用指数函数x y a =的单调性；②指数相同，底数不同，如1ax 和2ax 利用幂函数a y x =单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如1log a x 和2log a x 利用指数函数log a x 单调性比较大小；④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．（3）转化为两函数图象交点的横坐标（4）特殊值法（5）估算法（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法（7）构造函数比较大小主要方法有：①通过找中间值比较大小，要比较的两个或者三个数之间没有明显的联系，这个时候我们就可以通过引入一个常数作为过渡变量，把要比较的数和中间变量比较大小，从而找到他们之间的大小关系.②通过构造函数比较大小，要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系.有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.1．（2023·全国·模拟预测）若实数a ，b ，(0,1)c ∈，且满足0.8e 0.8e a a =， 1.2e 1.2e b b =，1.6e 1.6e c c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c >b >a B ．b >a >cC ．a >b >cD ．b >c >a【答案】B【解析】由0.8e 0.8e a a =， 1.2e 1.2e b b =， 1.6e 1.6e c c =，得0.80.8e e a a =， 1.21.2e e b b =， 1.61.6e e c c =，令()e x x f x =，则()1e xxf x -'=，当1x <时，()0f x ¢>，当1x >时，()0f x '<，所以()f x 在(),1-∞上是增函数，在()1,+∞上是减函数，于是()()1.2 1.6f f >，即()()f b f c >，又b ，()0,1c ∈，所以b c >；0.80.8 1.60.80.80.80.80.80.8 1.60.80.820.8e 2e e e e e e e e ea c a c ⨯--=-==⨯⨯，因为4956252512=>=，所以445522>⨯，45522⎛⎫> ⎪⎝⎭，45522⎛⎫> ⎪⎝⎭，因此450.85e 2202⎛⎫->-> ⎪⎝⎭，于是()()f a f c >，又a ，()0,1c ∈，所以a c >；令()22e e x x x x g x --=-，则()()()()22e e e e 1110e e ex x x x x x x g x x -+-+-=='---⋅≥，所以()g x 在(),-∞+∞上是增函数，()()0.81g g <，0.820.80.820.80e e ---<，即0.8 1.20.8 1.20e e -<，0.8 1.20.8 1.2e e <，()()0.8 1.2f f <，于是()()f a f b <，又a ，()0,1b ∈，所以a b <；综上b a c >>.故选：B .2．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知0.03e 1a =-，ln1.03b =，tan 0.03c =，其中e 2.71828= 为自然对数的底数，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c a b >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．a b c>>【答案】B【解析】0.03e 1tan 0.03a c --=-，令()e cos cos sin e 1tan cos x xx x xf x x x--=--=，π04x <<，令()e cos cos sin xg x x x x =--，则()()()e 1cos sin x g x x x '=--，当π04x <<时，()0g x '>，所以()g x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又()00e cos 0cos 0sin 0110g =--=-=，所以()0g x >，又cos 0x >，所以()0f x >在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以()0.03e 1tan 0.0300.03f -=->，即0.03e 1tan 0.03->，即a c >，令()()ln 1h x x x =+-，π02x <<，所以()1111x h x x x-'=-=++，因为π02x <<，所以()01x h x x -'=<+，所以()h x 在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()()00h x h <=，即()ln 1x x +<在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立，所以()ln 10.03ln1.030.03+=<，令()tan m x x x =-，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()211cos m x x=-'，因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()2110cos m x x'=-<，故()tan m x x x =-在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()()00m x m <=，即tan x x <在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，当0.03x =时，0.03tan 0.03<，故ln1.030.03tan 0.03<<，即b c <，综上，a c b >>故选：B3．（2023·广西·统考三模）已知2()cos f x x x =+，若3441e ,ln ,54a f b f c f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a<<B ．c a b<<C ．c b a<<D ．a c b<<【答案】A【解析】因为2()cos ,R f x x x x =+∈，定义域关于原点对称，()22()()cos()cos f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时,()2sin ,f x x x '=-，设()2sin g x x x =-，则()2cos g x x =-'，1cos 1x -≤≤ ，()0g x '∴>，所以()g x 即()f x '在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)0f x f ''≥=,所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，又因为()f x 为偶函数,所以()f x 在(,0]-∞上单调递减，又因为41ln0,054<-<,所以445ln ln ln 554b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,1144c f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又因为31411ee e 4-->=>,因为141ln e 4=,41445e e, 2.4e 4⎛⎫⎛⎫=≈< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以145e 4>,所以145ln e ln 4>，即15ln 44>,所以3415eln 44->>,所以3441e 5ln 4f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即a c b >>.故选：A.4．（2023·全国·模拟预测）已知0.50.75e ,e ln1.5, 1.125a b c ===则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b c a <，则()11ef x x '=-，当0e x <<时，()0f x ¢>，当e x >时，()0f x '<，则函数1()ln ef x x x =-在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，故()(e)ln e 10,f x f ≤=-=，故ln 1e x x ≤，当且仅当e x =时取等号．由于20x >，则22ln ex x ≤，则22ln e x x ≤，则2ln 2e x x ≤，则22(2)2ln 22e e x x x ≤=，当且仅当2x =时取等号．当0.75x =时，221ln1.50.75 1.125e e<⨯=⨯，所以eln1.5 1.125<，所以b c <．构造函数()1e x g x x -=-，则()1e 1x g x -'=-，当1x >时，()0g x '>，当1x <时，()0g x '<，所以()1ex g x x -=-在()1,+∞上单调递增，在(),1-∞上单调递减，故()()10g x g ≥=，所以1e x x -≥，当且仅当1x =时取等号，故21e 2x x -≥，当且仅当0.5x =时取等号．当0.75x =时，0.5e 1.5>，则0.50.75e 0.751.5 1.125>⨯=，所以a c >．综上得：b c a <<．故选：A ．5．（2023·山东青岛·统考一模）已知函数()31sin 2f x x x =-，若π0,12θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()sin cos a fθθ=，()()sin sin b fθθ=，12c f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c>>C ．a c b>>D ．c a b>>【答案】A【解析】因为()()3311()sin()(sin )22f x x x x x f x -=---=--=-，所以()f x 在R 上是奇函数.所以1122c f f ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对()31sin 2f x x x =-求导得，()213cos 2f x x x'=-令()213cos 2g x x x =-，则()16sin 2g x x x'=+当112x <<时，()0g x '>，所以()g x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则112x <<时，()131131cos 10242242g x g ⎛⎫>=->-⨯> ⎪⎝⎭，即()0f x ¢>，所以()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.因为π0,12θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos sin 2θθ>>，因为sin 10sin 2y xθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递增，所以()()sin sin cos sin θθθθ>.令()ln ln 2h x x x =+，则()ln 1h x x '=+所以当10e x <<时，()()0,h x h x '<单调递减；当1ex >时，()()0,h x h x '>单调递增.所以()1111ln ln 2ln 2e e e e h x h ⎛⎫≥=+=- ⎪⎝⎭，而e 2e >，即1e 2e >，所以1ln 2e >，即1ln 20e->.所以ln ln 2x x >-，即12xx >，则()sin 1sin 2θθ>所以()()sin sin 1cos sin 2θθθθ>>所以()()()()sin sin 1cos sin 2fff θθθθ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，即a b c >>.故选：A6．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）若sin 0.1tan 0.1a =+，0.2b =，0.20.16e c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <'=+>，所以()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则()()0.100f f >=，故a b >，构建()e 1(0)x g x x x =--<，则()e 1xg x '=-，()0g x '<在(),0∞-上恒成立，故()g x 在(),0∞-上单调递减，则()()00g x g >=，∴e 1(0)x x x >+<，所以0.2e 10.2->-，即()0.210.2e 1-<，所以0.20.8e 1cb=<，故b c >，综上，c b a <<，故选：C7．（2023·江西九江·统考二模）设1sin4a =，1b =，5ln 4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a>>D ．c b a>>【答案】B【解析】将14用变量x 替代，则sin a x =，e 1x b =-，ln(1)c x =+，其中()0,1x ∈，令()sin ln(1)f x x x =-+，则1()cos 1f x x x '=-+，令1()()cos 1g x f x x x '==-+，则21()sin (1)g x x x '=-++，易知()g x '在()0,1上单调递减，且(0)10g '=>，1(1)sin104g '=-<，∴0(0,1)x ∃∈，使得()00g x '=，当()00,x x ∈时，()0g x '>，()f x '单调递增；当()0,1x x ∈时，()0g x '<，()f x '单调递减．又(0)0f '=，1(1)cos102f =->'，∴()0f x '>，∴()f x 在()0,1上单调递增，∴()()00f x f >=，即sin ln(1)x x >+，∴a c >，记()()e sin 1x h x x =-+，()0,1x ∈，则()e cos 0xh x x =->'，()h x 在()0,1上单调递增，又()()00e sin 010h =-+=，所以1((0)04h h >=，所以b a>综上，b a c >>.故选：B ．8．（2023·河南洛阳·校联考三模）已知函数()21xf x =-，记()0.5log 3a f =，()5log 3b f =，()lg 6c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）．A ．a b c <又5ln 3log 3ln 5=，50log 31<<，ln 6ln 2ln 3lg 61ln10ln 2ln 5+==<+，0lg 61<<，则5log 3ln 3ln 2ln 5ln 2ln 3ln 3ln 5lg 6ln 5ln 2ln 3ln 2ln 5ln 3ln 5+⋅+⋅=⋅=+⋅+⋅，又ln 5ln 3ln 20>>>，则ln 2ln 5ln 3ln 5ln 2ln 3ln 3ln 5⋅+⋅>⋅+⋅，所以5log 3ln 2ln 3ln 3ln 51lg 6ln 2ln 5ln 3ln 5⋅+⋅=<⋅+⋅，所以52log 3lg 6log 3<<，所以()()()()520.5log 3lg 6log 3log 3f f f f <<=，即b<c<a ，故选：C.9．（2023·安徽·统考一模）已知()0.9329e 1,ln 0.9e 10a b c =+==，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a b c>>【答案】D【解析】0.9e 1,0.92,ln03.9a b c =++=+=构造函数123e 1,2,ln 3xy y x y x =+=+=+，令()12e 1xf x y y x =-=--，()0,1x ∈，则()e 10,xf x '=->所以()f x 在()0,1单增，所以()()0.900f f >=，所以0.9e 1.9>，所以0.9e 0.921>++，所以a b >.令()23ln 1g x y y x x =-=--,()0,1x ∈，()110g x x'=-<，所以()g x 在()0,1x ∈为减函数，所以()(1)0g x g >=，所以0.9ln0.910-->，所以0.92ln0.93+>+，所以b c >，所以a b c >>.故选：D.10．（2023·贵州毕节·统考二模）已知e e m m +=，5e n n +=，则lg n m 与lg m n 的大小关系是（）A ．lg lg n m m n C ．lg lg n m m n=D ．不确定【答案】B【解析】5e e n n n n +=>+，又e e m m +=，则e e m n m n +>+，设()e xt x x =+，显然()t x 为增函数，因为()()t m t n >，所以m n>又()01e t =<，()ee e e e t =+>，则0en m <<<令()lg ln ln10x xf x x x ==，设()ln x g x x =，则()21ln x g x x -'=，当()0,e x ∈时()g x 单调递增，则()()ln ln10ln10g x xf x x ==在()0,e x ∈上单调递增，故()()lg lg m n f m f n m n >⇒>，解得lg lg n m m n >.故选：B11．（2023·全国·模拟预测）已知 1.4a =，0.41.1e b =，0.5e c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <，函数()f x 在(),0.5-∞上单调递增，当0.5x >时，()0f x '<，函数()f x 在()0.5,+∞上单调递减，所以()()0.40.5b f f c =<=；设()e 1x g x x =--，则()e 1xg x '=-，当0x <时，()0g x '<，函数()g x 在(),0∞-上单调递减，当0x >时，()0g x '>，函数()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()e 100xx g --≥=故e 1x x ≥+，所以0.41.1e 1.11.4 1.4>⨯>，即a b <．综上，a b c <<，故选：A ．12．（2023·四川·校联考一模）设130121,sin ,e 124330a b c ===-，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．a b c>>C ．a c b>>D ．c a b>>【答案】C【解析】由130e 1c =-，15124430a ==⨯，构造函数()5e 14xf x x =-+，105x ≤≤，则()5e 4xf x '=-，因为()5e 4x f x '=-在10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以当105x ≤≤时，()1555e 44e xf x >=--'，又5531253e 41024⎛⎫=>> ⎪⎝⎭，所以155e 4>，故()0f x ¢>，所以函数()5e 14xf x x =-+在10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，故()130151e 10030430f f ⎛⎫=⨯-+>= ⎪⎝⎭，故1301e 124a c >-==，因为21sin330b =，130e 1c =-，构造函数()e 1si 2n 3xg x x =--，01x ≤≤，则()co 3e s 2xg x x '=-，因为22e 1cos 33xx ≥>≥所以()0g x '>，所以()g x 在[]0,1是增函数，所以()10030g g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即1300231e 1sin 30-->，所以13021e 13sin 3->，即c b >，综上，a c b >>.故选：C.13．（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知 1.01 1.03 1.021.03, 1.01, 1.02a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c b a <<B ．c<a<bC ．b<c<aD ．a c b<<【答案】C【解析】构造ln(0.01)(),(0,)x f x x x +=∈+∞，则2ln(0.01)0.01()xx x f x x-+'+=，构造()ln(0.01)0.01xu x x x =-++，则220.011()0(0.01)0.01(0.01)xu x x x x -=-=<++'+，故()u x 在(0,)+∞内单调递减，110.01)022u -=-=>．故2()()0u x f x x '=>对任意0.01)x ∈-恒成立，则()f x在0.01)单调递增，因为2(1.020.01) 1.0609e +=<，所以1.020.01<，故(1.02)(1.01)f f >，即ln1.03ln1.021.02 1.01>，即1.01ln1.03 1.02ln1.02>，即 1.01 1.02ln1.03ln1.02>，即 1.01 1.021.03 1.02a c =>=，同理构造ln(0.01)(),(0.01,)x g x x x -=∈+∞，则2ln(0.01)0.01()xx x g x x--'-=，构造()ln(0.01)0.01xv x x x =---，则220.011()0(0.01)0.01(0.01)x v x x x x --=---'=-<，故()v x 在(0.01,)+∞内单调递减，e 0.011(e 0.01)10e 100ev ++=-=>，故2()()0v x g x x '=>对任意(0,e 0.01)x ∈+恒成立，则()g x 在(0,e 0.01)+单调递增，故(1.03)(1.02)g g >，即ln1.02ln1.011.03 1.02>，即1.02ln1.02 1.03ln1.01>，即 1.02 1.03ln1.02ln1.01>，即 1.02 1.031.02 1.01c b =>=，则a ，b ，c 的大小关系是b c a <<．故选：C ．14．（2023·四川巴中·统考一模）若 1.1ln1.1a =，0.10.1e b =，110c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <+，由于()2,e xy x y =+=在0x >单调递增，且其值均大于0，11y x =+单调递减，所以()()1e 21x h x x x '=-++单调递减，又()010h '=-<，所以()h x 在0x >单调递减，且()00h =，所以在0x >时，()()0h x f x '=<，因此()f x 在0x >时单调递减，故()()00.1f f >，即0.11.1ln1.10.1e 0-<，即0.11.1ln1.10.1e a b <⇒<，设()()()()()()1ln 1,ln 111ln 1,g x x x x g x x x '=++-=++-=+当0x >时，()()ln 10g x x '=+>，所以()g x 在()0,∞+单调递增，所以()()0.10g g >，即1.1ln1.10.1a c >⇒>，综上可知c a b <<，故选：B15．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）已知12,ln3e 3a b c ===-，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <，函数()f x 单调递增；当()()e,,0x f x ∞'∈+<，函数()f x 单调递减，所以当e x =时，函数取得最大值1(e)ef =，因为()()ln21lne2,e ,e 22e e a f b f ======>，所以()()2e f f <，即a b <.（法二）因为ln2lne,2ea b ==，设()()2,ln2,e,lne ,A B O 为坐标原点，结合函数ln y x =的图象知OA OB k k <，所以a b <；比较,b c 的大小时，设函数()ln 1,0g x x x x =-->，则()1x g x x-'=，当01x <<时，()0g x '<，所以函数()g x 在()0,1上单调递减；当1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在()1,+∞上单调递增，因为1e b g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13c g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又11013e <<<，所以11e 3g g ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b c <，综上可得，a b c <<，故B ，C ，D 错误.故选：A.方法二（估值法）：因为10.69112ln20.345,0.37,ln3 1.10.6722e 2.73a b c ==≈==≈≈=-≈-=0.43.所以a b c <<，故B ，C ，D 错误.故选：A.16．（2023·河南·统考模拟预测）实数x ，y ，z 分别满足2022e x =，20222023y =，20222023z =，则x ，y ，z 的大小关系为（）A ．x y z >>B ．x z y >>C ．z x y >>D ．y x z>>【答案】B【解析】由已知得12022e x =，2022log 2023y =，20232022z =，设ln ()xf x x=，21ln ()x f x x -'=，当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，所以ln ()xf x x=在()e,+∞上单调递减，因此20232022f f <（）（），即ln 2023ln 202220232022<所以20222023ln 2023log 20232022ln 2022>=，z y >；又设()e 1x h x x =--，()e 1xh x '=-，当()0,x ∈+∞时，()0h x '>，所以()e 1xh x x =--在()0,x ∈+∞上单调递增，因此()1202211e10020222022h h ⎛⎫=-->= ⎪⎝⎭，所以1202212023e 120222022>+=，则>x z ；综上得x z y >>.故选：B ．17．（2023·全国·模拟预测）已知a =ee b =，2e ln 2=c ，试比较a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】B【解析】先证明两个不等式：（1）12ln (1)x x x x <->，设1()2ln (1)f x x x x x=-+>，则22211()110(1)f x x x x x ⎛⎫'=--=--<> ⎪⎝⎭，即()f x 在(1,)+∞上单调递减，故()(1)0f x f <=，即12ln (1)x x x x<->成立（2）2(1)ln (1)1x x x x ->>+，设2(1)()ln (1)1x g x x x x -=->+，则22214(1)()0(1)(1)(1)x g x x x x x x -'=-=>>++，即()g x 在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0g x g >=，即2(1)ln (1)1x x x x ->>+成立再说明一个基本事实，显然3π 3.24<<，于是1.73 1.8<<<.由（1）可得，取2x =，可得0.752ln 2 1.5ln 20.75e 2<⇔<⇔>；由（2）可得，取2x =，可得2ln 23>，再取43x =，可得42ln 0.2737>>，即0.270.2743e e34-<⇔>.e e e 1.80.75e e e 1222b a -==>>>，显然0a >，于是b a >；22220.271.730e e 3e ln 2e e e 12ln 24c a ==<<=<=，显然0a >，于是c a <.故b a c >>.故选：B18．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知1ea =，25b =，3ln 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <，则0e x <<；令()0f t '<，则e x >，故()f t 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，可得()()12e e5f t f ≤=<，即a b <，构建()()234111ln 1234g x x x x x x =+-+-+，则()4231111x g x x x x x x '=-+-+=++，当0x >时，()0g x '>恒成立，故()g x 在()0,+∞上单调递增，则()()00g x g >=，可得()234111ln 1234x x x x x +>-+-在()0,+∞上恒成立，则31111772ln22824641925>-+-=>，即c b >，故a b c <<.故选：A.19．（2023·全国·模拟预测）若实数a ，b ，[]0,1c ∈，且满足e e a a =， 1.2e 1.2e b b =，l.6e 1.6e c c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c b a >>B ．b a c>>C ．a b c>>D ．b c a>>【答案】C【解析】由e e a a =， 1.2e 1.2e b b =， 1.6e 1.6e c c =，得1e e a a =， 1.21.2e e b b =， 1.61.6e e c c =，令()e x x f x =，则1()ex xf x -'=，当1x <时()0f x '>，当1x >时()0f x '<，所以()f x 在(,1)-∞上是增函数，在(1,)+∞上是减函数，于是(1)(1.2)(1.6)f f f >>，即()()()f a f b f c >>，又a ，b ，[0,1]c ∈，所以a b c >>.故选：C.20．（2023·河南郑州·统考二模）π和e 是数学上两个神奇的无理数．π产生于圆周，在数学中无处不在，时至今日，科学家借助于超级计算机依然进行π的计算．而当涉及到增长时，e 就会出现，无论是人口、经济还是其它的自然数量，它们的增长总是不可避免地涉及到e ．已知π3e a -=，ln(eπ2e)b =-，2π5π2c -=-，π2d =-，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（）A ．c b d a <<，求导得1()e 10x f x -'=->，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，则当1x >时，()(1)0f x f >=，即1e x x ->，而π21->，因此π3e π2->-，即a d >；令函数()ln 1,1g x x x x =-+>，求导得1()10g x x'=-<，函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，则当1x >时，()(1)0g x g <=，即ln 1x x +<，因此2ln(e ln(π2e)π2)1π-=-+<-，即d b >；令函数1()ln 1,1h x x x x=+->，求导得22111()0x h x xx x-=-=>，函数()h x 在(1,)+∞上单调递增，则当1x >时，()(1)0h x h >=，即11ln 1ln 12x x xx>-⇔+>-，因此2l 1n(12π5π2e ln(2e)π2)2ππ--=-+>-=--，即b c >，所以c b d a <<<.故选：A21．（2023·天津南开·统考一模）已知()1e lg2,lg ln2,ln2ab c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．c b a <>=-，所以()1lg ln 2ln 2>，即b c >，所以a c b <<.故选：C.22．（2023·四川巴中·统考一模）若0.111.1ln1.1,0.1e ,9a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b<<【答案】A【解析】设()()()e 1,0,1x f x x x =-∈，则()()()e 1e 1e 0x x xf x x x =-+-=-<'恒成立，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，则()()0.101f f <=，即0.1e 0.91⨯<，所以0.11e 0.9<，于是有0.10.110.1e 0.99<=，即b c <；设()(1)ln(1)e x h x x x x =++-，()ln(1)1e (1)x h x x x +-'=++，0x =时，(0)0h '=，设()()s x h x '=，则1()e (2)1x s x x x =-++'，0x ≥时，()0s x '<，所以()h x '是减函数，所以()0h x '≤恒成立，所以()h x 在0x >时是减函数，并且(0)0h =，所以0.1x =时，0.1(10.1)ln(10.1)0.1e 0++-<，所以a b <．综上，a b c <<．故选：A ．23．（2023·四川凉山·二模）已知1202320232023tan ,e ,20222022a b c ===，则a ，b ，c 大小关系是（）A ．c b a <，即当3(1,)2x ∈时，()0f x ¢>，∴()f x 在3(1,)2上单调递增，∴()202312022f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴20232023tantan11020222022->->，∴20232023tan 20222022>，即a c >；令()1ln 1x g x x=+-，()1,x ∈+∞，∴()221110x g x x x x-'=-=>，∴()g x 在(1,)+∞上单调递增，∴()2023102022g g ⎛⎫>=⎪⎝⎭，∴202311ln12023202220232022>-=，∴120232023e 2022>，即c b >，综上可知：b<c<a .故选：D24．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）已知eππe e ,π,a b c ===，则这三个数的大小关系为（）A ．c b a <，则()()21ln ,0xf x x x -'=>，由()0f x ¢>，解得0e x <<，由()0f x '<，解得e x >，所以()()ln ,0xf x x x=>在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减；因为πe >，所以()()πe f f <，即ln πln eπe<，所以e ln ππln e <，所以e πln πln e <，又ln y x =递增，所以e ππe <，即b a <；eeππ=⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在同一坐标系中作出xy =与y x =的图象，如图：由图象可知在()2,4中恒有(2xx >，又2π4<<，所以ππ2>，又e y x =在()0,∞+上单调递增，且ππ2>所以eπeπeπ2=2⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，即b c >；综上可知：c b a <<，故选：A25．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）设150a =，112ln sin cos 100100b ⎛⎫=+ ⎝⎭，651ln 550c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b<c<aD ．b a c<<【答案】D【解析】因为10.0250ln e ln e a ==，211ln sin cos 100100b ⎛⎫=+ ⎝⎭，6551ln 50c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以只要比较6250.02 1.211151e ,sin cos 1sin 1sin 0.02,(10.02)1001005050x y z ⎛⎫⎛⎫==+=+=+==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的大小即可，令()e (1sin )(0)x f x x x =-+>，则()e cos 0x f x x '=->，所以()f x 在(0,)+∞上递增，所以()(0)f x f >，所以e 1sin x x >+，所以0.02e 1sin 0.02>+，即1x y >>，令 1.2()(1)e x g x x =+-，则0.2() 1.2(1)e x g x x '=+-，0.8()0.24(1)e x g x x -''=+-因为()g x ''在(0.)+∞上为减函数，且(0)0.2410g ''=-<，所以当0x >时，()0g x ''<，所以()g x '在(0.)+∞上为减函数，因为(0) 1.210g '=->，0.20.2 1.20.2(0.2) 1.2 1.2e 1.2e g '=⨯-=-，要比较 1.21.2与0.2e 的大小，只要比较 1.2ln1.2 1.2ln1.2=与0.2lne 0.2=的大小，令()(1)ln(1)(0)h x x x x x =++->，则()ln(1)11ln(1)0h x x x '=++-=+>，所以()h x 在上递增，所以()(0)0h x h >=，所以当,()0x ∈+∞时，(1)ln(1)x x x ++>，所以1.2ln1.20.2>，所以 1.21.2>0.2e ，所以0.20.2 1.20.2(0.2) 1.2 1.2e 1.2e 0g '=⨯-=->，所以当(0,0.2)x ∈时，()0g x '>，所以()g x 在(0,0.2)上递增，所以()(0)0g x g >=，所以 1.2(1)e x x +>，所以 1.20.02(10.02)e +>，所以z x >，所以z x y >>，所以c a b >>，故选：D26．（2023·广西南宁·统考一模）23(2ln 3)1ln 3,,3a b c e e -===，则a ，b ，c 的大小顺序为（）A ．a c b <，即0<<x e 时()f x 单调增，>x e 时()f x 单调减，又2133ee <<<，∴b c >，b a >.若ln x t x =有两个解12,x x ，则121x e x <<<，1(0,)t e ∈，即2121ln ln x x t x x -=-，1212ln x x x x t+=，令2(1)()ln (1)1x g x x x x -=->+，则22(1)()0(1)x g x x x -'=>+，即()g x 在(1,)+∞上递增，∴()(1)0g x g >=，即在(1,)+∞上，2(1)ln 1x x x ->+，若21x x x =即212121ln ln 2x x x x x x ->-+，故122ln t t x x >，有212x x e >∴当23x =时，213e e x >>，故21(()(3)3ef f x f <=，综上：b c a >>.故选：A27．（2023·全国·模拟预测）下列大小关系正确的为（）A ．()0.010.012ln e e 3-+【答案】B【解析】对于选项A ，因为28e >，所以232e >，则2ln 23>，又因为0.010e e 1>=，则有0.010.010.010.011ee e 2e-+=+>，所以0.010.012ln(ee )ln 23-+>>，故选项A 错误；对于选项B ，构造函数()sin f x x x =-，则()cos 10f x x '=-≤，所以函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，则()(0)0f x f £=，所以(0.01)0f <，即sin 0.010.01<，令()ln 1(01)g x x x x =-+<<，则11()10x g x x x-'=-=>，所以()g x 在(0,1)上单调递增，则()(1)0g x g <=，即ln 1x x <-，所以ln 0.990.9910.01<-=-，故sin 0.01ln 0.990.01(0.01)0+<+-=，故选项B 正确；对于选项C ，构造函数1()cos ln(1)(02x x x x ϕ=++<<，则1()sin 1x x x ϕ'=-++，由选项B 可知：当0x >时，sin x x <，所以sin x x ->-，则有2111()sin 111x x x x x x x x ϕ--+'=-+>-+=+++，因为函数21y x x =--+在1(0,)2上恒大零，所以()0x ϕ'>，则函数()ϕx 在1(0,2上单调递增，所以(0.01)(0)ϕϕ>，即cos 0.01ln1.011+>，故选项C 错误；对于选项D ，因为 2.01 1.992+0.012-0.010.010.010.010.0134=3+4=93+16494+164--+⨯⨯<⨯⨯，令0.014t =，则1 1.3t <<，令()169(1 1.3)=+<<F t t t t，则22216916()9-'=-=t F t t t ，令()0F t '<，解得：4433t -<<，因为1 1.3t <<，所以()F t 在()1,1.3上单调递减，故()(1)91625<=+=F t F ，即0.010.0194+16425-⨯⨯<，所以 2.01 1.993425+<，故选项D 错误，故选：B .28．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）设0.03,2ln1.01,ln1.1x y z ===，则x ，y ，z 的大小关系为（）A ．z x y >>B ．x y z >>C ．x z y >>D ．z y x>>【答案】A 【解析】由3100x =，12ln(1)100y =+，1ln(1)10z =+，若110t =，则23x t =，22ln(1)y t =+，ln(1)z t =+，令22ln(1)3()2f y t x t t +-=-=且01t <<，则2222(13)1)01(64t t t t tt f t -+'-=<++=，所以()f t 在(0,1)上递减，故()(0)0f t f <=，即y x <，令2ln(1)(3)g t t z x t =+--=且01t <<，则1()16t g t t'=+-在(0,1)上递减，若()0g t '=，则116t t +=，可得t =，故上()0g t '>，()g t 递增，而130106<<，且在3(0,)6上()(0)0g t g >=，所以0z x ->，即z x >，综上，z x y >>.故选：A29．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）若200a =，()99lg 101b =，101lg99c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．a b c>>【答案】B【解析】设()()()100lg 100f x x x =-+，[]1,1x ∈-，当[]1,1x ∈-时，()()100lg 100lg e 100xf x x x-'=-+++，令()()100lg 100lg e 100x g x x x-=-++⋅+，则()()21200lg e e 0100100g x x x '=--<++，所以函数()g x 在区间[]1,1-上单调递减，所以()101991011lg 99lg e lg e lg 9999g -=-+=-，又101299e e 99<<，所以()()()10f x g x g '=<-<，所以函数()f x 在区间[]1,1-上单调递减，所以()()()()991101lg990100lg100200199lg101lg 101f f f -=>==>==，故c a b >>.故选：B.30．（2023·四川德阳·统考一模）已知a 、b 、c 是正实数，且2e 2e e 0a a b b c ++-+=，则a 、b 、c 的大小关系不可能为（）A ．a b c ==B ．a b c>>C ．b c a>>D ．b a c>>【答案】D【解析】因为2e 2e e 0a a b b c ++-+=，a 、b 、c 是正实数，所以()()2e e e e e e e e e e 0a a b b c a b a a b b c a+++-+-=-+-=，1,>1,e 1e e a b c >>，对于A ，若a b c ==，则e e e e 0a b c a --==，满足题意；对于B ，若a b c >>，则0,e e e 0e a b c a --><，满足题意；对于C ，若b c a >>，则0,e e e 0e a b c a --<>，满足题意；对于D ，若b a c >>，则0,e e e 0e a b c a --<<，不满足题意.故选：D.31．（2023·江西吉安·统考一模）若0.310,ln3,e 7a b c d ====，则a b c d ,,,的大小关系是___________.【答案】a d c b>>>【解析】设()e 1x g x x =--，则()e 1xg x '=-，当0x ≥时，()()()0,00g x g x g ≥'≥=，故e 1e 1x x x x -≥+⇒≥-+，若()0,1x ∈，则1e 1x x <-，从而0.3110e 10.37d a =<==-b c -=，因为函数1()2ln ,1f x x x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭()22221(1)10x f x x x x -=--=-<'，()f x \在()1,+∞上递减，()()10f x f <=，0f∴<，得0.3,e10.3 1.3, 1.2b c d c ==><+=，d c ∴>，故a d c b >>>.故答案为：a d c b>>>32．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）已知sin13a =，bπ9c =，则,,a b c 的大小关系是___________.【答案】c a b>>【解析】根据题意，设()sin 3x f x x =，则其导数()2cos sin 3x x x f x x -'=.令()cos sin g x x x x =-，()cos sin cos sin g x x x x x x x'=--=-故在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上，()0g x '<恒成立，则有()(0)g x g <，即cos sin 0x x x -<恒成立()0f x '∴<在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，∴函数()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则有()π13f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即πsinsin13π333>⨯a b∴>又πsin193c a -=-πsin1sin 3<=2π6018c a -∴->>，即c a >故答案为：c a b >>。

2023年高考数学名校选填压轴题好题汇编(二)(解析版)

2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（二）一、单选题1．（2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试）已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则 A ．1,0a b <- C ．1,0a b >-< D ．1,0a b >->【答案】C【解析】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，2(1)y x a x =+-'，当10a +，即1a -时，0y '，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点，如图：∴01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩，解得0b <，10a ->，310(116,)b a a >>-+∴>-．故选C ．2．（2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试）天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus )在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(..M R Pogson )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()12212.5lg lg m m E E -=-.其中星等为i m 的星的亮度为()1,2i E i =.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是（）(当x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++) A ．1.22 B ．1.24C ．1.26D ．1.28【答案】C【解析】若“天津四”的亮度是E ，则“心宿二”的亮度是rE ， ∴1.251 2.5(lg lg )rE E -=⋅-，即1lglg 10rE r E ==， ∴0.12101 2.30.1 2.7(0.1) 1.257r =≈+⨯+⨯=. 故选：C.3．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若方程()23f x =在（0，π）的解为1x ，2x （12x x <），则()12sin x x -=（）A ．BC ．13D ．13-【答案】A【解析】因为()0,x π∈，所以52,333x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又因为12,x x 是1sin 233x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭的两根，结合图象可知125212x x π+=，所以2156x x π=-，所以()12115sin sin 2cos 263x x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为12215,6x x x x π<=-，所以15012x π<<，所以12,332x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以1cos 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()12sin x x -=.故选：A.4．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）2022年北京冬奥会成功举办，更加激发全国人民对冰雪运动的爱好，某地为响应全民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场.该滑雪场中某滑道的示意图如图所示，点A ，B 分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为20m .两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图象的一部分.综合滑行的安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面所成的夹角约为44°.若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者的滑雪体验，则A ，B 两点在水平方向的距离约为（）A ．23mB ．25mC ．27mD ．29m【答案】D【解析】以滑道的最陡处为原点O 建立平面直角坐标系，由题意可知，O 为AB 的中点，设三次函数的解析式为()32f x ax bx cx =++，其中0a ≠，设点()0,10A x -，则()0,10B x -，()232f x ax bx c '=++，在滑道最陡处，0x =，则()f x '的对称轴为直线0x =，则03ba-=，可得b =0，则()()233,f x ax c f x ax cx =='++，在滑道最陡处，设滑雪者的身体与地面所成角为α，则()sin cos 120tan 2sin tan cos 2f c παπααπααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭==+==-=- ⎪⎛⎫⎝⎭'+ ⎪⎝⎭，所以()()321,3tan tan x f x ax f x ax αα'=-=-，由图可知20030001()30tan ()10tan f x ax x f x ax αα⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=-⎩'⎪可得0230tan ,x α=，因为44α≈，则()0230tan 28.9729m x α=≈≈. 故选：D.5．（2022·湖北·宜都二中高三开学考试）已知44ln5,5ln4,5ln a b c πππ===，则,,a b c 的大小关系是（） A ．c a b <>，即ln πln 4ln 5π45>>，可得4ln ln 4ππ>，5ln44ln5>，所以4ln ln 4，5ln 44ln5，所以4π5ln π5ln 4>，ππ5ln 44ln5>，即c b >，b a >. 所以a b c <<.故选：B.6．（2022·湖北·高三开学考试）已知直线l 是曲线ln y x =与曲线2y x x =+的一条公切线，直线l 与曲线2y x x =+相切于点()2,a a a +，则a 满足的关系式为（）A ．()21ln 210a a +-+= B ．()21ln 210a a +++=C ．()21ln 210a a --+=D ．()21ln 210a a -++=【答案】C【解析】记()ln y f x x ==得1()f x x'=,记2()g x x x =+得()21g x x '=+，设直线l 与曲线()ln f x x =相切于点(),ln b b ，由于l 是公切线，故可得()()()()()f bg a g a f b g a a b⎧=⎪⎨-''=-'⎪⎩，即2121ln ()21a b a a b g a a a b ⎧=+⎪⎪⎨+-⎪==+'⎪-⎩化简得()21ln 210a a --+=，故选：C7．（2022·湖北·高三开学考试）在三棱锥P ABC -中，PAC PAB ∠=∠，24AC AB ==，PA PB ==，BC =P ABC -外接球的表面积为( )A ．22πB ．26πC ．643πD ．683π【答案】A 【解析】222PA PB AB PA PB +=⇒⊥，且45PAB ∠=，∴45PAC PAB ∠∠==，在∴P AC 中，根据余弦定理得，2222cos1622410PC AC AP AC AP PAC∠=+-⋅⋅=+-⨯=，∴22221012PB PC BC+=+==，∴PB PC⊥，又PA PC P=，,PA PC⊂平面P AC，∴PB∴平面P AC，故可将三棱锥B-APC补为直三棱柱11BAC PAC-，则直三棱柱11BAC PAC-的外接球即为三棱锥P-ABC的外接球，设∴P AC外接圆圆心为2O，∴11A BC的外接圆圆心为1O，则直三棱柱的外接球球心为12O O中点O，OA即为外接球的半径.在∴P AC中，根据正弦定理可得22sinPCO APAC∠===∴2O A=∴2222221222211522O OOA OO O A O A⎛⎫=+=+=+=⎪⎝⎭⎝⎭，∴外接球表面积为：2114π4π22π2OA⋅=⨯=．故选：A．8．（2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习）已知函数()232(0)3f x x ax a=->的定义域为R，若对于任意的()13,x∞∈+，都存在()21,x∈+∞，使得()()121f x f x⋅=，则a的取值范围是（）A．10,3⎛⎤⎥⎝⎦B．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】因为()2323f x x ax=-，所以()22(1)22f ax axx xx'=-=-，2(1)13af=-，(3)918f a=-，令()0f x'=，可得0x=或1xa=，当01a<≤时，11,xa⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0f x'>，1,xa⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，则()0f x'<，所以函数()f x在11,a⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，函数()f x在1,a⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，当1a>时，(1,)x∈+∞时，()0f x'<，所以函数()f x 在(1,)+∞上为减函数，设1()()g x f x =，因为对于任意的()13,x ∞∈+，都存在()21,x ∈+∞，使得()()121f x f x ⋅=，所以对于任意的()13,x ∞∈+，都存在()21,x ∈+∞，使得()()21f x g x =，所以函数()g x 在(3,)+∞上的值域包含与函数()f x 在(1,)+∞上值域，当1a ≥时，9180a -<，11a≤ 函数()f x 在(1,)+∞上为减函数，函数()f x 在(1,)+∞上的值域为2,13a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，函数()f x 在(3,)+∞上的值域为(),918a -∞-，所以函数()g x 在(3,)+∞上的值域为1,0918a ⎛⎫⎪-⎝⎭，由已知1,0918a ⎛⎫⊆⎪-⎝⎭2,13a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，所以2103a-≥，又1a ≥，所以312a ≤≤，(注：由此可排除A ，B ，C) 当103a <≤时，2103a -≥，9180a ->，13a ≥ 函数()f x 在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，函数()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，函数()f x 在(1,)+∞上的值域为21,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，函数()f x 在(3,)+∞上的值域为21,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，所以函数()g x 在(3,)+∞上的值域为()2,0(,)a -∞+∞，与已知矛盾，当1132a <<时，2103a -≥，9180a ->，123a << 因为函数()f x 在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，函数()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以函数()f x 在(1,)+∞上的值域为21,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，函数()f x 在(3,)+∞上的值域为(),918a -∞-，所以函数()g x 在(3,)+∞上的值域为()1,0,918a ⎛⎫-∞+∞⎪-⎝⎭，与已知矛盾，当12a =时，2103a ->，9180a -=，12a= ()1,2x ∈，则()0f x '>，()2,x ∈+∞，则()0f x '<，所以函数()f x 在()1,2上单调递增，函数()f x 在()2,+∞上单调递减，所以函数()f x 在(1,)+∞上的值域为(),4-∞，函数()f x 在(3,)+∞上的值域为(),0∞-，所以函数()g x 在(3,)+∞上的值域为(),0∞-，(),0-∞⊆(),4-∞，满足要求当112a <<时，2103a ->，9180a -<，112a << 函数()f x 在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，函数()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增所以函数()f x 在(1,)+∞上的值域为21,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，函数()f x 在(3,)+∞上的值域为(),918a -∞-，所以函数()g x 在(3,)+∞上的值域为1,0918a ⎛⎫⎪-⎝⎭，1,0918a ⎛⎫⊆ ⎪-⎝⎭21,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，满足要求，综上所述，1322a ≤≤，故选：D.9．（2022·湖北·高三阶段练习）已知四面体D ABC -中，1AC BC AD BD ====，则D ABC -体积的最大值为（）A B C D 【答案】C【解析】设M 为CD 的中点，连接AM,BM , 设四面体A -BCD 的高为h ，则h AM ≤,由于1AC BC AD BD ====，故ACD BCD ≌ , 则ACD BCD ∠=∠,设π,(0,)2BCD ACD αα∈∠=∠=，则sin sin ,22cos 2cos AM BM BC CD CM BC αααα======, 所以1136D ABC A DBC BCDV V Sh CD BM AM --==⋅≤⋅⋅21cos sin 3αα===，当且仅当平面ACD 与平面BCD 垂直且sin αα=即arctan 2α=时取等号，故选：C10．（2022·湖北·高三阶段练习）恰有一个实数x 使得310x ax --=成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(-∞B ．⎛ ∞⎝⎭-C ．⎝⎭D ．⎛-∞ ⎝⎭【答案】B【解析】当0x =时，10不成立，所以0x =不是方程的根，故对原方程转化为21a x x=-，故转化为y a =与21()f x x x=-仅有一个交点，构造21()f x x x=-，322121()2x f x x x x +'=+=，0x <<或0x >时，()0f x '>，当x <时，()0f x '<，故函数()f x 在⎛-∞ ⎝单调递减，在⎫⎪⎭和()0,∞+单调递增，又f ，当x →-∞时，()f x →+∞，x →+∞时，()f x →+∞，且0x -→时，()f x →+∞，0x +→时，()f x →-∞，故要使得y a =与()f x 仅有一个交点，即a 的取值范围是⎛ ∞⎝⎭-故选：B ．11．（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，过2F 的直线与Γ交于A ，B 两点.若223AF F B =，12AB AF =，则Γ的离心率为（）A ．15BCD【答案】C【解析】设2F B m =,则23AF m =,124AB AF m ==. 由椭圆的定义可知1225BF BF a m +==,所以25m a =,所以265AF a =,145AF a =.在∴ABF 1中,22222211118481555cos 8424255a a a AB AF BF A a a AB AF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭===⨯⨯.所以在∴AF 1F 2中,2221212122cos F F AF AF AF AF A =+-,即22224441425554a a a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理可得：22225c e a ==,所以e =故选：C12．（2022·湖北武汉·高三开学考试）若1e 2ln2xyx y +-=+，其中2x >，2y >，则下列结论一定成立的是（） A ．2x y > B ．22e x y >C ．x y >D ．2e x y >【答案】D【解析】因为1e 2ln2xyx y +-=+，其中2x >，2y >，所以e 12ln212ln 1ln ln 2222222xy y y x y y y yy =--=--=--+--，其中2x >，2y >，令1ln y x x =--，'111x y x x-=-=，故()0,1x ∈时，'10x y x-=<，1ln y x x =--单调递减， ()1,x ∈+∞时，'10x y x-=>，1ln y x x =--单调递增，所以1ln 0y x x =--≥，即1ln x x -≥，当且仅当1x =时等号成立，所以1ln ,222y yy ->>，所以e ln 22xy x y >-- 故令()e ,2x x f x x ->=，则e ln 22xy x y >--等价于()ln 2y f x f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，因为()e 10,2x f x x =->>'，故函数()e xf x x =-在()2,+∞单调递增，所以()ln 2y f x f ⎛⎫> ⎪⎝⎭等价于ln 2y x >，即ln e ln 2xy x =>所以e 2xy >，即2e x y >.故选：D13．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）已知0.21,ln1.2,tan 0.2e a b c =-==，其中e 2.71828=为自然对数的底数，则（） A ．c a b >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．a b c >>【答案】B【解析】令cos cos sin ()1tan cos e e x xx x x f x x x--=--=，04x π<<，令()cos cos sin e x g x x x x =--，()(sin cos )sin cos (1)(cos sin )e e x x g x x x x x x x '=-++-=-⋅-，当04x π<<时，()0g x '>，()g x 单调递增，又(0)110g =-=，所以()0>g x ，又cos 0x >，所以()0f x >，在(0,)4π成立，所以(0.2)0f >即a c >，令()ln(1)h x x x =+-，1()111xh x x x -=-=++'，()h x 在(0,)2x π∈为减函数，所以()(0)0h x h <=，即ln(1)x x +<，令()tan m x x x =-，21()1cos m x x '=-，()m x 在(0,)2x π∈为减函数，所以()(0)0m x m <=，即tan x x <，所以ln(1)tan x x x +<<，(0,)2x π∈成立，令0.2x =，则上式变为ln(0.21)0.2tan 0.2+<<，所以0.2b c << 所以b c <，所以b c a <<. 故答案为：B.14．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）已知正实数C 满足：对于任意θ，均存在,,0255i j i j ∈≤≤≤Z ，使得2cos iC jθ-≤，记C 的最小值为λ，则（） A ．1120001000λ<< B ．111000500λ<< C ．11500200λ<< D ．11200100λ<< 【答案】B【解析】题设等价于对于任意[]0,1x ∈，均存在,,0255i j i j ∈≤≤≤Z ，使得ix C j-≤，将i j 在数轴上表示如下：当x 与上述数轴上的点重合时，易得存在,,0255i j i j ∈≤≤≤Z 使得0i x j -=，又C 为正实数，则ix C j-≤成立；当x 与上述数轴上的点不重合时，假设在相邻的两个点1212,i i j j 之间，则12112112i i i x j j j -≤-，当且仅当x 在相邻的两个点1212,i i j j 中点时取等，要使对于任意[]0,1x ∈，均存在,,0255i j i j ∈≤≤≤Z ，使得ix C j-≤，则有212112i i C j j ≥-，又数轴上所有相邻的两个点之间距离最大为1254101255255255-=-=，此时x 在相邻的两个点10,255或254,1255中点，则1112255510C ≥⨯=. 以下说明数轴上所有相邻的两个点之间距离最大为1255，易得数轴上(),14,252552550k k k k ∈≤≤+Z 两点之间的距离为1255，当0k =或254k =，10,255和254,1255为相邻的两点，之间的距离为1255；当1253k ≤≤时，则1255254255k k k +<<，即1,255255k k +之间必存在点254k，可得相邻的两点之间的距离小于1255，综上可得数轴上所有相邻的两个点之间距离最大为1255. 故1510λ=，故111000500λ<<. 故选：B.15．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠（球）的表面上有四个点A ，B ，C ，P ，且球心O 在PC 上，4AC BC ==，AC BC ⊥，tan tan PAB PBA ∠=∠=）A ．9πB ．18πC ．36πD ．64π【答案】C【解析】如图，取AB 的中点M ，连接MP ，由AC =BC =4，AC ∴BC 得：AB =由tan tan PAB PBA ∠=∠=MP ==连接CM 并延长，交球O 于点H ，连接PH ，因为PC 球O 的直径，设球的半径为R ，则PH ∴CH ，1122MH CH AB ===则2PH ==，所以()(222222436R PC CH PH ==+=+=，解得：3R =，球的表面积为24π36πR =.故选：C二、多选题16．（2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试）已知函数()()2+cos 4x f x x x R ππ=-∈，则下列说法正确的有（）A ．直线y =0为曲线y =f (x )的一条切线B ．f (x )的极值点个数为3C ．f (x )的零点个数为4D ．若f (1x )=f (2x )(1 x ≠2x )，则1x +2x =0 【答案】AB 【解析】因为()()2+cos 4x f x x x R ππ=-∈，所以()()'2sin xf x x x R π=-∈，令'0f x，即2sin xx π=，令1sin y x =，22xy π=，在同一坐标系中作出两函数的图像，由图像得：当,2x π⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭和,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2sin x x π<，所以此时()'>0f x ，所以()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭和,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当,2x π⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭和02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2sin >x x π，所以此时()'0f x <，所以()f x 在2π⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，和0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；且()014f π=-，22+cos 0224f πππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=-= ⎪⎝⎭，22+cos 0224f πππππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，作出函数()f x 的图象如下图所示：对于A 选项：根据函数的图象，知A 选项正确；对于B ：由图象得'0f x有3个不同的解，有3个极值点，故B 正确；对于C ：当2x π=或2x π=-时，()0f x =，所以函数()f x 有2个零点，故C 不正确；对于D ：因为()()()()22+cos +cos 44x x f x x x f x ππππ--=--=-=，所以函数()f x 是偶函数，所以函数()f x 关于y 轴对称，若()()12f x f x =，则当120x x =≠时，()()2014f f x π==-，此时即122+0x x x =≠，故D 不正确. 故选：AB.17．（2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意R x ∈，有()()11f x f x +=--，当[]0,1x ∈时，()22f x x x =+-，则（）A ．()f x 是以4为周期的周期函数B ．()()202120222f f +=-C ．函数()()2log 1y f x x =-+有3个零点D ．当[]3,4x ∈时，()2918f x x x =-+【答案】ACD【解析】依题意，()f x 为偶函数，且()()11f x f x +=--⇒()f x 关于()1,0对称，则()()()()()413132f x f x f x f x +=++=--+=---()()()()()()()()221111f x f x f x f x f x f x =--+=-+=-++=-+=-=，所以()f x 是周期为4的周期函数，A 正确.因为()f x 的周期为4，则()()202110f f ==，()()()2022202f f f ==-=，所以()()202120222f f +=，B 错误；作函数()2log 1y x =+和()y f x =的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有3个交点，C 正确；当[]3,4x ∈时，[]40,1x -∈，则()()()()()224442918f x f x f x x x x x =-=-=-+--=-+，D 正确.故选：ACD18．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知11(,)A x y ，22(,)B x y 是圆O ：221x y +=上两点，则下列结论正确的是（）A ．若1AB =，则3AOB π∠=B ．若点O 到直线AB 的距离为12，则AB =C ．若2AOB π∠=，则112211x y x y +-++-的最大值为D ．若2AOB π∠=，则112211x y x y +-++-的最大值为4【答案】AD【解析】对于A ，若1AB =，则可知点O 到AB 3AOB π∠=，故A 正确；对于B ，若点O 到直线AB 的距离为12，则可知2AB ，从而得AB ，故B 错误；对于C ，D 的值可转化为单位圆上的()()1122,,,A x y B x y 两点到直线10x y +-=的距离之和，又AOB 90∠=，所以三角形AOB 是等腰直角三角形，设M 是AB 的中点，则OM AB ⊥，且OM OA ==M 在以O ,A B 两点到直线10x y +-=的距离之和为AB 的中点M 到直线10x y +-=的距离的两倍.点()0,0O 到直线10x y +-=所以点M 到直线10x y +-==因此112211x y x y +-++-的最大值为4.从而可知C 错误，D正确.. 故选：AD.19．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()'f x ，当0x ≥时，()'sin 20f x x +<.则（）A ．函数()()2cos g x f x x =-的图象关于y 轴对称 B ．函数()()2cos g x f x x =-在区间[)0,∞+上单调递减C ．不等式()cos 22f x f x x π⎛⎫-+< ⎪⎝⎭的解集为,4π⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．不等式()cos 22f x f x x π⎛⎫-+< ⎪⎝⎭的解集为,4π⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】ABC【解析】对于选项A ，由()()()()22cos cos g x f x x f x x -=---=-，所以()g x 为偶函数，所以函数()()2cos g x f x x =-的图象关于y 轴对称.故A 正确；对于选项B ，由()()2cos g x f x x =-为偶函数.当0x 时，()()sin20g x f x x =+'<'，所以()g x 在[)0,∞+上单调递减，故()g x 在(],0-∞上单调递增.故B 正确；对于C 、D 选项，由()cos22f x f x x π⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，得()22cos sin 2f x f x x x π⎛⎫-+<- ⎪⎝⎭，所以()22sin cos 2f x x f x x π⎛⎫+->- ⎪⎝⎭，即()22cos cos 22f x x f x x ππ⎛⎫⎛⎫+-+>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2g x g x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭.所以2x x π+<，解得4x π<-.所以C 正确，D 错误，故选：ABC .20．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知椭圆C ：2212x y a +=（2a >）过点P （1，1）的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且满足AP PB λ=.动点Q 满足AQ QB λ=-，则下列结论正确的是（） A ．3a =B ．动点Q 的轨迹方程为2360x y +-=C ．线段OQ （OD ．线段OQ （O【答案】ABD【解析】对于A ：由椭圆22:1(2)2x y C a a +=>=3a =，故A 正确；对于B ：设()()()()()11221122,,,,,,1,1,1,1,A x y B x y Q m n AP x y PB x y ∴=--=--1122(,),(,)AQ m x n y QB x m y n =--=--，由,AP PB AQ QB λλ==-，得()()()121212121,11,1,,x x x x x x m m x x m λλλλλλ⎧+=+-=-⎧⎪∴⎨⎨-=--=--⎪⎩⎩两式相乘得()2222121x x m λλ-=-，同理可得()()22222222221122121,1323232x y x y m n y y n λλλλ⎛⎫⎛⎫-=-∴+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意知0λ>且1λ≠，否则与AQ QB λ=-矛盾，1,32m n ∴+=∴动点Q 的轨迹方程为132yx +=，即直线2360x y +-=，故B 正确；对于C 、D ：所以线段OQ 长度的最小值即为原点到直线的距离，OQ ∴min == 故C 错误，D 正确. 故选：ABD.21．（2022·湖北·宜都二中高三开学考试）已知函数()f x 满足x R ∀∈，有()(6)f x f x =-，且(2)(2)f x f x +=-，当[1,1]x ∈-时，)()ln f x x =，则下列说法正确的是（）A ．(2021)0f =B ．(2020,2022)x ∈时，()f x 单调递增C ．()f x 关于点(1010,0)对称D ．(1,11)x ∈-时，方程()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭的所有根的和为30 【答案】CD【解析】由题设知：()))()f x x x f x -===-=-，故()f x 在[1,1]x ∈-上为奇函数且单调递减，又(2)(4)(2)f x f x f x +=-=-，即关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且最小周期为4，A ：(2021)(50541)(1)1)0f f f =⨯+==≠，错误；B ：(2020,2022)x ∈等价于(0,2)x ∈，由上易知：(0,1)上递减，(1,2)上递增，故()f x 不单调，错误；C ：由上知：()f x 关于(2,0)k 对称且k Z ∈，所以()f x 关于(1010,0)对称，正确；D ：由题意，只需确定()f x 与sin 2xy π=在(1,11)x ∈-的交点，判断交点横坐标的对称情况即可求和，如下图示，∴共有6个交点且关于5x =对称，则16253410x x x x x x +=+=+=， ∴所有根的和为30，正确. 故选：CD22．（2022·湖北·宜都二中高三开学考试）已知函数()21e e x xf x k+=+.则（） A ．当0k =时，()f x 是R 上的减函数 B ．当1k =时，()f x 的最大值为122C ．()f x 可能有两个极值点D ．若存在实数a ，b ，使得()()g x f x a b =++为奇函数，则1k =- 【答案】ABD【解析】A ：当0k =时，()2e1e x xf x +=，则()2222e 0e x x xx e e f x --+'==-<，所以()f x 是R 上的减函数，故A正确；B ：当1k =时，()21e e 1x x f x +=+，令e 0x t =>，则()()()2211112121212121y t t t t t t t ++=====++-+++-++，当且仅当1t =时，取得最大值，所以()f x 122，故B 正确；C ：()()()222e 2ex x x xe e kf x k -'=++-，令()()()2220e 2ex xx x e e f k k x -'=++=-，即220x x e e k +-=，所以22x x e e k +=，令()22x x h x e e =+，则()2220x xh x e e '=+>，所以()h x 在R 上单调递增，而x →-∞时，()0h x →，x →+∞时，()h x →+∞，所以()0,k ∈+∞时，220x x e e k +-=有一个根，故()f x 有1个极值点，(],0k ∈-∞时，220x x e e k +-=无解，故()f x 无极值点，故()f x 不可能有2个极值点，故C 错误；D ：若1k =-，则()21e e 111e x x x f x +==--，取10,2a b ==，则()11,012e xg x x =+≠-，()()0g x g x -+=，为奇函数，当1k ≠-时，由C 结合函数的图象、单调性可得不存在实数a ，b ，使得()()g x f x a b =++为奇函数，故D 正确. 故选：ABD.23．（2022·湖北·高三开学考试）已知双曲线22:124y C x -=的左、右焦点分别是1F ，2F ，点P 是双曲线C 右支上的一点，且12PF PF ⊥，则下列结论正确的是（）A ．双曲线C 的渐近线方程为y =±B ．12PF F 内切圆的半径为2C ．1212PF PF +=D ．点P 到x 轴的距离为245【答案】ABD【解析】由双曲线C 的方程22124y x -=，得1a =，b =5c=，所以双曲线C 的渐近线方程为y =±，A 正确；因为12PF PF ⊥，122PF PF -=，12210F F c ==，所以2212122100PF PF F F +==，22212121212224PF PF PF PF F F PF PF +-=-=，解得1248PF PF =，故1214PF PF +=，C 错误；12PF F △内切圆的半径为121222PF PF F F +-=， B 正确；设点P 到x 轴的距离为d ，由12PF F △的面积为12242PF PF =，可得12242F F d =，解得245d =. 故选：ABD ．24．（2022·湖北·高三开学考试）已知函数()()()()f x x a x b x c =---的三个零点a ，b ，c 满足a b c <<，9,24a b c ab bc ca ++=⎧⎨++=⎩则（） A ．01a <，得2x <或4x >，令()'0f x <，得24x <<，所以()f x 的极小值在4x =处取得，极大值在2x =处取得，即()f x 的极小值为()416f abc =-，()f x 的极大值为()220f abc =-，又因为()()()()1164,5202f abc f f abc f =-==-=，而函数()y f x =的三个零点分别为a ，b ，c ，且a b c <<，所以12a <<，24b <<，45c <<，故A 错误，B 、C 正确；由题中条件可知9b c a +=-，()()224249924bc a b c a a a a =-+=--=-+，因此()()()44416b c bc b c --=-++()29244916a a a =-+--+254a a =-+，因为函数254y x x =-+在()1,2上单调递减，所以当()1,2a ∈时，22954252424a a -+>-⨯+=->-，所以D 错误．故选：BC25．（2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习）已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为(02)r r <<，设圆台的体积为V ，则下列选项中说法正确的是（）A ．当1r =时，V =B ．V 存在最大值C ．当r 在区间()0,2内变化时，V 逐渐减小D ．当r 在区间()0,2内变化时，V 先增大后减小【答案】ABD【解析】设圆台的上底面的圆心为1O ，下底面的圆心为O ，点A 为上底面圆周上任意一点，圆台的高为h ，球的半径为R ，则1h OO ===()((22114242)333V S S h r r r r πππ===++<<'，对选项(A :1,124,A 3r V π==++=正确； 323V π='，设()323448f r r r r =--++，则()2984f r r r '=--+，设()0f r '=可得29840r r +-=1r =，2r =知()20,2r ∈，且当()()20,,0r r f r ∈'>；(2,r r ∈2)，()()0,f r f r '<在()20,r 单调递增，在()2,2r 单调递减，由()()()08,15,224f f f ===-，()01,2r ∃∈，使得()00f r =，当()()00,,0r r f r ∈>，即0;V '>当()()0,2,0r r f r ∈<，即0V '<，所以V 在()00,r 单调递增，在()0,2r 单调递减，则B ，D 正确，C 错误，故选：ABD .26．（2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 且斜率大于0的直线交抛物线C 于,A B 两点（其中A 在B 的上方），O 为坐标原点，过线段AB 的中点M 且与x 轴平行的直线依次交直线,,OA OB l 于点,,P Q N .则（）A ．若2AF FB =，则直线AB 的斜率为B ．PM NQ =C ．若,P Q 是线段MN 的三等分点，则直线AB 的斜率为D ．若,P Q 不是线段MN 的三等分点，则一定有PQ OQ > 【答案】ABC 【解析】抛物线焦点为()1,0F ，设直线AB 方程为()1y k x =-，0k >，()()1122,,,A x y B x y ，由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=，由韦达定理可知，212224k x x k ++=，121=x x ，因为2AF FB =，则可得2AF FB =, 且()111,AF x y =--，()221,FB x y =-，所以12122x x -=-，即21230x x +-=，且121=x x ，12x x > 解得12212x x =⎧⎪⎨=⎪⎩，得1225422x x k+==+，所以k =±0k >所以k =A 正确, 又因为122212M x x x k+==+，()21M M y k x k =-=，故直线MN 方程为2y x=，又因为,,O P A 共线，所以11P P x y x y =，21111111222P P x y x y y x y ky ky k====，同理可得22Q y x k=， 12222M P Q y y y x x k k k ++===，222211M N P Q x x x x k k+=+-==+，所以，M P Q N x x x x -=-,即PM NQ =，故B 正确. 若,P Q 是线段MN 的三等分点，则13PQ MN =, 12221212112233y y k k k -⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()212413k y y k+-=，又1242M y y y k+==，， ()()()22121212121114y y k x x k x x x x =--=--+=-，12y y ∴-==()2413k k +，解得k =()0k >，故C 正确.由()2222240k x k x k -++=，得1,2x =，即2x =()221y k x =-=，22Q y x k ==2Q M y y k ==，所以OQ =122y y PQ k -==所以()222245241k k OQ PQ k+-+-=()413k =，当k >OQ PQ >,故D 错误. 故选:ABC.27．（2022·湖北·高三阶段练习）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1//B F 平面1BC M ，则（）A ．若P 为正方体表面上一点，则满足OPA 12个B ．动点F 的轨迹是一条线段C ．三棱锥1F BC M -的体积是随点F 的运动而变化的D ．若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1A Q 长度的取值范围为⎣【答案】BD【解析】对于A ：设O '为底面正方形ABCD 的中心，连接AO ，AO '，OO '，则12AO AC '==1112OO AA '==，所以OO A '的面积为11122AO OO ''⋅==所以在底面ABCD 上点P 与点O '必重合，同理正方形11ABB A 的中心，正方形11ADD A 的中心都满足题意.又当点P 为正方体各条棱的中点时也满足OPA A 不正确；对于B ：如图∴，分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ．因为11B H C M ∥，1GH BC ∥，1B H ⊂平面BHG ，1C M ⊂平面1BC M ，GH ⊂平面BHG ，1C B ⊂面1BC M ，111BC C M C ⋂=，所以平面1B GH ∥平面1BC M ，而1B F ∥平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，故B 正确；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为定值，同时1BC M 的面积也为定值，则三棱锥1F BC M -的体积为定值，故C 不正确；对于D ：如图∴，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上．因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11AA D D ∥平面11BB C C ，所以1AM C N ∥．同理可证1AN C M ∥，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点．在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11AC = 设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC 1AC =则112AMC S =⨯△1111111142223323C AA M AA M V S D C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以111111433A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得h ．综上，可知1A Q 长度的取值范围是⎣，故D 正确．故选：BD ．28．（2022·湖北·高三阶段练习）[多选题]已知抛物线212x y =的焦点为F ，()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（） A ．点F 的坐标为1,08⎛⎫⎪⎝⎭B ．若直线MN 过点F ，则12116x x =-C ．若MF NF λ=，则MN 的最小值为12D ．若32MF NF +=，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为58【答案】BCD【解析】易知点F 的坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭，选项A 错误；根据抛物线的性质知，MN 过焦点F 时，212116x x p =-=-，选项B 正确；若MF NF λ=，则MN 过点F ，则MN 的最小值即抛物线通径的长，为2p ，即12，选项C 正确，抛物线212x y =的焦点为10,8⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为18y =-，过点M ，N ，P 分别作准线的垂线MM '，NN '，PP '垂足分别为M '，N '，P '，所以MM MF '=，NN NF =．所以32MM NN MF NF '+=+='，所以线段324MM NN PP +''=='，所以线段MN 的中点P 到x 轴的距离为13158488PP '-=-=，选项D 正确．故选：BCD29．（2022·湖北·高三阶段练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，点A 在椭圆上，直线22:0l bx ay a b +--=，则（）A ．直线l 与蒙日圆相切B ．C 的蒙日圆的方程为2222x y a +=C ．记点A 到直线l 的距离为d ，则2d AF -的最小值为(3bD ．若矩形MNGH 的四条边均与C 相切，则矩形MNGH 的面积的最大值为28b 【答案】AC【解析】当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为x a =±、y b =±，所以，点(),a b ±±在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为2222x y a b +=+，因为c e a ==，可得222a b =.对于A 选项，蒙日圆圆心到直线l 的距离为22d ==所以，直线l 与蒙日圆相切，A 对；对于B 选项，C 的蒙日圆的方程为2222232x a b y a ==++，B 错；对于C 选项，由椭圆的定义可得122AF AF a +==，则21AF AF =-，所以，21d F d AF A =--+，因为c b =，直线l 的方程为30x b -=，点()1,0F b -到直线l 的距离为d '==，所以，(213d A b d AF d F '=+-=-≥-，当且仅当1AF l ⊥时，等号成立，C 对；对于D 选项，若矩形MNGH 的四条边均与C 相切，则矩形MNGH 的四个顶点都在蒙日圆上，所以，()222212MN MH b +==，所以，矩形MNGH 的面积为22262MN MHS MN MH b +=⋅≤=，D 错.故选：AC.30．（2022·湖北武汉·高三开学考试）设函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[0，2π]有且仅有5个零点，则（）A ．()f x 在（0，2π）有且仅有3个极大值点B ．()f x 在（0，2π）有且仅有2个极小值点C ．()f x 在（0，10π）单调递增 D ．ω的取值范围是[73，176）【答案】AD【解析】0>ω，02x π≤≤时，2333x πππωωπ≤+≤+，()f x 在[0，2π]有且仅有5个零点，则5263ππωππ≤+<，71736ω≤<，D 正确；此时32x ππω+=，52π，92π时，()f x 取得极大值，A 正确； 11232ππωπ+≥，3112ω≥，即3117126ω≤<时，3711,,3222x ππππω+=时，()f x 均取得极小值，B 错；(0,)10x π∈时，(,)33103x ππωππω+∈+，73ω≥，则17103302ωππππ+≥>，因此()f x 在(0,)10π上不递增，C 错．故选：AD ．31．（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知数列{}n a 满足：11a =，(()11322n n a a n -=≥，下列说法正确的是（）A ．N n *∀∈，12,,n n n a a a ++成等差数列B ．()1132n n n a a a n +-=-≥C ．()11*23N n n n a n --≤≤∈D ．*N n ∀∈，12,,n n n a a a ++一定不成等比数列【答案】BCD【解析】因为(()11322n n a a n -=≥，所以)1232n n a a n --≥，且0na >，所以()22111032n n n n a a a a n --+--=≥∴，所以2211103n n n n a a a a +++--=∴所以，∴-∴整理得：()()()1111023n n n n n a a a a a n +-+--+=≥-因为(()111022n n n a a a n --=>≥-，所以数列{}n a 为单调递增数列，所以()11230n n n a a a n +-+-=≥，即()1132n n n a a a n +-=-≥，故B 选项正确；对于A 选项，若N n *∀∈，12,,n n n a a a ++成等差数列，则123,,a a a 成等差数列，由递推关系得2131,3,8a a a ===，显然不满足等差数列，故A 选项错误；对于C 选项，因为0n a >，数列{}n a 为单调递增数列，所以()123332n n n n n n a a a a a a n -=-≤-≤≥，即()1232n n n a a a n +≤≤≥，所以()1322n n a n a +≤≤≥，因为213aa =，所以，()*12N 3n na n a +≤≤∈所以，从第2项起，数列{}n a 介于以1为首项，公比分别为2和3为公比的等比数列对应项之间，所以()11*23N n n n a n --≤≤∈，故C 选项正确；对于D 选项，假设*N n ∀∈，12,,n n n a a a ++成等比数列，则123,,a a a 成等比数列，由递推关系得2131,3,8a a a ===，显然不满足等比数列定义，故D 正确；. 故选：BCD32．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）如图，ABCD 是边长为5的正方形，半圆面APD ∴平面ABCD ．点P 为半圆弧AD 上一动点（点P 与点A ，D 不重合）．下列说法正确的是（）A ．三棱锥P －ABD 的四个面都是直角三角形B ．三棱锥P 一ABD 体积的最大值为1254C ．异面直线P A 与BC 的距离为定值D ．当直线PB 与平面ABCD 所成角最大时，平面P AB 截四棱锥P －ABCD 外接球的截面面积为(2534π【答案】AC【解析】对于A 选项，因为底面ABCD 为边长是4的正方形，则AB AD ⊥，又半圆APD ⊥平面ABCD ，半圆APD 平面ABCD AD =，AB 平面ABCD ，则AB ⊥半圆APD ，又AP ⊂平面APD ，故AB AP ⊥，则APB △为直角三角形，所以222PB AP AB =+，因为AD 是圆的直径，则90APD ∠=︒，故APD △为直角三角形，所以222PD AD AP =-，因为AB AD ⊥，则ADB △是直角三角形，所以222BD AD AB =+，在PDB △中，222222222()()PB PD AP AB AD AP AD AB BD +=++-=+=，则90BPD ∠=︒，所以BPD △为直角三角形，故三棱锥P ABD -的每个侧面三角形都是直角三角形，故选项A 正确；对于B 选项，在三棱锥P ABD -中，AB ⊥半圆面APD ，则AB 是三棱锥P ABD -的高，当点P 是半圆弧AD 的中点时，三棱锥P ABD -的底面积PADS 取得最大值，三棱锥P ABD -的体积取得最大值为1151255532212⨯⨯⨯⨯=，故选项B 错误；因为半圆面APD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，半圆面APD 平面ABCD AD =，所以AB ⊥半圆面APD ，又PA ⊂半圆面APD ，所以AB PA ⊥，又AB BC ⊥，所以AB 为异面直线PA 与BC 的距离，所以异面直线PA 与BC 的距离为定值；故C 正确；对于D 选项，取BD 的中点O ，由选项A 中的解析可得，12OA OB OP OD BD ====，所以点O 为四棱锥P ABCD -外接球的球心，过点P 作PH AD ⊥于点H ，连接BH ，如图所示，因为半圆面APD ⊥平面ABCD ，半圆面APD 平面ABCD AD =，故PH ⊥平面ABCD ，所以BH 为PB 在平面ABCD 内的射影，则PBH ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，设AH x =，则05x <<，5DH x =-，在Rt APD ∆中，2(4)PH AH DH x x =⋅=-，25(5)PD DH AD x =⋅=-，。

2024年新高考数学选填压轴题汇编二(解析版)

2024年新高考数学选填压轴题汇编(二)一、单选题1.(2023·广东东莞·高三校考阶段练习)已知a=e0.1，b=1110，c=101.9，则()A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b【答案】C【解析】由ln a=ln e0.1=0.1，ln b=ln 1110=ln1.1，则ln a-ln b=0.1-ln1.1=0.1-ln1+0.1，令f x =x-ln1+x，f x =1-11+x=x1+x，当x∈0,+∞时，f x >0，则f x 单调递增，即f0.1>f0 =0，故0.1-ln1.1>0，可得ln a>ln b，即a>b；由b10=111010=1+0.110=1+C1100.1+C2100.12+⋯+C10100.110=1+10×0.1+C2100.12+⋯+C10100.110=2+C2100.12+⋯+C10100.110>2，且c10=1.9<2，则b10>c10，即b>c.综上，a>b>c.故选：C.2.(2023·广东梅州·高三梅州市梅江区梅州中学校考阶段练习)已知数列a n的前n项和为S n，且a1=4，a n +a n+1=4n+2n∈N*，则使得S n>2023成立的n的最小值为()A.32B.33C.44D.45【答案】D【解析】a n+a n+1=4n+2①，当n≥2时，a n-1+a n=4n-1+2②，两式相减得a n+1-a n-1=4，当n为奇数时，a n为等差数列，首项为4，公差为4，所以a n=4+4n-12=2n+2，a n+a n+1=4n+2中，令n=1得a1+a2=6，故a2=6-4=2，故当n为偶数时，a n为等差数列，首项为2，公差为4，所以a n=2+4n2-1=2n-2，所以当n为奇数时，S n=a1+a3+⋯+a n+a2+a4+⋯+a n-1=n+124+2n+2+n-122+2n-42=n2+n+2，当n为偶数时，S n=a1+a3+⋯+a n-1+a2+a4+⋯+a n=n24+2n+n22+2n-22=n2+n，当n为奇数时，令n2+n+2>2023，解得n≥45，当n为偶数时，令n2+n>2023，解得n≥46，所以S n>2023成立的n的最小值为45.故选：D3.(2023·广东·高三统考阶段练习)数列a n满足a n+1=2a n-14a n+2，且a1=1，则数列a n的前2024项的和S2024=()A.-2536B.-2538C.-17716D.-17718【答案】C【解析】由题意知：a1=1，a2=2-14+2=16，a3=2×16-14×16+2=-14，a4=2×-14-14×-14+2=-32，a5=2×-32-14×-32+2=1，.....，易知数列a n是周期为4的数列，S2024=506×1+16-14-32=-17716.故选：C.4.(2023·广东·高三统考阶段练习)已知a，b，c均大于1，满足2a-1a-1=2+log2a，3b-2b-1=3+log3b，4c-3c-1=4+log4c，则下列不等式成立的是()A.c<b<aB.a<b<cC.a<c<bD.c<a1和y=log m x m=2,3,4的图象相交，在同一平面直角坐标系中画出y=log2x、y=log3x、y=log4x与y=1x-1x>1的图象如下：根据图象可知a<b<c.故选：B.5.(2023·广东佛山·高三校考阶段练习)已知函数f(x)=x2-8x+8,x≥02x+4,x<0．若互不相等的实根x1,x2,x3满足f x1=f x2=f x3，则x1+x2+x3的范围是()A.(2,8)B.(-8,4)C.(-6,0)D.(-6,8)【答案】A【解析】根据函数的解析式可得如下图象若互不相等的实根x 1,x 2,x 3满足f x 1 =f x 2 =f x 3 ，根据图象可得x 2与x 3关于x =4，则x 2+x 3=8，当2x 1+4=-8时，则x 1=-6是满足题意的x 1的最小值，且x 1满足-6<x 1<0，则x 1+x 2+x 3的范围是(2,8).故选：A .6.(2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习)已知函数f x 的定义域为R ，设f x 的导数是f x ，且f x ⋅f x +sin x >0恒成立，则()A.f π2<f -π2 B.f π2>f -π2 C.f π2 <f -π2D.f π2 >f -π2 【答案】D【解析】设g x =f 2x -2cos x ，则g x =2f x ⋅f x +2sin x >0，故y =g x 在定义域R 上是增函数，所以g π2 >g -π2，即f 2π2 >f 2-π2 ，所以f π2 >f -π2 .故选：D .7.(2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习)若正三棱锥P -ABC 满足AB +AC +AP=1，则其体积的最大值为()A.172B.184C.196D.1108【答案】C【解析】设正三棱锥的底边长为a ，侧棱长为b ，1=AB +AC +AP 2=AB 2+AC 2+AP 2+2AB ⋅AC +2AC ⋅AP +2AB ⋅AP ，=a 2+a 2+b 2+a 2+2ab ⋅b 2+a 2-b 22ab +2ab ⋅b 2+a 2-b 22ab=5a 2+b 2⇒b 2=1-5a 2，设该三棱锥的高为h ，由正弦定理可知：AO =12⋅a sin π3=33a ，所以h =PO =b 2-13a 2，又V P -ABC =13⋅S △ABC ⋅h =13⋅34a 2⋅b 2-13a 2=1123a 4-16a 6.由3a 4-16a 6>0⇒0<a <34设f x =3x 4-16x 60<x <34，f x =12x 3-96x 5=12x 31-8x 2 ，当x ∈0,24 时，fx >0,f x 单调递增，当x ∈24,34时，fx <0,f x 单调递减，y =f x 在0,34 上存在唯一的极大值点x =24，且在x =24时取得最大值为164.故正三棱锥P -ABC 体积的最大值为196，故选：C 8.(2023·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)已知函数f (x )=sin 2ωx 2+12sin ωx -12(ω>0)，x ∈R .若f (x )在区间(π,2π)内没有零点，则ω的取值范围是A.0,18B.0,14 ∪58,1C.0,58D.0,18 ∪14,58【答案】D【解析】由题设有f (x )=1-cos 2ωx +12sin ωx -12=22sin ωx -π4，令f x =0，则有ωx -π4=k π,k ∈Z 即x =k π+π4ω,k ∈Z .因为f (x )在区间(π,2π)内没有零点，故存在整数k ，使得k π+π4ω≤π<2π<k π+5π4ω，即ω≥k +14ω≤k 2+58，因为ω>0，所以k ≥-1且k +14≤k 2+58，故k =-1或k =0，所以0<ω≤18或14≤ω≤58，故选：D .9.(2023·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)已知函数f (x )=x 2-x 2-a2x -4 在区间-∞,-2 ，3,+∞ 上都单调递增，则实数a 的取值范围是()A.0<a ≤23 B.0<a ≤4C.0<a ≤43D.0<a ≤83【答案】D【解析】设g (x )=x 2-a 2x -4，其判别式Δ=a 24+16>0，∴函数g (x )一定有两个零点，设g (x )的两个零点为x 1，x 2且x 1<x 2，由x 2-a2x -4=0，得x 1=a2-a 24+162，x 2=a2+a 24+162，∴f (x )=a 2x +4,x <x 12x 2-a 2x -4,x 1≤x ≤x 2a 2x +4,x >x 2，①当a ≤0时，f (x )在-∞,x 1 上单调递减或为常函数，从而f (x )在-∞,-2 不可能单调递增，故a >0；②当a >0时，g -2 =a >0，故x 1>-2，则-2<x 1<0，∵f (x )在-∞,x 1 上单调递增，∴f (x )在-∞,-2 上也单调递增，g (3)=-32a -1<0，3<x 2，由f (x )在a 8,x 2和x 2,+∞ 上都单调递增，且函数的图象是连续的，∴f (x )在a 8,+∞ 上单调递增，欲使f (x )在3,+∞ 上单调递增，只需a8≤3，得a ≤83，综上：实数a 的范围是0<a ≤83.故选：D .10.(2023·湖南益阳·高三统考阶段练习)若m >0，双曲线C 1：x 2m -y 22=1与双曲线C 2：x 28-y 2m=1的离心率分别为e 1，e 2，则()A.e 1e 2的最小值为94B.e 1e 2的最小值为32C.e 1e 2的最大值为94D.e 1e 2的最大值为32【答案】B【解析】由题意可得e 21=m +2m ，e 22=8+m 8，则e 1e 2 2=m +2m ⋅8+m 8=54+2m +m8，由基本不等式，e 1e 2 2=54+2m +m 8≥54+214=94，即e 1e 2≥32，当且仅当2m =m 8，即m =4时等号成立，故e 1e 2的最小值为32.故选：B .11.(2023·湖南益阳·高三统考阶段练习)给定事件A ,B ,C ，且P C >0，则下列结论：①若P A >0，P B>0且A ,B 互斥，则A ,B 不可能相互独立；②若P A C +P B C =1，则A ,B 互为对立事件；③若P ABC =P A P B P C ，则A ,B ,C 两两独立；④若P AB=P A -P A P B ，则A ,B 相互独立.其中正确的结论有()A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】对于①，若A ,B 互斥，则P AB =0，又P A P B >0，∴P AB ≠P A P B ，∴A ,B 不相互独立，①正确；对于②，∵P A C +P B C =P AC P C +P BCP C=1，∴P AC +P BC =P C ；扔一枚骰子，记事件A 为“点数大于两点”；事件B 为“点数大于五点”；事件C 为“点数大于一点”，则P AC =P A =46=23，P BC =P B =16，P C =56，满足P AC +P BC =P C ，但A ,B 不是对立事件，②错误；对于③，扔一枚骰子，记事件A 为“点数大于两点”；事件B 为“点数大于五点”；事件C 为“点数大于六点”，则P A =46=23，P B =16，P C =0，P ABC =0，P AB =P B =16，满足P ABC =P A P B P C ，此时P AB ≠P A P B ，∴事件A ,B 不相互独立，③错误；对于④，∵A =AB ∪AB ，事件AB 与AB 互斥，∴P A =P AB +P AB，又P AB=P A -P A P B ，∴P A -P AB =P A -P A P B ，即P AB =P A P B ，∴事件A ,B 相互独立，④正确.故选：B .12.(2023·湖南永州·高三校联考开学考试)已知函数f x =x 3+3x 2+x +1，设数列a n 的通项公式为a n =-2n +9，则f a 1 +f a 2 +⋯+f a 9 =()A.36B.24C.20D.18【答案】D【解析】f x =x 3+3x 2+x +1=x +1 3-2x +1 +2，所以曲线f x 的对称中心为-1,2 ，即f x +f -2-x =4，因为a n =-2n +9，易知数列a n 为等差数列，a 5=-1，a 1+a 9=a 2+a 8=a 3+a 7=a 4+a 6=2a 5=-2，所以f a 1 +f a 9 =f a 2 +f a 8=f a 3 +f a 7 =f a 4 +f a 6 =4，所以f a 1 +f a 2 +⋯+f a 9 =4×4+2=18.故选:D .13.(2023·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习)在矩形ABCD 中，AB =3，AD =4，现将△ABD 沿BD 折起成△A 1BD ，折起过程中，当A 1B ⊥CD 时，四面体A 1BCD 体积为()A.2B.372C.37D.972【答案】B【解析】由题可知A 1B ⊥A 1D ,A 1B ⊥CD ，又A 1D ∩CD =D ,A 1D ,CD ⊂平面A 1CD ，故A 1B ⊥平面A 1CD ，又A 1C ⊂平面A 1CD ，所以A 1B ⊥A 1C ，即此时△A 1BC 为直角三角形，因为A 1B =CD =3，AD =BC =4，所以A 1C =7，又BC ⊥CD ，A 1B ∩BC =B ,A 1B ,BC ⊂平面A 1BC ，所以CD ⊥平面A 1BC ，所以四面体A 1BCD 的体积为13×3×12×3×7=372.故选：B .14.(2023·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习)在三角形ABC 中，AB ⋅AC =0，BC=6，AO=12AB +AC ，BA 在BC 上的投影向量为56BC ，则AO ⋅BC =()A.-12 B.-6C.12D.18【答案】A【解析】由题意，∠BAC =90°，O 为BC 中点，由BA 在BC 上的投影向量为BA cos B ⋅BCBC=56BC，即BAcos B BC=56，又BC =6，所以BA ⋅BC =BA BC cos B =56BC2=30，所以AO ⋅BC =BO -BA ⋅BC =BO ⋅BC -BA ⋅BC=3×6-30=-12.故选：A .15.(2023·湖南株洲·高三株洲二中校考开学考试)如图，在xOy 平面上有一系列点P 1x 1,y 1 ，P 2x 2,y 2 ，⋯，P nx n ,y n ⋯，对每个正整数n ，点P n 位于函数y =x 2x ≥0 的图像上，以点P n 为圆心的⊙P n 都与x 轴相切，且⊙P n 与⊙P n +1外切.若x 1=1，且x n +1<x n n ∈N * ，T n =x n x n +1，T n 的前n 项之和为S n ，则S 20=()A.3940B.4041C.8041D.2041【答案】D【解析】因为⊙P n 与⊙P n +1外切，且都与x 轴相切，所以x n -x n +12+y n -y n +1 2=y n +y n +1，即x n -x n +1 2+y n -y n +1 2=y n +y n +1 2，所以x n -x n +1 2=4y n y n +1=4x 2n x 2n +1，因为x n +1<x n n ∈N * ，所以x n -x n +1=2x n x n +1，所以1x n +1-1x n=2，所以数列1x n 为等差数列，首项1x 1=1，公差d =2，所以1x n=1+n -1 ×2=2n -1，所以x n =12n -1n ∈N * ，所以T n =x n x n +1=12n -1×12n +1=12n -1-12n +1 ×12，所以S n =12×1-13+13-15+⋯+12n -1-12n +1 =12×1-12n +1 =n2n +1n ∈N *所以S 20=2020×2+1=2041，故选：D16.(2023·湖南株洲·高三株洲二中校考开学考试)已知定义在R 上的可导函数f x 满足xf x +f x <xf x ，若y =f x -3 -1e是奇函数，则不等式xf x +3e x +2>0的解集是()A.-∞,-2B.-∞,-3C.-2,+∞D.-3,+∞【答案】B【解析】构造函数g x =x ⋅f x e x ，依题意可知g x =f x +xf x -xf x e x<0，所以g x 在R 上单调递减.由于y =f x -3 -1e是奇函数，所以当x =0时，y =f -3 -1e =0，所以f -3 =1e ，所以g -3 =-3⋅f -3e -3=-3⋅1e e-3=-3e 2，由xf x +3e x +2>0得e x g x +3e x +2>0，即g x >-3e 2=g -3 ，所以x <-3，故不等式的解集为-∞,-3 .故选：B17.(2023·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试)已知圆台O 1O 2的上底面圆O 1的半径为2，下底面圆O 2的半径为6，圆台的体积为104π，且它的两个底面圆周都在球O 的球面上，则OO 1OO 2=( )．A.3B.4C.15D.17【答案】D【解析】设圆台的高为h ，依题意V =134π+36π+12π h =104π，解得h =6．设O 1O =x ，则22+x 2=62+6-x 2，解得x =173，故OO 1OO 2=1736-173=17．故选：D .18.(2023·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试)已知sin α-β =13，则当函数f x =79sin x -sin 2α-2β cos x 取得最小值时，sin x =( )．A.-79B.-19C.19D.79【答案】A【解析】依题意，cos 2α-β =1-2sin 2a -β =79，所以f x =sin x cos 2α-2β -cos x sin 2α-2β=sin x -2α-β ，当x -2α-β =-π2+2k πk ∈Z ，即x =2α-β -π2+2k πk ∈Z ，f x 取最小值，此时sin x =-cos 2α-β =-79,故选：A .19.(2023·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考开学考试)已知函数f x =4ex 21+ln2x，则不等式f x >e 2x 的解集是()A.0,1B.12e ,14C.1e ,1D.12e ,12【答案】D【解析】不等式4ex 21+ln2x >e 2x 可整理为2ex 1+ln2x >e 2x 2x ，令g x =e xx，定义域为0,+∞ ，则原不等式可看成g 1+ln2x >g 2x ，g x =e x x -1 x 2，令g x >0，解得x >1，令gx <0，解得0<x <1，所以g x 在0,1 上单调递减，1,+∞ 上单调递增，令h x =1+ln2x -2x ，则h x =1x -2=1-2x x ，令h x >0，则0<x <12，令h x <0，则x >12，所以h x 在0,12 上单调递增，12,+∞ 上单调递减，且h 12 =0，所以h x ≤0，即1+ln2x -2x ≤0，即1+ln2x ≤2x ，当0<x <12时，1+ln2x <1，2x <1，所以1+ln2x <2x0<1+ln2x <10<2x <1，解得12e <x <12；当x >12时，1+ln2x >1，2x >1，所以1+ln2x >2x ，不成立；综上可得，不等式f x >e 2x 的解集为12e ,12.故选：D .二、多选题20.(2023·广东东莞·高三校考阶段练习)已知四面体ABCD 的所有棱长均为2，则下列结论正确的是()A.异面直线AC 与BD 所成角为60°B.点A 到平面BCD 的距离为263C.四面体ABCD 的外接球体积为6πD.动点P 在平面BCD 上，且AP 与AC 所成角为60°，则点P 的轨迹是椭圆【答案】BC【解析】在正四面体中通过线面垂直可证得AC ⊥BD ，通过计算可验证BC ,通过轨迹法可求得P 的轨迹为双曲线方程即可得D 错误.取BD 中点E ,连接AE ,CE ,可得BD ⊥面ACE ,则AC ⊥BD ,故A 错误；在四面体ABCD 中，过点A 作AF ⊥面BCD 于点F ,则F 为为底面正三角形BCD 的重心，因为所有棱长均为2,AF =AB 2-BF 2=236,即点A 到平面BCD 的距离为263,故B 正确；设O 为正四面体的中心则OF 为内切球的半径，OA 我外接球的半径，因为V A -BCD =13S △BCD ⋅AF =4×13S △BCD ⋅OF ，所以AF =4OF ，即OF =66，AO =62,所以四面体ABCD 的外接球体积V =43πR 3=43πOA 3=6π,故C 正确；建系如图：A 0,0,263 ,C 0,233,0 ,设P (x ,y ,0)，则AP =x ,y ,-263 ，AC =0,233,-263 因为AP ⋅AC =AP AC cos60°，所以233y +249=x 2+y 2+83×129+247×12，即233y +83=x 2+y 2+83，平方化简可得：x 2-y 23-3239y -409-0，可知点P 的轨迹为双曲线,故D 错误.故选：BC ．21.(2023·广东梅州·高三梅州市梅江区梅州中学校考阶段练习)在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；⋯；第n n ∈N * 次得到数列1，x 1,x 2,x 3,⋯,x k ，2；⋯记a n =1+x 1+x 2+⋯+x k +2，数列a n 的前n 项为S n ，则()A.k +1=2n B.a n +1=3a n -3C.a n =32n 2+3n D.S n =343n +1+2n -3 【答案】ABD【解析】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时k =1第2次得到数列1,4,3,5,2，此时k =3第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时k =7第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时k =15第n 次得到数列1，x 1,x 2,x 3,⋯,x k ，2此时k =2n -1所以k +1=2n ，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得：a 1=3+3a 2=3+3+9a 3=3+3+9+27a 4=3+3+9+27+81 ⇒a n =3+31+32+⋯+3n (n ∈N *)用等比数列求和可得a n =3+33n -12则a n +1=3+33n +1-1 2=3+3n +2-32=3n +22+32又3a n -3=33+33n -1 2-3=9+3n +22-92-3=3n +22+32所以a n +1=3a n -3，故B 项正确；由B 项分析可知a n =3+33n -1 2=323n +1即a n ≠32n 2+3n ，故C 项错误.S n =a 1+a 2+a 3+⋯+a n=322+332+⋯+3n +12 +32n =321-3n 1-32+32n=3n +24+3n 2-94=343n +1+2n -3 ，故D 项正确.故选：ABD .22.(2023·广东·高三统考阶段练习)已知O 为坐标原点，F 为抛物线E ：y 2=2x 的焦点，过点P (2，0)的直线交E 于A ，B 两点，直线AF ，BF 分别交E 于C ，D ，则()A.E 的准线方程为x =-12B.∠AOB =90°C.FA +FB 的最小值为4D.AC +2BD 的最小值为3+3664【答案】ABD【解析】对于A ，由题意p =1，所以E 的准线方程为x =-12，故A 正确：对于B ，设A y 212,y 1 ，B y 222,y 2，设直线AB ：x =my +2，与抛物线联立可得y 2-2my -4=0，Δ>0⇒m ∈R ，y 1y 2=-4，所以OA ⋅OB =y 1y 24y 1y 2+4 =0，所以∠AOB =90°，故B 正确；对于C ，FA +FB =y 21+y 222+1≥y 1y 2 +1=5>4，故C 错误；对于D ，设直线AC ：x =ty +12，与抛物线联立可得y 2-2ty -1=0，Δ>0⇒t ∈R ，y 1y C =-1，同理y 2y D =-1，所以y C =-1y 1，y D =-1y 2，所以x C =y 2C2=12⋅1y 21，x D =y 2D 2=12⋅1y 22所以AC =x A +x C +1=1+12y 21+1y 21 ，BD =x B +x D +1=1+12y 22+1y 22，y 1y 2=-4，所以AC +2BD =3+916y 21+332y 21≥3+3664，当且仅当y 21=2663时等号成立，故D 正确.故选：ABD .23.(2023·广东·高三统考阶段练习)已知函数f x =ae x -x 2+x ln x -ax ，则()A.当a =0时，f x 单调递减 B.当a =1时，f x >0C.若f x 有且仅有一个零点，则a ≤1 D.若f x ≥0，则a ≥1e -1【答案】ABD【解析】当a =0时，f x =x ln x -x 2，f x =1+ln x -2x x >0 ，设g x =1+ln x -2x ，则g x =1x -2=1-2xx，当x ∈0,12 时，g x >0，f x 单调递增，当x ∈12,+∞ 时，g x <0，f x 单调递减，当x =12时，f x 取得最大值，因为f 12 =1+ln 12-2×12=-ln2<0，所以fx <0，f x 单调递减，故A 正确；当a =1时，f x =e x +x ln x -x 2=x e x -ln x -(x -ln x )-1t =m x =x -ln x ，则m x =1-1x =x -1x，当x ∈0,1 时，m x <0，m x 单调递减，当x ∈(1，+∞)时，m x >0，m x 单调递增，当x =1时，m x 取得最小值，m 1 =1，所以t =m x ≥1.设h (t )=e t -t -1，h (t )=e t -1，因为t ≥1，所以h (t )=e t -1≥e -1>0，h (t )单调递增，所以h (t )≥h 1 =e -2>0，所以f x =e x +x ln x -x 2=x e x -ln x -(x -ln x )-1 =xh m (x ) >0，故B 正确；f x =x ae x -ln x -(x -ln x )-a ，若f x =0，则ae x -ln x -(x -ln x )-a =0，设t =m x =x -ln x ≥1，即a =te t -1，设F (t )=t e t -1，则F(t )=(1-t )e t -1e t -12，因为t ≥1，所以(1-t )e t -1<0，F (t )<0，F (t )单调递减，若f x 有且仅有一个零点，则t =1，此时a =1e -1，故C 错误；若f x ≥0，则ae t -t -a ≥0，即a ≥te t -1=F t ，因为F t 单调递减，所以a ≥F (1)=1e -1，故D 正确.故选：ABD .24.(2023·广东佛山·高三校考阶段练习)我们知道，函数y =f (x )的图象关系坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y =f (x )为奇函数. 有同学发现可以将其推广为:函数y =f (x )的图象关于点P (a ，b )成中心对称图形的充要条件是函数y =f (x +a )-b 为奇函数. 现在已知，函数f (x )=x 3+mx 2+nx +2的图像关于点(2，0)对称，则()A.f (2)=0B.f (1)=3C.对任意x ∈R ，有f (2+x )+f (2-x )=0D.存在非零实数x 0，使f 2+x 0 -f 2-x 0 =0【答案】ACD【解析】由题意，因为函数f (x )=x 3+mx 2+nx +2的图像关于点(2，0)对称，所以函数y =f x +2 为奇函数，所以f x +2 +f -x +2 =0，故C 正确；又y =f x +2 =x 3+m +6 x 2+12+4m +n x +4m +2n +10，则f x +2 +f -x +2 =2m +6 x 2+24m +2n +10 =0，所以m +6=04m +2n +10=0，解得m =-6n =7 ，所以f x =x 3-6x 2+7x +2,f x +2 =x 3-5x ，则f 2 =0,f 1 =4，故A 正确，B 错误；令f 2+x -f 2-x =0，则2x 3-10x =0，解得x =0或±5，所以存在非零实数x 0，使f 2+x 0 -f 2-x 0 =0，故D 正确.故选：ACD .25.(2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习)已知函数f x =sin ωx +φ ω>0 满足f x 0 =f x 0+1 =22，且f x 在x 0,x 0+1 上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是()A.f x 0+12 =1B.若x 0=0，则f x =sin πx +π4 C.f x 的最小正周期为4 D.f x 在0,2024 上的零点个数最少为1012个【答案】AC【解析】A ，由题意f x 在x 0,x 0+1 的区间中点处取得最大值，即f x 0+12=1，正确；B ，假设若x 0=0，则f x =sin πx +π4成立，由A 知f 12 =1，而f 12=sin π2+π4 =22≠1，故假设不成立，则错误；C ，f x 0 =f x 0+1 =22，且f x 在x 0,x 0+1 上有最大值，无最小值，令ωx 0+φ=2k π+π4，ωx 0+1 +φ=2k π+3π4，k ∈Z ，则两式相减，得ω=π2，即函数的最小正周期T =2πω=4，故正确；D ，因为T =4，所以函数f x 在区间0,2024 上的长度恰好为506个周期，当f 0 =0，即φ=k π，k ∈Z 时，f x 在区间0,2024 上的零点个数至少为506×2-1=1011个，故错误.故选：AC .26.(2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习)已知直线y =a 与曲线y =xe x相交于A ，B 两点，与曲线y =ln xx相交于B ，C 两点，A ，B ，C 的横坐标分别为x 1，x 2，x 3.则()A.x 2=ae x 2B.x 2=ln x 1C.x 3=ex 2D.x 1+x 3>2x 2【答案】ACD 【解析】设f x =x e x ，得fx =1-x ex ，令f x =0，可得x =1，当x <1时，f x >0，则函数f x 单调递增，当x >1时，f x <0，则函数f x 单调递减，则当x =1时，f x 有极大值，即最大值f x max =f 1 =1e.设g x =ln x x ，得g x =1-ln xx2，令g x =0，则x =e ，当x <e 时，g x >0，则函数g x 单调递增，当x >e 时，g x <0，则函数g x 单调递减，则当x =e 时，g x 有极大值，即最大值g x max =f e =1e，从而可得0<x 1<1<x 2<e <x 3.由x 2ex 2=a ，得x 2=ae x2，故A 正确；由x 1e x 1=ln x 2x 2，得x 1e x 1=ln x 2e ln x 2，即f x 1 =f ln x 2 ，又0<x 1<1<x 2<e ，得0<ln x 2<1，又f x 在0,1 上单调递增，则x 1=ln x 2，故B 错误；由x 2e x 2=ln x 3x 3，得ln e x2ex 2=ln x 3x 3，即g e x 2=g x 3 .又1<x 2<e <x 3，得e x 2>e ，又g x 在e ,+∞ 上单调递减，则e x 2=x 3，故C 正确；由前面知x 1=ln x 2，e x 2=x 3，得x 1x 3=e x2ln x 2，又由x 2ex 2=ln x 2x 2=a ，得e x2=x 2a ，ln x 2=ax 2，则x 1x 3=x 22，x 1+x 3>2x 1x 3=2x 2.故D 正确.故选：ACD .27.(2023·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体1如图1，沿着BB 1和DD 1分别作上底面的垂面，垂面经过棱EP ,PH ,HQ ,QE 的中点F ,G ,M ,N ，则两个垂面之间的几何体2如图2所示，若EN =AB =EA =2，则()A.BB 1=22B.FG ⎳ACC.BD ⊥平面BFB 1GD.几何体2的表面积为163+8【答案】ABC【解析】将几何体1与几何体2合并在一起，连接BB 1,FG ,PQ ,EH ,AC ,BD ，记FG ∩PQ =K ，易得K ∈BB 1，对于A ，因为在正四棱台ABCD -EPHQ 中，AB ⎳EP ，F 是EP 的中点，所以AB ⎳EF ，又N 是EQ 的中点，EN =2，所以EQ =4，则EP =4，EF =2，又AB =2，所以AB =EF ，所以四边形ABFE 是平行四边形，则BF =AE =2，同理：B 1F =B 1G =BG =2，所以四形边B 1FBG 是边长为2菱形，在边长为4的正方形EPHQ 中，HE =42，因为F ,G 是EP ,PH 的中点，所以FG ⎳EH ，FG =12EH =22，所以BB 1=222-2222=22，故A 正确；对于B ，因为在正四棱台ABCD -EPHQ 中，面ABCD ⎳面EPHQ ，又面AEHC ∩面ABCD =AC ，面AEHC ∩面EPHQ =EH ，所以AC ⎳EH ，又FG ⎳EH ，所以FG ⎳AC ，故B 正确；对于C ，在四边形EPHQ 中，由比例易得PK =14PQ =2，由对称性可知BK =12B 1B =2，而PB =2，所以PK 2+BK 2=PB 2，则PK ⊥BK ，即PQ ⊥BK ，而由选项B 同理可证BD ⎳PQ ，所以BD ⊥BK ，因为在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，而FG ⎳AC ，所以BD ⊥FG ，因为BK ∩FG =K ,BK ,FG ⊂面BFB 1G ，所以BD ⊥面BFB 1G ，对于D ，由选项A 易知四边形BGB 1F 是边长为2的正方形，上下底面也是边长为2的正方形，四边形ABFE 是边长为2的菱形，其高为22-4-222=3，所以几何体2是由4个边长为2正方形和8个上述菱形组合而成，所以其表面积为4×22+8×2×3=16+163，故D 错误.故选：ABC .28.(2023·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)已知随机变量ξ~B (2n ,p )，n ∈N *，n ≥2，0<p <1，记f (t )=P (ξ=t )，其中t ∈N ，t ≤2n ，则()A.2nt =0f (t ) =1 B.2nt =0tf (t ) =2npC.n t =0f (2t )<12<nt =1f (2t -1) D.若np =6，则f (t )≤f (12)【答案】ABD【解析】对于A ，2nt =0f (t )=2nt =0P (ξ=t )=1，所以A 正确；对于B ，因为2nt =0t f (t )=E (ξ)=2np ，所以B 正确；对于C ，当p =q =12时，n t =0f (2t )=nt =1f (2t -1)=12，所以C 错误；对于D ，因为(2n +1)p =12+p ，所以当t =12时，f (t )最大，所以D 正确；证明如下：若ξ~B (n ,p )，则P (ξ=k )P (ξ=k -1)=C k n p k(1-p )n -k C k -1n p k -1(1-p )n -k +1=(n -k +1)pk (1-p )，若P (ξ=k )>P (ξ=k -1)，则(n -k +1)pk (1-p )>1，解得k <(n +1)p ，故当k <(n +1)p 时，P (ξ=k )单调递增，当k >(n +1)p 时，P (ξ=k )单调递减，即当(n +1)p 为整数时，k =(n +1)p 或k =(n +1)p -1时，P (ξ=k )取得最大值，当(n +1)p 不为整数，k 为(n +1)p 的整数部分时，P (ξ=k )取得最大值．故选：ABD ．29.(2023·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)已知ab ≠0，函数f x =e ax +x 2+bx ，则()A.对任意a ，b ，f x 存在唯一极值点B.对任意a ，b ，曲线y =f x 过原点的切线有两条C.当a +b =-2时，f x 存在零点D.当a +b >0时，f x 的最小值为1【答案】ABD【解析】对于A ，由已知ab ≠0，函数f x =e ax +x 2+bx ，可得f x =ae ax +2x +b ，令g x =ae ax +2x +b ,∴g x =a 2e ax +2>0，则g x 即f x =ae ax +2x +b 在R 上单调递增，令f x =ae ax +2x +b =0，则ae ax =-2x -b ，当a >0时，作出函数y =ae ax ,y =-2x -b 的大致图象如图：当a <0时，作出函数y =ae ax ,y =-2x -b 的大致图象如图：可知y =ae ax ,y =-2x -b 的图象总有一个交点，即f x =ae ax +2x +b =0总有一个根x 0，当x <x 0时，f x <0；当x >x 0时，f x >0，此时f x 存在唯一极小值点，A 正确；对于B ，由于f 0 =1，故原点不在曲线f x =e ax +x 2+bx 上，且f x =ae ax +2x +b ，设切点为(m ,n ),n =e am+m 2+bm ，则fm =ae am+2m +b =n m =e am +m 2+bm m，即ae am+m=e amm，即eam(am-1)+m2=0，令h(m)=e am(am-1)+m2，h (m)=ae am(am-1)+ae am+2m=m(a2e am+2)，当m<0时，h (m)<0，h(m)在(-∞,0)上单调递减，当m>0时，h (m)>0，h(m)在(0,+∞)上单调递增，故h(m)min=h(0)=-1，当m→-∞时，e am(am-1)的值趋近于0，m2趋近于无穷大，故h(m)趋近于正无穷大，当m→+∞时，e am(am-1)的值趋近于正无穷大，m2趋近于无穷大，故h(m)趋近于正无穷大，故h(m)在(-∞,0)和(0,+∞)上各有一个零点，即e am(am-1)+m2=0有两个解，故对任意a，b，曲线y=f x 过原点的切线有两条，B正确；对于C，当a+b=-2时，b=-2-a，f x =e ax+x2-(a+2)x，故f x =ae ax+2x-a-2，该函数为R上单调增函数，f 0 =-2<0,f 1 =ae a-a=a(e a-1)>0，故∃s∈(0,1)，使得f s =0，即e as=-2as+1+2a，结合A的分析可知，f(x)的极小值也即最小值为f(s)=e as+s2-(a+2)s=-2as+1+2a+s2-(a+2)s，令m(s)=-2as+1+2a+s2-(a+2)s，则m s =2s-a+2a+2，且为增函数，当a<0时，m (0)=-a+2a+2≥22-2>0，当且仅当a=-2时取等号，故当s>0时，m s >m 0 >0，则f(s)在(0,1)上单调递增，故f(s)>f(0)=2a+1，令a=-3，则f(0)=2a+1=13>0,∴f(s)>f(0)>0，此时f(x)的最小值为f(s)>0，f x 无零点，C错误；对于D，当a+b>0时，f x为偶函数，考虑x>0视情况；此时f x=f(x)=e ax+x2+bx,(x>0)，f (x)=ae ax+2x+b，结合A的分析可知f (x)=ae ax+2x+b在R上单调递增，f (0)=a+b>0，故x>0时，f (x)>f (0)>0，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，故f(x)在(-∞,0)上单调递减，f x为偶函数，故f xmin=f(0)=1，D正确，故选：ABD30.(2023·湖南益阳·高三统考阶段练习)已知函数f x =e x-1,x≥0x2+2x,x<0，则()A.f x 有两个零点B.直线y=x与f x 的图象有两个交点C.直线y=12与f x 的图象有四个交点D.存在两点a,b，-2-a,ba>0,b>0同时在f x 的图象上【答案】ABD【解析】画出f x 的图象，如下：A 选项，f x 有两个零点，即-2和0，A 正确；B 选项，当x ≥0时，f x =e x -1，则f x =e x ，令f x =e x =1，解得x =0，又f 0 =0，故y =e x -1在x =0的切线方程为y =x ，令m x =e x -1-x ，x >0，则m x =e x -1>0，故m x =e x -1-x 在0,+∞ 上单调递增，故m x >m 0 =0，即e x -1>x 在0,+∞ 上恒成立，故y =e x -1在x ∈0,+∞ 上与y =x 只有一个交点，当x <0时，f x =x 2+2x ，联立y =x ，可得x 2+2x =x ，解得x =-1或0(舍去)，结合函数图象，可知直线y =x 与f x 的图象有两个交点，B 正确；C 选项，在同一坐标系内画出f x 与直线y =12的图象，可知直线y =12与f x 的图象有2个交点，C 错误；D 选项，点a ,b ，-2-a ,b a >0,b >0 是关于x =-1对称的两点，因为a >0,b >0，故a ,b 是位于第一象限的点，-2-a ,b 位于第二象限，-2-a ,b 在f x =x2+2x ,x <-2上，要想满足a ,b 同时在f x 的图象上，只需g x =x 2+2x ,x >0与h x =e x -1,x >0在第一象限内有交点，因为g 1 =3,h 1 =e -1，故g 1 >h 1 ，又g 3 =15,h 3 =e 3-1，故g 3 <h 3 ，两函数均在0,+∞ 单调递增，故一定存在x 0∈1,3 ，使得g x 0 =h x 0 ，D 正确.故选：ABD31.(2023·湖南益阳·高三统考阶段练习)在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别是线段A 1B ，B 1D 1上的点，则下列结论正确的是()A.三棱锥P -CB 1D 1的体积是43B.线段PQ 的长的取值范围是233,23C.若P ，Q 分别是线段A 1B ，B 1D 1的中点，则PQ 与平面AC 所成的角为π6D.若P ，Q 分别是线段A 1B ，B 1D 1的中点，则PQ 与直线AC 所成的角为π3【答案】AC【解析】建立如图所示空间直角坐标系：因为棱长为2，所以A 2,0,0 ,B (2,2,0),C (0,2,0),A (2,0,2),D (0,0,2),A B =(0,2,-2),DC =(0,2,-2),AC =(-2,2,0),对于A ,∵A B =(0,2,-2),D C =(0,2,-2),∴A B =D C,则A B ⎳D C,所以A B ⎳D C ,又A B ⊄平面CB D ,D C ⊂平面CB D ，所以A B ⎳平面CB D ，又点P ∈A B ,故点P 到平面CB D 的距离等价于点B 到平面CB D 的距离,所以V P -CB 1D 1=V B -CB 1D 1=V D 1-BCB 1=13×2×2=43,故A 正确；对于B ,设P (2,m ,2-m ),Q (n ,n ,2),m ,n ∈[0,2]则PQ =n -22+n -m 2+m 2=2m 2+2n 2-2mn -2n +4=2m -n 2 2+32n -232+103，故m =n2n =23及m =13n =23时，PQ min =103=303≠233，故B 错误；对于C ,若P ，Q 分别是线段A 1B ，B 1D 1的中点，则P (2,1,1),Q (1,1,2),PQ =(-1,0,1),取平面AC 的法向量n=(0,0,1)，设θ为PQ 与平面AC 所成的角，则sin θ=cos PQ , n =PQ ⋅nPQ n=12=22，所以θ=π4，即PQ 与平面AC 所成的角为π4，故C 错误；对于D ,若P ，Q 分别是线段A 1B ，B 1D 1的中点，则P (2,1,1),Q (1,1,2),PQ =(-1,0,1)，则PQ ⋅AC =(-1,0,1)⋅(-2,2,0)=2,则cos PQ ,AC =PQ ⋅ACPQ AC=22×22=12，则PQ ,AC =π3,即PQ 与直线AC 所成的角为π3，故D 正确.故选：AD .32.(2023·湖南永州·高三校联考开学考试)已知函数f x =x 3-3x ,x <02x-2,x ≥0，若关于x 的方程f 2x -2a +1 f x +a2+a =0有6个不同的实根，则实数a 可能的取值有()A.-12B.12C.34D.2【答案】BC【解析】当x <0时，f x =x 3-3x ，则f x =3x 2-3=3x -1 x +1 ，当x ∈-∞,-1 时，f x >0，f x 单调递增，当x ∈-1,0 时，f x <0，f x 单调递减，作出f x 的图象，如图所示，f 2x -2a +1 f x +a 2+a =f x -a f x -a -1 =0，即f x =a 与f x =a +1共六个不等实根，由图可知f x =2时，x =-1或x =2，即f x =2有两个根，若使f x =a 与f x =a +1共六个不等实根，只需满足0<a <20<a +1<2 ，即0<a <1.故选：BC .33.(2023·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习)若数列a n 中任意连续三项a i ，a i +1，a i +2，均满足a i -a i +2 a i +2-a i +1 >0，则称数列a n 为跳跃数列.则下列结论正确的是()A.等比数列：1，-13，19，-127，181，⋯是跳跃数列B.数列a n 的通项公式为a n =cos n π2n ∈N *，数列a n 是跳跃数列C.等差数列不可能是跳跃数列D.等比数列是跳跃数列的充要条件是该等比数列的公比q ∈-1,0 【答案】ACD【解析】对于选项A ，由跳跃数列定义知，等比数列：1，-13，19，-127，181，⋯是跳跃数列，故A 正确；对于选项B ，数列的前三项为a 1=0，a 2=-1，a 3=0，不符合跳跃数列的定义，故B 错误；对于选项C ，当等差数列公差d >0时，它是单调递增数列；公差d <0时，它是单调递减数列；公差d =0时，它是常数列，所以等差数列不可能是跳跃数列，故C 正确；对于选项D ，等比数列a n 是跳跃数列，则a i -a i +2 a i +2-a i +1 =a 2i 1-q 2 q 2-q >0，整理得q +1 q (q -1)2<0，即-1<q <0，若比数列a n 的公比-1<q <0，则q +1 q (q -1)2<0，可得a i -a i +2 a i +2-a i +1 =a 2i 1-q 2 q 2-q >0，所以等比数列a n 是跳跃数列，故D 正确.故选：ACD .34.(2023·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习)已知函数f x 的定义域为R ，函数f x 的图象关于点1,0 对称，且满足f x +3 =f 1-x ，则下列结论正确的是()A.函数f x +1 是奇函数B.函数f x 的图象关于y 轴对称C.函数f x 是最小正周期为2的周期函数D.若函数g x 满足g x +f x +3 =2，则2024k =1g k =4048【答案】ABD【解析】因为函数f x 的图象关于点1,0 对称，所以f x +1 =-f 1-x ，所以函数f x +1 是奇函数，故A 正确；因为f x +1 =-f 1-x ，所以f x +2 =-f -x ，又f x +3 =f 1-x ，所以f x +3 =-f x +1 ，所以f x +2 =-f x ，所以f -x =f x ，所以f x 为偶函数.故B 正确；因为f x +4 =-f x +2 =f x ，所以f x 是最小正周期为4的周期函数，故C 错误；因为g x +f x +3 =2，所以g x =2-f x +3 ，那么g x +4 =2-f x +7 =2-f x +3 =g x ，所以g x 也是周期为4的函数，g 1 +g 2 +g 3 +g 4 =2-f 4 +2-f 5 +2-f 6 +2-f 7 =8-f 4 +f 5 +f 6 +f 7 ，因为f x +2 =-f x ，所以f 4 +f 6 =0，f 5 +f 7 =0，所以g 1 +g 2 +g 3 +g 4 =8，所以2024i =1g k =506g 1 +g 2 +g 3 +g 4 =4048，故D 正确.故选：ABD .35.(2023·湖南株洲·高三校考阶段练习)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD =4，点E ,F 分别为A 1B 1,BC 的中点，点P 满足AP =λAD +μAA 1,λ∈0,1,μ∈ 0,1 ，则下列说法正确的是()A.若λ+μ=1，则四面体PEFD 1的体积为定值B.若λ=12,μ=14，则C 1P ⊥平面EFD 1C.平面EFD 1截正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1所得的截面的周长为5+42+35D.若λ=1,μ=0，则四面体PEFD 1外接球的表面积为344π9【答案】BD【解析】如图1，取AB 的中点G ，连接DG ，易得D 1E ∥DG ，取CD 的中点H ，连接BH ，易得BH ∥DG ，再取CH 的中点M ，连接FM ,D 1M ，则FM ∥BH ，所以FM ∥D 1E ，则FM 是平面EFD 1与正方体底面ABCD 的交线，延长MF ，与AB 的延长线交于N ，连接EN ，交BB 1于P ，则BB 1=3BP ，且五边形D 1EPFM 即平面EFD 1交正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的截面，由F 是BC 中点且BN ⎳CM 得BN =CM =12CH =12B 1E ，又由BN ⎳B 1E 得BP =12B 1P =13BB 1，从而可计算得ED 1=25,D 1M =5,MF =5,EP =103,PF =2133，所以平面EFD 1截正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1所得的截面的周长为253+2133+35，故C 错误．对于A ，因为AP =λAD +μAA 1 ,λ+μ=1，所以P ,D ,A 1三点共线，所以点P 在A 1D 上，因为A 1D 与平面EFD 1不平行，所以四面体PEFD 1的体积不为定值，A 错误．对于B ，如图2，以A 为原点，分别以AB ,AD ,AA 1所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，则AP =12AD+14AA 1 =0,2,1 ，C 1P =C 1A +AP =-4,-2,-3 ,D 1E =2,-4,0 ,EF =2,2,-4 ，则C 1P ⋅D 1E =0，C 1P ⋅EF =0，C 1P是平面EFD 1的一个法向量，所以C 1P ⊥平面EFD 1，故B 正确．对于D ，若λ=1,μ=0，则点P 即点D ．易知EG ⎳DD 1，DD 1⊥D 1E (由DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1可得)，同理EG ⊥D 1E ，即四边形EGDD 1是矩形，则四面体PEFD 1的外接球与四棱锥F -ED 1DG 的外接球相同，在△GFD 中，GF =22,GD =25,FD =25，在图3四棱锥F -DD 1EG 中，取U 是GF 中点，则DU ⊥GF ，△DGF 的外心T 在DU 上，sin ∠DGU =(25)2-(2)225=31010，则△GFD 外接圆的半径为DT =2531010×12=523，设DE ∩GD 1=S ，取GD 中点Q ，连接QT ,QS ，则QT ⊥GD ，同样由DD 1⊥平面DGF ，QT ⊂平面DGF ，得DD 1⊥QT ，而DG 与DD 1是平面DD 1EG 内两相交直线，因此有TQ ⊥平面DD 1EG ，同理可证SQ ⊥平面DGF ，得SQ ⊥QT ，作矩形SQTO ，可得OT =SQ =12DD 1=2，OS ⊥平面DD 1EG ，OT ⊥平面DGF ，从而知O 是四棱锥F -ED 1DG 的外接球的球心，所以四面体PEFD 1外接球的半径R =OD =DT 2+OT 2=5232+22=863，即四面体PEFD 1外接球的表面积为344π9，D 正确．故选：BD ．36.(2023·湖南株洲·高三株洲二中校考开学考试)已知数列a n 满足a 1=1，a n +1=2a n ln a n +1 +1，则下列说法正确的有()A.2a 3a 1+a 2<5 B.a n +1-a 2n ≤a 2n +1C.若n ≥2，则34≤ni =11a i +1<1D.ni =1ln a i +1 ≤2n -1 ln2【答案】BCD【解析】a 2=2a 1ln a 1+1 +1=3,a 3=2a 2ln a 2+1 +1=6ln3+7，则2a 3-5a 1+a 2 =12ln3-6>0，又a 1+a 2>0，所以2a 3a 1+a 2>5，A 不正确.令函数f x =x -ln x -1，则f x =1-1x，则f x 在0,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，f x ≥f 1 =0，即x ≥ln x +1，又易得a n 是递增数列，a n ≥a 1=1，故a n ≥ln a n +1，所以a n +1≤2a 2n +1，B 正确.易知a n 是递增数列，所以a n ≥a 1=1，则ln a n +1≥1,a n +1=2a n ln a n +1 +1≥2a n +1，则a n +1+1≥2a n +1 ，即a n +1+1a n +1≥2，所以a n +1a n -1+1⋅a n -1+1a n -2+1⋯⋯⋅a 2a 1≥2n -1，即a n +1≥2n -1a 1+1 =2n ，所以1a n +1≤12n，所以ni =11a i +1≤12+122+⋯+12n =121-12n1-12=1-12n<1，而当n ≥2时，则有ni =11a i +1≥1a 1+1+1a 2+1=34，C 正确.令函数g x =2ln x -x +1x ，则gx =2x -1-1x 2=-x 2+2x -1x 2≤0，所以g x 在0,+∞ 上单调递减，所以当x ≥1时，g x ≤g 1 =0，则ln x ≤12x -1x，所以a n +1≤2a n 12a n -1a n+1+1=a 2n +2a n ，a n +1+1≤a n +1 2,ln a n +1+1 ln a n +1 ≤2,ln a n +1 ln a n -1+1⋅ln a n -1+1 ln a n -2+1 ⋅⋯⋅ln a 2+1ln a 1+1≤2n -1，ln a n +1 ≤2n -1ln a 1+1 =2n -1ln2，所以∑ni =1ln a i +1 ≤(1+2+⋯+2n -1 ln2=2n -1 ln2，D 正确.故选：BCD .37.(2023·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试)已知函数f x ，g x 是定义在R 上的非常数函数，f x +1 的图象关于原点对称，且f x +g 1-x =4，f x +1 +g x -2 =4，则( )．A.f x 为奇函数 B.f x 为偶函数C.2024k =1f k =0D.2024k =1g k =8096【答案】BCD【解析】因为f x +1 的图象关于原点对称，故f 1+x +f 1-x =0，即f x +f 2-x =0①，f x +1 +g x -2 =4中，用3-x 代替x 得f 4-x +g 1-x =4，而f x +g 1-x =4，故f 4-x +g 1-x =4f x +g 1-x =4，两式相减可得f x =f 4-x ，即f x +2 =f 2-x ②，由①②可得f x =-f x +2 =f x +4 ③，故f x 的周期为4，所以f -x =f 4-x =f x ，故f x 为偶函数，因为f x 不是常数函数，所以f x 不是奇函数，故A 错误，B 正确．由①可得，f x +f x -2 =0，故f 1 +f 3 =0，f 2 +f 4 =0，于是2024k =1f k =506f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =0，故C 正确．由f x +g 1-x =4可得f 1-x +g 1-1+x =4，即f 1-x +g x =4，因为f x 为偶函数，且f x =-f x -2 ，所以f -x =-f x -2 ，f 1-x =-f -1+x -2 =。

高考压轴高等数学试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）A. f(x) = x² + 1B. f(x) = 1/xC. f(x) = √(x - 2)D. f(x) = |x|2. 函数f(x) = e^(2x)的导数为（）A. f'(x) = 2e^(2x)B. f'(x) = e^(2x)C. f'(x) = 4e^(2x)D. f'(x) = 2xe^(2x)3. 若lim(x→0) (f(x) - f(0))/(x - 0) = 2，则f'(0)等于（）A. 2B. -2C. 0D. 不存在4. 函数y = x^3 - 3x + 1在x = 0处的切线方程为（）A. y = 1B. y = xC. y = x + 1D. y = -x5. 下列极限计算正确的是（）A. lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = eB. lim(x→0) x / (sin x) = 1C. lim(x→0) (1 - cos x) / x = 1/2D. lim(x→0) (e^x - 1) / x = 16. 若函数f(x) = x²lnx在区间[1, 2]上单调递增，则f'(x)在区间[1, 2]上的符号为（）A. 恒正B. 恒负C. 先正后负D. 先负后正7. 函数y = sin(3x)的周期为（）A. π/3B. 2π/3C. πD. 2π8. 已知函数f(x) = x² + 2x + 1，则f(x)的极值点为（）A. x = -1B. x = 0C. x = 1D. x = -29. 下列级数收敛的是（）A. ∑(n=1 to ∞) 1/nB. ∑(n=1 to ∞) (-1)^n/nC. ∑(n=1 to ∞) n^2D. ∑(n=1 to ∞) 1/n²10. 曲线y = e^(-x)在x = 0处的切线斜率为（）A. 1B. -1C. 0D. 不存在二、填空题（每题5分，共50分）1. 函数f(x) = x³ - 3x² + 2x在x = 1处的二阶导数为__________。

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（1）求动点P的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；
（2）若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程。
8．已知数列{an}满足
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）设数列{bn}的前项和为Sn，试比较Sn与的大小，并证明你的结论.
9．已知焦点在轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线对称．
23、．设函数
（1）求证：对一切为定值；
（2）记求数列的通项公式及前n项和.
24.已知函数是定义在R上的偶函数.当X 0时, = .
(I)求当X<0时, 的解析式;
(II)试确定函数 = (X 0)在的单调性，并证明你的结论.
(III)若且，证明：| － |<2.
25、已知抛物线的准线与轴交于点，过作直线与抛物线交于A、B两点，若线段AB的垂直平分线与X轴交于D(X0,0)
27．（14分）（理）已知椭圆，直线l过点A（－a，0）和点B（a，ta）
（t＞0）交椭圆于M.直线MO交椭圆于N.（1）用a，t表示△AMN的面积S；
（2）若t∈[1，2]，a为定值，求S的最大值.
28．已知函数f(x)=的图象过原点，且关于点（-1，1）成中心对称.
（1）求函数f(x)的解析式；
6已知过函数f（x）= 的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为－3。
（1）求a、b的值；
（2）求A的取值范围，使不等式f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立；
（3）令。是否存在一个实数t，使得当时，g（x）有最大值1？
7已知两点M（－2，0），N（2，0），动点P在y轴上的射影为H，︱︱是2和的等比中项。
(2)若T2n=a1+2a2+3a3+…+2na2n,Qn= ,其中n∈N*,试比较9T2n与Qn的大小.
17．已知 =（x,0）， =（1，y），（ + ）（ – ）．
（I）求点（x，y）的轨迹C的方程；
（II）若直线L：y=kx+m(m 0)与曲线C交于A、B两点，D（0，–1），且有|AD|=|BD|，试求m的取值范围．
（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；
（2）过点T（－1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E（x0,0），使得△ABE为等边三角形，求x0的值.
16.（14分）设f1(x)= ,定义fn+1(x)=f1［fn(x)］,an= ,其中n∈N*.
(1)求数列｛an｝的通项公式；
2010高考数学压轴题集锦
1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点（）的准线与x轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于、两点。
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若，求直线的方程；
（3）设（），过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明 . (14分)
2．已知函数对任意实数x都有，且当时，。
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线经过M（-2，0）及AB的中点，求直线在轴上的截距b的取值范围；
（Ⅲ）若Q是双曲线C上的任一点，为双曲线C的左，右两个焦点，从引的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．
11：如图，设OA、OB是过抛物线y2＝2px顶点O的两条弦，且＝0，求以OA、OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹.(13分)
（3）。对任意正数x1、x2,求证：
14．已知数列{an}各项均为正数，Sn为其前n项的和.对于任意的，都有 .
I、求数列的通项公式.
II、若对于任意的恒成立，求实数的最大值.
15.( 12分)已知点H（－3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足 · =0， =－，
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），，
当取得最小值时，求此双曲线的方程.
（3）设F1为（2）中所求双曲线的左焦点，若A、B分别为此双曲线渐近线l1、l2上的动
点，且2|AB|=5|F1F|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
21、已知函数是偶函数，是奇函数，正数数列满足
（2）若数列{an}（n∈N*）满足：an>0，a1=1，an+1=[f()]2，求数列{an}的通项公式an，并证明你的结论.
30、已知点集其中点列在中，为与轴的交点，等差数列的公差为1，。
（1）求数列，的通项公式；（2）若求；
（3）若是否存在使得若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
⑴求X0的取值范围。
⑵△ABD能否是正三角形？若能求出X0的值，若不能，说明理由。
26、已知□ABCD，A（-2，0），B（2，0Байду номын сангаас，且∣AD∣=2
⑴求□ABCD对角线交点E的轨迹方程。
⑵过A作直线交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，且∣MN∣= ，MN的中点到Y轴的距离为，求椭圆的方程。
⑶与E点轨迹相切的直线l交椭圆于P、Q两点，求∣PQ∣的最大值及此时l的方程。
（3）过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值。
5已知，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c及一次函数g（x）＝－bx，其中a、b、c∈R，a＞b＞c，a＋b＋c＝0.
（Ⅰ）求证：f（x）及g（x）两函数图象相交于相异两点；
（Ⅱ）设f（x）、g（x）两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为A1B1时，试求|A1B1|的取值范围.
12.知函数f(x)＝log3(x2－2mx＋2m2＋)的定义域为R
(1)求实数m的取值集合M；
(2)求证：对m∈M所确定的所有函数f(x)中，其函数值最小的一个是2，并求使函数值等于2的m的值和x的值.
13.设关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为函数f(x)=
(1).求f( 的值。
（2）。证明：f(x)在[ 上是增函数。
注意，解得，因，故。
而，所以。
2①f(x)= (2k≦x≦2k+2, k∈Z)②略⑶方程在[1，4]上有4个实根
3①x2=4y②x1x2=-4⑶P(±2,1) SMIN=
（1）时，求的表达式。
（2）证明是偶函数。
（3）试问方程是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。
3．（本题满分12分）如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：。
（1）若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；
（2）过点F的直线g交轨迹E于G（x1，y1）、H（x2，y2）两点，求证：x1x2为定值；
18．已知函数对任意实数p、q都满足
（1）当时，求的表达式；
（2）设求证：
（3）设试比较与6的大小．
19．已知函数若数列： …，
成等差数列.
（1）求数列的通项；
（2）若的前n项和为Sn，求；
（3）若，对任意 ,求实数t的取值范围.
20．已知△OFQ的面积为
（1）设正切值的取值范围；
21．经过抛物线的焦点F的直线与该抛物线交于、两点. (12分)
（1）若线段的中点为 ,直线的斜率为 ,试求点的坐标,并求点的轨迹方程
（2）若直线的斜率 ,且点到直线的距离为 ,试确定的取值范围.
1（1）椭圆的方程为，离心率。
（2）直线PQ的方程为或
（3，理工类考生做）证明：。由已知得方程组
1求的通项公式；
②若的前项和为，求 .
22、直角梯形ABCD中∠DAB＝90°，AD∥BC，AB＝2，AD＝，BC＝．椭圆C以A、B为焦点且经过点D．
（1）建立适当坐标系，求椭圆C的方程；
（2）若点E满足，问是否存在不平行AB的直线l与椭圆C交于M、N两点且，若存在，求出直线l与AB夹角的范围，若不存在，说明理由．

高考数学压轴大题 2

高考数学压轴大题规范练(2)——函数与导数.docx

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