高等数学 第八章 第一节 向量及其线性运算

考研要求
1 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示; 2 掌握向量的线性运算，理解单位向量，方向角与 方向余弦，向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进
行向量运算方法。
第八章 第一节
2
一、向量的概念
向量(矢量)： 既有大小又有方向的量。 M2
向量的表示：有向线段。
向量的记法：黑体(印刷体)
M1
a , b 反向
注意 P6 ，建立数轴的理论依据
第八章 第一节
12
三、空间直角坐标系
1 基本概念
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系。
• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴 • 坐标面
Ⅳ
• 卦限(八个) Ⅶ
x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz 面 o xoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Rz
M
o
Q y
P
x
N
x2 + y2 + z2
对两点
因
得两点间的距离公式:
= ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
第八章 第一节
22
例4 求证以 为顶点的三角形是等腰三角形。 证: M1M 2 = (7 − 4)2 + (1 − 3)2 + (2 − 1)2 = 14
b
② =（− 1
，1
，−
2）。
第八章 第一节
19
例3 已知两点
及实数 −1 ，
在 AB 直线上求一点 M，使
。
解: 设 M 的坐标为
，如图所示 A
AM = MB = OM − OA
M
MB = OB − OM OM − OA = (OB − OM )
B
o
A
得
OM = 1 (OA+ OB)
1+
的垂直平面交 u 轴于 M ，
•
M
u
则向量
OM 称为向量
r
在 u 轴上的分向量。
设OM
=
e
，则数
称为向量
r在
u
轴上的投影，
记为 Pr j ur。
第八章 第一节
31
由此定义，向量
r
在
Oxyz坐标系中的坐标
rx
,
ry
,
rz
就是
r
在三坐标轴上的投影，即
rx = Pr j xr , ry = Pr j yr , rz = Pr j zr
35
例10 设立方体的一条对角线为OM ，一条棱为OA ，
且 OA = a，求OA 在 OM 方向上的投影 Pr j OM OA。
注 空间向量在轴上的投影
B 已知向量的起点 A 和终点 B 在
A
轴 u 上的投影分别为A , B，则
轴 u 上的有向线段 AB 的数值，
A
B u称为向量在轴 u 上的投影。
第八章 第一节
32
向量 AB 在轴 u 上的投影记为 Pr ju AB 或 ( AB)u 关于向量的投影定理(1)
向量 AB 在轴 u 上的投影等于向量的模乘以
M 2 M 3 = (5 − 7)2 + (2 − 1)2 + (3 − 2)2 = 6
M1M 3 = (5 − 4)2 + (2 − 3)2 + (3 − 1)2 = 6
M2M3 = M1M3
M1
M3
即 M1M 2 M 3 为等腰三角形 。 M2
第八章 第一节
23
例5 在 z 轴上求与两点 等距离的点。
第八章 第一节
8
例1 试证：任一个三角形的三条中线向量可以 构成一个三角形。
证 设 ABC 的三条边的中点依次为
D , E , F (如图所示)。
A
CD = CA + 1 AB
2 AE = AB + 1 BC
D
F
2
CD
BF = BC + 1 CA 2
+ AE + BF = CA +
AB
+
B
BC
+
B(0 , y , z)
C(x , 0 , z)
r
o
M y
Q(0 , y , 0)
x P( x , 0 , 0) A( x , y , 0)
第八章 第一节
14
z
o
x
坐标面 :
坐标轴 :
y
第八章 第一节
15
2 向量的坐标表示
在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示。
以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量，设点 M
=
6i
+
7
j
−
6k平行的单位向量的分解式。
第八章 第一节
29
3 向量在轴上的投影与投影定理 (1) 空间一点在轴上的投影
•M
过点 M 作轴 u 的垂直平面，
•M
u 交点 M 即为点 M 在轴 u 上
的投影。
第八章 第一节
30
(2) 空间向量(向径)在轴上的投影
Oe
•M 给定 OM = r，过 Ｍ 点作 u 轴
第八章 第一节
18
由定理1
a
0
时，a
//
b
b
=
a
(bx
,
by
,
bz)
=
(ax
, ay
, az )
bx ax
=
by ay
=
bz az
bx = ax 平行向量对应坐标成比例 by = a y
bz = az
例2
求解以向量为未知元的线性方程组
5x−3y=a
①
其中
a3=x（−22，y1=，b2）,
思考: (1) 求在 xoy 面上与 A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 求在空间与 A , B 等距离之点的轨迹方程?
例6 已知两点
，求 。
第八章 第一节
24
2 方向角与方向余弦
设有非零向量 ，任取空间一点 O ，作
a
,ຫໍສະໝຸດ Baidu
b
，称 的夹角。记作
=∠AOB
(0≤≤
)
为向量
类似可定义向量与轴，轴与轴的夹角。
轴与向量的夹角的余弦：Pr j u AB = AB cos
证
A A
B
u Pr j u AB = Pr j u AB
B
B u
= AB cos
第八章 第一节
33
定理(1)的说明：
(1) 0 , 投影为正；
c
2
(2) , 投影为负；
2
(3) = , 投影为零；
ba
u
2
(4) 相等向量在同一轴上投影相等。
第八章 第一节
34
关于向量的投影定理(2)---线性性质
两个向量的和在轴上的投影等于 两个向量在该轴上的投影之和。
Pr ju (a1 + a2 ) = Pr jua1 + Pr jua2
A
a1
a1 + a2
B a2
C
u
A
B
C
投影的性质
Pr j(a ) = Pr ja
第八章 第一节
可 推 广 到 有 限 多 个
= (x2 - x1 , y2 - y1 , z2 - z1)
第八章 第一节
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四、利用坐标作向量线性运算
设
a
=
(ax
,
ay
,
az )
,
b
=
(bx
,
by
,
bz )
a + b = (axi + ay j + azk ) + (bxi + by j + bzk )
= (ax + bx )i + (ay + by ) j + (az + bz )k
第八章 第一节
4
设有非零向量 ，任取空间一点 O ，作
，称 =∠AOB (0≤≤ ) 为向量
a
,
b
的夹角。记作
因平行向量可平移到同一直线上， 故两向量平行又称 两向量共线。
若 k (≥3) 个向量经平移可移到同一平面上， 则称此 k 个向量共面 。
第八章 第一节
5
二、向量的线性运算
1 向量的加法
则有单位向量 a
=
1a
因此
a=
a
a
a
第八章 第一节
10
定理1(P5) 设 a 为非零向量，则 ( 为唯一实数)
证: “ ”设
取
, a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向,
且
故
再证数 的唯一性。 设又有
，则
而
故 − =0 =
第八章 第一节
11
“ ” 已知 b＝ a , 则 b＝0 a , b 同向
6
s = a1 + a2 + a3 + a4 + a5
a4
a3
s
a1
a5
a2
第八章 第一节
7
2 向量的减法
b − a = b + (−a)
b + (−a)
− a b
b−a
a
特别当
b
=
a
时，有
a − a = a + (−a) = 0
三角不等式
ab a + b
给定
，称 与三坐标轴的夹角 , ,
为其方向角。
z
方向角的余弦称为其方向余弦。
r
cos = x =
x
r
x2 + y2 + z2
o
x
y
第八章 第一节
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cos = x =
r
cos = y =
r
cos = z =
r
x x2 + y2 + z2
y x2 + y2 + z2
z x2 + y2 + z2
平行四边形法则: b
三角形法则: a + b
a
运算规律 : 交换律 结合律
a+ a
b
a+b
(a + b
b
a+
(b
+
c)
(a + b) + c
=b+a
) + c = a + (b +
b+c
a+b a c)= a +
c b
b
+c
三角形法则可推广到多个向量相加。
第八章 第一节
中点公式:
x = x1 + x2 , y = y1 + y2 , z = z1 + z2
2
2
2
第八章 第一节
B M
21
五、向量的模、方向角、投影
1设向r 量= (的x ,模y ,与z )两，点作间O的M 距= 离r ，公则式有 r = OM = OP + OQ + OR
由勾股定理得
r = OM
=
B
即
(x
,
y
,
z)
=
1
1+
( x1
+
x2
,
y1
+
y2
, z1
+
z2 )
M
第八章 第一节
20
说明:由
(x
,
y
,
z)
=
1
1+
( x1
+
x2
,
y1
+
y2
, z1
+
z2)
得定比分点公式:
A
x = x1 + x2 , y = y1 + y2
1+
1+
z = z1 + z2 1+
M
B
o
A
当 = 1 时，点 M 为 AB 的中点，于是得
或字母上面加箭头(手写体)。 a 或 M1M2
向量的模： 向量的大小 | a | 或 | M1M2 |
单位向量： 模长为1的向量。
零向量： 模长为0的向量 0 (方向任意)。
第八章 第一节
3
若向量 a 与 b大小相等，方向相同， 则称 a 与 b 相等， 记作 a＝b ; (自由向量) 若向量 a 与 b 方向相同或相反，则称 a 与 b 平行， 记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同，但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
第八章 空间解析几何与向量代数
第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点 , 线 , 面
数量关系 — 坐标 , 方程组 , 方程 基本方法 — 坐标法; 向量法
第八章 第一节
1
第一节 向量及其线性运算
教学内容
1 向量的概念与向量的线性运算; 2 空间直角坐标系; 3 利用坐标作向量的线性运算; 4 向量的模，方向角，投影;
Ⅵ
第八章 第一节
13
在直角坐标系下
点 M ⎯1−⎯−1→ 有序数组 ( x , y , z) ⎯1−⎯−1→ 向径
(称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :
起点在原 点的向量
原点 O( 0 , 0 , 0) ; 坐标轴上的点 P , Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C
z
R(0 , 0 , z)
1
E
( AB +
BC
+
C
CA)
=
0
2
ΔABC 三条中线向量可以构成一个三角形。
第八章 第一节
9
3
向量与数的乘法 是一个数 , 与 a 的乘积，记作
a
。
规定 :
总之:
a = a
可见
1a = a ; −1a = −a
运算律 : 结合律
( a)= ( a) = a
分配律
(a + b) = a + b
或点 M 的坐标。
z
z
B(x2 , y 2 , z2)
•
M(x , y , z)
o
yy
A(x1 , y1 , z1) x x
o
M(x2 - x1 , yy2 - y1 , z2 - z1)
向量 AB 的坐标= 向径 OM 的坐标
x = AB 的终点坐标 (x2 , y2 , z2) - 起点坐标 (x1 , y1 , z1)
方向余弦的性质: 向量 的单位向量：
z
r
o
y
x
第八章 第一节
26
例7 已知两点 M1M2 的模 , 方向余弦和方向角。
，计算向量
第八章 第一节
27
例8 设点 A 位于第一卦限，向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹
角依次为 ,
34
，且
OA
= 6 ，求点 A 的坐标。
第八章 第一节
28
例9
求与
a
的坐标为 M ( x , y , z) ，则
OM = ON + NM = OA+ OB + OC
r = x i + y j + z k = (x , y , z)
此式称为向量 r 的坐标分解式 ，
z
C
iko
r
j
M
B
y
A
x
N
称为向量 沿三个坐标轴方向的分向量。
第八章 第一节
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向径OM ⎯1−⎯−1→ 点M ⎯1−⎯−1→ 有序数组( x, y, z) 称 (x , y , z) 为向径 OM 的坐标，z
= (ax + bx , ay + by , az + bz )
即 (ax , a y , az ) + (bx , by , bz ) = (ax + bx , a y + by , az + bz ) a − b = (ax − bx , a y − by , az − bz )
a = (ax , ay , az )