量子体系本征值问题的解法
第九章 本征问题的近似解法
第9章本征问题的近似解法众所周知，多数真实量子体系的定态薛定谔方程是不能严格求解的，为了得到其近似结果，通常要选用合适的近似方法来处理，微扰论与变分法是两个最常用的近似方法。
由微扰论可知，能量的一级修正是微扰项的对角元，而能量的二级修正则是一个求和项，随着微扰级数的增加，高阶修正的计算公式会越来越繁杂。
变分法在求出一级近似之后，高级近似的计算无章可循。
以往的教科书中，只给出微扰论的一、二级近似和变分法的一级近似结果。
本章导出了微扰论计算公式的递推形式和变分法的迭代形式(最陡下降法)，它们均能使其计算结果以任意精度逼近精确解。
另外，作为近似计算的基础，本章也导出了在常用基底下k r矩阵元的级数表达式。
§9.1 无简并微扰论公式及其递推形式设体系的哈密顿算符满足381382mm m E H ψψ=ˆ (9.1.1) 若哈密顿算符可以写成两项之和，即 HH W =+0(9.1.2) 而 W 的作用又远小于 H 0的贡献，称 W 为微扰（摄动）项，并且无微扰时 H 0的解已知，即本征方程m m m E H ϕϕ00ˆ= (9.1.3)的解0m E和m ϕ已经求出，当上述三个条件皆被满足时，则可以逐级求出能量本征值与本征矢的近似值，通常把这种近似求解方法称之为微扰论。
当待求能级是非简并能级时，不论其它能级是否简并，均可以利用本节导出的无简并微扰论公式进行计算，否则，应该使用下一节将介绍的简并微扰论方法进行处理。
下面将分别介绍无简并的汤川秀树(Yukawa)、维格纳(Wigner )、高斯通（Goldstone ）和薛定谔的微扰论公式及其递推形式。
§9.1.1 汤川秀树公式1、无简并微扰展开若待求的第k 个能级无简并，则 H的第k 个能级的精确(严格)解(薛定谔方程不做任何取舍时所求得的解)可按微扰级数展开为E E E E k k k k =+++()()()012(9.1.4)ψψψψk kkk=+++()()()012 (9.1.5)其中，()0k E 与()0kψ分别为第k 个能级的本征值与本征矢的零级近似，383而当0>n 时，()n k E 与()n kψ分别为第k 个能级的本征值与本征矢的第n级修正，波函数第n 级修正()n kψ与零级波函数()0kψ正交，即()()0,0n n kk δψψ= (9.1.6)将(9.1.4)、(9.1.5)式代入(9.1.1)式，可得零级近似和各级修正满足的方程为()()()H E k k0000-=ψ (9.1.7)()()()()()()H E E W k kkk00110-=-ψψ (9.1.8)()()()()()()()()H E E W E k kk kkk0021120-=-+ψψψ (9.1.9)()()()()()())0()3()1()2(21300 ˆˆkkkkkk kk E E W E E H ψψψψ++-=- (9.1.10)()()()()()())0()()3()3()2()2(1100 + ˆ ˆkn kn k kn kkn kk n kk E E E W E E H ψψψψψ+++-=---- (9.1.11)2、零级近似由(9.1.3)式和(9.1.7)式容易得到零级近似解:)0(k k E E =(9.1.12)ψϕkk ()0= (9.1.13)在应用微扰论进行计算时，需要选定一个具体的表象，通常选0ˆH 表象。
一种求解一维量子体系本征态的方法
0 - t ( e + e- ) , 其中
=
-
sh[ ( N + sh[ N
1) ]
]
4. 2 量子链中两端格点能量改变的情况
两端格点能量均有改变时, 本征值方程为
0+
t
c1
c1
t
0t
c2
c2
=E
t
0
t
cN- 1
cN- 1
t 0+
cN
cN
此时 D N = DN + 2 D N - 1+ 2D N - 2, ( N > 2) 同
点的局域波函数{ i , i = 1, 2, , N } 为基, 该体系 的哈密顿量可以写为
H=
ic+i ci +
ti , i+ 1 c+i c i+ 1 + h. c. , ( 1)
i
i
其中 i = i | H | i 是 格 点 能 量, ti , i + 1 =
i| H | i+ 1 表示第 i 与第 i + 1 个格点之间电
样, 利用式( 5) 中的结果可以得出
DN
=
tN sin
[ sin( N +
1)
+ 2 sinN +
2sin( N - 1) ]
借助 4. 1 中的分析方式, 首先判断出现表面态的 条件 结果发现, 当| | < 1 时该结构中不会有表
面态出现, 本征能量可以写为
Em =
0-
2 t cos
m N+
1+
i
2N N
ex p
量子力学中的哈密顿算符与本征值
量子力学中的哈密顿算符与本征值量子力学是描述微观粒子行为的重要理论，其中的哈密顿算符是至关重要的概念。
本文将介绍哈密顿算符以及与其相关的本征值的概念。
在量子力学中，哈密顿算符是描述量子系统能量的算符。
它是量子力学中的基本方程之一，与经典力学中的哈密顿函数相对应。
哈密顿算符通常表示为H。
对于一个粒子来说，哈密顿算符是动能算符与势能算符之和，即H = T + V。
其中动能算符T描述粒子的动能，而势能算符V描述粒子所处位置的势能。
哈密顿算符在量子力学中的应用非常广泛。
通过求解哈密顿算符的本征值问题，可以得到系统的能级和能量本征态。
这对于研究微观粒子的行为和性质具有重要意义。
通过量子化的哈密顿算符，可以计算出粒子在不同能级上的概率分布，从而推导出一系列的物理量。
量子力学中的哈密顿算符的本征值问题可以用一般的线性代数方法求解。
本征值问题可以被表示为H |ψ⟩= E |ψ⟩，其中H是哈密顿算符，|ψ⟩是波函数，E是该波函数所对应的能量本征值。
通过对波函数的特定形式进行假设，我们可以将本征值问题转化为代数问题，进而求解。
当我们求解本征值问题时，哈密顿算符的本征值表示了体系所具备的能量取值，而对应的本征态则描述了这些能量取值所对应的粒子状态。
通过研究本征态的性质，我们可以了解粒子在不同能级上的行为和性质。
例如，基态对应哈密顿算符的最小本征值，描述了量子系统的最低能量状态。
而激发态则对应较高的本征值，描述了系统更高能级的状态。
哈密顿算符的本征值问题在实际应用中扮演着重要角色。
在量子化学中，研究分子的能级和分子轨道可以通过求解分子哈密顿算符的本征值问题来实现。
在固体物理中，通过求解固体哈密顿算符的本征值问题，可以得到固体中电子的能带结构和能带间隙等信息。
这些研究对于理论计算和实验研究都具有重要意义。
除了本征值问题的求解，哈密顿算符还可以用于描述系统的演化过程。
根据薛定谔方程，量子系统的演化可以由哈密顿算符和波函数的时间演化算符共同决定。
量子力学中的测量算符和本征值的计算方法
量子力学中的测量算符和本征值的计算方法量子力学是一门研究微观世界的科学，其理论基础是量子力学方程和测量算符。
在量子力学中，测量算符是用来描述物理量的操作符，而本征值则是测量算符对应的物理量的取值。
本文将介绍量子力学中的测量算符和本征值的计算方法。
首先，我们来了解一下测量算符的概念。
在量子力学中，测量算符是用来描述物理量的操作符，它可以作用于量子态，得到测量结果。
测量算符通常表示为大写字母，比如位置算符X、动量算符P等。
测量算符的本征态是指在该算符作用下，量子态不发生变化的态。
本征态对应的本征值就是测量算符所代表的物理量的取值。
接下来，我们将介绍测量算符的计算方法。
在量子力学中，求解测量算符的本征值可以通过求解本征方程来实现。
本征方程的形式为：A|ψ⟩=a|ψ⟩其中，A表示测量算符，|ψ⟩表示量子态，a表示本征值。
要求解本征方程，首先需要确定测量算符A的表达式。
对于一些常见的物理量，比如位置、动量和能量等，测量算符的表达式已经被确定下来。
例如，位置算符X的表达式为X=x，其中x表示位置的取值。
动量算符P的表达式为P=−iℏ∂∂x，其中ℏ是普朗克常数，∂∂x表示对位置的偏导数。
确定了测量算符的表达式后，就可以求解本征方程。
首先，将本征方程展开成矩阵形式，即将量子态和本征值表示为列向量和对角矩阵的形式。
然后，将本征方程代入到矩阵形式中，得到一个线性方程组。
通过求解这个线性方程组，就可以得到测量算符的本征值和本征态。
在实际计算中，我们通常使用数值方法来求解本征方程。
数值方法的基本思想是将连续的物理量离散化，将本征方程转化为一个矩阵的特征值问题。
常用的数值方法有矩阵对角化方法和迭代法等。
这些数值方法可以通过计算机程序来实现，大大简化了本征值的计算过程。
除了数值方法，还有一些特殊的情况下可以求解测量算符的本征值。
例如，对于一些简单的测量算符，可以通过直接求解波函数的形式来得到本征值。
此外，对于一些特殊的系统，可以利用对称性和守恒量等性质来简化本征值的计算。
量子力学的哈密顿算符与哈密顿本征值问题讨论
量子力学的哈密顿算符与哈密顿本征值问题讨论量子力学是现代物理学的重要分支，研究微观世界的行为规律。
其中，哈密顿算符与哈密顿本征值问题是量子力学中的重要概念和问题。
本文将从哈密顿算符的定义、性质和应用以及哈密顿本征值问题的讨论等方面展开论述。
首先，我们来了解哈密顿算符的定义和性质。
哈密顿算符是量子力学中描述系统能量的算符，通常用H表示。
它的定义是H=K+V，其中K为系统的动能算符，V为系统的势能算符。
哈密顿算符是一个厄米算符，即满足H†=H，其中†表示厄米共轭。
这意味着哈密顿算符的本征值都是实数。
哈密顿算符的本征值问题是量子力学中的基本问题之一。
本征值问题是求解哈密顿算符的本征方程H|ψ⟩=E|ψ⟩，其中|ψ⟩为系统的波函数，E为相应的能量本征值。
解这个本征方程可以得到系统的能量本征值和相应的能量本征态。
通过求解本征值问题，我们可以了解系统的能级结构和能量量子化现象。
在实际应用中，哈密顿算符和哈密顿本征值问题有着重要的意义。
首先，哈密顿算符是描述量子力学系统动力学演化的关键。
根据薛定谔方程iℏ∂/∂t|ψ⟩=H|ψ⟩，系统的时间演化可以由哈密顿算符描述。
其次，哈密顿本征值问题的解可以用于计算系统的能谱和能级跃迁等物理量。
例如，通过计算能级差可以得到系统的吸收、发射光谱等信息。
进一步讨论哈密顿本征值问题时，我们可以考虑一维势阱中的粒子。
一维势阱是一个经典的量子力学模型，可以用来研究粒子在势场中的行为。
对于一维势阱，我们可以将哈密顿算符表示为H=-ℏ²/2m(d²/dx²)+V(x)，其中m为粒子的质量，V(x)为势能函数。
在一维势阱中，我们可以通过求解哈密顿本征值问题来得到粒子的能级结构。
对于无限深势阱，即V(x)=0，我们可以得到粒子的能级为En=n²π²ℏ²/2mL²，其中n为正整数，L为势阱的宽度。
这意味着能级是量子化的，只能取离散的数值。
《作为本征值问题的量子化》
《作为本征值问题的量子化》一、引言量子力学是描述微观世界行为的理论框架，它涉及到一系列本征值问题的研究。
本文旨在探讨量子力学中的本征值问题，并介绍其量子化的方法。
二、什么是本征值问题在量子力学中，本征值问题是指对于一个物理量，通过对相应的本征函数进行测量，所得到的结果为一个确定的值。
物理量的本征函数称为本征态，对应的确定值称为本征值。
三、解析方法与数值解方法解决本征值问题时，可以使用解析方法和数值解方法。
解析方法适用于一些简单的物理系统，可以通过代数运算得到本征值和本征函数的解析表达式。
数值解方法则适用于复杂的系统，通过数值计算得到本征值和本征函数的近似结果。
四、薛定谔方程与本征值问题薛定谔方程是描述量子力学系统演化的基本方程。
在薛定谔方程中，本征值问题的求解变成了对薛定谔方程的求解。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到系统的能级和相应的本征态。
五、量子化的方法量子化是将经典力学中的物理量转化为量子力学中的算符的过程。
常见的量子化方法有正则量子化和路径积分量子化。
正则量子化方法通过运算符代数的方法，将经典力学中的变量和动力学变量转化为算符和算符的对易关系。
路径积分量子化方法则通过积分路径的方法，将经典力学中的轨迹转化为路径积分，并引入泛函积分的概念。
六、本征值问题的应用本征值问题在量子力学中有广泛的应用。
在原子物理中，本征值问题帮助我们理解原子的能级结构与谱线的出现规律。
在固体物理中，本征值问题有助于描述晶体的电子结构与能带分布。
在量子力学中，本征值问题也是计算量子态演化和量子测量的基础。
七、结论本征值问题是量子力学中的重要概念，通过对本征值问题的研究，我们可以了解量子系统的能级结构和本征态的特性。
通过正确的量子化方法，我们可以将经典物理量转化为量子力学中的算符，从而进行量子力学的计算和描述。
本征值问题的应用涵盖了多个物理领域，对于我们深入理解和应用量子力学具有重要意义。
第9章 力学量本征值问题的代数解法
。 /2
利用式(8)的前一式，可证明与式(11)类似的式子
ˆ ˆ n (n 1)a ˆ n Na
(14)
ˆ ˆ 的本征态，本征值为(n+1)。 这说明 a n 也是N
7
联合式(13)与(14)，从 0 出发，逐次用 a ˆ 运算， ˆ 的全部本征态 可得出 N
0, 1, 2, j m j,, j 1 / 2, 3 / 2, 5 / 2, ˆ J ˆ iJ ˆ a ˆ (J ˆ ) a ˆ ˆ ˆ ˆ J a , J x y 1 2 2 a1 (14)
2 ˆ J jm j ( j 1) jm ˆ J z jm m jm
( 6)
14
利用声子对易关系可证 ˆ ,J ˆ ] i J ˆ ( , , 1,2,3 1) [J
这正是角动量的基本对易式，进一步可证 ˆ ˆ N N ˆ2 J ˆ2 J ˆ2 J ˆ 2 ( 1) J (7) x y z 2 2 ˆ N ˆ N ˆ a 其中 N ˆ a ˆ a ˆ a ˆ
ˆ 0 0 a
( x ip) 0 0
在坐标表象中基态波函数 0 ( x) x 0 满足 d x2 / 2 ( x ) 0 ( x) 0 0 ( x) e dx
10
将自然单位换为SI单位，并归一化则得 2 1 / 4 2 x 0 ( x) ( ) e
ˆ n n n N
(10)
5
利用
ˆ, a ˆ ] a ˆ 有 [N
ˆ,a ˆ ] n a ˆn [N
量子力学(第九章本征值的代数解法)
0 (x)=A e
2 x2
2
0 ( x ) e
2 14
2 x2
2
(38)
19
激发态 | n 的波函数可由(34)式求得。用 x | 左
乘(34)式两边，得： 1 n ( x) x | n x | (a )n | 0
n!
1 )n | x x | 0 n ( x) dx x | (a n! 1 dx(a ) n ( x x) 0 ( x) xx n! 1 n (a ) 0 ( x) n!
an-1,n = n-1|a | n = n a
亦即
+ n+1,n
= n+1|a | n = n+1
+
(23)
an,n = n|a | n = n n -1,n a
+ n,n
= n|a | n = n+1 n +1,n
+
(24)
13
和 a 称为量子数升,降算符。在二次量子 a
值为 。令：
| Cn ( ) | n
n 0
(41) (42)
代入本征方程 a | | 利用(22)式第一式，得到：
22
a | Cn ( ) n | n 1 Cn ( ) | n
比较两个 项中 | n 1 项系数，得到 n
1
p
(Q 2 P 2 ) H 2 Q , P 满足对易式
(6) (7)
[Q, P] i
＋
引入两个新的算符
a 1(Q iP ) 2 , a 1(Q－iP ) 2
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量子体系本征值问题的解法关键词：本征值；分析解法；矩阵解法；代数解法；线性谐振子摘要：处理量子体系的本征值和本征态是量子理论的中心问题，对其求解方法进行研究具有一定的实际意义。
本文对量子体系本征值问题的求解进行归纳与总结。
对于处理本征值问题的常见方法（解析法、矩阵法），给出例证说明。
另外，基于代数的方法，采用升降算符处理一维线性谐振子的本征值和本征态，进而推广到利用升降算符处理二维以及三维线性谐振子问题，得到二维以及三维线性谐振子的本征值；进一步基于代数方法对角动量的本征值问题进行研究。
Solution methods of the eigenvalues for Quantum SystemKeywords:Eigenvalue; Analytical method; Matrix method; Algebraic method; Linear harmonic oscillator Abstract:Solving eigenvalues and eigenfunctions for the quantum systems is mainly contents in the quantum theory. There are a lot of processing methods such as analytical method, matrix method and factorization method, and so on. In this paper, several kinds of different methods on solving eigenvalues for the quantum systems are given and compared, and further summarized. Furthermore, on the basis of algebraic solution, the expanding resolutions were obtained for one-dimensional linear harmonic oscillator, the two-dimensional linear harmonic oscillator, three-dimensional linear harmonic oscillator, and even n-dimensional linear harmonic oscillator. Moreover, the eigenvalues and eigenstates of the angular momentum were shown by algebraic solution..引言我们在初学量子力学时解决本征值问题我们通常选择分析解法或者矩阵解法，而在物理学的前沿领域广泛使用代数的方法处理本征值问题也是一种很重要的方法和思想，运用代数解法解决本征值问题可能会得到意想不到的效果，因此对于本征值问题的代数解法及其应用的研究具有重要的理论和实际意义.这就是这篇文章所要达到的要求.此外，这篇文章还在已知的用升降算符处理一维、二维线性谐振子求本征值问题的基础上，讨论是否在三维线性谐振子的算符解法求本征值进而为处理多维线性谐振子本征值问题提供了思路.1.量子体系本征值问题的分析解法运用分析方法求解本征值，其本质是讨论定态问题求出体系有可能存在的波函数以及在这些定态所对应的能量，归根到底可以概括为解定态薛定谔方程，下面通过研究无限深势阱来讲解分析解法求本征值.假设现在有一维无限深势阱为：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<∞≤≤-=.22,,22,0a x a x ax a x U 或者 （1-1） 我们知道一维无限深势阱的特点是在22ax a ≤≤-时，它的势能是零；在22ax a x >-<或时，其势能为无限大（如图①所示）. 定态薛定谔方程为：()()()()x E x x U x m dxd ψψψ=-222-2在阱内⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-22a x a时，()()()x E x x m dxd ψψψ=⋅+02-222 （1-2） 在阱外⎪⎭⎫ ⎝⎛>-<22a x a x 或者时，()()()x E x x m U dx d ψψψ=+⋅02222- （1-3）在（1-3）式∞→U.由波函数的标准条件我们知道应满足连续性和有限性，那么只有在0=ψ时，③式才成立.于是有 0=ψ， 22ax a x >-<或者 （1-4）显然，（1-4）式是求解（1-2）式的边界条件. 为了运算方便，我们通常引入符号2122⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= mE k （1-5）则有 0222=ψψk x d d ， 22ax a ≤≤- .方程的解为 kx B kx A sin cos +=ψ， 22ax a ≤≤-. （1-6） 由边界条件（即0=ψ， 22a x a x >-<或者 ）知： 02=⎪⎭⎫⎝⎛±a ψ 于是， 时，2ax = 02sin 2cos 2=+=⎪⎭⎫⎝⎛a k B a kA a ψ 时，2ax -= 02sin 2cos 2=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-a k B a k A a ψ 由此解得.02sin ;02cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛k a B k a A （1-7）① 0,0==B A ;此时不管x 为何值ψ恒为零，因此应将这组解舍去.② 02sin ,0,0=⎪⎭⎫⎝⎛≠=k a B A 即 （1-8） 由此解得222π⋅=m k a ， ⋅⋅⋅±±=,2,1,0m （1-9） ③ 02cos ,0,0=⎪⎭⎫⎝⎛=≠k a B A 即 （1-10） 由此解得 2222ππ⋅+=m k a ， ⋅⋅⋅±±=,2,1,0m （1-11） 对第②种情况的解，显然m 为偶数；对于第③ 种情况的解，显然m 为奇数.0=m 对应的解ψ恒为零.而m 等于负整数时方程的解和m 等于正整数时方程的解只相差一个负号，即二者线性相关.因此，综合②、③ 得 22π⋅=n k a ， ⋅⋅⋅=,3,2,1n （1-12） 则 an k π=（1-13）由（1-5）式和（1-13）式可得22222mEan =π根据上式可以解得体系的能量为 a nE m n 222221π=（1-14） 上式对应于量子数n 的所有取值，有无穷多个n E 与之对应。
把（1.8）式代入（1.6）式，可以得到波函数为()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=>-<≤≤-.22,0,22,sin ax a x ax a x a n B x n n 或者为偶数时，πψ （1-15）()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=>-<≤≤-.22,0,22,cos ax a x ax a x a n A x n n 或者为奇数时，πψ （1-16）.0,0无解时，≠≠B A所以波函数为()⎪⎭⎫⎝⎛+'=2sin a x a n A x nπψ ⋅⋅⋅=,3,2,1n （1-17） 由归一化条件()12sin 22222=⎪⎭⎫⎝⎛+'=⎰⎰-∞+∞-dx a x a n A dx x aa n πψ （1-18）可以解得122=⋅'aA 于是 aA 2='()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=>-<≤≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+.22,0;22,2sin 2ax a x ax a a x a n a x n 或者πψ （1-19）2.量子体系本征值问题矩阵解法我们知道态在不同的表象中，可以用不同的波函数表述，而算符在表象中是用矩阵表述的，并且我们知道算符在其自身表象中是一个对角矩阵，下面将通过矩阵的形式来处理量子体系的本征值问题.我们先来讨论这样一个问题，在任意一个力学量Q 的表象中，怎样描述()t x ,ψ所描写的状态呢？我们可以先假设Q 具有分立的本征值,,,,2,1⋅⋅⋅⋅⋅⋅n Q Q Q 它对应的本证函数是()()()⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21x u x u x u n .将其按Q 的本证函数展开，则有()()()x u t a t x nnn∑=,ψ. （2-1）由归一化条件， ()()()dx x t x t a nn u ⎰*=,ψ. （2-2）假设()t x ,ψ也满足归一化条件，于是 ()()()()()dx x u x u t a t a dx t x m n m mnn ⎰∑⎰**=2,ψ()()()()t a t a t a t a n nn mnmmnn ∑∑**==δ于是()()1=∑*t a t a nnn . （2-3）据此，我们知道在()t x ,ψ所描写的态中测量力学量Q 的结果是n Q 的概率 2n a .那么()t x ,ψ在Q 中可以表示为 ()()()⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21t a t a t a n . （2-4）用矩阵表示为：()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= t a t a t a n 21ψ （2-5）其共轭矩阵为： ()()()(),,,,21t a t a t a n ***+=ψ. （2-6）我们知道算符在表象中用矩阵表示，所以力学量F 在∧Q 表象中的矩阵表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nm n n m m F F F F F F F F F F 212222111211 （2-7） 其中，()()dx x u Fx u F n m mn ˆ⎰*=. 将()t x ,ψ按照Q 表象的本征函数()x u n 展开 ()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧==∑∑**+m m m nx t t x x u t a t x u a n n ;,,,ψψ （2-8） 代入期望值公式有 ()(),,,ˆ,dx x x x i x F t x F ψψ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰*（2-9） ()()()(),,ˆdx t u t a x i x F x t F n n u a m mnm ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=**⎰∑ ()()().,ˆt dx t x i x F t a u u a n nmmnn ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎰∑**（2-10）那么()()dx x x i x F x u u F n m mn ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎰* , ， （2-11） 所以有 ()()t t F a F a nmnmnm∑*=. （2-12）()()()();,,,,2121222211121121⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=***t t t F a a a FFF FFF F F F a a a n mnm m nn m （2-13）即 ψψF F +=. （2-14）本征值方程为 ()()t x t x x i x F,,,ˆλψψ=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂（2-15） 令 λψ=Φ， 则有 λψψ=F . （2-16） 把上式用矩阵表示为：()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t t t t t t a a a a a a FFF FFF F F F n n nnn n nn 2121212222111211λ. （2-17）移向并化简得：()()()021212222111211=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---t t t a a a F FF FF F F F F n nn n n nnλλλ. （2-18） 显然，上式是一个线性齐次的代数方程组：()().,2,1,0⋅⋅⋅==-∑m t a Fn nmn mnδλ （2-19）根据相关条件，系数行列式等于零这个方程组才有非零解，即0det =-δλmn mnF，则久期方程为.0212222111211=---λλλFFFF F F F F F nnn n nn （2-20）解这个久期方程，可以得到F 的本征值，它是一组λ值，即⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21λλλn，我们如果把所求得的λ值代入（1-38）式，可以求出与之相对应的本征矢()()()()⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21t t t a a a ini i ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n i ,,2,1其中，.由此可知，我们就把解微分方程求解本征值的问题变换为了求解（2-21）式的根的问题.3.运用代数解法处理量子体系的本征值问题前面我们讲到了用分析解法和矩阵解法处理量子体系的本征值问题，我们也比较习惯用这两中解法来求解；但应用最早且在物理学的前沿领域应用最为广泛的却不是这两种解法而是用代数的解法来求本征值问题。