三角形中线定理与向量
三角形外心内心重心垂心与向量性质
三角形的“四心”之青柳念文创作所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及心坎.当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心.一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心.ABC ∆的重心一般用字母O 暗示.性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==.2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.向量性质：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，知足AC OA OC CB OC OB BA OB OA ⋅+=⋅+=⋅+)()()(，则点O为ABC ∆的外心.二、三角形的心坎定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的心坎，即内切圆圆心.ABC ∆的心坎一般用字母I 暗示，它具有如下性质：性 质：1.心坎到三角形三边等距，且顶点与心坎的连线平分顶角.2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.向量性质：设()+∞∈,0λ，则向量||||(AC AB AP +=λ，则动点P的轨迹过ABC ∆的心坎.三、三角形的垂心 定 义：三角形三条高的交点叫重心.ABC ∆的重心一般用字母H 暗示.性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边， 即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,.2.向量性质：结论1：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，知足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC ∆的垂心.结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点，知足222222AB OC CA OB BC OA +=+=+， 则点O 为ABC ∆的垂心.四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心.ABC ∆的重心一般用字母G 暗示.性 质：G 的连线必平分对边.2.重心定理：三角形重心与顶点的间隔等于它与对边中点的间隔的2倍.即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3CB A GC B A G y y y y x x x x ++=++=.4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ； （2）)(31PC PB PA PG ++=.。
三角形向量的公式大全
三角形向量的公式大全一、向量加法与三角形法则。
1. 三角形法则（向量加法）- 已知向量→AB和→BC，则→AC=→AB+→BC。
- 几何意义：将向量→AB的终点作为向量→BC的起点，连接→AB的起点与→BC的终点所得到的向量→AC就是→AB与→BC的和向量。
2. 向量加法的交换律在三角形中的体现。
- →AB+→BC=→BC+→AB（虽然三角形法则中顺序有意义，但从向量加法的结果看满足交换律，这里可以通过平行四边形法则辅助理解，以→AB和→BC为邻边的平行四边形，对角线所表示的向量→AC不管是先加→AB还是先加→BC结果相同）3. 向量加法的结合律在三角形中的体现。
- (→AB+→BC)+→CD=→AB+(→BC+→CD)，例如在三角形ABC和三角形BCD中，(→AB+→BC)得到→AC，→AC+→CD=→AD；而→BC+→CD=→BD，→AB+→BD=→AD二、向量减法与三角形法则。
1. 三角形法则（向量减法）- 若→AC=→AB+→BC，则→AB=→AC-→BC。
- 几何意义：向量减法是加法的逆运算，在三角形中，→AB可以看作是从→AC的终点指向→BC的终点的向量。
2. →AB与→BA的关系。
- →AB=-→BA，在三角形中，如果→AB表示从A到B的向量，那么→BA 就是从B到A的向量，它们大小相等，方向相反。
三、三角形中的向量数量积公式。
1. 向量数量积的定义在三角形中的应用。
- 对于三角形ABC中的向量→AB和→AC，它们的数量积→AB·→AC=|→AB||→AC|cos∠ BAC。
- 这个公式可以用来求三角形中的角，例如cos∠BAC=frac{→AB·→AC}{|→AB||→AC|}。
2. 向量数量积的分配律在三角形中的体现。
- →AB·(→AC+→AD)=→AB·→AC+→AB·→AD。
在三角形ABC和ABD共顶点A的情况下，如果把→AC+→AD看作一个新的向量→AE（→AE=→AC+→AD），那么→AB·→AE就等于→AB分别与→AC和→AD数量积的和。
三角形中线的公式
三角形中线的公式三角形中线是指连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
在三角形ABC中，顶点A与对边BC中点D之间的线段AD就是三角形ABC 的一个中线。
中线有以下几个重要性质：1. 中线的长度三角形中线的长度等于对边的一半。
以三角形ABC为例，设三角形的底边为BC，底边中点为D，则中线AD的长度等于BC的一半。
这可以通过计算底边两个顶点的坐标，然后利用勾股定理得出。
2. 中线的位置三角形的三条中线交于一点，这个点被称为三角形的重心。
重心是三角形的一个重要特征点，它将三角形分成六个小三角形，每个小三角形的面积都相等。
3. 中线的作用中线在三角形中起着重要的作用。
首先，中线可以将三角形分成两个面积相等的小三角形。
其次，中线还可以求解三角形的面积。
通过连接三角形的三个顶点和对边中点，我们可以将三角形分成三个小三角形，然后计算这三个小三角形的面积之和，即可得到整个三角形的面积。
4. 中线的性质除了上述提到的性质外，中线还具有以下几个重要性质：- 三角形的三条中线交于一点，且交点到各顶点的距离满足重心定理，即重心到顶点的距离等于中线长度的两倍。
- 三角形的两条中线所夹角的余弦等于底边上与之对应的角的正弦的两倍。
这一性质可以通过向量的运算得到。
在实际应用中，中线的公式可以用于解决各种几何问题。
比如，可以利用中线的长度和角度关系来求解三角形的面积，或者利用中线的位置和性质来求解三角形的重心坐标等。
三角形中线是三角形的一个重要特征线段，具有多个重要性质和应用。
通过研究和应用中线的公式，我们可以更好地理解和解决与三角形相关的几何问题。
高中解三角形中线问题中学生数理化
高中解三角形中线问题中学生数理化一、三角形的中线定义与性质中线是三角形中的一条重要线段，它连接了三角形的顶点与对边的中点。
在三角形ABC中，如果线段AD将边BC分为两段相等的部分，即BD=DC，则我们称线段AD为三角形ABC的中线。
中线的一个重要性质是它将对应的边分为两段相等的部分，即AB=BD和CD=AC。
二、中线定理及其应用中线定理指出，三角形的中线长度等于与之相对的边的一半乘以该边的对角。
具体来说，如果AD是三角形ABC的中线，那么我们有：AD²=BD×AC。
这个定理在解决三角形问题时非常有用，因为它提供了一种将边长与角度联系起来的方法。
三、余弦定理和正弦定理的理解余弦定理和正弦定理是解三角形中常用的两个定理。
余弦定理指出，在一个三角形中，任意一边的平方等于其他两边的平方和减去2倍的乘积与它们之间的夹角的余弦值之积。
正弦定理则指出，在一个三角形中，任意一边与其对角的正弦值的比等于其他两边与其对角的正弦值的比。
四、三角形面积的计算三角形面积的计算是解三角形问题中的一项基本技能。
常用的方法有底乘高的一半、海伦公式等。
这些公式都可以通过三角形的基本性质推导出来。
五、三角形中线的长度计算一旦我们知道了三角形三边的长度，就可以利用余弦定理来计算出三角形的角度。
然后，利用中线定理和正弦定理，我们可以计算出中线的长度。
具体来说，如果我们知道AB、AC和角BAC的长度，我们就可以利用正弦定理计算出角B和角C的度数。
然后，利用中线定理和余弦定理计算出中线的长度。
六、中线与高线、角平分线的关系高线、角平分线和中线是三角形的三条重要线段，它们之间存在一定的关系。
具体来说，一个三角形的高线、角平分线和中线互相垂直并且交于一点，这个点被称为三角形的内心。
在直角三角形中，斜边上的高和中线相等。
在等腰三角形中，底边上的高和中线相等。
这些关系在解决三角形问题时非常有用。
七、中线在三角形中的特殊作用中线在三角形中有许多特殊的作用。
三角形中线的向量性质
两边平 方得 ４ ＡＤ 一
ＡＢ ＋ ＡＣ ＋２ ＡＢ ・ ＡＣ ・Ｃ Ｏ Ｓ ／ ＢＡ Ｃ，
寸
，
即 一 一 手 ．
又 由余 弦定 理得 ｂ ＋Ｃ 。 －ｂ ｃ 一３ ，
故 Ｏ ＜ｂ ｚ － ４ － ｃ ｚ 一３ —６ ｃ ≤
３ ． 三 角形 中线 长公 式 由上 面 三个 例 题 的思 路 ， 我 们 不 难 用 三 角 形 中线 的 向量 性质 证 明三角 形 中线长公 式 ．
（ 下转 第 ４ ４页）
所 以 Ａ Ｍ ∈ （ 雩， 导 ］ ．
注意 隐含条件 ｂ ２ ＋ｃ 一３ ＞０可不要忘噢 ！
例 １ 在 ＡＡＢ Ｃ中， 内 角 Ａ， Ｂ， Ｃ的对 边 分别 为 ａ，
图１
ＢＣ ・Ｃ ＯＳ Ａ ＢＣ ，
即 ＢＣ ＋７ ＢＣ １ ８ — ０，
ｂ ， ｃ ． 已知 （ ｚ ） ｓ ｉ ｎ （ ２ ｘ一百 ７ ｒ 俩 ４ － ￣ 足 对 任 意 ｘＥ
解得 Ｂ Ｃ ＝２ ． 又由余弦定理得 ＡＣ ＝√ ６ ，
即３ ＜ｂ ＋ｃ 。 ≤ ６，
又 由余 弦定 理得 ＡＢ・ ＡＣ —ＡＢ ２ ＋Ａ 一１ ，
即 Ｏ ＜ ＡＢｚ ＋ＡＣｚ 一１ ≤
所以 Ｉ ＜ ＡＢ ＋ＡＣ ≤２ ，
，
１ ｚ 一２ （ ＡＢ ｚ ￣ＡＣ ｚ ） 一１ ∈（ １ ， ３ ］ ，
即 — ｌ ∈（ １ ， 同 ．
例 ２ 在 △ ＡＢＣ 中 ， 已 知 ＡＢ一 ４ ， Ｃ Ｏ Ｓ Ｂ一
Ｎ Ｊ Ｊ ｔ ｋ ： ｚ ｘ ｓ ｓ ． ｃ ｂ ｐ ｔ ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． ｎ ｅ ｔ
・ ・
４ ３ ・ ・ 电 子 箱 ： ＠ ｉ ｊ 。 ． 。 ｔ ． 。
直角三角形斜边中线定理 (3)
直角三角形斜边中线定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。
直角三角形的边可分为三种：斜边、邻边和对边。
直角三角形具有许多特性和性质，其中之一就是直角三角形斜边中线定理。
定理描述直角三角形斜边中线定理指出：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
换句话说，如果在一个直角三角形中，连接斜边的中点与直角顶点的直线段，那么这个直线段的长度等于斜边的一半。
下面是该定理的数学表达式：设直角三角形的斜边长度为c，斜边上的中线长度为m，则有：m = c / 2定理证明我们可以通过几何和代数的方法来证明直角三角形斜边中线定理。
几何证明设直角三角形的斜边为AC，斜边上的中线为BM，并连接顶点A和中点B。
首先，我们可以通过斜边上的中线构造一个三角形ABM。
根据直角三角形的性质，A和C分别为直角三角形ABM的直角顶点和斜边上的另一个顶点。
由于三角形ABM是直角三角形，我们可以利用勾股定理来求解等式AB和BM的关系。
根据勾股定理，直角三角形ABM的斜边AB的平方等于直角边AM的平方加上直角边BM的平方：AB² = AM² + BM²因为直角三角形ABM是等腰三角形（与斜边等长），所以直角边AM的长度等于斜边AC的一半（即AM=c/2），我们将其带入等式中化简：AB² = (c/2)² + BM²继续化简：AB² = c²/4 + BM²由于AB = AC（直角边）和AC = c（斜边），我们可以将AB替换为c，即：c² = c²/4 + BM²继续化简并整理：3c²/4 = BM²通过移项操作，得到：BM² = 3c²/4我们可以取开根号来求解BM的长度：BM = √(3c²/4) = (√3c) / 2接下来，我们将BM的长度与斜边的一半进行比较：BM = (√3c) / 2 c / 2我们可以发现，BM的长度等于斜边的一半（c/2），这证明了直角三角形斜边中线定理。
用向量证明三角形中线定理
用向量证明三角形中线定理三角形中线定理是指：在任意三角形中，连接两边中点的线段所构成的线段被称为这个三角形的一条中线，三角形的三条中线交于一点，并且这个点离三角形的三个顶点的距离相等，即这个点是三角形重心的位置。
首先，假设三角形的三个顶点分别为A、B、C，且通过AB边的中点D和通过AC边的中点E，那么点G就是三角形ABC的重心。
我们可以用向量表示这些点，即向量AD、向量AE、向量AG以及向量AB和向量AC。
因为D是AB边的中点，所以向量AD=1/2×向量AB，同理，因为E是AC边的中点，所以向量AE=1/2×向量AC。
我们可以把向量AG表示为向量AD和向量AE的平均值，即：向量AG=1/2×(向量AD+向量AE)=1/4×向量AB+1/4×向量AC同样地，可以通过BC边的中点F来表示向量BG，即：因为向量AG和向量BG具有相同的系数，所以它们的和可以表示为：向量AG+向量BG=1/4×向量AB+1/4×向量AC+1/4×向量AB+1/4×向量AC这个向量表示的是重心G与顶点A所形成的向量。
同样地，可以用向量表示重心G与点B和点C所形成的向量，得到：这个向量表示的是三条中线之和，即重心G与三角形的三个顶点所形成的向量之和。
根据向量的基本性质，它们的和应该为零。
因此：向量AG+向量BG+向量CG=0即：将等式两边同时乘以2，得到：根据向量的几何意义可以看出，向量AB、向量AC和向量BC表示三角形ABC三条边的方向和长度，而它们的和恰好为零，说明三条边所形成的三角形ABC是一个平行四边形。
因此，由中线定理可知，通过三角形的三个顶点A、B、C所得到的三条中线交于一点且这个点是重心G。
向量与三角形内心、外心、重心、垂心
向量与三角形的重心、垂心、内心、外心的关系一、四心的概念介绍、（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四线与向量的结合121212,PA =1=,=.ABOA OB PB AB l l l l l l =++1.1.定理：如图，设定理：如图，设定理：如图，设OP OP 则则，且 (记忆:交叉分配系数) =()OA OBAP BP l +2.2.若若M 是OP OP上的任意一点，则上的任意一点，则上的任意一点，则OM OM (记忆:分母对应分配系数) 应用1: （1）中线: （2）高线: （3）角平分线: （4）中垂线: 应用2.四线上的动点表示: (1)中线上的动点: ()AB AC l +或()||sin ||sin AB AC AB B AC Cl +(2)高线上的动点:()cos cos AB AC AB BAC C l +, (3)角平分线上的动点:()AB ACABACl +(4)中垂线上的动点: ()2||cos ||cos OB OCAB AC OP AB B AC Cl +=++,O ABC OA S OB S OC D 定理：设是内任意一点，b a SAOBAOC：：：=D =1:1:1Û0OA OB OC ++=B tan A tan S AOB AOC ：：：=D 0OC OB OA 0aOA bOB cOC 1()3PO PA PB PC =++OA OB OB OC OC OA ×=×=× )))AB AC BC BA CA OC OB OA 已知O 是平面上一定点，||||AB AC AB AC l æö=++ç÷, l 题2：已知O 是平面上一定点，()OP OA AB AC l =++, l ÎO 是平面上的一定点，A ()||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC Cl =++是平面上的一定点，A 、B ()||cos ||cos AB AC AB B AC Cl +题5：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点()OB OCABAC++D. 内心,,OA OB OC 满足()||||AB CA OA AB CA ×+=(||BA OB BA ×+||CB CB ) ()||||BC CAOC BC CA ×+= 0内心 D. 外心OA OB OC ++= 0, 1()PO PA PB PC D. 垂心OA OB OB OC OC OA ×=×=×，则 D. 垂心 2222|||||||OA BC OB CA +=+=22|||OC AB +，则 D. 外心题11：已知O 是△ABC )OA OB AB +×()OB OC BC +×()OC OA CA +×= 0，则 D. 垂心aOA bOB cOC ++= = 00，则D. 垂心aPA bPB cPC =题14：△ABC 的外OH =()m OA OB OC ++，则实数二、与三角形形状相关的向量问题题15：已知||||ABACAB AC 12||||AB AC AB AC ×=，则△等边三角形|||2|OB OC OB OC OA -=+-，则等边三角形||BA tBC -≥||AC ，则△题18：已知a , b, c 分别为△GA b GB c GC ×+×+×= = 00, 则△内一点，23OA OB OC ++= 0, 则：题20：如图，已知点是△ABC 的重心，若PQ 过△ABC 的重心，记CA = a ,则11m n +=_____.|(sin AB OP OA C ABl =++sin )AC B ACG C P Q 。
三角形中线定理公式证明
三角形中线定理公式证明The midline theorem, also known as the midpoint theorem, is a fundamental concept in geometry, particularly in the study of triangles. This theorem states that the line segment joining the midpoints of two sides of a triangle is parallel to the third side and half its length. It is a simple yet powerful statement that has many applications in geometry and beyond. 三角形中线定理，也称为中点定理，在几何学中是一个基本概念，尤其在三角形的研究中占有重要地位。
该定理指出连接三角形两边中点的线段平行于第三边并且长度是其一半。
这是一个简单而强大的说法，对几何学及其他领域有许多应用。
One way to prove the midline theorem is to use the concept of vector addition. By expressing the midpoints of the sides of the triangle as vectors and manipulating them using vector addition properties, one can demonstrate that the resulting vector is parallel to the third side and has half its length. 这定理的一个证明方法是利用向量加法的概念。
通过将三角形两边的中点表示为向量，并利用向量加法性质对其进行操作，可以证明得到的向量与第三边平行并且长度为其一半。
中线定理推导过程
中线定理推导过程嘿，你有没有想过在三角形里，有一个特别神奇的中线定理呢？今天我就来和你好好唠唠这个中线定理的推导过程，可有趣啦！先来说说啥是中线定理吧。
在一个三角形里，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做中线。
中线定理呢，就是说三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。
这听起来是不是有点绕？没关系，咱们一步一步来推导，保证让你清楚得像在大白天看太阳一样。
我记得我第一次学这个定理的时候，我就问我的数学老师，“老师，这定理怎么来的呀？感觉像凭空冒出来的魔法一样。
”老师就笑了，说：“那咱们就来当一回魔法师，把这个魔法的秘密揭开。
”咱们就拿一个三角形ABC来说吧，设AD是BC边上的中线，D就是BC的中点。
咱们要做的呢，就是证明AB² + AC² = 2(BD² + AD²)。
这时候呢，我们就想到了一个好办法——向量。
向量就像一个个小箭头，在数学的世界里跑来跑去，可好用了。
我们可以把向量AB表示成向量AD + 向量DB，把向量AC表示成向量AD - 向量DB。
这就像把两条路分解成不同的小路径一样。
那AB²呢，根据向量的平方等于向量模的平方，AB² = (向量AD + 向量DB)²。
展开这个式子，就像打开一个装满宝贝的盒子一样。
AB² =AD² + 2向量AD·向量DB + DB²。
同理，AC² = (向量AD - 向量DB)² = AD² - 2向量AD·向量DB + DB²。
这时候把AB²和AC²加起来，你猜怎么着？AB² + AC² = AD² + 2向量AD·向量DB + DB² + AD² - 2向量AD·向量DB + DB²。
直角三角形斜边中线知识点
直角三角形斜边中线知识点直角三角形斜边中线定理是数学中关于直角三角形的一个定理，具体内容为：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
定理内容：定理：如果一个三角形就是直角三角形,那么这个三角形斜边上的中线等同于斜边的一半。
逆命题：其逆命题1：如果一个三角形一条边的中线等同于这条边的一半，那么这个三角形就是直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边。
逆命题1是正确的。
以该条边的中点为圆心，以中线长为半径作圆，则该边成为圆的直径，该三角形的另一个顶点在圆上，该顶角为圆周角。
因为直径上的圆周角是直角，所以逆命题1成立。
原命题2：如果cd就是直角三角形abc斜边ab上的中线，那么它等同于ab的一半。
逆命题2：如果线段bd的一端b是直角三角形abc的顶点，另一端d在斜边ac上，且bd等于ac的一半，那么bd是斜边ac的中线。
逆命题2就是不设立的。
握一个反例。
设立直角三角形三边短分别为ab=3，bc=4，ac=5。
斜边的一半短为2.5,斜边上的高be=（3*4）/5=2.4,在线段ae上上必能够找出一点d，并使bd=2.5，但bd并不是ac边的中线，因为ac边的中点在线段ec上。
逆命题3：若直角三角形斜边上一点与直角顶点的连线等于该点分斜边所得两条线段中任意一条时，该点为斜边中点。
几何描述：在rt△abc中，∠acb=90°，d是斜边ab上一点。
若cd=ad或cd=bd，则d是ab中点。
逆命题3设立，cd=ad则∠a=∠acd，而∠a+∠b=90°，∠acd+∠bcd=90°，因此∠bcd=∠b。
等角对等边，存有cd=db，所以ad=bd，即d就是斜边中点。
证法编辑语音证法1：δabc是直角三角形，作ab的垂直平分线n交bc于d∴ ad=bd（线段垂直平分线上的的边这条线段两端点的距离成正比）以db为半径，d为圆心画弧，与bc在d的另一侧交于c'∴dc’=ad=bd∴∠bad=∠abd ∠c’ad=∠ac’d （等边对等角）又∵∠bad+∠abd+∠c’ad+∠ac’d =°（三角形内角和定理）∴∠bad+∠c’ad=90° 即为：∠bac’=90°又∵∠bac=90°∴∠bac=∠bac’∴c与c’在直线ac上又∵c与c’在直线bd上，ac与bd平行∴c与c’重合（也可用垂直公理证明：假使c与c’不重合由于ca⊥ab，c’a⊥ab 故过a有ca、c’a两条直线与ab垂直这就与垂直公理矛盾∴假设不成立∴c与c’重合）∴dc=ad=bd∴ad就是bc上的中线且ad=bc/2这就是直角三角形斜边上的中线定理证法2：δabc就是直角三角形，ad就是bc上的中线，作ab的中点e，相连接de∴bd=cb/2，de是δabc的中位线∴de‖ac（三角形的中位线平行于第三边）∴∠deb=∠cab=90°（两直线平行，同位角相等）∴de⊥ab∴de是ab的垂直平分线∴ad=bd（线段垂直平分线上的的边这条线段两端点的距离成正比）∴ad=cb/2证法3：运用向量证明已知rt△abc中，∠bac=90°，ad是中线。
用向量证明三角形中线定理
用向量证明三角形中线定理要证明三角形中线定理，我们需要先介绍一些三角形的基本概念和向量的性质。
首先，对于任意三角形ABC，我们定义它的边向量为向量AB、向量BC和向量CA，分别记作向量a、向量b和向量c。
同时，我们定义三角形的中线为连接三角形两边中点的线段。
根据向量的性质，我们知道两个向量的和等于连接它们的线段上的位移向量。
所以，我们可以得到如下等式：向量a+向量b=向量AC+向量CB=向量AB(1)向量b+向量c=向量BA+向量AC=向量BC(2)向量c+向量a=向量CB+向量BA=向量CA(3)根据上述等式(1)，我们得到向量a+向量b=向量AB，即向量AB是向量a和向量b的和。
因此，我们可以得到结论：线段AB是线段AC和线段CB的中线。
类似地，结合等式(2)和等式(3)，我们可以得到线段BC是线段BA和线段AC的中线，以及线段CA是线段CB和线段BA的中线。
接下来，我们来证明中线的长度相等。
假设三角形ABC的A、B、C三点对应于向量a、向量b和向量c，并且线段AB是线段AC和线段CB的中线。
根据向量的性质，我们可以得到线段AB的长度等于线段AC和线段CB的向量和的长度。
即AB，=，AC+CB，(4)同理，根据等式(2)和等式(3)，我们可以得到：BC，=，BA+AC，(5)CA，=，CB+BA，(6)现在，我们来证明，AC+CB，=，BA+AC，=，CB+BA。
根据向量的性质，我们知道两个向量的和的长度不超过两个向量长度的和。
所以，我们可以得到如下不等式：AC+CB，≤，AC，+，CB，(7)BA+AC，≤，BA，+，AC，(8)CB+BA，≤，CB，+，BA，(9)同时，我们也知道任意两个向量的长度之和不小于它们的向量和的长度。
所以，我们可以得到如下不等式：AC+CB，≥，AC，-，CB，(10)BA+AC，≥，BA，-，AC，(11)CB+BA，≥，CB，-，BA，(12)综合上述不等式，我们可以得到如下不等式链式关系：AC，+，CB，≥，AC+CB，≥，AC，-，CB，(13)BA，+，AC，≥，BA+AC，≥，BA，-，AC，(14)CB，+，BA，≥，CB+BA，≥，CB，-，BA，(15)根据数学中的绝对值不等式，我们可以得到如下结论：AC+CB，=，AC，-，CB，或，AC+CB，=，AC，+，CB，(16)BA+AC，=，BA，-，AC，或，BA+AC，=，BA，+，AC，(17)CB+BA，=，CB，-，BA，或，CB+BA，=，CB，+，BA，(18)由等式(16)，我们可以得到，AC+CB，≤，AC，+，CB。
等边三角形中位线定理
等边三角形中位线定理等边三角形中位线定理是指：在一个等边三角形中，连接每个顶点和它对面的中点，得到的三条线段互相平分。
即每条中位线的两个端点与对边的两个端点构成的四边形是平行四边形。
一、等边三角形基本概念等边三角形是指三条边长度相等的三角形。
在等边三角形中，每个内角都是60度。
二、中位线定义及性质1. 中位线定义：在一个三角形ABC中，连接顶点A和BC中点M，连接顶点B和AC中点N，连接顶点C和AB中点P所得到的线段AM、BN、CP叫做这个三角形ABC的中位线。
2. 中位线性质：（1）每条中位线都可以将对应的底边分成两段长度相等的部分。
（2）每条中位线所代表的四边形都是平行四边形。
（3）如果一个三角形有两条边互相平分，则这两条边所代表的直线必然相交于第三条边上，并且交点距离第三条边上任意一端的距离相同。
三、证明证明等边三角形中位线定理需要用到向量知识。
设向量AB=a，向量AC=b，则向量BC=a-b。
由于三角形ABC是等边三角形，所以有|a|=|b|=|a-b|。
根据向量知识可知，向量AM=1/2*a，向量BN=1/2*b，向量CP=1/2*(a-b)。
因此，AM、BN、CP的长度都是相等的。
接下来我们证明每条中位线所代表的四边形都是平行四边形。
设中位线AM和BN相交于点O，则有AO=OM，BO=ON。
又因为AO+ON=AN=BN+BO，所以AO=BO，并且OM=ON。
因此，四边形ABMO和BANO都是平行四边形。
同理可证得四边形ACPO和CBPO也都是平行四边形。
综上所述，每条中位线所代表的四边形都是平行四边形。
四、应用等边三角形中位线定理可以用于解决一些几何问题。
例如，在一个等边三角形ABC中，连接顶点A和BC中点M，并连接BM交AC于点N，则可以证明AN=NC。
证明如下：由于BM是AC的中线，所以AN=NC（由上述性质（3）可知）。
又因为AM是AB的中线且AB=BC，所以AM||CN且AM=CN。
三角形外心内心重心垂心与向量性质
三 角 形 “四 心”所谓三角形“四心”是指三角形重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形中心。
一、三角形外心定 义：三角形三条中垂线交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC ∆重心一般用字母O 表示。
性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。
2.外心及三角形边中点连线垂直于三角形这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.向量性质：若点O 为ABC ∆所在平面内一点，满足⋅+=⋅+=⋅+)()()(，则点O 为ABC ∆外心。
二、三角形内心定 义：三角形三条角平分线交点叫做三角形内心，即内切圆圆心。
ABC ∆内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点及内心连线平分顶角。
2.三角形面积＝⨯21三角形周长⨯内切圆半径． 3.向量性质：设()+∞∈,0λ，则向量，则动点P 轨迹过ABC ∆内心。
三、三角形垂心定 义：三角形三条高交点叫重心。
ABC ∆重心一般用字母H 表示。
性 质：1.顶点及垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。
2.向量性质：结论1：若点O 为ABC ∆所在平面内一点，满足⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC ∆垂心。
结论2：若点O 为△ABC所在平面内一点，满足222222+=+=+，则点O 为ABC ∆垂心。
四、三角形“重心”：定 义：三角形三条中线交点叫重心。
ABC ∆重心一般用字母G 表示。
性 质：1.顶点及重心G 连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心及顶点距离等于它及对边中点距离2倍。
即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心坐标是三顶点坐标平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31++=。
高中数学-三角形内心、外心、重心、垂心与向量关系
高中数学-三角形内心、外心、重心、垂心与向量关系（附向量知识点）一、三角形四心知识点（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、向量知识点☆零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行☆单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1☆平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量平行向量也称为共线向量☆向量加法AB BC +=AC向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”．☆实数与向量的积：①实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a⋅=λλ；（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的☆两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ☆平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底☆平面向量的坐标运算：(1) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±±，1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅(2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--(3) 若a =(x,y)，则λa =(λx, λy)(4) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-= (5) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则a b ⊥，02121=⋅+⋅y y x x☆向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质☆两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ 叫做a 与b 的数量积（或内积） 规定00a ⋅=☆向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 ☆数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积☆向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==☆乘法公式成立： ()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-；()2222a ba ab b ±=±⋅+222a a b b =±⋅+☆向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （01800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a ba b•<>=•=222221212121y x y x +⋅+当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题补充：线段的定比分点()()()设，，，，分点，，设、是直线上两点，点在P x y P x y P x y P P P 11122212ll 上且不同于、，若存在一实数，使，则叫做分有向线段P P P P PP P 1212λλλ→=→P P P P P P P P 12121200→><所成的比（，在线段内，，在外），且λλx x x y y y P P P x x x y y y =++=++⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪=+=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪12121212121122λλλλ，为中点时，()()()如：，，，，，，∆ABC A x y B x y C x y 112233则重心的坐标是，∆ABC G x x x y y y 12312333++++⎛⎝ ⎫⎭⎪三、三角形四心与向量关系典型例题：例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 分析：如图所示ABC ∆，E D 、分别为边AC BC 、的中点.AD AC AB 2=+ ∴AD OA OP λ2+= AP OA OP += AD AP λ2=∴AP ∴//AD ∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的重心，即选C .例2：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ B ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：ACAB分别为AC AB 、方向上的单位向量，∴AC AB +平分BAC ∠,∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心，即选B .例3：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：如图所示AD 垂直BC ，BE 垂直AC ， D 、E 是垂足.AC AB +BC ⋅=BC AC BC AB ⋅+=+-=0∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的垂心，即选D .三、四心与向量的结合（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O⇔=++0OC OB OA ⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x ⇔O 是ABC ∆的重心. 证法2：如图OC OB OA ++02=+=OD OA ∴OD AO 2=∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ∆的重心（2）⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC OB OB OA AC OB ⊥⇔同理BC OA ⊥，ABOC ⊥⇔O 为ABC ∆的垂心B CDB CD（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心.证明：bACc AB 、分别为AC AB 、方向上的单位向量， ∴bACc AB +平分BAC ∠, (λ=∴AO bACc AB +)，令c b a bc ++=λ ∴c b a bc AO ++=（bACc AB +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a∴0=++OC c OB b OA a（4==⇔O 为ABC ∆的外心。
三角形的中线定理
三角形的中线定理三角形的中线定理，这可是数学里一个相当重要的知识点呢！咱们先来说说啥是三角形的中线。
简单来讲，就是连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。
就比如说，有一个三角形 ABC，A 点到BC 边中点的线段，那就是中线啦。
那中线定理到底是咋回事呢？其实啊，三角形的三条中线相交于一点，这个点被称为三角形的重心。
而且，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍。
我记得有一次，我在课堂上给学生们讲这个知识点。
我拿起一支粉笔，在黑板上画了一个大大的三角形，然后故意把中线画得歪歪扭扭的，就有调皮的学生笑着说：“老师，您这中线画得像小蛇在跳舞。
”全班哄堂大笑。
我也跟着笑了，然后说：“那咱们就看看这条‘跳舞的中线’能给咱们带来啥惊喜。
”我接着给他们演示，通过测量和计算，让他们亲眼看到重心的神奇之处。
有个平时不太爱发言的小姑娘，突然眼睛放光，说：“老师，我好像明白了！”那一瞬间，我心里别提多有成就感了。
中线定理在生活中也有不少用处呢。
比如说，建筑工人在搭建三角形的架子时，如果能懂中线定理，就能更好地保证架子的稳定性。
还有设计师在设计一些有三角形元素的作品时，也能利用这个定理让作品更加美观和实用。
咱们再深入点说，证明三角形中线定理也有不少方法。
可以用向量法，也可以用相似三角形的知识。
但不管用哪种方法，其实都是在锻炼咱们的逻辑思维能力。
想象一下，你在公园里散步，看到一个三角形的花坛。
这时候，你是不是能想到它的中线在哪里？重心又在哪个位置？是不是觉得数学一下子就变得有趣起来啦？再比如，咱们做数学题的时候，经常会碰到那种给出中线长度，让咱们求三角形面积或者边长的题目。
这时候，中线定理就派上用场啦。
要是没掌握好，那可就抓瞎喽。
所以说啊，三角形的中线定理虽然看起来有点复杂，但只要咱们认真学，多琢磨，多联系实际，就能把它拿下。
就像攻克一座小小的数学堡垒，等咱们成功了，那种喜悦和满足感，简直无与伦比！好啦，关于三角形的中线定理，咱们就先聊到这儿。
(完整版)三角形外心内心重心垂心与向量性质
三 角 形 的“四 心"所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心.当三角形是正三角形时,四心重合为一点，统称为三角形的中心.一、三角形的外心定 义:三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC ∆的重心一般用字母O 表示。
性 质:1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==.2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,。
3。
向量性质：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点,满足AC OA OC CB OC OB BA OB OA ⋅+=⋅+=⋅+)()()(，则点O 为ABC ∆的外心。
二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC ∆的内心一般用字母I 表示,它具有如下性质：性 质：1。
内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3。
向量性质:设()+∞∈,0λ，则向量||||(AC AC AB AB AP =λ，则动点P 的轨迹过ABC ∆的内心。
三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母H 表示。
性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。
2。
向量性质：结论1：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点,满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC ∆的垂心.结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足222222AB OC CA OB BC OA +=+=+, 则点O 为ABC ∆的垂心. 四、三角形的“重心"：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母G 表示。
性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍.即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=。
题型04 平面向量数量积与三角形平面向量中线定理(解析版)
秒杀题型：三角形中平面向量中线定理秒杀策略：中线定理：如AM 为ABC ∆边BC 上的中线，则1()2AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r。
1.(2014年新课标全国卷I15)已知C B A ,,是圆O 上的三点,若)(21+=,则与AC 的夹角为 .【解析】：由向量中线定理可知AO 是ABC ∆底边BC 的中线，即O 是BC 的中点，即BC 是直径，AB 与AC 的夹角为2π。
2.(2017年新课标全国卷II12)已知ABC ∆是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是 ( )A.2-B.32-C. 43- D.1- 【解析】：几何法：PD PC PB 2=+(D 为BC 中点)，()2PA PB PC PD PA ⋅+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,要使PA PD ⋅u u u r u u u r 最小，则PA u u u r ，PD u u u r 方向相反，即P 点在线段AD 上，min 22PD PA PA PD ⋅=-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,即求PD PA ⋅u u u r u u u r最大值，2PA PD AD +==u u u r u u u r u u u r ,则22324PA PD PA PD ⎛⎫+ ⎪⋅== ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ≤,则min 332242PD PA ⋅=-⨯=-u u u r u u u r ． 解析法：建立坐标系，以BC 中点为坐标原点，∴(0A ,()10B -，,()10C ，.设()P x y ，，()PA x y =-u u u r,()1PB x y =---u u u r ，,()1PC x y =--u u u r ，,∴()2222PA PB PC x y ⋅+=-+u u u r u u u r u u u r22324x y ⎡⎤⎛⎢⎥=+-- ⎢⎥⎝⎭⎣⎦,则其最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭,此时0x =,y =选B 。