大学普通物理力学一习题

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解答7
(1) (2)
解：如图(1)所示，dt时间内，绳子缩短量 dl，与船行距离dx的关系为：
dl=dxcosθ; 两边同时除以dt，得：
v=v0/cosθ
如图（2）所示，加速度a水平向左，将
加速度分解为径向分量ar和横向分量aθ,则： ar=acosθ
又
ar
a0
v2 l
, v
v sin ,l
h
s in
可得： ar
a0
v02 h
sin3 cos2
,a
a0
cos
v02 h
tan3
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习题8
▪ 一质点初速度v0作直线运动，所受阻力与速度成正比，试求当 质点速度为v0/n时，质点经过的距离与质点所能行经的总距离 之比。
解：设t时刻质点的加速度为： a dv kv
dt
vx0
x
t 0
axdt
A 2
t
costdt,
0
得，vx A sin t,
又,
x
dx
x0
t
0 vxdt A
t
sin tdt
0
得，x Acost
同理，可得： y=Bsinωt,
两式联立，消去t，得轨道方程：
x2 A2
y2 B2
1
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习题7
▪ 如图所示，岸高h，人用绳拉船靠岸，与水面夹角θ时，人向左 的速度为v0，加速度为a0，试求此时船左行的速度v与加速度a。
解：在地面系S中，圆心的速度与加速度分别为：
v0 dl R d Ri, a0 dv R i
dt dt
dt
在随圆心平动的S'中，圆环在S'中绕环心以β作匀加速转动，对最高点：
'
a上
R i
R 2
j, a上
'
a上
a0
2R i
R 2
j
a上 （2R）2 (2R)2
'
同理，对最低点，a下
R i
R 2
则：dv kdt,积分得：ln v kt C v
代入初值条件：v v0ekt
质点运动距离：x t vdt v0 ekt C
0
k
代入初值条件（t 0, x 0）, x
v0 k
1 ekt
,当t 时，xmax
v0 k
设t1时刻，v1
v0 n
,则 v1 v0
ekt
t1
ln n k
质点运动学
描述运动？
参考系
位移、速度、加速度、轨迹
直线运动：匀速、匀加速、变加速
运动分类 二维坐标系
曲线运动：抛体运动、圆周运动等
x 直角坐标系（ ，y）
自极然坐坐标标系系（e（r，e，）n）
运动的相对性
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习题1
▪ 一质点以初速度vo与水平面成θo角抛出，重力加速度为g，求：
- （1）质点达到最高点的时间和最大高度 - （2）质点在水平面上的最大射程 - （3）任一时刻的切向、法向加速度 - （4）轨道最高点的曲率半径
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解答1
（1） h v02 sin 2 0
2g
（2）
xmax
v02
sin g
20
（3）任一时刻的切向加速度和法向加
速度分别为：
a
g sin
g
vy v
g
v0 sin0 gt
v0 cos0 2 v0 sin0 gt2
an
g cos
g
vx v
g
v0 cos0
v0 cos0 2 v0 sin0 gt2
vr
dr dt
0, v
r d
dt
2 A(
)
a
2 dr d
dt dt
r
d 2
dt 2
0, a心 a r
d 2r dt 2
r d
dt
2
代入得：
a心 3 A 2
v2 4 A
a心 3
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习题5
▪ 刚性的圆环t=0时刻从静止开始做角加速度为β的纯滚动，求任 意t时刻环上最高点加速度a上与最低点的加速度a下的比值。
j, a下
'
a下
a0
R 2
j
a下 R2 2t 2R
所以，
a上：a下
4 2t 4 t 2
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习题6
▪ 质点在xy平面运动，t=0时刻，x0=A,y0=0，vx0=0,vy0=Bω,任意 时刻t，ax=-Aω2cosωt,ay=-Bω2sinωt,求质点运动轨道。
解：
dv vx
,所以
x1 xm ax
1
1 n
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习题9
▪ 长为L的均匀弹性绳AB自由伸直放在水平桌面上，绳的A端固 定。t=0时，一蚂蚁开始从A端出发以相对绳的匀速u在绳上朝 B端爬去，同时绳的B端以匀速度v沿绳伸长方向运动，试求蚂 蚁爬到B端的时间T。
解：在原长的绳子上建立从A到B的坐标，A端xA=0,B端XB=L。 设t时刻蚂蚁坐标为x，此时绳长为L+vt，即xB=L对应L+vt，绳中 x坐标对应于真实长度x'=(1+vt/L)x,dt时间内，蚂蚁相对真实长度
的位移量为dx'=udt,所以：
dx
L
dx'
L
udt
L vt L vt
积分 T dt L dx
0 1 vt/ L 0 u
得T L (ev u 1) v
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作业题选讲
▪ 书上1-13
▪ 以斜面和斜面法向两方向建 立坐标系，则： v0 2gh 2m / s
（4）轨道最高点的曲率半径ρ为：
v2 v02 cos2 0
an
g
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习题2
▪ 一物体沿x轴作直线运动，其加速度a=-kv2，k是常数，t=0时， v=v0，x=0.求：
- （1）速率随坐标的变化规律
- （2）坐标和速率随时间变化规律
解：
(1)因为：a dv dv dx v dv kv2 dt dx dt dx
所以：v
dv k
x
dx
v v0
0
得：ln
v v0
kx, v
v0ekx
(2.1)因为：a dv kv2
dt
所以：v dv k
t
dt
v v0 2
0
得：v v0 v0kt 1
(2.2)又因为：v dx dt
所以：x dx
t
t
vdt
v0
dt
0
0
0 v0k t 1
得：x
1 k
x)
v0
dx dt
又 H h x x x'
x' hx H h
dx' hv0 dt H h
所以v
v0
hv0 H h
4
▪ 极坐标系中方程r=A(1-cosθ)，对应一条心脏线，求心底P处曲 率半径ρ。 解：设质点以θ=ωt方式沿心脏线运动，则：
r A(1 cost), t
ln v0kt 1
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习题3
▪ 路灯离地面高度为H，一个身高h的人，在灯下水平路面上以匀 速v0步行。如图，求当人与灯的水平距离为x时，他头顶在地面 的影子移动速度的大小。
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解答3
解：建立如图所示坐标系，t时刻头 顶影子的坐标为x+x',设头顶影子的 速度为v，则：
v
d(x dt