2020届高三数学一轮复习强化训练精品――几何证明选讲

2020届高三数学一轮复习强化训练精品――几何证明选讲基础自测

1.如下图，在△ABC 中，∠C=90°，正方形DEFC

内接于△ABC ，DE ∥AC ，EF ∥BC ，

AC =1，BC =2，那么AF ∶FC = .

答案2

1

2.从不在⊙O 上的一点A 作直线交⊙O 于B 、C ，且AB ·AC =64，OA =10，那么⊙O 的半径等

于 .

答案241或6

3.设P 为△ABC 内一点，且AP =

52

AB +51

AC ，那么△ABP 的面积与△ABC 的面积之比等于 . 答案

51

4.如下图，AC 为⊙O 的直径，BD ⊥AC 于P ，PC =2，PA =8，

那么CD 的长为

，cos ∠ACB = .

答案2555

5.如下图，PA 与圆O 相切于A ，PCB 为圆O 的割线，同时只是圆心

O ，

∠BPA =30°，PA =23，PC =1，那么圆O 的半径等于 .

答案 7 例1 ：如下图，以梯形

ABCD 的对角线AC 及腰AD 为邻边作平行四边形

ACED ，连接EB ，DC 的延长线交BE 于F . 求证：EF =BF .

证明连接AE 交DC 于O .

∵四边形ACED 为平行四边形，

∴O 是AE 的中点〔平行四边形对角线互相平分〕

.

∵四边形ABCD 是梯形，

∴DC ∥AB .

在△EAB 中，OF ∥AB ，O 是AE 的中点，

∴F 是EB 的中点，即EF =BF .

例2如下图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB

上任意一点，CF 交AD 于点E .求证：AE ·BF =2DE ·AF .

证明过点D 作AB 的平行线DM 交AC 于点M ，交FC 于点N.

在△BCF 中，D 是BC 的中点，

DN ∥BF ，∴DN =21

BF .

∵DN ∥AF ，∴△AFE ∽△DNE ，

∴AF AE

=

DN DE . 又DN =21

BF ，∴AF AE =BF DE 2，

即AE ·BF =2DE ·AF .

例3〔2018·苏、锡、常、镇三检〕自圆O 外一点P 引切线与圆切于点A ，

M 为PA 的中点，过M 引割线交圆于B ，C 两点.

求证：∠MCP =∠MPB .

证明

∵PA 与圆相切于A ，∴MA 2=MB ·MC ，

∵M 为PA 中点，∴PM =MA ，

∴PM 2=MB ·MC ，∴MC PM

=PM MB

.

∵∠BMP =∠PMC ，∴△BMP ∽△PMC ，

∴∠MCP =∠MPB .

例4〔14分〕如下图，AB 是⊙O 的直径，G 为AB 延长线

上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AB 的垂线，交AC 的

延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，过G 作⊙O 的切线，切

点为H .

求证：〔1〕C ，D ，F ，E 四点共圆；

〔2〕GH 2

=GE ·GF .

证明〔1〕连接BC .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°.

∵AG ⊥FG ，∴∠AGE =90°.

又∠EAG =∠BAC ，

∴∠ABC =∠AEG .

又∠FDC =∠ABC ，

∴∠FDC =∠AEG .

∴∠FDC +∠CEF =180°.

∴C ，D ，F ，E 四点共圆. 7

分〔2〕∵GH 为⊙O 的切线，GCD 为割线，

∴GH 2=GC ·GD .

由C ，D ，F ，E 四点共圆，

得∠GCE =∠AFE ，∠GEC =∠GDF .

∴△GCE ∽△GFD .∴

GF GC =GD GF ，即GC ·GD =GE ·GF .

∴CH 2=GE ·GF . 14分

例5〔2018·徐州三检〕如下图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD =27，AB =BC =3.求BD 以及AC 的长.

解由切割线定理得：DB ·DA =DC 2，

即DB 〔DB +BA 〕=DC 2，

DB 2

+3DB -28=0，得DB =4.

∵∠A =∠BCD ，∴△DBC ∽△DCA ，

∴CA BC

=DC DB

，得AC =DB DC

BC ?=27

3. 1.：如下图，从R t △ABC 的两直角边AB ，AC 向外作正方

形ABFG 及ACDE ，CF ，BD 分不交AB ，AC 于P ，Q .

求证：AP =AQ .

证明∵∠BAC +∠BAG =90°+90°=180°,

∴C ,A ,G 三点共线.同理B ,A ,E 三点共线.

∵AB ∥GF ,AC ∥ED ,∴

GF AP =CG CA ，ED AQ =BE BA ，即AP =CG GF

CA ?，AQ =BE ED

BA ?.

又∵CA =ED =AE ，GF =BA =AG ，

∴CG =CA +AG =AE +BA =BE .

∴AP =AQ .

2.如下图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，且

AB =AC ，AP 是∠BAC 的外角的平分线，弦

CE 的延长线交AP 于点D.求证：

AD 2=DE ·DC .

证明连接AE ，那么∠AED =∠B . ∵AB =AC ，∴∠B=∠ACB .

∵∠QAC =∠B +∠ACB ，

又∠QAP =∠PAC ，

∴∠DAC =∠B =∠AED .

又∠ADE =∠CDA ，

∴△ACD ∽△EAD ，

从而AD

CD

=DE AD ，即AD 2=DE ·DC .

3.〔2018·南京第二次质检〕如下图，圆O 的两弦AB 和CD 交于点E ，

EF ∥CB ，EF 交AD 的延长线于点F ，FG 切圆O 于点G .