小波包分解

2、范数。
M ({xk}) {xk}
1
通常选，{xk } ＝(
xp)p k
k
p0
（范数愈小，能量愈集中。）
常用代价函数：
3、熵
M ({xk }) | xk |2 log | xk |2 k
(与均方意义下恢复原始信号所需的系数个数成 正比。）
常用代价函数：
4、能量对数
M ({xk }) log | xk |2
1 4 ( 2l) 2 H (ei / 2 )G(ei / 2 )ei(k j) d
2 0 l
2
1
4
H (ei / 2 )G(ei / 2 )ei(k j) d
2 0
1
2
(H (ei / 2 )G(ei / 2 ) H (ei( / 2 ) )G(ei( / 2 ) ))ei(k j) d
(
2
)
P0
()ˆ
l
(
2
)
ˆ
2l 1
()
G ( )ˆ l
(
2
)
P1
(
)ˆ l
(
2
)
递推下去即可。
定理：
由正交尺度函数(x)生成的小波包{ n (x)}
满足：
（1） { n (x k)}是规范正交系。 即 n (x j), n (x k) j,k j, k, n Z (2) 2l (x j), 2l1(x k) 0 j, k, n Z
0 j
U
1 j
定理：
U
nj＋1＝U
2n j
U
2n1 j
证明要点：
（1） （2） （3）
U
2j n和U
2 j
n1是U
nj＋1的子空间。
U
2n j
U
2 j
n1
U nj＋1的基可由{ 2n (2 j x k )}和{ 2n＋1(2 j x k )}
的线性组合表示。
（可参看《小波分析导论》第334页或《小波分析算法 与应用》第160页。）
1
2
4 (l 1) l 4l
P1
(e
i
/
2
)
2
n1
(
2
)
2
e
i
(
k
j
)
d
1
2
4 P1 (ei / 2 ) 2
0
l
n1 ( 2
2l)
2
ei(k j) d
1
2
4 0
P1 (ei / 2 ) 2 ei(k j) d
1
2
2
( P1 (ei / 2 ) 2
0
P1 (ei( / 2 ) ) 2 )ei(k j) d
推论：
对j 1,2,3 ,有
WWj＝j＝UU4j22j1 UU5j3j21 U
6 j2
U
7 j2
W
j＝U
2k j
Biblioteka Baidu
k
U
2k 1 jk
U 2k1 1 jk
W
j＝U
2 0
j
U
2 0
j
1
U 2 j1 1 0
小波包变换的算法：
V0
H H
G
V1
W1
G
V2 W2
空间的小波分解
V0
H
G
V1
W1
H
H
G
V2
k
(表征信号的系数间的相关性。）
“最优基”的搜索方法：
二元树搜索方法： M1
M2
M3
选择准则： 若M1 M 2 M 3,则选M 2＋M 3
否则，选M1
例：
50
20
22
11
12
13
14
123 4 56 78
例：
50
10(20)
22 *
3(11) 7(12) 11(13) 14*
1* 2* 3* 4* 5* 6* 7 8
1
2
2
ei(k j) d
0
j,k
(2)的证明：
2l (x
j), 2l1(x k )
1 2
ˆ 2l ()ˆ 2l1()ei(k j) d
1 2
l
(
2
)
2
P0
(ei
/
2
)
P1
(ei
/
2
)ei
(
k
j
)
d
1 2
4 (l 1)
l 4l
l(2
2l)
2
P0 (ei / 2 )P1(ei / 2 )ei(k j) d
代价函数M:
对一个输入数列，我们从其小波包变换 中选出一个输出数列，并计算其代价函 数；则代价函数最小的输出数列所对应 的基，则是对应与输入数列的“最优 基”。
代价函数的基本要求; 1.单调性。 2.可加性（次可加性）
常用代价函数：
1、数列中大于给定门限的系数的个数。即 预先给定一门限值 0 ，并计数数列中 绝对值大于 的元素的个数。
参数j,k,n 的意义。
小波库中的一个函数: n (2 j x k)
参数j : 尺度指标（频域参数） 参数k : 位置指标（时间参数） 参数n : 振荡次数
n (2 j x k)是中心在2－j k, 支集大小
数量级为2 j，振荡次数为n的小波函数。
对小波包的实际意义的分析：
当参数j固定时。
n j 2 j1 j 1
j {0,1}
当 2s n 2s1时，我们有
j＝10 P0 () H ()
则：
j s 1 j s 1
P1() G()
s 1
ˆ n () P j (ei / 2 j ) j 1
证明：
由小波包的双尺度关系式，两边作Fourier变换：
ˆ
2l
()
H
( )ˆ l
小波库中的函数{ n (2 j0 x k)}n,k 构成L2的正交
基，此时，变换类似与一个加窗Fourier变换。
当参数n固定时。
小波库中的函数{ n0 (2 j x k)}j,k 构成L2的正交
基，此时，变换是一个小波变换。
基的选择问题
在对函数或信号进行小波包分解时，由 于Wj有不同的分解方式，即Wj有不同的 正交基，因此，我们面临“最优基”的 选择问题。
W2
U
2 0
G
H
U12 U13
G
U
3 0
空间的小波包分解
c N
HHc N
H
H
G
H
N c
G
Gc N
G
H
GHc HGc GGc
N
N
N
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
H
G
h1 h2 h3 h4 g1 g2 g3 g4
H
G
H
G
hh1 hh2 gh1 gh2 hg1 hg2 gg1 gg2
对小波包的实际意义的分析：
例：
50
10(20)
22 *
3(11) 7(12) 11(13) 14*
1* 2* 3* 4* 5* 6* 7 8
向二维的推广：
M0
M1 M2 M3 M4
4
M 0 M k k 1
1、只要朝着一个方向奋斗，一切都会变得得心应手。20.6.166.16.202010:0010:00:23Jun-2010:00 2、心不清则无以见道，志不确则无以定功。二〇二〇年六月十六日2020年6月16日星期二 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。10:006.16.202010:006.16.202010:0010:00:236.16.202010:006.16.2020 4、与肝胆人共事，无字句处读书。6.16.20206.16.202010:0010:0010:00:2310:00:23 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。Tuesday, June 16, 2020June 20Tuesday, June 16, 20206/16/2020 6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。10时0分10时0分16-Jun-206.16.2020 7、自知之明是最难得的知识。20.6.1620.6.1620.6.16。2020年6月16日星期二二〇二〇年六月十六日 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。10:0010:00:236.16.2020Tuesday, June 16, 2020
小波包分解
各种变换的适合处理对象：
小波变换
加窗Fourier变换
Fourier变换
（1）处理突变信 号或具有孤立奇异 性的函数。
（2）自适应信号 处理。
（1）处理渐变信 号。
（2）实时信号处 理。
（1）处理稳定和 渐变信号。
（2）实时信号处 理。
小波变换对频域的分解情况
小波包分解：对信号高频部分的再分解
小波分解： L2 Wj1 Wj Wj1
H
G
U j,1 U j,2
小波包的定义：
设(x)和 (x)分别是尺度函数和小波函数， 令 0 (x)＝ (x) 1(x)＝ (x)
2l (x) hk（l 2x k) k
2l1(x) gk（l 2x k) k
定义的函数{ n}称为关于尺度函数(x)的
1、最困难的事就是认识自己。20.6.286.28.202020:1120:11:15Jun-2020:11 2、自知之明是最难得的知识。二〇二〇年六月二十八日2020年6月28日星期日 3、越是无能的人，越喜欢挑剔别人。20:116.28.202020:116.28.202020:1120:11:156.28.202020:116.28.2020 4、与肝胆人共事，无字句处读书。6.28.20206.28.202020:1120:1120:11:1520:11:15 5、三军可夺帅也。Sunday, June 28, 2020June 20Sunday, June 28, 20206/28/2020 6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。8时11分8时11分28-Jun-206.28.2020 7、人生就是学校。20.6.2820.6.2820.6.28。2020年6月28日星期日二〇二〇年六月二十八日 8、你让爱生命吗，那么不要浪费时间。20:1120:11:156.28.2020Sunday, June 28, 2020
2 0
0
函数族{2－2j n (2 j x k)}称为由尺度 函数 ( x)生成的小波库。
j
讨论函数族{22 n (2 j x k)}对空间的分解。
j
令
U
n j
span{22 n (2 j
x
k )kZ }
j,n Z
则： U 0j＝Vj
U 1j＝Wj
我们可以将：Vj1 Vj Wj
改写为
U
0j＋1＝U
证明： 用数学归纳法。 1. n 0时，因为 0＝，结论成立。 2. 假设对0 n 2s 成立。
3. 对2s n 2s1,
取n1
[
n ],则n 2
2n1
1
n (x
j), n (x k)
1
2
n () 2 ei(k j) d
1
2
P1
(ei
/
2
)
2
n1
( 2
)
2
ei
(k
j
)
d
小波包。
设(x)和 (x)分别是尺度函数和小波函数，
令 0 (x)＝(x) 1(x)＝ (x)
2l (x) hk （2 2l1 x k) k
2l
(
1
x)
gk （2 2l1 x k )
k
定义的函数{ n}称为关于尺度函数(x)的
缩短小波包。
小波包函数的Fourier变换：
设n的二进制表示为：