高考模拟试卷理科数学试题及详细答案解析02

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2022届全国普通高中高考考前模拟数学理(二)试题(解析版)

理科数学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}220A x x x =--<，{}24B x x =<，则A B =（） A ．AB ．BC ．()1,0-D ．()0,22．已知复数12i z =-，则z 在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（） A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(2,1)-D ．(1,2)--3．已知函数()()()2log 23,14,1x x f x f x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()()2022f f -=（） A ．2 B ．3C ．2log 9D ．2log 114．已知()2sin cos 3παα++=，则sin 2α=（）A ．79B ．59C ．49D ．295．《九章算术》中有一道“良马、驽马行程问题”．若齐国到长安的路程为2000里，良马从长安出发往齐国去，驽马从齐国出发往长安去，同一天相向而行．良马第一天行155里，之后每天比前一天多行12里，驽马第一天行100里，之后每天比前一天少行2里，若良马和驽马第n 天相遇，则n 的最小整数值为（） A ．5B ．6C ．7D ．86．盒子中装有编号为0，1，2，3，4，5，6的7个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之和为3的倍数的概率为（） A ．421B ．521C ．27D ．137．已知命题1p ：存在00x >，使得0044x x +≤，命题2p ：对任意的x ∈R ，都有22tan 1a t n 2t a n x xx -=，命题3p ：存在0x ∈R ，使得003sin 4cos 6x x +=，其中正确命题的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．38．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为00G GL L D=，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为05．，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为045．，则学习率衰减到005．以下（不含0.05）所需的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈） A ．11B ．22C ．227D ．4819．设ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos )c B b C =-，且ABC△的面积为1cos 2S c A =，则A =（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π10．设椭圆2212516x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，且满足129PF PF ⋅=，则12PF PF ⋅的值是（） A ．14B ．17C ．20D ．2311．如图（1），正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若将正方体绕着体对角线1AC 旋转，则正方体所经过的区域构成如图（2）所示的几何体，该几何体是由上、下两个圆锥和单叶双曲面构成，则其中一个圆锥的体积为（）A ．23πB ．9πC 3πD ．3π12．若不等式()()22ln a b a b m -+-对任意a ∈R ，()0,b ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．2,2⎛-∞ ⎝⎦ C ．(2-∞D ．(],2-∞第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．()52x y -的展开式中23x y 的系数是_________．（用数字作答）14．已知△ABC 中，1AB AC ==，2BC =O 是△ABC 的外心，则CO AB ⋅=________． 15．已知数列{}n a 满足121213332n n n n n a a a a ---++++=，*n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式为___________．16．一个二元码是由0和1组成的数字串．()*123n x x x x n ∈N ，其中(1,2,,)k x k n =称为第k位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）．已知某种二元码7132x x x x 的码元满足如下校验方程组：126713573467100x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⎧⎪⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩，其中运算⊕定义为000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101011，那么利用上述校验方程组可判定k 等于_________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2sin tan 12cos C A C=-．（1）求sin sin A B；（2）若23c a =，且ABC △的面积为234，求边长a ．18．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，222AD DE AB AF ====，O 为AC 与BD 的交点，点H 为棱CE 的中点．（1）求证：//OH 平面ADEF ；（2）求二面角C BH F --的余弦值．19．（12分）已知函数2()ln f x x x =-．（1）求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）若1()e 0x f x ax -+-≥，求实数a 的取值范围．20．（12分）已知椭圆()2222:10x x C a b a b +=>>的左、右焦点1F ，2F 恰好是双曲线2218y x -=的左右顶点，椭圆C 上的动点M 满足12122MF MF F F +=，过点2F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）椭圆C 上是否存在点M 使得四边形OAMB （O 为原点）为平行四边形？若存在，求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）非物质文化遗产是一个国家和民族历史文化成就的重要标志，是优秀传统文化的重要组成部分．瑞昌剪纸于2008年列入第二批国家级非物质文化遗产名录．由于瑞昌地处南北交汇处，经过千年的南北文化相互浸润与渗透，瑞昌剪纸融入了南方的阴柔之丽、精巧秀美和北方的阳刚之美、古朴豪放．为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少于3幅作品入选，将获得“巧手奖”．5轮比赛中，至少获得4次“巧手奖”的同学将进入决赛．某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各5幅，其中有4幅规定作品和3幅创意作品符合入选标准．（1）从这10幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率；（2）以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率．经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了110，以获得“巧手奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛？请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为1cos1sinx ay aαα=-+⎧⎨=+⎩（α为参数，0a>），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cosρθ=．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设C1与C2的公共点分别为A，B，||AB=a的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数2()1|2|f x x x=-+-．（1）求不等式()3f x≥的解集；（2）若2()3f a a a≤+-，求满足条件的实数a的取值范围．理科数学（二）答案第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】集合{}{}22012A x x x x x =--<=-<<，{}22B x x =-<<，所以A B A =，故选A ． 2．【答案】D【解析】z 在复平面内对应的点为()1,2-，关于虚轴对称的点是(1,2)--，故选D ． 3．【答案】D【解析】由题意，()()()()22022245062log 2323f f f -=-⨯==+⨯=，所以()()()()2220223log 233log 11f f f -==+⨯=，故选D ． 4．【答案】B【解析】由已知可得3cos si 2n αα-=，等式两边平方得412sin cos 1sin 29ααα-=-=，解得5sin 29α=，故选B ． 5．【答案】D【解析】设驽马、良马第n 天分别行n a 、n b 里，则数列{}n a 是以100为首项，以2-为公差的等差数列，数列{}n b 是以155为首项，以12为公差的等差数列，由题意可得()()()2121211001555250200022n n n n n n n n -⋅--+++=+≥，整理可得2504000n n +-≥，解得25n ≤--25n ≥，而7258<<，故n 的最小整数值为8，故选D ． 6．【答案】D【解析】从7个不同的球中取出2个球，则共有2721C =种情况，编号之和为3的倍数，即编号之和为3,6,9，则共有1112327C C C ++=种情况，故满足题意的概率71213P ==，故选D ． 7．【答案】B【解析】当02x =时，显然1p 成立；当4x π=时，可知2p 不成立；由辅助角得0003sin 4cos 5sin()x x x ϕ+=+，所以003sin 4cos x x +的最大值为5，所以3p 为假，故选B ． 8．【答案】D 【解析】由于00G G L L D =，所以220.5G L D ⨯=，依题意222290.5100.45D D ⇒==⨯，则229100.5G L ⎫⎪⎝⎭⨯⎛=，由220.50.05190G L ⨯<⎛⎫=⎪⎝⎭，得2291101G⎛⎫⎪<⎝⎭， 221lg,1l 1099g lg 101022G G ⎛⎫ ⎭<⎝<-⎪， ()2lg9lg 021G ⋅-<-，()92222,lg10lg 9lg10lg G G ⋅>->-，222222480.35120.4812lg 37710.045G ==≈->-⨯，所以所需的训练迭代轮数至少为481轮，故选D ． 9．【答案】C【解析】因为cos cos )c B b C =-，所以由正弦定理可得sin cos sin sin cos C B B B C =-，可得sin cos sin cos sin()sin sin C B B C B C A B +=+==，可得a =，可得b =因为ABC △的面积为111c cos bcsin sin 222S A A c A ===⨯，可得tan A = 又()0,A π∈，所以3A π=，故选C ．10．【答案】D【解析】设12||,||m PF n PF ==，12F PF θ∠=，由题意cos 9mn θ=，易知5,4,3a b c ====，则12||26F F c ==，210m n a +==，于是由余弦定理可得()222212||cos 2362cos 182m n F F m n mn mn mnθθ+-=⇒+--==，即1002361823mn mn --=⇒=，故选D ． 11．【答案】A【解析】因为正方体的棱长为1，所以外接圆的半径为2323⨯=，圆锥的母线长为正方体的边长，即1l =，所以圆锥的高为3h ===，所以圆锥的体积为221133V r h ππ==⨯=⎝⎭，故选A ．12．【答案】B【解析】设T =T 的几何意义是直线y x =上的点(,)P a a 与曲线()ln f x x =上的点(,ln )Q b b 的距离，将直线y x =平移到与曲线()ln f x x =相切时，切点Q 到直线y x =的距离最小．而()1f x x'=，令()0011f x x =='，则01x =，可得(1,0)Q ，此时，Q 到直线y x =2=，故min ||PQ =，所以m ≤，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】80-【解析】()52x y -的展开式的通项公式为()()5515522r r r r r r r r T C x y C x y --+=-=-，令3r =，可得()3323235280C x y x y -=-，所以()52x y -的展开式中23x y 的系数是80-，故答案为80-．14．【答案】12（或0.5）【解析】在ABC △中，1AB AC ==，BC =O 是ABC △的外心，又222AB AC BC +=，所以ABC △是等腰直角三角形，所以O 是三角形的斜边中点，所以111cos 451222CO AB BC AB ⋅=︒==，故答案为12． 15．【答案】12,12,2n n n a n -=⎧=⎨-≥⎩ 【解析】当1n =时，12a =，当2n ≥时，121213332n n n n n a a a a ---++++=，①231121332n n n n a a a ----+++=．②①3-⨯②，得()122n n a n -=-≥．因为12a =不满足上式，所以12,12,2n n n a n -=⎧=⎨-≥⎩，故答案为12,12,2n n n a n -=⎧=⎨-≥⎩．16．【答案】6【解析】依题意，二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101011， ①若1k =，则12345670,1,0,1,0,1,1x x x x x x x =======，从而由校验方程组，得13571x x x x ⊕⊕⊕=，故1k ≠；②若2k =，则12345671,0,0,1,0,1,1x x x x x x x =======，从而由校验方程组，得34671x x x x ⊕⊕⊕=，故2k ≠；③若3k =，则12345671,1,1,1,0,1,1x x x x x x x =======，从而由校验方程组，得13571x x x x ⊕⊕⊕=，故3k ≠；④若4k =，则12345671,1,0,0,0,1,1x x x x x x x =======，从而由校验方程组，得12670x x x x ⊕⊕⊕=，故4k ≠；⑤若5k =，则12345671,1,0,1,1,1,1x x x x x x x =======，从而由校验方程组，得12670x x x x ⊕⊕⊕=，故5k ≠；⑥若6k =，则12345671,1,0,1,0,0,1x x x x x x x =======，从而由校验方程组，得1267135734671,0,0x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=，故6k =符合； ⑦若7k =，则12345671,1,0,1,0,1,0x x x x x x x =======，从而由校验方程组，得13571x x x x ⊕⊕⊕=，故7k ≠，综上，k 等于6，故答案为6．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1（2）2．【解析】（1）解：由tanA =sin cos A A =，即sin cos cos A A C C A =，所以)sin A C A +=，因为A C B π+=-sin B A =，所以sin sin AB=．（2）解：由（1）知sin B A =，可得a =，即b a =，c =，利用余弦定理可得2222223cos 22a a a abc C ab +-+-===所以sin C ==所以ABC △的面积为21sin 216ABC S ab C a ==△，又因为ABC S =△2=，解得24a =，即2a =．18．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：如图所示，连接AE ，因为四边形ABCD 是矩形，AC BD O =，所以O 是AC 的中点，因为H 是CE 的中点，所以//OH AE ，因为AE ⊂平面ADEF ，OH ⊂/平面ADEF ，所以//OH 平面ADEF ．（2）解：由条件可知AB ，AD ，AF 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：则(1,0,0)B ，(1,2,0)C ，1,2,12H ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,0,1)F ，可得1,2,12BH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(1,0,1)BF =-，(0,2,0)BC =，设平面BFH 的法向量为()111,,x y z =m ，所以111111202BH x y z BF x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩m m ，取14x =，可得121,4y z =-=，所以(4,1,4)=-m ；设平面BCH 的法向量为()222,,x y z =n ，所以1111120220BH x y z BC y ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅==⎩n n ，取22x =，可得220,1y z ==，所以()2,0,1=n ，所以(4,1,4)(2,0,1)4165cos ,551611641⋅-⋅〈〉===⋅++⋅+m n m n m n ，由图可知二面角C BH F --为钝角，所以二面角C BH F --的余弦值为416555-．19．【答案】（1）0x y -=；（2）2a ≤．【解析】（1）解：函数定义域为()0,∞+，1()2f x x x'=-，则(1)1f '=，()11f =，所以切线方程为()()()111y f f x '-=-，即0x y -=．（2）解法一：记21()ln x F x x x e ax -=-+-，由()10F ≥，得1010a -+-≥，即2a ≤．当2a ≤时，由0x >，21()ln e 2x F x x x x -≥-+-，令21()ln e 2x G x x x x -=-+-，则1111()2e 22e (1)x x G x x x x x --⎛⎫'=-+-=-+- ⎪⎝⎭，当()0,1x ∈时，()0G x '<；当()1,x ∈+∞时，()0G x '>，所以()G x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，()()10G x G ≥=，即()()0F x G x ≥≥，综上可知，2a ≤．解法二：由条件知，21ln e 0x x x ax --+-≥，在0x >上成立，所以21ln e x x x a x --+≤，在0x >上成立，记21ln e ()x x x F x x--+=，则()()121212212e ln e 1(1)e ln ()x x x x x x x x x x x F x x x ---⎛⎫-+--+ ⎪-+-+⎝⎭'==，当()0,1x ∈时，()0F x '<；当()1,x ∈+∞时，()0F x '>，所以()F x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，()min ()12F x F ==，则实数a 的取值范围为2a ≤．20．【答案】（1）22143x y +=；（2）存在()2,0M ，使得四边形OAMB 为平行四边形．【解析】（1）因为2218y x -=的左右顶点为()1,0-和()1,0，所以1c =，因为12122MF MF F F +=，所以24a c =，所以2a =，因为222a c b -=，所以b =所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）假设存在点M 使得四边形OAMB （O 为原点）为平行四边形，设()00,M x y ，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，所以31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为OAMB 为平行四边形，所以OA OB OM +=，所以()00331,1,,22x y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()002,0,x y =，即()2,0M ，点M 在椭圆C 上，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理得()22223484120k x k x k +-+-=，所以2122834k x x k+=+，212241234k x x k -=+，()121226234k y y k x x k -⎡⎤+=+-=⎣⎦+，因为OAMB 为平行四边形，所以OA OB OM +=，所以()()()112200,,,x y x y x y +=，即()()121200,,x x y y x y ++=，所以22286,3434k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，将点M 代入椭圆方程得2340k +=，方程无解，故当直线l 的斜率存在时，不存在点M ，综上所述，存在()2,0M ，使得四边形OAMB 为平行四边形．21．【答案】（1）3350；（2）该同学没有希望进入决赛．【解析】（1）由题可知，所有可能的情况有：①规定作品入选1幅，创意作品入选2幅的概率124312255325C C P C C ⋅==⋅， ②规定作品入选2幅，创意作品入选1幅的概率21143222255925C C C P C C ⋅⋅==⋅， ③规定作品入选2幅，创意作品入选2幅的概率224332255950C C P C C ⋅==⋅，故所求的概率3993325255050P =++=．（2）设强化训练后，规定作品入选的概率为1p ，创意作品入选的概率为2p ，则12431355102p p +=++=，由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为：()()12222122222112221222212211P C p p C p C p C p p C p C p =-⋅+⋅-+⋅ ()()()2121212221122333p p p p p p p p p p =-=+-，∵1232p p +=，且1243,55p p ≥≥，也即213433,2525p p -≥-≥，即2179,1010p p ≤≤，故可得149510p ≤≤，237510p ≤≤，2121113392416p p p p p ⎛⎫⎛⎫⋅=-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴122714,5025p p ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦，令12p p t =，则()221333324P t t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭在2714,5025⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴()2272333505044P t P ⎛⎫⎛⎫≤=-⨯+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∵该同学在5轮比赛中获得“巧手奖”的次数()5,X B P ~， ∴315()55444E X P =<⨯=<，故该同学没有希望进入决赛． 22．【答案】（1）222(1)(1)x y a ++-=（0a >），2240x y x +-=；（2）2a =或a =【解析】（1）∵曲线C 1的参数方程为1cos 1sin x a y a αα=-+⎧⎨=+⎩（α为参数，0a >），∴圆1C 的普通方程为222(1)(1)x y a ++-=，0a >， ∵曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=，又cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，∴圆2C 的直角坐标方程为2240x y x +-=．（2）由题可得1(1,1)C -，2(2,0)C ，直线12C C 的斜率113k =-，又12AB C C ⊥，则直线AB 的斜率3k =，设:3AB l y x b =+，点2C 到直线AB 的距离d =，因为||AB ==2d =，则1b =-或11b =-，直线AB 的方程为310x y --=或3110x y --=．由（1），令1C 与2C 的直角坐标方程相减，得23102a x y -+-=，则24a =或224a =，2a =或a =23．【答案】（1）{}02x x x ≤≥或；（2）[1,1][2,)-+∞．【解析】（1）解：当1x <-时，2()13f x x x =-+≥，解得1x <-；当11x -≤≤时，2()33f x x x =--≥，解得10x -≤≤；当12x <<时，2()13f x x x =-+≥，解得∅；当2x ≥时，2()33f x x x =+-≥，解得2x ≥，综上，不等式()3f x ≥的解集为{}02x x x ≤≥或．（2）解：222()1|2|123f x x x x x x x =-+-≥-+-=+-，当且仅当2(1)(2)0x x --≥时取等号，因为2()3f a a a ≤+-，则2()3f a a a =+-，且2(1)(2)0a a --≥，解得2a ≥或11x -≤≤，即实数a 的取值范围为[1,1][2,)-+∞．。

2023年高考数学模拟考试卷及答案解析(理科)

2023年高考数学模拟考试卷及答案解析（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()()()1i 12i 1z z +=+-，则复数z 的实部与虚部的和为（）A ．1B ．1-C ．15D ．15-【答案】D【分析】根据复数的运算法则求出复数43i 55z -+=，则得到答案.【详解】(1i)(2i 1)(2i 1)z z +=-+-(2i)2i 1z -=-，2i 1(2i 1)(2i)43i 43i 2i 5555z --+-+====-+-，故实部与虚部的和为431555-+=-，故选：D.2．已知()f x =A ，集合{12}B x ax =∈<<R ∣，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．[2,1]-B ．[1,1]-C ．(,2][1,)-∞-+∞ D ．(,1][1,)∞∞--⋃+【答案】B【分析】先根据二次不等式求出集合A ，再分类讨论集合B ，根据集合间包含关系即可求解.【详解】()f x =A ，所以210x -≥，所以1x ≥或1x ≤-，①当0a =时，{102}B x x =∈<<=∅R∣,满足B A ⊆，所以0a =符合题意；②当0a >时，12{}B x x a a=∈<<R∣，所以若B A ⊆，则有11a≥或21a≤-，所以01a <≤或2a ≤-（舍）③当0<a 时，21{}B x x aa=∈<<R ∣，所以若B A ⊆，则有11a≤-或21a≥（舍），10a -≤<，综上所述，[1,1]a ∈-，故选：B.3．在研究急刹车的停车距离问题时，通常假定停车距离等于反应距离（1d ，单位：m ）与制动距离（2d ，单位：m ）之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽车的初速度v （单位：km/h ）.根据实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述1d ，2d 与v 的函数关系的是（）A ．1d v α=，2d =B ．1d v α=，22d v β=C ．1d =，2d v β=D ．1d =，22d vβ=【答案】B【分析】设()()1d v f v =，()()2d v g v =，根据图象得到函数图象上的点，作出散点图，即可得到答案.【详解】设()()1d v f v =，()()2d v g v =.由图象知，()()1d v f v =过点()40,8.5，()50,10.3，()60,12.5，()70,14.6，()80,16.7，()90,18.7，()100,20.8，()110,22.9，()120,25，()130,27.1，()140,29.2，()150,31.3，()160,33.3，()170,35.4，()180,37.5.作出散点图，如图1.由图1可得，1d 与v 呈现线性关系，可选择用1d v α=.()()2d v g v =过点()40,8.5，()50,16.2，()60,23.2，()70,31.4，()80,36，()90,52，()100,64.6，()110,78.1，()120,93，()()140,123，()150,144.1，()160,164.3，()170,183.6，()180,208.作出散点图，如图2.由图2可得，2d 与v 呈现非线性关系，比较之下，可选择用22d v β=.故选：B.4．已知函数()ln ,0,e ,0,x xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则函数()1y f x =-的图象大致是（）A ．B．C ．D ．【答案】B【分析】分段求出函数()1y f x =-的解析式，利用导数判断其单调性，根据单调性可得答案.【详解】当10x ->，即1x <时，ln(1)(1)1x y f x x-=-=-，221(1)ln(1)1ln(1)1(1)(1)x x x x y x x -⋅-+--+--'==--，令0'>y ，得1e x <-，令0'<y ，得1e 1x -<<，所以函数()1y f x =-在(,1e)-∞-上为增函数，在(1e,1)-上为减函数，由此得A 和C 和D 不正确；当10x -≤，即1x ≥时，1(1)(1)e x y f x x -=-=-，()11(1)e (1)e x x y x x --'''=-+-11e (1)e x x x --=---=1e (2)xx ---，令0'>y ，得2x >，令0'<y ，得12x ≤<，所以函数()1y f x =-在(2,)+∞上为增函数，在[1,2)上为减函数，由此得B 正确；故选：B5．若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x 满足()()21f x f x >，则()f x 至少有（）个单调区间.A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】根据单调性与极值之间的关系分析判断.【详解】若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x ，则()f x 至少有3个单调区间，若()f x 有3个单调区间，不妨设()f x 的定义域为(),a b ，若12a x x b <<<，其中a 可以为-∞，b 可以为+∞，则()f x 在()()12,,,a x x b 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，（若()f x 定义域为(),a b 内不连续不影响总体单调性），故()()21f x f x <，不合题意，若21a x x b <<<，则()f x 在()()21,,,a x x b 上单调递减，在()21,x x 上单调递增，有()()21f x f x <，不合题意；若()f x 有4个单调区间，例如()1f x x x =+的定义域为{}|0x x ≠，则()221x f x x-'=，令()0f x ¢>，解得1x >或1x <-，则()f x 在()(),1,1,-∞-+∞上单调递增，在()()1,0,0,1-上单调递减，故函数()f x 存在一个极大值()12f -=-与一个极小值()12f =，且()()11f f -<，满足题意，此时()f x 有4个单调区间，综上所述：()f x 至少有4个单调区间.故选：B.6．已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，则918222y x z x y --=+--的最小值为（）A ．132B ．372C ．12D ．2【答案】A【分析】由约束条件作出可行域，求出22y t x -=-的范围，再由91821922y x z t x y t --=+=+--结合函数的单调性求得答案．【详解】解：令22y t x -=-，则91821922y x z t x y t --=+=+--，由10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩作出可行域如图，则()()()2,12,1,0,1A B C ---，设点()(),2,2P x y D ，，其中P 在可行域内，2=2PD y t k x -∴-=，由图可知当P 在C 点时，直线PD 斜率最小，min 121=022CD t k -==-∴当P 在B 点时，直线PD 斜率不存在，∴1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭∵19z t t =+在1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，∴当12t =时min 132z =．故选：A ．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方形11BCC B 内，且不在棱上，则（）A ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥B ．在正方形11DCCD 内一定存在一点Q ，使得PQ AC⊥C ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC D ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC 【答案】B【分析】对于A ，通过作辅助线，利用平行的性质，推出矛盾，可判断A;对于B ，找到特殊点，说明在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ⊥，判断B;利用面面平行的性质推出矛盾，判断C;利用线面垂直的性质定理推出矛盾，判断D.【详解】A 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥，作,PE BC QF CD ⊥⊥,垂足分别为,E F ,连接,E F ，则PEFQ 为矩形，且EF 与AC 相交，故PQ EF ∥,由于PQ AC ∥，则AC EF ∥，这与,AC EF 相交矛盾，故A 错误；B 、假设P 为正方形11BCC B 的中心，Q 为正方形11DCC D 的中心，作,PH BC QG CD ⊥⊥,垂足分别为,H G ,连接,H G ，则PHGQ 为矩形，则PQ HG ∥,且,H G 为,BC CD 的中点，连接,GH BD ,则GH BD ∥,因为AC BD ⊥，所以GH AC ⊥,即PQ AC ⊥，故B 正确；C 、在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC ，由于平面ABC ⋂平面11DCC D CD =,平面1PQC 平面111DCC D C Q =,故1CD C Q ∥,而11C D CD ∥,则Q 在11C D 上，这与题意矛盾，C 错误；D 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC ，1C Q ⊂平面1PQC ,则1AC C Q ⊥,又1CC ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，故1C C AC ⊥,而11111,C C C Q C C C C Q =⊂ ，平面11DCC D ，故AC ⊥平面11DCC D ，由于AD ⊥平面11DCC D ,故,C D 重合，与题意不符，故D 错误，故选∶B8．对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(,)d P C .若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集{(,)1}D Pd P C =≤∣所表示的图形的面积为（）A ．36B ．36-C ．362π-D ．36π-【答案】D【分析】根据题意画出到曲线C 的距离为1的边界，即可得到点集的区域，即可求解.【详解】根据题意作出点集(){}|1D P d P C =≤，的区域如图阴影所示，其中四边形ADEC ，ABKM ，BCFG 为矩形且边长分别为1,6，圆都是以1为半径的，过点I 作IN AC ⊥于N ，连接A I ,则1NI =，30NAI ∠= ，所以AN =则HIJ 是以6-为边长的等边三角形，矩形ABKM 的面积1166S =⨯=，2π3DAM ∠=，扇形ADM 的面积为212ππ1233S =⨯⨯=，21sin 602ABC S AB =⨯⋅ 21622=⨯⨯，21sin 602HIJ S HI =⨯⋅ (21622=⨯-18=-，所以()1233ABC HIJ S S S S S =++- ()π363183=⨯+⨯+--36π=-.故选：D.9．一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定．其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（）A ．15种B ．28种C ．31种D ．63种【答案】C【分析】满足条件的去法可分为两类，第一类甲乙都去，第二类甲乙都不去，再进一步通过分类加法原理求出各类的方法数，将两类方法数相加即可.【详解】若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以满足条件的去法数为0123444444C +C C +C C 16++=种；若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1人，2人，3人，4人，则满足条件去法有12344444C C +C C 15++=种；故该宿舍同学的去法共有16+15=31种．故选：C.10．已知椭圆C 的焦点为12(0,1),(0,1)F F -，过2F 的直线与C 交于P ，Q 两点，若22143,||5PF F Q PQ QF ==，则椭圆C 的标准方程为（）A ．2255123x y +=B ．2212y x +=C ．22123x y +=D ．22145x y +=【答案】B【分析】由已知可设22,3F Q m PF m ==可求出所有线段用m 表示，在12PF F △中由余弦定理得1290F PF ︒∠=从而可求.【详解】如图，由已知可设22,3F Q m PF m ==，又因为114||55PQ QF QF m =∴=根据椭圆的定义212,62,3QF QF a m a a m +=∴=∴=，12223PF a PF a a a m=-=-==在12PF F △中由余弦定理得222222111116925cos 02243PQ PF QF m m m F PQ PQ PF m m+-+-∠===⋅⋅⋅⋅，所以190F PQ ︒∠=22222211229943213PF PF F F m m m a m b ∴+=⇒+=∴===⇒=故椭圆方程为：2212y x +=故选：B11．已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于任意的)3,1a ⎡∈-⎣，方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，则m 的取值范围为（）A ．7π3π,124⎛⎤⎥⎝⎦B ．π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π5π,26⎛⎤⎥⎝⎦D ．7π3π,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】将方程的根的问题转化为函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点，画出图象，数形结合得到不等式组，求出m 的取值范围.【详解】方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，等价于函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点．当0x m <≤得：πππ22666x m ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦，结合函数()y f x =的图象可知，π4π5π2633m ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得：7π3π,124m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D12．已知0.40.7e ,eln1.4,0.98a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b>>【答案】A【分析】构造函数()1=ln ef x x x -，0x >，利用导函数得到其单调性，从而得到ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，变形后得到22ln2ex x ≤，当x =0.7x =后得到b c <；再构造()1=e x g x x --，利用导函数得到其单调性，得到1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，变形后得到21e 2x x ->，当0.5x =时，等号成立，令0.7x =得到a c >，从而得到a cb >>.【详解】构造()1=ln ef x x x -，0x >，则()11=ef x x '-，当0e x <<时，()0f x ¢>，当e x >时，()0f x '<，所以()1=ln ef x x x -在0e x <<上单调递增，在e x >上单调递减，所以()()e =lne 10f x f ≤-=，故ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，因为20x >，所以222222(2)2ln 2ln ln ln2e e 2e 2e ex x x x x x x x x ≤⇒≤⇒≤⇒≤=，当x =当0.7x =时，220.98ln1.4(0.7)eln1.40.98ee<⨯=⇒<，所以b c <构造()1=e x g x x --，则()1e 1=x g x -'-，当1x >时，()0g x '>，当1x <时，()0g x '<，所以()1=ex g x x --在1x >单调递增，在1x <上单调递减，故()()10g x g ≥=，所以1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，故121e e 2x x x x --≥⇒≥，当且仅当0.5x =时，等号成立，令0.7x =，则0.40.4e 1.40.7e 0.98>⇒>，所以a c >，综上:a c b >>，故选：A【点睛】构造函数比较函数值的大小，关键在于观察所给的式子特点，选择合适的函数进行求解.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设i ，j 是x ，y 轴正方向上的单位向量，23a b i j -=- ，3119a b i j +=+，则向量a，b的夹角为______．【答案】π4【分析】分别求出a ，b 的表达式，利用定义求出a ，b 的夹角即可.【详解】23a b i j -=-①，3119a b i j +=+②,3⨯+①②得714,2a i a i =∴=，2-⨯+②①得72121,33b i j b i j -=--∴=+ ，()22·33666a b i i j i i j ⋅=+=+⋅=2,a b ==cos ,2a b a b a b ⋅∴==⋅π,4a b ∴=14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为2c ，过C 的右焦点F 的直线l 与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，若cos b c AFO =∠且3FB FA =，则C 的渐近线方程为__________.【答案】y =【分析】根据题设条件确定AB OA ⊥，进而可确定OA a FA b ==，，从而在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，结合正切的二倍角公式求解.【详解】因为3FB FA =，画出示意图如图，设AOF α∠=，因为cos b c AFO =∠，则cos b AFO c∠=，所以222sin a AFO c∠=，则sin a AFO c ∠=，所以tan aAFO b ∠=.又tan b a α=，所以π2AFO α∠+=，所以AB OA ⊥，根据sin ,cos OA FA a bAFO AFO c c c c ∠==∠==，所以OA a FA b ==，.又因为3FB FA，所以2AB b =.在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，所以222222tan tan21tan 1bb a b a aααα=-==--，化简得：222b a =，所以b a =则渐近线方程为：y =，故答案为:y =.15．已知数列{}n a 满足首项11a =，123n n na n a a n ++⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数，则数列{}n a 的前2n 项的和为_____________．【答案】4344n n ⨯--【分析】当n 为奇数时，由递推关系得()21332n n n a a a ++==+，构造{}3n a +为等比数列，可求出通项，结合12n n a a +=+即可分组求和.【详解】当n 为奇数时，()21332n n n a a a ++==+，即()2333n n a a ++=+，此时{}3n a +为以134a +=为首项，公比为3的等比数列，故()123212413333343333n nn n n n a a a a a a a a ----++++=创创+=+++，即12433n n a -=´-.()()()2123421211332121222n n n n n S a a a a a a a a a a a a ---=++++++=+++++++++ ()()01113212224334334332n n a a a n n--=++++=´-+´-++´-+ ()03132432434413nnn n n 骣-琪=´-+=´--琪琪-桫.故答案为：4344n n ⨯--【点睛】本题解题关键是根据题意找到相邻奇数项或偶数项之间的递推关系，从而求出当n 为奇数或n 为偶数时的通项公式，再通过相邻两项的关系求出前2n 项的和．16．在三角形ABC 中，2BC =，2AB AC =，D 为BC 的中点，则tan ADC ∠的最大值为___________.【答案】43##113【分析】设出AC x =，则2AB x =，由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，从而得到cos ADC ∠关系得到223x <<，换元后得到cos ADC ∠，由基本不等式求出最小值，结合()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，可求出tan ADC ∠的最大值.【详解】设AC x =，则2AB x =，因为D 为BC 的中点，2BC =，所以1BD DC ==，由三角形三边关系可知：22x x +>且22x x -<，解得：223x <<，在三角形ABD 中，由余弦定理得：()2212cos 2AD x ADB AD+-∠=，在三角形ACD 中，由余弦定理得：221cos 2AD x ADC AD+-∠=，因为πADB ADC ∠+∠=，所以()2222121cos cos 022AD x AD x ADB ADC ADAD+-+-∠+∠=+=，解得：22512AD x =-，由余弦定理得：225112cos x x ADC -+-∠=223x <<，令2511,929x t ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则3cos 5ADC ∠=，当且仅当1t t=，即1t =时，等号成立，此时25112x -=，解得：x =因为3cos 05ADC ∠≥>，故π0,2ADC ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，由于()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故当cos ADC ∠取得最小值时，tan ADC ∠取得最大值，此时4sin 5ADC ∠=，4tan 3ADC ∠=.故答案为：43.【点睛】三角形中常用结论，()sin sin A B C +=，()cos cos A B C +=-，()tan tan A B C +=-，本题中突破口为由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，进而利用基本不等式求最值.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）数列{}n a 满足35a =，点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足233n n S b =-，*n ∈N ．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)是否存在*k ∈N ，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b ≤．【答案】(1)21n a n =-；3nn b =(2)存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n k n ka ab b ≤【分析】（1）根据等差数列的定义可得{}n a 为等差数列，由,n n S b 的关系可得{}n b 为等比数列，进而可求其通项，（2）根据数列的单调性求解最值即可求解.【详解】（1）点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，所以12n n a a +-=又35a =，∴11a =，则数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列．∴21n a n =-又当1n =时，11233S b =-得13b =，当2n ≥，由233n n S b =-①，得11233n n S b --=-②由①－②整理得：13n n b b -=，∵130b =≠，∴10n b -≠∴13nn b b -=，∴数列{}n b 是首项为3，公比为3的等比数列，故3nn b =（2）设213nn n na n cb -==，由111121212163443333+++++-+-+--=-==n n n n n n n n n n nc c当1n =时，12c c =，当2n ≥时，1n n c c +<，所以当1n =或2时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大所以存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b≤18．（12分）如图，将等边ABC 绕BC 边旋转90︒到等边DBC △的位置，连接AD．(1)求证：AD BC ⊥；(2)若M 是棱DA 上一点，且两三角形的面积满足2BMD BMA S S = ，求直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】（1）取BC 中点为O ，证明BC ⊥平面AOD 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【详解】（1）设O 是BC 的中点，连接AO ，DO ，由题知：AB AC =，DB DC =，则BC AO ⊥，BC DO ⊥，又AO DO O ⋂=，,AO DO ⊂平面AOD ，所以BC ⊥平面AOD ，又AD ⊂平面AOD ，所以AD BC ⊥．（2）由题知，OA 、BC 、OD 两两垂直，以O 为原点，,,OA OB OD方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，因为2BMD BMA S S = ，所以13AM AD =，设2AB a =，则OA OD ==，则),0,0A，()0,,0B a ，()0,,0C a -，()D，33M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．所以),,0CA a =，),0,DA =，,BM a ⎫=-⎪⎪⎝⎭，设平面ACD 的法向量为(),,n x y z =r，则00n CA ay n DA ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1x =，可得()1,n = ，设直线BM 与平面ACD 所成的角为θ，则sin cos ,BM n θ=BM n BM n⋅==⋅所以直线BM 与平面ACD.19．（12分）甲、乙两位选手参加一项射击比赛，每位选手各有n 个射击目标，他们击中每一个目标的概率均为12，且相互独立．甲选手依次对所有n 个目标进行射击，且每击中一个目标可获得1颗星；乙选手按规定的顺序依次对目标进行射击，击中一个目标后可继续对下一个目标进行射击直至有目标未被击中时为止，且每击中一个目标可获得2颗星．(1)当5n =时，分别求甲、乙两位选手各击中3个目标的概率；(2)若累计获得星数多的选手获胜，讨论甲、乙两位选手谁更可能获胜．【答案】(1)516,116；(2)当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.【分析】（1）根据独立重复试验可计算甲击中3个目标的概率，由相互独立事件的概率计算公式可得乙击中3个目标的概率；（2）设X 为甲累计获得的星数，Y 为乙累计获得的星数，分别计算期望，分别讨论1,2,3n =及4n ≥的(),()E X E Y ，得出结论.【详解】（1）当5n =时，甲击中3个目标的概率为33215115C ()()2216P =⨯⨯=，乙击中3个目标，则前3个目标被击中，第4个目标未被击中，其概率为32111()2216P =⨯=.（2）设X 为甲累计获得的星数，则0,1,2,,X n = ，设Y 为乙累计获得的星数，则0,2,4,,2Y n = ，设击中了m 个目标，其中0m n ≤≤，则甲获得星数为m 的概率为C 11()C ()()222m m m n m nnn P X m -===，所以甲累计获得星数为0120C 1C 2C C ()2nn n n nnn E X ⋅+⋅+⋅++⋅= ;记01010C 1C C C (1)C 0C n n n n n n n n n S n n n =⋅+⋅++⋅=⋅+-⋅++⋅ ，所以0112(C C C )2,2n n n n n n n n S n n S n -=+++=⋅=⋅ ，所以12()22n n n nE X -⋅==,乙获得星数为2(01)m m n ≤≤-的概率为1111(2)()222m m P Y m +==⋅=，当m n =时，1(2)2nP Y m ==，所以乙累计获得星数为230242(1)2()22222n n n n E Y -=+++++ ，记230242(1)2222n n n T -=++++ ，则121242(1)20222n n n T --=++++ ，所以12111112(1)122()222222n n n n n n n n T T T ---+=-=+++-=- ，11()22n E Y -=-，当1n =时，1()()12E X E Y =<=，当2n =时，3()1()2E X E Y =<=，当3n =时，37()()24E X E Y =<=，当4n ≥时，()2()E X E Y ≥>所以当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.20．（12分）已知抛物线2y =的焦点与椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>的右焦点重合，直线1:1x y l a b+=与圆222x y +=相切．(1)求椭圆Ω的方程；(2)设不过原点的直线2l 与椭圆Ω相交于不同的两点A ，B ，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，射线OM 与椭圆Ω相交于点P ，且O 点在以AB 为直径的圆上，记AOM ，BOP △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围．【答案】(1)22163x y +=(2)⎣⎦【分析】（1）根据条件建立关于,a b 的方程组，即可求解椭圆方程；（2）根据数形结合可知12AOM BOP OMS S S S OP==△△，分直线斜率不存在，或斜率为0，以及斜率不为0，三种情况讨论12S S 的值或范围.【详解】（1）∵抛物线2y =的焦点为)，∴c =从而223a b =+①，∵直线1:1x yl a b+=与圆222x y +==②，由①②得：ab ，∴椭圆Ω的方程为：22163x y +=（2）∵M 为线段AB 的中点，∴12AOM BOP OMS S S S OP==△△，（1）当直线2l 的斜率不存在时，2l x ⊥轴，由题意知OA OB ⊥，结合椭圆的对称性，不妨设OA 所在直线的方程为y x =，得22Ax =，从而22Mx =，26P x =，123M P OM x S S OP x ∴===（2）当直线2l 的斜率存在时，设直线()2:0l y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y 由22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()222214260k x kmx m +++-=，由()()222216421260k m k m ∆=-+->可得：22630k m -+>（*）∴122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+，∵O 点在以AB 为直径的圆上，∴0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，∴()()221212121210x x y y k x x km x x m +=++++=，即()22222264102121m km k km m k k -⎛⎫+⨯+-+= ⎪++⎝⎭，2222,m k ⇒=+（**）满足（*）式．∴线段AB 的中点222,2121kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，若0k =时，由（**）可得：22m =，此时123OM S S OP ∴===，若0k ≠时，射线OM 所在的直线方程为12y x k=-，由2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得：2221221P k x k =+，12M POM x S S OP x ∴===随着2k 的增大而减小，∵0k ≠，∴20k >，∴1233S S ⎛∈ ⎝⎭综上，1233S S ∈⎣⎦【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．（12分）已知函数()e xf x ax a=--(1)当1a =时，证明:()0f x ≥.(2)若()f x 有两个零点()1212,x x x x <且22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，求12x x +的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦【分析】（1）()e 1x f x x =--，求导得min ()(0)0f x f ==，则()0f x ；（2）由题得11e x ax a =+，22e xax a =+，则21211e1x x x x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，则()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，从而设21[ln 2,2]t x x =-∈，得到()121e 2e 1t tt x x +++=-，利用导数研究函数()1e ()e 1ttt g t +=-的值域，则得到12x x+的范围.【详解】（1）证明:当1a =时,()e 1x f x x =--,则()e 1x f x '=-.当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,当,()0x ∈+∞时,()0f x '>,所以()f x 在(,0)-∞上单调递减,在()0,∞+上单调递增,则min ()(0)0f x f ==,故()0f x .（2）由题意得1212e e 0x xax a ax a --=--=，则11e x ax a =+，22e xax a =+，从而21211e 1x xx x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，故()()()()12212121212112e e 1e 2e ee1xx x x x x x x x x x x x x ---+-+++==--，因为22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，所以212e 2,e x x -⎡⎤∈⎣⎦，即[]21ln 2,2x x -∈，设21[ln 2,2]t x x =-∈,则()121e 2e 1t t t x x +++=-.设()1e ()e 1t tt g t +=-,则()22e 2e 1()e1t t tt g t --'=-.设2()e 2e 1t t h t t =--,则()()2e e 1t th t t '=--，由（1）可知()()2e e 10t th t t '=--在R 上恒成立,从而2()e 2e 1t t h t t =--在[ln 2,2]上单调递增,故min ()(ln 2)44ln 210h t h ==-->,即()0g t '>在[]ln 2,2上恒成立,所以()g t 在[ln 2,2]上单调递增,所以()212221e 23ln 2,e 1x x ⎡⎤+⎢⎥++∈-⎢⎥⎣⎦,即12243ln 22e 1,x x ⎡⎤+∈-⎢⎣-⎥⎦,即12x x +的取值范围为243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过变形用含21x x -的式子表示出122x x ++，即()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，然后整体换元设21[ln 2,2]t x x =-∈，则得到()121e 2e 1t t t x x +++=-，最后只需求出函数()1e ()e 1tt t g t +=-在[ln 2,2]t ∈上值域即可.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为2853cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，)M．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若2AM MB =，求直线l 的斜率．【答案】(1)2214x y +=(2)2±【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的转化222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，运算求解；（2）联立直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.【详解】（1）∵()()222222288453cos 2cos 4sin 5cos sin 3cos sin ρθθθθθθθ===-++--，则2222cos 4sin 4ρθρθ+=，∴2244x y +=，即2214x y +=，故曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=.（2）将直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=，得)()22cos sin 14t t αα+=，整理得()()222cos 4sin 10t t ααα++-=，设A ，B 两点所对应的参数为12,t t ，则1212221cos 4sin t t t t αα+==-+，∵2AM MB =，则122t t =-，联立1212222cos 4sin t t t t ααα=-⎧⎪⎨+=-⎪+⎩，解得122222cos 4sin cos 4sin t t αααααα⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，将12,t t 代入12221cos 4sin t t αα=-+得2222221cos 4sin cos 4sin cos 4sin αααααααα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭，解得2223tan 4k α==，故直线l的斜率为2±.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设a 、b 、c 为正数，且b c c a a ba b c+++≤≤.证明：(1)a b c ≥≥；(2)()()()2324a b b c c a abc +++≥.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由不等式的基本性质可得出111abc≤≤，利用反比例函数在()0,∞+上的单调性可证得结论成立；（2）利用基本不等式可得出a b +≥，2b c +≥3c a +≥等式的基本性质可证得结论成立.【详解】（1）证明：因为a 、b 、c 为正数，由b c c a a ba b c +++≤≤可得a b c a b c a b ca b c++++++≤≤，所以，111a b c≤≤，因为函数1y x =在()0,∞+上为增函数，故a b c ≥≥.（2）证明：由基本不等式可得a b +≥，2b c b b c +=++≥()322c a c a a a +=++≥+≥=由不等式的基本性质可得()()()2171131573362244412232424a b b c c a a b b c a c a b c+++≥=11764122424ab a b c abc ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b c ==时，等号成立，故()()()2324a b b c c a abc +++≥.。

2023年陕西省西安三十八中高考数学模拟试卷(理科)(2月份)+答案解析(附后)

2023年陕西省西安三十八中高考数学模拟试卷（理科）（2月份）1. 在下列集合中，是其真子集的是( )A. B. C. D.2. 若，则z 在复平面内所对应的点的坐标为( )A. B.C.D.3. 在中，，，，则的取值范围是( )A.B. C. D.4. 某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是( )A. 计算B. 计算C. 计算D. 计算5. 若抛物线上一点到焦点的距离是5p ，则( )A.B.C. D.6. 从六人含甲中选四人完成四项不同的工作含翻译，则甲被选且甲不参加翻译工作的不同选法共有( )A. 120种B. 150种C. 180种D. 210种7. 若x ，y 满足约束条件，则下列目标函数中最大值为0的是( )A.B.C.D.8. 已知函数的最小正周期为T，设，，，则( )A. B. C. D.9. 在正四棱柱中，E是的中点，，则BE与平面所成角的正弦值为( )A. B. C. D.10. 已知与都是定义在R上的函数，是奇函数，是偶函数，且，都不是常数函数，现有下列三个结论：①；②的图象关于直线对称；③与在上的单调性可能相同.其中正确结论的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 311. 若锐角满足，则( )A. B. C. D.12. 从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆，建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声.现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，百米，建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线AB看成函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形如图，则图书馆占地面积万平方米的最大值为( )A. B. C. D.13. 函数的图象在点处的切线的斜率为______ .14. 在平行四边形ABCD中，G为的重心，，则______ .15. 若某圆锥外接球的体积为，母线长为4，则该圆锥的底面面积为______ .16. P为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为A，B，C，D，若，则P到x轴的距离为______ .17. 设等比数列的前n项和为，已知，且求的通项公式；设，数列的前n项和为，证明：当时，18. 在数学探究实验课上，小明设计了如下实验：在一个盒子中装有蓝球、红球、黑球等多种不同颜色的小球，一共有偶数个小球，现在从盒子中一次摸一个球，不放回.若盒子中有6个球，从中任意摸两次，摸出的两个球中恰好有一个红球的概率为，①求红球的个数；②从盒子中任意摸两次球，记摸出的红球个数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.已知盒子中有一半是红球，若“从盒子中任意摸两次球，至少有一个红球”的概率不大于，求盒子中球的总个数的最小值.19.如图，在三棱柱中，，平面平面，，在上的投影为证明：求二面角的余弦值.20. 已知函数求的单调区间；若，，证明：21. 已知双曲线C：的左顶点为A，右焦点为F，P是直线l：上一点，且P不在x轴上，以点P为圆心，线段PF的长为半径的圆弧AF交C的右支于点证明：若直线PF与C的左、右两支分别交于E，D两点，过E作l的垂线，垂足为R，试判断直线DR是否过定点.若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以坐标原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；若直线l与曲线C交于A，B两点，点，求的值.23. 设a，b，c均为正数，且证明：；答案和解析1.【答案】C【解析】解：是的子集，故A错误；不包含元素1，故B错误；是其真子集的是，故C正确；不包含元素1，故D错误．故选：根据已知条件，结合真子集的定义，即可求解．本题主要考查真子集的定义，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：，，在复平面内所对应的点的坐标为故选：利用复数的运算法则先化简，再得到其在复平面内对应点的坐标即可．本题考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：，，，，，，的取值范围是故选：根据已知条件，结合余弦定理以及角A的取值范围，即可求解．本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：，，第一次循环：，；第二次循环：，；第三次循环：，；第四次循环：，；输出，故选：由题意，进行四次循环，可计算输出的本题考查程序框图，考查学生计算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：根据抛物线的几何性质可得：，，故选：根据抛物线的几何性质，方程思想，即可求解．本题考查抛物线的几何性质，方程思想，属基础题．6.【答案】C【解析】解：先从除甲外的5人中任选3人，有种方式，再在这三人中选择一人完成翻译工作，有种方式，最后剩下的3人含甲完成其余的三项工作，有种方式，则符合题意的不同选法有种．故选：先从除甲外的5人中任选3人，再在这三人中选择一人完成翻译工作，最后剩下的3人含甲完成其余的三项工作，然后由乘法原理得解．本题考查排列组合的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由解得，设，画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，所以的最大值为故选：画出可行域，求目标函数的最大值，从而求得正确答案．本题主要考查简单线性规划，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：函数的最小正周期为，设，，，所以故选：确定后，先判断函数值的正负，再利用中间值比较大小即可．本题考查三角函数的性质，考查比较大小，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：在正四棱柱中，E是的中点，，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，设平面的法向量，则，取，得，设BE与平面所成角为，则BE与平面所成角的正弦值为：故选：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BE与平面所成角的正弦值．本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】D【解析】解：于①：由是奇函数，即，取得，则，正确；对于②：由是偶函数，得，则的图象关于直线对称，正确；对于③：取，，则与在上都单调递增，正确．故选：根据奇函数的性质及赋值法得到，从而判断①正确；根据偶函数的性质得到，从而判断②正确；取，，判断两者的单调性，从而判断③正确．本题主要考查了函数奇偶性，对称轴及单调性的应用，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：因为，所以，又因为，所以，，所以故选：结合同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式来求得正确答案．本题主要考查了同角基本关系及和差角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：将点代入函数中可得，解得，所以，设线段BC对应的函数解析式为，因为直线BC经过点，，所以，，所以，设，则点E的坐标为，由可得，所以点F的坐标为，所以，所以直角梯形CDEF的面积，所以，令，可得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取最大值，最大值为故选：由条件求BC的解析式，设，利用t表示梯形CDEF的面积，利用导数求其最大值．本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查运算求解能力，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：由，得，即函数的图象在点处的切线的斜率为故答案为：求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值得答案．本题考查导数的概念及其几何意义，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．14.【答案】【解析】解：在平行四边形ABCD中，G为的重心，设点E为BC的中点，如图所示：故，，所以；故由于，故，所以故答案为：直接利用三角形的重心和线性运算求出结果．本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．15.【答案】【解析】解：设圆锥外接球的半径为R，则，解得，由球的性质可得圆锥的外接球球心与圆锥底面圆的圆心连线与底面圆垂直，所以球心O在圆锥的高线SM或SM的延长线上，如图所示：设圆锥的底面圆半径为r，高为h，因为母线长为4，所以，解得，，所以圆锥的底面圆面积为故答案为：求出圆锥外接球的半径R，由球的性质可得圆锥的外接球球心与圆锥底面圆的圆心连线与底面圆垂直，利用勾股定理求出圆锥的高和底面圆半径，再计算底面圆面积．本题考查了圆锥与球的结构特征与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．16.【答案】【解析】解：曲线与坐标轴的交点为A，B，C，D，则不妨设，，，，则A，B为椭圆的焦点，，又，则，且，在以C、D为焦点的椭圆上，且，解得，为椭圆上一点，联立，解得，则，故P到x轴的距离为，故答案为：首先表示出A，B，C，D的坐标，依题意得，即可得到P为椭圆上一点，联立两椭圆方程，求出，即可得出答案．本题考查椭圆的性质，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：设等比数列的公比为q，，且，，，联立解得，，证明：，数列的前n项和为，数列为单调递增数列，当时，，因此结论成立．【解析】设等比数列的公比为q，由，且，可得，，联立解得，q，即可得出，利用求和公式即可得出数列的前n项和为，再利用数列的单调性即可证明结论．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：①设红球个数为n，由题意可得，，解得；②由题意可得，X所有可能的取值为0，1，2，，，，故X的分布列为：X 0 1 2P故；设盒子中球的总个数为2n，则红球个数为n，从盒子中任意摸两次球，至少有一个红球的概率为，由题意可知，，解得，即，故盒子中球的总个数的最小值为【解析】①根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解；②由题意可得，X所有可能的取值为0，1，2，；依次求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解；先求出从盒子中任意摸两次球，至少有一个红球的概率，令，即可求解．本题主要考查离散型随机变量期望与分布列的求解，考查转化能力，属于中档题．19.【答案】解：证明：平面平面，又平面平面，且平面ABC，，平面，平面，，又，；在上的投影为1，又易得，即，为等边三角形，由得平面平面，，建立以B为原点的空间直角坐标系，如图所示，则根据题意可得：，，，设平面的法向量为，则，取，又为平面ABC的一个法向量，，，设二面角的平面角为，由图可知，，二面角的余弦值为【解析】由条件根据面面垂直性质定理证明平面，由此证明，结合，即可证明结论；建立空间直角坐标系，求平面和平面ABC的法向量，利用向量法，即可得出答案．本题考查二面角、直线与平面垂直，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故函数的单调递增区间为，函数单调递减区间为；证明：若，，则，，所以，所以在上恒成立，令，，则在时恒成立，当时，在时不可能恒成立，故，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故当时，取得极小值，也是最小值，所以，所以，令，，则，易得，时，，单调递增，当时，，单调递减，故，所以【解析】先对函数求导，然后结合导数与单调性关系即可求解；要证原不等式成立，等价于证明在上恒成立，结合不等式构造函数，对新函数求导，结合导数与单调性关系及函数性质可证．本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了函数的性质在不等式证明中的应用，属于中档题．21.【答案】证明：过N作l的垂线，垂足为H，且与圆弧AF交于点M，则，连接AM，PM，NF，因为在圆P中，，，所以，又右焦点，设点，则，整理得因为，所以，所以，由圆的性质：相等弦长所对的圆心角相等，得，所以；解：由题意可得直线PF的斜率不为0，设直线PF的方程为因为直线PF与C的左，右两支分别交于E，D两点，则联立方程组消x可得，设，，，，则，，由题意可得直线DR的方程为，令，得，所以直线DR过定点【解析】由双曲线的性质，结合圆的性质求证即可；设直线PF的方程为联立方程组设，，，，则直线DR的方程为，令，求得，得解．本题考查了圆的性质，重点考查了双曲线的性质及直线与双曲线的位置关系，属中档题．22.【答案】解：解：曲线C的参数方程为为参数，消去参数可得，又，所以曲线C的普通方程为，由，由可得：，故直线l的直角坐标方程为；由知直线l为，故直线的其中一个参数方程为为参数，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程并整理得，设A，B对应的参数分别是，，则，，且，则，，由，故【解析】在曲线C的参数方程中消去参数，即可得其普通方程，将代入，即可得直线l的直角坐标方程；写出直线l过点的参数方程，设出A，B两点的参数，与曲线C联立，判别式大于零，韦达定理可得关于A，B参数的等式，根据参数的几何意义代入中计算即可．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．23.【答案】证明：因为，，，所以，当且仅当时，等号成立，又，所以由，且c为正数，得，则，则，由柯西不等式可得：，当且仅当时，等号成立，所以【解析】利用重要不等式，结合综合法即可得证；利用柯西不等式即可证明不等式．本题主要考查不等式的证明，柯西不等式以及基本不等式的应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．。

湖南省郴州市高考数学二模试卷（理科）含答案解析

湖南省郴州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．若复数z满足zi=1﹣i，则z的共轭复数是（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i2．若A={x|x2+2x﹣8＜0}，B={x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．（﹣4，1]B．（1，2）C．[1，2）D．（﹣4，1）3．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．B． C．D．4．某全日制大学共有学生5400人，其中专科生有1500人，本科生有3000人，研究生有900人．现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取（）A．55人，80人，45人B．40人，100人，40人C．60人，60人，60人D．50人，100人，30人5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β6．直线与圆O：x2+y2=4交于A、B两点，则=（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣47．某班5位同学分别选择参加数学、物理、化学这3个学科的兴趣小组，每人限选一门学科，则每个兴趣小组都至少有1人参加的不同选择方法种数为（）A．150 B．180 C．240 D．5408．如图，椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，短轴端点分别为B1，B2，现沿B1B2将椭圆折成120°角（图二），则异面直线F1B2与B1F2所成角的余弦值为（）A．0 B．C．D．﹣9．在区间[﹣1，1]上任取两数m和n，则关于x的方程x2+mx+n=0的两根都是负数的概率（）A． B． C． D．10．设点P是曲线C：y=x3﹣x+上的任意一点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．[π，π）B．（，π]C．[0，）∪[π，π）D．[0，）∪[π，π）11．已知倾斜角为的直线与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，M（4，2）是弦AB的中点，则双曲线C的离心率是（）A．B． C．2 D．12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=1，且f（x）的导数f′（x）在R上的恒有f′（x）＜（x∈R），则不等式f（x2）＜+的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣2，2） C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．已知四边形ABCD满足|AB|=|AD|，|CD|=且∠BAD=60°，﹣=，那么四边形ABCD的面积为．14．记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是．15．一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．16．已知函数f（x）=asinx+bcosx（其中ab≠0）且对任意的x∈R，有f（x）≤f（），给出以下命题：①a=b；②f（x+）为偶函数；③函数y=f（x）的图象关于点（，0）对称；④函数y=f′（x）的图象可由函数y=f（x）的图象向左平移得到；⑤函数f（x）在y轴右侧的图象与直线y=的交点按横坐标从小到大依次为P1，P2，P3，P4，…，则|P2P4|=2π．其中正确命题的序号是．（将所有正确命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，sinB=2sinA，求△ABC的面积S．18．已知数列{a n}满足a1=3，且对任意的正整数m，n都有a n+m=a n•a m，若数列{b n}满足b n=n﹣1+log3a n，{b n}的前n项和为B n．（Ⅰ）求a n和B n；（Ⅱ）令c n=a n•b n，d n=，数列{c n}的前n项和为S n，数列{d n}的前n项和为T n，分别求S n和T n．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，侧面PAD是边长为2的正三角形且与底面ABCD垂直．（Ⅰ）求证：BC⊥PC；（Ⅱ）线段PC上是否存在点M，使得二面角P﹣AD﹣M的平面角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．20．已知函数（1）若x=1是函数f（x）的极大值点，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若恒成立，求实数ab的最大值．21．已知椭圆Γ的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点．（1）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）Q为椭圆Γ的左顶点，直线l经过点（﹣，0）与椭圆Γ交于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求∠AQB的大小；（2）若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得△QAB为等腰三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．22．已知a为实数，函数f（x）=alnx+x2﹣4x．（Ⅰ）是否存在实数a，使得f（x）在x=1处取极值？证明你的结论；（Ⅱ）若函数f（x）在[2，3]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=（a﹣2）x，若存在x0∈[，e]，使得f（x0）≤g（x0）成立，求实数a 的取值范围．湖南省郴州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．若复数z满足zi=1﹣i，则z的共轭复数是（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数z满足zi=1﹣i，可得z，从而求出即可．【解答】解：∵复数z满足zi=1﹣i，∴z===﹣1﹣i，故=﹣1+i，故选：C．2．若A={x|x2+2x﹣8＜0}，B={x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．（﹣4，1]B．（1，2）C．[1，2）D．（﹣4，1）【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】先观察Venn图，由图可知阴影部分表示的集合为（C R B）∩A，根据集合的运算求解即可．【解答】解：A={x|x2+2x﹣8＜0}=（﹣4，2），∵B={x|x＜1}，∴C R B=[1，+∞），∴（C R B）∩A=[1，2）．故选：C．3．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．B． C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟程序图框的运行过程，得出当n=8时，不再运行循环体，直接输出S值．【解答】解：模拟程序图框的运行过程，得；该程序运行后输出的是计算S=++=．故选：D．4．某全日制大学共有学生5400人，其中专科生有1500人，本科生有3000人，研究生有900人．现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取（）A．55人，80人，45人B．40人，100人，40人C．60人，60人，60人D．50人，100人，30人【考点】分层抽样方法．【分析】先根据总体数和抽取的样本，求出每个个体被抽到的概率，用每一个层次的数量乘以每个个体被抽到的概率就等于每一个层次的值．【解答】解：每个个体被抽到的概率为=，∴专科生被抽的人数是×1500=50，本科生要抽取×3000=100，研究生要抽取×900=30，故选：D．5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．【分析】由α⊥β，m⊂α，n⊂β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n异面；由α∥β，m⊂α，n ⊂β，可得m∥n，或m，n异面；由m⊥n，m⊂α，n⊂β，可得α与β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．【解答】解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A 错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．故选D．6．直线与圆O：x2+y2=4交于A、B两点，则=（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆相交的性质．【分析】先求圆心到直线的距离，再求弦心距所在直线与AO的夹角，然后求数量积．【解答】解：圆O：x2+y2=4的圆心是（0，0），由此知圆心到直线的距离是=＜2所以直线与圆相交故AB=2=2=r，所以∠AOB=所以=2×2×cos=2故选A7．某班5位同学分别选择参加数学、物理、化学这3个学科的兴趣小组，每人限选一门学科，则每个兴趣小组都至少有1人参加的不同选择方法种数为（）A．150 B．180 C．240 D．540【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，分析有将5位同学分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，进而相加可得答案．【解答】解：将5位同学分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有C53•A33=60种，分成2、2、1时，有=90种，所以共有60+90=150种，故选：A．8．如图，椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，短轴端点分别为B1，B2，现沿B1B2将椭圆折成120°角（图二），则异面直线F1B2与B1F2所成角的余弦值为（）A．0 B．C．D．﹣【考点】椭圆的简单性质．【分析】由OF1⊥B1B2，OF2⊥B1B2，可得∠F1OF2为二面角F1﹣B1B2﹣F2的平面角，即为120°，求得椭圆的a，b，c，运用向量的夹角公式可得cos＜，＞=，计算即可得到所求异面直线所成的角的余弦值．【解答】解：由OF1⊥B1B2，OF2⊥B1B2，可得∠F1OF2为二面角F1﹣B1B2﹣F2的平面角，即为120°，椭圆+y2=1中a=，b=1．c=，可得B1F2=B2F1==，=+， =+，•=•+•+•+•=﹣1+0+0+••（﹣）=﹣2，即有cos＜，＞===﹣，可得异面直线F1B2与B1F2所成角的余弦值为．故选：C．9．在区间[﹣1，1]上任取两数m和n，则关于x的方程x2+mx+n=0的两根都是负数的概率（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式，利用积分求出对应区域的面积进行求解即可．【解答】解：∵区间[﹣1，1]上任取两数m和n，∴，对应的区域为正方形，面积S=2×2=4，若方程x2+mx+n=0的两根都是负数，则，即，作出不等式组对应的平面区域如图：则对应的面积S=∫dm=m3|=，则对应的概率P==，故选：A．10．设点P是曲线C：y=x3﹣x+上的任意一点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．[π，π）B．（，π]C．[0，）∪[π，π）D．[0，）∪[π，π）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线斜率的取值范围，结合正切函数的图象和性质进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=3x2﹣，则f′（x）=3x2﹣≥﹣，即tanα≥﹣，则0≤α＜或π≤α＜π，故角α的取值范围是[0，）∪[π，π），故选：D11．已知倾斜角为的直线与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，M（4，2）是弦AB的中点，则双曲线C的离心率是（）A．B． C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据AB的中点P的坐标，表示出斜率，从而得到关于a、b的关系式，再求离心率．【解答】解：∵倾斜角为的直线与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，∴直线的斜率k=tan=，设A（x1，y1），B（x2，y2），则﹣=1，①；﹣=1，②，①﹣②得=，则k==•∵M（4，2）是AB的中点，∴x1+x2=8，y1+y2=4，∵直线l的斜率为，∴=•，即=，则b2=a2，c2=a2+b2=（1+）a2，∴e2=1+==（）2．则e=故选：D．12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=1，且f（x）的导数f′（x）在R上的恒有f′（x）＜（x∈R），则不等式f（x2）＜+的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣2，2） C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣，）【考点】利用导数研究函数的单调性；不等式的综合．【分析】由f′（x）＜，构造辅助函数g（x）=f（x）﹣x，求导，利用导数判断函数单调递减，根据f（2）=1，求得g（2）=，根据f（x2）＜+，将其转换成g（x2）＜g （2），根据函数单调性即可求得不等的解集．【解答】解：f′（x）＜（x∈R），f′（x）﹣＜0，设g（x）=f（x）﹣x，g′（x）=f′（x）﹣＜0，∴g（x）是R上的减函数，g（2）=g（2）﹣=，∴f（x2）＜+，g（x2）=f（x2）﹣＜=g（2），∴x2＞2，解得：x＞或x＜﹣，∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．故答案选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．已知四边形ABCD满足|AB|=|AD|，|CD|=且∠BAD=60°，﹣=，那么四边形ABCD的面积为．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】由题意作图辅助，从而可判断四边形为直角梯形，从而求其面积．【解答】解：由题意作图如右图，∵﹣==，∴BC∥AD且|BC|=|AD|，又∵|AB|=|AD|，且∠BAD=60°，∴|AE|=|AB|=|AD|，∴|BC|=|DE|，∴BCDE是平行四边形，∴CD∥BE，∴DC⊥AD，∵|CD|=，∴|AB|=|AD|=2，∴S==，故答案为：．14．记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是[，4]．【考点】简单线性规划．【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可．【解答】解：满足约束条件的平面区域如图示：因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．所以≤a≤4．故答案为：[，4]15．一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是16π．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积．【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱ABC﹣A1B1C1，三棱柱的底面是边长为3的正三角形ABC，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心连接的线段MN的中点O与三棱柱的顶点A的连线AO就是外接球的半径，∵△ABC是边长为3的等边三角形，MN=2，∴AM=，OM=1，∴这个球的半径r==2，∴这个球的表面积S=4π×22=16π，故答案为：16π．16．已知函数f（x）=asinx+bcosx（其中ab≠0）且对任意的x∈R，有f（x）≤f（），给出以下命题：①a=b；②f（x+）为偶函数；③函数y=f（x）的图象关于点（，0）对称；④函数y=f′（x）的图象可由函数y=f（x）的图象向左平移得到；⑤函数f（x）在y轴右侧的图象与直线y=的交点按横坐标从小到大依次为P1，P2，P3，P4，…，则|P2P4|=2π．其中正确命题的序号是①②④⑤．（将所有正确命题的序号都填上）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由三角函数的最大值相等列式判断①；利用辅助角公式化简代值判断②；求出得值判断③；求导后利用函数的图象平移判断④；由函数图象平移周期不变判断⑤【解答】解：①f（x）=asinx+bcosx=，∵对任意的x∈R，有f（x）≤f（），∴，则2a2+2b2=（a+b）2，∴（a﹣b）2=0，则a=b，故①正确；②∵f（x）=asinx+bcosx=a（sinx+cosx）=，∴f（x+）=，∴f（x+）为偶函数，故②正确；③∵=≠0，故③错误；④y=f′（x）=acosx﹣asinx==，而f（x+）==，故④正确；⑤由f（x）的周期为2π，而f（x）=是把向左平移个单位得到的，∴|P2P4|=2π，故⑤正确．故答案为：①②④⑤．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，sinB=2sinA，求△ABC的面积S．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）﹣1，由周期公式可求最小正周期，由2k，k∈Z 可解得单调递增区间．（2）由f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，可得sin（2C﹣）=1，解得C的范围利用正弦函数的图象和性质即可求得C的值，由sinB=2sinA，利用正弦定理，余弦定理即可解得a，b，根据三角形面积公式即可得解．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin2x﹣=sin（2x﹣）﹣1，…∴最小正周期T=，．由2k，k∈Z 得k，k∈Z，∴f（x）的最小正周期为π，单调递增区间为[k，k]（k∈Z）．…（2）f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，则sin（2C﹣）=1，∵0＜C＜π，∴0＜2C＜2π，∴﹣，∴2C﹣=，∴C=，…∵sinB=2sinA，由正弦定理，得，①由余弦定理，得c2=a2+b2﹣2abcos，即a2+b2﹣ab=3，②由①②解得a=1，b=2．∴S△ABC==．…18．已知数列{a n}满足a1=3，且对任意的正整数m，n都有a n+m=a n•a m，若数列{b n}满足b n=n﹣1+log3a n，{b n}的前n项和为B n．（Ⅰ）求a n和B n；（Ⅱ）令c n=a n•b n，d n=，数列{c n}的前n项和为S n，数列{d n}的前n项和为T n，分别求S n和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）对任意的正整数m，n都有a n+m=a n•a m，可得a n+1=a n•a1=3a n，利用等比数列的通项公式可得a n．可得b n，即可得出{b n}的前n项和为B n．（II）c n=（2n﹣1）•3n．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式可得S n．d n===，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（I）∵对任意的正整数m，n都有a n+m=a n•a m，∴a n+1=a n•a1=3a n，∴数列{a n}是等比数列，公比为3，首项为3，∴a n=3n．∴b n=n﹣1+log3a n=n﹣1+n=2n﹣1，∴{b n}的前n项和为B n==n2．（II）c n=a n•b n，=（2n﹣1）•3n．∴数列{c n}的前n项和为S n=3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）•3n，∴3S n=32+3×33+…+（2n﹣3）•3n+（2n﹣1）•3n+1，∴﹣2S n=3+2（32+33+…+3n）﹣（2n﹣1）•3n+1=﹣3﹣（2n﹣1）•3n+1=（2﹣2n）•3n+1﹣6，∴S n=（n﹣1）•3n+1+3．d n===，当n=1时，d1=；当n≥2时，T n=+++…++=﹣﹣．当n=1时也成立，∴T n=﹣﹣．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，侧面PAD是边长为2的正三角形且与底面ABCD垂直．（Ⅰ）求证：BC⊥PC；（Ⅱ）线段PC上是否存在点M，使得二面角P﹣AD﹣M的平面角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）取AD中点O，连结OP，OC，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BC⊥PC．（Ⅱ）设M（a，b，c），由=λ可得点M的坐标为M（λ，0，﹣λ），求出平面AMD的法向量和平面PAD的法向量，由此利用向量法能求出结果．【解答】（Ⅰ）证明：取AD中点O，连结OP，OC，∵侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，∴△ADC是等边三角形，PO、AD、CO两两垂直，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得P（0，0，），C（，0，0），B（，﹣2，0），=（0，﹣2，0），=（﹣，0，），∴=0，∴CB⊥CP．（Ⅱ）解：假设存在符合要求的点M，令=λ（0≤λ≤1），则=λ=λ（，0，﹣），可得M（λ，0，﹣λ），∴=（λ，1，﹣λ），=（λ，﹣1，﹣λ），设平面MAD的法向量为=（x，y，z），则，令z=λ，得=（λ﹣1，0，λ），显然平面PAD的一个法向量为=（，0，0），∵二面角P﹣AD﹣M的平面角余弦值为，∴|=，∴λ=或λ=﹣1（舍去）∴线段PC上存在点M， =时，使得二面角P﹣AD﹣M的平面角余弦值为．20．已知函数（1）若x=1是函数f（x）的极大值点，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若恒成立，求实数ab的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．【分析】（1）求导数，利用x=1是函数f（x）的极大值点，确定a的范围，即可得到函数f（x）的单调递减区间；（2）构造函数，确定函数的单调性，可得函数的最值，即可得到结论．【解答】解：（1）求导数可得，f′（x）=∵x=1是函数f（x）的极大值点，∴0＜a＜1∴函数f（x）的单调递减区间为（0，a），（1，+∞）；（2）∵恒成立，∴alnx﹣x+b≤0恒成立，令g（x）=alnx﹣x+b，则g′（x）=∴g（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减∴g（x）max=g（a）=alna﹣a+b≤0∴b≤a﹣lna，∴ab≤a2﹣a2lna令h（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则h′（x）=x（1﹣2lnx）∴h（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减∴h（x）max=h（）=，∴ab≤即ab的最大值为．21．已知椭圆Γ的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点．（1）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）Q为椭圆Γ的左顶点，直线l经过点（﹣，0）与椭圆Γ交于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求∠AQB的大小；（2）若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得△QAB为等腰三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）设椭圆的标准方程为：，根据条件列方程组解出a，b即可；（II）（1）把x=﹣代入椭圆方程解出A，B坐标，根据三角形的边长即可求出∠AQB；（2）设AB斜率为k，联立方程组求出A，B坐标的关系，通过计算=0得出，则当△QAB为等腰直角三角形时，取AB中点N，则QN⊥AB，计算QN的斜率判断是否为﹣即可得出结论．【解答】解：（I）设椭圆的标准方程为：，（a＞b＞0）．抛物线y=x2的焦点为（0，1），∴，解得a2=4，∴椭圆Γ的标准方程为+y2=1．（II）Q（﹣2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），（1）当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x=﹣．则直线l与x轴交于M（﹣，0）．联立方程组，解得或．不妨设A在第二象限，则A（﹣，），B（﹣，﹣）．∴|QM|=|AM|=．∴∠AQM=45°，∴∠AQB=2∠AQM=90°．（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l方程为y=k（x+）（k≠0）．联立方程组，消元得（25+100k2）x2+240k2x+144k2﹣100=0．∴x1+x2=，x1x2=．y1y2=k2（x1+）（x2+）=﹣•+．∵=（x1+2，y1），=（x2+2，y2），∴=x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2=﹣+4+﹣•+=0．∴QA⊥QB，即△QAB是直角三角形．假设存在直线l使得△QAB是等腰直角三角形，则|QA|=|QB|．取AB的中点N，连结QN，则QN⊥AB．又x N=（x1+x2）=﹣=﹣，y N=k（x N+）=．∴k QN=，∴k QN•k AB=≠﹣1．∴QN与AB不垂直，矛盾．∴直线l与x轴不垂直，不存在直线l使得△QAB为等腰三角形．22．已知a为实数，函数f（x）=alnx+x2﹣4x．（Ⅰ）是否存在实数a，使得f（x）在x=1处取极值？证明你的结论；（Ⅱ）若函数f（x）在[2，3]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=（a﹣2）x，若存在x0∈[，e]，使得f（x0）≤g（x0）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求得函数的定义域，求导，假设存在实数a，使f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=0，解出a的值，根据x=1的左右单调性是否相同，即可判断x=1是不是极值点；（Ⅱ）先求出f（x）的导数，将问题转化成，a≥2﹣2（x﹣1）2，在x∈[2，3]有解，构造辅助函数，利用函数的求得φ（x）=2﹣2（x﹣1）2的最小值，即可求得a的取值范围．（Ⅲ）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[，e]，上存在一点x0，使得G（x0）＜0，即函数G（x）在[，e]，上的最小值小于零．对G（x）求导．求出G（x）的最小值，即可a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+2x﹣4=，假设存在实数a，使得f（x）下x=1处取极值，则f′（1）=0，∴a=2，此时，f（x）=，∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴x=1不是f（x）的极值点，故不存在实数a，使得f（x）=1处取极值．（Ⅱ）f′（x）==（x＞0），问题等价于，存在x∈[2，3]，使得f′（x）≥0，即a≥2﹣2（x﹣1）2，在x∈[2，3]有解，∴φ（x）=2﹣2（x﹣1）2，在[2，3]上递减，∴φmin=φ（3）=﹣6，∴a＞﹣6；（Ⅲ）记F（x）=x﹣lnx，∴F′（x）=（x＞0），∴当0＜x＜1，F′（x）＜0，F（x）单调递减；当x＞1时，F′（x）＞0，F（x）单调递增；∴F（x）≥F（1）=1＞0，即x＞lnx，（x＞0），由f（x0）≤g（x0）得：（x0﹣lnx0）a≥x02﹣2x0，∴a≥，记G（x）=，x∈[，e]，G′（x）==，x∈[，e]，∴2﹣2lnx=2（1﹣lnx）≥0，∴x﹣2lnx+2＞0，∴x∈（，e）时，G′（x）＜0，G（x）递减，x∈（1，e）时，G′（x）＞0，G（x）递增，∴a≥G（x）min=G（1）=﹣1，故实数a的取值范围为[﹣1，+∞）．8月1日。

高考理科数学模拟试题含答案及解析5套).pptx

AF 4 15．抛物线 y2 4x 的焦点为 F ，过 F 的直线与抛物线交于 A ， B 两点，且满足 BF ，
点 O 为原点，则 △AOF 的面积为
．
f x 2 3 sin xcosx 2cos2 x0
16．已知函数
22
2
的周期为
2π 3
，当
x
0，π3
时，函
数 g x f x m 恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是
第Ⅰ卷（选择题共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．已知a ， b 都是实数，那么“ 2a 2b ”是“ a2 b2 ”的（
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件条件
2．抛物线 x 2 py2 ( p 0) 的焦点坐标为（）
的距离相等，则
1 2
y1
y2
1 2
，即
y 1
y 2 1
．有
2x1 2x2 1 ．由基本不等式得： 2x1 2x2 ≥2 2x1 2x2 ，整理得 2x1x2 ≤ 1 ，解得
4
x1 x2 2 ．（因为 x1 x2 ，等号取不到）．故选 B．
10、【答案】C
学海无涯
【解析】如图所示，该四面体的四个顶点为长方体的四个顶点，设长、宽、高分
19、某高校在 2017 年自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩，按成绩共分为
五组，得到如下的频率分布表：
组
号分
组频
数频
率
第一组 [145,155）
5
0.05
第二组 [155,165）

2020-2021学年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）及答案解析

2020-2021学年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）及答案解析河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|x2+x≥0}，B={x|5x≥5}，则A∩B=（）A．{x|x≥0或x≤﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥1} D．{x|x≥0}2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．33．下列函数中既是奇函数又在区间，[﹣1，1]上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣|x+1| C．D．y=（2x+2﹣x）4．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好5．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．A．2 B．3 C．5 D．66．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A．23 B．11 C．5 D．27．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+8．已知实数x，y满足，则z=的最大值是（）A．B．1 C．3 D．99．已知某几何体的三视图如图所示（图中数据单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．20cm3B．22cm3C．24cm3D．26cm310．在△ABC中，BC=7，cosA=，cosC=，若动点P满足=+（1﹣λ）（λ∈R），则点P的轨迹与直线AB、AC所围成的封闭区域的面积为（）A．3B．4C．6D．1211．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE 上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（）A．﹣e3B．﹣e2C．﹣e D．﹣二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为______．14．若y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，则常数项为______．15．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则的最小值为______．16．已知抛物线y2=4x，过其焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，M为抛物线的准线与x轴的交点，tan∠AMB=，则|AB|=______．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，选做题3小题，考生任作一题，共10分17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若=，且sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且A=，a=2，求△ABC面积的取值范围．18．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：微信控非微信控合计男性26 24 50女性30 20 50合计56 44 100（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中n=a+b+c+d．P（K20.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010≥k0）k00.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.63519．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；（2）若BD=，A1D=2，求二面角A1﹣BD﹣B1的大小．20．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0），P为椭圆C 上任意一点，且最小值为0．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若动直线l2，l2均与椭圆C相切，且l1∥l2，试探究在x轴上是否存在定点B，使得点B到l1，l2的距离之积恒为1？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=e x+ln（x+1）﹣ax．（1）当a=2时，判断函数f（x）在定义域内的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥cosx恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-1几何证明选讲]22．自圆O外一点P引圆O的两条割线PAB和PDC，如图所示，其中割线PDC过圆心O．AB= OA，PD=，∠P=15°，（1）求∠PCB的大小；（2）分别球线段BC和PA的长度．[选修4-4坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为ρsinθ+2ρcosθ=20，将曲线C1：（α为参数）经过伸缩变换后得到C2（1）求曲线C2的参数方程；（2）若点M在曲线C2上运动，试求出M到曲线C的距离d的取值范围．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x+a|（1）当a=3时，不等式f（x）≥k+2的解集不是R，求k的取值范围；（2）若不等式f（x）≤1的解集为{x|x≥}，求a的值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|x2+x≥0}，B={x|5x≥5}，则A∩B=（）A．{x|x≥0或x≤﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥1} D．{x|x≥0}【考点】交集及其运算．【分析】分别求解一元二次不等式与指数不等式化简集合A，B，然后利用交集运算得答案．【解答】解：由x2+x≥0，得x≤﹣1或x≥0，∴A={x|x2+x≥0}={x|x≤﹣1或x≥0}，由5x≥5，得x≥1，∴B={x|5x≥5}={x|x≥1}，∴A∩B={x|x≤﹣1或x≥0}∩{x|x≥1}={x|x≥1}．故选：C．2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1 另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B．3．下列函数中既是奇函数又在区间，[﹣1，1]上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣|x+1| C．D．y=（2x+2﹣x）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：y=sinx是奇函数，但是，[﹣1，1]上单调增函数．y=﹣|x+1|不是奇函数，对于，因为f（﹣x）==﹣=﹣f（x），所以是奇函数，在[﹣1，1]上单调减函数，y=（2x+2﹣x）是偶函数，[﹣1，1]上单调递增．故选：C．4．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好【考点】相关系数．【分析】A根据相关关系的定义，判断命题A正确；B线性回归分析的相关系数r的绝对值越接近1，线性相关性越强，判断命题B错误；C一组数据拟合程度的好坏，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，判断命题C正确；D用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，由此判断命题D正确．【解答】解：对于A，根据相关关系的定义，即可判断自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系是相关关系，∴命题A正确；对于B，线性回归分析中，相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，∴命题B错误；对于C，残差图中，对于一组数据拟合程度的好坏评价，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，∴命题C正确；对于D，回归分析中，用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，∴R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合效果好，命题D正确．故选：B．5．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．A．2 B．3 C．5 D．6【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可得a的方程，解方程可得．【解答】解：设第七层有a盏灯，由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，∴由等比数列的求和公式可得=381，解得a=3，∴顶层有3盏灯，故选：B．6．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A．23 B．11 C．5 D．2【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，y=5，不满足输出条件，故x=5，再次执行循环体后，y=11，不满足输出条件，故x=11，再次执行循环体后，y=23，满足输出条件，故输出的y值为23，故选：A．7．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+【考点】双曲线的简单性质．【分析】将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c的关系，求出离心率的值．【解答】解：将x=c代入双曲线的方程=1（a＞0，b＞0）得y=，即M（c，）．在△MF1F2中tan45°==1即，解得e==+1．故选：C．8．已知实数x，y满足，则z=的最大值是（）A．B．1 C．3 D．9【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域要使z=最大，则x最小，y最大即可，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则x≥1，y≥1，要使z=的最大，则x最小，y最大即可，由图象知当z=经过点A时，z取得最大值，由，得x=1，y=3，即A（1，3），则z=的最大值是z==9，故选：D．9．已知某几何体的三视图如图所示（图中数据单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．20cm3B．22cm3C．24cm3D．26cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知几何体是组合体：左边是三棱锥、右边是直四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：左边是三棱锥、右边是直四棱锥，直四棱锥底面是一个边长为1.5、4的矩形，高是3，由俯视图得三棱锥的底面是直角三角形，直角边为1、4，由正视图得高即四棱锥的侧棱为3，∴几何体的体积V=+1.5×4×3=20（cm3）故选：A．10．在△ABC中，BC=7，cosA=，cosC=，若动点P满足=+（1﹣λ）（λ∈R），则点P的轨迹与直线AB、AC所围成的封闭区域的面积为（）A．3B．4C．6D．12【考点】轨迹方程．【分析】根据向量加法的几何意义得出P点轨迹，利用正弦定理解出AB，得出△ABC的面积，从而求出围成封闭区域的面积．【解答】解：设=．∵=+（1﹣λ）=+（1﹣λ）．∴C，D，P三点共线．∴P点轨迹为直线CD．在△ABC中，sinA=．sinC=．由正弦定理得AB==．sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC==．∴S △ABC ==．∴S △ACD =S △ABC =．故选：B ．11．如图，在长方形ABCD 中，AB=，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将△AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为（）A ．B ．C ．D ．【考点】轨迹方程．【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K ，则D'KA=90°，得到K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度．【解答】解：由题意，将△AED 沿AE 折起，使平面AED ⊥平面ABC ，在平面AED 内过点D 作DK ⊥AE ，K 为垂足，由翻折的特征知，连接D'K ，则D'KA=90°，故K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，如图当E 与C 重合时，AK==，取O 为AD ′的中点，得到△OAK 是正三角形．故∠K0A=，∴∠K0D'=，其所对的弧长为=，故选：D．12．已知函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（）A．﹣e3B．﹣e2C．﹣e D．﹣【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求函数的导数，根据函数存在极小值等价为f′（x）=﹣x+b=0有解，转化为一元二次方程，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），则函数的导数f′（x）=﹣x+b，若函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，则f′（x）=﹣x+b=0有解，即﹣x2+bx+a=0有两个不等的正根，则，得b＞2，（a＜0），由f′（x）=0得x1=，x2=，分析易得f（x）的极小值点为x1，∵b＞2，（a＜0），∴x1==∈（0，），则f（x）极小值=f（x1）=alnx1﹣x12+bx1=alnx1﹣x12+x12﹣a=alnx1+x12﹣a，设g（x）=alnx+x2﹣a，x∈（0，），f（x）的极小值恒大于0等价为g（x）恒大于0，∵g′（x）=+x=＜0，∴g（x）在（0，）上单调递减，故g（x）＞g（）=aln﹣a≥0，得ln≤，即﹣a≤e3，则a≥﹣e3，故a的最小值为是﹣e3，故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为﹣．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在[0，]上的最小值．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到y=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=kπ，即φ=kπ﹣，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣）．∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=﹣时，f（x）取得最小值为﹣，故答案为：﹣．14．若y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，则常数项为84 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】写出二项式（x+）n的展开式的通项，可得y3（x+）n 的展开式的通项，再由x，y的指数为0求得n，r的值，则答案可求．【解答】解：二项式（x+）n的展开式的通项为，则要使y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，需，即n=9，r=3．∴常数项为：．故答案为：84．15．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则的最小值为 4 ．【考点】等差数列的性质．【分析】由等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程求公差d，代入等差数列的通项公式、前n项和公式求出a n、S n，代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【解答】解：因为a1，a3，a13成等比数列，所以，又a1=1，所以（1+2d）2=1×（1+12d），解得d=2或d=0（舍去），所以a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，S n==n2，则====﹣2≥2﹣2=4，当且仅当时取等号，此时n=2，且取到最小值4，故答案为：4．16．已知抛物线y2=4x，过其焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，M为抛物线的准线与x轴的交点，tan∠AMB=，则|AB|= 16 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设AB方程y=k（x﹣1），与抛物线方程y2=4x联立，利用tan∠AMB=，建立k的方程，求出k，即可得出结论．【解答】解：焦点F（1，0），M（﹣1，0），设AB方程y=k （x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）∵tan∠AMB=，∴=，整理可得2k（x1﹣x2）=（x1+1）（x2+1）+y1y2…（*）y=k（x﹣1），与y2=4x联立可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0 可得x1x2=1，x1+x2=+2，y1y2=﹣4代入（*）可得2k（x1﹣x2）=?，∴x1﹣x2=，∴（+2）2﹣4=（）2，∴k=±，∴x1+x2=+2=14，∴|AB|==16．故答案为：16．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，选做题3小题，考生任作一题，共10分17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若=，且sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且A=，a=2，求△ABC面积的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化简可得tanA=tanB，于是C=π﹣2A，代入sin2A（2﹣cosC）=cos2B+化简可求得A；（2）利用正弦定理用B表示出b，c，得到面积S关于B的函数，求出B的范围，得出S的范围．【解答】解：（1）∵，，∴tanA=tanB，∴A=B．∴C=π﹣2A．∵sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，∴sin2A（2+cos2A）=cos2A+，即（1﹣cos2A）（2cos2A+1）=cos2A+，解得cos2A=，∵A+B+C=π，A=B，∴A，∴cosA=，∴A=，C=π﹣2A=．（2）由正弦定理得，∴b=2sinB，c=2sinC=2sin（）=2sinB+2cosB．∴S==2sin2B+2sinBcosB=sin2B﹣cos2B+1=sin（2B﹣）+1．∵△ABC为锐角三角形，∴，∴．∴＜2B﹣＜，∴2＜sin（2B﹣）≤1+．∴△ABC面积的取值范围是（2，1+]．18．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：微信控非微信控合计男性26 24 50女性30 20 50合计56 44 100（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中n=a+b+c+d．P（K20.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010≥k0）k00.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.635【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）计算K2的值，与临界值比较，可得结论；（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，可得结论．（3）X的取值为1，2，3，再求出X取每一个值的概率，即可求得X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由题意，K2=≈0.65＜0.708，∴没有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关；（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，所抽取的5人中“微信控”有3人，“非微信控”的人数有2人；（3）X=1，2，3，则P（X=1）==0.3，P（X=2）==0.6，P（X=3）==0.1．X的分布列为：X 1 2 3P 0.3 0.6 0.1X的数学期望为EX=1×0.3+2×0.6+3×0.1=1.8．19．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；。

高考理科数学模拟试卷(含答案)

高考理科数学模拟试卷(含答案)高考理科数学模拟试卷（含答案）本试卷共分为选择题和非选择题两部分，第Ⅰ卷（选择题）在1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）在3至4页，共4页，满分150分，考试时间为120分钟。

注意事项：1.答题前，请务必填写自己的姓名和考籍号。

2.答选择题时，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请使用橡皮擦擦干净后再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，请使用0.5毫米黑色签字笔，在答题卡规定位置上书写答案。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，请只将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={-1.0.1.2.3.4}，B={y|y=x,x∈A}，则A2B=A){0.1.2}B){0.1.4}C){-1.0.1.2}D){-1.0.1.4}2.已知复数z=1/(1+i)，则|z|=A)2B)1C)2D)23.设函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=x-2，则f(f(1))=A)-1B)-2C)1D)24.已知单位向量e1，e2的夹角为π/2，则e1-2e2=A)3B)7C)3D)75.已知双曲线2x^2-y^2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±3x，则双曲线的离心率是A)10B)10/10C)10D)3/96.在等比数列{an}中，a1>0，则“a1<a4”是“a3<a5”的A)充分不必要条件B)必要不充分条件C)充要条件D)既不充分也不必要条件7.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是A)i≤6?B)i≤5?C)i≤4?D)i≤3?8.已知a、b为两条不同直线，α、β、γ为三个不同平面，则下列命题中正确的是①若α//β，α//γ，则β//γ；②若a//α，a//β，则α//β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④若a⊥α，XXXα，则a//b。

2022年山西省高考模拟考试理科数学试题及答案解析

2022年山西省高考模拟试卷注意事项理科数学试题及答案解析：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合M ，N ，P 均为R 的非空真子集，且M N =R ，M N P = ，则()M P =R ð（）.A.MB.NC.MR ð D.NR ð答案：D解析：如图，中间的阴影和左边的空白是集合M ，中间的阴影和右边的空白表示集合N ，P R ð表示两边空白区域，则()M P R ð表示集合M 的空白区域，即表示为N R ð，故选D.2.函数()sin 2cos3f x x x =+的最小正周期为（）.A.πB.3π2C.2πD.3π答案：C解析：函数sin 2y x =的最小正周期为2ππ2=，函数cos3y x =的最小正周期为2π3.2π2ππ2,2π33÷=÷=，所以函数()sin 2cos3f x x x =+的最小正周期为2π，故选C.3.若双曲线1C ：221(0)3y x a a -=>与双曲线2C ：22169x y -=的渐近线相同，则双曲线1C 的虚轴长为（）.A. B.2C. D.4答案：C详解：因为双曲线1C ：2213y x a -=的渐近线方程为y =，双曲线2C ：22169x y -=的渐近线方程为y =，又这两双曲线的渐近线相同，所以332a =，解得2a =，所以双曲线1C 的虚轴长为 C.4.已知定义域为R 的不恒为0的函数()f x ，()f x '是其导函数.命题p ：()()f x f x '=；命题q ：()e x f x '=.则p 是q 的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：D解析：若()2e x f x =，则()()f x f x '=，充分性不成立；若()e x f x '=，则()e x f x t =+（t 为任意常数），必要性不成立.故p 是q 的既不充分也不必要条件，故选D.5.各项均为正数的等比数列{}n a 中，32a =-，51a =，则1526372a a a a a a ++=（）.A.1B.9C.7+D.9答案：B解析：因为{}n a 为各项为正的等比数列，32a =-，51a =+，所以1526373552222335()(2)2219a a a a a a a a a a a a ++=++==-=+，故选B.6.古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现.如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的23，并且球的表面积也是圆柱表面积的23.现在向圆柱和球的缝隙里注水，最多可以注入的水的体积为2π3，则圆柱的表面积为（）.A.2πB.4πC.6πD.8π答案：C解析：设球的半径为r ，则2112=π2π333V V r r =⋅=水圆柱，解得1r =，∴22π2π26πS r r r =+⋅=圆柱，故选C.7.z 1、z 2是复数，则下列结论中正确的是（）.B A.若z 12+z 22>0，则z 12>-z 22.|z 1-z 2|=C.z 12+z 22=0⇔z 1=z 2=0D.|z 12|=|z 1|2答案：D解析：对于选项A ：取z 1=2+i ，z 2=2-i ，z 12=(2+i )2=3+2i ，z 22=(2-i )2=3-2i ，满足z 12+z 22=6>0，但z 12与z 22是两个虚数，不能比较大小，故选项A 不正确；2i 对于选项B ：取z 1=2+i ，z 2=2-i ，|z 1-z 2|==2，2i ===，故选项B 不正确；2222i a b ab 对于选项C ：取z 1=1，z 2=i ，则z 12+z 22=0，但是z 1≠0，z 2≠0，故选项C 不正确；=-+对于选项D ：设z 1=a +b i ，(a ,b ∈R )，则z 12=(a +b i )，22a b z 12===+，z 1=a -b i，z 1=，所以1z 8.已知焦点在x 轴的椭圆，12,F F 分别为其左右焦点，B 是短轴的一个顶点.弦BC 过1F ，弦CD 过2F ，2=a 2+b 2，所以|z 12|=|z 1|2，故选项D 正确.故选D.若2BC CF =，则椭圆的离心率为（）.A.2B.12C.3D.13答案：C解析：不妨设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，12(,0),(,0),F c F c c -.易知112,2BF a CF CF a =+=，则由2BC CF =可知32a BC =，进而有112CF a =，从而3(,)22c bC --.将C 点坐标代入椭圆方程可得22229144c b a b+=，解得c e a ==，故选C.9.函数11y x =-的图像与函数2cos πy x =(24)x -≤≤的图像所有交点横坐标之和等于（）.A.2B.4C.6D.8答案：C解析：函数11y x =-与函数2cos πy x =的图像有公共的对称轴1x =，作出两函数图像如图所示：由对称性可知，交点横坐标和为6，故选C.10.将函数sin 2y x =图像向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到()y g x =的图像，且函数()y g x =与函数2πcos(2)3y x =+的图像关于π(,0)4对称，则ϕ的最小值为（）.A.π24B.π12C.π6D.π3答案：B解析：由题可知()sin(22)g x x ϕ=-，根据函数()y g x =与函数2πcos(2)3y x =+的图像关于π(,0)4对称可得，π2πsin(22)cos[2()]023x x ϕ-+-+=，即31(cos 2)sin 2(sin 2)cos 2022x x ϕϕ---=对任意的x ∈R 成立.则有3cos 22ϕ=且1sin 22ϕ=，所以π22π6k ϕ=+()k ∈Z ，即ππ()12k k ϕ=+∈Z .由于0ϕ>，所以ϕ的最小值为π12，故选B.11.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数()ln f x x =的图像上的动点，该图像在P 处的切线l 交x 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交x 轴于点N ，设线段MN 的中点的横坐标为t ，则t 的最大值是（）.A.11(e )2e+ B.2C.1e e+D.e答案：A解析：设00(,ln )P x x ，则0011ln :y x x l x =-+，故000(ln ,0)M x x x -.过点P 作l 的垂线000ln ()y x x x x -=--，∴000ln (,0)x N x x +，∴00000ln 1(2ln )2x t x x x x =-+.设ln ()2ln 0)x g x x x x x x =-+>，221ln 1()2(ln 1)(1ln )(1)x g x x x x x -'=-++=-+.当e x =时，()0g x '=.当(0,e)x ∈时，()0g x '>，()g x 递增；当(e,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 递减.故max 11(e )2et =+，故选A.12.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为2的正方形，122AA =，1,O O 分别为两个底面的中心.经过点O 且与底面所成角为1(tan 2θθ=的直线l 与长方体侧面的交于点P .当l 在变化时（保持与底面所成角θ不变），1O P 的最小值为（）.A.B.C.52D.207答案：B解析：根据对称性，不妨设P 在侧面11BCC B 内.设点P 在线段11,BC B C 上的投影分别是12,P P ，以BC 中点O '为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.设(,)P x y12=，整理得2241x y =-，由11x -≤≤可得1222y ≤≤.1O P ===225y =时，1O P 取最小值4105，故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022年全国卷Ⅰ高考数学理科模拟试题卷含答案(2)

2022年全国卷Ⅰ高考数学理科模拟试题卷班级：_________________ 姓名：_________________ 座号：________________评卷人得分一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．若集合A={x||x|≤1,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则A∩B=A.{x|-1≤x≤1}B.{x|x≥0}C.{x|0≤x≤1}D.2．已知复数z=(a-3i)(3+2i)(a∈R)的实部与虚部的和为7,则a的值为A.1B.0C.2D.-23．函数y=log0.4(–x2+3x+4)的值域是A.(0，–2]B.[–2，+∞)C.(–∞，–2]D.[2，+∞)4．以AB为直径的半圆如图所示,其中||=8,O为其所在圆的圆心,OB的垂直平分线与圆弧交于点P,与AB交于点D,Q为PD上一点,若=0,则·=A.9B.15C.-9D.-155．已知lg a+lg b=0,函数f(x)=a x与函数g(x)=-log b x的图像可能是A BC D6．袋子中有四个小球,分别写有“和”“平”“世”“界”四个字,有放回地从中任取一个小球,直到“和”“平”两个字都取到才算完成.用随机模拟的方法估计恰好取三次便完成的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数,0,1,2,3代表的字分别为“和”“平”“世”“界”,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果,随机模拟产生了以下24组随机数组:由此可以估计,恰好取三次便完成的概率为A. B. C. D.7．在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB＝1,AC＝2,BC＝,D,E分别是AC1和BB1的中点,则直线DE 与平面BB1C1C所成的角为A.30°B.45°C.60°D.90°8．执行如图所示的程序框图,若输入的k=,则输出的S=A. B. C. D.9．已知等差数列的前项和分别为,若,则的值是A. B. C. D.10．若x1,x2∈R,则的最小值是A.1B.2C.3D.411．已知直线l过点(1,0),且倾斜角为直线l0:x-2y-2=0的倾斜角的2倍,则直线l的方程为A.4x-3y-3=0B.3x-4y-3=0C.3x-4y-4=0D.4x-3y-4=012．若a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是A.若a⊥b,b⊥α,α⊥β,则a⊥βB.若α⊥β,a⊥α,b∥β,则a⊥bC.若a∥α,a∥β,α∩β=b,则a∥bD.若a∥b,a⊥α,b∥β,则α∥β第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．曲线y=在点(-1,-3)处的切线方程为.14．已知{a n}是递增的等差数列,其前n项和为S n,且S2=S7,写出一个满足条件的数列{a n}的通项公式a n= .15．已知数列{a n}的前n项和为S n,a n+2S n=3n,数列{b n}满足(3a n+2-a n+1)(n∈N*),则数列{b n}的前10项和为.16．已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上.若△PF1F2为直角三角形,且tan∠PF1F2=,则双曲线的离心率为.评卷人得分三、解答题(共7题，共70分)17．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin(+C)=.(1)求角A;(2)若a=4,△ABC的周长为9,求△ABC的面积.18．如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,BB1⊥底面ABCD,E是棱CC1的中点.(1)求证:AC∥平面B1DE;(2)求证:平面BDD1B1⊥平面B1D E.19．2020年12月10日,首届全国职业技能大赛在广州广交会展馆拉开帷幕,活动为期4天,2 557名参赛选手围绕86个比赛项目展开激烈角逐.大赛组委会秘书长、人社部职业能力建设司司长张立新表示,这次大赛是新中国成立以来规格最高、项目最多、规模最大、水平最高的综合性国家职业技能赛事.为了准备下一届比赛,甲、乙两支代表队各自安排了10名选手参与选拔活动,他们在活动中取得的成绩(单位:分,满分100分)如下:甲代表队:95 95 79 93 86 94 97 88 81 89乙代表队:88 83 95 84 86 97 81 82 85 99(1)分别求甲、乙两支代表队成绩的平均值,并据此判断哪支代表队的成绩更好;(2)甲、乙两支代表队的总负责人计划从这两支队伍得分超过90分的选手中随机选择4名参加强化训练,记参加强化训练的选手来自甲代表队的人数为X,求X的分布列和数学期望.20．已知椭圆的右焦点为,过且与轴垂直的弦长为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过作直线与椭圆交于两点,问在轴上是否存在点,使为定值,若存在,请求出点坐标,若不存在,请说明理由.21．已知函数f(x)=(x-2)e x-x2+ax,a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若不等式f(x)+(x+1)e x+x2-2ax+a>0恒成立,求a的取值范围.请考生在第 22、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。

完整版高考理科数学模拟题及详细解析答案

高考模拟理科数学考试时间： ____分钟题型单项选择题填空题简答题总分得分单项选择题（本大题共8 小题，每题 ____分，共 ____分。

）1. 若会集A={ x| – 2 x 1} ， B={ x| x– 1 或x 3} ，则A B=A. { x| – 2 x– 1}B. { x| – 2 x 3}C. { x| – 1 x 1}D. { x|1x 3}2. 若复数（ 1– i ） (a+i) 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是A. ( –∞， 1)B. ( –∞，– 1)C.(1 ， +∞)D.( –1，+∞)3. 履行以以以下图的程序框图，输出的s 值为A. 2B.C.D.4. 若 x，y 满足x ≤ 3，x + y≥ 2，则x + 2y的最大值为y≤ x，A.1B.3C.5D.95. 已知函数，则A. 是奇函数，且在R 上是增函数B. 是偶函数，且在R 上是增函数C. 是奇函数，且在R 上是减函数D. 是偶函数，且在R 上是减函数6. 设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的A.充分而不用要条件B.必需而不充分条件C.充分必需条件D.既不充分也不用要条件7.某四棱锥的三视图以以以下图，则该四棱锥的最长棱的长度为A. 3B. 2C. 2D. 28. 依据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361 ，而可观察宇宙中一般物质的原子总数 N约为1080. 则以下各数中与最凑近的是（参照数据： lg3 ≈ 0.48 ）33A.10B.10 5373C.10D.10 93填空题（本大题共 6 小题，每题 ____分，共 ____分。

）9. 若双曲线的离心率为，则实数m=_______________.10. 若等差数列和等比数列满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则=__________.11.在极坐标系中，点 A 在圆，点 P 的坐标为(1,0)，则|AP| 的最小值为 ____.12.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以 Ox为始边，它们的终边关于y 轴对称。

内蒙古包头市高考数学二模试卷（理科）含答案解析

内蒙古包头市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣8＞0}，B={﹣3，﹣1，1，3，5}，则A∩B=（）A．{﹣1，1，3}B．{﹣3，﹣1，1}C．{﹣3，5} D．{3，5}2．若复数z=（3+bi）（1+i）﹣2是纯虚数（b∈R），则|z|=（）A．1 B．2 C．3 D．43．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．4．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC，且a＞c，cosB=，则=（）A．2 B．C．3 D．5．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图．下面关于这两位同学的数学成绩的分析中，正确的共有（）个．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，与正态曲线相近，故而平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；③乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过40分．A．1 B．2 C．3 D．46．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．16cm3B．20cm3C．24cm3D．30cm37．执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.02，则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．98．已知函数f（x）=x3﹣3ax+，若x轴为曲线y=f（x）的切线，则a的值为（）A．B．﹣C．﹣D．9．实数x，y满足，若3x﹣2y≤m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[9，+∞）B．[﹣，+∞）C．[﹣，+∞）D．[﹣，9]10．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=111．在正三棱锥S﹣ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=2，则此正三棱锥S﹣ABC的外接球的体积是（）A．12πB．32πC．36πD．48π12．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=2，f′（x）﹣f（x）＞e x，则使得f（x）＞xe x+2e x成立的x的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是______．14．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为f（x）=______．15．一条斜率为1的直线与曲线：y=e x和曲线：y2=4x分别相切于不同的两点，则这两点间的距离等于______．16．已知椭圆E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB中点为（2，﹣1），则E的离心率e=______．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n≠0，a n a n+1=pS n+2，其中p为常数．（1）证明：a n+2﹣a n=p；（2）是否存在p，使得|a n|为等差数列？并说明理由．18．如图1，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=2，E，F分别是AD，BC的中点，对角线BD与EF交于O点，沿EF将矩形ABFE折起，使平面ABFE与平面EFCD所成角为60°．在图2中：（1）求证：BO⊥DO；（2）求平面DOB与平面BFC所成角的余弦值．19．如表是某班（共30人）在一次考试中的数学和物理成绩（单位：分）学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 1415数学成绩114 106 115 77 86 90 95 86 97 79 100 78 77 113 60物理成绩72 49 51 29574962 226329422137 46 21学号16 1718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30数学成绩89 74 82 95 64 87 56 65 43 64 64 85 66 5651物理成绩65 4533 28 29 28 39 34 45 35 35 34 20 29 39 将数学成绩分为两个层次：数学Ⅰ（大于等于80分）与数学Ⅱ（低于80分），物理也分为两个层次：物理Ⅰ（大于等于59分）与物理Ⅱ（低于59分）．（1）根据这次考试的成绩完成下面2×2列联表，并运用性检验的知识进行探究，可否有95%的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”？物理Ⅰ物理Ⅱ合计数学Ⅰ 4数学Ⅱ15合计30（2）从该班这次考试成绩中任取两名同学的成绩，记ξ为数学与物理成绩都达到Ⅰ层次的人数，求ξ的分布列与数学期望．可能用到的公式和参考数据：K2=性检验临界值表（部分）P（K2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 20．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=4与x轴的交点为H，与C的交点为Q，且|QF|=|HQ|．（1）求C的方程；（2）过F的直线l与C相交于A、B两点，分别过A，B且与C相切的直线l1，l2相交于点R，求S△RAB的最小值．21．已知函数f（x）=2mlnx﹣x2，g（x）=e x﹣2mlnx（m∈R），ln2=0.693．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在最大值M，g（x）存在最小值N，且M≥N，求证：m＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B是圆O上两点，延长AB至点C，满足AB=2BC=2，过C作直线CD与圆O相切于点D，∠ADB的平分线交AB于点E．（1）证明：CD=CE；（2）求的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=1．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．[选修4-5：不等式选讲]24．（1）设a≥b＞0，证明：3a3+2b3≥3a2b+2ab2；（2）已知|a|＜1，|b|＜1，证明|1﹣ab|＞|a﹣b|．内蒙古包头市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣8＞0}，B={﹣3，﹣1，1，3，5}，则A∩B=（）A．{﹣1，1，3}B．{﹣3，﹣1，1}C．{﹣3，5} D．{3，5}【考点】交集及其运算．【分析】通过不等式的解法求出集合A，然后求解交集即可．【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0，得到（x﹣4）（x+2）＞0，解得x＞4或x＜﹣2，∴A=（﹣∞，2）∪（4，+∞），又B={﹣3，﹣1，1，3，5}，∴A∩B={﹣3，5}．故选C．2．若复数z=（3+bi）（1+i）﹣2是纯虚数（b∈R），则|z|=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】复数求模．【分析】用纯虚数的定义：实部为0，虚部不为0，求出a；利用复数模的公式求出复数的模．【解答】解：z=（3+bi）（1+i）﹣2=1﹣b+（3+b）i，∵复数z=（3+bi）（1+i）﹣2是纯虚数，∴1﹣b=0，即b=1，∴z=4i，∴|z|=4，故选：D．3．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．【考点】向量在几何中的应用．【分析】利用向量加法的三角形法则，将，分解为+和+的形式，进而根据D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，结合数乘向量及向量加法的平行四边形法则得到答案．【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴+=（+）+（+）=+=（+）=，故选：A4．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC，且a＞c，cosB=，则=（）A．2 B．C．3 D．【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理将sin2B=2sinAsinC，转换成b2=2ac，根据余弦定理化简得：，同除以c2，设c2=t，解得t的值，根据条件判断的值．【解答】解：三角形ABC中，sin2B=2sinAsinC，由正弦定理：，得：b2=2ac，由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，即：，等号两端同除以c2，得：，令=t，∴2t2﹣5t+2=0，解得：t=2，t=，a＞c，∴t=2，则=2，故答案选：A．5．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图．下面关于这两位同学的数学成绩的分析中，正确的共有（）个．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，与正态曲线相近，故而平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；③乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过40分．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】频率分布折线图、密度曲线．【分析】根据折线图分别判断①②③④的正误即可．【解答】解：①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高分是130分，故而平均成绩小于130分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内，②正确；③乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中的最高分大于130分，最低分小于90分，差超过40分，故④正确；故选：C．6．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．16cm3B．20cm3C．24cm3D．30cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图可知该几何体就是以俯视图为底面的四棱柱，四棱柱的体积为V=底面积×高，即可求得V．【解答】解：三视图可知令该几何体就是以俯视图为底面的四棱柱，则四棱柱的体积为V=底面积×高=（3×3+×1×3×2）×2=24（cm3）故答案选：C7．执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.02，则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，依次写出每次循环得到的s，m，n的值，可知当s=时，不满足条件s＞0.02，退出循环，输出n的值为6．【解答】解：模拟执行程序，可得t=0.02，s=1，n=0，m=，执行循环体，s=，m=，n=1满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=2满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=3满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=4满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=5满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=6不满足条件s＞0.02，退出循环，输出n的值为6．故选：A．8．已知函数f（x）=x3﹣3ax+，若x轴为曲线y=f（x）的切线，则a的值为（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为（m，0），代入函数的解析式，求出函数的导数，可得切线的斜率，解方程即可得到m，a的值．【解答】解：设切点为（m，0），则m3﹣3am+=0，①f（x）=x3﹣3ax+的导数为f′（x）=3x2﹣3a，由题意可得3m2﹣3a=0，②由①②解得m=，a=．故选：D．9．实数x，y满足，若3x﹣2y≤m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[9，+∞）B．[﹣，+∞）C．[﹣，+∞）D．[﹣，9]【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，从而利用线性规划求3x﹣2y的最大值，从而求恒成立问题．【解答】解：由题意作平面区域如下，结合图象可知，当过点A（3，0）时，3x﹣2y有最大值9，故m≥9，故选：A．10．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．【分析】先利用圆的一般方程，求得圆心坐标和半径，从而确定双曲线的焦距，得a、b间的一个等式，再利用直线与圆相切的几何性质，利用圆心到渐近线距离等于圆的半径，得a、b间的另一个等式，联立即可解得a、b的值，从而确定双曲线方程【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0的圆心C（3，0），半径r=2∴双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点坐标为（3，0），即c=3，∴a2+b2=9，①∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx﹣ay=0，∴C到渐近线的距离等于半径，即=2 ②由①②解得：a2=5，b2=4∴该双曲线的方程为故选A11．在正三棱锥S﹣ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=2，则此正三棱锥S﹣ABC的外接球的体积是（）A．12πB．32πC．36πD．48π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的体积．【解答】解：∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB∵三棱锥S﹣ABC为正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径．∴2R=SA=6，∴R=3，∴V=πR3=36π．故选：C．12．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=2，f′（x）﹣f（x）＞e x，则使得f（x）＞xe x+2e x成立的x的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据f′（x）﹣f（x）＞e x，构造g（x）=e﹣x f（x）﹣x，求导，求出函数的单调增函数，只需将求g（x）的最小值大于2，即可求得x的取值范围．【解答】解：构造辅助函数g（x）=e﹣x f（x）﹣x，g′（x）=﹣e﹣x f（x）+f′（x）e﹣x﹣1=e﹣x[f′（x）﹣f（x）]﹣1，由f′（x）﹣f（x）＞e x，g′（x）＞0恒成立．∴g（x）在定义域上是单调递增函数，要使f（x）＞xe x+2e x，即：e﹣x f（x）﹣x＞2，只需将g（x）的最小值大于2，∵g（0）=2，g（x）在定义域上是单调递增函数；故x＞0，即x的取值范围是（0，+∞）．故答案选：A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是18．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理展开即可得出．【解答】解：∵（1+x）3（1+y）4=（1+3x+3x2+x3）（1+4y+6y2+4y3+y4），∴3×6=18，故答案为：18．14．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为f（x）=2sin（2x+）．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图象可得周期T=π，利用周期公式可求ω，利用将点（，A）代入y=Asin （2x+φ）及φ的范围可求φ的值，将（0，），y=Asin（2x+）即可求得A的值，即可确定函数解析式．【解答】解：根据图象可得，=，T==π，则ω=2，将点（，A）坐标代入y=Asin（2x+φ），sin（+φ）=1，|φ|＜，∴φ=，将点（0，）代入得=Asin，∴A=2，∴f（x）=2sin（2x+），故答案为：2sin（2x+）．15．一条斜率为1的直线与曲线：y=e x和曲线：y2=4x分别相切于不同的两点，则这两点间的距离等于．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用导数求出切点的坐标，再利用两点间的距离公式，即可得出结论．【解答】解：∵y=e x，∴y′=e x=1，∴x=0，y=1，即切点坐标为（0，1），∵y=2，∴y′==1，∴x=1，y=2，即切点坐标为（1，2），∴两点间的距离等于．故答案为：．16．已知椭圆E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB中点为（2，﹣1），则E的离心率e=．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆E的标准方程为： +=1（a＞b＞0）．A（x1，y1），B（x2，y2），利用斜率公式可得：k l=1，利用中点坐标公式可得：x1+x2=4，y1+y2=﹣2，由于=1，+=1，相减可得a，b的关系式，再利用离心率计算公式即可得出．【解答】解：设椭圆E的标准方程为： +=1（a＞b＞0）．A（x1，y1），B（x2，y2），k l===1，x1+x2=4，y1+y2=﹣2，∵=1， +=1，相减可得： +=0，∴﹣=0，解得=．∴椭圆的离心率e===．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n≠0，a n a n+1=pS n+2，其中p为常数．（1）证明：a n+2﹣a n=p；（2）是否存在p，使得|a n|为等差数列？并说明理由．【考点】等差数列的性质；数列递推式．【分析】（1）a n a n+1=pS n+2，a n+1a n+2=pS n+1+2，相减可得：a n+1（a n+2﹣a n）=pa n+1，利用a n+1≠0，可得a n+2﹣a n=p．（2）由a n a n+1=pS n+2，令n=1时，a1a2=pa1+2，a1=2，可得：a2=p+1，同理可知：a3=p+2，令2a2=a1+a3，解得p=2．因此a n+2﹣a n=2，数列{a2n﹣1}，数列{a2n}都是公差为2的等差数列，即可得出．【解答】（1）证明：∵a n a n+1=pS n+2，a n+1a n+2=pS n+1+2，∴a n+1（a n+2﹣a n）=pa n+1，∵a n+1≠0，∴a n+2﹣a n=p．（2）解：由a n a n+1=pS n+2，令n=1时，a1a2=pa1+2，a1=2，可得：a2=p+1，同理可知：a3=p+2，令2a2=a1+a3，解得p=2．∴a n+2﹣a n=2，∴数列{a2n﹣1}是首项为2，公差为2的等差数列，且a2n﹣1=2+2（n﹣1）=2n．数列{a2n}是首项为3，公差为2的等差数列，且a2n=3+2（n﹣1）=2n+1．∴a n=n+1．∴a n+1﹣a n=1．因此存在p=2，使得数列|a n|为等差数列．18．如图1，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=2，E，F分别是AD，BC的中点，对角线BD与EF交于O点，沿EF将矩形ABFE折起，使平面ABFE与平面EFCD所成角为60°．在图2中：（1）求证：BO⊥DO；（2）求平面DOB与平面BFC所成角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）先求出OD=，OB=，连结BD，求出BD=，由勾股定理逆定理得OD ⊥OB．（2）以F这原点，在平面BFC中过F作FC的垂线为x轴，FC为y轴，FE作z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DOB与平面BFC所成角的余弦值．【解答】证明：（1）由题设知OD==，OB==，连结BD，在Rt△BCD中，BD===，∴OD2+OB2=BD2=6，由勾股定理逆定理得OD⊥OB．解：（2）以F这原点，在平面BFC中过F作FC的垂线为x轴，FC为y轴，FE作z轴，建立空间直角坐标系，则O（0，0，1），B（），D（0，，2），F（0，0，0），∴=（，﹣1），=（0，，1），=（0，0，1），设平面OBD的法向量=（x，y，z），则，令y=﹣，得=（，﹣，2），平面FBC的法向量=（0，0，1），cos＜＞===，∴平面DOB与平面BFC所成角的余弦值为．19．如表是某班（共30人）在一次考试中的数学和物理成绩（单位：分）学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1413 15 数学成绩114 106 115 77 86 90 95 86 97 79 100 78 77 113 60物理成绩72 49 51 29574962 226329422137 46 21学号16 1718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30数学成绩89 74 82 95 64 87 56 65 43 64 64 85 66 5651物理成绩65 4533 28 29 28 39 34 45 35 35 34 20 29 39 将数学成绩分为两个层次：数学Ⅰ（大于等于80分）与数学Ⅱ（低于80分），物理也分为两个层次：物理Ⅰ（大于等于59分）与物理Ⅱ（低于59分）．（1）根据这次考试的成绩完成下面2×2列联表，并运用性检验的知识进行探究，可否有95%的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”？物理Ⅰ物理Ⅱ合计数学Ⅰ 4数学Ⅱ15合计30（2）从该班这次考试成绩中任取两名同学的成绩，记ξ为数学与物理成绩都达到Ⅰ层次的人数，求ξ的分布列与数学期望．可能用到的公式和参考数据：K2=性检验临界值表（部分）P（K2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【考点】性检验的应用．【分析】（1）根据考试成绩填写列联表，利用公式计算K2，根据所给参数即可得出结论；（2）由题意知ξ满足超几何分布，计算对应的概率，写出ξ的分布列与数学期望值．【解答】解：（1）根据这次考试的成绩填写2×2列联表，如下；物理Ⅰ物理Ⅱ合计数学Ⅰ 4 11 15数学Ⅱ0 15 15合计 4 26 30假设数学成绩与物理成绩无关，由公式得K2===≈4.61＞3.841，根据所给参数可知数学成绩与物理成绩无关的概率小于5%，即有95%的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”；（2）由题意知ξ满足超几何分布，从该班这次考试成绩中任取两名同学的成绩共有=435种可能，抽取的两人均达到Ⅰ层次的概率是==，抽取的两人仅有1人同时达到Ⅰ层次的概率是=，抽取的两人同时到达层次Ⅰ的概率是1﹣﹣==，所以ξ的分布列为：ξ0 1 2P（ξ）ξ的数学期望为Eξ=0×+1×+2×=．20．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=4与x轴的交点为H，与C的交点为Q，且|QF|=|HQ|．（1）求C的方程；（2）过F的直线l与C相交于A、B两点，分别过A，B且与C相切的直线l1，l2相交于点R，求S△RAB的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，求得H，Q的坐标，运用抛物线的定义和解方程可得p，进而得到抛物线方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），l：y=kx+，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，求得抛物线对应函数的导数，可得切线的斜率和方程，求得交点R的坐标，再求R 到直线l的距离，运用三角形的面积公式，化简整理，即可得到所求最小值．【解答】解：（1）抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，），准线方程为y=﹣由题意可得H（4，0），Q（4，），则|HQ|=，|QF|=+，由|QF|=|HQ|，可得+=•，解得p=2，则抛物线的方程为x2=4y；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），l：y=kx+，代入抛物线x2=4y，消去y，可得x2﹣4kx﹣8=0，则x1+x2=4k，x1x2=﹣8，由y=x2的导数为y′=x，即有l1：y﹣y1=x1（x﹣x1），由x12=4y1，可得l1：y=x1x﹣x12，同理可得l2：y=x2x﹣x22，解得交点R（，x1x2），即为R（2k，﹣），即有R到l的距离为d==2，又|AB|=•=•=4（1+k2），则S△RAB=|AB|•d=•4（1+k2）•2=8（1+k2），当k=0时，S△RAB取得最小值8．21．已知函数f（x）=2mlnx﹣x2，g（x）=e x﹣2mlnx（m∈R），ln2=0.693．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在最大值M，g（x）存在最小值N，且M≥N，求证：m＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出g（x）的导数，构造函数u（x）=xe x﹣2m，求出M，N的表达式，构造函数h（x）=xlnx+﹣（ln2+1）﹣1，根据函数的单调性证出结论．【解答】解：（1）由题意x＞0，f′（x）=，m≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）递减，m＞0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，∴f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减；（2）证明：g′（x）=，m≤0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，无最小值，由（1）得f（x）无最大值，故m＞0，令u（x）=xe x﹣2m，u′（x）=e x+xe x＞0，u（0）=﹣2m＜0，u（2m）=2m（e2m﹣1）＞0，故唯一存在x0∈（0，2m），使得u（x0）=0，即m=，列表如下：x （0，x0）x0（x0，+∞）u（x）﹣0 +g′（x）﹣0 +g（x）递减最小值递增由（1）得：M=f（）=mlnm﹣m，且N=g（x0）=﹣2mlnx0，由题设M≥N，即mlnm﹣m≥﹣2mlnx0，将m=代入上式有：ln﹣≥﹣2（）lnx0，化简得：x0lnx0+﹣（ln2+1）﹣1≥0，（*），构造函数h（x）=xlnx+﹣（ln2+1）﹣1，h′（x）=（lnx+1）+x﹣（ln2+1），而h′（x）递增，h′（1）=（4﹣ln2）＞0，当x＞0，h′（）=﹣5ln2＜0，则唯一存在t∈（0，1），使得h′（t）=0，则当x∈（0，t），h′（x）＜0，h（x）递减，x∈（t，+∞），h′（x）＞0，h（x）递增，又h（1）=﹣ln2﹣1＜0，故h（x）≥0只会在（t，+∞）有解，而h（2）=3ln2+2﹣（ln2+1）﹣1=2ln2＞0，故（*）的解是x0＞1，则m=＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B是圆O上两点，延长AB至点C，满足AB=2BC=2，过C作直线CD与圆O相切于点D，∠ADB的平分线交AB于点E．（1）证明：CD=CE；（2）求的值．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（1）利用弦切角定理，角平分线的性质，即可证明：CD=CE；（2）证明△CDB∽△CAD，即可求的值．【解答】（1）证明：∵CD是圆O的切线，∴∠CDB=∠DAB，∵∠ADB的平分线交AB于点E，∴∠EDA=∠EDB，∵∠CED=∠DAE+∠EDA，∠EDC=∠EDB+∠BDC，∴∠CED=∠EDC，∴CD=CE；（2）解：∵CD是圆O的切线，∴CD2=CB•CA=3，∴CD=，∵∠CDB=∠DAC，∴△CDB∽△CAD，∴==．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=1．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程（t为参数），利用cos2t+sin2t=1消去参数t化为普通方程．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程．（2）曲线C2的极坐标方程为ρ=1，化为直角坐标方程：x2+y2=1．联立可得交点坐标，再化为极坐标即可得出．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程（t为参数），消去参数t化为普通方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，展开为：x2+y2﹣2x﹣2y﹣1=0．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣1=0．（2）曲线C2的极坐标方程为ρ=1，化为直角坐标方程：x2+y2=1．联立，j解得，或，化为极坐标，．∴C1与C2交点的极坐标分别为：，．[选修4-5：不等式选讲]24．（1）设a≥b＞0，证明：3a3+2b3≥3a2b+2ab2；（2）已知|a|＜1，|b|＜1，证明|1﹣ab|＞|a﹣b|．【考点】绝对值三角不等式；不等式的证明．【分析】（1）直接利用作差法，再进行因式分解，分析证明即可．（2）直接利用作差法，结合平方、开方，然后分析证明即可．【解答】证明：（1）3a3+2b3﹣（3a2b+2ab2）=3a3﹣3a2b+2b3﹣2ab2=3a2（a﹣b）+2b2（b﹣a）=（3a2﹣2b2）（a﹣b）．因为a≥b＞0，所以a﹣b≥0，3a2﹣2b2≥0，从而（3a2﹣2b2）（a﹣b）≥0，即3a3+2b3≥3a2b+2ab2．（2）∵|1﹣ab|2﹣|a﹣b|2=1+a2b2﹣a2﹣b2=（a2﹣1）（b2﹣1）．∵|a|＜1，|b|＜1，∴a2﹣1＜0，b2﹣1＜0．∴|1﹣ab|2﹣|a﹣b|2＞0，故有|1﹣ab|＞|a﹣b|．9月22日21 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广西高考模拟考试数学试卷及答案解析(理科)

广西高考模拟考试数学试卷及答案解析（理科）班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题1．已知集合{}21A y y x ==-，112xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭则()R A B =（）A ．{}1x x <-B ．{}10x x -<<C ．{}0x x ≥D ．{}1x x ≥-2．已知复数1z ，2z 是关于x 的方程26100x x +=-的两个根，则122z z +=（）A ．9B ．81C D ．823．在ABC 中2AD DC =，E 为BD 的中点，若4AB 3AC = 2π3A =则AE CE ⋅=（） A ．3B ．52C ．2D ．324．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A ．43B ．4C ．83D ．85．若tan （π+x ）=-3，则212cos x sin x+的值是（）A ．13B ．3-C ．12D ．2-6．若点P 为抛物线24x y =上一点，F 为焦点，且3PF =，则点P 到x 轴的距离为（）A ．2B ．3C ．4D ．57．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出三种，分别种在不同土质的3块土地上，其中黄瓜必须种植，种植方法共有（）种．A ．24B ．18C ．12D ．98．已知函数()()()0.45π2,log 3,log 3,cos 3xf x a f b f c f ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，则（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>9．在△ABC 中，∠A=60°，b=1，ABCS =ABC 的外接圆半径R 的值为（）AB C D 10．已知函数22()cos sin f x x x =-，则（）A ．()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增11．已知点()1,1A -，()3,5B 若点A ，B 到直线l 时距离都为2，则直线l 的方程不可能为（）A ．20x y -+-=B ．20x y -++=C ．3y =D ．10x y --=12．设函数()f x 是定义在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的函数，()'f x 是函数()f x 的导函数，若()()tan f x xf x <' πf 16⎛⎫= ⎪⎝⎭ (e为自然对数的底数)，则不等式()f x 2sinx <的解集是( ) A ．π0,6⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．已知ππ,sin 2cos cos 122βαβααβ-<-<+=-=，则πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.14．已知点(0,2)A ，直线l :0x y +=，则点A 到直线l 的距离为______. 15．圆台的底半径为1和2，母线长为3，则此圆台的体积为________．16．已知函数2e 2(1)()23(1)x x x x x f x x x ⎧--=⎨->⎩，当(,]x m ∈-∞时，()f x 的取值范围为1,1x e ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，则实数m 的取值范围是________. 三、解答题17．在数列{}n a 中，已知10a =，26a =且对于任意正整数n 都有2156n n n a a a ++=-. (1)令12n n n b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式；(2)设m 是一个正数，无论m 为何值，是否都有一个正整数n 使13n na m a +-<成立.(1)求a 的值：(2)为进一步了解这1000名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(]8,10，(]10,12两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在(]10,12内的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 19．在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是等腰梯形ABCD ,112AD AB CD ===平面ADP ⊥平面PCD ,PD PC ⊥．(1)求证:ADP △为直角三角形;(2)若PC AD =,求二面角B AP C --的大小． 20．已知函数()()1ln f x x x =-. (1)讨论()f x 的单调性；(2)设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：11e a b+< 21．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点A ，右焦点F ，其上一点4,33b P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以AP 为直径的圆经过F .（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点.求证：在x 轴上存在两个定点，它们到直线l 的距离之积等于1.22．在极坐标系中，已知曲线2:cos C ρθ=，直线:12x l t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 是参数），且直线l 与曲线C 交A ,B 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程与直线的普通方程； (2)设定点P 的极坐标3π1,2⎛⎫⎪⎝⎭，求(1)(1)PA PB ++的值．23．已知函数()1f x x =+.(1)求不等式()211f x x <+-的解集；(2)关于x 的不等式()()23f x f x a -+-<的解集不是空集，求实数a 的取值范围.参考答案与解析1．A【分析】根据二次函数的性质、指数函数的单调性，结合集合交集、补集的定义进行求解即可.【详解】因为{}21[1,)A y y x ==-=-+∞，所以(,1)R A =-∞-又因为11(,0)2xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>=-∞⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭所以()R A B ={}1x x <- 故选：A 2．C【分析】利用求根公式和复数的模求解.【详解】解：因为复数1z ，2z 是关于x 的方程26100x x +=-的两个根所以3i x ==±所以1229i z z +=+=或1229i z z +=- 故选：C 3．A【分析】由平面向量的运算法则分解，转化后由数量积的运算律求解【详解】因为11112223AE AB AD AB AC =+=+ ()111112222623CE CB CD AB AC AC AB AC =+=--=-所以2211211121643934694629AE CE AB AB AC AC ⋅=-⋅-=⨯+⨯⨯⨯-⨯=.故选：A 4．A【分析】由三视图得到该四棱锥底面为对角线长为2的正方形，与底面垂直的侧棱的长度为2，利用体积公式计算即得.【详解】根据三视图可知，该四棱锥的直观图如图P ABCD -所示,底面为对角线长为2的正方形，与底面垂直的侧棱的长度为2，∴其体积为12422323V ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭故选:A.【点睛】本题考查根据三视图求几何体的体积问题，关键是看懂三视图，并根据三视图判断四棱锥的底面和高. 5．D【分析】由条件得tanx=-3，然后利用1的代换，结合弦化切进行转化求解即可．【详解】由tan （π+x ）=-3得tanx=-3222221cos sin 1tan cos sin 2cos sin 212tan x x xx x x x x++==+++将正切值代入得到结果为-2. 故选D ．【点睛】本题主要考查三角函数值的化简和求解，结合1的代换以及弦化切是解决本题的关键． 6．A【分析】根据抛物线的定义可求出结果.【详解】由抛物线方程为24x y =，可知准线方程为1y =- 因为3PF =，所以由抛物线的定义可知点P 到准线的距离为3设(),P m n ，所以13n +=，解得2n =,从而可知点P 到x 轴的距离为2．故选：A ． 7．B【分析】根据题意，依次分析黄瓜和其他3种蔬菜的种植方法，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，4种蔬菜中，黄瓜必须种植，则黄瓜有3种种植方法再从剩下的3种蔬菜中任选2种，安排在剩下的2块土地上，有236A =种情况则共有1863=⨯种种植方法．故选：B 8．B9．A【分析】先由三角形的面积公式计算出c 的值，然后利用余弦定理求出a 的值，再利用正弦定理可求出△ABC 的外接圆直径.【详解】由三角形的面积公式可得11sin 122S bc A c ==⨯⨯=4c =由余弦定理得2222212cos 14214132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，则a由正弦定理可知，△ABC的外接圆直径为sin a A ==所以半径为R=故选：A.【点睛】本题考查三角形外接圆半径的计算，涉及到的知识点有三角形的面积公式、余弦定理和正弦定理，求解时要根据已知元素的类型选择合适的公式进行计算，考查运算求解能力，属于简单题目. 10．C11．D【分析】由题意可分为：直线l 与直线AB 平行以及直线l 过AB 的中点()1,3两种情况，然后利用两直线平行和点到直线的距离公式等知识分析计算即可得解．【详解】直线AB 的斜率为()51131-=-- ①直线l 与直线AB 平行时，设直线l 的方程为0x y m -+=2=，解得2m =±直线l的方程为20x y -+-=或20x y -++=； ②若直线l 过AB 的中点()1,3时若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()31y k x -=-，整理为30kx y k -+-= 点A 到直线l2=，解得0k =，直线l 的方程为3y =；若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为3x =符合题意．故选：D . 12．A【分析】令()()sin f x g x x=，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求出函数的导数，由()()tan f x xf x <'可得()0g x '>，()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，根据函数的单调性求出x 的范围即可．【详解】令()()f x g x sinx=，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为()()tan f x xf x <'则()()()()()220f x sinx f x cosxf x tanx f xg x cosx sin xsin x--=='⨯'>'故()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递增而ππ6g 2π6sin 6f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭，故()2f x sinx <，即()2,sin f x x < 即()g 6x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，故π06x <<，即不等式的解集为π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选A ．【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 13．【分析】根据已知等式平方后相加可得()1sin 2βα-=-，即()1sin 2αβ-=，根据已知角度范围即可得6παβ-=，从而可得sin β=，πsin 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】等式sin 2cos cos 1βααβ+=-=两边同时平方得22sin 4cos 4sin cos 2βαβα++= 224sin cos 4sin cos 1αβαβ+-=两式相加，得414sin cos 4sin cos 3βααβ++-=，整理得()1sin 2βα-=-，即1sin()2αβ-=因为ππ22βα-<-<，所以6παβ-=，得π6αβ=+代入2sin cos 1αβ-=，得2sin cos 16πββ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即sin β=πsin 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭则ππππcos cos sin 3626ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为14【分析】利用点到直线距离公式，求解即可.【详解】点(0,2)A 到直线0x y +=的距离为d ==.15【分析】由圆台的底半径为1和2，母线长为3，求出圆台高为，由此能求出此圆台体积．【详解】∵圆台的底半径为1和2，母线长为3∴圆台高∴此圆台体积V=3π（r 2+R 2+Rr ）π．π．【点睛】本题考查圆台的体积的求法，解题关键点为在轴截面中求出圆台的高，属于基础题． 16．11,22e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】先分类讨论，求解在不同区间的最值，利用最值取得的条件对参数m 进行讨论．【详解】当1x 时，()()()12xf x x e =+-'令0f x，则ln21x <<或x<-1；()0f x '<则1ln2x -<<∴函数f(x)在()1,ln2-上单调递减，在()(),1,ln2,1-∞-单调递增 ∴函数f(x)在=1x -处取得极大值为()111f e-=-在ln2x =出的极小值为()()()2ln2ln2,3f f x e =-=-.当1x >时，()11231,12e 2ef x x x =--∴<-综上所述，m 的取值范围为11,22e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【点睛】已知最值求参数的取值范围，主要的解题手段有两种，含参分类讨论或是数形结合利用图像分析出参数的取值．17．(1)23nn b =⋅；(2)存在，详见解析.【分析】（1）由题可得21123(2)n n n n a a a a +++-=-，然后利用等比数列的定义及通项公式即得；（2）由题可知1223nn n a a +-=⋅，可得11223333n n n n a a ++-⋅=，令3n n na c =，利用等比数列的通项公式可得n c ，即可得出n a ，假设存在正整数n 满足题意，由题可得13n na a +-332()32n m =<⋅-，即可求解．【详解】（1）因为2156n n n a a a ++=- 所以21123(2)n n n n a a a a +++-=- 因为12n n n b a a +=-，且120,6a a == 所以13n n b b +=，且16b =所以数列{}n b 是以6为首项，以3为公比的等比数列所以16323n n n b -=⋅=⋅；（2）由（1）可得1223n n n a a +-=⋅所以11223333n n n n a a ++-⋅= 令3n nna c =，则12233n n c c +-⋅= 所以122(2)3n n c c +-=⋅-，且122c -=-所以数列{}2n c -是首项为2-，公比为23的等比数列所以1222()3n n c --=-⋅，即1222()3n n c -=-⋅所以2332n nn a =⋅-⋅无论m 为何值，假设存在一个正整数n 使13n na m a +-<成立因为1112332323333233223322()32n n n n n n n nn n a m a +++⋅-⋅⋅-=-==<⋅-⋅⋅-⋅⋅- 即332()32n m<⋅-，可得333()22n m m +> 取33lg 23lg 2m m n +>因此m 是一个正数，无论m 为何值，都有一个正整数n 使13n na m a +-<成立，取33lg23lg 2mm n +>的正整数即可． 18．(1)0.10a =(2)分布列见解析，()65E X =【分析】（1）根据所以频率和为1进行计算;（2）根据分层抽样可得相应组抽取的人数，则X 服从超几何分布，根据()310346C C ,0,1,2,3C k kP X k k -===进行计算求解．【详解】（1）由频率分布直方图得()20.020.030.050.050.150.050.040.011a ++++++++=.解得0.10a =；（2）由频率分布直方图得：这1000名学生中日平均阅读时间在(]8,10，(]10,12两组内的学生人数之比为0.15:0.13:2=若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在(]8,10内的学生中抽取31065⨯=（人）在日平均阅读时间在(]10,12内的学生中抽取4人现从这10人中随机拍取3人，则X 服从超几何分布，其可能取值为0，1，2，3()36310C 2010C 1206P X ==== ()1246310C C 6011C 1202P X ====()2146310C C 3632C 12010P X ==== ()34310C 413C 12030P X ====∴X 的分布列为：()1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 19．(1)证明见解析(2)π4【分析】(1) 过点A 做AE DC ⊥,E 为垂足,由等腰梯形的数量关系可得,DE AC ,由勾股定理可知AC AD ⊥,根据面面垂直的性质定理可知PC ⊥平面ADP ,即PC AD ⊥,结合线面垂直的判定定理,可知AD ⊥平面ACP ,即AD AP ⊥,即可证明结论;(2) 过A 作AF PD ⊥于F ,根据面面垂直的性质定理可知AF ⊥平面PCD ,根据,ADP CDP △△中的勾股定理可得,AP DP ,在ADP △由等面积法可求AF ,进而求得PF ,以P 为原点PC ,PD 分别为x ,y 轴,过点P 做AF 的平行线为z 轴,建立空间直角坐标系,求出各个点坐标,分别求出平面PAB 和平面ACP 中的法向量,求得法向量的夹角的余弦值的绝对值,即为二面角B AP C --所成角的余弦值的绝对值,结合图形即可得二面角B APC --的大小.【详解】（1）证明:在等腰梯形ABCD ,1AD AB BC === 2DC = 过点A 做AE DC ⊥,E 为垂足,连接AC ,如图所示:所以12DE =,即60ADE ∠=︒,在ACD 中,由余弦定理可得 222cos 2AD DC AC ADC AD DC+-∠=⋅,解得AC =所以AC AD ⊥以P为原点PC,PD分别为x,y轴,过点P做AF的平行线为z轴,建立如图坐标系则()()1,0,0,,,,C D F A⎛⎫⎛⎪⎪⎝⎭⎝⎭()1,DC=1122PB PA AB PA DC⎛=+=+=⎝⎭在平面PAB中,设其法向量为()111,,m x y z=12PB⎛=⎝⎭PA⎛=⎝⎭则1111112x y zy⎧=⎪⎪=取11y=,则(3,1,m=在平面ACP中,设其法向量为()222,,xn y z=PA ⎛= ⎝⎭(1,0,0)PC =则有22200y x =⎪=⎩,取2y 则(0,2,2)n =- 令,m n θ=,则3cos 26m n m n⋅===⋅⋅θ 由图可知二面角B AP C --为锐角,故其大小为π4.20．(1)递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞ (2)证明见解析【分析】（1）求出导函数，利用导数求单调区间；（2）先进行变量分离，得到11f f a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设11x a =，21x b =由（1）可知不妨设101x <<，21x >设21x tx =则1t >，由则()()12f x f x =得到11ln ln 1t t tx t --=-，利用分析法转化为只需证()()1ln 1ln 0t t t t -+-<，令()()()1ln 1ln S t t t t t =-+-，1t >利用导数判断出()S t 在()1,+∞上为减函数，得到()()10S t S <=，即12ex x +<成立. （1）函数的定义域为()0,+∞ 又()1ln 1ln f x x x '=--=-当()0,1x ∈时()0f x '>，当()1,x ∈+∞时 ()0f x '< 故()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞. （2）因为ln ln b a a b a b -=-，故()()ln 1ln 1b a a b +=+，即ln 1ln 1a b a b++= 即11111ln 1ln a a b b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故11f f a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设11x a =，21x b=由（1）可知不妨设101x << 21x >. 设21x tx =，则1t >则()()12f x f x =即()()11221ln 1ln x x x x -=- 即()111ln 1ln ln x t t x -=--，故11ln ln 1t t tx t --=-要证12e x x +<，即证()1e 1t x +<，即证()1ln 1ln 1t x ++< 即证()1ln ln 111t t tt t --++<-，即证：()()1ln 1ln 0t t t t -+-<令()()()1ln 1ln S t t t t t =-+- 1t > 则()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+- ⎪++⎝⎭ 先证明一个不等式()ln 1x x +≤. 设()()ln 1u x x x =+-，则()1111xu x x x -'=-=++ 当10x -<<时()0u x '>；当0x >时 ()0u x '< 故()u x 在1,0上为增函数，在()0,+∞上为减函数，故()()max 00u x u ==故()ln 1x x +≤成立.由上述不等式可得当1t >时112ln 11t t t ⎛⎫+≤< ⎪+⎝⎭，故()0S t '<恒成立故()S t 在()1,+∞上为减函数，故()()10S t S <= 故()()1ln 1ln 0t t t t -+-<成立，即12e x x +<成立. 综上所述，11e a b+<. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题； (4) 利用导数证明不等式.21．（1）2212x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）根据AP 为直径的圆经过F ，可得0FA FP ⋅=，结合点P 在椭圆上，列出方程求解即可；（2）设动直线l 的方程为y kx m =+，联立椭圆方程，由题意可得2221m k =+，假设存在()11,0M λ ()22,0M λ满足条件，列出方程求解即可得证. 【详解】（1）由题设知(c,0)F (0,)A b 由0FA FP ⋅=，得224033b c c -+=①又点P 在椭圆C 上，2222161299b a a b ∴+=⇒=②2222b c a +==③①③联立解得 1c = 21b = 故所求椭圆的方程为2212x y +=（2）设动直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程，消去y ，整理得()222214220k x kmx m +++-=（*）方程（*）有且只有一个实根，又2210k +> 所以0∆=，得2221m k =+假设存在()11,0M λ，()22,0M λ满足题设，则由()()()()2121212122221111k m k m k km d d k k λλλλλλ++++++⋅===++对任意的实数k 恒成立.所以，1212210λλλλ+=⎧⎨+=⎩解得，1211λλ=⎧⎨=-⎩或1211λλ=-⎧⎨=⎩所以，存在两个定点1(1,0)M ，2(1,0)M -它们恰好是椭圆的两个焦点.【点睛】圆锥曲线中考查是否存在满足某条件的定点，一般先假设存在，按照条件建立方程，通过化简运算，注意很多情况存在运算技巧，可以得到所求点或参数，核心是需要较强的运算能力. 22．(1)22(1)1x y -+=0x=3 【分析】（1）利用将极坐标方程化为直角坐标方程；对参数方程中的参数进行消参化为普通方程；（2）点P 是直线l 上的点，对应的参数0=t ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程，得出A ,B 两点对应的参数12,t t 满足的条件，从而求出(1)(1)PA PB ++的值．【详解】（1）曲线22o :c s C ρρθ=，因为cos x ρθ= 222x y ρ=+ 所以直角坐标方程为：2220x y x +-=，即22(1)1x y -+=；由12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去参数t 可得直线l的普通方程为：0x ．（2）因为P 的直角坐标为0,1-()所以直线l 过P 点，直线l的参数方程12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，代入曲线C 的方程22(1)1x y -+=中得2211112t ⎫⎛⎫-+-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即21)10t t -+=. 设A ，B 两点对应的参数分别为12,t t，所以121t t += 121t t =所以1212(1)(1)13PA PB t t t t ++=⋅+++． 23．(1)()(),11,-∞-+∞(2)1a >【分析】（1）利用分类讨论法可求不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式可求()()23f x f x -+-的最小值，从而可求实数a 的取值范围. 【详解】（1）()211f x x <+-即为1121x x ++<+ 故221210x x x +<+⎧⎨+≥⎩或22121010x x x x +<--⎧⎪+<⎨⎪+≥⎩或112110x x x --+<--⎧⎨+≤⎩故1x >或x ∈∅或1x <-故()211f x x <+-的解集为()(),11,-∞-+∞（2）()()23f x f x a -+-<即为12x x a -+-<而12121x x x x -+-≥--+=，当且仅当12x ≤≤时等号成立故()()23f x f x -+-的最小值为1，而()()23f x f x a -+-<有解故1a >.。

2023届陕西省咸阳市高考模拟检测(二模)理科数学试题及答案

注意事项z 威阳市2023年高考模拟检测〈二）数学〈理科〉试题l.本试题共4页，满分150分，时间120分钟2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．3.回答选择题时，逃出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．第I卷〈选择题共60分〉一、选择题z本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．I.己知复数z满足iz+l =i，那么lz l=人l B ..Ji C.Ji2已失u综合M=lx l v=.J x-U, N={x l主主＜0�，那么M N=l 1· J I I x'+ l IA.{xll运x�2}B.{xix注1} c. {xll白＜2}D.2D.{xll<x<2}3.某商场要将单价分别为36元／kg,48元／kg,72元／kg的3种糖果按3:2: l的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等．那么该商场对混合糖果比较合理的定价应为A.52元／kgB.50元／kg c.48元／kg D.46元／kg4.已知I'll,n是两条不同的直线，α，p是两个不同的平面，有以下四个命题：①若ml/n, nl>α，则，n／／α＠若m..lα，m..lβ，则αIIβ其中正确的命题是A.②③B.②④5. 函数J(x）＝丘：的大致图像为lx lxA. B.x②若ml>α，m..lβ，则αiβ④若αiβ，ml>α，nl>β，则m..lnc.①③ D.①②1’c. D.π6.已失11函数f(x)=4sin（缸’－ψ），当x＝一时，f(x）取得最小值，则｜叫的最小值是3 x1πSπ丁πB. -C .- D.-63667.数列｛α，，）的前，1项和为S ，，，对一切正整数n ，点（n ，乱）在函数f(x)=x 2+2x 的图像上，b =2( n εN ＊且应1），则数列队｝的前，1项和为已＝F,＋在二A.在Ml －石；；＝－IB.在Z三－1c.在二－石�A.JrD.d古3-./38.已知直角三角形ABC ，ζC=90°,AC=4, BC =3，现将该三角形沿斜边AB 旋转一周，则旋转形成的儿何体的体积为48万24万A 12πB 16πc －一－D.－一一539.巴塞尔问题是一个著名的级数问题，这个问题首先白皮耶特罗·门戈利在1644年提出，由莱昂II合德·账；J11π24立在1735年解诀．欧位通过推导得出：l+-+-+＋一＋＝一．某同学为了验证15，役的结论，设计4 9n26J II 了如阁的第法，计算1+-+-+＋一一一的值来估算，则判断框槟入的是4 9 20232 A.n>2023B.n 注2023c.n运2023D.n<202310.2022年卡珞尔世界杯足球赛落幕，这是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．有甲，乙，丙，丁四个人相互之间进行传球，从叩开始传球，甲等可能地把球传给乙，两，丁中的任何－个人，以此类推，贝I］经过三次传球后己只接到－次球的概率为A .-27l－QJnpc 立27D.162711.己叫线C：兰卡（α＞0,b>O).c 叫线的半焦距则当取得最大酬，双曲线2α＋3bc的离心$为、/13A.－一一2.J3D.___:____223e=2.718 ...，对任意xe(-1，叫，不等式扩注ae[2+ln （创刊）］恒成立，Y！瞧B亟c主12.己知实数a>O,数。

(完整)2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(二)(解析版)

2019届全国高考高三模拟考试卷数学（理）试题（二）（解析版）注意事项:1 •答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2 •选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3 •非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4 •考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

目要求的.C . 1兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（）、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题a i1. [2019南昌一模]已知复数za R 的实部等于虚部，则xx 3n 1,n N , B6,8,10,12,14，则集合AI B 中元素的个数为()A .2B . 33. [2019菏泽一模 ]已知向量 a 1, 1 , b22AB .554. [2019 •州期末 ]已知圆C 2x 1 y A. x y 3 0B . x y 3 0C . 4D . 52,3 ,且a a mb ，则 m ( )5,则过P 3,0 的C 的切线方程为（ )又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、A . 30 种B . 50 种C . 60 种D . 90 种2. [2019梅州质检]已知集合A6. [2019汕尾质检]某空间几何体的三视图如图所示，正视图是底边长为边长为1的等腰直角三角形，俯视图是扇形，则该几何体的体积为（3的等腰三角形，侧视图是直角）函数g x 的图象，则下列说法正确的是（）A •函数g x 的图象关于点 -,0对称 12B •函数g x 的周期是上2C .函数g x 在0, n上单调递增6 D .函数g x 在0, n上最大值是16& [2019临沂质检]执行如图所示的程序框图，输出的值为（）开始/输出s/ 结束A.B .2C . 1D . 19. [2019重庆中严门80 COS70cos20( )A .3B.1 C.3 D . 2 10..[2019揭阳一模]函数 f x 在 0, 单调递减,且为偶函数.若f 2 1，则满足f x 3 1的x的取值范围是（ )A C7. [2019合肥质检]将函数f x2sin才 ------- 、\zWK'SC . n6n D .—181的图象上各点横坐标缩短到原来的 -（纵坐标不变）得到 2S=O, k=【页2第2 211. ［2019陕西联考］已知双曲线C:£ 召数为（C . 3、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共20 分.13. ［2019江门一模］已知a 、b 、c 是锐角△ ABC 内角A 、B 、C 的对边，S 是厶ABC 的面积，若 a 8 , b 5, S 10丽，则 c _____________ . 14. ［2019景山中学］已知a , b 表示直线，， , 表示不重合平面①若1 a , b , a b ，贝U;②若a ,a 垂直于内任意一条直线，则;③若 ,I a , I b ，则 a b ;④若a ,b, a // b ，则//.上述命题中, 正确命题的序号是15. ［2019林芝二中］某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同.下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视.若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是（填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持）216. ____________________________________________________________________________________ ［2019河南联考］若一直线与曲线 y elnx 和曲线y mx 相切于同一点P ，则实数m _____________________三、解答题：本大题共 6大题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （12分）［2019长郡中学］设正项数列务的前n 项和为S n ，且.盘是a n 与a n 1的等比中项，其中 *n N .1 a 0,b 0的右焦点为F 2，若C 的左支上存在点M ，使得直线bx ay 0是线段MF 2的垂直平分线，则C 的离心率为（ C . 512. ［2019临川一中］若函数f x 在其图象上存在不同的两点A x i ,y i ,B X 2,y 2，其坐标满足条件: XX 2-2 2 %■ X 2忌的最大值为0，则称fx 为柯西函数 ”，则下列函数：①:②f Xln x 0 xe :③f xcosx ；2X 1•其中为柯西函数”的个（1）求数列a n的通项公式；18. （ 12分）［2019维吾尔一模］港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目，大桥建设需要许多桥梁构件•从某企业生产的桥梁构件中抽取 100件，测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间55,65 ， 65,75 ， 75,85内的频率之比为4: 2:1 .（1）求这些桥梁构件质量指标值落在区间 75,85内的频率；（2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取 3件，记这3件桥梁构件中质量指标值位于区间45,75内的桥梁构件件数为 X ，求X 的分布列与数学期望.⑵设b n n 12a n 1，记数列b n 的前n 项和为T n ，求证：T 2n 1 .a n an 119. (12 分)[2019 淄博模拟]如图，在四棱锥P ABCD 中，AB// CD , AB 1 , CD 3 , AP 2 , DP 2.3 , PAD 60 , AB 平面PAD，点M 在棱PC 上.(1)求证：平面PAB 平面PCD ;(2)若直线PA//平面MBD，求此时直线BP与平面MBD所成角的正弦值.线被椭圆C i截得的线段长为.2 .(1)求椭圆C i的方程;2 2 X y20. ( 12分)[2019泰安期末]已知椭圆G：2 2a b 1 a b 0的离心率为2，抛物线C2: y22 4x的准(2)如图,点A、F分别是椭圆G的左顶点、左焦点直线I与椭圆G交于不同的两点M、N ( M、N都在x轴上方).且AFM OFN .证明：直线I过定点，并求出该定点的坐标.21. （12分）［2019衡水中学］已知函数f x x2 3ax lnx, a R .1(1) 当a 时，求函数f x的单调区间；33(2) 令函数x x2 f x，若函数x的最小值为，求实数a的值.2请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22. （10分）【选修4-4:坐标系与参数方程】[2019揭阳一模]以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为2COS2 a2（a R , a为常数）），过点P 2,1、倾斜角为30的直线I的参数方程满足x 2 邑 ,（t2为参数）.（1）求曲线C的普通方程和直线I的参数方程；（2）若直线I与曲线C相交于A、B两点（点P在A、B之间），且PA PB 2，求a和|| PA PB||的值.23. （10分）【选修4-5:不等式选讲】[2019汕尾质检]已知f x 2x 2 x 1的最小值为t .行:：求t的值；1 '若实数a , b满足2a2 2b2 t，求J J 的最小值.a2 1 b222019届高三第三次模拟考试卷理科数学（二）答案12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】A4.【答案】B【解析】•/ z L2ii a i T~2i-a i 的实部等于虚部，•-2 2 2-，即a 1 .故选C . 2【解析】由题意, 集合A3n 1,n N , B 6,8,10,12,14 • AI B 8,14•••集合 AI B 中元素的个数为2 .故选A .【解析】a mb 1,12m,3m2m,3m 结合向量垂直判定，建立方程, 可得2m 3m0 ,解得m2-，故选A . 5【解析】根据题意，圆 P 的坐标为 3,0 ,2 2 则有3 1 0 2 8，则P 在圆C 上，此时K CP 1，则切线的斜率k 1,则切线的方程为y x3，即x y 3 0,故选B .5.【答案】B 【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的 10中任意选,二共有 C ； 20 , 若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的 10中任意选,•共有 C 3 C 10 30 , •共有20 30 50种.故选B . 6.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是圆锥的一部分，正视图是底边长为3的等腰三角形,侧视图是直角边长为 1的等腰直角三角形，圆锥的高为 1，底面半径为俯视图是扇形，圆心角为2n,3、选择题：本大题共11.【答案】C几何体的体积为1 11 2n1 n.故选A .3 2397.【答案】C【解析】将函数f x 横坐标缩短到原来的—后，得到g x 2sin 2x —1,2 6 当x上时， f 上1，即函数 gx的图象关于点-,1对称，故选项A 错误;121212周期T 2n2n ,故选项 B 错误；当x0, n 时,2x nn n函数g x 在 0,n上单调递增，故选项 C 正确；6 66 26.•函数g x 在 0,n上单调递增，• g xn dg66即函数g x 在0,n上没有最大值，故选项 D 错误.故选C .6&【答案】A【解析】第一次循环，k 1 , S cosO 1 , k 1 1 2, k 4不成立; 第二次循环， k 2 , S 1n . cos 1 1-,k 2 13 , k 4不成立；3 2 2第三次循环， k 3 , S 3 2 n cos — 3 11 , k 31 4 , k 4不成立;2 3 2 2第四次循环， k 4 , S 1 cos n 11 0 , k 4 15 , k 4成立，退出循环，输出S 0，故选A .9.【答案】C10.【答案】Ax 31 f2 等价于 f X3 f 2 , .•函数f x 在0, 单调递减，••• x 32 , 2 x3 2 , 1 x 5，故选A .【解析】..2sin80 cos70cos202sin 60 20 cos70cos202sin 60 cos20 2cos60 sin 20 cos702sin 60 cos20 sin 20 cos70cos20cos202sin 60 cos20cos202sin 603 .故选 C . 【解析】.•函数f x 为偶函数,【解析】F2 C,0，直线bx ay 0是线段MF?的垂直平分线,可得F?到渐近线的距离为|F?Pbe b，即有|OP ■. e2b a ,由0P MF1F2的中位线，可得|MF i 2 OP 2a，MF2 2b，可得|MF^ |MF i 2a，即为2b 2a 2a，即b 2a，可得e eai ：2 i 4 5 •故选C.12.【答案】B【解析】由柯西不等式得:对任意实数X i , y i , X2 , y2, XX2 2y i y220恒成立, （当且仅当X i y2 X2 y i取等号）若函数f x在其图象上存在不同的两点x i,y i ,冷，y2，其坐标满足条件: XX2 y i y2 * y i2X22y22的最大值为0,则函数f x在其图象上存在不同的两点 A x i, y i , 冷，y2uuu UUU，使得OA , OB共线,即存在过原点的直线y kx与y f x的图象有两个不同的交点:对于①,方程kx x ix 0，即k ix2X i，不可能有两个正根，故不存在;由图可知不存在;，由图可知存在;，由图可知存在,柯西函数”的个数为2，故选B .二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 【答案】7【解析】根据三角形面积公式得到1S abs inC si nC22•••三角形为锐角三角形，故得到角C为丄,31 2再由余弦疋理得到cos —---- ------- .2 2b cc 7 .故答案为73 2 2ab14. 【答案】②④【解析】对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确，对于②，a , a垂直于内任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到又a ，则，故正确，对于③，，I a , I b，则a b或a// b，或相交，故不正确，对于④，可以证明/ ，故正确.故答案为②④.15. 【答案】影视配音【解析】由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视；由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音，故答案为影视配音.116. 【答案】丄2e 2【解析】曲线y elnx的导数为y'，曲线y mx2的导数为y 2mx ,x由2mx, x 0且m 0，得x ，即切点坐标应为玉，代入y e|n x得eln J e，解得m丄，故答案为—•V2m 2 2 2三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 【答案】(1) a n n ； (2)见解析.【解析】(1)^ . 2S?是a n 与a n 1的等比中项，••• 2S n a n a n 1 a n 2 a n ,当 n 1 时，2a i a i Q ，…a 1 .【解析】(1)设区间75,85内的频率为x ，则区间55,65 ,依题意得 0.004 0.012 0.019 0.03 10 4x 2x x 1，解得 x•这些桥梁构件质量指标值落在区间75,85内的频率为0.05 .(2)从该企业生产的该种桥梁构件中随机抽取 3件，相当于进行了 3次独立重复实验,• X 服从二项分布B n, p ，其中n 3 . 由(1 )得，区间 45,75内的频率为0.3 0.2 0.1 0.6 ,将频率视为概率得 p 0.6 .v X 的所有可能取值为 0, 1 , 2, 3, 且 P X 0C 0 0.60 0.430.064 , P X 1 C ； 0.61 0.420.288 ,22133P X 2C 3 0.6 0.4 0.432 , P X 3 C 3 0.6 0.4 0.216 .• X 的分布列为：X 服从二项分布B n, p , • X 的数学期望为EX 3 0.6 1.8 .当n 2时，2a n a n 1，整理得 a n a n 1a n a n 1 1又a n 0 anan 11 n2，即数列 an…ana 1n 1 d 1n 1 n .n 12n 1n 111(2) b n11n n 1n n 1 --T 2nb 1 b 2 b 3 Lb 2n1 1 1 1223111 .2n 1是首项为1，公差为1的等差数列.1 1 L 4 1 1 1 1 3 2n 1 2n 2n 2n 165,75内的频率分别为4x 和2x .0.05 .2S n 2S n 1 2a n a n2 an 118.【答案】(1)19.【答案】(1)见解析；(2) —V195 .65 【解析】(1)v AB平面PAD , • AB DP ,1，①2又••• DP 2.3 , AP 2 , PAD 60 ,由—PDsin PADPA sin PDA 可得 sin PDA2， PDA 30 , APD 90 DP AP ,••• AB I AP A ,二DP 平面PAB , ••• DP 平面 PCD ,•••平面 PAB 平面 PCD ; (2)以点A 为坐标原点，AD 所在的直线为y 轴，AB 所在的直线为z 轴, 如图所示，建立空间直角坐标系, 其中 A 0,0,0 , B 0,0,1 , C 0,4,3uu r uuu从而BD 0,4, 1 , AP 3,1,0uuuu uuiu设PM PC ，从而得M .3 3 设平面MBD 的法向量为n x, y,z,3uu u PC 若直线 PA//平面MBD ，满足 nCBAvITD,D 0,4,0 , P 3,1,0 3,3,3 , 1,3uuu u ,BM,31,3uju u BMUJL TBDuuu AP uuuA得 —，取 n .3, 3, 12，且 BP 4 0，即 3,1, 直线BP 与平面MBD 所成角的正弦值等于 sin 4y 3x 2X 220.【答案】(1) — y 1 ; (2)直线l 过定点【解析】(1)由题意可知，抛物线又椭圆G 被准线截得弦长为 2 ,讨2 2，…e 2由①②联立，解得a 22 , b 2uuu BPj-tuu nBp2156 12,52195.65C 2的准线方程为x 1 •••点详在椭圆上, •椭圆2b 2，②, C 1的标准方程为1 2b 2y 2 1.1 ,21.【答案】（1）见解析；（2）（2）设直线 I : y kx m ，设M x, y ,N X 2,y 2 ,把直线1代入椭圆方程，整理可得2k 2 1 x 24 km2m 22 0,2 2 16k m 4 2k 21 2m22 16k 2 8m 28 0 , 即 2k 2 m 24km2m 2 2…X 1 X 2 2 ， X 122k 12k 1y 1 • K FM ，K FNy 2 -,M 、N 都在x 轴上方，且 AFMOFN1 0,x 1 1 X 2 1kFN,y 1 X 1 1 ~^y-，即 x 2 1 kx i kx 2 m x i1 ,整理可得 2kx 1x 2 k m x 1 X 22m 2m 2 20 ,• 2k 厂 2 k 2 14km 2k 2 12m即 4 km 2 2 24k 4k m 4km 4k2m2k ,•直线I 为y kx 2k k x，•直线 l 过定点2,0 .令f ''x 0 ，解得X-或 x 1，而 X 0，故x1,2则当 x 0,1 时，f X 0, 即f X在区1 间内递减, 当x1,时，f X, 即f X 在区间'可内递增.(2) 由f X2x 3axln x ,f X 2x 13a —X则 2X X f x 2x 33ax 2X ，故X 6x 26 ax 1 ,又26a4 6 1,故方程 X0有2个不同的实根,不妨记己为石,,X 2，且儿 X2,又• X^-0 ,故 X 06 X 2 ,当X 0,X 2 时，x 0X 递减，当X X 2,时，x 0,X 递增，故 Xminx 22x 233a x ：22X 2 , ①又 X 20 ,• 6X226ax21 0 , 即a1 6X 22 ，②xx6x 222x x2x 11【解析】（1） a -时，f x3 lnx ，贝U f将a宜6x22代入—式，得2X2 321 6x2 2X26x2X2 31 32x2 x? 3x22X2由题意得 3 1X2 X22 专，即2x23X2即x21 2x222x23 0,解得X25将X2 1代入■式中，得a6X2请考生在22、23两题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题记分2 2 22.【答案】（1）x y 3t2( t为参数)；(2) t2【解析】（1）由2cos2a2得2 2 . 2 2cos sin a ,又x cos , y sin ,得x2 y2a2,••• C的普通方程为•••过点P 2,1、倾斜角为30的直线I的普通方程为y——X3y12t「直线1的参数方程为32t2（t为参数）.(2)将2代入x2£2a2，得t2 2 2.3 a20,依题意知a20,则上方程的根1、t2就是交点A、V t1 t2 a2，由参数t的几何意义知PA PB b| |t2| |t1 t2 ,得t1 对应的参数,2 ,•••点P在A、B之间，「• 1t2 0 ,…t1t22,9即2 3a22，解得a 4 （满足0 )，二a 2 ,•- p A PB t1 t2 t1 t2，又t1 t24.323.【答案】（1）2; (2)3x 【解析】（1） f x2x 1,xx 3, 13x 1,x1 ,故当x 1时，函数f x 有最小值2,.・.t 2 .(2)由( 1)可知2 2 222a 2b 2，故 a 1 b 24,2 2 212 22b a 1 1 1 1 a 1 b 22 a 1 b 22 1a 2 1b 2 22 2a 1b 2441?当且仅当a 2 1 b 2 2 2，即a 2 1 , b 20时等号成立，故1a 21 2的最小值为1 .b 2。

2023年内蒙古赤峰实验中学、桥北四中高考数学模拟试卷(理科)+答案解析(附后)

2023年内蒙古赤峰实验中学、桥北四中高考数学模拟试卷（理科）1. 设全集，已知集合，，则( )A.B. C. D.2. 已知纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数m 的值为( )A. 1B. 3C. 1或3D. 03.已知平面向量，满足，，的夹角为，若，则( )A. B. C. D.4. 一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下.佛塔依山势自上而下，按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，层为八角鼓腹锥顶状，层呈葫芦状，层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，…，则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为( )A. 第5行，呈葫芦状B. 第6行，呈葫芦状C. 第7行，呈宝瓶状D. 第8行，呈宝瓶状5. 已知抛物线C ：的焦点F 到准线的距离为4，点，在抛物线C 上，若，则( )A. 4B. 2C.D.6. 定义：两个正整数a ，b ，若它们除以正整数m 所得的余数相等，则称a ，b 对于模m同余，记作，比如：已知，满足，则p 可以是( )A. 23B. 31C. 32D. 197. 如图，在直三棱柱中，，，设D ，E分别是棱上的两个动点，且满足，则下列结论错误的是( )A. 平面平面B.平面C.平面ADED. 三棱锥体积为定值8. 若等比数列满足，，则( )A.B. C. D.9. 已知四面体ABCD 的所有顶点在球O 的表面上，平面BCD ，，，，则球O 的体积为( )A. B. C. D.10. 某盏吊灯上并联着4个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是，那么在这段时间内该吊灯上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是( )A.B.C. D.11. 如图所示，，是双曲线C ：的左、右焦点，C 的右支上存在一点B 满足，与C 的左支的交点A 满足，则双曲线C 的离心率为( )A. 3B.C.D.12. 已知函数的定义域为R ，为偶函数，为奇函数，且当时，若，则( )A. B. 0 C. D.13. 在一组样本数据中，1，3，5，7出现的频率分别为，，，，且，若这组数据的中位数为2，则______.14. 已知圆C的圆心在直线上，且过点，，则圆C的标准方程为__________.15. 在函数图象与x轴的所有交点中，点离原点最近，则可以等于______写出一个值即可16. 已知函数在区间上有两个极值，则实数a的取值范围是______ .17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知求角A；若角A的平分线与BC交于点M，，，求线段AM的长.18. 如图所示，在三棱锥中，平面平面BCD，A是线段SD上的点，为等边三角形，，若，求证：；若直线BA与平面SCD所成角的正弦值为，求AD的长．19. 近年来，美国方面泛化国家安全概念，滥用国家力量，不择手段打压中国高科技企业.随着贸易战的不断升级，我国内越来越多的科技巨头加大了科技研发投入的力量.为了不受制于人，我国某新能源产业公司拟对智能制造行业的“工业机器人”进行科技改造和升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入亿元与科技升级直接受益亿元的数据统计如表：序号123456789101112x2346810132122232425y13223142505658686666当时，建立了y与x的两个回归模型；模型①：；模型②：当时，确定y与x满足的线性回归方程为根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“工业机器人”科技升级的投入为17亿元时的直接受益.回归模型模型①模型②回归方程附：刻画回归效果的相关指数，为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，根据我国的智能制造专项政策，国家科技、工信等部门给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小.20. 如图所示，A，B为椭圆的左、右顶点，焦距长为，点P在椭圆E上，直线PA，PB的斜率之积为求椭圆E的方程；已知O为坐标原点，点，直线PC交椭圆E于点不重合，直线BM，OC交于点求证：直线AP，AG的斜率之积为定值，并求出该定值.21. 已知函数，若，为的导函数，求函数在区间上的最大值；若函数有两个极值点，，求证：²22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程：为参数以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程：，P点极坐标为且在l上．求C的普通方程和l的直角坐标方程；若l与C交于A，B两点，求23. 不等式选讲已知函数求不等式的解集；若，且正数a，b满足，证明：答案和解析1.【答案】D【解析】解：由题可得，，故选：先化简集合A，B，再求可得正确选项．本题考查集合基本运算，属基础题．2.【答案】B【解析】解：纯虚数，则，解得故选：根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：因为，，的夹角为，所以，又，则，所以故选：根据向量的数量积运算即可．本题考查平面向量的数量积及其运用，考查运算求解能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：，编号为26的佛塔在第7行，呈室瓶状．故选：由，进而得到答案．本题考查了归纳推理问题，关键是找到规律，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：抛物线C：的焦点F到准线的距离为4，则，C：，依题意，，而，，故，即，则，故故选：由焦准距求出p，结合抛物线第一定义得，整理得，由代换，即可求解．本题主要考查抛物线的性质，考查转化能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：，，除以7的余数为除以7的余数2，又23除以7的余数也为2，满足题意，其它选项都不满足题意．故选：根据二项式定理求得n除以7的余数，再结合选项即可求得结果．本题考查满足条件的余数的求法，考查二项式定理、同余的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：A选项，过A作，垂足为F，根据直三棱柱的性质可知平面ABC，由于平面ABC，所以，由于，BC，平面，所以平面，即平面，由于平面ABC，所以平面平面，A选项正确．B选项，根据三棱柱的性质可知，即，由于平面，平面，所以平面，B选项正确．C 选项，若平面ADE，即平面，由于平面，所以，这与已知，不垂直矛盾，C选项错误．D选项，，由于三角形ADE的面积为定值、到平面的距离为定值，所以为定值，所以D选项正确．故选：根据面面垂直、线面平行、线面垂直、锥体体积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，考查空间想象能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式，属于基础题．由已知结合等比数列的性质可求q，然后结合等比数列的通项公式可求．【解答】解：设等比数列的公比为q，则，所以，，所以，故选：9.【答案】D【解析】解：如图，设底面的外接圆的圆心为，外接圆的半径为r，由正弦定理得，，过作底面BCD的垂线，与过AC的中点E作侧面ABC的垂线交于O，则O就是外接球的球心，并且，外接球的半径，球O的体积为；故选：作图，先找到外接球的球心，算出底面三角形BCD外接圆的半径，再构造三角形运用勾股定理求出外接球的半径．本题考查四面体的外接球问题，正弦定理的应用，属中档题．10.【答案】B【解析】解：某盏吊灯上并联着4个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是，那么在这段时间内该吊灯上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是，故选：由题意利用相互独立事件的概率乘法公式，分类讨论，求出该吊灯上的灯泡至少有两个能正常照明的概率．本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：在，由正弦定理得：①，在中，由正弦定理得：②，又，则，得：，又，则，即，设，由双曲线的定义得：，，，由，得，，解得，，，在中，由勾股定理得：，，整理得，双曲线C的离心率故选：在和中，由正弦定理结合条，则，设，由双曲线的定义和勾股定理得到，结合即可求解．本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的离心率的求法，属中档题．12.【答案】C【解析】解：因为为偶函数，所以，用代替x得：，因为为奇函数，所以，故①，用代替x得：②，由①②得：，所以函数的周期，所以，即，因为，令得：，故，，解得：，所以时，，因为，令，得，其中，所以，因为，令得：，即，因为，所以，因为，令得：，故，故选：由为偶函数，为奇函数得到，故函数的周期，结合得到，由得，从而求出，采用赋值法求出，，再使用求出的的周期，赋值法得到本题主要考查了抽象函数的对称性和周期性，考查了一定的逻辑推理的能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由题意可知，样本数据中只有1，3，5，7，没有2，则样本数据一共有偶数个数，且从小到大排序后中间两个数为1，3，故样本数据中有一半为1，所以故答案为：根据已知条件，结合中位数的定义，即可求解．本题主要考查中位数的定义，属于基础题．14.【答案】【解析】【分析】本题考查圆的标准方程，关键是求出圆心的坐标，属于基础题．根据题意，设圆心C的坐标为，由圆经过点A、B列出等式，解得t的值，即可得圆心C的坐标，又由，即可得圆的半径，由圆的标准方程的形式分析可得答案．【解答】解：根据题意，圆C的圆心在直线上，设圆心的坐标为，圆C经过点，，则有，解可得，则，即圆心C的坐标为，圆的半径为r，则，故圆C的标准方程为；故答案为：15.【答案】【解析】解：由于函数图象与x轴的所有交点中，点离原点最近，可以令，满足即可，将，则，，整理得，，当时，距离原点最近，符合点离原点最近．故答案为：直接利用正弦型函数的性质的应用求出的值．本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：，，令，由题意得在上至少有两个实数根，又，当时，，单调递增，此时不可能有两个实数根；当时，可得在上单调递增，在上单调递减，故当时，函数取得极大值，又时，，时，，由题意，故，实数a的范围是故答案为：先对求导，由题意至少有两个正根，再由导数求极值，即可得到关于a的不等式，求解得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性及极值，考查由函数零点个数求解参数范围，体现了化归与转化思想，属于中档题．17.【答案】解：由余弦定理可得，即，整理可得，所以，因为，所以；如图所示：由题意可得AM是角A的平分线，，，在中，由正弦定理可得，即，解得，在中，由正弦定理可得，即，解得，所以，由正弦定理边角互化得，在中由余弦定理，解得，，所以，在由余弦定理得，解得【解析】利用余弦定理角化边即可求解；在和中用两次正弦定理可得，然后在中利用余弦定理可得b，c 的长度，进而可得的大小，再在中利用余弦定理即可求解．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．18.【答案】解：，为等边三角形，，取BD中点O，连结SO，CO，平面平面BCD，A是线段SD上的点，为等边三角形，，底面BCD，，解得，，，，，平面SBD，平面SBD，，，BC，平面ABC，平面ABC，平面ABC，解：，，设点B到平面SCD的距离为h，由，得，解得，直线BA与平面SCD所成角的正弦值为，，解得，，，解得或【解析】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值、线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．推导出，取BD中点O，连结SO，CO，推导出，从而平面SBD，进而，由此能证明平面ABC，从而求出，，设点B到平面SCD的距离为h，由，求出，由直线BA与平面SCD所成角的正弦值为，，求出，由余弦定理能求出19.【答案】解：由表格中的数据，，所以，故，可见模型①的相关指数小于模型②的相关指数，所以回归模型②的拟合效果更好，所以当亿元时，科技升级直接收益的预测值为：亿元；当时，由已知可得，，，所以，所以当时，y与x的线性回归方程为，当时，科技升级直接收益的预测值为亿元，当亿元时，实际收益的预测值为亿元亿元，所以技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大．【解析】利用表格中的数据，判断模型①的相关指数与模型②的相关指数的大小关系，即可确定回归模型，然后将代入回归模型计算即可；先求出样本中心，利用公式求出，进而得到时的线性回归方程，将代入求解，然后进行比较即可．本题考查了线性回归方程的求解和应用，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．20.【答案】解：由题意可知，，，设，则，所以，即，可得，又，所以，解得，所以椭圆E的方程为；证明：由题意知，直线MP的斜率存在，设直线MP：，且，设，，联立方程，消去y得：，由，得，所以，设，由G，M，B三点共线可得，则，所以直线AP，AG的斜率之积为定值【解析】根据焦距、直线PA，PB的斜率之积求得a，b，从而求得椭圆E的方程；设出直线MP的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，通过计算直线AP，AG的斜率之积来证得结论成立，并求得定值．本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21.【答案】解：函数的定义域为R，，，①当时，显然在上恒成立，所以在上单调递增，所以在区间上的最大值为；②当时，令，解得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在区间上的最大值为；③当时，显然在上恒成立，所以在上单调递减，所以在区间上的最大值为综上所述，当时，最大值为；当时，最大值为；当时，最大值为证明：，有题意可知至少有两个零点，所以由，，可得，所以，不妨设，令，则，下面证明令，则，所以在单调递增，，即于是，，即【解析】先求出，再分，，三种情况分别求函数单调性，进而求出函数在区间上的最大值；由题意得，，令，则，再构造函数证明即可．本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和最值，利用导数证明不等式，考查数学运算和数学抽象的核心素养，属于难题．22.【答案】解：曲线C的参数方程：为参数，转换为普通方程为；直线l的极坐标方程：，根据，转换为直角坐标方程为；点P极坐标为转换为直角坐标为，故直线l的参数方程为为参数，代入，得到；所以【解析】直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．23.【答案】解：时，，不成立；时，，解得，故的解集为；时，，恒成立，综上所述，等式的解集为；证明：由可知该函数图象为：由图象可知，，正数a，b，，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立．【解析】根据去绝对值，对x进行分类讨论，求出解集；根据绝对值不等式求出最大值，再利用均值不等式进行求解．本题考查解绝对值不等式，求绝对值不等式的最值以及合理构造利用均值不等式进行求解，属于中档题．。

【冲锋号考场模拟】赢战2023年高考数学模拟仿真卷 02卷(理科)(全国卷专用)(解析版)

【冲锋号·考场模拟】赢战2023年高考数学模拟仿真卷02卷（理科）（全国卷专用）（解析版）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|2A x x x =<+，{}1,0,1,2,3B =-，则A B = （）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1,2C ．{}0,1D ．{}1,2【答案】C【分析】解不等式得到{}|12A x x =-<<，求出交集.【详解】22x x <+，即220x x --<，解得：12x -<<，故{}|12A x x =-<<，所以{}{}{}1,0,1,1|122,30,A x B x =--<=< .故选：C 2．若复数z 满足2iz+为纯虚数，且1z =，则z 的虚部为（）A ．5±B C ．D①命题“x ∃∈R ，210x x ++≥”的否定是“x ∀∈R ，210x x ++<”；②0a b +=的充要条件是1ba=-；③若函数()y f x =为奇函数，则()0f x =；④0ab ≥是222a b ab +≥的必要条件.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个能是（）A ．1()f x x=-B ．2()f x x =-C ．()e e x x f x -=+D ．1()ln1x f x x-=+111中，11分別是1111的中点，1，则1BD 与1AF 所成角的正弦值是（）A 10B ．12C ．10D ．3015位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各位男生入选，则不同安排方法有（）种.A ．16B ．20C ．96D ．120【答案】C【分析】分一男两女与两男一女两类讨论.【详解】若选一男两女共有：123243C C A 72=；若选两男一女共有：213243C C A 24=；因此共有96种，故选：C7．函数()()f x x ωϕ=+其中π0,||2ωϕ><，的图象的一部分如图所示，()g x x ω=，要想得到()g x 的图象，只需将()f x 的图象（）A ．向右平移π4个单位长度B ．向右平移2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向左平移2个单位长度中，每场比赛甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为（）A．1481B．13C．1781D．1681的锐角组成的对称多边形纹样，具有组合性强、结构稳定等特点．有的八角星纹中间镂空出一个正方形，有的由八个菱形组成，内部呈现米字形线条．八角星纹目前仍流行在中国南方的挑花和织锦中．在图2所示的八角星纹中，各个最小的三角形均为全等的等腰直角三角形，中间的四边形是边长为2的正方形，在图2的基础上连接线段，得到角α，β，如图3所示，则αβ+=（）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】B则Rt ABC △中，2BC =，AC 在Rt DEF△中，2EF =，DE =所以()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-(),0,45αβ∈10．函数()e e cos 2x xf x x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦大致图像可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】利用定义判断()f x 的奇偶性，再结合函数值的符号分析判断，即可得答案.【详解】∵()()()()()()e e cos 2e e cos 2e e e e cos 20x x x xx x x x f x f x x x x ----+-=-+--=-+-=，即()()f x f x =--，11．若双曲线()2210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆C ：22420x y x +-+=相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A ．(B ．()1,2C ．)2D ．)+∞12A ．2121e e ln ln x xx x ->-B ．2121e e ln ln x xx x -<-C ．1221e e x xx x >D ．1221e e x xx x <13．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，已知焦距为8，离心率为2，过右焦点2F 作垂直于x 轴的直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，则||AB =_____．故||6(6)12AB =--=，故答案为：12.14．已知O 为坐标原点，且(1,),(4,4)A m B m -，若,,O A B 三点共线，则实数m =_____．【答案】45##0.8的面积为___________.绕AD 顺时针旋转π2，则线段AP 扫过的区域面积为____________．故答案为：5π4.三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某商场计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶8元，售价每瓶10元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶4元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为400瓶；如果最高气温低于20，需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数117382275以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率，并求出前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为550瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.38；②7；③2，4，5成等比数列.从中任选1个，补充到下面的问题中并解答问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*12N n n n S S a n +=++∈，.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)n S 的最小值并指明相应的n 的值．【答案】(1)212n a n =-；(2)n =5或者6时，n S 取到最小值30-.【分析】（1）由已知可得12n n a a +-=，则{}n a 是公差为2的等差数列，若选①，则由382a a +=-列方程可求出1a ，从而可求出通项公式；若选②，则由728S =-列方程可求出1a ，从而可求111的底面为正三角形，1，点D ，E 分别在AB ，1BB 上，且AD DB =，113BE EB =．(1)证明：平面1A DC ⊥平面EDC ；(2)求二面角1A EC D --的余弦值．由题意得()1,0,0B ，()1,0,0C -，(A 因为AD DB =，113BE EB =，所以D 所以113,,222DE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，3,0,2DC ⎛=- ⎝）AD DB =，113BE EB =，所以1,0,2D ⎛⎝12,,02CE ⎫ ⎪⎭=⎛⎝，()11,2,3CA = ，1DA 设平面1A EC 的法向量为(),,n x y z =，20．已知椭圆C ：221x y a b+=()0a b >>的下顶点为点D ，右焦点为()21,0F .延长2DF 交椭圆C 于点E ，且满足223DF F E =.(1)试求椭圆C 的标准方程；(2)A ，B 分别是椭圆长轴的左右两个端点，M ，N 是椭圆上与A ，B 均不重合的相异两点，设直线AM ，AN 的斜率分别是1k ，2k .若直线MN 过点2⎫⎪⎪⎝⎭，则12k k ⋅是否为定值，若是求出定值，若不是请说明理由.联立222212x my x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去x ，得则12222m y y m +=-+，122y y =-y y，ln x a a g x =+（0a >，是自然对数的底数）．(1)若直线y kx =与曲线()y f x =，()y g x =都相切，求a 的值；(2)若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为3cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线6πθ=与曲线2C交于点6D π⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求曲线1C ，2C 的普通方程；(2)()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线1C 上的两点，求221211ρρ+的值．选修4-5：不等式选讲23．（1）已知0a >，0b >，412a b+=，求a b +的最小值；（2）已知a ，b ，c ，为任意实数，求证：222a b c ab bc ca ++≥++.。

高三模拟考试卷压轴题押题猜题高考数学试卷理科参考答案与试题解析002

高三模拟考试卷压轴题押题猜题高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（•天津）i是虚数单位，复数=（）A．1+i B．5+5i C．﹣5﹣5i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】进行复数的除法的运算，需要分子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为﹣1．【解答】解：进行复数的除法的运算需要分子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为﹣1．∴=．故选 A．【点评】本题主要考查复数代数形式的基本运算，2个复数相除，分母、分子同时乘以分母的共轭复数．2．（5分）（•天津）函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0） C．（0，1）D．（1，2）【考点】函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数零点的判定定理求得函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间．【解答】解：由，以及及零点定理知，f（x）的零点在区间（﹣1，0）上，故选B．【点评】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．3．（5分）（•天津）命题“若f（x）是奇函数，则f（﹣x）是奇函数”的否命题是（）A．若f（x）是偶函数，则f（﹣x）是偶函数B．若f（x）不是奇函数，则f（﹣x）不是奇函数C．若f（﹣x）是奇函数，则f（x）是奇函数D．若f（﹣x）不是奇函数，则f（x）不是奇函数【考点】四种命题．【专题】函数的性质及应用．【分析】用否命题的定义来判断．【解答】解：否命题是同时否定命题的条件结论，故由否命题的定义可知B项是正确的．故选B【点评】本题主要考查否命题的概念，注意否命题与命题否定的区别．4．（5分）（•天津）阅读如图的程序框图，若输出s的值为﹣7，则判断框内可填写（）A．i＜3 B．i＜4 C．i＜5 D．i＜6【考点】设计程序框图解决实际问题．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加变量i的值到S并输出S，根据流程图所示，将程序运行过程中各变量的值列表如下：【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环 S i循环前/2 1第一圈是 1 3第二圈是﹣2 5第三圈是﹣7 7第四圈否所以判断框内可填写“i＜6”，故选D．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．5．（5分）（•天津）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程为x=﹣6，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在x轴上，则双曲线的左焦点为（﹣6，0），此时由双曲线的性质a2+b2=c2可得a、b的一个方程；再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，可得=，则得a、b的另一个方程．那么只需解a、b的方程组，问题即可解决．【解答】解：因为抛物线y2=24x的准线方程为x=﹣6，则由题意知，点F（﹣6，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2=c2=36，又双曲线的一条渐近线方程是y=x，所以，解得a2=9，b2=27，所以双曲线的方程为．故选B．【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质．6．（5分）（•天津）已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3=S6，则数列的前5项和为（）A．或5 B．或5 C．D．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列求和公式代入9s3=s6求得q，进而根据等比数列求和公式求得数列的前5项和．【解答】解：显然q≠1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列，前5项和．故选：C【点评】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题．在进行等比数列运算时要注意约分，降低幂的次数，同时也要注意基本量法的应用．7．（5分）（•天津）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则∠A的值为（）A．B．C．D．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】先利用正弦定理化简sinC=2sinB，得到c与b的关系式，代入中得到a2与b2的关系式，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A 的值．【解答】解：由sinC=2sinB得：c=2b，所以=•2b2，即a2=7b2，则cosA===，又A∈（0，π），所以A=．故选A．【点评】此题考查学生灵活运用正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，根据三角函数的值求角，是一道基础题．8．（5分）（•天津）若函数f（x）=，若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论．【解答】解：由题意．故选C．【点评】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题．分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，也要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错．9．（5分）（•天津）设集合A={x||x﹣a|＜1，x∈R}，B={x||x﹣b|＞2，x∈R}．若A⊆B，则实数a，b必满足（）A．|a+b|≤3 B．|a+b|≥3 C．|a﹣b|≤3 D．|a﹣b|≥3【考点】集合的包含关系判断及应用；绝对值不等式的解法．【专题】集合．【分析】先利用绝对值不等式的解法化简集合A、B，再结合A⊆B，观察集合区间的端点之间的关系得到不等式，由不等式即可得到结论．【解答】解：∵A={x|a﹣1＜x＜a+1}，B={x|x＜b﹣2或x＞b+2}，因为A⊆B，所以b﹣2≥a+1或b+2≤a﹣1，即a﹣b≤﹣3或a﹣b≥3，即|a﹣b|≥3．故选D．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法与几何与结合之间的关系，属于中等题．温馨提示：处理几何之间的子集、交、并运算时一般利用数轴求解．10．（5分）（•天津）如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（）A．288种B．264种C．240种D．168种【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】排列组合．【分析】由题意知图中每条线段的两个端点涂不同颜色，可以根据所涂得颜色的种类来分类，当B，D，E，F用四种颜色，B，D，E，F用三种颜色，B，D，E，F用两种颜色，分别写出涂色的方法，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：∵图中每条线段的两个端点涂不同颜色，可以根据所涂得颜色的种类来分类，B，D，E，F用四种颜色，则有A44×1×1=24种涂色方法；B，D，E，F用三种颜色，则有A43×2×2+A43×2×1×2=192种涂色方法；B，D，E，F用两种颜色，则有A42×2×2=48种涂色方法；根据分类计数原理知共有24+192+48=264种不同的涂色方法．【点评】本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想，属于难题．近两年天津卷中的排列、组合问题均处于压轴题的位置，且均考查了分类讨论思想及排列、组合的基本方法，要加强分类讨论思想的训练．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）（•天津）甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为24和23．【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【专题】概率与统计．【分析】茎叶图中共同的数字是数字的十位，这事解决本题的突破口，根据所给的茎叶图看出两组数据，代入平均数个数求出结果，这是一个送分的题目．【解答】解：由茎叶图知，甲加工零件个数的平均数为；乙加工零件个数的平均数为．故答案为：24；23．【点评】本题主要考查茎叶图的应用，属于容易题．对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，题目分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题．考查最基本的知识点．12．（4分）（•天津）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】利用俯视图可以看出几何体底面的形状，结合正视图与侧视图便可得到几何体的形状，求锥体体积时不要丢掉．【解答】解：由三视图可知，该几何体为一个底面边长为1，高为2的正四棱柱与一个底面边长为2，高为1的正四棱锥组成的组合体，因为正四棱柱的体积为2，正四棱锥的体积为，所以该几何体的体积V=2+=，故答案为：．【点评】本题主要考查三视图的概念与柱体、椎体体积的计算，属于容易题．13．（4分）（•天津）已知圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切．则圆C的方程为（x+1）2+y2=2．【考点】圆的标准方程．【专题】直线与圆．【分析】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解，欲求圆的方程则先求出圆心和半径，根据圆与直线相切建立等量关系，解之即可．【解答】解：令y=0得x=﹣1，所以直线x﹣y+1=0，与x轴的交点为（﹣1，0）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以圆C的方程为（x+1）2+y2=2；故答案为（x+1）2+y2=2【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程等基础知识，属于容易题．14．（4分）（•天津）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若，则的值为．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【专题】直线与圆．【分析】由题中条件：“四边形ABCD是圆O的内接四边形”可得两角相等，进而得两个三角形相似得比例关系，最后求得比值．【解答】解：因为A，B，C，D四点共圆，所以∠DAB=∠PCB，∠CDA=∠PBC，因为∠P为公共角，所以△PBC∽△PDA，所以．设PB=x，PC=y，则有，所以．故填：．【点评】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质，属于中等题．温馨提示：四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容，也是考查的热点．15．（4分）（•天津）如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则=．【考点】向量在几何中的应用．【专题】平面向量及应用．【分析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题．【解答】解：，∵，∴，∵，∴cos∠DAC=sin∠BAC，，在△ABC中，由正弦定理得变形得|AC|sin∠BAC=|BC|sinB，，=|BC|sinB==，故答案为．【点评】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题16．（4分）（•天津）设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈[，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用．【分析】依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立，求出函数函数的最小值即可求出m的取值．【解答】解：依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立．令g（x）=，g′（x）=，∵，∴g′（x）＞0∴当时，函数取得最小值，所以，即（3m2+1）（4m2﹣3）≥0，解得或，故答案为：（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．【点评】本题是较为典型的恒成立问题，难度较大，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解．三、解答题（共6小题，满分76分）17．（12分）（•天津）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（x∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x0）=，x0∈[，]，求cos2x0的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】先将原函数化简为y=Asin（ωx+φ）+b的形式（1）根据周期等于2π除以ω可得答案，又根据函数图象和性质可得在区间[0，]上的最值．（2）将x0代入化简后的函数解析式可得到sin（2x0+）=，再根据x0的范围可求出cos（2x0+）的值，最后由cos2x0=cos（2x0+）可得答案．【解答】解：（1）由f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1，得f（x）=（2sinxcosx）+（2cos2x﹣1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）所以函数f（x）的最小正周期为π．因为f（x）=2sin（2x+）在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，又f（0）=1，f（）=2，f（）=﹣1，所以函数f（x）在区间[0，]上的最大值为2，最小值为﹣1．（Ⅱ）由（1）可知f（x0）=2sin（2x0+）又因为f（x0）=，所以sin（2x0+）=由x0∈[，]，得2x0+∈[，]从而cos（2x0+）=﹣=﹣．所以cos2x0=cos[（2x0+）﹣]=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=．【点评】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数y=Asin（ωx+φ）的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力．18．（12分）（•天津）某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响．（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标．另外2次未击中目标的概率；（Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总的分数，求ξ的分布列．【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【专题】概率与统计．【分析】（I）由题意知每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响，设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则X～．利用二项分布的概率公式得到结果，（II）有3次连续击中目标．另外2次未击中目标包括三种情况，即连续的三次射击在第一位，在第二位，在第三位，这三种情况是互斥的，根据独立重复试验和互斥事件的概率公式得到结果．（III）ξ为射手射击3次后的总的分数，由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，6，结合变量对应的事件，写出变量的概率，写出分布列．【解答】解：（1）每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X～．在5次射击中，恰有2次击中目标的概率（Ⅱ）设“第i次射击击中目标”为事件Ai（i=1，2，3，4，5）；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则==（Ⅲ）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，6==P（ζ=6）=P（A1A2A3）=∴ξ的分布列是ξ0 1 2 3 6P【点评】本题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．19．（12分）（•天津）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA1=1：2：4，（1）求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；（2）证明AF⊥平面A1ED；（3）求二面角A1﹣ED﹣F的正弦值．【考点】异面直线及其所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．【分析】（1）在空间坐标系中计算出两个直线的方向向量的坐标，由数量公式即可求出两线夹角的余弦值．（2）在平面中找出两条相交直线来，求出它们的方向向量，研究与向量内积为0即可得到线面垂直的条件．（3）两个平面一个平面的法向量已知，利用向量垂直建立方程求出另一个平面的法向量，然后根据求求二面角的规则求出值即可．【解答】解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB=1，依题意得D（0，2，0），F（1，2，1），A1（0，0，4），E（1，，0）．（1）易得=（0，，1），=（0，2，﹣4）．于是cos＜，＞==．所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为．（2）证明：连接ED，易知=（1，2，1），=（﹣1，，4），=（﹣1，，0），于是=0，=0．因此，AF⊥EA1，AF⊥ED．又EA1∩ED=E，所以AF⊥平面A1ED．（3）设平面EFD的一个法向量为u=（x，y，z），则即不妨令x=1，可得u=（1，2，﹣1）．由（2）可知，为平面A1ED的一个法向量．于是cos＜u，＞==，从而sin＜u，＞=．二面角A1﹣ED﹣F的正弦值是【点评】本题考查用向量法求异面直线所成的角，二面角，以及利用向量方法证明线面垂直，利用向量法求异面直线所成的角要注意异面直线所成角的范围与向量所成角的范围的不同．20．（12分）（•天津）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（﹣a，0）．（i）若，求直线l的倾斜角；（ii）若点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且．求y0的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由离心率求得a和c的关系，进而根据c2=a2﹣b2求得a和b的关系，进而根据求得a和b，则椭圆的方程可得．（2）（i）由（1）可求得A点的坐标，设出点B的坐标和直线l的斜率，表示出直线l的方程与椭圆方程联立，消去y，由韦达定理求得点B的横坐标的表达式，进而利用直线方程求得其纵坐标表达式，表示出|AB|进而求得k，则直线的斜率可得．（ii）设线段AB的中点为M，由（i）可表示M的坐标，看当k=0时点B的坐标是（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，进而根据求得y0；当k≠0时，可表示出线段AB的垂直平分线方程，令x=0得到y0的表达式根据求得y0；综合答案可得．【解答】解：（Ⅰ）由e=，得3a2=4c2．再由c2=a2﹣b2，解得a=2b．由题意可知，即ab=2．解方程组得a=2，b=1．所以椭圆的方程为．（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（﹣2，0）．设点B的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k．则直线l的方程为y=k（x+2）．于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0．由，得．从而．所以．由，得．整理得32k4﹣9k2﹣23=0，即（k2﹣1）（32k2+23）=0，解得k=±1．所以直线l的倾斜角为或．（ii）设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为．以下分两种情况：（1）当k=0时，点B的坐标是（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是．由，得．（2）当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为．令x=0，解得．由，，==，整理得7k2=2．故．所以．综上，或．【点评】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力．21．（14分）（•天津）已知函数f（x）=xe﹣x（x∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，证明：当x＞1时，f（x）＞g（x）；（Ⅲ）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明x1+x2＞2．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）先求导求出导数为零的值，通过列表判定导数符号，确定出单调性和极值．（2）先利用对称性求出g（x）的解析式，比较两个函数的大小可将它们作差，研究新函数的最小值，使最小值大于零，不等式即可证得．（3）通过题意分析先讨论，可设x1＜1，x2＞1，利用第二问的结论可得f（x2）＞g（x2），根据对称性将g（x2）换成f（2﹣x2），再利用单调性根据函数值的大小得到自变量的大小关系．【解答】解：（Ⅰ）解：f′（x）=（1﹣x）e﹣x令f′（x）=0，解得x=1当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表x （﹣∞，1） 1 （1，+∞）f′（x）+ 0 ﹣f（x）极大值所以f（x）在（﹣∞，1）内是增函数，在（1，+∞）内是减函数．函数f（x）在x=1处取得极大值f（1）且f（1）=．（Ⅱ）证明：由题意可知g（x）=f（2﹣x），得g（x）=（2﹣x）ex﹣2令F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=xe﹣x+（x﹣2）ex﹣2于是F'（x）=（x﹣1）（e2x﹣2﹣1）e﹣x当x＞1时，2x﹣2＞0，从而e2x﹣2﹣1＞0，又e﹣x＞0，所以f′（x）＞0，从而函数F （x）在[1，+∞）是增函数．又F（1）=e﹣1﹣e﹣1=0，所以x＞1时，有F（x）＞F（1）=0，即f（x）＞g（x）．（Ⅲ）证明：（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=0，由（I）及f（x1）=f（x2），则x1=x2=1．与x1≠x2矛盾．（2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，由（I）及f（x1）=f（x2），得x1=x2．与x1≠x2矛盾．根据（1）（2）得（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，不妨设x1＜1，x2＞1．由（Ⅱ）可知，f（x2）＞g（x2），则g（x2）=f（2﹣x2），所以f（x2）＞f（2﹣x2），从而f（x1）＞f（2﹣x2）．因为x2＞1，所以2﹣x2＜1，又由（Ⅰ）可知函数f（x）在区间（﹣∞，1）内是增函数，所以x1＞2﹣x2，即x1+x2＞2．【点评】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力．22．（14分）（•天津）在数列{an}中，a1=0，且对任意k∈N*．a2k﹣1，a2k，a2k+1成等差数列，其公差为dk．（Ⅰ）若dk=2k，证明a2k，a2k+1，a2k+2成等比数列（k∈N*）（Ⅱ）若对任意k∈N*，a2k，a2k+1，a2k+2成等比数列，其公比为qk．【考点】数列的应用；等差数列的性质；等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）证明：由题设，可得a2k+1=2k（k+1），从而a2k=a2k+1﹣2k=2k2，a2k+2=2（k+1）2．于是，由此可知当dk=2k时，对任意k∈N*，a2k，a2k+1，a2k+2成等比数列．（Ⅱ）由题意可知，因此，再分情况讨论求解．【解答】（Ⅰ）证明：由题设，可得a2k+1﹣a2k﹣1=4k，k∈N*．所以a2k+1﹣a1=（a2k+1﹣a2k﹣1）+（a2k﹣1﹣a2k﹣3）++（a3﹣a1）=4k+4（k﹣1）++4×1=2k（k+1）由a1=0，得a2k+1=2k（k+1），从而a2k=a2k+1﹣2k=2k2，a2k+2=2（k+1）2．于是．所以dk=2k时，对任意k∈N*，a2k，a2k+1，a2k+2成等比数列．（Ⅱ）证明：a1=0，a2=2，可得a3=4，从而，=1．由（Ⅰ）有所以因此，以下分两种情况进行讨论：（1）当n为偶数时，设n=2m（m∈N*（2））若m=1，则．若m≥2，则+=所以（2）当n为奇数时，设n=2m+1（m∈N*）=所以，从而综合（1）（2）可知，对任意n≥2，n∈N*，有【点评】本题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(四十五) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(－1,2) D ．(－1，－2)2．直线2x ＋11y ＋16＝0关于点P(0,1)对称的直线方程是( ) A ．2x ＋11y ＋38＝0B ．2x ＋11y －38＝0 C ．2x －11y －38＝0D ．2x －11y ＋16＝03．(·衡水模拟)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( )A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3)4．(·佛山模拟)直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab ＞0，bc ＜0B ．ab ＞0，bc ＞0C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜05．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( )A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋16．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．17．(·贵阳模拟)直线l 经过点A(1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．8．(·常州模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为________．9．(·天津四校联考)不论m 取何值，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点________． 10．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程． 11．(·莆田月考)已知两点A(－1,2)，B(m,3)．(1)求直线AB 的方程； (2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 12.如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．1．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫π6，π3B.⎝⎛⎭⎫π6，π2C.⎝⎛⎭⎫π3，π2D.⎣⎡⎦⎤π6，π22．(·洛阳模拟)当过点P(1,2)的直线l 被圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝5截得的弦最短时，直线l 的方程为________________．3．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．[答题栏]A 级1._________2._________3._________4._________5._________6._________B 级1.______2.______7.__________8.__________9.__________ 答案高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(四十五)A 级1．A2.B3.D4.A5．选A 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.6．选C 线段AB 的中点⎝⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0代入直线x ＋2y －2＝0中，得m ＝3.7．解析：设直线l 的斜率为k ，则方程为y －2＝k(x －1)，在x 轴上的截距为1－2k ，令－3＜1－2k ＜3，解得k ＜－1或k ＞12.答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞8．解析：直线l 过原点时，l 的斜率为－32，直线方程为y ＝－32x ；l 不过原点时，设方程为x a ＋ya＝1，将点(－2,3)代入，得a ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.综上，l 的方程为x ＋y －1＝0或2y ＋3x ＝0. 答案：x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝09．解析：把直线方程(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0，整理得 (x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.答案：(－2,3)10．解：设所求直线方程为x a ＋yb ＝1，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b＝1，12|a||b|＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.故直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0. 11．解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1；当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)．(2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪(0， 3 ]，∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞，∴α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3. 综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.12．解：由题意可得kOA ＝tan45°＝1， kOB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线lOA ：y ＝x ，lOB ：y ＝－33x. 设A(m ，m)，B(－3n ，n)，所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在y ＝12x 上，且A 、P 、B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A(3，3)．又P(1,0)，所以kAB ＝kAP ＝33－1＝3＋32，所以lAB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.B 级1．选B 由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32＋32＋3k ，y ＝6k －232＋3k .∵两直线交点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，解得k ＞33. ∴直线l 的倾斜角的范围是⎝⎛⎭⎫π6，π2.2．解析：易知圆心C 的坐标为(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C 与点P 的连线与直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦最短．由C(2,1)，P(1,2)可知直线PC 的斜率为2－11－2＝－1，设直线l 的斜率为k ，则k ×(－1)＝－1，得k ＝1，又直线l 过点P ，所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝03．解：(1)证明：法一：直线l 的方程可化为y ＝k(x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．法二：设直线过定点(x0，y0)，则kx0－y0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立，即(x0＋2)k －y0＋1＝0恒成立， ∴x0＋2＝0，－y0＋1＝0，解得x0＝－2，y0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B(0,1＋2k)．又－1＋2k k <0且1＋2k>0，∴k>0.故S ＝12|OA||OB|＝12×1＋2k k (1＋2k)＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为 x－2y＋4＝0.高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)空间几何体的结构特征及三视图和直观图1．(·青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④2．有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是( )A．1B．2C．3D．43．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形6．(·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )A．2＋3B．1＋3C．2＋23D．4＋37．(·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号) 2①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆8．(·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．9．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．10．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．。

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高考模拟试卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0,2,4M =，|,,,0b N x x a M b M a a ⎧⎫==∈∈≠⎨⎬⎩⎭且，则集合M N =I （） A ．{}0,4 B ．{}0,2 C ．{}2,4 D ．{}1,22．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝（）A ．－4＋iB ．5C ．－5D ．－4－i 3．下列三个命题：①2x >是112x <的充分不必要条件；②设a ，b ∈R ，若6a b +≠，则3a ≠或3b ≠；③命题p ：存在0x ∈R ，使得20010x x ++<，则p ⌝：任意x ∈R ，都有210x x ++≥其中真命题是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 4．按照此程序运行，则输出k 的值是（）A ．4B ．5C ．2D ．35．某空间几何体的三视图如图，且已知该几何体的体积为36π，则其表面积为（）A ．332π+B ．32πC ．334π+2D ．334π+ 6．若π1cos()43α+=，(0,)2απ∈，则sin α的值为（） A ．426- B ．426+ C ．718 D ．23 7．已知直线a 和平面α，β满足l αβ=I ，a α⊄，a β⊄，且a 在α，β内的射影分别为直线b 和c ，则直线b 和c 的位置关系是（） A ．相交或平行 B ．相交或异面 C ．平行或异面 D ．相交、平行或异面 8．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若将它的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 图象的一条对称轴方程为（） A ．12x π= B ．4x π= C ．3x π= D ．3x 2π= 9．若实数x ，y 满足条件202020x y y x y -+⎧⎪+⎨⎪++⎩≥≥≤，则231x y z x +-=-的最大值（） A ．5 B ．4 C ．7 D ．8 10．已知P 是ABC △内部一点，且23PA PB PC ++=0u u u r u u u r u u u r ，在ABC △内部随机取点M ，则点M 取自ABP △内的概率为（） A ．23 B ．13 C ．12 D ．16 11．已知1F ，2F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的左右焦点，A 是椭圆上的点，212F A F A c ⋅=u u u r u u u u r （c 为椭圆的半焦距），则椭圆离心率的取值范围是（） A ．303⎛⎤ ⎥ ⎝⎦， B ．32,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2322⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．312⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， 12．设实数a ，b ，c ，d 满足0b ≠，1d ≠-，且2ln 111a a c b d --==+，则22()()a c b d -+-的最小值是（） A ．2 B ．1 C ．12 D ．14 此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若d 25n n x x -=⎰（其中0n >），则()21nx -的展开式中2x 的系数为________．14．已知函数log (2)2a y x m n =--+恒过定点（3，2），其中0a >且1a ≠，m ，n 均为正数，则1112m n ++的最小值是________．15．已知数列{}n a 中，11a =，{}n a 的前n 项和为n S ，当2n ≥时，有221nn n naa S S =-成立，则2017S =________．16．设F 是双曲线C ：221169x y -=的右焦点，P 是C 左支上的点，已知A ，则PAF △周长的最小值是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2b C c a +=．（1）求角B 的大小；（2）若4a =，BC边上的中线AD =，求ABC △的面积．18．（本小题满分12分）某学校依次进行A 、B 两科考试，当A 科合格时，才可考B 科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过．甲同学参加考试，已知他每次考A 科合格的概率均为23，每次考B 科合格的概率均为12．假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响．（1）求甲恰好3次考试通过的概率；（2）记甲参加考试的次数为X ，求X 的分布列和均值． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AP ＝AB ＝AD ＝1，直线PB 与CD 所成角的大小为3π．（1）若Q 是BC 的中点，求三棱锥D －PQC 的体积；（2）求二面角B －PD －A 的余弦值．20．（本小题满分12分）已知函数2()(1)x f x xe x =-+．（1）当[1,2]x ∈-时，求()f x 的最大值与最小值；（2）如果函数()()1g x f x ax =-+有三个不同零点，求实数a 的取值范围．21．（本小题满分12分）如图所示，1F 是抛物线C ：24y x =的焦点，i F 在x 轴上（其中i ＝1，2，3，…，n ），i F 的坐标为(,0)i x 且1i i x x +<，i P 在抛物线C 上，且i P 在第一象限1i i i PF F +△是正三角形．（1）证明：数列{}1i i x x +-是等差数列；（2）记1i i i PF F +△的面积为i S，证明：1231111n S S S S +++⋅⋅⋅+<．选做题：请考生在22~23两题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题记分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0α<<π），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求AB 的最小值． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知()1f x ax =-，不等式()3f x ≤的解集是{}12x x -≤≤．（1）求a 的值；（2）若()()3f x f x k +-<存在实数解，求实数k 的取值范围．答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．－40 14．43 15．11009 16．38三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）2cos 2b C c a +=，由正弦定理，得2sin cos sin 2sin B C C A +=，A B C ++=πQ ，sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C ∴=+=+，2sin cos sin 2(sin cos cos sin )B C C B C B C ∴+=+，sin 2cos sin C B C ∴=，0C <<πQ ，sin 0C ∴≠，1cos 2B ∴=，∴3B π=．（2）在ABD △中，由余弦定理得：222cos 2BD AB AD B AB AD +-=⨯，即247142c c +-=，解得3c =，11sin 4322ABC S ac B ∴==⨯⨯=△18．【答案】（1）甲恰好3次通过考试有两种情况，第一种情况是第一次A 科通过，第二次B 科不过，第三次B 科通过；第二种情况是第一次A 科没通过，第二次A 科通过，第三次B 科通过，2111215(1)32233218P ∴=⨯-⨯+⨯⨯=．（2）由题意得2ξ=、3、4，21114(2)32339P ξ==⨯+⨯=；2111212114(3)(1)(1)(1)3223323229P ξ==⨯-⨯+⨯⨯+⨯-⨯-=；12112111(4)(1)(1)(1)33233229P ξ==⨯⨯-+⨯⨯-⨯-=，则ξ的分布列为：44()2349993E ξ=⨯+⨯+⨯=． 19．【答案】（1）以AB u u u r ，AD u u u r ，AP u u u r 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ．因为AP ＝AB ＝AD ＝1，所以A （0，0，0），B （1，0，0），D （0，1，0），P （0，0，1）．设C （1，y ，0），则PB u u u r ＝（1，0，－1），CD uuu r ＝（－1，1－y ，0）．因为直线PB 与CD 所成角大小为π3，所以1cos ,2PB CD PB CD PB CD ⋅<>==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 12=，解得y ＝2或y ＝0（舍），所以C （1，2，0），所以BC 的长为2． ∴--111111326D PQC P DQC V V ==⨯⨯⨯⨯=．（2）设平面PBD 的一个法向量为n 1＝（x ，y ，z ）．因为PB u u u r ＝（1，0，－1），PD u u u r ＝（0，1，－1），则1100PB PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n ，即00x z y z -=⎧⎨-=⎩，令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，所以n 1＝（1，1，1）．因为平面P AD 的一个法向量为n 2＝（1，0，0），所以121212cos ,3⋅<>==n n n n n n ，所以，由图可知二面角B －PD －A的余弦值为3．20．【答案】（1）因为2()e (1)x f x x x =-+，所以()(1)e 2(1)(1)(e 2)x x f x x x x '=+-+=+-，令()0f x '=得11x =-，2ln 2x =，()f x '，()f x 的变化如下表：()f x 在[1,2]-上的最小值是2(ln 2)1--，因为22e 90->，10e -<，212e 9e ->-，所以()f x 在[1,2]-上的最大值是22e 9-．（2）2()1e (2)(e 2)x x f x ax x x a x x x a -+=--+=---，所以()10f x ax x =-⇒=或e 20x x a ---=，设()e 2x g x x a =---，则()e 1x g x '=-，0x >时，()0g x '>，0x <时，()0g x '<，所以()g x 在(0,)+∞上是增函数，在(,0)-∞上是减函数，()(0)1g x g a =--≥，且x →+∞，()g x →+∞，x →-∞，()g x →+∞，①当10a -->时，即1a <-时，()0g x =没有实根，方程()1f x ax =-有1个实根；②当10a --=时，即1a =-时，()0g x =有1个实根为零，方程()1f x ax =-有1个实根； ③当10a --<时，即1a >-时，()0g x =有2不等于零的实根，方程()1f x ax =-有3个实根．综上可得，1a >-时，方程()1f x ax =-有3个实根．21．【答案】（1）由题意知，1(1,0)F ，所以1PF 的方程是πtan (1)1)3y x x =-=-，代入抛物线可得231030x x -+=，则13x =，213x =（舍），即1(3P ，()25,0F ∴，11x ∴=，25x =，又设11(,0)n n F x --，(,0)n n F x ， n n n+1P F F Q △是等边三角形，1(2n n n x x P ++代入抛物线得： 2113()2()4n n n n x x x x ++-=+，2113()2()4n n n n x x x x ---=+两式相减得： 1111113(2)()2()4n n n n n n n x x x x x x x +-+-+--+-=-，且110n n x x +--≠，所以11823n n n x x x +--+=，118()()3n n n n x x x x +-∴---=，所以数列{}1n n x x +-是等差数列，其中首项为214x x -=，公差是83．（2）由（1）184(21)4(1)33n n n x x n ++-=+-=， 2216(21)(21)499n S n n ∴=+=+， 211111()4(21)4(21)(21)82121n S n n n n n ∴=<=-++--+ 1211111111+)()+()]83352121n S S S n n ∴++<-+-+--+……1)21n =-<+．选做题：请考生在22~23两题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）由2sin 4cos ρθθ=，得2(sin )4cos ρθρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为24y x =，（2）将直线l 的参数方程代入24y x =，得22sin 4cos 40t t αα--=．设A 、B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则1224cos sin t t αα+=，1224sin t t α=-， ∴12AB t t =-==2απ=时，AB 的最小值为4．23．【答案】（1）由13ax -≤，得313ax --≤≤，即24ax -≤≤．当0a >时，24x a a -≤≤，因为不等式()3f x ≤的解集是{}12x x -≤≤，所以2142a a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2a =；当0a<时，42xa a-≤≤，因为不等式()3f x≤的解集是{}12x x-≤≤，所以2241aa⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，无解．所以2a=．（2）因为()()|21||21||(21)(21)|2 3333f x f x x x x x+--++--+==≥，所以要使()()3f x f xk+-<存在实数解，只需23k>．解得23k>或23k<-．所以实数k的取值范围是22(,)(,)33-∞-+∞U．。