球杆系统的模糊PID控制
球杆系统的模糊PID 控制
先进控制控制技术，又称“先控”技术，或简称“APC ”，已逐步被工业生产过程控制界所熟悉，并且正在迅速推广应用，同时也受到自动控制理论界的严重关注，并成为自动控制理论研究的热点。本学期学了先进控制技术及应用这门课，学到很多关于现代先进控制的知识，如软测量、内模控制等的控制知识。另外课本还介绍了模糊控制和神经控制等内容，现在运用所学知识，以球杆系统为研究对象，用拉格朗日方程建立其数学模型，利用模糊控制PID 的方法设计系统的控制器。无论小球在棒的什么位置, 杆的角度如何, 该控制方法都能使小球稳定在杆的中心位置。
一、系统建模
由刚性球和连杆臂构成的球杆系统。如图1
图 1 球杆系统结构图
当小球转动时, 球的移动和杆的转动构成复合运动。一般用牛顿力学定律建立系统的运动方程是力的平衡方程, 用来分析由多个坐标系描述的运动方程是非常困难的。拉格朗日动力学方程则是能量的平衡方程, 它更适合于分析相互约束下的多个连杆的运动。因此，通过拉氏方程建立球杆的运动方程。拉格朗日方程如下：
k
.,2,1)()( =+??-
??-=
??-
???
?
j t u q R
q R q T q T
dt d j
j
j
j （1）
为简化建模过程，假设系统阻尼为零，因此
?
??j
q R
项为零，式中T 为动能，V
为势能，R 为能量耗散函数，u(t)为作用于系统的外力向量。
运用所学物理知识，对上述系统进行分析，可得数学模型为：
????
????
?+++--=-+=?
?
???
?τθθθθl l b
J mr J mr mgr r mr g r R J m m r 2
22
21cos 2)sin ( （2）
二、系统的线性化
对拉格朗日方程建立的系统运动方程来说，通常为非线性的方程，若系统的运动方程可以线性化，那么就可以用线性系统理论来分析平衡点的稳定性，如果在平衡点附近的小偏差范围内，忽略各高次方而得到一个与微小偏差成线性的关 系式则称为线性化。如果要研究该系统在平衡点的稳定性，可以采用微小偏移 下的线性化方程，但这并不是指在上式的基础上进行线性化，而是应该在动能
T 上进行线性化处理。具体来说，对动能T 的表达式进行线性化处理，式中.
22
θmr 的系数2mr 是与工作点r 有关，假设是要分析o r r =处的稳定性，那么系数就为
2
o mr ，故可列写线性化方程时就认为是常数系数与广义坐标的微小偏差无关，这
时拉格朗日的方程中的有关导数项就.
.,θr 消失了，考虑到研究微小偏差下的性能，可以取θθ=sin ，1cos =θ，得到最终线性化方程为：
????
?
???
?
+++-=-+=?
??
?τθθl l b
J mr J mr mgr g R J m m r 2
221
)( （3）
这一组线性化方程将球系统的特点描绘得非常清楚，第一个表示转动θ角引起的重力加速度分量使球沿杆运动，第二个则说明球处于不同位置产生的力矩与外力矩使杆偏转，杆和球在一起的转动惯量是l J mr +2，随球在杆上的位置而变，而球位置的影响是正反馈。可见线性化处理过程比较直观、简单，处理结果的物理概念也非常清晰。
三、球杆系统有模糊PID 控制
PID 控制，即比例、积分、微分控制，又称PID 调节。是实际工程中，应用最为广泛的调节器。它既可以依靠数学模型通过解析的方法进行设计，也可以不
依靠模型而凭借试凑的方法来确定，在模糊控制中，通常采用误差和误差导数作为模糊控制的输入量，因而它本质上相当于一种非线性PD 控制，为了消除稳态误差，需加入积分作用。
理论分析和实验表明，只利用模糊控制器进行系统控制，往往不能满足控制对象的性能指标，因此一个完整的模糊控制系统还需要某种传统的控制器，通常采用PID 控制器来进行补充，采取模糊控制器的输出值对PID 控制器的参数整定。
图1 模糊PID 控制器结构
控制品质的好坏很大程度上取决于Kp 的选择，Kp 增大能减小稳态误差，从而提高控制精度和响应速度，但过大会产生较大超调，甚至导致系统不稳定;而Kp 过小会造成系统响应速度减慢，精度降低。因此，在调节的初期，可以把KP 调大，从而提高响应速度，调节的中期，适当调大Kp 以兼顾速度和精度，在后期使用较大的Kp 来提高控制，减小静差。
Kp
控制规则
积分环节主要用于消除控制静差，但在调节初期，Ki 会产生积分饱和，从而
引起调解过程的过大超调。因此在调节初期，积分环节应适当减小，防止出现较大超调;调节中期积分环节应当适中，避免影响系统稳定性;后期应适当增强积分作用，减小静差，提高精度。
?控制规则
Ki
微分环节主要针对大惯性环节引入的，Kd的选取对调节动态性能有较大影响。Kd值过大时，调节制动会提前进行，从而延长调节时间，而过小会造成调节过程制动落后，从而导致超调过大。因此，在调节初期，应增大微分环节，这样可以减小超调;在调节中期，由于Kd变化比较敏感，应当减小微分环节作用，并保持不变;在后期应减小微分环节，以补偿初期制动所造成的调节时间延长。
?控制规则
Kd
从此论文的仿真中可以看出，如果选择合适的沦域和参数，模糊PID控制器能够达到较好的控制效果，对传统的PID控制器有了更大的改进，超调量有较大的减少，稳定时间较短，即使对于球杆系统这种非线性的模型也能达到好的控制。
但是，对于存在干扰时的情况难以彻底解决。而在实际系统中是存在噪声的，
模糊控制器跟常规的PID控制器一样，由于其负反馈的作用，对于控制噪声的抑制效果较好，而对于输入或者测量时的噪声，只能依靠负反馈的作用进行一定的抵消，而难以消除，同时，因为这些噪声信号会跟原来的输入或者输出信号一起进入微分环节，放大后会使控制信号失真:另一方面，被控对象是非线性系统，如果使用线性组合后得到的控制信号，也会对控制结果产生影响，通过仿真结果也能看出，其根本难以消除这些误差，即使最终达到稳态，仍然有5%左右的误差。
因此，针对球杆系统非线性特点，采用模糊PID控制器直接对非线性的模型进行控制仿真，这样可以有效避兔在线性化过程中造成的误差和对控制系统的控制过程和结果产生的影响，但由于其PID结构仍是采用线性组合的形式，因此不能最终解决非线性的问题。此外，当系统的输入发生突变，即突然的改变小球的目标位置时，会因为突然产生一个较大的微分信号使输出的幅值变大，导致超调量增大，即使能够回到平衡位置，所需要的时间也较长。