(信息学奥赛辅导)排列与组合基础知识

排列与组合基础知识

有关排列与组合的基本理论和公式：

加法原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类中办

法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同方法。那么完成这件事共有N

＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法，这一原理叫做加法原理。

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种

不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1×m 2×…×m n

种不同的方法，这一原理叫做乘法原理。

公式：阶乘公式!(1)(2)

321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅，规定0！＝1；

全排列公式!n n P n = 选排列公式!(1)(2)(1)()!

m n n P n n n n m n m =---+=-、m m m n n m P C P = 圆排列：n 个不同元素不分首位围成一个圆圈达到圆排列，则排列数为：

!(1)!n n n =- 组合数公式(1)(2)(1)!!!()!

m m

n n m m P n n n n m n C P m m n m ---+===-、规定01n C = m n m n n C C -=、11m m m n n n C C C -+=+、0122n n n n n n C C C C ++++=）

提示：（1）全排列问题和选排列问题，都可根据乘法原理推导出来。

（2）书写方式：r n P 记为P （n,r ）；r

n C 记为C （n,r ）。

加法原理例题：图1中从A 点走到B 点共有多少种方法？（答案：4＋2＋3＝9）

乘法原理例题：图2中从A 点走到B 点共有多少种方法？（答案：4×6＝24）

加法原理与乘法原理综合：图3、图4中从A 走到B 共有多少种方法？（答案：28、42） A B 图1 A B

图2

A

B

图3 A

B

图4

注意：在信息学奥赛中，有许多只需计数而不需具体方案的问题，都可以通过思维转换或方法转换，最后变为两类问题：一类是转变为排列组合问题，另一类是转变为递推公式问题。因此对于加法原理、乘法原理、排列、组合等知识，需要非常熟练，以达到简化问题的目的。对于转变为递推公式的问题，我们将在后续专题中另行讲解。

加法原理、乘法原理、排列、组合例题：

1.（1）用数字0、1、2、3能组成多少个三位数？（2）要求数字不能重复，又能组成多少个三位数？

（提示：（1）先确定百位数，只能是1、2、3之间的数字；再确定十位数，可以为0、1、2、3任何一个；最后确定个位数，可以为0、1、2、3任何一个。根据乘法原理，共有3×4×4＝48个。

（2）同理，先确定百位数、再确定十位数、最后确定个位数，根据乘法原理，共有3×3×2个）2.国际会议洽谈贸易，有5家英国公司，6家日本公司，8家中国公司，彼此都希望与异国的每个公

司单独洽谈一次，问需要安排多少个会谈场次？

（提示：共分为中英、中日、英日会谈三类，对于中英会谈，先选定中方公司有8种选法，在选定英方公司有5种选法，故根据乘法原理有5×8：同理中日8×6；英日5×6；总的会谈：118）3.有编号为1、2、3、4、5的五本书需要摆放在书架上，问有多少种不同的摆放方案数。

（提示：此题为全排列，故摆放方案总数为P(5,5)=5!=120种。也可以按乘法原理思考，即摆放第一本书有5种选择，摆放第二本数有4种选择，……，最后结果为5×4×3×2×1即5！）

4.有编号为1、2、3、4、5的五本书需要任选3本书摆放在书架上，问有多少种不同方案。

（提示：可根据选排列公式计算，总数为P(5,3)。也可以根据乘法原理计算，答案为5×4×3＝60）5.有编号为1、2、3、4、5的五本书需要任选3本书，问有多少种方法。

（提示：此题为组合问题，答案为3

5543

3!

C

⨯⨯

=＝10）

6.五种不同颜色的珠子串成一圈项链，问有多少种不同的方法。

（提示：此题属于圆排列问题，答案为（5－1）！＝24）

7.把两个红色球、两个蓝色球、三个黄色球摆放在球架上，问有多少种方案。

（提示：此题为排列问题。摆放方案总数为（2＋2＋3）！种，但是两个红球一样，所以要除以2！，

同理两个蓝球，除以2！，三个黄球，除以3！，即摆放方案总数为(223)!

210 2!2!3!

++

=

⨯⨯

）

8.有男女各5人，其中3对是夫妻，他们坐成一排，若每对夫妻必须相邻而坐，问有多少种方法？

（提示：因为3对夫妻必须相邻而坐，因此可以将每对夫妻看为一个整体进行排列，这样排列总数为（7!）种方法，又因为每对夫妻可以可以左右调换位置，因此总的方案为（7！×2×2×2））9.（1）把3个相同的球放到4个不同颜色的盒子中去，问有多少种方法？

（2）把4个相同的球放到3个不同颜色的盒子中去，问有多少种方法？

（3）推广开来，把R个相同的球放到N个不同颜色的盒子中去，问有多少种方法？

（提示：这是允许重复组合的典型模型。）

（解答（1）：3个球放入4个不同颜色盒子的分法共有3、0、0、0；1、2、0、0；1、1、1、0三

类；对于第一类3、0、0、0的方法，共有44P 种方法，但是有3个0是一样的，所以应该除以3

3P ，

即第一类分法的方法数为4343/P P 种，同理，第二种分法的方法数为4242/P P ，第三种分法的方法

数为4343/P P ，所以总共的方法数为（4343/P P ＋4242/P P ＋4343/P P ）种。 解答（2）自行求解。

解答（3）：这一类问题，我们称为重复组合问题，其求解公式为C （n+r-1,r ）。请记住该公式即可。） 排列组合练习习题：

1. 有5本日文书、7本英文书、10本中文书。问（1）从中任取2本书有多少种方案？（2）从中取2

本相同文字的书有多少种方案？（3）从中取2本不同文字的书有多少种方案？

（提示：此题为组合问题。答案分别为：25710C ++、2225710C C C ++、222257105710()C C C C ++-++）

2. 把八个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃（即在任何一行、任何一列

都只有一个“车”），那么称八个“车”处于一个安全状态。问共有多少种不同的安全状态？

（提示：乘法原理。先在第一行放置一个“车”，有8种选法，再在第二行放置一个“车”，还有7种选法，同理……，总共有8×7×…×2×1，即8！种不同的安全状态。）

3. 从1～300之间任取3个不同的数，使得这3个数的和正好被3除尽，问有多少种方案？

（提示：1～300之间的数被3除的余数共有三类，分别是余数为0、余数为1、余数为2，每类各100个数。任取3个数且这3个数相加的和正好被3除尽的情况只能是以下四种情况之一：余数为0＋1＋2；0＋0＋0；1＋1＋1；2＋2＋2。再根据乘法原理和加法原理即可求解。

答案为：100×100×100＋100×99×98＋100×99×98＋100×99×98）

4. 5对夫妇围绕圆桌坐下吃饭，共有多少种方案？如果要求夫妇必须坐在一起，又有多少种方案？

（提示：此题为圆排列问题。第一问的答案为（10－1）！。对于第二问，因为夫妇必须坐在一起，因此可以将每对夫妇看为一个整体先行进行圆排列，排列方案为（5－1）！，又因为每对夫妇可以左右交换位置，因此总的排列方案为（5－1）！×2×2×2×2×2。）

5. N 个男同学和N 个女同学围绕圆桌坐下，要求男女必须交替就座，问共有多少种就座方法？

（提示：先经这N 个男同学进行圆排列，方案为（N －1）！，然后每个女同学依次坐入到两个男同学中间，第一个女同学有N 个位置可以选，第二个女同学有N －1个位置可以选，依此类推。根据乘法原理，所有的就座方案为（N －1）！×N ！）

6. 8人站成一排排队，如果其中的甲和乙两人要求一定站在一起，问有多少种排队方法？如果甲和乙

两人要求一定不站在一起，又有多少种方法？

（提示：第一问中，甲和乙一定站在一起，因此可以先将此二人看为一个整体，则排队方法为7！，又因为甲和乙可以交换位置，因此总的方案为7！×2。对于第二问，则用8个人的总排队方案数减去甲和乙站在一起的方案数即可，答案为8！－7！×2。）

7. 有N 个男同学和M 个女同学站成一排，其中这M 个女同学要求站在一起，问共有多少种排队方法？

（提示：排列问题＋乘法原理。分两步：第一，先将这M 个女同学看成一个整体排列；第二，再将这M 个女同学再排列。然后根据乘法原理即可求得。答案为：（N ＋1）！×M ！）

8. 一个长度为N ＋M 个字符的01字符串，问其中有N 个1的字符串有多少个？

（提示：组合问题。现有N ＋M 个字符，如果把1看作取字符，把0看作不取字符，那么其中有N 个1的字符串即相当于从N ＋M 个字符中，任取N 个字符的组合。答案为：C （N ＋M ，N ））

9. 一个N*M （N 表示行，M 表示列）的网格，从左上角（1，1）点开始走到右下角（N ，M ）点，

每次只能向右或者向下走，问有多少种不同的路径。