平面向量与三角形四心问题.docx

平面向量基本定理与三角形四心

已知O 是厶ABC 内的一点， BOC^ AOC^ AOB 的面积分别为 S A , S B ,

S C ,求证:

S A ∙OA S B ∙OB S C ∙OC = 0

S B S C

S A ∙OA S B ∙OB S C ∙O^ 0

推论0是ABC 内的一点，且

X ・OA y ∙OB z*O^ = 0 ,则

S BOC : S COA S AOB =x: y:Z

OD

洼

OB

ID OC

S B

OB

S

B ' S C

S B

⅛OC

OD OA

_ S BOD S

BOA

_ S COD Sl

S

COA

BOD

■ S COD

S

BOA ' S COA

S A S B S C

OD =

-

S A OA

—OA

S B S C

S⅛

OB

S⅛

OC

如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则

BD DC

图1

有此定理可得三角形四心向量式

S A

OB =1:1:1= OA QB OC = 0

O 是:ABC 的外心

二 S BQC : S-CQA : S AoB =Sin2A:Sin2B: Sin2C =Sin2AQA sin2B

∙0B Sin2C QC = 0

O 是ABC 的垂心

U S-BOC : S 'COA : S AOB =tan A: tan B: tanC =tan A ∙0A tan B ∙0B tanC ∙0C = 0

S BOC : S COA=DB : AD

S 岳OC : S^COA =tan A: tan B

同理得 S COA : S AO B ^tan B

：tanC , S BOC : S-AO B

^tan A ：tanC

S BoC : S COA : S AOB H tan A: tan B : tanC

奔驰定理是三角形四心向量式的完美统

O 是ABC 的内心

=abc =

a ∙OA b*OB

tan^≤D,tanB

AD CD — =——=tan A: ta n B = DB: AD DB

O 是ABC 的重心

B

证明：如图O 为三角形的垂心,

4.2三角形“四心”的相关向量问题

一•知识梳理:

四心的概念介绍：

垂心：高线的交点，高线与对应边垂直;

如图⑴.

Op=OA …（AB ∙AC）, ■（0, •：：）,则P 的轨迹一定通过△ ABC 的（）.

A.重点

B.外心

C.内心

D.垂心

【解析】由题意AP=^.(AB AC),当…(0, •时，由于■ (AB ■ AC)表示BC边上

3 Q程ABC所在平面内一点，动点P满足' -"λ(∈( 0, +∞)),则动点P的轨迹一定通过厶ABC的( )

A.内心

B.重心

C.外心

D.垂心

重心：中线的交点，重心将中线长度分成 2 : 1；

内心：角平分线的交点(内切圆的圆心) ,角平分线上的任意点到角两边的距离相等;

外心：中垂线的交点(外接圆的圆心) ,外心到三角形各顶点的距离相等。

与"重心”有关的向量问题

已知G是△ ABC所在平面上的一点, 若GA GB ∙GC =0,则G 是厶ABC 的（）

A. 重点

B.外心

C.内心

D.垂心

O

图⑵

2已知O是平面上一定点，A,B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足

的中线所在直线的向量，所以动点P的轨迹一定通过△ ABC的重心，如图⑵.

解：作出如图的图形 AD ⊥BC,由于二I SinB= ： SinC=AD

由加法法则知，P 在三角形的中线上 故动点P 的轨迹一定通过厶ABC

的重心 故选：B.

与“垂心”有关的向量问题 3 P 是厶

ABC 所在平面上一点，若 PA ∙PB =PB ∙PC =PC PA ,贝U P 是厶ABC 的（）

A .重点

B .外心 C.内心 D .垂心

A .重点

B .外心 C.内心 D .垂心

【解析】由题

意

AP -：

■

AB CosB -

HAC

AC CoSC

OP=OA+ λ (■ AB

I AB ISinB AC

I AClSinC

)=θ^+ IM) I (壮 + AC )

TTTT — T T

【解析】由 PA PB=PB PC ,得 PB Pk P ； )=0 ,即 FB(A

=0,所以RB 丄CA

理可证PC 丄 △ ABC

AB , PA 丄BC .∙∙∙ P 是厶

ABC 的垂心•

如图⑶

:二（0, ■：：）,则

P 的轨迹一定通过 图⑶

4已知O 是平面上一定点，

A,

的（）.