空间几何体外接球和内切球(1)

方法技巧专题3空间几何体外接球和内切球

【一】高过外心

空间几何体（以ABCD P -为例）的高过底面的外心（即顶点的投影在底面外心上）：（1）先求底面ABCD 的外接圆半径r ，确定底面ABCD 外接圆圆心位置O ';

（2）把O '垂直上移到点O ，使得点O 到顶点P 的距离等于到D C B A 、、、的距离相等，此时点O 是几何体外接球球心；

（3）连接OA ，那么OA R =,由勾股定理得：2

2

2

O O r R '+=.

1、已知正四棱锥ABCD P -的所有顶点都在球O 的球面上，2==AB PA ，则球O 的表面积为（）

A．2π

B．4π

C．8π

D．16π

2、在三棱锥P ABC -中.2PA PB PC ===.1AB AC ==，BC =，

则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A．8π

B．

16

3

πC．

43

πD．

323

27

【二】高不过外心

高不过心—顶点的投影不在底面外心上，以侧棱垂直于底面为例：题设：已知四棱锥ABCD P -，ABCD

PA 底面⊥（1）先求底面ABCD 的外接圆半径r ，确定底面ABCD 外接圆圆心位置O ';（2）把O '垂直上移到点O ，使得PA O O 2

1

=

'，此时点O 是几何体外接球球心；（3）连接OA ，那么OA R =,由勾股定理得：2

2

2

2

2

）（PA r O O r R +

='+=.

1、长方体 ꆸ䎑ꮘΐ ꆸ 䎑 ꮘ 的8个顶点在同一个球面上，且 ꆸ ⺁， ꮘ ， ，则球的表面积为______．

2、已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为3，外接球表面积为16π，则正三棱柱111ABC A B C -的体积为（）

A.

33

4

B.

332

C.

934

D.

932

3、已知P ，A ，B ，C ，D 是球O 的球面上的五个点，四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，2AB DC AD ===，

4BC PA ==，PA ⊥面ABCD ，则球O 的体积为（

）

A．

6423

πB．

1623

πC．162π

D．16π

4、已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，12,4

AA BC BAC π

==∠=，则三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为（）

A．123π

B．83π

C．63π

D．43π

5、四棱锥P ABCD -的底面为正方形ABCD ，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在体积为

92

π

的同一球面上，则PA 的长为（）A．3

B．2

C．1

D．

12

6、四棱锥A BCDE -的各顶点都在同一球面上，AB ⊥底面BCDE ，底面BCDE 为梯形，60BCD ∠= ，且

2AB CB BE ED ＝＝＝＝，则此球的表面积等于（

）

A．25π

B．24π

C．20π

D．16π

【三】长（正）方体外接球

1、长方体或正方体的外接球的球心：体对角线的中点；

2、正方体的外接球半径：a R 2

3

=

（a 为正方体棱长）；3、长方体的同一顶点的三条棱长分别为c b a ,,，外接球的半径：2

2

22c b a R ++=

1、若一个长、宽、高分别为4，3，2的长方体的每个顶点都在球O 的表面上，则此球的表面积为________

2、已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_______

3、如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是________.

4、棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（）

A ．

22B．1

C．212

+

【四】棱柱的外接球

直棱柱外接球的求法—汉堡模型

1.补型：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同

2.作图：构造直角三角形，利用勾股定理

1）第一步：求底面外接圆的半径：A

a

r sin 21=

（a 为角A 的对边）；

2）第二步：由勾股定理得外接球半径：22)2

(h

r R +=

（h 为直棱柱侧棱高度）

1、直三棱柱111C B A ABC -中，已知 ꆸ ꆸ䎑， ꆸ ，ꆸ䎑 ， ，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________．

2、直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长均为⺁ ，则此三棱柱的外接球的表面积为（）

A．π

12B．π

16C．π

28D．π

363、设直三棱柱111C B A ABC -的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是π40，1AA AC AB ==，

o 120=∠BAC ，则此直三棱柱的高是________.

【五】棱锥的外接球

类型一：正棱锥型（如下图1，以正三棱锥为例，顶点P 的投影落在ABC ∆的外心上）1)求底面外接圆半径：A

a

r sin 21=（a 为角A 的对边）；

2)求出r AH 3

2

=

，求出棱锥高度2

2

AH

PA PH h -==;

3)由勾股定理得外接球半径:()2

22

2

)3

2(r R h AH

OH R +-=

+=.