切线长定理

O
A
B
C
小 结：
1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切 线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
B
∵PA、PB分别切⊙O于A、B
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
E
。
OC
D
P OP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等，角
A
相等，弧相等，垂直关系提供了理论
依据。必须掌握并能灵活应用。
。
O
P
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
B
切线长定理为证明 线段相等，角相等，弧 相等，垂直关系提供了 理论依据。必须掌握并 能灵活应用。
例2 如图，已知：在△ABC中，∠B＝90°，O是 AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆交AB
于点E，切AC于点D。求证：DE∥OC C
·A O·
B
切线长定理 过 圆外一点作圆的 两条切线长相等
·P
已知：如图，P为⊙ O外一点，PA、PB为 ⊙ O的切线，A、B为切点，连结PO
求证： PA PB
1、判断
练习
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。
2、如图PA、PB切圆于A、B两点，APB 50
A
O
P
B
牛刀小试
A
O
P
M
C
B
（1）若PA=4、PM=2，求圆O的半径OA OA=3
（2）已知OA=3cm,OP=6cm，则∠APB= 60°
（3）若∠P=70°，则∠AOB= 110 °
⌒⌒ （4）OP交⊙O于M，则ＡＭ＝ＢＭ
，ＡＢ⊥
ＯＰ
反思：在解决有关
A
圆的切线长的问题
时，往往需要我们
构建基本图形。
2.圆的外切四边形的两组对边的和相等
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导学卷54页 当堂达标4 课后提高1、2、3题
作业： 课时练55--56页1、4、6--12题
（2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
（3）写出图中所有的全等三角形
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
（4）写出图中相等的圆弧
（5）写出图中所有的等腰三角形 △ABP， △AOB
（6）若PA=4、PD=2，求半径OA
例1、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为 切点，∠OAB＝30°． （1）求∠APB的度数； （2）当OA＝3时，求AP的长．
P· ·O A
P ·O ·
P·
·O
问题2、经过圆外一点P，如何作已知⊙O的 切线？
问题2、经过圆外一点P，如何作已知⊙O的
切线？
A
。
P
O
B
思考：假设切线PA已作出，A为切点， 则∠OAP=90°,连接OP，可知A在怎样 的圆上?
过⊙O外一点作⊙O的切线
A
OO ·
P
B
一、切线长定义 经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的 线段的长叫做这点到圆的切线长。
课前检测：
１、如图：PA切⊙O于点A，该圆的半径为3， PO=5，则PA的长等于 4
２、如图：Ａ Ｂ是⊙O上的两点，ＡＣ是 ⊙O的切线，∠Ｂ＝７００，则∠ＢＡＣ＝ 20０
A 0
P （1）
O Ｂ
Ａ
C
（2）
2.2直线和圆的位置关系
-----切线长定理
问题1、经过平面上一个已知点，作已知 圆的切线会有怎样的情形？
A
O·
P
切线与切线长的区 别与联系：
B
（1）切线是一条与圆相切的直线；
（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。
若从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点 分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结 论？并证明你所发现的结论。
B
PA = PB
。
P
O
A 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
试用文字语言 叙述你所发现 的结论
∴ PA = PB
二、切线长定理 过圆外一点作圆的两条切线 长相等
B
。
P
O
几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B
A
PA = PB
反思：切线长定理为证明线段相等提 供了 新的方法
连结PO，则 APO 25 度。
A O
P
B
3、如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，
DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线
长为8CM，则Δ PDE的周长为（
）A
A 16cm C 12cm
B 14cm D 8cm
AD
C
P
E B
思考：当切点F在弧AB上运动时，问△PED 的周长、∠DOE的度数是否发生变化，请说 明理由。
AD
OF
P
E B
数学探究 思考：连结AB，则AB与PO有怎样的位置关系？
为什么？ 你还能得出什么结论？
·A
O·E
·P
B
切线长定理的基本图形的研究
A
PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直
线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。
E
O CD
P
（1）写出图中所有的垂直关系 B
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
证明：连接ＢＤ．
∵∠ＡＢＣ＝９０°，ＯＢ为⊙Ｏ的半径
12
D
∴ＣＢ是⊙Ｏ的切线
∵ＡC是⊙Ｏ的切线，Ｄ是切点
· A E O B
∴ＣＤ＝ＣＢ，∠１＝∠２
∴ＯＣ⊥ＢＤ
∵ＢＥ是⊙Ｏ的直径
∴∠ＢＤＥ＝９０°，即ＤＥ⊥ＢＤ
∴ＤＥ∥ＯＣ
2、试一试：如图1，一个圆球放置在V形架中。 图2是它的平面示意图，CA和CB都是⊙O的切 线，切点分别是A、B。如果⊙O的半径为 2 3 cm，且AB=6cm，求∠ACB。