清北学堂物理竞赛模拟题参考答案
清北学堂物理竞赛考前练习题第一套(附答案详解)
北京清北学堂竞赛模拟一1、我国于2007年10月24日发射的“嫦娥一号”探月卫星简化后的路线示意图如图所示。
卫星由地面发射后，经过发射轨道进入停泊轨道，然后在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道，再次调速后进入工作轨道，卫星开始对月球进行探测。
已知地球与月球的质量之比为a，卫星的停泊轨道与工作轨道的半径之比为b，卫星在停泊轨道与工作轨道上均可视为做匀速圆周运动，则（）A．卫星在停泊轨道运行的速度大于地球的第一宇宙速度aB．卫星在停泊轨道和工作轨道运行的速度之比为bC．卫星在停泊轨道和工作轨道运行的周期之比为3baD．卫星在停泊轨道和工作轨道运行的向心加速度之比为2b2、如图所示，一条足够长的水平张紧的弹性绳上，有两列小振幅的简谐横波a（实线）和b （虚线），分别沿相反方向传播，a波向右，b波向左，两列波的波长λa=1.5λb，振幅均为A。
图为在t0时刻两列波相遇的情况，在此时刻，绳上P点的合位移恰好为零。
为了在以后的t1时刻P点的合位移为2A，且位于平衡位置上方，这两列波在t0至t1时间内沿水平方向各自传播的距离可以是（）Ａ．1λa和1.5λb Ｂ．2λa和3λbＣ．2λa和4.5λb Ｄ．4λa和6λb3．已知如图，带电小球A、B的电荷分别为Q A、Q B，OA=OB，都用长L的丝线悬挂在O点，其中球A与左边绝缘墙紧靠但不粘连。
静止时A、B相距为d。
为使平衡时AB间距离减为d/2，可采用以下哪些方法A．将小球A、B的质量都增加到原来的2倍B．将小球B的质量增加到原来的8倍C．将小球A、B的电荷量都增加到原来的3倍D．将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半4．在空中某处同时以大小相同的速度υ=20m／s抛出两个小球，其中一个小球水平抛出，另一个小球与水平面成60 斜向下抛出，两个小球的运动在同一竖直平面内，经过3s后两小球之间的距离为234A. 30mB. 45mC. 60mD. 10 m5. 一个灯泡的电阻R0=2Ω，正常工作电压U0=4.5V，由电动势U=6V、内阻可忽略的电池供电。
清北学堂第37届全国中学生物理竞赛理论考试模拟试题
三、（40 分） 两块相对介电常数分别为ϵ1 的半无限大电介质拼接在一起。有一个带电量为 q0
的电荷被放置在电介质 1 中，距离界面 a。 （1）利用电介质电相法说明在介质 1、2 中的电场等效于哪一个或多个点电荷产生的电场。 （2）利用电介质电相法算出两介质表面某一位置的总电荷面密度。 （3）不利用电介质电相法算出两介质表面某一位置的总电荷面密度。 （4）算出两介质表面的总电荷
二、（40 分） 当太阳系不再适合人类生存时，人类的其中一个选择便是给地球安装“行星发动
机”，带着地球离开太阳系，我们下面计算这个模型。 （1）行星发动机是通过常见元素的核聚变获得能量的。已知两个碳-12 通过核反应形
成镁元素。假设两个反应的碳-12 反应时几乎静止，发动机通过发射该反应产生的能量的 光子获得推力。已知碳-12 质量 12.00000u，镁-24 质量 23.98513u，试求一秒钟反应一千 克碳-12 产生的推力。(uc2=931.49MeV)
八、（40 分）
玻色子（boson）是遵循玻色-爱因斯坦统计，自旋量子数子可以同时处于同一个状态。它在低温时可以发生一种
清北学堂高中物理竞赛试题1
清北学堂全国中学生物理竞赛复赛模拟题1一、（40’）电磁送分题：如图所示，圆柱形筒壁内有垂直于纸面向里的匀强磁场B，某中性粒子质量为m，初始位置在圆心（粒子与筒壁的碰撞均为弹性碰撞），圆筒半径R=P0/qB，其中P0为粒子初动量（1）t=0时刻，粒子裂变为等质量的两个带电量分别为+q、-q的粒子，试定性画出运动轨迹并求出周期。
（2）若正负粒子的质量之比为1:2，重新解答第一问。
二、（40’）华丽粒子曲线：如图在无限大光滑水平面上有三个质点，从左到右质量分别为3m、2m、m，他们之间有原长不计，劲度系数为k的轻弹簧相连接，初速度分别为v、3v、3v（从左到右），其中质量为3m的质点初速度方向沿y轴向下，其余两个质点初速度均沿y轴向上，初始位置见图中，不计万有引力试定性画出运动轨迹并求周期。
三、（40’）运动光学成像：如图，折射率为n，半径为r的玻璃球B以速度v²=2gr冲出平台，与此同时（离开平台边缘的瞬间）点亮了边缘的点光源s，求s Array通过B傍轴成像的像点的轨迹方程。
四、（40’）同心球电容器：给定一个半径为R的金属球，外部套有半径为αR的同心金属球壳，在球与球壳之间存在着某种颗粒（可视为半径为a的匀质小球，其中a＜＜R），内球带电量为Q，温度为T,假设颗粒带电q0,（不考虑极化），试求其在球与球壳之间分子数密度n的分布函数n（r）.列出微分方程即可不要求解出。
五、（40’）热学气体分布：考虑三维气体分子的热运动速率分布在速度空间有球对称性。
分布函数维f（v），分子数密度为n （1）求任意方向如x方向的v x的分布函数F（v x）.v x∈R（2）求速率为v的分子单位时间单位面积上碰撞分子个数N（我们认为仅有v x＞0的分子可发生碰撞）（3）求证全部气体单位时间单位面积上碰撞的分子个数为n⎺v/4 其中⎺v=∫0∞vf（v）dv六、（40’）旋转双电容球：两个半径为R，质量为M的金属球通过一线度可略的轴承焊接在一起.求这一系统作为孤立导体对无穷远处的电容.七、（40’）四端电阻网络：某物竞球金学霸曾说：“一个四端纯电阻网络第一次在左边接理想电压源U1，右边接理想安培表得到示数I1；第二次右边接U2，左边得到示数为I2，应有U1I2=U2I1”试证明这个结论成立.（友情提示:注意符号法则）八、（40’）薄透镜再成像：薄透镜旁边有三角形物体ABC ，其像A ’B ’C ’，设AB 与A ’B ’所在直线交于点D ，BC 与BC 所在直线交于点E ，CA 与CA 所在直线交于点F ，求证：D 、E 、F 三点共线.（注：在一些脑洞比较大的特例中，D 、E 、F 中的一个或几个在无穷远处，与上述结论并不矛盾）※提供一个引理：设A ’、B ’、C ’分别为△ABC 三边BC 、CA 、AB 所在直线上的点，则A ’、B ’、C ’三点共线的充分必要条件为：C A BA ''·A B CB ''·''BC AC =1。
清北学堂物理竞赛模拟试题一
清北学堂物理竞赛模拟试卷一第 1 题一半径为 R 的竖直圆环，沿水平地面上的平直轨道作纯滚动，如图 a 所示，环上一点P 的轨迹为一悬轮线（摆线）。
（1）试写出以滚动角Ф为参量的轨迹方程，并求出轨迹曲线上任一点的曲率半径；（2）若用一根光滑的钢丝弯成此悬轮线的形状，如图 b 所示，固定在竖直平面内，有一小环穿于其中，试求小环从钢丝的最高点由静止开始释放后，经过多少时间运动到最低点？图a 图b第 2 题质量相等的两个小球 1，2，用一根轻绳连接放置在倾角为θ的斜面上，两小球与斜面之间的摩擦系数分别为μ1和μ2，已知μ1<μ2，且有tan θ=μ1μ2，试求体系平衡时，绳子与斜面最大倾斜线之间夹角α的最大值αm。
第 3 题一摩尔单原子分子理想气体经历图示的过程。
（1）确定 T−V 的关系；（2）试确定此过程的热容量 C 与V 的关系`。
第 4 题有人用两个共轴的凸透镜 L1、L2 制成开普勒望远镜，L1(物镜)和 L2（目镜）的焦距和直径分别为 f1=1m、d1=12.5cm; f2=10cm、d2=1cm，（1）当用它观察 50m 远处的直立旗杆，并使之最终成像于 10m 远处，则镜筒应多长？（2）旗杆上有多长一段被看到？（3）如果要使被观察到的旗杆长度增加一倍，并且尽可能增加亮度，在不改变镜筒长度的情况下，可在物镜和目镜之间再放置一个适当的凸透镜，则此透镜应放在什么位置？直径和焦距又各为多大？第 5 题在一块很大的水平接地导体平板上方存在竖直方向的匀强电场，场强为E0，现将一个质量密度为ρ、半径为 R 的导体半球平放在导体平板上（使球面向上），如图所示，试求E0至少多大，才能将这导体半球从平板上拉起？第 6 题一圆柱形的长电子束，电子均匀分布，电子数密度为 n ，平均速率为 v ，试求：（1） 电子束内离轴 r 处的电场强度 E 和磁感应强度 B 。
（2） 某电子通过该点时所受到的向外合力。
清北学堂高中物理竞赛模拟题2
一类是磁化电流，它是由磁介质的分子决定的电流（安培曾提出过分子环流假说），没有热效应。
为便于理解，如下图所示， 0为线圈中的传导电流， 为磁介质中的磁化电流。现定义，在线性磁
介质中，
0 ， 称为磁介质的磁导率， 定义为磁场强度。在本题中我们认为
，
然而对于空气（或真空），
恒成立。可以证明
0
0
其中 0 为通过环路 L 的传导电流。 如图一，设环形细铁芯的磁导率为 ，由于 很大，磁场线几乎全部集中在铁芯环中，漏磁可以 忽略。在铁芯的一部分处缠绕线圈，匝数为 N，线圈电流为 I，铁芯的横截面积为 S，周长为 l， 试求出磁通量大小 。磁通量仍然定义为：
（3.2）在上一问的条件下，试讨论 e 0 R μ的取值，求发生第 n 次碰撞后的瞬间球体的速度 、转动 角速度 以及此时的时刻 。
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头方向的夹角 0 的可能取值（逆时针为正）。
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五、（40 分） 磁场的作用，从宏观到微观，从电流到粒子： 众所周知，磁场和电流满足安培环路定理
0
其中
为通过环路 L 的所有电流。，我们现将该定律扩展一下：
“所有电流”包含两个部分：一类是传导电流，这是由导线中的自由电子决定的电流，有热效应；
二、温室效应对地表温度的影响。（35 分） 假设把太阳和地球当做理想黑体，太阳的辐射场均匀，且不考虑太阳和地球相对运动带来的影响。已 知太阳的温度为 ,半径为 R;日地距离为 d，地球的半径为 r,地球表面由于冰川的存在对太阳辐射的 平均反射率为 Q。试利用此简化模型进行估算（ 6000K，R 7 × 0 ， ͳ × 0 ， 6㌳00 ，Q 0ͳ3） （1）假设地球上没有大气，试计算地球达到辐射平衡时的温度 。 （2）考虑大气的影响，把大气理想化为灰体，已知太阳的辐射主要为短波辐射，大气层对这部分热 辐射不吸收也不反射，而地球的热辐射主要为长波辐射，大气对其吸收率和热辐射的放射率均为P, 试 求辐射平衡时地球和大气的温度分别为多少？（P 0ͳ7 ） （3）如果温室气体增多，且与大气分布在不同的高度,在大气层之内，相当于又增加了一层温室气体 层，大气和温室气体的辐射也为长波辐射，温室气体对长波辐射吸收率和热辐射的放射率均为 W，试 求稳定时地球的温度和由于温室气体增多带来的升温为多少（与第 2 问相比）？（W 0ͳ7 ）
清北学堂第37 届全国中学生物理竞赛理论考试模拟试题
五、（40 分）
（1） t ±
㤶 逆时针取正
㤶
±∓
∴v
tt
㤶 逆时针取+，顺时针取-
（2）
×
t
∴
㈠㤶
×
× × ㈠㤶
×
×
×
t
××
ht
㤶
tt
, 正方向向内，β
××
㤶
t 㤶 （其中方向 2’）
另解
tβ
㈠㤶
t
t
㈠㤶
t
t
㤶
∴ ± t 㤶 （其中方向 2’）
（3）
ht
t
tt
ht
∴
t ㈠㤶
其中
t
≪
径向微分方程：
h
t m/s 㤶 t m/s
三、（40 分） （1）（16 分）设在计算介质 1 中的电场时，我 们将一个像电荷放置在介质 2 距离界面为 a 处， 电荷量 q2’；同样的，设在计算介质 2 中的电场 时，我们将一个像电荷放置在介质 1 距离界面为 a 处，电荷量 q1’。 注意 q0 的四周也会极化出一部分电荷，这部分极
,作辅助图： 㤶
t 。不难由几何关系
得到
临界
h t 㤶t
㤶
㈠䁂 t耀 㤶
临界 t耀 h
h 㤶t t 耀t
㤶 t耀 t
t m/s 㤶
至此，我们得到了（尚未考虑洛希极限的情况下）地球
末速度的方向范围，下面考虑洛希极限的影响：
t
木星系中地球能量和轨道半长轴：
;
t耀 㤶
木星与地球的最短间距：
h
t ht
h t䁂 耀 耀㈠
长。设在体积 V 一定的空间内有一定个数 N 的玻色子，试利用波的观点定性说明当温度不
【试题及答案】清北学堂2014年暑假物理竞赛模拟试题四
清北学堂2014暑假物理竞赛模拟练习题（四）命题人：方小敏教授1. 质量为m，半径为R的半圆柱体如图置于光滑的水平面上，在其光滑的半圆柱面上，搁有一个与传动装置连接的，只能沿竖直方向运动的直杆，直杆以恒定的加速度a向下做匀加速运动，当运动到图示位置（杆与圆柱面的接触点P对应的半径与竖直方向的夹角为θ）时，杆的速度为v, 试求此时杆对半圆柱体的压力N。
2. 一测力计由质量为m的外壳和质量也为m，劲度系数为k的弹簧构成，如图置于光滑的水平面上，用水平恒力F拉测力计的外壳，试求测力计的示数。
3. 在一根长为L=42cm开口向上的直管中，用一段长h=4cm的水银封闭了一定质量的理想气体，气柱的长度为l1 = 19cm. 现将此管顺时针方向转动900，再将管口封闭，并沿管长的水平方向做匀加速运动，为使管内两部分气柱的长度相同，试问直管应向什么方向加速？并求出加速度a的值。
已知此过程温度T不变，大气压P0=76cmHg.4. 两块厚度均为d的无限大平面带电层紧靠在一起，两带电层各带有体密度为-ρ和+ρ的电荷，一质量为m、电量为-e的粒子，以初速度v0、沿与平面成α角的方向向正电荷层运动。
试问：（1）为使粒子进不了负电荷层，则v0应小于何值？（2）若v0满足（1）中的条件，则粒子从进入正电荷层到出正电荷层共需多少时间？并求出进、出点之间的距离l .5. 一条直导线ＭＮ和半径为ａ的导体圆环叠放在光滑的水平面上，直导线固定而圆环可以自由移动，开始圆环的圆心Ｏ与直线的距离为ａ/2，两者之间电接触良好，整个空间存在一竖直方向的匀强磁场，磁感应强度为Ｂ０。
磁场的磁感应强度在极短的时间内迅速变为零，试求磁场刚变为零时圆环的速度ｖ。
已知直导线和圆环是用同一电阻丝制成，其单位长度的质量为ｍ０，电阻为ｒ０．6. 一圆柱形的薄壁玻璃容器浮于水面上，容器底的水深为h，横截面的直径为d，容器内底的正中有一物点A，如图所示。
人眼位于容器壁外水面的上方，斜向下去看物点A，发现人眼在某些位置将看不到物点A，试求此“盲区”的范围（用人眼和B点的连线与竖直方向的夹角θ表示），已知水的折射率n=4/3.7. 两个质量均为m的物块A、B用劲度系数为k的轻弹簧连接，而A用一根绳悬于天花板的O点，如图所示，在B上施加一向下的恒力F=nmg, 达平衡后撤去此力，在以后的向上运动过程中，当A与天花板相碰时，弹簧第一次达到最大伸长，且伸长量为5mg/k, 试求：（1）n的值；（2）A碰天花板时的速度v A;(3) 绳的长度l ..参考答案1解：设此时半圆柱体的速度和加速度分别为V R , a R,取半圆柱体为参照系，p点的相对速度和相对加速度分别为V P‘，a P’, 由相对运动，得V P = V P’ + V R V P = V V P’ = V/sinθ(1)a P = a p’ + a R=a Pn’ + a Pt’ + a R (2)a P’= V P’2/R =(3)将（2）式的各矢量沿半径OP方向投影a P cosθ= a R sinθ+ a Pn’∴a R = actgθ-由半圆柱体受力得Nsinθ= ma R N = ( acosθ)2解：整体运动加速度 a = F/2m将弹簧分成n个等分（n→∞）每份的劲度系数k’ = nk , 质量为Δm= m/n当弹簧的总伸长为Δx时, 从左至右各小段的伸长各为Δx1,，Δx2,Δx3•…，K’Δx1=Δma Δx1 = Δma/k’K’Δx1-k’Δx2 =Δma Δx2 = 2Δma/k’…Δx n = nΔm/k’∴Δx = Δx1+Δx2+…+Δx n = (1+2+…+n)Δma/k’ = =测力计的示数即是弹簧与外壳连接处的弹力F’F’ = k Δx = ma/2 = F/43解：下部气体 P1 = P0 + d = 80cmHgV1 = L1S转过900后P1‘= P0 = 76cmHgV1’ = L1’S由玻意尔定律，得P1V1=P1’V1’L1’ = 20cm原上部气体此时的长度L2’= 18cm管封闭后应向右加速，才能使其长度变成L2’’‘= 19cmP0V2=P2’’V2’’’P2‘‘= 72cmHgP0V1‘=P1’‘V1’‘P1’‘=80cmHg对水银柱（P１－P２＇＇）Ｓ＝ρｄSａａ＝＝２ｇ＝１９.６ｍ／ｓ２４解：（１）如图取坐标轴ｘ，由高斯定律可求得ｘ处的电场强度为Ｅ（ｘ）＝４πｋρｘ粒子在正电荷层中运动方程为－４πｋρｅｘ＝ｍ＋ｘ＝０ω＝初条件：ｘ０＝００＝ｖ０sinα振动的振幅为Ａ＝＝要求到不了负电荷层，应Ａ≦ｄ∴ｖ０≦（２）ｔ＝Ｔ／２＝ｌ＝ｖcosαｔ＝５解：设磁场变化的时间为Δｔ，变化率ｋ＝Ｂ０／Δｔ图中θ＝π／３ε１＝２πa2k/3 ε２＝πa2k/3 ε３＝ａ２ｋＲ１＝４πar0/3 Ｒ２＝２πar0/3 Ｒ３＝ａｒ０等效电路如图所示：由基尔霍夫定律，得Ｉ１＝Ｉ２＋Ｉ３（１）Ｉ１Ｒ１＋Ｉ２Ｒ２＝ε１＋ε２（２）Ｉ１Ｒ１＋Ｉ３Ｒ３＝ε１＋ε３（３）由以上三式可解得：Ｉ１＝Ｉ２＝在adc上任取一小段，长Δl=aΔθ,受安培力Δf1=I1l,方向如图，有对称性可知adc段所受的合力F1必沿x方向F1===I1=I1同理，a’bc’段所受合力F2沿-x方向F2= I2而aa’,cc’两段所受的合力为零，因此，整个圆环所受的合力F=F1+F2=（I1-I2） a由动量定理，得FΔt = mv v=FΔt/m =6解：光从角B上方能直接射出，而射向角B下方的光有tgα1=2h/d sinα1=由折射定律： sinα1=nsinβ1 sinβ1=要光能从水面射出，则应满足：sinα2=conβ1=≦1- ≦可得：h≧ d(1) 若h≧d,则射到角B处的光能从水面射出，射出时的折射角为β2nsinα2=sinβ2 sinβ2=“盲区”的范围为：π/2 –α1≦θ≦β2(2) 若 h<d, 则射到角B处的光不能从水面射出，发生全反射，“盲区”的范围为：π/2 –α1≦θ<π/27解：（1）未加F力时，弹簧伸长量 x0=mg/k加上F力后，弹簧又伸长了 x=F/k撤去力后，当A开始上升时，弹簧压缩了 x1=mg/k由机械能守恒，得-mgg(x0+x)+k(x0+x)2/2 =mgx+kx12/2+mv02/2V0= g当A开始向上运动时，质心的速度为 v C0=v0/2, 在质心系中， A相对质心的速度v Ao’=-v Co，与A连接的半根弹簧的形变量x A’=-mg/2k,直到A碰天花板时，形变量为x A=5mg/2k, 由机械能守恒，得:2k+ m=2k n =(2) 质心系中，A做简谐振动，ω=振幅 A=5mg/2k, 初始条件： x A0’=-mg/2kCosϕ==ϕ=0.436π= =1.436π此时质心的速度v C=v C0-gt=0.39g, ∴v A=v C=0.39g(3) 质心的位移Δx C=v C0t - -gt2 = 11.92, A相对质心的位移Δx A’=6mg/2k ,A相对地面的位移Δx A=Δx C +Δx A’=8.96∴绳长L=Δx A=8.。
清北学堂物理竞赛考前练习题第九套
F K1x K2 x (K1 K2 )x
（2）根据牛顿第二定律得
(K1
K2
)x
m
d2x dt 2
即 m d 2 x K1 K2 x 0
dt 2
m
这表明系统作为简谐振动，其角频率和周期为 K1 K 2 ，T 2
m
m
K1 K2
通常称 K K1 K2 为并联弹簧的有效倔强系数。
S vt l vt l
A 如图（a）所示 小孩在此刻的加速度（即法向加速度）大小为
a an
v2
v2 l
2、分析：将篮球视为质点，出手后篮球在空中的运动轨迹是抛物线 。要使球能够投入篮筐， 则篮筐的坐标（ x，y ）应处于抛物线的下降段。根据运动的叠加原理，写出篮球的轨迹即
抛物线方程，已知 x、y 和 v0 即可求得 tan 。
五、(1)如图 4-35（1）所示，一频率为 2040Hz 的波源以速速 vs 向一个反射面（如墙壁等）
接近，一观察者在 A 点听到拍频率为 3.0Hz ，若波速为 u 340ms 1 ，求波源的移动
速度 vs ； (2)若 波 源不 动， 反射 面以 v 20ms 1 向 A 点 （ 观 察者 ）运 动 ，这 时听 到的 拍频 为
在考察各小孩追逐目标时，容易发现，在依次追逐过 程中，追逐速度在指向正方形中心的 分速度保持不变，为
v cos45 2 v 2
因此，自那一时刻起（即正方形边长为 l 时刻），直至追到 目标，需时间 t 为
t
Ao v cos45
2l 2 l 2v 2 v
2）因此，每个小孩跑的路程为 S vt l
v V
)
1 v fV
1 v
f V v V v
清北学堂物理竞赛考前练习题第三套
A
B
图 2-4-15
4、有一空气平行板电容器，极板面积为 S，与电池连接，极板上充有电荷 Q0 和 Q0 ，
断开电源后，保持两板间距离不变，在极板中部占极板间的一半
体积的空间填满（相对）介电常数为 的电介质，如图 1-3-4 所
2、质量为 m 的小球随着质量也为 m 的甲车一起以速度 v0 做匀速运动。而后与质量同为 m 的乙车发生完全非弹性碰撞。不计车内轨道及水平地面的摩擦，试求：（1）求小球能上升 的最大高度；（2）小球再回到轨道最低点时对轨道的压力（已知轨道为圆弧，且半径为 r）。
3、如图 2-4-15 所示，框架是用同种金属丝制成的，单位长度的电阻为 ，一连串内接
总质量为
m
4 3
R 3
4 3
R 3 0
水
4 3
水 (3R2h
3Rh2
h3 )
①
由于 R h ，故①式可略去其中 h 的高次项面是近似写为
m 4 水 R 2 h
②
根据均匀球体表面处重力加速度的公式，可得此星球表层海洋的底面和表面处的重力加
速度分别为
g表
GM R2
g底
G(M R02
m)
依题述有 g 表 g 底 ,即
Q0
示。求：
（1）图中极板间 a 点的电场强度 Ea ？ （2）图中极板间 b 点的电场强度 Eb ？
b a
Q0
图 1-3-4
（3）图中与电介质接触的那部分正极板上的电荷 Q1 ？ （4）图中与空气接触的那部分正极板上的电荷 Q2 ？ （5）图中与正极板相接触的那部分介质界面上的极化电荷 Q1 ？
清北学堂物理竞赛模拟试题赠六
清北学堂物理竞赛模拟试题（赠六）命题人：黄洪才老师一、完成下列两小题：（1）一个半径为r 的球状金属薄膜，厚度为a ，电阻率为ρ，如图。
证明任一直径AB 两端间的等效电阻R AB 与半径r 无关。
（2）任意一个二端电阻网络，在网络中用导线连接其中的任意两个节点，网络的等效电阻如何变化？二、物理学界一个著名的问题是“最速降线问题”，就是在重力场中有两点，如何找到一条连接此两点的轨迹，使小球从最高点由静止出发到最低点所用的时间最少。
1697年，伯努利根据光学类比的方法解决了此问题。
试说明其理由。
三、如图所示，质量为M 的滑块静止在地面上，左端固定一根劲度系数为k （足够大）的轻弹簧，右端用抗断力为T 的细绳与墙壁连接。
不计所有摩擦。
今有一质量为m 的小物块以一定的初速度滑上滑块向左运动。
（1）小物块的初速度多大时，细绳能被拉断？（2）若小物块的初速度v 0已知，细绳被拉断后，滑块的最大加速度多大？最大速度多大？四、如图所示，内部横截面积S =1.70×10-2m 2的圆柱形绝热容器内，有两个用劲度系数k =1.50×104N/m 的轻弹簧相连的绝热活塞，中部有带孔的固定隔板，容器壁上有开口与大气相通，左、右两气室中装有同种理想气体，左室中有加热器。
起初时，活塞位置如图，其中l 0=10.0cm ，两气室内气体的温度均为T 0=300K ，压强均与大气压强相同，即p 0=1.00×105Pa 。
现对左室气体缓慢加热，使左室气体吸收Q =1.00×103J 的热量，该过程中弹簧长度的最大改变量l m =7.40cm 。
求两气室中气体的最终压强和温度。
活塞所受的摩擦不计，且不漏气。
第四题图 第三题图 第一题图五、四个半径均为R 的光滑圆球静置于一个水平放置的半球形碗内，四个球的球心恰在同一水平面上。
现再将一个相同的圆球放在四球之上，系统仍能平衡。
求碗的半径。
六、如图所示，单色光（偏振光）从介质Ⅰ射到介质Ⅱ的表面上，两种介质的折射率分别为n 1、n 2。
【答案】清北学堂2014年暑假物理竞赛模拟试题二
U II = U III =
（2）当 n 趋于无穷时， CI 上的电量也就是通过电源的总电量，由（10）式可知所有电 源提供的能量为
2 W = Q = C 3
各电容器储存的能量分别为
2
1 2 Q 2 2 WI = = C C 9
2
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R2 − r 2
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清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题
∴ r ≤ R 2 − (8m h) 2 = 6cm
在求解过程中，我们是假设小物块与盘面碰撞的极短时间 ∆t 内两者间始终存在相对滑动， 这就要求 vx ≤ ω r 由于 vx = 2 mm v0 = 2 2 gh = 2 × 0.1× 2 = 0.2 2m / s 而 ωr = 2π × 0.06 = 0.12π m / s 可见 vx < ω r ，则以上计算有效。
QI = Q1 + Q2 + + Qn
(2)
在第 n 次接通 oa 之前，即第 n- 1 次接通 ob 之后, CI 上的总电荷量为 Q1 + Q2 + Qn−1 ，根 据电荷守恒，此时 CII 、 CIII 上的总电荷量应为 Q1 + Q2 + Qn−1 ，因为 CII 、 CIII 并联，两
根据动量定理可得反弹后小物块 x 方向的速度 vx
2 µ v0 = I f 2= m mv0 mvx ∴ vx =
= t 小物体跳起后又落下，所经时间为 t ， ∆
2v0 2h = 2 g g
v0 2 = 8µ h g
在此期小物块沿 x 方向的位移 ∆x = vx ∆t = 2 µ
x 8µ h ≤= l 由图可知，只要满足下式关系，小物块就不会落到圆盘外 ∆=
清北学堂物理竞赛考前练习题第七套
环相对于柱是一个加速度a 为常值得匀变速运动。如果环对柱停滑前未滑脱，就可以
在柱参考系中（尽管它是一个加速参考系，但运动学关系仍成立）计算环滑行的距离 S1
S1
v2
2a
2
2 2gh
22kg
1 k
2h g
滑行所需时间 t1 为
v 2 2gh 1 2h
t1 a
2kg
k
g
这个时间可以与碰地后柱达最高点所需时间 t2 相比
七、
有 mol 的理想气体经过1 2 3 1如图习 7-2 所示的循环过程，过程1 2 和 2 3
在图中是直线段而过程 3 1可表达为 T 0.5T1(3 BV )BV ，式中 B 是未知的常数，图
中的 T 是绝对温标的温标，求气体在一个循环中所做的功。
答案解析 1、 分析与解
若喷头球面上小孔喷水的速度 v0 保持不变（由控制水压办到），则每一个孔喷出的水注将按
接入电源 E 后，设电容器 A1B1 和 B2 A2 上的电压分别为U 1 和U 2 ，则
U1 150 50 100 （V）
U2 50 (150) 200 （V）
B1 ， B2 板上的电量分别为 q1 C1U1 300C0
q2 C2U 2 600C0 因金属板 B 原不带电，所以接入电源 E 后电源 E 输给金属板 B 的电量为 Q q1 q2 300C0 9 108 （C）
取一后金属板 B ，其面积与 A1 及 A2 相同，厚度为电容器极
板间距离的三分之一，插入电容器两极板 A1 ， A2 的正中央，
如图 1-练 20 所示。 （1）取一电动势 50V 为的电源 E ，正极连金属板 B ，负极 接地。问此时由电源 E 输送到金属板 B 的总电量是多少？ （2）在上述情况下，左右平移金属板 B ，改变它在电容器两 级板间的位置，使 B 板上的电量向电源 E 回输，直到电源 E 原来输给金属板 B 的电量全部送回电源时，固定 B 的位置， 然后切断三个电源，并将 B 板从电容器中抽出。求此时电容
清北学堂物理竞赛模拟题
清北学堂全国中学生物理竞赛模拟试题180分钟320分第一题(40分)一长直气缸竖直放置于重力场中。
气缸内装有单原子分子理想气体，总分子数为N，每个分子的质量为m。
平衡态时系统温度均匀分布。
考虑玻尔茲曼分布，玻尔曼常数为k，重力加速度为g。
活塞可无摩擦地上下滑动，活塞质量引起的附加压强远大于外界大气压。
求系统的定压热容量与温度的关系。
第二题（40分)种可能的质子蜕变方式为:P→π0+e+中性介子π0立即蜕变为两个光子:π0→γ+γ已知质子、π0介子、正电子的静质量分别为m1、m2、m3，求能够获得的光子能量最值.第三题(40分)重力场中固定一根长直椭圆柱，一根轻细绳垂直于椭圆柱轴向搭在椭圆柱侧面上，用外力拉住绳子的一端在椭圆柱横截面椭圆的上顶点，另一端经过椭圆右顶点下垂并系一质量为m的重物。
绳子与椭圆柱侧面间的摩擦系数为μ，椭圆柱横截面椭圆的离心率ε远小于1。
已知重力加速度g,求外力的大小(略去二阶及以上小量)。
第四题(40分)回旋加速器中匀强磁场的磁感应强度B=1T，高频电源的频率f=7.5MHz，D形电极的半径R=1m，带电粒子束输出时的平均电流强度I=1mA．如果粒子束进入缓慢流动的冷却水并停止相对运动，试问可使水温升高多少度？设流动水的流量μ=1kg⋅s−1，水的比热c=4200J⋅kg−1⋅K−1．（保留两位有效数字）无线电真空管抽气抽到最后阶段时，还应将真空管内的金属加热再继续抽空，原因是金属表面上吸附有单原子层的气体分子。
当金属受热时，被吸附分子获得足够动能后能挣脱固体表面分子束缚而被释放出来。
设真空管的灯丝是用半径r=0.2mm、长度L=6×102mm的铂丝绕制的，而每个气体分子所占面积S0=9×10−20m2，真空管的容积V=2.5×10−5m3当灯丝加热至1000∘C时，所有被吸附的分子都从铂丝上跑出来散布到整个泡内。
如果此气体不抽出，试问由它所引起的压强是多大（帕斯卡）？第六题（40分）两个半径为R，质量为M的金属球通过一线度可略的轴承焊接在一起.求这一系统作为孤立导体对无穷远处的电容.绕长轴旋转而成的椭球导体电容．(1)平面上有一段长为2 的均匀带电直线段F1F2，取其长度方向为x轴方向，取其中O点为零点，设置Oxy坐标面(1.1)试证明Oxy面上任意一点P的电场强度方向均为∠F1PF2的角平分线方向(1.2)导出Oxy坐标面上的电场线方程(1.3)导出Oxy坐标面上的等势线方程(2)试求半长轴为 ，半短轴为 ，绕长轴旋转而成的椭球导体电容提示：依据椭圆常用性质（几何）答题第八题（40分）盖上盖的容器里装满水，水中有两个小气泡，如果这两个气泡合并，那么水中压强变化多少Δp（取绝对数值）？水中初压强为p0，水的表面张力系数为σ，每个小气泡半径为r0，合并过程是等温的.。
清北学堂第37届全国中学生物理竞赛决赛模拟试题及答案【完整版】
清北学堂第37届全国中学生物理竞赛决赛模拟试题一、如1图所示，一斜面与水平面夹角为α，其上放置以横截面为正六边形的铅笔，边长为a ，质量为M ，其长度a l >>。
铅笔棱边与水平面方向夹角为ϕ，铅笔与桌面摩擦系数足够大。
一根细绳穿过斜面与桌面上的狭缝系在铅笔的一角，如图2，另一端悬挂一质量为m 的小球。
为使铅笔既不向前滚，也不向后滚，试分析m 取值范围。
图一 图二二、一根光滑的细杆被弯成如图所示的形状，并被固定在竖直平面内，形状曲线方程为221x a y =（a 为正常数）。
杆上套有一质量为m 的小环。
（1）若小环从杆上a x 2=处静止释放，求运动到a x =处时对杆的作用力大小； （2）若杆绕y 轴以固定角速度0w 转动，问0w 为多大事，小环可在杆任意处平衡；（3）若杆绕 轴转动角速度去（2）问中的22，即022w w =，则小环从杆上的a x 2=处 由相对静止释放，求小环运动到a x =处时对杆的作用力大小。
三、如图，光滑水平面上放有一质量为M 的直角细构件ABD ，L BD BE AE 2121===，初始静止。
质量为m 的质点P 以平行于BD 方向的速度与构件的E 点相碰，碰撞时恢复系数为4.0=e ，之后质点P 又能与构件的D 点相碰，求mM 。
四、几何图形化的R 、L 网络如图所示，其中每一根直线段都代表一条相同的R 、L 串联电路，对于所取的交流角频率w ，有R wL 3= 。
（1）计算A 、B 之间的等效电抗（答案仅用R 表示）；（2）以A 为输入段，B 为输出端，为使A 、D 之间网络总功率的功率因数成为22cos =ϕ，可在每一支路上串联一个相同的电容1C 。
求最小的1C 值（答案仅用w 和R 表示）；（3）每一支路都不串联电容，但在D 点之外串联一个电容2C ，使网络AD 与2C 构成的串联组总功率的功率因数成为22cos =ϕ，求最小的2C 值（答案仅用w 和R 表示）。
2022年清北学堂第39届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题
2022年清北学堂第39届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．本题忽略重力，当0=t 时，桌面上有一质量为M ，初始高度为H ，半径恒定为R ，电荷量密度ρ，质量和密度均匀分布，杨氏模量为A 的绝缘弹性体，圆柱体底面时刻与地面相连，可绕中心无摩擦转动；全空间电磁场只考虑在z 方向上的()01cos ωE t E t =-（）， 0 )sin ωz B z t B e t γ-=（，，（1z γ<<）， 以及该磁场附加的涡旋电场；随着时间变化，圆柱体在z 方向电场力作用下，上下周期性运动，质量、电荷密度变得不均匀，并且由于电场较大可认为各处在z 方向上时时受力平衡，即拉力与电场力平衡，同时在涡旋电场力矩下开始转动，本题探究仅在该两项电场力作用足够长时间后：（1）圆柱体高度H H t =（）；（2）圆柱体绕z 轴转角可近似为()2t Ct φφ==的形式，求C 。
2．想必大家都转过硬币吧，如果没有转过也可以拿手边一元硬币试试。
我们在硬币旋转过程中可以观察到如下现象：（a ）你会发现从上面看来硬币旋转速度在变慢（b ）硬币发出响声的频率在加快这两者似乎是矛盾的，因为前面告诉我们硬币越转越慢，后者告诉我们它越转越快。
本题尝试建立模型解释这种奇妙的现象。
首先我们假定我们给硬币一个初始角动量，使硬币转起来获得较大的z 轴角动量，然后硬币掉落在摩擦系数极小的光滑桌面上，因此能量损失会较为缓慢，能作为准静态考虑。
硬币边缘对于桌面是纯滚的，旋转过程可以看作是旋转对称的。
设硬币（抽象成一个均质圆柱体）厚度为h ，半径为R ，质量为m ，请回答下列问题：（1）图中x y z ，，轴为硬币的主轴（原点在质心），求转动惯量xx yy zz I I I 、、；（2）我们考虑硬币对于桌面倾斜角为θ时的旋转。
清北学堂物理竞赛考前练习题第二套
的夹角为 ，则 a qE ①
m
t1
2 y0 a
②
v0
x0 t1
③
其中 x0 2
3l,
y0
l 。又有 tan
at1 v0
④
联立②③④式，得 30
因为 M、O、Q 点在圆周上， MOQ=90 ，所以 MQ 为直径。从图中的几何关系可
知。
R 2 3l ⑥
MO 6l ⑦
(8 分)（2）设粒子在磁场中运动的速度为v ,从 Q 到 M 点运动的时间为t2 ,
（4）若金属框运动时受到恒定的阻力 f ＝ 0.1 N 作用时，金属框的最大速度；
（5）在（4）的情况下，当金属框达到最大速度时，为维持它的运动，磁场必须提供的功率。
M
N
v
××
××
××
B1 ×B2× B1 B×2 × B1 ×B×2
××
A ××
××
P
B1 Q
参考答案： 1．12 BR2
3.2040W
为 m=20kg 的小货箱从 A 端由静止开始运送到高度为 H=10m 的 D 处。已知相邻两个小货箱的
间隔均为 0.5m，小货箱在到达 B 点之前就已经和传送带保持相对
D
静止（在 BD 部分也不打滑），现已测出每小时内共运送小货箱 7200
只。假定不计轮轴之间的摩擦，传送带始终匀速运动。电动机带
动传送带的输出功率为
（3）金属框最大运动速度为 vm= 4m/s
（2 分）
当磁场向左运动时，金属框和磁场发生相对运动，切割磁感线，产生感应电流，感应
电流受到的安培力水平向左，金属框在安培力作用下开始向左做加速运动。这样，感应电流、安培力跟着减小。当两者速度相等时，
清北学堂全国中学生物理竞赛模拟卷参考答案
⑥
故至多可布置7 长。
8
化学反应速率的统计估算 设想存在两种单原子分子气体A与B，两种分子的质量分别为m1与m2，直径分别为 d1与d2。现将其混合在一个温度为T0的恒温容器中，在均匀混合的瞬间， 、 数密度分 别为n1与n2，此时，它们开始反应生成气体 。 ( + → ) 现假设化学反应无明显的热效应，为估算化学反应的速率，取如下简化模型：假设 两分子完成有效碰撞至少需要消耗ε0的能量（仅是活化能），且有效碰撞中发生反应的概 率为p（p<1）。试估算此瞬间气体C的化学反应速率。
解答：
线框棱边电阻 = 0，底边电阻 = 2 0 ( )。采用
回路电流法解本题。 对第n条棱，其上的复电动势为
ℰ = ℰ0
ℰ0 =
= 2= 0 ①
设上下底面的复回路电流为 ，对侧面n，设其复回路电流为 = 0
2 + − −1 − +1 = ℰ − ℰ +1
②
从而，消去时间因子 ，得
，则该侧面回路内有
若①收到③的反射信号后，便立即再次向②发信号，试求③第n次 收到信号时，在①看来自发第一次信号过去了多久（∆ ），在③看来自离 开①过去了多久（∆ '）？
3）在太空中有六个人，分别记为①～⑥。设某时刻②～⑥以图 2 所 示方式于同一平面内同时离开①，若每个人看另外五个人都看到一样的 景象。试问，若已知β3，则β1,β2,θ1,θ2 为何？
13 =
1+ 1− 12
⑧
21 = 1 +
13
=
(
1+ 1−
3
)2∙
11
⑨
递推之，可得
1
=
(
1+ 1−
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(1.2)由抛物线的光学性质可知，以F F 为两焦点的双曲线，取其 中任一点 P，过 P 作双曲线的法线 MPN，则由F 到 P 的入射光线必 经过F 点，作过 P 点的切线 SPT，则∠F PF 的角平分线．若F F 均匀 带电，则 P 点场强 方向必沿 SPT 方向，即为该双曲线．据上述讨论 可知，Oxy 坐标面上的电场线即为以F F 为两焦点的双曲线（簇）， 其方程为
(1.3)由椭圆光学性质可知，同(1.2)理，椭圆即为等势线，其方程为
(2)由(1.3)可得到下述结论 以 A 为长半轴，B 为短半轴，绕长轴旋转而成的椭圆球面内，若
令两焦点连线段上均匀带电，则此椭球面必为该线电荷电场的一个等 势面．
设要讨论的椭球导体，由题解图 4 所示 Oxy 平面上长半轴为 A， 短半轴为 B 焦点为F F 的椭圆绕 x 轴旋转成．为计算电容 ，设椭球 导体带电量为 未知，但静电平衡后椭球面电视 为已知量．采用 静电镜像法，设镜像电荷总量为 均匀分布在点F F 连线上．根据前 面给出的“推论”可知，旋转椭球面确定为此镜像电荷电场的等势面．
Δt =5.6(K)
题五、题目较长，但有效信息并不多，算出溢出气体物质的量，再由 气体分压原理和理想气体状态方程即可求解，较为简单，设被释放气 体总分子数为ΔN，由此而引起真空管中气体分子数密度的变化为Δn， 所引起气体压强的变化为Δp.由于Δp=ΔnkTΔp=ΔnkT，Δn=ΔNV， ΔN=2πrLS0，故Δp=0.59Pa
Δp<0 可见水中压强减小，减小量为
Δp= (1- )
T=2πm/qB =1/f R=mv/qB
联立解得粒子输出时的速率 v= 2πfR
设粒子输出时，单位时间飞出回旋加速器的粒子数为 N，则电流强度 I=Nq
则粒子束的输出功率为 P =πIBR2f
因水流速度很小，这部分功率被单位时间流过的水所吸收，得热平衡 方程
P=πIBR2f=cμΔt 由此解得水温升高
1 x
=0
∴C=0
⑥，故 G（x）=ln（1+x）+C ⑦，而 G（0） ⑧
∴G（x）=ln（1+x） ⑨
即
（-1）k+1/k=ln2
k 1
⑩，故 Q=4πε0Ruln2 ⑪
∴C= Q =8πε0Rln2
⑫
U
题七、(1.1)用于小量分析方法可以证明（此处从略），F F 处电荷对 P 点的场强与一段半径等于 P 到F F 的距离以 P 为圆心，张角相同电荷 线密度与F F 中电荷线密度相同的带电圆弧 P 点处的场强．后者由对 称性可知，场强方向必沿角平分线方向，故本小题获证，图中设F F 带正电画出 方向
，
故 产生的 为 故
ln
ln ln ，
题八、 由于盖上盖的容器里装满水，水的体积不变，故，则大 气泡的半径
r= R 初态时小气泡内气体的压强
p1=2σ/R−p0 由于合并过程是等温的，有
故有
2⋅p1V0=p2⋅2V0
p1=p2 因此两个小气泡合并，水中压强变化
清北学堂物理竞赛模拟题参考答案
题一、由玻尔兹曼分布得： P(H)=n(H)kT=Mg/A 由此得： H= u ln(1+ ) 写出内能表达式： U= NkT- u ln(1+ ) 微分分析并由热力学第一定律可得： dQ=dU+dW= NkdT 由定义得： Cp=dQ/dT= Nk
题二、由狭义相对论能动量关系可得： Eπ=（m12+m22-m32）c2/2m1 在π0 介子静止的参考系中，两光子能动量大小为： E= m2c2 p= m2c 在实验室参考系中，当两光子和π0 介子的速度方向共线时，速度与π0 介子同向的光子能量最大，速度与π0 介子反向的光子能量最小，由洛 伦兹变换得光子能量最值: Emax= γm2c2(1+β) Emin= γm2c2(1-β)
题三、对绳子上一小段微元作受力分析，得
dT=μdN dN=Tdα
设椭圆上一点对两焦点的张角为 2β，将曲率半径取一阶近似得ρ≈p
将几何关系取一阶近似得：dl≈
dθ
联立微分方程并取一阶近似得： u≈μ（1-εcosθ）dθ
u
积分得：F≈mgeμπ/2
题四、带电粒子的质量为 m，带电量为 q．则粒子在输出前瞬时的周 期 T 和圆轨道半径 R 分别为
题六、第 k 级像电荷距离轴承的距离为：xk=R/k ①
像电荷大小为：qk=（-1）k+1q0/n ，k=2、3、4、、、 ②
设电势为 u，则：q0=4πε0Ru ③
∴总电量
Q=2q0
（-1）k+1xk/k,x∈（0,1】
④
k 1
为了求级数和，引入：G（x）=
（-1）k+1xk/k，
⑤
k 1
求导得：G(x)= 1