数值分析实验报告4

实验四 数值积分

实验目的

1、了解并掌握matlab 软件的基本编程、操作方法；

2、初步了解matlab 中的部分函数，熟悉循环语句的使用；

3、通过上机进一步领悟用复合梯形、复合辛普森公式，以及用龙贝格求积方法计算积分的原理。

实验题目：

1.用不同数值方法计算积分错误!未指定书签。⎰10x ln xdx=-9

4. (1) 取不同的步长h.分别用复合梯形及辛普森求积计算积分，给出误差中关于h 的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小的h ，使得精度不能再被改善？

(2) 用龙贝格求积计算完成问题（1）。

1.实验原理

(1) 复合梯形公式：Tn=++)()([2b f a f h 2∑-=11

)](n k xk f ； (2) 复合辛普森公式：Sn=6h [f(a)+f(b)+2∑-=11)](n k xk f +4∑-=+10

)2/1(n k x f ]； 以上两种算法都是将a-b 之间分成多个小区间（n ）,则h=(b-a)/n,x k =a+kh, x k+1/2=a+(k+1/2)h,利用梯形求积根据两公式便可。

(3) 龙贝格算法：在指定区间内将步长依次二分的过程中运用如下公式

1、Sn=34T2n-3

1Tn 2、 Cn=1516S2n-15

1Sn 3、 Rn=6364C2n-63

1Cn 2.程序设计

（1）、复合梯形法：

function t=natrapz(fname,a,b,n)

h=(b-a)/n;

fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);f=feval(fname,a+h:h:b-h+0.001*h); t=h*(0.5*(fa+fb)+sum(f));

（2）、复合辛普森法：

function t=natrapz(fname,a,b,n)

h=(b-a)/n;

fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);f1=feval(fname,a+h:h:b-h+0.001*h); f2=feval(fname,a+h/2:h:b-h+0.001*h);

t=h/6*(fa+fb+2*sum(f1)+4*sum(f2));

（3）龙贝格法：

function [I,step]=Roberg(f,a,b,eps)

if(nargin==3)

eps=1.0e-4;

end;

M=1;

tol=10;

k=0;

T=zeros(1,1);

h=b-a;

T(1,1)=(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b));

while tol>eps

k=k+1;

h=h/2;

Q=0;

for i=1:M

x=a+h*(2*i-1);

Q=Q+subs(sym(f),findsym(sym(f)),x);

end

T(k+1,1)=T(k,1)/2+h*Q;

M=2*M;

for j=1:k

T(k+1,j+1)=T(k+1,j)+(T(k+1,j)-T(k,j))/(4^j-1);

end

tol=abs(T(k+1,j+1)-T(k,j));

end

I=T(k+1,k+1);

step=k;

3.实验结果；

（1）复合梯形法

format long;natrapz(inline('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,10),format short;

ans =

-0.41706283177947

format long;natrapz(inline('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,100),format short;

ans =

-0.44311790800816

>> format long;natrapz(inline('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,1000),format short;

ans =

-0.44438753899716

(2)、复合辛普森法结果：

>> format long;natrapz(inline('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,10),format short;

ans =

-0.43529789007469

>> format long;natrapz(inline('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,100),format short;

ans =

-0.44416117841567

>> format long;natrapz(inline('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,1000),format short;

ans =

-0.44443411761418

(3)龙贝格法结果

[q,s]=Roberg('sqrt(x)*log(x)',0.0000001,1)

q =

-0.4444

s =

9

4.总结由实验结果可知复合辛普森法求积分精度明显比复合梯形法求积的精度要高，且当步长取不同值时即n越大、h越小时，积分精度越高。实验结果说明不存在一个最小的h,使得精度不能再被改善。