线性代数讲义 (11)

的一切解．
证 对增广矩阵 A进行初等变换，
方程组的增广矩阵为
13
1 1 0 0 0 a1
0 1 1 0 0 a2
A 0
0
1
1
0
a3
0 0 0 1 1 a4
1 0 0 0 1 a5
将 1，2，3，4各行全 加到第5行，得
1 1 0 0 0 a1
0 1 1 0 0 a2
1 1 1 1 1 2
A1 1 ~1 1
1
1 2
1
1
1
16
1 1
2
~ 0 1 1 2
0
1
1 2
1
3
1 1
~ 0 1 1
2
2
0
0
2 2
1
2
3
1 1
0 1 1
2
(1 )
0
0
(1 )(2 )
(1
)(1
)2
x1 a1 a2 a3 a4 c
x2 a2 a3 a4 c x3 a3 a4 c
( c 为任意实数).
x4 a4 c
15
例4 设有线性方程组
x1 x2 x1 x2
x3 x3
1
x1 x2 x3 2
问取何值时,有唯一解? 无解？有无穷多个解?
解一 对增广矩阵 A ( A,b) 作初等行变换，
x2 1x2 0x4 0 x3 0x2 2x4 1 2
x4 0 x2 1x4 0
10
所以方程组的通解为
x1 1 1 1 2
x2 x3 x4
c1
1 0 0
c2
0 2 1
0 12 0
.
(其中c1,c2 R)
注意： 线性方程组 Ax b的通解表达式不唯一！
2
定理1 n 元非齐次线性方程组 Amn x b 有解
的充分必要条件是 r( A) r( A)；且在有无穷 多解时，其通解表达式中含有n r( A)个任意参数。
证 必要性．设方程组 Ax b 有解, (反证法)
设r (A)< r ( A),
则 A 的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛 盾方程０＝１，
~
0
0
1 1 0
a3
0 0 0 1 1 a4
5
0 0 0 0 0 ai
i1
有解
r(A) r(A)
5
ai 0
i 1
14
5
方程组有解的充要条件是 ai 0.
i 1
x1 x2 a1
由于原方程组等价于方程组
x2 x3
x3 x4
a2 a3
由此得通解：
x4 x5 a4
2x1 x2 2x3 2 x4 3.
解 对增广矩阵 A 进行初等变换，
5
1 A 3
2 1
3 5
1 3
1 2
r12(3) 1 r13(2) 0
2 5
3 4
1 0
1 1
2 1 2 2 3 r23(1) 0 50 04 0 12
显然，r( A) 2 r( A) 3, 故方程组无解．
第三节 非齐次线性方程组
一、非齐次线性方程组有解的判定 二、非齐次线性方程组的解法 三、小结、思考题
1
一、非齐次线性方程组有解的判定条件
问题：如何利用系数矩阵 A 和增广矩阵 A 的秩， 讨论线性方程组 Ax b 的解． 回答 : 与 Ax 0一定有解不同，非齐次线性方程 组
Ax b (b 0) 不一定有解，而是有
1
, 2
x3
( 1)2
2Hale Waihona Puke Baidu
.
(2) 当 2时，方程组无解； (3) 当 1时，方程组有无穷多解，且通解为
x1 1 1 1 x2 c1 1 c2 0 0 x3 0 1 0
(c1, c2 R)
21
三、小结
对非齐次线性方程组 Amn x b, (1) r( A) r( A) n 方程组有唯一解； (2) r( A) r( A) < n 方程组有无穷多解； (3) r( A) r( A) 方程组无解.
(其中c1,c2 R)
c2
,
x2 x3 x4
c1
1 0 0
c2
1 2 1 1 2
1 4 0 4
.
12
x1 x2 a1
例3
证明方程组
x2 x3
x3 x4
a2 a3
有解的充要条件
x4
x5
a4
x5 x1 a5
是a1 a2 a3 a4 a5 0. 在有解的情况下，求出它
x3 0 1 0
18
(2) 当 1时,
1
A ~ 0
0
1
1
0
1
~ 0
0
2
1
(1 )
(1 )(2 )
(1
)(1
)2
1
2
1 1
0
(2 )
(1
)2
这时又分两种情形：
1) 2时, r(A) r(A) 3,方程组有唯一解:
x1
1 2
,
x2
1
, 2
17
(1) 当 1时,
1 1 1 1 A ~ 0 0 0 0
0 0 0 0
由r(A) r(A) 1 < 3, 知方程组有无穷多解.
且其通解为
x1 x2
1 x2
x2
x3
x3 x3
即
x1 1 1 1 x2 c1 1 c2 0 0
(c1, c2 R)
定理1更常用的描述是：
此乃第三章的 精华所在
定理1‘ 对n 元非齐次线性方程组 Amn x b ，
(1) r( A) r( A) n 方程组有唯一解；
(2) r( A) r( A) < n 方程组有无穷多解；
(3) r( A) r( A) 方程组无解.
6
容易看出，n个未知数n个方程的线性方程组 时使用的克拉默法则只是定理 1的必要条件. 故 而定理 1是克拉默法则的一个重要推广.
证毕
4
推论 矩阵方程 AX B有解的充分必要条件是 r( A) r( A, B)
由上一节，我们知道对线性方程组Ax b的 求解，主要是对增广矩阵A 进行初等行变换而将 其化为行最简形矩阵.
例1 求解非齐次线性方程组
x1 3 x1
2
x2 x2
3x3 5x3
x4 3 x4
1,
2,
解 对增广矩阵 A进行初等变换
8
1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 A 1 1 1 3 1 ~ 0 0 2 4 1
1 1 2 3 1 2 0 0 1 2 1 2
1 ~ 0
1 0
1 1
1 2
0 1 2
由r( A) r( A) 2 < 4,知 方程组有无穷多解. 继续
0 0 0 0 0 化简得
1 1 0 1 1 2 A ~ 0 0 1 2 1 2
0 0 0 0 0
9
而行最简形矩阵矩阵
1 1 0 1 1 2 A ~ 0 0 1 2 1 2
0 0 0 0 0 对应同解方程组
x1 x3
x2 x4 1 2x4 1 2
2
x1 1x2 1x4 1 2
这与方程组有解相矛盾. 因此只能是 r( A) r( A).
3
充分性. 设r( A) r( A) r ( n),
则 A 的行阶梯形矩阵中含r 个非零行，
把这 r 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量,
其余n r个作为自由未知量, 并令 n r个自由未知量任意取值， 即可得方程组的一个解．
x3
( 1)2
2
.
19
2) 2时,
1 1
2
A ~ 0 1 1
0
0
(2 )
(1
)2
1 1 2 4 ~ 0 3 3 6
0 0 0 1
由 2 r(A) r(A) 3, 故方程组无解.
20
综上所述，
(1) 当 1，且 2时，方程组有唯一解；
x1
1 2
,
x2
11
例如，在本例中，从增广矩阵A的行最简形矩阵
1 1 0 1 1 2 A ~ 0 0 1 2 1 2
0 0 0 0 0
中也可取 x1, x3作为自由未知量，于是得同解
方程组
x2 x4 x1 1 2x4 x3 1 2
2
x1 1 0 0
若令x1 c1, x3 则得通解为
22
思考题
能否利用“行列式”法求下列非齐次线性方程组的解情况
2 x1 x1
2
x2 x2
x3 x3
2
x1 x2 2 x3 2
23
思考题解答
不能！因为其系数矩阵A虽然是个方阵，但
| A | 0！无法展开讨论。所以，本题只能使用 初等行变换法。
24
结论： 为求解非齐次线性方程组 Ax b，只需将增广
矩阵 A 化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有
解．若有解，再将行阶梯形矩阵化成行最简形 矩阵，便可写出其通解。
7
二、线性方程组的解法
例2 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
x2 x2
x3 x3
x4 0 3x4 1
x1 x2 2 x3 3 x4 1 2