高一数学 课堂训练10-1
高中数学课时作业(人教B版必修第一册)课时作业(一) 集合及其表示方法
课时作业(一) 集合及其表示方法一、选择题1．有下列说法：①{1，2}与{2，1}不同；②0∈{x |x 2＋x ＝0}；③方程(x ＋1)(x －2)2＝0的所有解的集合可表示为{}－1，2，2 ；④集合{}x |－3<x <4 是有限集．其中正确的说法是( )A ．只有①和④B ．只有②和③C ．只有②D ．四种说法都不对2．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的一个是( )A ．{x |x 是小于18的正奇数}B ．{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且k <5}C ．{x |x ＝4t －3，t ∈N ，且t ≤5}D ．{x |x ＝4s －3，s ∈N *，且s ≤5}3．已知集合A 含有三个元素2，4，6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，那么a 为( )A ．2B ．2或4C ．4D ．04．(多选)下列集合的表示方法不正确的是( )A ．第二、四象限内的点集可表示为{(x ，y )|xy ≤0，x ∈R ，y ∈R }B. 不等式x －1＜4的解集为{x ＜5}C ．{全体整数}D ．实数集可表示为R二、填空题5．给出下列关系：(1)13∈R ；(2)5 ∈Q ；(3)－3∉Z ；(4)－3 ∉N ，其中正确的是________． 6．用区间表示下列数集．(1){x |x ≥2}＝________；(2){x |3<x ≤4}＝________；(3){x |x >1且x ≠2}＝________．7．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈N ，126－x ∈N ，用列举法表示集合A 为________． 三、解答题8．若集合A ＝{x |ax 2＋1＝0，x ∈R }不含有任何元素，求实数a 的取值范围．(用区间表示)9．用适当的方法表示下列集合．(1)方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解集；(2)在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合；(3)绝对值不大于2的所有整数；(4)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1 的解； (5)函数y ＝1x图象上的所有点． [尖子生题库]10．下列三个集合：①{x |y ＝x 2＋1}；②{y |y ＝x 2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？。
2024_2025学年新教材高中数学课时作业十基本不等式北师大版必修第一册
课时作业(十) 基本不等式[练基础]1．设0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( ) A.12 B ．b C ．2ab D ．a 2＋b 22．给出下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0，b >0；④a <0，b <0，其中能使b a ＋a b ≥2成立的条件有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．[多选题]若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≥8 B.1ab ≥14C.ab ≥2D.1a ＋1b≤1 5．已知a >b >c ，则a －b b －c 与a －c 2的大小关系是________． 6．已知x >0，y >0，z >0且x ＋y ＋z ＝1，求证：x ＋y ＋z ≤ 3.[提实力]7．[多选题]若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式成立的是( )A ．ab ≤1 B.a ＋b ≤ 2C ．a 2＋b 2≥2 D.1a ＋1b≥2 8．若正数a ，b 满意ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为________；a ＋b 的取值范围为________．9．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab≥8； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.[战疑难]10．若两个正实数x ，y 满意4x ＋1y ＝1，且不等式x ＋4y >m 2－6m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．课时作业(十) 基本不等式1．解析：∵0<a<b ，∴ab<⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，∴ab<14，∴2ab<12. ∵a2＋b22>a ＋b 2>0，∴ a2＋b22>12，∴a2＋b2>12. ∵b －(a2＋b2)＝(b －b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab －a2＝a(b －a)>0，∴b>a2＋b2，∴b 最大．故选B.答案：B2．解析：当b a ，a b 均为正数时，b a ＋a b≥2，故只需a 、b 同号即可，∴①③④均可以．答案：C3．解析：∵a>b>0，∴a2＋b2>2ab ，充分性成立，ab<a2＋b22⇒a ≠b ，a ，b ∈R ，必要性不成立，故选A.答案：A4．解析：a2＋b2≥a ＋b 22＝8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，A 正确；a ＋b ＝4≥2ab ，ab ≤4，1ab ≥14，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，B 正确，C 错误；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab≥1，D 错误．故选AB.答案：AB5．解析：∵a>b>c ，∴a －b>0，b －c>0.∴a －c 2＝a －b ＋b －c 2≥a －b b －c ，当且仅当a －b ＝b －c 即2b ＝a ＋c 时取等号． 答案：a －b b －c ≤a －c 2 6．证明：∵x>0，y>0，z>0，∴x ＋y ≥2xy ，x ＋z ≥2xz ，y ＋z ≥2yz ，∴2(x ＋y ＋z)≥2(xy ＋xz ＋yz)．∵x ＋y ＋z ＝1，∴xy ＋xz ＋yz ≤1成立．∴x ＋y ＋z ＋2(xy ＋xz ＋yz)≤3，即(x ＋y ＋z)2≤3.∴x ＋y ＋z ≤ 3.当且仅当x ＝y ＝z ＝13时，等号成立． 7．解析：∵ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，A 正确；(a ＋b)2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤2＋a ＋b ＝4，∴a ＋b ≤2，B 错误；a2＋b2＝(a ＋b)2－ab ≥22－2×1＝2，C 正确；1a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b)＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥1＋b a ·a b＝2，D 正确．故选ACD. 答案：ACD8．解析：∵ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，令t ＝ab<0，∴t2－2t －3≥0，∴(t －3)(t ＋1)≥0.∴t ≥3即ab ≥3，∴ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，又∵ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＋3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 2. 令t ＝a ＋b>0，∴t2－4t －12≥0，∴(t －6)(t ＋2)≥0.∴t ≥6即a ＋b ≥6，当且仅当a ＝b ＝3时取等号．答案：[9，＋∞)，[6，＋∞)9．证明：(1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ， ∵a ＋b ＝1，a>0，b>0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)． (2)证法一：∵a>0，b>0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理，1＋1b ＝2＋a b， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)． 证法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab . 由(1)知，1a ＋1b ＋1ab≥8， 故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立． 10．解析：∵4x ＋1y ＝1， ∴x ＋4y ＝(x ＋4y)⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1y ＝4＋16y x ＋x y＋4≥8＋216y x ·x y ＝16.当且仅当x ＝16y ，即y ＝4且x ＝64时取等号．∵x ＋4y>m2－6m 恒成立，则16>m2－6m ，解得－2<m<8.答案：(－2,8)。
精选题库高一数学 课堂训练10-7
第10章 第7节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2011·辽宁]从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A. 18 B. 14 C. 25 D. 12答案：B解析：∵P (A )＝C 22＋C 23C 25＝410，P (AB )＝C 22C 25＝110， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝14.2．[2012·浙江温州]某人射击一次击中的概率为35，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为( )A. 81125B. 54125C. 36125D. 27125答案：A解析：该人3次射击，恰有两次击中目标的概率是P 1＝C 23·(35)2·25， 三次全部击中目标的概率是P 2＝C 33·(35)3，所以此人至少有两次击中目标的概率是 P ＝P 1＋P 2＝C 23·(35)2·25＋C 33·(35)3＝81125. 3．设随机变量X 服从二项分布X ～B (6，12)，则P (X ＝3)等于( )A.516B.316 C.58 D.38答案：A解析：P (X ＝3)＝C 36(12)3×(1－12)3＝516.4．[2011·湖北]如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8.则系统正常工作的概率为( )A. 0.960B. 0.864C. 0.720D. 0.576答案：B解析：由已知P ＝P (K A 1A 2)＋P (K A 2A 1)＋P (KA 1A 2)＝0.9×0.2×0.8＋0.9×0.2×0.8＋0.9×0.8×0.8＝0.864.故选B.5．[2012·潍坊质检]箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( )A. 16625 B. 96625 C. 624625D. 4625 答案：B解析：依题意得某人能够获奖的概率为1＋5C 26＝25(注：当摸的两个球中有标号为4的球时，此时两球的号码之积是4的倍数，有5种情况；当摸的两个球中有标号均不是4的球时，此时要使两球的号码之积是4的倍数，只有1种情况)，因此所求概率等于C 34·(25)3·(1－25)＝96625，选B.6．一场5局3胜制的乒乓球对抗赛，当甲运动员先胜2局时，比赛因故中断．已知甲、乙水平相当，每局甲、乙胜的概率都为12，则这场比赛的奖金分配(甲∶乙)应为( )A ．6∶1B ．7∶1C ．3∶1D ．4∶1答案：B解析：奖金分配比即为甲乙取胜的概率比．甲前两局已胜，甲胜有3种情况①甲第三局胜为A 1，P (A 1)＝12，②甲第三局负第四局胜为A 2，P (A 2)＝12×12＝14，③第三局、第四局甲负，第五局甲胜为A 3，P (A 3)＝12×12×12＝18.所以甲胜的概率P ＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝78，乙胜的概率则为18，所以选B.二、填空题(每小题7分，共21分)7．[2012·陕西西安]某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于__________．答案：0.128解析：依题意可知，该选手的第二个问题必答错，第三、四个问题必答对，故该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率P ＝1×0.2×0.8×0.8＝0.128.8．一次测量中，出现正误差和负误差的概率均为12，那么在5次测量中，至少3次出现正误差的概率是______．答案：12解析：由题意得在5次测量中，至少3次出现正误差的概率等于C 35·(12)5＋C 45·(12)5＋C 55·(12)5＝12. 9．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关． 答案：②④解析：对于①，P (B )＝C 15C 110×C 15C 111＋C 15C 110×C 14C 111＝922；对于②，P (B |A 1)＝C 15C 111＝511；对于③，由P (A 1)＝12，P (B )＝922，P (A 1·B )＝522知P (A 1·B )≠P (A 1)·P (B )．故事件B 与事件A 1不是相互独立事件；对于④，从甲罐中只取一球，若取出红就不可能是其他，故两两互斥； ⑤由①可算得．三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．[2010·天津]某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率； (3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分．若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列．解：(1)设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则X ～B ⎝⎛⎭⎫5，23.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率P (X ＝2)＝C 25×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－233＝40243. (2)设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5) ＝⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫132＋13×⎝⎛⎭⎫233×13＋⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233＝881. (3)由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6. P (ξ＝0)＝P (A 1 A 2 A 3)＝⎝⎛⎭⎫133＝127；P (ξ＝1)＝P (A 1A 2 A 3)＋P (A 1 A 2A 3)＋P (A 1 A 2A 3) ＝23×⎝⎛⎭⎫132＋13×23×13＋⎝⎛⎭⎫132×23＝29； P (ξ＝2)＝P (A 1A 2A 3)＝23×13×23＝427；P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝⎝⎛⎭⎫232×13＋13×⎝⎛⎭⎫232＝827； P (ξ＝6)＝P (A 1A 2A 3)＝⎝⎛⎭⎫233＝827. 所以ξ的分布列是11.[2012·击击中气球的概率分别为34、45，且每次射击相互之间没有影响．(1)若甲单独射击3次，求恰好两次击中气球的概率； (2)若两人各射击2次，求至少3次击中气球的概率．解：(1)甲射击3次，可以看作三次独立重复试验，则恰好两次击中气球的概率P ＝C 23(34)2·14＝2764. (2)两人各射击2次，至少3次击中气球含两种情况：记3次击中气球为事件A ， P (A )＝(34)2×C 12×45×15＋C 12×34×14×(45)2＝2150； 记4次击中气球为事件B ，P (B )＝(34)2×(45)2＝925；所求概率为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝2150＋925＝3950.12．[2011·山东]红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘，已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)求ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.解：(1)红队至少两名队员获胜可分为四类，即甲乙、甲丙、乙丙，甲乙丙胜， ∴P ＝0.6×0.5×0.5×2＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55. (2)ξ的可能取值为0、1、2、3，且 P (ξ＝0)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P (ξ＝1)＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5×2＝0.35， P (ξ＝2)＝0.6×0.5×0.5×2＋0.4×0.5×0.5＝0.4， P (ξ＝3)＝0.6×0.5×0.5＝0.15, ∴ξ的分布列为∴数学期望Eξ＝0×。
高一数学 课堂训练9-1
第9章 第1节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1．给出以下四个问题，①输入一个数x ，输出它的绝对值；②求面积为6的正方形的周长；③求三个数a ，b ，c 中的最大数；④求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1 (x ≤0)x 2＋1 (x >0)的函数值．其中需要用条件结构来描述算法的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：C解析：其中①③④都需要对条件作出判断，都需要用条件结构，②用顺序结构即可． 2．[2012·山东信息导航]有这样的算法： 第一步：设i 的值为1； 第二步：设sum 的值为0；第三步：如果i ≤100执行第四步，否则转去执行第七步； 第四步：计算sum ＋(i ＋1)/i ，并将结果代替sum ； 第五步：计算i ＋1，并将结果代替i ； 第六步：转去执行第三步；第七步：输出sum 的值，并结束算法． 这个算法是( )A ．求2＋32＋43＋…＋10099的和B ．求2＋32＋43＋…＋101100C ．求1＋12＋23＋…＋99100D ．求1＋21＋32＋43＋…＋10099的和答案：B解析：当i ＝1时，sum ＝0＋21＝2；当i ＝2时，sum ＝2＋32；当i ＝3时，sum ＝2＋32＋43；…；当i ＝100时，sum ＝2＋32＋43＋…＋101100；当i ＝101时，不符合条件i ≤100，输出sum 的值并结束．3．若f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，定义由程序框图表述的运算(函数f －1(x )是函数f (x )的反函数)，若输入x ＝－2时，输出y ＝14，则输入x ＝18时，输出y ＝__________.答案：－3解析：当x ＝－2时，y ＝14，∴a ＝2，∴f －1(x )＝log 2x . 当x ＝18时，y ＝－3.4．[2012·河南开封]给出30个数2,3,5,8,12,17，…，要计算这30个数的和，该问题的程序框图如图：则框图中判断框①和执行框②应是 ( )A. i ≤30；p ＝p ＋i －1B. i ≤31；p ＝p ＋i ＋1C. i ≤30；p ＝p ＋iD. i ≤31；p ＝p ＋i 答案：C解析：由题意和循环控制变量的初始值知判断框①中应为i ≤30.程序框图第一次运行时，S ＝2＋0＝2，p ＝2＋1＝3，i ＝1＋1＝2；第二次运行时，S ＝3＋2，p ＝3＋2＝5，i ＝2＋1＝3；第三次运行时，S ＝5＋3＋2，p ＝5＋3＝8，i ＝3＋1＝4；…，由此可知执行框②中应为p ＝p ＋i .故选C.5．[2011·课标全国]执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是( )A ．120B ．720C ．1440D ．5040 答案：B解析：该框图的功能是计算1×2×3×…×N 的值，因为N ＝6，所以输出p 的值为1×2×3×4×5×6＝720.6．[2012·山东济宁]某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝|x |xC ．f (x )＝e x －e －xe x ＋e －xD ．f (x )＝1＋sin x ＋cos x1＋sin x －cos x答案：C解析：根据流程图可知输出的函数为奇函数，并且存在零点．经验证：选项A.f (x )＝x 2为偶函数；选项B.f (x )＝|x |x 不存在零点；选项C.f (x )的定义域为全体实数，f (－x )＝e －x －e x e －x ＋e x ＝－f (x )，因此为奇函数，并且由f (x )＝e x －e －x e x ＋e －x ＝0可得x ＝0，存在零点；选项D.f (x )＝1＋sin x ＋cos x1＋sin x －cos x不具有奇偶性．二、填空题(每小题7分，共21分)7．阅读如图所示的程序框图，若运行该程序后输出的y 值为18，则输入的实数x 的值为________．答案：34解析：由流程图可知：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ， x ≤0，2x 2－1， x >0.当x ≤0时，由(12)x ＝18，得x ＝3，∴无解．当x >0时，由2x 2－1＝18，得x ＝34.符合题意．8. [2011·江西]下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是__________．答案：10解析：s ＝0，n ＝1时，s 1＝0＋(－1)1＋1＝0. n ＝2时，s 2＝0＋(－1)2＋2＝3. n ＝3时，s 3＝3＋(－1)3＋3＝5.n ＝4时，s 4＝5＋(－1)4＋4＝10>9.故输出s ＝10. 9. 执行如图所示的程序框图，则输出的t ＝________.答案：120解析：本题考查了程序框图的有关知识．题中输出的t 值是一个逐次累乘的结果，逐步计算直到不满足判断条件即循环结束为止．因为t ＝t ＋t ·k ＝t (1＋k )，所以第一次运行后t ＝1×(1＋1)＝1×2＝2，k ＝2；第二次运行后t ＝2×(2＋1)＝1×2×3＝6，k ＝3；第三次运行后t ＝6×(3＋1)＝1×2×3×4＝24，k ＝4；第四次运行后t ＝24×(4＋1)＝1×2×3×4×5＝120>90，k ＝5，至此循环结束．输出t ＝120.三、解答题(10、11题12分、12题13分) 10. 下面给出一个问题的算法： (1)给定一个实数x .(2)若x ≤2，则执行第三步，否则执行第四步． (3)计算f (x )＝－2x －1，得到f (x )． (4)计算f (x )＝x 2－6x ＋3，得到f (x )． 问题：(1)这个算法解决的是什么问题？ (2)当给定的x 值为多大时，得到的数值最小？解：(1)这个算法解决的问题是求分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ≤2x 2－6x ＋3，x >2的函数值的问题．(2)当x ≤2时，f (x )≥f (2)＝－5；当x >2时，f (x )＝x 2－6x ＋3＝(x －3)2－6≥－6； 故当x ＝3时，f (x )取得最小值－6.所以当给定的x 值为3时，得到的数值最小．11. 在标有1,2,3,4,5,6六个号码的小球中，有一个是最重的，试画出找出此球的算法的程序框图． 解：找出最重球的算法框图如下图所示．12．已知数列{a n }的各项均为正数，观察程序框图，若k ＝5，k ＝10时，分别有S ＝511和S ＝1021.(1)试求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝2a n ，求b 1＋b 2＋…＋b m 的值． 解：由框图可知 S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k a k ＋1， ∵数列{a n }是等差数列，设公差为d ，则有 1a k a k ＋1＝1d (1a k －1a k ＋1)， ∴S ＝1d (1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a k －1a k ＋1)＝1d (1a 1－1a k ＋1)．(1)由题意可知，k ＝5时，S ＝511；k ＝10时，S ＝1021.∴⎩⎨⎧1d (1a 1－1a 6)＝511，1d (1a 1－1a 11)＝1021，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1d ＝－2(舍去)． 故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. (2)由(1)可知：b n ＝2a n ＝22n －1， ∴b 1＋b 2＋…＋b m ＝21＋23＋…＋22m －1 ＝2(1－4m )1－4＝23(4m－1)．。
2021-2022年人教B版(2019)高一数学上册课时同步练 第1课 集合的含义【含答案】
2021-2022年人教B 版（2019）高一数学上册课时同步练 第1课 集合的含义【含答案】一、基础巩固1．现有以下说法，其中正确的是( )①接近于0的数的全体构成一个集合；②正方体的全体构成一个集合；③未来世界的高科技产品构成一个集合；④不大于3的所有自然数构成一个集合．A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【答案】D【解析】在①中，接近于0的数的全体不能构成一个集合，故①错误；在②中，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；在③中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确．2．集合M 是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是( ) A.5∈MB ．0∉MC ．1∈MD ．－π2∈M 【答案】D 【解析】5>1，故A 错；－2<0<1，故B 错；1不小于1，故C 错；－2<－π2<1，故D 正确． 3．若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( )A ．3.14B ．－5 C.37 D.7 【答案】D【解析】由题意知a 应为无理数，故a 可以为74．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )A ．P 是由元素1，3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序数对(2,3)构成的集合D ．P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集【答案】A【解析】由于A 中P ，Q 的元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B ，C ，D 中P ，Q 的元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选A.5. 设集合M 是由不小于23的数组成的集合，a ＝11，则下列关系中正确的是( )A ．a ∈MB ．a ∉MC ．a ＝MD ．a ≠M 【答案】B【解析】因为集合M 是由不小于23的数组成的集合，a ＝11，所以a 不是集合M 中的元素，故a ∉M.6．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含有( )A ．2个元素B ．3个元素C ．4个元素D ．5个元素 【答案】A 【解析】x2＝|x|，－3x 3＝－x.当x ＝0时，它们均为0；当x>0时，它们分别为x ，－x ，x ，x ，－x ；当x<0时，它们分别为x ，－x ，－x ，－x ，－x.通过以上分析，它们最多表示两个不同的数，故此集合中元素最多含有2个．7．设集合A 是由1，k 2为元素构成的集合，则实数k 的取值范围是________．【答案】{k|k≠±1}【解析】∵1∈A ，k 2∈A ，结合集合中元素的互异性可知k 2≠1，解得k≠±1.8．设A 是由满足不等式x <6的自然数构成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值．【答案】a ＝0或1.【解析】∵a ∈A 且3a ∈A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a<6，3a<6，解得a<2.又a ∈N ， ∴a ＝0或1.二、拓展提升9．集合A 中的元素y 满足y ∈N 且y ＝－x 2＋1，若t ∈A ，则t 的值为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．小于或等于1【答案】C【解析】由y ∈N 且y ＝－x 2＋1≤1，所以y ＝0或y ＝1，所以A ＝{0，1}．又因为t ∈A ，所以t ＝0或t ＝1，故选C.10．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________.【答案】6【解析】因为集合P 中恰有三个不同元素，且元素x 满足x ∈N ，且2<x <a ，则满足条件的x 的值为3，4，5，所以a 的值是6.11．已知数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)，如果a ＝2，试求出A 中的所有元素． 【答案】－1，12，2 【解析】根据题意，由2∈A 可知，11－2＝－1∈A ； 由－1∈A 可知，11－(－1)＝12∈A ； 由12∈A 可知，11－12＝2∈A. 故集合A 中共有3个元素，它们分别是－1，12，2. 12. 定义满足“如果a ∈A ，b ∈A ，那么a ±b ∈A ，且ab ∈A ，且a b∈A (b ≠0)”的集合A 为“闭集”．试问数集N ，Z ，Q ，R 是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．【答案】数集N ，Z 不是“闭集”， 数集Q ，R 是“闭集”．【解析】(1)数集N ，Z 不是“闭集”，例如，3∈N ，2∈N ，而32＝1.5∉N ；3∈Z ，－2∈Z ，而3－2＝－1.5∉Z ，故N ，Z 不是闭集．(2)数集Q ，R 是“闭集”．由于两个有理数a 与b 的和，差，积，商，即a ±b ，ab ，a b(b ≠0)仍是有理数， 所以Q 是闭集，同理R 也是闭集．。
对数的概念++2024-2025学年高一数学(人教A版2019必修第一册)+
因此规定a>0,且a≠1.
,
概念讲解
底数不变
左右交换
1.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）54
= 625
=
（4）log 1 16 = −4
2
1 −4
( ) = 16
2
（2）2−6
=
1
64
1
log 2
C.(-4,0)∪(0,1)
B
D.(-4,1)
(-1,0)∪(0,1)
练习2：若log(1+k)(1-k)有意义，则实数k的取值范围是_________
)
04
课堂小结
课堂小结
指数
幂
a
x
以a为底N的对数
真数
N log a N x
底数
概念讲解
(1)1.1x=2，那么x可以记作x=log1.12
读作：以1.1为底2的对数
(2)常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记做lg N。
(3)自然对数：以无理数e =2.71828…为底的对数，称为自然对数，并把logeN
记做ln N。
概念讲解
思考：对数式的底数为什么a>0,且a≠1？
(1)若
,则当N为某些值时,x的值不存在.如x=log-28不存在.
(2)若
①当N≠0时,x的值不存在.如log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在.
②当N=0时,x可以是任意实数,是不唯一的,即log00有无数个值.(3)若
①当N≠1时,x的值不存在.如log13不存在.
概念讲解
(教学课件)-2024-2025学年高一年级数学必修第一册同步高效课堂系列(人教A版2019)
高一 RJ · 必修第一册
学习目标
01
理解并集和交集的含义
02
会求两个集合的并集和交集
03
能用Venn图表达集合的关系和运算
并集
观察下面的集合，集合, 与集合之间有什么关系？
（1） = 1,3,5 ， = 2,4,6 ， = 1,2,3,4,5,6 ;
（2） = {│是有理数}， = {│是无理数}， = {│是实数}
（2） = < −1或 > 2 , = −3 < < 5 ，
∪ =
交集
概念剖析
交集： ∩ = {| ∈ 且 ∈ }
=∩
概念剖析
1 4
2
5 3
4 6
8
3
9
∩ = {3，4}
∩ = {| ∈ 且 ∈ } 写出公共部分
下课啦！
THANKS
交集：
∩ = ∩ ，( ∩ ) ⊆ ，( ∩ ) ⊆ B
练一练
（1） = 1,4,6,7,10 , = 2,3,4,5,7,8,10 ，则 ∩ = 4,7,10
（2） = −3, −1,3,5,9 , = −1 < < 6 ，求 ∩ = 3,5
（1）集合 = 2 + 2 − 3 = 0 ， = −3, −1,2,3 ，
则 ∩ =
（2） =
−3
.
, 4 + = 6 ， =
1,2
则 ∩ =
.
பைடு நூலகம், 3 + 2 = 7 ，
练一练
写出下列集合的交集
高一数学 课堂训练10-3
第10章第3节时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2012·广东广州]口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中红球有45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23，则摸出黑球的概率是()A. 0.31B. 0.32C. 0.33D. 0.36答案：B解析：解法一：白球的个数为0.23×100＝23，∴黑球的个数为100－45－23＝32.∴摸出黑球的概率是32100＝0.32.解法二：摸出红球的概率为45100＝0.45，∴摸出黑球的概率是1－0.45－0.23＝0.32.2. [2012·安徽合肥]从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品)，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为()A. 0.7B. 0.65C. 0.35D. 0.3答案：C解析：事件“抽到的不是一等品”与事件A是对立事件，由于P(A)＝0.65，所以由对立事件的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.3．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是()A.112B.110C.15D.310答案：D解析：随机从袋子中取2个小球的基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共有10种，其中数字之和为3或6的有(1,2)，(1,5)，(2,4)，∴数字之和为3或6的概率是P＝310.4．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则log2X Y＝1的概率为()A.16B.536C.112D.12答案：C解析：由log 2X Y ＝1得Y ＝2X ，满足条件的X 、Y 有3对，而骰子朝上的点数X 、Y 共有6×6＝36对， ∴概率为336＝1125．从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个号码中任意抽取3个号码，则所抽取的3个号码中，仅有两个号码是连续整数的概率为( )A.715B.815C.813D.713答案：A解析：“3个号码中，仅有两个号码是连续整数”可以分两步得到．先抽取两个连续号码，有9种不同的情况：(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，然后再从剩下的号码中抽取一个与前两个号码不相邻的号码；若抽取的前两个号码是(1,2)或(9,10)，则第3个号码有7种不同的抽法；若抽取的前两个号码是(2,3)，(3,4)(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)中的一种，则第3个号码有6种不同的抽法．所以满足条件的抽法共有2×7＋7×6＝56种，故所求的概率P ＝56C 310＝715，选A.6. 甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则下列说法正确的是( )A. 甲获胜的概率是16B. 甲不输的概率是12C. 乙输了的概率是23D. 乙不输的概率是12答案：A解析：由于事件A ：“两人和棋”，B ：“乙获胜”，C ：“甲获胜”之间两两互斥，而P (A )＝12，P (B )＝13，所以P (C )＝1－P (A )－P (B )＝16，而甲不输的概率应为P (A ＋C )＝23，乙输了的概率为P (C )＝16，乙不输的概率为P (A ＋B )＝56，故只有A 项正确．二、填空题(每小题7分，共21分)7．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．答案：0.95解析：由对立事件的性质知在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为1－(1－0.8)(1－0.75)＝0.95. 8．如图，有三条绳子穿过一片木板，姊妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一条绳子，若每边每条绳子被选中的机会相等，则两人选到的不是同一条绳子的概率为__________．答案：23解析：姊妹两人每人都各有3种选择，因此两人所选择绳子的情况一共有3×3＝9种，若两人选到的是同一条绳子，则有3种情况，其概率为39＝13，因此两人选到的不是同一条绳子的概率为1－13＝23.9．[2012·浙江金华]已知甲盒内有外形和质地相同的1个红球和2个黑球，乙盒内有外形和质地相同的2个红球和2个黑球．现从甲、乙两个盒内各取1个球，则取出的2个球中恰有1个红球的概率是__________．答案：12解析：从甲、乙两个盒内各取1个球，共有3×4＝12种不同的取法．其中，从甲盒内取1个红球，从乙盒内取1个黑球，有2种取法；从甲盒内取1个黑球，从乙盒内取1个红球，有4种取法．故取出的2个球中恰有1个红球的概率是P ＝2＋412＝12.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．甲、乙两人各自抛掷骰子一次，规定：若两个骰子朝上的点数之积为偶数且这个积不小于m (m 为正整数)，则算甲赢，否则算乙赢．(1)当m ＝10时，这个输赢的规则是否合理？通过计算说明理由；(2)是否存在正整数m ，使此规则对甲、乙两人平等，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 解：甲、乙两人各抛掷骰子一次的总的基本事件的个数是36，点数之积的情况如图所示．(1)当m ＝10时，由图可以知道甲赢所包含的基本事件的个数是16个，故甲赢的概率是1636，那么乙赢的概率是2036，故此规则对两人来说不合理．(2)存在这样的正整数m ，且m ＝7或m ＝8.当m ＝7或m ＝8时，由图知甲赢所含有的基本事件的个数恰好为18个，这时甲、乙两人赢的概率都是12，故此时的规则对甲、乙两人平等.11. 某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：(1)(2)求派出医生至少2人的概率．分析：本题主要考查互斥事件的概率，首先设出事件，然后根据图表写出每个事件发生的概率，最后利用互斥事件的概率公式计算求解．解：记事件A ：“不派出医生”， 事件B ：“派出1名医生”， 事件C ：“派出2名医生”， 事件D ：“派出3名医生”， 事件E ：“派出4名医生”， 事件F ：“派出不少于5名医生”． 事件A ，B ，C ，D ，E ，F 彼此互斥，且P (A )＝0.1，P (B )＝0.16，P (C )＝0.3，P (D )＝0.2，P (E )＝0.2，P (F )＝0.04. (1)“派出医生至多2人”的概率为 P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝ 0．1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)“派出医生至少2人”的概率为P (C ＋D ＋E ＋F )＝P (C )＋P (D )＋P (E )＋P (F )＝ 0．3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74. 或1－P (A ＋B )＝1－0.1－0.16＝0.74.12．袋中有12个相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512.(1)求得到黑球、得到黄球及得到绿球的概率； (2)求得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率．解：(1)从袋中任取一球，记事件A 为“得到红球”，B 为“得到黑球”，C 为“得到黄球”，D 为“得到绿球”，则事件A ，B ，C ，D 两两互斥．由已知P (A )＝13，P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝512，P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝512.∴P (B ＋C ＋D )＝1－P (A )＝1－13＝23.∵B 与C ＋D ，B ＋C 与D 也互斥，∴P (B )＝P (B ＋C ＋D )－P (C ＋D )＝23－512＝14P (D )＝P (B ＋C ＋D )－P (B ＋C )＝23－512＝14，P (C )＝1－P (A ＋B ＋D )＝1－(P (A )＋P (B )＋P (D ))＝1－(13＋14＋14)＝1－56＝16.故得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是14，16，14(2)∵得到的球既不是黑球也不是绿球， ∴得到的球是红球或黄球，即事件A ＋C ， ∴P (A ＋C )＝P (A )＋P (C )＝13＋16＝12，故所求的概率是12.。
【高一】高一数学上册第三章课堂练习题(附答案)
【高一】高一数学上册第三章课堂练习题（附答案）一、1．方程x－1＝lgx必有一个根的区间是( )A．(0.1,0.2) B．(0.2,0.3)C．(0.3,0.4)D．(0.4,0.5)[答案] A[解析] 设f(x)＝x－1－lgx，f(0.1)＝0.1>0，f(0.2)＝0.2－1－lg0.2＝0.2－lg2<0∴f(0.1)f(0.2)<0，故选A.2．实数a、b、c是图象连续不断的函数y＝f(x)定义域中的三个数，且满足aA．2B．奇数C．偶数D．至少是2[答案] D[解析] 由f(a)f(b)<0 知y＝f(x)在(a，b)上至少有一实根，由f(b)f(c)<0知y＝f(x)在(b，c)上至少有一实根，故y＝f(x)在(a，c)上至少有2实根．3．已知函数f(x)＝ex－x2＋8x，则在下列区间中f(x)必有零点的是( )A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)[答案] B[解析] f(－1)＝1e－9<0，f(0)＝e0＝1>0，故f(x)在(－1,0)上有一实数解，故选B.4．某企业2021年12月份的产值是这年1月份产值的p倍，则该企业2021年年度产值的月平均增长率为( )A.pp－1B.11p－1C.11pD.p－111[答案] B[解析] 设1月份产值为a，增长率为x，则ap＝a(1＋x)11，∴x＝11p－1，故选B.5．(09?福建文)下列函数中，与函数y＝1x有相同定义域的是( )A．f(x)＝lnxB．f(x)＝1xC．f(x)＝xD．f(x)＝ex[答案] A[解析] 函数y＝1x的定义域为(0，＋∞)，故选A.6．(09?宁夏海南文)用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为( )A．4 B．5 C．6 D．7[答案] C[解析] 由题意，可画下图：f(x)的最大值在A点，由y＝x＋2y＝10－x，得x＝4y＝6，∴f(x)的最大值为6.7．对任意实数x＞－1，f(x)是2x，log12(x＋1)和1－x中的最大者，则f(x)的最小值( )A．在(0,1)内B．等于1C．在(1,2)内D．等于2[答案] B[解析] 在同一坐标系中，作出函数y＝2x，y＝log12(x＋1)，y＝1－x的图象，由条件知f(x)的图象是图中实线部分，显见f(x)的最小值在y＝2x与y＝1－x交点(0,1)处取得．∴最小值为f(0)＝1.8．(江门一中2021～2021高一期末)设f(x)＝2x－x－4，x0是函数f(x)的一个正数零点，且x0∈(a，a＋1)，其中a∈N，则a＝( )A．1B．2C．3D．4[答案] B[解析] 由条件知，f(a)＝2a－a－4与f(a＋1)＝2a＋1－a－5异号，取a＝2，有f(2)＝22－2－4<0，f(3)＝23－2－5>0满足，∴a＝2，故选B.二、题9．下图是某县农村养鸡行业发展规模的统计结果，那么此县养鸡只数最多的那年有________万只鸡．[答案] 31.2[解析] 2002年，30×1＝30万只，2021年，26×1.2＝31.2万只，2021年，22×1.4＝30.8万只，2021年，18×1.6＝28.8万只，2021年，14×1.8＝25.2万只，2021年，10×2＝20万只．10．函数y＝ax2－ax＋3x＋1的图象与x轴有且只有一个交点，那么a的值的集合为________．[答案] {0,1,9}[解析] 当a＝0时，y＝3x＋1的图象与x轴只有一个交点；当a≠0时，由Δ＝(3－a)2－4a＝0得a＝1或9.三、解答题11．某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件．经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)，可近似看作一次函数y＝kx＋b的关系(如图所示)．(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b的表达式；(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元．①试用销售单价x 表示毛利润S；②试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？[解析] (1)由图象知，当x＝600时，y＝400；当x＝700时，y＝300，代入y＝kx＋b中，得400＝600k＋b，300＝700k＋b，解得k＝－1，b＝1 000.∴y＝－x＋1000(500≤x≤800)．(2)销售总价＝销售单价×销售量＝xy，成本总价＝成本单价×销售量＝500y，代入求毛利润的公式，得s＝xy－500y＝x(－x＋1000)－500(－x＋1000)＝－x2＋1500x－500000＝－(x－750)2＋62500(500≤x≤800)．∴当销售单价为750元/件时，可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件．12．2021年1月6日，我国的第13亿个小公民在北京诞生，若今后能将人口年平均递增率控制在1%，经过x年后，我国人口数为y(亿)．(1)求y与x的函数关系y＝f(x)；(2)求函数y＝f(x)的定义域；(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出在这里函数增减有什么实际意义．[分析] 关键是理解年递增率的意义2021年人口数为13(亿)经过1年，2021年人口数为13＋13×1%＝13(1＋1%)(亿)经过2年，2021年人口数为13(1＋1%)＋13(1＋1%)×1%＝13(1＋1%)(1＋1%)＝13(1＋1%)2(亿)．经过3年，2021年人口数为13(1＋1%)2＋13(1＋1%)2×1%＝13(1＋1%)3(亿)．[解析] (1)由题设条件知，经过x年后我国人口总数为13(1＋1%)x(亿)．∴y＝f(x)＝13(1＋1%)x.(2)∵此问题以年作为单位时间，∴此函数的定义域是N*.(3)y＝13(1＋1%)x是指数型函数，∵1＋1%＞1,13＞0，∴y＝13(1＋1%)x是增函数，感谢您的阅读，祝您生活愉快。
人教版(B版)高中数学必修第一册 课时作业 11
课时作业 11一、选择题1．数轴上的三点M ，N ，P 的坐标分别为3，－1，－5，则MP －PN 等于( )A ．－4B ．4C ．12D ．－12解析：MP ＝(－5)－3＝－8，PN ＝(－1)－(－5)＝4，MP －PN ＝－8－4＝－12.答案：D2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4≥2x －1，2x ＋53－3x －22>1的解集是( )A ．{x|x≤2}B ．{x|x≥－2}C ．{x|－2<x≤2}D ．{x|－2≤x<2} 解析：⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4≥2x －1，2x ＋53－3x －22>1，化简可得⎩⎪⎨⎪⎧x≥－2，x<2.因此可得－2≤x<2.故选D.答案：D3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5<5x ＋1，x －m>1的解集是≥1 B．m≤1C ．m≥0 D．m≤0解析：不等式整理，得⎩⎪⎨⎪⎧x>1，x>m ＋1，由不等式组的解集为≤0.故选D项．答案：D4．[天津卷]设x∈R，则“0<x<5”是“|x－1|<1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由|x －1|<1可得0<x<2.故“0<x<5”是|x －1|<1的必要而不充分条件．故选B 项．答案：B 二、填空题5．若点P(1－m ，－2m －4)在第四象限，且m 为整数，则m 的值为________．解析：∵点P(1－m ，－2m －4)在第四象限，且m 为整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m>0，－2m －4<0，解得－2<m<1，则m 为－1,0.答案：－1,06．不等式1|x －1|<12的解集为________．解析：∵1|x －1|<12，∴|x－1|>2，∴x－1>2或x －1<－2，即x>3或x<－1，∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞) 7．数轴上一点P(x)，它到点A(－8)的距离是它到点B(－4)距离的2倍，则x ＝________.解析：由题意知，|x ＋8|＝2|x ＋4|，即|x ＋8|＝|2x ＋8|，即x ＋8＝±(2x＋8)，解得x ＝0或x ＝－163.故P(0)或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163.答案：0或－163三、解答题8．解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<5，2x ＋4>3x ＋7.解析：由x ＋1<5，得x<4.由2(x ＋4)>3x ＋7，得2x ＋8>3x ＋7，即x<1.所以不等式组的解集为(－∞，1)．9．若不等式|2x －a|≤x＋3对任意x∈[0,2]恒成立，求实数a 的取值范围．解析：不等式|2x －a|≤x＋3去掉绝对值符号得－x －3≤2x－a≤x＋3，即⎩⎪⎨⎪⎧－x －3≤2x－a ，2x －a≤x＋3对任意x∈[0,2]恒成立，变量分离得⎩⎪⎨⎪⎧a≤3x＋3，a≥x－3，只需⎩⎪⎨⎪⎧a≤3x ＋3min，a≥x －3max ，即⎩⎪⎨⎪⎧a≤3，a≥－1，所以a 的取值范围是[－1,3]． [尖子生题库]10．解不等式：|x ＋7|－|x －2|≤3.解析：方法一：|x ＋7|－|x －2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到－7对应点的距离与到2对应点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x ＝－1(如图所示)．从图易知不等式|x ＋7|－|x －2|≤3的解为x≤－1，即x∈(－∞，－1]．方法二：令x ＋7＝0，x －2＝0，得x ＝－7，x ＝2. ①当x<－7时，不等式变为－x －7＋x －2≤3， ∴－9≤3成立，∴x<－7.②当－7≤x≤2时，不等式变为x ＋7＋x －2≤3，即2x≤－2，∴x≤－1，∴－7≤x≤－1.③当x>2时，不等式变为x ＋7－x ＋2≤3，即9≤3不成立，∴x∈∅. ∴原不等式的解集为(－∞，－1]．方法三：将原不等式转化为|x ＋7|－|x －2|－3≤0， 构造函数y ＝|x ＋7|－|x －2|－3，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x<－7，2x ＋2－7≤x≤2，6x>2.作出函数的图象(如图)，从图可知，当x≤－1时，有y≤0，即|x ＋7|－|x －2|－3≤0， ∴原不等式的解集为(－∞，－1]．。
10.1.1 有限样本空间与随机事件【优创课堂】2022-2023学年高一数学下学期同步备课(人教A
练习
变3.把一套分上、中、下三册的选集随机地放在书架上.
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个实验样本点的个数；
(3)写出“上册在三册中的最左边”这一事件所包含的样本点.
解(1)：将书按从左到右的顺序摆放，则可得样本空间 = {(上，中，下)，(
上，下，中)，(中，上，下)，(中，下，上)，(下，中，上)，(下，上，中)}.
D.梅子黄时日日晴
答案：B.
)
新知探索
辨析3：(多选)下列现象中，是随机现象的是（
）.
A.在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆
B.若是整数，则为整数
C.发射一颗炮弹，命中目标
D.检查流水线上一件产品是否合格品还是次品
答案：ACD.
练习
题型一：样本空间
例1.一个家庭有两个小孩，则这个试验的样本空间是(
(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，
(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，
(6，6)}.Байду номын сангаас
练习
解(1)：(法二：树状图法)一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示，
(2)用集合表示事件“出现的点数之和大于8”.
解(1)：(法一：列举法)试验的样本空间为：
= {(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，
(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，
④当圆的半径变为原来的2倍时，圆的面积是原来的4倍.
2019-2020高中数学课时达标训练十一北师大版必修1
答案：(－2,2]
9．解：(1)由函数f(x)的图像与y轴交于点(0,1)，知c＝1.
又f(－2＋x)＝f(－2－x)，
∴函数f(x)的对称轴为x＝－ ＝－ ＝－2.
∴a＝ .
∴f(x)＝ x2＋2x＋1.
(2)∵函数f(x)在(t－1，＋∞)上为增函数，
∴t－1≥－2.∴t≥－1.
4．解析：选C 设公司获得的利润为y，在甲地销售了x辆，则在乙地销售了(15－x)辆．
则y＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15，x∈N)，
此二次函数的对称轴为x＝10.2，
∴当x＝10时，y有最大值为45.6(万元)．
5．解析：∵ ＝－1，∴a＝－9，
2．解析：选D 抛物线y＝4x2－kx－8的对称轴为x＝ ，
若函数y＝4x2－kx－8在[5,20]上是单调函数，
则 ≤5或 ≥20.
∴k≤40或k≥160.
3．解析：选A 由f(0)＝f(4)得f(x)＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝－ ＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，∴f(x)先减后增，于是a>0，故选A.
当a≠2时，f(x)＝(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，
即f(x)有最大值且最大值小于零．
即 解得－2<a<2.
综上知，a的取值范围是(－2,2]．
法二：a＝2时不等式显然成立，
a≠2时，若不等式成立，
即f(x)＝(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对x∈R恒成立，
必有a－2<0，且Δ＝4(a－2)2＋4(a－2)×4<0，解得－2<a<2.综上得－2<a≤2.
数学新同步课堂人教B全国通用版必修一课时分层作业10 一次函数的性质与图象 Word版含解析
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)
等于( )
A．log2x
1 B.2x
C．log x
D．2x－2
A [∵f(2)＝1，∴点(2,1)在函数y＝ax的反函数图象上，则点(1,2)在函数y
＝ax的图象上，所以a1＝2，即a＝2.
∴y＝2x，则x＝log2y，即y＝log2x. ∴f(x)＝log2x.]
(2)由 y＝2x＋1，得 x＝12(y－1)， 对换 x，y 得 y＝12x－12， 又 x∈R 时，y∈R， ∴y＝2x＋1 的反函数是 y＝12x－12(x∈R)．
指数函数与对数函数图象之间的关系
(1)已知 a>0，且 a≠1，则函数 y＝ax 与 y＝logax 的图象只能是( )
A
B
C
[合 作 探 究·攻 重 难]
求函数的反函数
求下列函数的反函数． (1)y＝13x；(2)y＝5x＋1；(3)y＝x2(x≤0)． [思路探究] 根据原函数反解 x⇒x，y 互换⇒原函数的定义域即为反函数的 值域．
[解] (1)由 y＝13x，得 x＝log13y， 且 y>0， ∴f－1(x)＝log x(x>0)． (2)由 y＝5x＋1，得 x＝y－5 1， ∴f－1(x)＝x－5 1(x∈R)． (3)由 y＝x2 得 x＝± y.因为 x≤0， 所以 x＝－ y. 所以 f－1(x)＝－ x(x≥0)．
1．反函数 (1)互为反函数的概念 当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的 _自__变__量___，而把这个函数的自变量作为新的函数的_因__变__量__．称这两个函数互 为反函数． (2)反函数的记法：函数 y＝f(x)的反函数通常用_y_＝__f－_1_(_x_) 表示．
鄂教版数学高一第10课时 练习二
第五单元认识10以内的数第10课时练习二教学内容：课本第28-29页。
教学目标：1、进一步加深对10以内数的含义、数的前后顺序，几和第几以及数的大小比较等的认识，能灵活运用所学知识解决相应的实际问题。
2、进一步培养学生的观察能力、判断能力和初步的数感。
3、感受数学与生活的密切联系，逐步培养学生的数字意识。
教学重难点：在复杂情境中综合运用知识解决实际问题。
课前准备：数学卡片、课件。
教学过程：一、知识梳理请学生拿出学具袋中的0——10数学卡片，回忆一下这几天来所学的知识，学习小组为单位讨论。
教师加以一定的引导，请学生从数的含义、数的顺序、数的大小，基数与序数等角度思考。
二、实践拓展1、练习二的第1题师引导：只要我们仔细观察，留心我们的生活，我们总能找到数的影子，看，我们教室里就有很多数呢？这儿有1面国旗，那儿有4扇窗户……你还能用学过的数说一句话吗？2、练习二的第2题北京办公室装修公司详细问题了解下！师引导：知悉观察题目左侧的图形，你能得到什么信息呢？根据题目要求填空，自己独立完成，然后和同学交流。
3、练习二的第3题教师先请出10个小朋友站在讲台前，然后让其中的几个小朋友戴上帽子，问：一共有几个小朋友？从左边第几个、第几个、第几个朋友戴帽子？从右起第几个、第几个、第几个是女生？教师读题学生独立完成第3题。
4、第4题师引导：校园里摆了许多漂亮的花，你能给大家介绍介绍吗？学生可能介绍一共有几盆，第几盆开了几朵花……如果没有提及的，教师可通过提问作出补充。
教师读题，学生独立完成第4题，教师在学生完成的基础上再交流。
5、数学游戏——我想你猜游戏方法：甲先在心里想一个10以内的数，由乙猜，猜完后，甲告诉乙“你猜的数比我想的数大（小）”，乙调整答案，直至猜出。
练习二的第5题看谁做得又对又快。
6、教师可出一些图形的比较，来拓展学生对数的大小比较认识。
（1）填“>“”<“△△△（）△△△△△○○○○（）○○○○○○（）○○○（2）括号里可画几个圆？试试看（）>○○○○○○（）<○○○○○○（3）引导学生完成练习一第8题。
精选题库高一数学 课堂训练10-4
第10章 第4节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2012·浙江金华]下课后教室里最后还剩下2位男同学和2位女同学，如果没有2位同学一块走，则第二位走的是男同学的概率是( )A. 12 B. 13 C. 14 D. 15答案：A解析：每个同学均可能在第二位走，故共有4种情况，而男同学有2个，故所求概率为P ＝24＝12，故选A.2．某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )A ．一定不会淋雨B ．淋雨的可能性为34C ．淋雨的可能性为12D ．淋雨的可能性为14答案：D解析：基本事件有“下雨帐篷到”“不下雨帐篷到”“下雨帐篷未到”“不下雨帐篷未到”4种情况，而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨，故淋雨的可能性为14.3．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e >32的概率是( ) A.118 B.536 C.16 D.13答案：C 解析：e ＝1－b 2a 2>32⇒b a <12⇒a >2b ，符合a >2b 的情况有：当b ＝1时，有a ＝3,4,5,6四种情况；当b ＝2时，有a ＝5,6两种情况，总共有6种情况．则概率为66×6＝16.4．[2012·浙江联考]有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为( )A. 521B. 27C. 13D. 821答案：D解析：从10个球中任意取出4个，一共有C 410＝210种取法，取出的小球编号互不相同的取法为C 45·24＝80种取法，所以由古典概型公式得取出的编号互不相同的概率为P ＝80210＝821. 5．[2012·奉贤区检测]在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为( )A. 15B. 12C. 23D. 45答案：D解析：因为文艺书只有2本，所以选取的3本书中必有科技书，这样问题就等价于求选取的3本书中有文艺书的概率．设4本不同的科技书为a ，b ，c ，d,2本不同的文艺书为e ，f ，则从这6本书中任选3本的可能情况有：(a ，b ，c )，(a ，b ，d )，(a ，b ，e )，(a ，b ，f )，(a ，c ，d )，(a ，c ，e )，(a ，c ，f )，(a ，d ，e )，(a ，d ，f )，(a ，e ，f )，(b ，c ，d )，(b ，c ，e )，(b ，c ，f )，(b ，d ，e )，(b ，d ，f )，(b ，e ，f )，(c ，d ，e )，(c ，d ，f )，(c ，e ，f )，(d ，e ，f )，共20种，记“选取的3本书中有文艺书”为事件A ，则事件A 包含的可能情况有：(a ，b ，c )，(a ，b ，d )，(a ，c ，d )，(b ，c ，d )，共4种，故P (A )＝1－P (A )＝1－420＝45.6．[2011·安徽]从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )A. 110B. 18C. 16D. 15 答案：D解析：如图正六边形ABCDEF ，从6个顶点中随机选择4个顶点有ABCD ，ABCE ，ABCF ，ABDE ，ABDF ，ACDE ，ACDF ，ACEF ，ADEF ，BCDE ，BCDF ，BCEF ，ABEF ，BDEF ，CDEF 共15种选法，基本事件总数为15，其中四边形是矩形的有ABDE ，BCEF ，CDF A 3种，所以所求概率为P ＝315＝15.二、填空题(每小题7分，共21分)7．连续掷两次骰子，出现向上的点数之和等于4的概率为________(结果用数值表示)． 答案：112解析：连续掷两次骰子出现向上的点数记作点坐标(x ，y )，则共可得点坐标的个数为6×6＝36，而出现向上的点数之和为4的点坐标有(1,3)，(3,1)，(2,2)，共3个．所以连续掷两次骰子出现向上的点数之和为4的概率为P ＝336＝112.8. [2011·福建]盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．答案：35解析：此题属古典概型，从5个小球取出2个小球所有可能的取法n ＝C 25＝10(种)，而若取出的2个小球颜色不同则红、黄各取一个，取法m ＝C 13·C 12＝6(种)，∴所求事件的概率P ＝m n ＝610＝35.9．[2011·湖北]在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶．则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为__________．(结果用最简分数表示)答案：28145解析：1－C 227C 230＝168870＝28145.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．[2011·山东]甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女． (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．解：(1)甲校两男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两女教师分别用E 、F 表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )共9种，从中选出两名教师性别相同的结果有：(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )共4种，选出的两名教师性别相同的概率为P ＝49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )共15种，从中选出两名教师来自同一学校的结果有：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )共6种， 选出的两名教师来自同一学校的概率为P ＝615＝25.11. [2011·天津]编号分别为A 1，A 2，…，A 16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：(2)①用运动员编号列出所有可能的抽取结果； ②求这2人得分之和大于50的概率． 解：(1)4,6,6.(2)①得分在[20,30)内的运动员编号为A 3，A 4，A 5，A 10，A 11，A 13，从中随机抽2人，所有可能抽取的结果有：{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 10}，{A 3，A 11}，{A 3，A 13}, {A 4，A 5}，{A 4，A 10}，{A 4，A 11}，{A 4，A 13}，{A 5，A 11}，{A 5，A 10}，{A 5，A 13}，{A 10，A 11}，{A 10，A 13}，{A 11，A 13}，共15种．②设B 表示“得分在[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这两人得分之和大于50”，则所有可能的结果有：{A 4，A 5}，{A 4，A 10}，{A 4，A 11}，{A 5，A 10}，{A 10，A 11}，共5种．所以P (B )＝515＝13.12. [2012·惠州模拟]将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，设复数z ＝a ＋b i.(1)求事件“z －3i 为实数”的概率；(2)求事件“复数z 在复平面内的对应点(a ，b )满足(a －2)2＋b 2≤9”的概率． 解：(1)z －3i 为实数，即a ＋b i －3i ＝a ＋(b －3)i 为实数，∴b ＝3，依题意a 可取1,2,3,4,5,6.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次的所有可能的结果为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，…，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种，出现b ＝3的结果有：(1,3)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，共6种，故出现b ＝3的概率为P 1＝636＝16，即事件“z －3i 为实数”的概率为16.(2)由条件可知，b 的值只能取1,2,3. 当b ＝1时，(a －2)2≤8，即a 可取1,2,3,4， 当b ＝2时，(a －2)2≤5，即a 可取1,2,3,4， 当b ＝3时，(a －2)2≤0，即a 可取2.故共有9种情况可使所求事件发生，又(a ，b )的取值情况共有36种，所以事件“点(a ，b )满足(a －2)2＋b 2≤9”的概率为P 2＝436＋436＋136＝14.。
高中数学课时作业(人教B版必修第一册)课时作业(十)不等式及其性质
课时作业(十) 不等式及其性质一、选择题1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A 、B 的大小关系是( )A ．A ≤B B ．A ≥BC ．A <B 或A >BD ．A >B2．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( )A ．若a >b ，c >b ，则a >cB ．若a >－b ，则c －a <c ＋bC ．若a >b ，c <d ，则a c >b dD ．若a 2>b 2，则－a <－b3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( )A ．－2<α－β<0B ．－2<α－β<－1C ．－1<α－β<0D ．－1<α－β<14．有四个不等式：①|a |>|b |；②a <b ；③a ＋b <ab ；④a 3>b 3.若1a <1b<0，则不正确的不等式的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题5．已知a ，b 均为实数，则(a ＋3)(a －5)________(a ＋2)(a －4)(填“>”“<”或“＝”).6．如果a >b ，那么c －2a 与c －2b 中较大的是________.7．给定下列命题：①a >b ⇒a 2>b 2；②a 2>b 2⇒a >b ；③a >b ⇒b a<1；④a >b ，c >d ⇒ac >bd ； ⑤a >b ，c >d ⇒a －c >b －d .其中错误的命题是________(填写相应序号).三、解答题8．已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．9．已知－1<x <4，2<y <3.(1)求x －y 的取值范围；(2)求3x ＋2y 的取值范围．[尖子生题库]10．若bc －ad ≥0，bd >0.求证：a ＋b b ≤c ＋d d .。
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第10章第1节
时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)
1．不等式A6n＜6A5n的解集为()
A．[2,8]B．(6,11) C．[6,11) D．{11}
答案：C
解析：A6n＜6A5n，
∴
n！
(n－6)！
＜
6·n！
(n－5)！
，
∴n－5＜6，∴n＜11，
又∵n≥6，n≥5，
∴6≤n＜11，故选C.
2．[2012·广东揭阳]某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B、C、D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3、5、6、8、9中选择，其他号码只想在1、3、6、9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有()
A. 180种
B. 360种
C. 720种
D. 960种
答案：D
解析：按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二位号码有3种选法，其余三位各有4种选法，因此该车主的车牌号码可选的所有可能情况共有A15·A13·A14·A14·A14＝960种，故选D.
3. [2012·江西井冈山]有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这项任务，不同的选法有()
A．1260种B．2025种
C．2520种D．5040种
答案：C
解析：第一步，从10人中选派2人承担任务甲，有C210种选派方法；第二步，从余下的8人中选派1人承担任务乙，有C18种选派方法；第三步，再从余下的7人中选派1人承担任务丙，有C17种选派方法．根据分步乘法计数原理易得选派方法种数为C210·C18·C17＝2520.
4．2010年广州亚运会组委会要从A、B、C、D、E五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中A和B只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有()
A．48种B．36种
C．18种D．12种
答案：B
解析：分A 和B 都选中和只选中一个两种情况；当A 和B 都选中时，有A 22·A 2
3种选派方案；当A 和B 只选中一个时，有2A 12·A 33种选派方案，所以不同的选派方案共有A 22A 23＋2A 12·
A 3
3＝36种． 5. [2012·安徽“江南十校”联考]在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7中，使相邻两数都互质的排列方式种数共有( )
A. 576
B. 720
C. 864
D. 1152
答案：C
解析：先让数字1,3,5,7作全排列，有A 44＝24种，再排数字6，由于数字6不与3相邻，在排好的排列中，除3的左、右2个空隙，还有3个空隙可排数字6，故数字6有3种排法，最后排数字2,4，在剩下
的4个空隙中排上2,4，有A 24种排法，故共有A 44×3×A 24＝864种排列方式．
6. [2012·安徽合肥]某班有四名学生参加了志愿者工作，将这四名学生分到A ，B ，C 三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人．若甲要求不到A 馆，则不同的分配方案有( )
A. 36种
B. 30种
C. 24种
D. 20种
答案：C
解析：若A 馆只分配一人，则可从除甲以外的其他3名学生选一人，有C 1
3种，其余三人分配到B 、C 两个馆，有C 23·A 22种，因此有C 13·C 23·A 2
2＝18种分配方案；若A 馆分配二人，可从除甲以外的其他3名学生中选二人，有C 23种，其余两人分配到B 、C 两个馆，有A 22种，因此有C 23·
A 22＝6种，故一共有18＋6＝24种分配方案．
二、填空题(每小题7分，共21分)
7. 在全运会期间，5名志愿者被安排参加三个不同比赛项目的接待服务工作，则每个项目至少有一人参加的安排方法有__________种．
答案：150
解析：现将5名志愿者按2,2,1或1,1,3分组，再排列，共有(C 25C 23C 112！＋C 15C 14C 3
3
2！
)A 33＝150种不同的安排方法．
8. [2012·广东联考]某国家代表队要从6名短跑运动员中选4人参加亚运会4×100 m 接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有______种参赛方法．
答案：252
解析：分情况讨论：①若甲、乙均不参赛，则有A 44＝24种参赛方法；②若甲、乙有且只有一人参赛，
则有C 12·C 34(A 44－A 33)＝144种；③若甲、乙两人均参赛，则有C 24(A 44－2A 33＋A 2
2)＝84种，故一共有24＋144
＋84＝252种参赛方法．
9．[2011·湖北]给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n ≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．
的着色方案如下图所示：
由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻
．．．．的着色方案共有__________种，至少有两个黑色正方形
相邻
．．的着色方案共有__________种．(结果用数值表示)
答案：2143
解析：如图所示六个正方形
若互不相邻有：(1)不着黑色，共有1种；
(2)着一格黑色共有C16＝6种；
(3)着两格黑色共有C26－C15＝10种；
(4)着三格黑色共有4种．
共计21种．
所有着色情况共有26＝64种，又由上知互不相邻的着色方案有21种．
故至少有两个相邻的着色方案共有64－21＝43种．
三、解答题(10、11题12分、12题13分)
10. 某班某天有七节课上午4节，下午3节，安排语、数、外、理、化、生及体育，要求数学在上午，体育在上午第四节或下午共有多少种不同的排课方法．
解：以元素为线索，先排数学，再排体育最后排没有限制的其它5节，数学可以上午的四节中任选一节有4种方法，而对于数学排在一二三节与排在第四节，再排体育方法数不一样，所以分类，第一类，数学在前三节，A13A14A55，第二类数学在第四节有A13A55.
∴共有A13A14A55＋A13A55＝1800.
11．有5张卡片的正反面上分别写有0与1,2与3,4与5,6与7,8与9，将其中任意三张并排在一起组成三位数，共可以组成多少个不同的三位数？
解：以“元素”进行分类，满足下列条件的三位数有以下三类：
(1)不要0和1的有C34·A33·23个；
(2)要1不要0的有C24·A33·22个；
(3)要0不要1的有2C24·22·A22个．
故共可得到不同的三位数有
C34·A33·23＋C24·A33·22＋2C24·22·A22＝432(个)．
12．有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子．问：
(1)共有多少种放法？
(2)恰有一个空盒，有多少种放法？
(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？
解：(1)1号小球可放入任意一个盒子内，有4种放法．同理，2、3、4号小球也各有4种放法，故共有44＝256种放法．
(2)恰有一个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球，且小球数只能是1、1、2.先从4个小球中任选2个放在一起，有C24种方法，然后与其余2个小球看成三组，分别放入4个盒子中的3个盒子中，有A34种放法．由分步计数原理，知共有C24A34＝144种不同的放法．
(3)恰有2个盒子内不放球，也就是把4个小球只放入2个盒子内，有两类放法：
①一个盒子内放1个球，另一个盒子内放3个球．先把小球分为两组，一组1个，另一组3个，有C14种分法，再放到2个盒子内，有A24种放法，共有C14A24种方法；
②2个盒子内各放2个小球．先从4个盒子中选出2个盒子，有C24种选法，然后把4个小球平均分成2组，每组2个，放入2个盒子内，也有C24种选法，共有C24C24种方法．
由分类计数原理知共有C14A24＋C24C24＝84种不同的放法．。