长期趋势预测法
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1．直线模型：
式中： ——预测变量（需求量、产量、销售量） 的理论预测值
t ——时间变量，或称时间序数 a，b ——模型参数
图形为：
2．直线模型特征 只要令t = 1，2，3，……，n，便可得到相应的 预测值和逐期增长量，见下表，其特征是预测值 的逐期增长量相同。
3．适用性：直线模型预测法适用于历史数据逐期 增长量大体相同的预测对象。
第五章 长期趋势预测法
前言
一、时间序列的构成因素和分析模型 现象在其发展变化过程中，每一时期都受到许多因素的影 响，时间序列的指标值是这些因素共同作用的结果。在分析 中，我们通常把各影响因素分别看作一种作用力，被研究现 象的时间序列则看成合力。按作用特点和影响效果将影响因 素归为4类：长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动。 （一）时间序列的构成因素
第三节 指数平滑法
指对离预测期较近的历史数据给予较大的权数，对 离预测期较远的历史数据给予较小的权数，权数由 近到远按指数规律递减。分为一次指数平滑法、二 次指数平滑法及更高次指数平滑法。 一、一次指数平滑法的模型和特点 （一）模型 一次指数平滑法是以本期（t期）的实际值（Xt） 和预测值（St）的加权平均数作为下期（t+1期） 预测值（St+1）的方法。
指数曲线模型特征分析表
由表可知指数曲线模型的特征是预测值的 环比系数相等。
3．适用性 该预测法适用于历史数据环比系数大致相同的
预测对象。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三、参数a、b的求解
四、实例应用
将参数值代入公式
二、实例
成都市龙泉驿区城镇居民家庭2007～ 2012(Y1 ～Y6)年平均每百户中档汽车购买 量如“一次指数平滑法计算表”第（2）栏 所示，试用一次指数平滑法（a分别取0.4 和0.8）计算07年～12 (Y1 ～Y6)年的理论 预测值，并预测13(Y7)年的购买量，为比 较预测效果、分别计算a的0.4和0.8时的均 方误差。
第一节 简单平均法
一、算术平均法 指把历史数据加以算术平均，并以平均数作为预测值的
方法。 模型为：
二、加权平均法
指对参加平均的历史数据给予不同的权数，并以 加权算术平均数作为预测值的方法。
该法适用于呈水平型变动的历史数据，而不适用于 趋势变动的历史数据，否则会产生较大的预测误差。
第二节 移动平均法
指以预测对象最近一组历史数据（实际值）的平均值直接 或间接地作为预测值的方法。
一、一次移动平均法的概念、特点和模型 1．概念：是直接以本期（t期）移动的平均值作为下期
（t+1）预测值的方法。 2．特点： 1）预测值是离预测期最近的一组历史数据（实际值）
平均的结果。 2）参加平均的历史数据的个数（即跨越期数）是固定
（2）如果将来趋势的估计主要依靠近期信息， a宜选 择得大一些；如果希望充分重视历史信息， a宜选择得 小一些。
（3）看对初始值的重视程度，如果对初始值的正确性 把握不大，希望减小初始值的影响，则a值宜大些；反 之，对初始值的正确性把握性较大，希望突出初始值的 影响，则a值宜小些。
（4）通常可选取几种不同的a数值进行比较，最后选择 使实际值和估计值均方差最小的a值。
三、参数a，b，c的求解方法或模型（最小平 方法 令∑t=0）
四、实例应用
解程序如下：
将参数值代入公式
第六节 指数曲线模型预测法
一、概念：是根据预测对象具有指数曲线变动 趋势的历史数据，拟合成一条指数曲线，通过 建立指数曲线模型进行预测的方法。
二、模型、特征、适用性
1．模型：
图形为：
2．特征：令t = 1，2，3，……，n，便可得 到相应的预测值和环比系数（即逐期增长 率）见下表：
不变的。 3）参加平均的一组历史数据是随预测期的向前推进而
不断更新的，每当吸收一个新的历史数据参加平均的同时， 就剔除原来一组历史数据中离预测期最远的那个历史数据， 因而具有“移动”的特点。
4）较好地适应水平型历史数据预测，而不适应斜坡型 历史数据的预测。
二、一次移动平均法的应用和n的确定 （一）应用例子
（二）特点
1．调整预测值的能力 2．预测值中包含的信息量比一次移动平均法预测值 中丰富得多。
3．加权特点
平滑系数a的选择需要考虑以下几个方面：
（1） a值越小，对序列的平滑作用越强，对时间序列 的变化反映越慢，因而序列中随机波动较大时，为了消 除随机波动的影响，可选择较小的a，使序列较少受随 机波动的影响； a值越大，对序列的平滑作用越弱，对 时间序列的变化反映越快，因而为了反映出序列的变动 状况，可选择较大的a，使数据的变化很快反映出来。
平均绝对误差为：
(34.53+21.88+33.50+0.43+5.87)/5=19.24
第四节 直线模型预测法
一、概念：是根据预测对象具有线性变动趋势的历史数据， 拟合成一条直线，通过建立直线模型进行预测的方法，它 是长期趋势预测法的基本方法，也是预测实践中最常用的 方法。 二、模型、特征和适用性
这样使
t
y 0，即上述方程组可简化为：
ty
Na
b
t
2
由联立方程也可直接推 导出：
b
n ty t y n t 2 ( t)2
ty t2
a
y bt
y
n
b
t
n
y
n
( t 0)
例：某企业Y2～Y6年出口某商品到德慕尼黑销售情况如下 表所示，试用最小平方法求参数并预测Y7、Y8年销售额。
三、参数的求解方法
最小平方法: 用高等数学求偏导数方 法，得到以下联立方程组：
y Na b t
ty a t b t 2
为使计算方便，可设t:
奇数项：, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,
偶数项：, 5, 3, 1,1, 3, 5,
3、是移动平均法的高级形式，能克服一次移动法的 不足，提高预测效果。
四、二次移动平均法的模型及其应用
（二）二次移动平均法的应用
例：我国Y1～Y10年出口某商品到德巴伐 利亚州的销售量为下表（2）栏所示，试用 二次移动平均法（n取3）计算Y6～Y10年 销量的理论预测值，并预测Y11年的销量。
比较一下表中第（8）栏的预测值与第 （2）栏实际值的差别，Y6～Y10年5年的 均方误差仅为7.48，这说明对于斜坡型历 史数据，用二次移动平均法进行预测远比 一次移动平均法精确。
三、二次移动平均法及其基本原理
1、含义：指对一次移动平均值再进行移动平均，并 根据实际值、一次移动平均值、二次移动平均值之 间的滞后关系，建立预测模型进行预测的方法。
2、基本思想：根据历史数据、一次移动平均数和二 次移动平均数三者之间的滞后关系，可以先求出一 次移动平均数和二次移动平均数之间的差值，然后 将此差值加到一次移动平均数上去，再考虑趋势变 动值，就能得到比较接近实际的预测值，这就是二 次移动平均数的基本思想。
Y=T×S×I Y=T+S+I 分解分析的步骤如下： （1）分析和测定现象变动的长期趋势，求趋势值T。 （2）对时间序列进行调整，也即减去或除以T，得出不包含趋 势变动的时间序列资料，即： Y/T=（T×S×I）/T=S×I
Y-T=（T+S+I）-T=S+I
（3）消除随机变动的影响，得出季节变动测定值S。
三、二次指数平滑法
（一）一次指数平滑法的局限性
下表 “汽油支出”表中数据说明，一次指数平滑法只适用于 水平型历史数据的预测，而不适用于呈斜坡性趋势历史数据的 预测。
（三）二次指数平滑法的应用 例：以上述老师到校上课开车汽油费用支出的数 据，用二次指数平滑法（a取0.8）计算历年的理 论预测值和Y7年的预测值，并计算平均绝对误差。
t=7 ，则Y7年的预测值为：
Y7=132.94+13.14×7=224.92 （万马克） 令t=8，则Y8年预测值为：
Y8=132.94+13.14×9=251.20 （万马克）
第五节 二次曲线模型预测法
一、概念：亦称抛物线模型预测法。是根据 预测对象具有二次曲线（抛物线）变动趋 势的历史数据，拟合成一条二次曲线，通 过建立二次曲线模型进行预测的方法。
（二）移动期数n的确定
下表中，是我国滇红（工夫茶）对俄哈巴罗夫斯克拼配 厂销量的一组水平型历史数据
移动期数n的确定
1、在历史数据较多的情况下，n的取值 可大些，因为n越大，对时间序列修匀的效 果越好，预测误差就越小。
2、若历史数据有周期变动趋势，则以 周期为长度。例，季度资料可四项移动平 均；各年月资料，可十二项移动平均；五 年一周期，可五项移动平均。移动平均法 可消除周期变动。
2、加法模型: Y=T+S+C＋I
均为绝对数，与Y的计量单位相同。 实际中应用较多的是乘法模型。 （三）时间序列的分解分析
时间序列的分解就是按照时间序列的分析模型， 测定出各种变动形态的具体数值。下面以时间序 列的两种常态现象为例予以说明。
1、仅包含趋势变动和随机变动。 Y=T×I Y=T+I
此时，分解分析的主要任务是消除随机变动，或者说是对 时间序列进行修匀，以显示现象在较长时间内发展变动的基 本形态和各期数值表现。 2、包含趋势变动、季节变动和随机变动。
二、模型、特征及适用性 1．二次曲线模型：
图形为：
2．特征：令t = 1，2，3……n，便可以得到 相应的值，进而计算一级增长量（逐期增 长量），和二级增长量（即一级增长量的 增量）。
二次曲线模型特征分析表
结论：二次曲线特征为二级增量相等（2c）。
3．适用性。适用历史数据二级增长量 大致相同的预测对象。
1．长期趋势（T表示） 2．季节变动（S表示） 3．循环变动（C表示） 4．不规则变动（I表示） （二）时间序列的分析模型 时间序列是上述四种变动的叠加组合，时间序列分析中对 这四类变动的构成形式提出了两种假设模型。
1、乘法模型: Y=T×S×C×I
式中：T为绝对数，与历史数据Y的计量单位相同， S、C、I为相对数，分别表示季节变动、循环变动、 不规则变动系数，一般以百分比表示。
式中： ——预测变量（需求量、产量、销售量） 的理论预测值
t ——时间变量，或称时间序数 a，b ——模型参数
图形为：
2．直线模型特征 只要令t = 1，2，3，……，n，便可得到相应的 预测值和逐期增长量，见下表，其特征是预测值 的逐期增长量相同。
3．适用性：直线模型预测法适用于历史数据逐期 增长量大体相同的预测对象。
第五章 长期趋势预测法
前言
一、时间序列的构成因素和分析模型 现象在其发展变化过程中，每一时期都受到许多因素的影 响，时间序列的指标值是这些因素共同作用的结果。在分析 中，我们通常把各影响因素分别看作一种作用力，被研究现 象的时间序列则看成合力。按作用特点和影响效果将影响因 素归为4类：长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动。 （一）时间序列的构成因素
第三节 指数平滑法
指对离预测期较近的历史数据给予较大的权数，对 离预测期较远的历史数据给予较小的权数，权数由 近到远按指数规律递减。分为一次指数平滑法、二 次指数平滑法及更高次指数平滑法。 一、一次指数平滑法的模型和特点 （一）模型 一次指数平滑法是以本期（t期）的实际值（Xt） 和预测值（St）的加权平均数作为下期（t+1期） 预测值（St+1）的方法。
指数曲线模型特征分析表
由表可知指数曲线模型的特征是预测值的 环比系数相等。
3．适用性 该预测法适用于历史数据环比系数大致相同的
预测对象。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三、参数a、b的求解
四、实例应用
将参数值代入公式
二、实例
成都市龙泉驿区城镇居民家庭2007～ 2012(Y1 ～Y6)年平均每百户中档汽车购买 量如“一次指数平滑法计算表”第（2）栏 所示，试用一次指数平滑法（a分别取0.4 和0.8）计算07年～12 (Y1 ～Y6)年的理论 预测值，并预测13(Y7)年的购买量，为比 较预测效果、分别计算a的0.4和0.8时的均 方误差。
第一节 简单平均法
一、算术平均法 指把历史数据加以算术平均，并以平均数作为预测值的
方法。 模型为：
二、加权平均法
指对参加平均的历史数据给予不同的权数，并以 加权算术平均数作为预测值的方法。
该法适用于呈水平型变动的历史数据，而不适用于 趋势变动的历史数据，否则会产生较大的预测误差。
第二节 移动平均法
指以预测对象最近一组历史数据（实际值）的平均值直接 或间接地作为预测值的方法。
一、一次移动平均法的概念、特点和模型 1．概念：是直接以本期（t期）移动的平均值作为下期
（t+1）预测值的方法。 2．特点： 1）预测值是离预测期最近的一组历史数据（实际值）
平均的结果。 2）参加平均的历史数据的个数（即跨越期数）是固定
（2）如果将来趋势的估计主要依靠近期信息， a宜选 择得大一些；如果希望充分重视历史信息， a宜选择得 小一些。
（3）看对初始值的重视程度，如果对初始值的正确性 把握不大，希望减小初始值的影响，则a值宜大些；反 之，对初始值的正确性把握性较大，希望突出初始值的 影响，则a值宜小些。
（4）通常可选取几种不同的a数值进行比较，最后选择 使实际值和估计值均方差最小的a值。
三、参数a，b，c的求解方法或模型（最小平 方法 令∑t=0）
四、实例应用
解程序如下：
将参数值代入公式
第六节 指数曲线模型预测法
一、概念：是根据预测对象具有指数曲线变动 趋势的历史数据，拟合成一条指数曲线，通过 建立指数曲线模型进行预测的方法。
二、模型、特征、适用性
1．模型：
图形为：
2．特征：令t = 1，2，3，……，n，便可得 到相应的预测值和环比系数（即逐期增长 率）见下表：
不变的。 3）参加平均的一组历史数据是随预测期的向前推进而
不断更新的，每当吸收一个新的历史数据参加平均的同时， 就剔除原来一组历史数据中离预测期最远的那个历史数据， 因而具有“移动”的特点。
4）较好地适应水平型历史数据预测，而不适应斜坡型 历史数据的预测。
二、一次移动平均法的应用和n的确定 （一）应用例子
（二）特点
1．调整预测值的能力 2．预测值中包含的信息量比一次移动平均法预测值 中丰富得多。
3．加权特点
平滑系数a的选择需要考虑以下几个方面：
（1） a值越小，对序列的平滑作用越强，对时间序列 的变化反映越慢，因而序列中随机波动较大时，为了消 除随机波动的影响，可选择较小的a，使序列较少受随 机波动的影响； a值越大，对序列的平滑作用越弱，对 时间序列的变化反映越快，因而为了反映出序列的变动 状况，可选择较大的a，使数据的变化很快反映出来。
平均绝对误差为：
(34.53+21.88+33.50+0.43+5.87)/5=19.24
第四节 直线模型预测法
一、概念：是根据预测对象具有线性变动趋势的历史数据， 拟合成一条直线，通过建立直线模型进行预测的方法，它 是长期趋势预测法的基本方法，也是预测实践中最常用的 方法。 二、模型、特征和适用性
这样使
t
y 0，即上述方程组可简化为：
ty
Na
b
t
2
由联立方程也可直接推 导出：
b
n ty t y n t 2 ( t)2
ty t2
a
y bt
y
n
b
t
n
y
n
( t 0)
例：某企业Y2～Y6年出口某商品到德慕尼黑销售情况如下 表所示，试用最小平方法求参数并预测Y7、Y8年销售额。
三、参数的求解方法
最小平方法: 用高等数学求偏导数方 法，得到以下联立方程组：
y Na b t
ty a t b t 2
为使计算方便，可设t:
奇数项：, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,
偶数项：, 5, 3, 1,1, 3, 5,
3、是移动平均法的高级形式，能克服一次移动法的 不足，提高预测效果。
四、二次移动平均法的模型及其应用
（二）二次移动平均法的应用
例：我国Y1～Y10年出口某商品到德巴伐 利亚州的销售量为下表（2）栏所示，试用 二次移动平均法（n取3）计算Y6～Y10年 销量的理论预测值，并预测Y11年的销量。
比较一下表中第（8）栏的预测值与第 （2）栏实际值的差别，Y6～Y10年5年的 均方误差仅为7.48，这说明对于斜坡型历 史数据，用二次移动平均法进行预测远比 一次移动平均法精确。
三、二次移动平均法及其基本原理
1、含义：指对一次移动平均值再进行移动平均，并 根据实际值、一次移动平均值、二次移动平均值之 间的滞后关系，建立预测模型进行预测的方法。
2、基本思想：根据历史数据、一次移动平均数和二 次移动平均数三者之间的滞后关系，可以先求出一 次移动平均数和二次移动平均数之间的差值，然后 将此差值加到一次移动平均数上去，再考虑趋势变 动值，就能得到比较接近实际的预测值，这就是二 次移动平均数的基本思想。
Y=T×S×I Y=T+S+I 分解分析的步骤如下： （1）分析和测定现象变动的长期趋势，求趋势值T。 （2）对时间序列进行调整，也即减去或除以T，得出不包含趋 势变动的时间序列资料，即： Y/T=（T×S×I）/T=S×I
Y-T=（T+S+I）-T=S+I
（3）消除随机变动的影响，得出季节变动测定值S。
三、二次指数平滑法
（一）一次指数平滑法的局限性
下表 “汽油支出”表中数据说明，一次指数平滑法只适用于 水平型历史数据的预测，而不适用于呈斜坡性趋势历史数据的 预测。
（三）二次指数平滑法的应用 例：以上述老师到校上课开车汽油费用支出的数 据，用二次指数平滑法（a取0.8）计算历年的理 论预测值和Y7年的预测值，并计算平均绝对误差。
t=7 ，则Y7年的预测值为：
Y7=132.94+13.14×7=224.92 （万马克） 令t=8，则Y8年预测值为：
Y8=132.94+13.14×9=251.20 （万马克）
第五节 二次曲线模型预测法
一、概念：亦称抛物线模型预测法。是根据 预测对象具有二次曲线（抛物线）变动趋 势的历史数据，拟合成一条二次曲线，通 过建立二次曲线模型进行预测的方法。
（二）移动期数n的确定
下表中，是我国滇红（工夫茶）对俄哈巴罗夫斯克拼配 厂销量的一组水平型历史数据
移动期数n的确定
1、在历史数据较多的情况下，n的取值 可大些，因为n越大，对时间序列修匀的效 果越好，预测误差就越小。
2、若历史数据有周期变动趋势，则以 周期为长度。例，季度资料可四项移动平 均；各年月资料，可十二项移动平均；五 年一周期，可五项移动平均。移动平均法 可消除周期变动。
2、加法模型: Y=T+S+C＋I
均为绝对数，与Y的计量单位相同。 实际中应用较多的是乘法模型。 （三）时间序列的分解分析
时间序列的分解就是按照时间序列的分析模型， 测定出各种变动形态的具体数值。下面以时间序 列的两种常态现象为例予以说明。
1、仅包含趋势变动和随机变动。 Y=T×I Y=T+I
此时，分解分析的主要任务是消除随机变动，或者说是对 时间序列进行修匀，以显示现象在较长时间内发展变动的基 本形态和各期数值表现。 2、包含趋势变动、季节变动和随机变动。
二、模型、特征及适用性 1．二次曲线模型：
图形为：
2．特征：令t = 1，2，3……n，便可以得到 相应的值，进而计算一级增长量（逐期增 长量），和二级增长量（即一级增长量的 增量）。
二次曲线模型特征分析表
结论：二次曲线特征为二级增量相等（2c）。
3．适用性。适用历史数据二级增长量 大致相同的预测对象。
1．长期趋势（T表示） 2．季节变动（S表示） 3．循环变动（C表示） 4．不规则变动（I表示） （二）时间序列的分析模型 时间序列是上述四种变动的叠加组合，时间序列分析中对 这四类变动的构成形式提出了两种假设模型。
1、乘法模型: Y=T×S×C×I
式中：T为绝对数，与历史数据Y的计量单位相同， S、C、I为相对数，分别表示季节变动、循环变动、 不规则变动系数，一般以百分比表示。