探讨数学思想方法在大学数学教学中的渗透

探讨数学思想方法在大学数学教学中的渗透

一、分类的思想方法

所谓分类思想，就是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。一般按照“明确对象—确定标准—逐类讨论—归纳”思维步骤来分析问题。

如矩阵按元素间的关系分类，可以分为矩阵的等价关系、关系、相似关系；将次数大于零的多项式分为可约与不可约两类；将二次型分为正定、负定、不定三类；利用向量空间的同构关系对向量空间、欧氏空间按维数分类等。以下2个概率问题的解答需要多个分支的综合得出答案。

例1：今安排5列汽车停在5个车位上。如果甲车不许停在最左边，乙车不许停在最右边，问有几种排法？

分析：先考虑甲车。如果甲车在最右边，余下的4辆车的排列不受限制，一次有A4种排法；如果甲车不在最右边，则只能排在中间3个位置，此时乙车也只有3个位置可以选择，因此有A1A1A3种排法。所以，共有A4+A1A1A3=78种。此题为大专概率统计学中基础的题目，通过对甲乙的分类讨论，渗透分类方法，可提高思维的严密性。

例2：一批零件共100个，次品率为10%，每次從其中取一个零件，不放回，如果第一次取得合格品后，就不再取零件，求三次内取得合格品的概率。

分析：将第一次或第二次取得合格品，或第三次才取得合格品共分3类进行讨论。令A=“在三次内取得合格品”，则A=A1+A1A2+A1A2A3故P（A）= P（A1）+P（A1A2）+P（A1A2A3）=0.993

以上数学问题的解法，实质是变换命题形式和分类的反复运用，此类数学问题的每一步转换，都遵循着分类思想方法“总—分—总”的

规律。通过这类数学问题的解决，可避免分类中重复和遗漏的现象，学生能够领悟分类的魅力。

二、类比的思想方法

所谓类比是这样的一种推理，它把不同的两个（两类）对象进行比较，根据两个（两类）对象在一系列属性上的相似，而且已知其中一个对象还具有其他的属性，由此推出另一个对象也具有相似的其他属性的结论。类比有结构类比、降维类比等。

如n 维空间中的邻域、两点间的距离、点列极限等基本概念以及连续性定理等可与一维空间中的相应内容作类比。由二维、三维空间类比推出一般数域P上的抽象向量空间的概念。由整数整除理论类比推出数域P上的多项式的整除理论。由直角坐标系下几何向量的长度、夹角、内积等，类比在标准正交基下n维欧氏空间中向量的长度、夹角、内积等。一元函数微积分与多元函数微积分中许多概念、定理可作类比和比较。离散求和的数项级数、函数项级数与连续求和的广义积分、含参量广义积分同样可作类比和比较。又如多元函数的极限、连续、偏导数、全微分、重积分等重要概念与一元函数的极限、连续、导数、微分、积分相类比，如多元函数类比一元函数的连续、可偏导、可微的三者关系时：一元函数可导等价可微，可导与可微可以推出连续；多元函数可微可以推出连续和可偏导，可偏导推不出可微和连续。此外，不同數学课程中的内容也可作类比和比较，如微积分中函数的极限、连续、导数、微分、积分等概念可与复变量函数的相应概念作类比和比较，线性常微分方程（组）的基本理论可与线性代数方程组的基本理论作类比。

例3：某班学生40人，求有2人的生日都是9月1日的概率P （A）（一年以365天计算）。

分析：可以如此类比，365 天好比365个球，即袋子里有l，2，…，364，365号球。两人或多人生日相同，比作有放回抽样时2次或多次抽到的球是同一个球。因此，基本事件总数为*****，可用古典概型求解或伯努利概型求解，P（A）=C2 。

总之，教师应根据类比教学内容，使学生体会类比内容的联系和本质差异，渗透类比思想，也有利于学生进行合情推理。

三、转化与化归的思想方法

转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法。通过不断转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。一般在数与数、形与形、数与形之间进行转化与化归，也可以在题意间进行等价转化。

如求事件A的概率，有时可转化为求A的逆事件的概率，离散型随机变量的超几何分布问题可以转化为二项分布来解决，概率很小时二项分布又可以转化为泊松分布；连续型随机变量可转化为标准正态变量等。以上都用到了转化与划归的思想方法。

在高等数学中，很多问题都要用转化和化归思想方法去解决，它是发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的一个重要的思想方法。如果在平时的教学中，老师能注意去挖掘和善于去引导，使学生形成良好的转化和化归意识，就可以化繁为简、化隐为显、化难为易、化抽象为具体等，有利于学生形成和发展辩证思维能力。

四、极限的思想方法

所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等都是借助于极限来定义的。可以说：数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科。

如定积分定义的思想来源可以概括为：分割、求和、取极限。这定义的实质就是局部上以直代曲，再整体上通过求和取极限，即“化整为零求近似，聚零为整求极限”。概率统计中大数定理和中心极限定理、微分方程讨论解的奇异极限和泛函分析中马氏链的极限性质等都体现了极限思想的广泛应用。

在大学数学教学中，教师应通过设计学习情境，使教学过程充分揭示极限思想的形成过程，帮助学生领会蕴涵在其中的极限思想，从

而激发其学习极限的兴趣。

五、培养思维品质，提炼数学思想

数学思想方法是数学的精髓和灵魂，在大学数学教学中，或是教材中，都隐性地存在着。因此，我们应结合大学生的思维特点，更多从教材中、教学中以问题为出发点，以数学思想方法为主线，以解决问题为目的，让学生在学习过程中发挥主动性，把数学思想显性化。这也有利于提高大学生学习数学的趣味性，培养学生思维的条理性、逻辑性和创新性，为学生以后工作和生活提供指导、增强学习与原理的迁移能力，从而真正达到教师教数学，学生学数学的目的——学好数学点，具有理性精神和掌握数学思想方法。正如名言所说：“In Cambridge，we teach you everything from nothing.”