全等三角形学习资料

全等三角形➢学习目标1.正确理解全等的概念，能够识别全等图形；2.能够准确找到全等的对应边、对应角，会进行全等三角形的表示；3.能够利用全等三角形的性质进行相关的计算.➢重难点分析1.全等三角形对应边、对应角的识别；2.全等三角形的性质及其相关计算.➢要点集结➢精讲精练全等的概念及其表示1、全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形．2、全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．3、全等的符号表示：“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．4、全等的对应顶点、对应边、对应角（1）把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；（2）把两个全等三角形重合到一起，重合的边叫做对应边；（3）把两个全等三角形重合到一起，重合的角叫做对应角．例1.下列图形中与已知图形全等的是（）A．B．C．D．【答案】B练习1.下列选项中，和下图全等的图形是（）A．B．C．D．【答案】D练习2.下列图形中，是由多个全等图形组成的图案的是（）A．B．C．D．【答案】C●小结根据全等的定义识别全等的图形，图形全等的本质就是经过移动后能够完全重合.例2.下列说法正确的是（）A．面积相等的两个长方形全等B．周长相等的两个长方形全等C．形状相同的两个长方形全等D．能够完全重合的两个长方形全等【答案】D【解析】解：根据能够完全重合的两个图形是全等图形可知，能够完全重合的两个长方形全等，面积相等，周长相等，形状相同，都不一定能够完全重合．所以A、B、C选项不一定正确，D选项一定正确．故选D．练习1.下列说法正确的是（）A．形状相同的两个三角形全等B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等D．所有的等边三角形全等【答案】C【解析】解：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等；B、面积相等的两个三角形全等，说法错误；C、完全重合的两个三角形全等，说法正确；D、所有的等边三角形全等，说法错误；●小结利用语言描述图形的特征，再根据特征进行全等的判别，此类问题较直接看图辨别的类型难度要稍大一些，需要学生对所描述的图形的几何性质要相对熟悉一些，并能够根据几何性质去判断图形的具体形状是否可以固定，从而判断是否全等.例3.用两个全等的三角形一定不能拼出的图形是（）A．等腰三角形B．直角梯形C．菱形D．矩形【答案】B【解析】解：用两个全等的直角三角形就能拼出等腰三角形，A可以；如图两个全等的正三角形就可以拼出菱形，C可以；两个全等的直角三角形时就可以拼出矩形，D可以；不管用什么形状的两个全等的三角形不管怎样也拼不出直角梯形．故选B．●小结利用全等形进行新图形的拼接，需要注意分类讨论思想的应用，将不同的边拼接在一起，得到的新图形的形状是不同的.例4.把下列各图分成若干个全等图形，请在原图上用虚线标出来．【答案】解：如图所示：【解析】根据能够完全重合的图形叫做全等形，将第一个图分割成5个正方形，将第二个图分割成3个直角三角形即可．例 5.已知A与A′，B与B′是对应点，则≌ABC和≌A′B′C′全等用符号语言表示为：．【答案】≌ABC≌≌A′B′C′【解析】解：≌A与A′，B与B′是对应点，≌≌ABC≌≌A′B′C′，故答案为：≌ABC≌≌A′B′C′．练习1.如图，≌ABC≌≌DEF，≌A和≌D是对应角，AB和DE是对应边，那么还有对应角是，，对应边是，．【答案】≌B=≌E，≌C=≌F；BC=EF，AC=DF【解析】解：≌≌ABC≌≌DEF，≌A和≌D是对应角，AB和DE是对应边，≌相等的边有：AB=DE，BC=EF，AC=DF；相等的角有：≌A=≌D，≌B=≌E，≌C=≌F．故答案为≌B=≌E，≌C=≌F；BC=EF，AC=DF.练习2.在≌ABC中，≌B=≌C，与≌ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在≌ABC中与这100°角对应相等的角是（）A．≌A B．≌B C．≌C D．≌B或≌C【答案】A【解析】解：在≌ABC中，≌≌B=≌C，≌≌B、≌C不能等于100°，≌与≌ABC全等的三角形的100°的角的对应角是≌A．故选：A．小结在用全等符号表示两三角形全等时，一定要注意将对应的点写在对应的位置上，这样方便找到对应边和对应角.在最开始学的时候就养成这样的好习惯，是非常有必要的.全等的性质及其相关计算1、全等三角形的性质性质1：全等三角形的对应边相等性质2：全等三角形的对应角相等注意：（1）全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等；（3）平移、翻折、旋转前后的图形全等.2、关于全等三角形的性质应注意（1）全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边；（2）要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指同一个三角形中角的对边，对角是指同一个三角形中边的对角．例1.如图，已知≌ABC≌≌DEB，点E在AB上，若DE=8，BC=5，线AE的长为（）A．3B．5C．6D．4【答案】A【解析】解：≌≌ABC≌≌DEB，≌AB=DE=8，BE=BC=5，≌AE=AB﹣BE=3，故选：A．练习1.如图，已知≌ABC≌≌DAE，BC=2，DE=5，则CE的长为（）A．2B．2.5C．3D．3.5【答案】C【解析】解：≌≌ABC≌≌DAE，≌AC=DE=5，BC=AE=2，≌CE=5﹣2=3．故选C．练习2.下列说法错误的是（）A．全等三角形对应边上的中线相等B．面积相等的两个三角形是全等三角形C．全等三角形对应边上的高相等D．全等三角形对应角平分线相等【答案】B小结全等的一个典型性质就是对应边相等，所以在有全等形的求线段长度的题目中，一定要注意对全等对应边相等这一性质的应用.同时对于两个全等的三角形来说，不仅对应边相等，对应的角平分线、中线、高线也分别是相等的，这就为全等形中计算线段的长度提供了又一个理论依据.例2.如图，在≌ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，若≌ADB≌≌EDB≌≌EDC，则≌C 的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°【答案】D【解析】解：≌≌ADB≌≌EDB≌≌EDC，≌AB=BE=EC，≌ABD=≌DBE=≌C，≌≌A=90°，≌≌C=30°，故选：D．练习1.如图，两个三角形为全等三角形，则≌α的度数是（）A．72°B．60°C．58°D．50°【答案】A【解析】解：根据三角形内角和可得≌1=180°﹣50°﹣58°=72°，因为两个全等三角形，所以≌α=≌1=72°，故选A．小结全等的另一个典型性质是对应角相等，在全等形存在的题目中进行角度计算时，一定要注意对这一性质的应用.全等性质中常见模型的识别在利用全等三角形的性质进行相关的边、角计算时，除了直接利用性质外，还需要对一些常见的几何结构能够准确识别，从而逐步建立几何感知能力.如：（1）平移型：（2）旋转型（3）翻折型（4）对调性型（5）共角型（6）共边型——其本质也是翻折型（7）一线三等角之三垂直模型例1.如图，已知≌ABC≌≌DEF，≌A=85°，≌B=60°，AB=8，EH=2．（1）求角F的度数与DH的长；（2）求证：AB≌DE．【答案】解：（1）≌≌A=85°，≌B=60°，≌≌ACB=180°﹣≌A﹣≌B=35°，≌≌ABC≌≌DEF，AB=8，≌≌F=≌ACB=35°，DE=AB=8，≌EH=2，≌DH=8﹣2=6；（2）证明：≌≌ABC≌≌DEF，≌≌DEF=≌B，≌AB≌DE．【解析】（1）根据三角形内角和定理求出≌ACB，根据全等三角形的性质得出AB=DE，≌F=≌ACB，即可得出答案；（2）根据全等三角形的性质得出≌B=≌DEF，根据平行线的判定得出即可．练习1.如图，≌ABC≌≌DEF，AC≌DF，则≌C的对应角为（）A．≌F B．≌AGE C．≌AEF D．≌D【答案】A【解析】解：≌AC≌DF，≌≌D=≌BAC；≌≌ABC≌≌DEF，≌≌ABC与≌DEF的对应角相等；又≌C是≌ABC的一个内角，≌≌C的对应角应≌DEF的一个内角；A、≌AGE不是≌DEF的一个内角，不符合题意；B、≌AEF不是≌DEF的一个内角，不符合题意；C、≌D与≌BAC是对应角，不符合题意；故选A．小结注意平移型全等形的识别，平移的距离可以有多种情况，两个图形可以没有公共的部分，这也是平移型的一种典型情况，在授课过程中注意帮助学生建立这种模型意识.例2.已知：如图，≌ABC≌≌AEF，AB=AE，≌B=≌E，则对于结论≌AC=AF，≌≌FAB=≌EAB，≌EF=BC，≌≌EAB=≌FAC，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】解：≌≌ABC≌≌AEF，≌AC=AF，故≌正确；≌EAF=≌BAC，≌≌FAC=≌EAB≠≌FAB，故≌错误；EF=BC，故≌正确；≌EAB=≌FAC，故≌正确；综上所述，结论正确的是≌≌≌共3个．故选C．练习1.如图，≌ABC≌≌DBE，≌DBC=150°，≌ABD=40°，则≌ABE的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°【答案】A【解析】解：≌≌DBC=150°，≌ABD=40°，≌≌ABC=110°，≌≌ABC≌≌DBE，≌≌DBE=≌ABC=110°，≌≌ABE=≌DBE﹣≌ABD=70°，故选：A．小结注意旋转型全等形的识别，旋转的角度也可以有很多种，两个图形可以没有公共的部分，这也是旋转的一种典型情况，在授课过程中注意帮助学生建立这种模型意识.例3.如图，已知≌ABC≌≌DCB，AB=10，≌A=60°，≌ABC=80°，那么下列结论中错误的是（）A．≌D=60°B．≌DBC=40°C．AC=DB D．BE=10【答案】D【解析】解：≌≌A=60°，≌ABC=80°，≌≌ACB=40°，≌≌ABC≌≌DCB，≌≌D=≌A=60°，≌DBC=≌ACB=40°，AC=BD，故A，B，C正确，故选D．练习1.如图，点E，F在线段BC上，≌ABF与≌DEC全等，其中点A与点D，点B与点C 是对应顶点，AF与DE交于点M，则≌DEC等于（）A．≌B B．≌A C．≌EMF D．≌AFB【答案】D【解析】解：≌≌ABF与≌DEC全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，≌≌ABF≌≌DCE，≌≌DEC=≌AFB，故选：D．小结注意翻折型全等形的识别，翻折的本质是轴对称，其中轴对称的知识会在下一章中学到，其中对称轴的位置决定了翻折前后形成的两个图形的位置关系，建议老师在讲解旋转、翻折、平移这三个模型时，要以动态的思想来分析、帮助学生理解不同的形式产生的原因，在授课过程中注意帮助学生建立这种模型意识.例4.如图，≌ABD≌≌CDB，下面四个结论中不正确的是（）A．≌ABD和≌CDB的面积相等B．≌ABD和≌CDB的周长相等C．≌A+≌ABD=≌C+≌CBD D．AD≌BC，且AD=BC【答案】C【解析】解：≌≌ABD≌≌CDB，≌≌ADB=≌CBD，AD=BC，≌ABD和≌CDB的面积相等，≌ABD和≌CDB的周长相等，≌AD≌BC，则选项A，B，D一定正确．由≌ABD≌≌CDB不一定能得到≌ABD=≌CBD，因而≌A+≌ABD=≌C+≌CBD不一定成立．故选C．练习1.如图，≌ABC≌≌BAD，若AB=6、AC=4、BC=5，则≌BAD的周长为．【答案】15【解析】解：≌≌ABC≌≌BAD，≌AD=CB=5，BD=AC=4，≌AB=6，≌≌BAD的周长为：5+4+6=15，故答案为：15．小结对调型的全等也有不同的位置、不同的情况，其中有一条边完全重合的情况构成的是平行四边形（在人教版初二下学期的课本中会学到），对于这种类型的全等，一定要注意区分其对应点和对应边分别是什么.例5.如图：若≌ABE≌≌ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为（）A．2B．3C．5D．2.5【答案】B【解析】解：≌≌ABE≌≌ACF，AB=5，≌AC=AB=5，≌AE=2，≌EC=AC﹣AE=5﹣2=3，故选B．练习1.如图，≌ABE≌≌ACF．若AB=5，AE=2，BE=4，则CF的长度是（）A．2B．5C．4D．3【答案】C【解析】解：≌≌ABE≌≌ACF，≌CF=BE=4，故选：C．练习2.已知如图，≌OAD≌≌OBC，且≌O=70°，≌C=25°，则≌OAD=（）A．95°B．85°C．75°D．65°【答案】B【解析】解：≌≌OAD≌≌OBC，≌≌D=≌C=25°，≌≌O=70°，≌≌OAD=180°﹣25°﹣70°=85°，故选：B．●小结共角模型其本质也是翻折的一种，由于它有一个公共角，其情况比较特殊，所以单独拿出来分析，此种模型在下一节的全等判定中出现的频率很高，其中蕴藏着两组全等三角形，两者之间的转化很经典.例6.如图，≌ABC≌≌DCB，若AC=7，BE=5，则DE的长为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】解：≌≌ABC≌≌DCB，≌BD=AC=7，≌BE=5，≌DE=BD﹣BE=2，故选A．练习1.如图，已知≌ABC≌≌BAD，A和B，C和D分别是对应顶点，且≌C=60°，≌ABD=35°，则≌BAD的度数是（）A．60°B．35°C．85°D．不能确定【答案】C【解析】解：≌≌ABC≌≌BAD，≌C=60°，≌≌D=≌C=60°，≌≌ABD=35°，≌≌BAD=180°﹣≌D﹣≌ABD=180°﹣60°﹣35°=85°，故选C．●小结共边型全等其本质也是翻折型，是翻折的一个特殊情况.例7.如图，E为线段AB上一点，AC≌AB，DB≌AB，≌ACE≌≌BED．（1）试猜想线段CE与DE的位置关系，并证明你的结论；（2）求证：AB=AC+BD．【答案】（1）CE≌DE，证明：≌AC≌AB，DB≌AB，≌≌A=≌B=90°，≌≌C+≌CEA=90°，≌≌ACE≌≌BED，≌≌C=≌DEB，≌≌CEA+≌DEB=90°，≌≌CED=180°﹣90°=90°，≌CE≌DE；（2）证明：≌≌ACE≌≌BED，≌AC=BE，BD=AE，≌AB=AE+BE=AC+BD．【解析】（1）求出≌A=≌B=90°，推出≌C+≌CEA=90°，根据全等得出≌C=≌DEB，推出≌CEA+≌DEB=90°即可；（2）根据全等三角形的性质得出AC=BE，BD=AE，即可得出答案．练习1.如图，已知Rt≌ABC≌Rt≌CDE，≌B=≌D=90°，且B，C，D三点共线．试说明≌ACE=90°．【答案】证明：≌Rt≌ABC≌Rt≌CDE，≌≌BCA=≌CED，≌≌DCE是直角三角形，≌≌CED+≌ECD=90°，≌≌BCA+≌ECD=90°，≌≌ACE=180°-90°=90°．【解析】根据Rt≌ABC≌Rt≌CDE可得≌BCA=≌CED，再根据直角三角形两锐角互余可得≌CED+≌ECD=90°，进而得到≌BCA+≌ECD=90°，再根据角之间的关系可得≌ACE=90°． 小结三垂直模型其本质也是一种旋转，由于其旋转中心不容易确定，所以将此类情况单独拿出来分析，而三垂直的更一般的情况是一线三等角，它是初三相似中非常重要的一个模型.➢当堂总结本次课重点讲解三角形全等的性质及其相关计算，其中需要学生特别关注的就是一些常见的全等的模型，这也为下一节讲解三角形全等的判定作铺垫，在学习全等三角形章节一定要着重关注常见的全等模型，这对计算和证明都有很好的帮助.➢课后作业1、如图，≌ADE≌≌BDE，若≌ADC的周长为12，AC的长为5，则CB的长为（）A．8B．7C．6D．5【答案】B【解析】解：≌≌ADE≌≌BDE，≌DA=DB，≌ADC的周长=AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=12，又AC=5，≌BC=7，故选：B．2、若≌ABC≌≌DEF，且≌ABC的周长为20，AB=5，BC=8，则DF长为（）A．5B．8C．7D．5或8【答案】C【解析】解：≌≌ABC的周长为20，AB=5，BC=8，≌AC=20﹣5﹣8=7，≌≌ABC≌≌DEF，≌DF=AC=7，故选：C．3、如图，已知≌ABE≌≌ACD，≌1=≌2，≌B=≌C，不正确的等式是（）A．AB=AC B．≌BAE=≌CAD C．BE=DC D．AD=DE【答案】D【解析】解：≌≌ABE≌≌ACD，≌1=≌2，≌B=≌C，≌AB=AC，≌BAE=≌CAD，BE=DC，AD=AE，故A、B、C正确；AD的对应边是AE而非DE，所以D错误．故选D．4、如图，≌ABD≌≌ACE，点B和点C是对应顶点，AB=8，AD=6，BD=7，则CE的长是（）A．1B．2C．4D．7【答案】D【解析】解：≌≌ABD≌≌ACE，≌BD=CE=7．故选：D．5、如图，CD≌AB于点D，BE≌AC于点E，≌ABE≌≌ACD，≌C=42°，AB=9，AD=6，G 为AB延长线上一点．（1）求≌EBG的度数．（2）求CE的长．【答案】解：（1）≌≌ABE≌≌ACD，≌≌EBA=≌C=42°，≌≌EBG=180°﹣42°=138°；（2）≌≌ABE≌≌ACD，≌AC=AB=9，AE=AD=6，≌CE=AC﹣AE=9﹣6=3．6、如图所示，已知≌ABC≌≌DCB，≌A=32°，≌BCD=115°，求≌BOC．【答案】解：≌≌ABC≌≌DCB，≌≌DBC=≌ACB，≌A=≌D，≌ABC中，≌A=32°，≌≌D=32°，≌≌DBC=≌ACB=180°﹣≌D﹣≌BCD=33°，≌≌OBC=≌OCB=33°，≌≌BOC=180°﹣33°﹣33°=114°．【解析】根据三角形内角和定理可求≌DBC=33°，根据全等三角形的性质可证≌DBC=≌ACB，即可求≌BOC．7、如图，E为线段BC上一点，AB≌BC，≌ABE≌≌ECD，判断AE与DE的关系，并证明你的结论．【答案】解：AE≌DE．≌AB≌BC，≌≌B=90°．≌≌ABE≌≌ECD，≌≌A=≌DEC，≌AEB=≌EDC，≌B=≌C=90°．≌≌A+≌AEB=90°，≌DEC+≌D=90°，≌≌AEB+≌DEC=90°，≌≌AED=90°，即AE≌DE．。