3.9圆复习课件(北师大版)

2 2 2
a ＋ 2
(其中 r 为圆半径，d 为圆心到弦的距离，a 为弦长)．
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 考点攻略 ► 考点三 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
例3 如图X3－6，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A ＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于( C )
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 考点攻略 ► 考点七
例 7
计算扇形面积
如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为
“等边扇形”．则半径为 2 的“等边扇形”的面积为( C ) A．π B．1 C．2 2 D. π 3
[解析] C 扇形的面积等于弧长乘以半径的一半，所以此扇形 1 的面积为 ×2×2＝2. 2
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 考点攻略 ► 考点六 圆与圆的位置关系的判别
例 6 ⊙ O1 的半径为 3 cm ，⊙ O2 的半径为 5 cm ，圆心距 O1O2＝2 cm，两圆的位置关系是( C )
A．外切
C．内切
B．相交
D．内含
[解析 ] C 两圆内切．
圆心距 O1O2＝ 2 cm是两圆的半径之差，所以
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 知识归类 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接 圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角 形的 外心 . 8．直线与圆的位置关系 设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 知识归类
位置 关系
相离
相切
相交
d＜r⇒点P在圆内；
d＝r⇒点P在圆上；
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 知识归类 d＞r⇒点P在圆外． [点拨] 点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半 径之间的关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆 的位置关系．
3．垂径定理
(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所 对的 弧 . [注意] ①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分 弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．
A．30°
B．35°
C．40°
D．50°
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 考点攻略
[解析] C ＝40°.
由三角形的外角求得∠C＝40°，所以∠B＝∠C
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 考点攻略 ► 考点四 圆心角与圆周角
例 4 如图 X3 － 7 ，点 A ， B ， C 在⊙ O 上， AB∥CO ，∠ B ＝22°，则∠A＝________ °. 44
第3章复习2┃ 知识归类
┃知识归纳┃
1．确定圆的要素 圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径， 虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没
有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定，因而圆也不确 定；只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定．
2．点与圆的位置关系
(1)点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在 圆内．
第3章复习2┃ 知识归类
[注意] (1)两圆内含时，若 d 为 0，则两圆为同心圆． (2)由两圆构成的图形都是轴对称图形， 其对称轴是两圆的圆 心所在的直线． 12．弧长及扇形的面积公式 (1)弧长公式
nπR 半径为 R 的圆中，n° 的圆心角所对的弧长 l＝ 180
(2)扇形的面积公式 n 半径为 R，圆心角是 n° 的扇形面积是 S 扇形＝ πR2； 360
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 知识归类
5．圆周角与圆心角的关系
(1)圆周角的定义：顶点在圆上，且角的两边还与圆相交的角 叫做圆周角． [注意] 圆周角有两个特征：角的顶点在圆上，两边在圆内的 部分是圆的两条弦．
(2)圆周角与圆心角的关系：一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的 一半 .
(3)圆周角的性质 性质：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 相等 .
.
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 知识归类
1 lR 2 半径为 R，弧长 l 的扇形面积是 S 扇形＝
.
13．圆锥的侧面积 (1)圆锥的侧面展开图是一个 扇形 .
(2) 如果圆锥母线长为 l ，底面圆的半径为 r，那么这个扇形 的半径为 l ，扇形的弧长为 2πr .
(3)圆锥侧面积为 πrl .
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 考点攻略 ► 考点九
例9
圆的切线性质
如图 X3－10，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90° ，以 AB 为
直径的⊙O 交 AC 于点 D，过点 D 的切线交 BC 于 E. 1 (1)求证：DE＝ BC； 2 (2)若 tanC＝ 5 ，DE＝2，求 AD 的长． 2
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 知识归类 和三角形三边都相切的圆可以作出一个，并且只能作出一 个，这个圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形角平 分线的交点，叫做三角形的 内心 . [注意] 对一个确定的三角形来说，其内切圆有且只有一个， 其内心也有且只有一个：内心就是内切圆的圆心．
11．圆与圆的位置关系
在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面五种位置关
系，其中R和r为两圆半径(R≥r)，d为圆心距.
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 知识归类
位置关 系 外离 外切 相交 内切 内含
公共点个数
0 1
d与R和r的关系 d>R＋r
d ＝R ＋r
2
1 0
d<R＋r
d ＝R －r 0≤d<R－r
数学·新课标（BS）
[点拨] 圆锥的侧面展开图的形状是扇形，它的半径等于圆 锥的母线长，它的弧长是圆锥底面圆的周长．
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 考点攻略
┃考点攻略┃
► 考点一
例1
确定圆的条件
[2010·河北 ] 如图 X3 － 4 ，在 5×5 正方形网格中，一
条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( B )
数学·新课标ຫໍສະໝຸດ BaiduBS）
第3章复习2┃ 考点攻略
[解析] (1)由题目可知∠E＝∠ACD，因为四边形 ABCD 是正方 形，所以∠ACD＝45° ，所以∠E＝∠ACD＝45° . (2)当对应角相等的时候， 两个三角形相似， 由圆的性质可知∠E ＝∠ACD，∠EDP＝∠CAP，所以△ACP∽△DEP. AP AC (3)因为△ACP∽△DEP， 所以 ＝ ， 因为 P 是 CD 的中点， DP DE 1 所以 CP＝DP＝ CD＝ 1， 由勾股定理分别求出 AP＝ 5， AC＝2 2， 2 代入比例式算出 DE＝ 2 10 . 5
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 考点攻略
[解析] 由同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍，得 ∠O＝2∠B＝44°，又因为AB∥CO，所以∠A＝∠O＝44°.
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 考点攻略
方法技巧 圆周角定理建立了圆心角与圆周角之间的关系，因此，最终实 现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化，从而为研究圆的性质提供 了有力的工具和方法．当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周 角是解决问题的重要思路．在证明有关问题中注意 90° 的圆周角的 构造．
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 考点攻略
解：(1)45 (2)△ACP∽△DEP. 理由：∵∠AED＝∠ACD，∠APC＝∠DPE， ∴△ACP∽△DEP. AP AC (3)∵△ACP∽△DEP，∴ ＝ . DP DE 又 AP＝ AD2＋DP2＝ 5， AC＝ AD2＋DC2＝2 2， 2 10 ∴DE＝ . 5
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 考点攻略
[解析] 连接BD，则在Rt△BCD中，BE＝DE，利用角的互 余证明∠C＝∠EDC.
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 考点攻略
解：(1)证明：连接 BD， ∵AB 为直径，∠ABC＝90° ，∴BE 切⊙O 于点 B. 又因为 DE 切⊙O 于点 D，所以 DE＝BE， ∴∠EBD＝∠EDB. ∵∠ADB＝90° ， ∴∠EBD＋∠C＝90° ，∠BDE＋∠CDE＝90° ， 1 ∴∠C＝∠EDC，∴DE＝CE，∴DE＝ BC. 2 1 (2)因为 DE＝2，DE＝ BC，所以 BC＝4. 2
图 形
公共 点个数 数量 关系
0
d>r
1
d ＝r
2
d<r
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 知识归类 [易错点] 将圆心到直线上某一点的距离看成是圆心到直线 的距离． 9．圆的切线的性质及判定 性质：圆的切线垂直于经过切点的半径． 判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆 的切线． 10．三角形的内切圆
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 考点攻略 ► 考点八 计算弧长
例8 如图X3－9，已知正方形的边长为2 cm，以对角的两 个顶点为圆心，2 cm长为半径画弧，则所得到的两条弧长度之
和为________ cm(结果保留π)． 2π
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 考点攻略
1 [解析] 两段弧长的和是以 2 cm 为半径的半圆的弧长．即 2 ×2×π×2＝2π.
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 知识归类 点在圆外，即这个点到圆心的距离 大于 半径； 点在圆上，即这个点到圆心的距离 等于 半径； 点在圆内，即这个点到圆心的距离 小于 半径． 判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离 d与圆的半径r 来比较得到． (2)设⊙O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 考点攻略 ► 考点二 垂径定理及其推论
例 2 如图X3 － 5， AB是⊙ O的弦，半径 OC⊥AB于 D点， 且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为( D )
A．5 cm
B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 考点攻略
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 考点攻略 ► 考点五 与圆有关的开放性问题
例 5 如图 X3 － 8 ，在边长为 2 的圆内接正方形 ABCD 中， AC是对角线，P为边CD的中点，延长AP交圆于点E.
(1)∠E＝________度；
(2)写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由； (3)求弦DE的长．
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 知识归类
(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的弧． 4．圆的旋转不变性 (1)中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心为 圆心 . (2)探究圆中角的一些性质 定理 1：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的 弧相等，所对的弦相等． 定理2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相 等．
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 考点攻略
AB 在 Rt△ABC 中，tanC＝ ， BC 5 所以 AB＝BC· ＝2 5. 2 在 Rt△ABC 中， AC＝ AB2＋BC2＝ 2 52＋42＝6. 又因为△ABD∽△ACB， AD AB AD 2 5 所以 ＝ ，即 ＝ ， AB AC 6 2 5 10 所以 AD＝ . 3
A．点P B．点Q C．点R D．点M
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 考点攻略
[解析] B 圆心既在AB的中垂线上又在BC的中垂线上，由 图可以看出圆心应该是点Q.
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 考点攻略
方法技巧 过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由两条线段的垂 直平分线确定圆心即可，没有必要作出第三条线段的垂直平分 线．事实上，三条垂直平分线交于同一点．
[ 解析 ] D 连接 AO，因为OC⊥AB，所以 AD ＝BD＝ 3 cm ，因 为OD＝4 cm，在直角三角形 ADO 中，由勾股定理可以得到 AO＝5
cm，所以OC＝5 cm，所以DC＝1 cm. 数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 考点攻略
方法技巧 (1)垂径定理是根据圆的对称性推导出来的，该定理及其推论是 证明线段相等、垂直关系、弧相等的重要依据．利用垂径定理常作 “垂直于弦的直径”辅助线(往往又只是作圆心到弦的垂线段， 如本 例)；(2)垂径定理常与勾股定理结合在一起，进行有关圆的半径、圆 心到弦的距离、 弦长等数量的计算． 这些量之间的关系是 r ＝d
数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 知识归类 直径所对的圆周角是 是 直径 . 直角 ； 90°的圆周角所对的弦
[注意] “同弧”指“在一个圆中的同一段弧”；“等弧” 指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改为
“同弦或等弦”．
6．确定圆的条件 不在同一直线上的三个点确定一个圆． 7．三角形的外接圆