(甘志国)对阿基米德鉴别皇冠真伪的故事的质疑

对阿基米德鉴别皇冠真伪的故事的质疑

甘志国(已发表于新高考(高二·数学(必修复习))，2016(1-2)：7-8)

1 数学之神阿基米德]1[

阿基米德(Archimedes，公元前287～公元前212)，出生于

西西里岛的叙拉古的一个贵族家庭，与叙拉古的赫农王(King

Hieron)有亲戚关系，家庭十分富有.他和牛顿(Isaac

Newton,1642～1727)、高斯(Carl Friedrich Gauss,1777～1855)

被誉为有史以来的三大数学家.阿基米德的父亲是天文学家兼数

学家，学识渊博，为人谦逊.阿基米德受家庭的影响，从小就对

数学、天文学特别是古希腊的几何学产生了浓厚的兴趣.当他刚满十一岁时，借助与王室的关系，被送到埃及的亚历山大里亚城阿基米德

去学习.亚历山大位于尼罗河口，是当时文化贸易的中心之一.人才荟萃，被世人誉为“智慧之都”.阿基米德在这里学习和生活了许多年，曾跟很多学者密切交往.他兼收并蓄了东方和古希腊的优秀文化遗产，在其后的科学生涯中作出了重大的贡献.

阿基米德是伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人.他从小就善于思考，喜欢辩论.早年游历过古埃及，曾在亚历山大城学习.据说他就在亚历山大里亚时期发明了阿基米德式螺旋抽水机.后来阿基米德成为兼数学家与力学家的伟大学者，并且享有“力学之父”的美称.在数学方面，著有《论球和圆柱》《抛物线的求积》《圆的度量》《论劈锥曲面体和球体》等论文和10余种著作流传于世，多为希腊文手稿.在《论螺线》一文中，他研究的等速螺线现称为阿基米德螺线.在物理学方面，发现了杠杆定律和关于浮力的阿基米德定律，还发明了螺旋提水器等机械器具，设计了多种建筑物.

在第二次布匿战争中，罗马人进犯叙拉古，阿基米德应用机械技术来帮助防御，使来犯之敌闻风丧胆，这也使阿基米德有“数学之神”的美誉.但最终城被攻破，阿基米德被罗马士兵杀害，终年七十五岁.阿基米德的遗体葬在西西里岛，墓碑上刻着一个圆柱内切球的图形，以纪念他在几何学上的卓越贡献.

2 阿基米德鉴别皇冠真伪的故事]2[

叙拉古(属希腊管辖，希腊的国王是托勒玫)的的希罗王对阿基米德说：“阿基米德，我有一个问题要向您请教.”

“好，陛下，我能给您什么帮助吗？”

“情况有一点我不满意，”国王详细地说，“我告诉了您，您可不要告诉任何人！”

“当然可以，请您相信我.”

“我的问题就在这里.丢奥森内斯为我造了个新皇冠，那不是，用丝绒包着的.”

“真华丽，陛下！您是否喜欢它？”

“从外表上看，我也喜欢，但是，我总觉得没有完全按照我的要求做.”国王解释说，“您知道，我为丢奥森内斯提供了制造皇冠所需要的金子.但是，现在我怀疑金匠在皇冠内依银代替了金，而把贵重的金子据为己有.”

“噢！”阿基米德被难住了，“当然，您不想把漂亮的皇冠割开，看个究竟.您已经核对过皇冠的重量与您给予丢奥森内斯的金子是一样的重，是吗？”

希罗王点点头.阿基米德没有立即解答出国王的问题，他有点困惑.

阿基米德答应思考这个问题，然后就走开了，他常常心不在焉地自言自语沉侵于该问题

中，连自己该往哪里走都忘了.有时撞着人，有时走到马车前面，有时甚至连吃饭也忘了，直到他的朋友提醒他.

有一天，阿基米德去公共浴室洗澡，当他坐进木盆，一个思想像闪电一样出现了.他是那样的兴奋——为他的发现而兴奋，他冲出浴室跳着跑着上了街，喊道：“发现了，发现了！”竟然连衣服也忘了穿.阿基米德就这样发现了浮力定律.

在澡盆里，阿基米德观察到被他的身体排出的水量：在他降低或身高他的身体时，水面就随着身高或降低；当他的身体完全进入水中时，水对他的浮力最大，水的浮力使他飘起来.经过思考，他认识到：被水支持的体积越大，受到水的浮力也越大.有较大体积的物体与同样重量的小物体相比，承受着较大的浮力.例如，六寸的塑料尺和一个镍币一样重，但是，尺浮而镍币下沉.因为尺子有较大的体积，所以就有较大的浮力.

阿基米德知道：丢奥森内斯为希罗王制造的皇冠与国王给他的金子应该一样重才对，但是，如果这个皇冠排出的水多于同样重量的金子，就意味着皇冠的体积较大，所以，他必定包含着比金密度小的物质——银.他把与皇冠同样重的金放入水中，看水升高多少；然后，他又把皇冠置于水中，看见水升得较高.由此证明：皇冠有较大的体积，不是纯金的.多于制造皇冠的金匠，后来如何处置，每人知晓.

3 对鉴别结论的质疑

阿基米德鉴别皇冠真伪的原理很简单，只用到“密度”——因为同一物质的密度相同，所以相同质量的金在形状任意改变时体积不会变化.但阿基米德由此问题发现了“浮力定律”是难能可贵的.

设质量为m kg 的金皇冠的体积为V m ³，质量为m kg 的金的体积为V 'm ³，则

(1)若V V '>，则金金皇冠ρρ<，说明金皇冠里掺有密度小于金的物质(比如银)；

(2)若V V '<，则金金皇冠ρρ>，说明金皇冠里掺有密度大于金的物质(比如铂)；

(3)若V V '=，则金金皇冠ρρ=，说明金皇冠可能是用纯金制成的(当然，金皇冠里也可能既掺有密度小于金的物质又掺有密度大于金的物质).

如何测出形状不规则的金皇冠的体积？通常的方法是把它放入水中来测(下称水测法).但这种方法只适合于金皇冠是实心物体的情形，当金皇冠不是实心物体时测量其体积是很难的.

上面的故事说，用水测法得出金皇冠的体积大于与其质量相同的金的体积，聪明的金匠一定会说：“尊敬的陛下，尊敬的阿基米德先生，我制造的金皇冠一定是纯金的，是因为金皇冠的内部有很多小空隙才使体积增大的呀，这样的皇冠既轻便又华贵呀.”……笔者真不知道尊敬的陛下和尊敬的阿基米德先生是如何回答聪明的金匠的？

参考文献

1 谷超豪主编.数学词典[Z].上海：上海辞书出版社，1992.668

2 [美]吕塔·莱默尔(Luetta Reimer)，维尔贝特·莱默尔(Wilbert Reimer)著.欧阳降译.数学 我爱你[Z].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2008.26-34