量子体系本征值问题的解法

量子体系本征值问题的解法

关键词：本征值；分析解法；矩阵解法；代数解法；线性谐振子

摘要：处理量子体系的本征值和本征态是量子理论的中心问题，对其求解方法进行研究具有一定的实际意义。本文对量子体系本征值问题的求解进行归纳与总结。对于处理本征值问题的常见方法（解析法、矩阵法），给出例证说明。另外，基于代数的方法，采用升降算符处理一维线性谐振子的本征值和本征态，进而推广到利用升降算符处理二维以及三维线性谐振子问题，得到二维以及三维线性谐振子的本征值；进一步基于代数方法对角动量的本征值问题进行研究。

Solution methods of the eigenvalues for Quantum System

Keywords:Eigenvalue; Analytical method; Matrix method; Algebraic method; Linear harmonic oscillator Abstract:Solving eigenvalues and eigenfunctions for the quantum systems is mainly contents in the quantum theory. There are a lot of processing methods such as analytical method, matrix method and factorization method, and so on. In this paper, several kinds of different methods on solving eigenvalues for the quantum systems are given and compared, and further summarized. Furthermore, on the basis of algebraic solution, the expanding resolutions were obtained for one-dimensional linear harmonic oscillator, the two-dimensional linear harmonic oscillator, three-dimensional linear harmonic oscillator, and even n-dimensional linear harmonic oscillator. Moreover, the eigenvalues and eigenstates of the angular momentum were shown by algebraic solution.

.

引言

我们在初学量子力学时解决本征值问题我们通常选择分析解法或者矩阵解法，而在物理学的前沿领域广泛使用代数的方法处理本征值问题也是一种很重要的方法和思想，运用代数解法解决本征值问题可能会得到意想不到的效果，因此对于本征值问题的代数解法及其应用的研究具有重要的理论和实际意义.这就是这篇文章所要达到的要求.此外，这篇文章还在已知的用升降算符处理一维、二维线性谐振子求本征值问题的基础上，讨论是否在三维线性谐振子的算符解法求本征值进而为处理多维线性谐振子本征值问题提供了思路.

1.量子体系本征值问题的分析解法

运用分析方法求解本征值，其本质是讨论定态问题求出体系有可能存在的波函数以及在这些定态所对应的能量，归根到底可以概括为解定态薛定谔方程，下面通过研究无限深势阱来讲解分析解法求本征值.

假设现在有一维无限深势阱为：

()⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧>-<∞≤

≤-

=.

2

2,,

22,0a x a x a

x a x U 或者 （1-1） 我们知道一维无限深势阱的特点是在2

2a

x a ≤≤-

时，它的势能是零；在

2

2a

x a x >-<或时，其势能为

无限大（如图①所示）. 定态薛定谔方程为：

()()()()x E x x U x m dx

d ψψψ=-22

2-2

在阱内⎪⎭

⎫ ⎝⎛≤≤-

22a x a

时，()()()

x E x x m dx

d ψψψ=⋅+02-2

2

2 （1-2） 在阱外⎪⎭

⎫ ⎝⎛>-<22a x a x 或者时，()()()x E x x m U dx d ψψψ=+⋅

02

22

2- （1-3）

在（1-3）式∞→U

.由波函数的标准条件我们知道应满足连续性和有限性，那么只有在

0=ψ时，③式才成立.

于是有 0=ψ， 2

2a

x a x >-

<或者 （1-4）

显然，（1-4）式是求解（1-2）式的边界条件. 为了运算方便，我们通常引入符号

2

1

22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= mE k （1-5）

则有 022

2

=ψψk x d d ， 2

2a

x a ≤≤- .

方程的解为 kx B kx A sin cos +=ψ， 2

2a

x a ≤≤-. （1-6） 由边界条件（即0=ψ， 22a x a x >-

<或者 ）知： 02=⎪⎭

⎫

⎝⎛±a ψ 于是， 时，2

a

x = 0

2

sin 2cos 2=+=⎪⎭

⎫

⎝⎛a k B a k

A a ψ 时，2

a

x -= 02sin 2cos 2=⎪⎭

⎫

⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-a k B a k A a ψ 由此解得

.

02sin ;02cos =⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛k a B k a A （1-7）

① 0,0==B A ;此时不管x 为何值ψ恒为零，因此应将这组解舍去.

② 02sin ,0,0=⎪⎭

⎫

⎝⎛≠=k a B A 即 （1-8） 由此解得

2

22π

⋅=m k a ， ⋅⋅⋅±±=,2,1,0m （1-9） ③ 0

2cos ,0,0=⎪⎭

⎫

⎝⎛=≠k a B A 即 （1-10） 由此解得 2

222π

π⋅+=m k a ， ⋅⋅⋅±±=,2,1,0m （1-11） 对第②种情况的解，显然m 为偶数；对于第③ 种情况的解，显然m 为奇数.0=m 对应的解ψ恒为零.而m 等于负整数时方程的解和m 等于正整数时方程的解只相差一个负号，即

二者线性相关.

因此，综合②、③ 得 2

2π

⋅=n k a ， ⋅⋅⋅=,3,2,1n （1-12） 则 a

n k π

=

（1-13）