第10讲数据的统计分析与描述
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数估计就是从样本（X1，X2，…，Xn）出发，构造一些统计量ˆi ( X1，X2，…，
Xn）（i=1，2，…，k）去估计总体 X 中的某些参数（或数字特征） i（i=1，
2，…，k）.这样的统计量称为估计量.
1. 点估计：构造（X1，X2，…，Xn）的函数ˆi ( X1，X2，…，Xn） 作为参数 i 的点估计量，称统计量ˆi 为总体 X 参数 i 的点估计量.
据，因而峰度可用作衡量偏离正态分布的尺度之一.
4.
k 阶原点矩：Vk
1 n
n i 1
X
k i
k 阶中心矩：U k
1 n
n
(Xi
i 1
X )k
二、分布函数的近似求法
1.整理资料： 把样本值 x1，x2，…，xn 进行分组，先将它们依大小次序排列，
得
x1*
x2*
x
* n
.在包含
[
x1*
,
xn*
]
1 n
n i 1
Xi
中位数：将数据由小到大排序后位于中间位置的那个数值.
2. 表示变异程度的统计量—标准差、方差和极差.
标准差： s
[ 1 n 1
n i1
(Xi
1
X )2 ]2
它是各个数据与均值偏离程度的度量.
方差：标准差的平方.
极差：样本中最大值与最小值之差.
3. 表示分布形状的统计量—偏度和峰度
的区间[a，b]内插入一些等分点：
a
x1'
x2'
xn'
b,
注意要使每一个区间
(
x
' i
,
xi'
1
]
（i=1，2，…，n-1）
内都有样本观测值 xi（i=1，2，…，n-1）落入其中.
2.求出各组的频数和频率：统计出样本观测值在每个区间
(
xi'
,
x' i 1
]
中出
现的次数 ni ，它就是这区间或这组的频数.计算频率
0.15
0.1
0.05
0
-4
-2
0
2
4
6
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2. 2 分布 2 (n)
若随机变量 X1，X2，…，Xn 相互独立，都 服从标准正态分布 N（0，1），则随机变量
Y=
X
2 1
X
2 2
X
2 n
服从自由度为 n 的 2 分布，记为 Y~ 2 （n）.
Y 的均值为 n，方差为 2n.
0.16
0.14
0.12
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
4. F 分布 F（n1，n2）
若 X~ 2 （n1），Y~ 2 （n2），且相互独立，则随机变量
X
F n1 Y
n2
服从自由度为（n1，n2）的 F 分布，记作 F~ F（n1，n2）.
由 F 分布的定义可以得到 F 分布的 一个重要性质：
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
5
10
15
20
3. t 分布 t（n）
若 X~N（0，1），Y~ 2 （n），且相互独
立，则随机变量
T X Y
n
服从自由度为 n 的 t 分布，记为 T~t（n）. t（20）分布的密度函数曲线和 N（0，1）的
曲线形状相似.理论上 n 时，T~t（n） N（0，1）.
若 F~ F（n1，n2），则
1 F
~
F (n2 , n1 )
F（10，50）分布的密度函数曲线
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
返回
无论总体 X 的分布函数 F（x；1, 2 ,, k ）的类型已知或未知，我
们总是需要去估计某些未知参数或数字特征，这就是参数估计问题.即参
n
p(x1,1, ,k ) p( x2 ,1, ,k ) p( xn ,1, ,k ) p( xi ,1, ,k ) i 1
数学建模与数学实验
数据的统计描述和分析
实验目的
1．直观了解统计基本内容. 2．掌握用数学软件包求解统计问题.
实验内容
1．统计的基本理论. 2．用数学软件包求解统计问题. 3．实验作业.
数
据
统计的基本概念
的
统
计
参数估计
描
述
和
假设检验
分
析
一、统计量
1. 表示位置的统计量—平均值和中位数.
平均值（或均值，数学期望）： X
偏度： g1
1 s3
n
(Xi
i 1
X )3
峰度： g2
1 s4
n
(Xi
i 1
X)4
偏度反映分布的对称性，g1 >0 称为右偏态，此时数据位于均值 右边的比位于左边的多；g1 <0 称为左偏态，情况相反；而 g1 接近 0 则可认为分布是对称的.
峰度是分布形状的另一种度量，正态分布的峰度为 3，若 g2 比 3 大很多，表示分布有沉重的尾巴，说明样本中含有较多远离均值的数
1
( xm )2
e 2s 2 分布函数：F (x)
2p s
其中 m 为均值，s 2 为方差， x .
1
e dy x
( ym)2 2s 2
2ps
标准正态分布：N（0，1）
密度函数
j(x)
1
x2
e2
2p
分布函数
F(x)
1
x
y2
e 2 dy
2p
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
fi
ni n
.
3.作频率直方图：在直角坐标系的横轴上，标出
x1'
,
x
' 2
,
,
x
' n
各点，分别以
(
xi'
,
x' i 1
]
为底边，作高为
fi xi'
的矩形， xi'
xi'1 xi' , i 1,2,, n 1,即得
频率直方图.
三、几个在统计中常用的概率分布
1．正态分布N (m,s 2 )
密度函数：p(x)
2. 区间估计：构造两个函数 i1 ( X1，X2，…，Xn）和 i2 ( X1，X2，…， Xn），把（ i1 , i2 ）作为参数 i 的区间估计.
一、点估计的求法
(一）矩估计法
假设总体分布中共含有 k 个参数，他们往往是一些原 点矩或一些原点矩的函数，例如，数学期望是一阶原点矩， 方差是二阶原点矩与一阶原点矩平方之差等.因此，要想估计
总体的某些参数 i （i=1，2，…，k），由于 k 个参数一定可以
表为不超过 k 阶原点矩的函数，很自然就会想到用样本的 r 阶原点矩去估计总体的 r 阶原点矩，用样本的一些原点 矩的函数去估计总体的相应的一些原点矩的函数，再将 k 个 参数反解出来，从而求出各个参数的估计值.这就是矩估计法， 它是最简单的一种参数估计法.
(二）极大似然估计法
极大似然法的想法是: 若抽样的结果得到样本观测值 x1,x2,…,xn, 则我们应当选取参数 i 的
值,使这组样本观测值出现的可能性最大.即构造似然函数：
L(1, 2 ,, k ) P( X1 x1, X 2 x2 ,, X n xn ) P( X1 x1 )P( X 2 x2 )P( X n xn )
Xn）（i=1，2，…，k）去估计总体 X 中的某些参数（或数字特征） i（i=1，
2，…，k）.这样的统计量称为估计量.
1. 点估计：构造（X1，X2，…，Xn）的函数ˆi ( X1，X2，…，Xn） 作为参数 i 的点估计量，称统计量ˆi 为总体 X 参数 i 的点估计量.
据，因而峰度可用作衡量偏离正态分布的尺度之一.
4.
k 阶原点矩：Vk
1 n
n i 1
X
k i
k 阶中心矩：U k
1 n
n
(Xi
i 1
X )k
二、分布函数的近似求法
1.整理资料： 把样本值 x1，x2，…，xn 进行分组，先将它们依大小次序排列，
得
x1*
x2*
x
* n
.在包含
[
x1*
,
xn*
]
1 n
n i 1
Xi
中位数：将数据由小到大排序后位于中间位置的那个数值.
2. 表示变异程度的统计量—标准差、方差和极差.
标准差： s
[ 1 n 1
n i1
(Xi
1
X )2 ]2
它是各个数据与均值偏离程度的度量.
方差：标准差的平方.
极差：样本中最大值与最小值之差.
3. 表示分布形状的统计量—偏度和峰度
的区间[a，b]内插入一些等分点：
a
x1'
x2'
xn'
b,
注意要使每一个区间
(
x
' i
,
xi'
1
]
（i=1，2，…，n-1）
内都有样本观测值 xi（i=1，2，…，n-1）落入其中.
2.求出各组的频数和频率：统计出样本观测值在每个区间
(
xi'
,
x' i 1
]
中出
现的次数 ni ，它就是这区间或这组的频数.计算频率
0.15
0.1
0.05
0
-4
-2
0
2
4
6
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2. 2 分布 2 (n)
若随机变量 X1，X2，…，Xn 相互独立，都 服从标准正态分布 N（0，1），则随机变量
Y=
X
2 1
X
2 2
X
2 n
服从自由度为 n 的 2 分布，记为 Y~ 2 （n）.
Y 的均值为 n，方差为 2n.
0.16
0.14
0.12
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
4. F 分布 F（n1，n2）
若 X~ 2 （n1），Y~ 2 （n2），且相互独立，则随机变量
X
F n1 Y
n2
服从自由度为（n1，n2）的 F 分布，记作 F~ F（n1，n2）.
由 F 分布的定义可以得到 F 分布的 一个重要性质：
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
5
10
15
20
3. t 分布 t（n）
若 X~N（0，1），Y~ 2 （n），且相互独
立，则随机变量
T X Y
n
服从自由度为 n 的 t 分布，记为 T~t（n）. t（20）分布的密度函数曲线和 N（0，1）的
曲线形状相似.理论上 n 时，T~t（n） N（0，1）.
若 F~ F（n1，n2），则
1 F
~
F (n2 , n1 )
F（10，50）分布的密度函数曲线
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
返回
无论总体 X 的分布函数 F（x；1, 2 ,, k ）的类型已知或未知，我
们总是需要去估计某些未知参数或数字特征，这就是参数估计问题.即参
n
p(x1,1, ,k ) p( x2 ,1, ,k ) p( xn ,1, ,k ) p( xi ,1, ,k ) i 1
数学建模与数学实验
数据的统计描述和分析
实验目的
1．直观了解统计基本内容. 2．掌握用数学软件包求解统计问题.
实验内容
1．统计的基本理论. 2．用数学软件包求解统计问题. 3．实验作业.
数
据
统计的基本概念
的
统
计
参数估计
描
述
和
假设检验
分
析
一、统计量
1. 表示位置的统计量—平均值和中位数.
平均值（或均值，数学期望）： X
偏度： g1
1 s3
n
(Xi
i 1
X )3
峰度： g2
1 s4
n
(Xi
i 1
X)4
偏度反映分布的对称性，g1 >0 称为右偏态，此时数据位于均值 右边的比位于左边的多；g1 <0 称为左偏态，情况相反；而 g1 接近 0 则可认为分布是对称的.
峰度是分布形状的另一种度量，正态分布的峰度为 3，若 g2 比 3 大很多，表示分布有沉重的尾巴，说明样本中含有较多远离均值的数
1
( xm )2
e 2s 2 分布函数：F (x)
2p s
其中 m 为均值，s 2 为方差， x .
1
e dy x
( ym)2 2s 2
2ps
标准正态分布：N（0，1）
密度函数
j(x)
1
x2
e2
2p
分布函数
F(x)
1
x
y2
e 2 dy
2p
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
fi
ni n
.
3.作频率直方图：在直角坐标系的横轴上，标出
x1'
,
x
' 2
,
,
x
' n
各点，分别以
(
xi'
,
x' i 1
]
为底边，作高为
fi xi'
的矩形， xi'
xi'1 xi' , i 1,2,, n 1,即得
频率直方图.
三、几个在统计中常用的概率分布
1．正态分布N (m,s 2 )
密度函数：p(x)
2. 区间估计：构造两个函数 i1 ( X1，X2，…，Xn）和 i2 ( X1，X2，…， Xn），把（ i1 , i2 ）作为参数 i 的区间估计.
一、点估计的求法
(一）矩估计法
假设总体分布中共含有 k 个参数，他们往往是一些原 点矩或一些原点矩的函数，例如，数学期望是一阶原点矩， 方差是二阶原点矩与一阶原点矩平方之差等.因此，要想估计
总体的某些参数 i （i=1，2，…，k），由于 k 个参数一定可以
表为不超过 k 阶原点矩的函数，很自然就会想到用样本的 r 阶原点矩去估计总体的 r 阶原点矩，用样本的一些原点 矩的函数去估计总体的相应的一些原点矩的函数，再将 k 个 参数反解出来，从而求出各个参数的估计值.这就是矩估计法， 它是最简单的一种参数估计法.
(二）极大似然估计法
极大似然法的想法是: 若抽样的结果得到样本观测值 x1,x2,…,xn, 则我们应当选取参数 i 的
值,使这组样本观测值出现的可能性最大.即构造似然函数：
L(1, 2 ,, k ) P( X1 x1, X 2 x2 ,, X n xn ) P( X1 x1 )P( X 2 x2 )P( X n xn )