大学物理2-212章习题详细答案

大学物理2-212章习
题详细答案
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
P
d L
θ
x
y
dE
d θ
习题12
12-3．如习题12-3图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电量为q ，试求在直杆延长线上到杆的一端距离为d 的点P 的电场强度。

[解] 建立如图所示坐标系ox ，在带电直导线上距O 点为x 处取电荷元
x L q
q d d =
，它在P 点产生的电电场强度度为 ()
()
x x d L L
q x d L q
E d 41d 41
d 2
02
0-+=
-+=
πεπε
则整个带电直导线在P 点产生的电电场强度度为
()()d L d q
x x d L L
q E L
+=
-+=⎰
00
2041
d 41πεπε
故()
i E d L d q
+=
04πε
12-4．用绝缘细线弯成的半圆环，半径为R ，其上均匀地带有正电荷Q ，试求圆心处点O 的场强。

[解] 将半圆环分成无穷多小段，取一小段dl ，带电量l R
q d d π=
dq 在O 点的电场强度202
04d 4d d R
l
R Q R q
E πεππε== 从对称性分析，y 方向的电场强度相互抵消，只存在x 方向的电场强度
l R
Q
E E d sin 4sin d d 3
02x ⋅=⋅=θεπθ θd d R l = θεπθ
d 4sin d 2
02x R Q E =
2
020
202x x 2d 4sin d R Q
R Q E E E επθεπθπ
=
===⎰
⎰ 方向沿x 轴正方向 12-5. 如习题12-5图所示，一半径为R 的无限长半圆柱面形薄筒，均匀带电，沿轴向单位长度上的带电量为λ，试求圆柱面轴线上一点的电场强度E 。

[解] θ
d 对应的无限长直线单位长带的电量为θπ
λ
d d =
q 它在轴线O 产生的电场强度的大小为
R
R
q E 02
02d 2d d επθ
λπε=
=
因对称性y d E 成对抵消R
E E 02x 2d cos cos d d επθ
θλθ=
⋅=
d θ
R
R E E 02
2
02x 2d cos 2d επλ
επθθλπ
===⎰⎰ 12-6．一半径为R 的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心点O 处的场强。

[解] 将半球面分成无限多个圆环，取一圆环半径为r ，到球心距离为x ，所带电量绝对值l r q d 2d πσ=。

在O 点产生的电场强度(利用圆环轴线电场强度公式)
(
)
2
322
0x 4d d r
x q x E +=
πε
带电半球壳在O 点的总电场强度
()
()
⎰
⎰
⎰+=+==2
322
02
322
0x x 424d d r
x rdl
x r
x q x E E πεπσπε
由于 θcos R x =，θsin R r =，θd d R l = 所以
()0
20020
20
x 42cos 82d 2sin 8d cos sin 2εσθεσθθεσ
θθθεσ
π
π
π
=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==
⋅=
=⎰
⎰
E E 方向沿x 轴负向
12-7．如习题12-7图所示，A 、B 为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场强度为E 0，两平面外侧电场强度大小都是03
E ，方向如图。

求两平面A 、B 上的面电荷密度σA 和σB 。

[解] 无限大平面产生的电场强度为0
2εσ
=
E 则 0A A 2εσ=
E 0
B B 2εσ
=E ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-322220
A 0B 0
A
0B E E εσεσεσεσ 解得 00A 32
E εσ-= 00B 3
4E εσ=
12-8．一半径为R 的带电球体，其体电荷密度分布为ρ=Ar (r ≤R )，0=ρ (r >R )，A 为常量。

试求球内、外的场强分布。

[解] 在带电球体内外分别做与之同心的高斯球面。

应用高斯定理有0
24επq
r E =
⋅
q 为高斯球面内所包围的电量。

设距球心r 处厚度为d r 的薄球壳所带电量为d q
r Ar r r q d 4d 4d 32ππρ=⋅=
r ≤R 时 40
3d 4Ar r Ar q r
ππ==⎰
解得 02
4εAr E = (r ≤R ) (或2
04Ar ε=r E e )
r >R 时高斯面内包围的是带电体的总电量Q
40
30
d 4d AR r Ar q Q R
R
ππ===⎰⎰
应用高斯定理0
24επQ
r E =
⋅
2044r AR E ε= (r >R ) (或r E 2
04
4r
AR ε=) 当A >0时，电场强度方向均径向向外；当A <0时，电场强度方向均指向球心。

12-9．有一带电球壳，内、外半径分别为R 1和R 2，体电荷密度r A =ρ，在球心处有一点电荷Q ，求当A 取什么值时，球壳区域内(R 1<r< R 2)的场强E 的大小与r 无关。

[解] 以同心球面为高斯面，电通量为
24d επ∑⎰⎰==⋅q E r S
S E
()
Q R r A Q dr r q r R +-=+=⎰⎰⎰∑21220
20
2d sin d 1
πθθϕπ
π
()
2
021242r Q
R r A E πεπ+-=
当2
12R Q A π=
时 02εA
E =
与r 无关。

因此得证。

12-10．一球体内均匀分布着体电荷密度为ρ的正电荷，若保持电荷分布不变，在该球体内挖去半径为r 的一个小球体，球心为O '，两球心间距离OO d '=，如习题12-10图所示。

求：(1)在球形空腔内，球心O '处的电场强度O 'E ；(2)在球体内点P 处的电场强度E 。

设O '、O 、P 三点在同一直径上，且OP =d 。

[解] 在空腔内分别填上密度为ρ+的电荷和密度为
ρ-的电荷。

(1) O '处的电场强度是密度为ρ的大球和ρ-的小球所产生的电场强度的叠加。

大球产生电场强度：
在球体内做半径为d 的同心高斯球面，应用高斯定理
3
23
44επρπd d E ⋅=⋅ 0
3ερd
E =
而小球产生电场强度由于对称性为0 因此O '点的电场强度 i E 0
O 3ερd
=
' (2)P 点的电场强度也是两球电场强度的叠加。

同理大球产生的电场强度 i E 0
3ερd
-
= 小球产生的电场强度 0
32
3
444επρπr d E =
⋅' i E 2
03
12d
r ερ=' 合电场强度 i i E ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=230
2030P 43123d r d d r d ερερερ 12-11．一半径为R 的带电球体，其体电荷密度分布为 4
R qr πρ=
(r ≤R ) 0=ρ (r >R )
试求：(1)带电球体的总电量；(2)球内外各点的场强；(3)球内外各点的电势。

习题12-10图
ρ
O
• r
P
x
d O '
[解] （1）带点球体的总电量：q r r R
qr
q Q R
R ===⎰
⎰0
24
d 4d ππ （2）在带电球体内外分别做与之同心的高斯球面。

应用高斯定理有0
24επ内
q r E =
⋅
内q 为高斯球面内所包围的电量。

设距球心r 处厚度为d r 的薄球壳所带电量为d q
r r R q
r r q d 4d 4d 342=
⋅=πρ r ≤R 时 44034d 4r R q
r r R q q r ==⎰内
解得 4024R qr E πε= (r ≤R ) (或2
404qr R πε=r
E e ) r >R 时高斯面内包围的是带电体的总电量q 应用高斯定理0
24επq
r E =
⋅
2
04r
q E πε= (r >R ) 方向沿径向 (或2
04q r
πε=
r E e )
当q >0时，电场强度方向均径向向外；当q<0时，电场强度方向均指向球心。

（3）
)( 412)( d 4d 4d 330 R 20 402 R r R r R q R r r r
q
r R qr r E U R
r
r
≤⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=>+==⎰⎰
⎰∞∞πεπεπε
)
( 4)
( d 4d 0 r
2
0 R r r
q R r r r q r E U r >=
>==⎰
⎰∞
∞
πεπε
12-12．如习题12-12图所示，在Oxy 平面内有与y 轴平行、位于2a x =
和a x 2
1
-=处的两条无限长平行均匀带电直线，电荷线密度分别为+λ和-λ。

求z 轴上任一点的电场强度。

[解] 无限长带电直线在线外任一点的电电场强度度
r
E 02πελ
=
所以 P 点的电场强度 2
122
0λ42⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=
+z a E πελ
2
122
0λ42⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=
-z a E πελ
由对称性知合电场强度的z 方向分量为零，x 方向分量θcos 2λx E E =
而 2
122
42cos ⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=
z a a θ
所以 ()
2
20λ42cos 2z
a a E E +=
=πελ
θ 方向指向x 轴负方向 12-13．如习题12-13图所示，在半径为R ，体电荷密度为ρ的均匀带电球体内点O '处放一个点电荷q 。

试求：点O 、P 、N 、M 处的场强 (O '、O 、P 、N 、M 在一条直线上)。

[解] 由电场叠加原理
2
O O 0q O 4'
=
+=r q E E E πε球
2
0OO 4q
r πε'
=
O E i
0OM 2
N
O 02ON 03
OM
2N O 0q N 3443
44ερπεπεπρπεr r q
r r r q E E E -=-=
-=''球
OM 2
0O N 0
(
)43r q
r ρπεε'=-N E i E -λ
-λ
a/2
x
y
z -a/2O
+λP
E x
E +λ
0OP 2
P O 02OP 03
OP
2P O 0q P 3443
44ερπεπεπρπεr r q
r r r q E E E -=-=
+=''球
OP
P 2
0O P
(
)43r q
r ρπεε'=-
E i 2OM
03
2N O 02OM 03
2M O 0q M 3443
44r R r q r R r q E E E ερπεπεπρπε-=+=+=''球
3
M 22
0O N 0OM
()43q R r r ρπεε'=-E i 12-14．如习题12-14图所示一环形薄片由细绳悬吊着，环的外半径R ，内半径为R/2，并有电量Q 均匀分布在环面上。

细绳长3R ，也有电量Q 均匀分布在绳上，试求圆环中心处的电场强度（圆环中心在细绳的延长线上）。

【解】：以悬点为坐标原点，建立竖直向下为x 轴的正方向，在x 位置处任取一微元dx ，在圆环中处的电场强度为
()()
12
2
001d 1d d 44434q
Q
E x R x R R x πεπε=
=
-- 则这个细绳上的电荷在圆心处产生的电场强度为
()3320
0011
d 412434R
R
Q Q
E x R R x R R x πεπε==-
--⎰
32000112416R
Q
Q
R R x R πεπε=-=
-
环形薄片上的电荷在圆心处产生的电场强度为零，因此所有电荷在环心处产生
的电场强度为
2
0=
16Q E R πε总
方向竖直向下
12-15．电量q 均匀分布在长为2l 的细杆上，求在杆外延长线上与杆端距离为a 的点P 的电势(以无穷远为零电势点)。

[解] 取如图所示的电荷元
d q ，x l q
q d 2d =
，它在P 点产生的电势为 ()()x a l x
l q x a l q u -+=
-+=
2d 82d 41
d 00πεπε 则整个带电直线在P 点产生的电势为
()a
a
l l q x a l x l q x a l x
l q
U l
+=-+=
-+=⎰⎰
2ln
82d 82d 8020
00πεπεπε P dq
dx
O x
R
3R
2
/R
12-16．习题12-16图为两个半径均为R 的非导体球壳，表面上均匀带电，带电量分别为+Q 和-Q ，两球心距离为d (d >>2R )，求两球心间的电势差。

[解] 设带正电的球壳中心的电势为1U ，带负电的为
2U 。

根据电势叠加原理有
d
Q R
Q U 00144πεπε-
=
d
Q
R Q U 00244πεπε+
-=
两球心间的电势差
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
-
=
-=d R Q d
Q R
Q U U U 112220002112πεπεπε 12-17. 两根半径都是R 的无限长直线，彼此平行放置，两者轴线间距为d (d >>2R )，单位长度上的带电量分别为+λ和-λ, 求两直线间的电势差。

[解一] 由高斯定理可求出，两导线之间任一点的电电场强度度为
()
r d r E -+
=
0022πελ
πελ 两导线间的电势差为
()
R
R
d r
r d r r U R d R R
d R
R
d R
-=
-+=⋅=⎰⎰
⎰
---ln d 2d 2d 000πελπελπελ∆r E
[解二] 由带正电直导线产生电势差为
R
R
d r r U R
d R
R
d R
-==⋅=⎰
⎰
--ln
2d 2d 00AB πελπελr E 由带负电直导线产生电势差为
R
R
d r r U R
R
d R
R d -=-
=⋅='⎰⎰--ln
2d 2d 00AB
πελπελr E 因此两导线间的电势差为
习题12-16图
R
R
d U U U -='+=∆ln
0AB
AB πελ 12-18. 如习题12-18图所示，电荷面密度分别为+σ和-σ的两块无限大均匀带电平面，处于与平面垂直的x 轴上的-a 和+a 的位置上。

设坐标原点O 处的电势为零，试求空间的电势分布并画出其曲线。

[解] 无限大带电平板外电场强度的大小为0
2εσ
=
E
()()()
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧-
=⋅+⋅=>-
==⋅=≤≤-=
⋅+⋅=-<=⎰⎰⎰⎰⎰⎰--0
130
10
12d d 0
d d d d 0
εσεσεσεσa U a x x r E U a x a a U a x E a
a
x
x
a
a
x
l E l E l E l E l E 因此
因此因此
电势分布曲线
12-19. 如习题12-19图所示，两无限长的同轴均匀带电圆筒，内筒半径为R 1，单位长度带电量为λ1，外
筒半径为R 2，单位长度带电量为λ2。

求：图中a 、b 两点间的电势差U ab ；当零参考点选在轴线处时，求U a 。

[解] 以垂直于轴线的端面与半径为
r ，长为l ，过所求场点的同轴柱面为封闭
的高斯面。

rlE S π2d =⋅⎰⎰S E
根据高斯定理 ∑⎰⎰=
⋅q S
1
d εS E
所以⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨
⎧>+<<<=2
0212
101
1
220
R r r
R r R r R r E πελλπελ
-σa/ε0
σa/ε0
a
-a
O U
x
2b 02a b 01ab ln 2ln 2d d b 22a R R R R r E r E U R R R R πελπελ+=+=⎰⎰外内 a
101aO a ln 2d 1a R R r E U U R R πελ===⎰内 12-20. 如习题12-20图所示，一半径为 R 的均匀带正电圆环，其线电荷密度为λ。

在其轴线上有A 、B 两点，它们与环心的距离分别为OA 3R =
，OB 8R =。

一质量为m 、带电量为q 的粒子从点A 运动点
B ，求在此过程中电场力作的功。

[解] 由于带电圆环轴线上一点的电电场强度度为()232204x R qx
E +=πε
所以A 、B 两点间的电势差为
()⎰⎰+==R R R
R x x
R qx r E U 832322083AB d 4d πε ()()0
212202122012842342ελπεπλπεπλ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=R R R R R R
因此从点A 运动点B 电场力作功
AB 12ελq qU W == 12-21. 如习题12-21图所示，半径为R 的均匀带电球面，带电量为q 。

沿径矢方向上有一均匀带电细线，线电荷密度为λ，长度为l ，细线近端离球心的距离为r 0。

设球面和线上的电荷分布不受相互作用的影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零)。

[解一] 取坐标如图，在距原点为x 处取线元
d x ，d x 的电量为x q d d λ=，该线元在带电球面电
场中所受电场力为 ()x x q q x E F d 4d d 20πελ=
= 整个细线所受电场力为
()l r r ql x x q
F l r r +==⎰+000204d 400πελπελ
l r 0O q R dx x
()
i F l r r ql
+=0004πελ
d q 在q 的电场中具有电势能
x x
q
x q x qU W d 44d d d 00πελ
πελ=⋅==
000ln 4d 400r l
r q x x q W l r r +==⎰+πελπελ。