10.3 频率与概率
新教材2023高中数学第十章概率10.3频率与概率10.3.1频率的稳定性课件新人教A版必修第二册
【跟踪训练】
4.某校将举行校庆活动,每班派 1 人主持节目.高一(2) 班的小明、小华和小利实力相当,都想参加,班主任决定用 抽签的方式决定,机灵的小强给小华出主意,小华先抽,理由 是先抽的机会大.说一说你的想法.
解:其实机会是一样的.取三张卡片,上面标上 1,2,3,抽到 1 就表示中签,则可以把情况填入下表:
(2)这一地区考上大学的学生是男生的概率约是多少?
解:(1)f1= ≈0.520 0, f2= ≈0.517 3, f3= ≈0.517 3, f4= ≈0.517 3. (2)这一地区考上大学的学生是男生的概率约为 0.517 3.
3.拔高练李老师在某大学连续 3 年主讲经济学院的课程
“高等数学”,下表是李老师统计的这门课 3 年来的学生考试
方案 A:猜“是奇数”或“是偶数”; 方案 B:猜“是 4 的整数倍”或“不是 4 的整 数倍”. 请回答下列问题: (1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你会选 哪种猜数方案? (2)为了保证游戏的公平性,你认为应选哪 种猜数方案?
解:(1)为了尽可能获胜,乙应选择方案 B,猜“不是 4 的 整数倍”.
学生 一 二 三 四 五 六 小明 1 1 2 2 3 3 小华 2 3 1 3 1 2 小利 3 2 3 1 2 1
从上表可以看出:小明、小华、小利依次抽签,一共有六 种情况,第一、第二种情况,小明中签;第三、第五种情况,小 华中签;第四、第六种情况,小利中签.所以小明、小华、小 利中签的可能性都是相同的,即小明、小华、小利的机会是 一样的,先抽后抽机会是均等的.
方法规律
1.由频率估计概率的一般步骤: (1)确定随机事件 A 的频数 nA(n 为试验的总次数);
(2)由 fn(A)= 计算频率 fn(A); (3)由频率 fn(A)估计概率 P(A). 2.概率可看成频率在理论上的稳定值,数量上反映了随机 事件发生的可能性的大小.概率是频率的科学抽象,当试验次数
新教材人教版高中数学必修第二册 第10章 10.3 频率与概率
第十章 概 率
游戏公平性的标准及判断方法 (1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性 或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的． (2)具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进 行比较．
栏目 导引
第十章 概 率
有一种游戏是这样的：在一 个大转盘上，盘面被均匀地分成 12 份，分别 写有 1～12 这 12 个数字(如图所示)，其中 2， 4，6，8，10，12 这 6 个区域对应的奖品是文 具盒，而 1，3，5，7，9，11 这 6 个区域对应的奖品是随身听．游 戏规则是转盘转动后指针停在哪一格，则继续向前前进对应转 盘上数字的格数．例如：你转动转盘停止后，指针落在 4 所在 区域，则还要往前前进 4 格，到标有 8 的区域，此时 8 区域对 应的奖品就是你的，以此类推．请问：小明在玩这个游戏时， 得到的奖品是随身听的概率是多少？
P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可 以用频率 第十章 概 率
■名师点拨
频率与概率的区别与联系
名称
区别
联系
本身是随机的，在试验之前无法 (1)频率是概率的近似值，
确定，大多会随着试验次数的改 随着试验次数的增加，频 频率
变而改变．做同样次数的重复试 率会越来越接近概率
栏目 导引
第十章 概 率
随机事件概率的理解及求法 (1)理解：概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了 随机事件发生的可能性的大小．当试验的次数越来越多时，频 率越来越趋近于概率．当次数足够多时，所得频率就近似地看 作随机事件的概率． (2)求法：通过公式 fn(A)＝nnA＝mn 计算出频率，再由频率估算概 率．
栏目 导引
第十章 概 率
数学人教A版必修第二册10.3频率与概率
更愿意相信甲的判断
四、归纳
频率
本身是随机的观测值（实验值），在实验前无法确定，多
概率
本身是固定的理论值，与实验
区分 数会随着实验的改变而变化，做同样次数的重复实验，得 次数无关，只与事件自身的属
到的结果也会不同
联系
性有关
频率是概率的实验值，会随实验次数的增大逐渐稳定；概率是频率理论上的稳定值，在实
10.3
频率与概率
学习目标
1、在问题情景中了解频率与概率的关系
2、理解频率与概率的关系，明确事件A产生的概率fn（A）
与事件A产生的概率P（A）的区分与联系
3、了解蒙特卡洛方法，通过实例理解其步骤
一、复习回顾
1
抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率为 .
2
1
2
（样本点等可能）
抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率为多少？
0.571
合计
840
423
0.504
0.8
系列1, 5,
系列1, 2, 系列1, 3,
系列1,
0.579
0.5716,
0.557
系列1, 4,0.504
系列1, 1,
0.421
0.364
0.0
1
2
3
4
5
6
二、新知学习（共同探究）
n=140
n=20
1.0
1
0.8
系列1, 4,
系列1, 1,
系列1,
系列1,
分析：把硬币正面朝上记为1，反面朝上记为0，
则这个实验的样本空间Ω= 1，1 ， 1，0 ， 0，1 ，（0，0）
A=
10.3 频率与概率(精练)(解析版)
10.3 频率与概率（精练）【题组一 频率与概率的概念区分】1．（2021·全国单元测试）下列说法正确的有( ) ①随机事件A 的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值． ②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生． ③任意事件A 发生的概率()P A 总满足()01P A <<. ④若事件A 的概率为0，则A 是不可能事件． A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】不可能事件的概率为0，但概率为0的事件不一定是不可能事件，如几何概率中“单点”的长度、面积、体积都是0，但不是不可能事件，∴④不对；抛掷一枚骰子出现1点和出现2点是不同的基本事件，在同一次试验中，不可能同时发生，故②正确；任意事件A 发生的概率P (A )满足()01P A ，∴③错误；又①正确．∴选C.2．（2020·全国高一课时练习）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是( ) A ．频率就是概率B ．频率是随机的，与试验次数无关C ．概率是稳定的，与试验次数无关D ．概率是随机的，与试验次数有关【答案】C【解析】频率指的是：在相同条件下重复试验下， 事件A 出现的次数除以总数，是变化的 概率指的是： 在大量重复进行同一个实验时， 事件A 发生的频率总接近于某个常数， 这个常数就是事件A 的概率，是不变的 故选：C3．（多选）（2020·山东省桓台第一中学）下列说法中，正确的是（ ） A ．频率反映随机事件的频繁程度，概率反映随机事件发生的可能性大小；B ．频率是不能脱离n 次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；C ．做n 次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率mn就是事件的概率； D ．频率是概率的近似值，而概率是频率的稳定值.【答案】ABD【解析】频率是在一次试验中某一事件出现的次数与试验总数的比值，随某事件出现的次数而变化概率指的是某一事件发生的可能程度，是个确定的理论值故选：ABD4．（多选）（2021·全国高一课时练习）下列说法正确的是（）A．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率B．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀C．某种福利彩票的中奖概率为11000，那么买1000张这种彩票一定能中奖D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水【答案】AB【解析】对于A，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故A正确对于B，如果骰子均匀，则各点数应该均匀出现，所以根据结果都是出现1点可以认定这枚骰子质地不均匀，故B正确．对于C，中奖概率为11000是指买一次彩票，可能中奖的概率为11000，不是指1000张这种彩票一定能中奖，故C错误．对于D，“明天本市降水概率为70%”指下雨的可能性为0.7，故D错．故选：AB．5．（多选）（2020·全国高一课时练习）下列说法正确的是（）A．一个人打靶，打了10发子弹，有6发子弹中靶，因此这个人中靶的概率为0.6B．某地发行福利彩票，其回报率为47%，有个人花了100元钱买彩票，一定会有47元回报C．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同D．大量试验后，可以用频率近似估计概率.【答案】CD【解析】A、某人打靶，射击10次，击中6次，那么此人中靶的频率为0.6，故A错误；B、买这种彩票是一个随机事件，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，故B错误；C、根据古典概型的概率公式可知C正确；D、大量试验后，可以用频率近似估计概率，故D正确．故选：CD ．6．（2020·全国高一课时练习）下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性大小； ②百分率是频率，但不是概率；③频率是不能脱离试验次数n 的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值； ④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值. 其中正确的是______________. 【答案】①③④【解析】对于①,由频率和概率概念: 频率是反映事件发生的频繁程度,概率是反映事件发生的可能性大小.可知①正确;对于②,概率也可以用百分率表示,故②错误.对于③,频率与试验次数相关,而概率与试验次数无关,所以③正确;对于④,对于不同批次的试验,频率不一定相同,但概率相同,因而频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值,所以④正确.由概率和频率的定义中可知①③④正确. 故答案为: ①③④ 【题组二 概率的计算】1．（2020·全国高一课时练习）某地为了整顿电动车道路交通秩序，考虑对电动车闯红灯等违章行为进行处罚，为了更好地了解情况，在某路口骑车人中随机选取了100人进行调查，得到如下数据，其中10a b =+．（1）用表中数据所得频率代替概率，求对骑车人处罚10元与20元的概率的差；（2）用分层抽样的方法在处罚金额为10元和20元的抽样人群中抽取5人，再从这5人中选取2人参与路口执勤，求这两种受处罚的人中各有一人参与执勤的概率． 【答案】（1）110；（2）35. 【解析】（1）由条件可得1050100a b a b =+⎧⎨++=⎩，解得3020a b =⎧⎨=⎩，所以处罚10元的有30人，处罚20元的有20人．所以对骑车人处罚10元与20元的概率的差为3020110010010-=． （2）用分层抽样的方法在受处罚的人中抽取5人，则受处罚10元的人中应抽取3人，分别记为a ，b ，c ， 受处罚20元的人中应抽取2人，分别记为A ，B ，若再从这5人中选2人参与路口执勤，共有10种情况：(),a b ，(),a c ，(),a A ，(),a B ，(),b c ，(),b A ，(),b B ，(),c A ，(),c B ，(),A B ，其中两种受处罚的人中各有一人的情况有6种：(),a A ，(),a B ，(),b A ，(),b B ，(),c A ，(),c B ， 所以两种受处罚的人中各有一人参与执勤的概率为63105=． 2．（2020·全国高一课时练习）2020年新型冠状病毒席卷全球，美国是疫情最严重的国家，截止2020年6月8日美国确诊病例约为200万人，经过随机抽样，从感染人群中抽取1000人进行调查，按照年龄得到如下频数分布表：（Ⅰ）求a 的值及这1000例感染人员的年龄的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （Ⅱ）用频率估计概率，求感染人群中年龄不小于60岁的概率. 【答案】（Ⅰ）250a =，平均数为52.2；（Ⅱ）0.38. 【解析】（Ⅰ）由题意知50320300801000a ++++=， ∴250a =， 年龄平均数1050302505032070300908052.21000⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==.（Ⅱ）1000人中年龄不小于60岁的人有380人， 所以年龄不小于60岁的频率为3800.381000=， 用频率估计概率，所以感染人群中年龄不小于60岁的概率为0.38.3．（2020·全国高一课时练习）某制造商2019年8月份生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个乒乓球的直径（单位:mm ），将数据分组如下表:（1）请将上表补充完整；（2）已知标准乒乓球的直径为40.00mm ，试估计这批乒乓球的直径误差不超过0.03mm 的概率. 【答案】（1）表见解析（2）0.9 【解析】（1）（2）标准尺寸是40.00mm ，若要使误差不超过0.03mm ，则直径落在[]39.97,40.03内.由（1）中表知，直径落在[]39.97,40.03内的频率为0.20.50.20.9++=， 所以这批乒乓球的直径误差不超过0.03mm 的概率约为0.9.4．（2020·全国高一课时练习）某水产试验厂进行某种鱼卵的人工孵化，6个试验小组记录了不同的鱼卵数所孵化出的鱼苗数，如下表所示:（1）表中①②对应的频率分别为多少（结果保留三位小数）? （2）估计这种鱼卵孵化成功的概率.（3）要孵化5000尾鱼苗，大概需要鱼卵多少个（精确到百位）?【答案】（1）0.889,0.901（2）0.9（3）50005600 0.9≈【解析】（1）106721630.889,0.90112002400≈≈，所以①②对应的频率分别为0.889,0.901.（2）从表中数据可看出，虽然频率都不一样，但随着试验的鱼卵数不断增多，孵化成功的频率稳定在0.9附近，由此可估计该种鱼卵孵化成功的概率为0.9.（3）大概需要鱼卵500056000.9≈(个).5．（2021·全国高一课时练习）某个制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有500名志愿者服用此药，结果如下：如果另有一人服用此药，估计下列事件发生的概率：（1）这个人的体重减轻了；（2）这个人的体重不变；（3）这个人的体重增加了.【答案】（1）0.552；（2）0.288；（3）0.16.【解析】（1）由频率估计概率可得：体重减轻了的概率估计值为2760.552 500=；（2）由频率估计概率可得：体重不变的概率估计值为1440.288 500=；（3）由频率估计概率可得：体重增加了的概率估计值为800.16 500=.6．（2021·全国高一课时练习）某中学有教职工130人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下：从这130名教职工中随机地抽取一人，求下列事件的概率； （1）具有本科学历； （2）35岁及以上；（3）35岁以下且具有研究生学历. 【答案】（1）813；（2）926；（3）726. 【解析】（1）具有本科学历的共有50201080++=（人），故所求概率为80813013=. （2）35岁及以上的共有331245+=（人），故所求概率为45913026=. （3）35岁以下且具有研究生学历的有35人，故所求概率为35713026=. 【题组三 生活中的概念】1．（2021·全国高一课时练习）一个游戏包含两个随机事件A 和B ，规定事件A 发生则甲获胜，事件B 发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事件A 和B 发生的概率是否相等.在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次.据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论？为什么？ 【答案】支持甲对游戏公平性的判断，理由见解析【解析】：当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5； 当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7，根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小.相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近.而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的.因此，应该支持甲对游戏公平性的判断.2．（2021·全国高二课时练习）有人说:“掷一枚骰子一次得到的点数是2的概率是16,这说明掷一枚骰子6次会出现一次点数是2.”对此说法,同学中出现了两种不同的看法:一些同学认为这种说法是正确的.他们的理由是:因为掷一枚骰子一次得到点数是2的概率是16,所以掷一枚骰子6次得到一次点数是2的概率P=16×6=1,即“掷一枚骰子6次会出现一次点数是2”是必然事件,一定发生.还有一些同学觉得这种说法是错误的,但是他们却讲不出是什么理由来.你认为这种说法对吗?请说出你的理由.【答案】见解析【解析】这种说法是错误的.上述认为说法正确的同学,其计算概率的方法自然也是错误的.为了弄清这个问题,我们不妨用类比法,即把问题变换一下说法.原题中所说的问题,类似于“在一个不透明的盒子里放有6个标有数字1,2,3,4,5,6的同样大小的球,从盒中摸一个球恰好摸到2号球的概率是16.那么摸6次球是否一定会摸到一次2号球呢?”在这个摸球问题中,显然还缺少一个摸球的规则,即每次摸到的球是否需要放回盒子里?显然,如果摸到后不放回,那么摸6次球一定会摸到一次2号球.如果摸到球后需要放回,那么摸6次球就不一定会摸到一次2号球了.由此看来,我们先要弄清这个摸球问题与上面的掷骰子问题是否完全类同,是否应当有每次摸到的球还要放回盒子里的要求.我们先看看上面掷骰子问题中的规则,在掷骰子问题中,表面上好像没写着什么规则,但实际上却藏有一个自然的规则,即第一次如果掷得某个数(如3),那么后面还允许继续掷得这个相同的数.于是摸球问题要想与掷骰子问题中的规则相同,显然每次摸到的球必须要放回盒子里才妥当.那么摸6次球就不一定会摸到一次2号球了.3．（2021·全国课时练习）甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）完游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.（1）设(,)i j分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？（3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜，你认为此游戏是否公平，说明你的理由.【答案】12，23，不公平【解析】（1）甲乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用4’表示，红桃2，红桃3，红桃4分别用2，3，4表示）为：（2，3）、（2，4）、（2，4’）、（3，2）、（3，4）、（3，4’）、（4，2）、（4，3）、（4，4’）、（4’，2）、（4’，3）、（4’，4）共12种不同情况（没有写全面时：只写出1个不给分，2-4个给1分，5-8个给8分，9-11个给3分）（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4’因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为2 3（3）由甲抽到的牌比乙大的有（3，2）、（4，2）、（4，3）、（4’，2）、（4’，3）5种，甲胜的概率15 12p=，乙获胜的概率为27 12p=，∵57 1212<∴此游戏不公平．4．（2021·全国高一课时练习）有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:A．猜“是奇数”或“是偶数”B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”请回答下列问题:(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么?(2)为了保证游戏的公平性,你认为应制定哪种猜数方案?为什么?(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.【答案】(1) 应选方案B ,猜“不是4的整数倍数”;(2) 应当选择方案A;(3) 可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”【解析】 (1)如题图,方案A中“是奇数”或“是偶数”的概率均为=0.5;方案B中“不是4的整数倍数”的概率为=0.8,“是4的整数倍数”的概率为=0.2;方案C中“是大于4的数”的概率为=0.6,“不是大于4的数”的概率为=0.4.乙为了尽可能获胜,应选方案B,猜“不是4的整数倍数”.(2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,从而保证了该游戏是公平的.(3)可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”,此方案也可以保证游戏的公平性.5．（2020·全国课时练习）有人说:“掷一枚骰子一次得到的点数是2的概率是16,这说明掷一枚骰子6次会出现一次点数是2.”对此说法,同学中出现了两种不同的看法:一些同学认为这种说法是正确的.他们的理由是:因为掷一枚骰子一次得到点数是2的概率是16,所以掷一枚骰子6次得到一次点数是2的概率P=16×6=1,即“掷一枚骰子6次会出现一次点数是2”是必然事件,一定发生.还有一些同学觉得这种说法是错误的,但是他们却讲不出是什么理由来.你认为这种说法对吗?请说出你的理由. 【答案】见解析【解析】这种说法是错误的.上述认为说法正确的同学,其计算概率的方法自然也是错误的. 为了弄清这个问题,我们不妨用类比法,即把问题变换一下说法.原题中所说的问题,类似于“在一个不透明的盒子里放有6个标有数字1,2,3,4,5,6的同样大小的球,从盒中摸一个球恰好摸到2号球的概率是16.那么摸6次球是否一定会摸到一次2号球呢?” 在这个摸球问题中,显然还缺少一个摸球的规则,即每次摸到的球是否需要放回盒子里?显然,如果摸到后不放回,那么摸6次球一定会摸到一次2号球.如果摸到球后需要放回,那么摸6次球就不一定会摸到一次2号球了.由此看来,我们先要弄清这个摸球问题与上面的掷骰子问题是否完全类同,是否应当有每次摸到的球还要放回盒子里的要求.我们先看看上面掷骰子问题中的规则,在掷骰子问题中,表面上好像没写着什么规则,但实际上却藏有一个自然的规则,即第一次如果掷得某个数(如3),那么后面还允许继续掷得这个相同的数.于是摸球问题要想与掷骰子问题中的规则相同,显然每次摸到的球必须要放回盒子里才妥当.那么摸6次球就不一定会摸到一次2号球了. 【题组四 随机模拟】1．（2021·河南）农历正月初一是春节，俗称“过年”，是我国最隆重、最热闹的传统节日.家家户户张贴春联，欢度春节，其中“福”字是必不可少的方形春联.如图，该方形春联为边长是40cm 的正方形，为了估算“福”字的面积，随机在正方形内撒100颗大豆，假设大豆落在正方形内每个点的概率相同，如果落在“福”字外的有65颗，则“福”字的面积约为（ ）A ．2500cmB ．2560cmC ．2820cmD ．21040cm【答案】B【解析】设“福”字的面积为2cm x ，根据几何概型可知21006510040x -=，解得()2560cm x =.故选：B. 2．（2020·全国高一课时练习）袋子中有四个小球，分别写有“中、华、民、族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“中、华、民、族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为（ ）A ．19B ．318C ．29D ．518【答案】C【解析】由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有021,001,130,031，共4组随机数， 恰好抽取三次就停止的概率约为42189=，故选C. 3．袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 013 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为( )A ．19B ．16C ．29D ．518【答案】B【解析】由题意得18组随机数中，巧好第三次就停止的数为023，123，132，故恰好第三次就停止的概率为31186=，故选：B ． 4．（2020·全国高一课时练习）下列不能产生随机数的是 ( )A ．抛掷骰子试验B ．抛硬币C ．计算器D ．正方体的六个面上分别写有1,2,2,3,4,5，抛掷该正方体【答案】D【解析】D项中，出现2的概率为13，出现1，3，4，5的概率均是16，则D项不能产生随机数，故选D.。
19版-20版：10.3 频率与概率（步步高）
10.3 频率与概率学习目标 1.理解概率的意义以及频率与概率的区别与联系.2.能初步利用概率知识解释现实生活中的概率问题.3.了解随机模拟的含义，会利用随机模拟估计概率.知识点一 频率的稳定性在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A 发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n 的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A 发生的频率f n (A )会逐渐稳定于事件A 发生的概率P (A )，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率f n (A )估计概率P (A ).思考 一枚质地均匀的硬币，抛掷10次，100次，1 000次，正面向上的频率与0.5相比，有什么变化？答案 随着抛掷的次数增加，正面向上的次数与总次数之比会逐渐接近0.5. 知识点二 随机模拟用频率估计概率，需做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.1.设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品.( × )2.做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是51100.( × ) 3.某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化.( × ) 4.小概率事件就是不可能发生的事件.( × )一、频率与概率的关系例1 (1)下列说法一定正确的是( )A.一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况B.一个骰子掷一次得到2的概率是16，则掷6次一定会出现一次2C.若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元D.随机事件发生的概率与试验次数无关答案 D解析 A 错误，概率小不代表一定不发生；B 错误，概率不等同于频率；C 错误，概率是预测，不必然出现；D 正确，随机事件发生的概率是多次试验的稳定值，与试验次数无关. (2)对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：①根据表中数据分别计算6次试验中抽到优等品的频率； ②该厂生产的电视机为优等品的概率约是多少？解 ①抽到优等品的频率分别为0.8,0.92,0.96,0.95,0.956,0.954. ②由表中数据可估计优等品的概率约为0.95.反思感悟 (1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率. (2)频率本身是随机的，在试验前不能确定.(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关. 跟踪训练1 一个地区从某年起4年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)； (2)这一地区男婴出生的概率约是多少？解 (1)计算mn即得男婴出生的频率依次约是0.520 0，0.517 3，0.517 3,0.517 3.(2)随着新生婴儿数的增多，男婴出生的频率接近0.517 3，因此，这一地区男婴出生的概率约为0.517 3.二、概率思想的实际应用例2 设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球，99个黑球.先随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球.推断这球是从哪一个箱子中取出的？解 甲箱中有99个白球，1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是99100.乙箱中有1个白球，99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是1100.由此可见，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多.既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是从概率大的箱子中取出的.所以我们作出统计推断：该白球是从甲箱中取出的.反思感悟 在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大.跟踪训练2 为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只.查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量.解 设保护区中天鹅的数量为n ，假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件A ＝{捕到带有记号的天鹅}，则P (A )＝200n .从保护区中捕出150只天鹅， 其中有20只带有记号， 由概率的定义可知P (A )≈20150.由200n ≈20150，解得n ≈1 500， 所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只. 三、用随机模拟估计概率例3 一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个球，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率.解 用1,2,3,4,5,6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数，因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组，如下，产生20组随机数： 666 743 671 464 571 561 156 567 732 375 716 116 614 445 117 573 552 274 114 662就相当于做了20次试验，在这些数组中，前两个数字不是7，第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是567和117，共两组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为220＝0.1.反思感悟 用随机数模拟法求事件概率的方法在使用整数随机数进行模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果. (1)试验的基本结果是等可能时，基本事件的总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件.(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数. 跟踪训练3 某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是60%，若该篮球爱好者连续投篮4次，求至少投中3次的概率，用随机模拟的方法估计上述概率.解 利用计算机或计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1,2,3,4,5,6表示投中，用7,8,9,0表示未投中，这样可以体现投中的概率是60%，因为投篮4次，所以每4个随机数作为1组，例如5727,7895,0123，…，4560,4581,4698，共100组这样的随机数，若所有数组中没有7,8,9,0或只有7,8,9,0中的一个数的数组的个数为n ，则至少投中3次的概率近似值为n 100.1.“某彩票的中奖概率为11 000”意味着( ) A.买1 000张彩票就一定能中奖 B.买1 000张彩票中一次奖 C.买1 000张彩票一次奖也不中 D.购买彩票中奖的可能性是11 000答案 D2.用随机模拟方法估计概率时，其准确程度取决于( ) A.产生的随机数的大小 B.产生的随机数的个数 C.随机数对应的结果 D.产生随机数的方法 答案 B解析 随机数容量越大，所估计的概率越接近实际数.3.某医院治疗一种疾病的治愈率为15，那么，前4个病人都没有治愈，第5个病人被治愈的概率是( ) A.1 B.15 C.45 D.0答案 B解析 每一个病人治愈与否都是随机事件，故第5个人被治愈的概率仍为15.4.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率.可利用计算机产生0到9之间的取整数值的随机数，如果我们用1,2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨，顺次产生的随机数如下： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 631 257 393 027 556 488 730 113 137 989则这三天中恰有两天下雨的概率约为( ) A.1320 B.720 C.920 D.1120 答案 B解析 由题意知，模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191,271,932,812,631,393,137，共7组随机数，∴所求概率为720.5.在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上，设反面朝上为事件A ，则事件A 出现的频率为________. 答案 0.52 解析100－48100＝0.52.1.知识清单： (1)概率与频率的关系. (2)用频率估计概率. (3)用随机模拟估计概率.2.常见误区：频率与概率的关系易混淆.。
人教版高中数学必修第二册10.3频率与概率 PPT课件
显然正确．
[答案]
A
题型二
频率估计概率
[典例2]一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的
男婴数如下表所示：
（1）计算男婴的出生频率（保留4位小数）；
（2）这一地区男婴出生的概率约是多少？
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数n
5544
9607
（2）由 = 计算频率fn（A）（n为试验的总次数）
（3）由频率fn（A）估计概率P（A）.
• 概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了
随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，
当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够
多，所得频率就近似地当作随机事件的概率.
题型三 用样本的频率估计总体的概率
表获胜的概率P1＝ ＝ ，(2)班代表获胜的概率P2＝
＝
，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的.
• 用频率估计概率时，需要做大量的重复试验，并且有些试
验还无法进行，因而我们可以根据不同的随机试验构建相
应的随机数模拟实验，这样就可以快速地进行大量重复试
验了
• 我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛（Monte
• 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随
机事件A发生的频率具有随机性。
• 1.频率的稳定性
一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅
度会缩小，即事件发生的频率 会逐渐稳定于事件
发生的概率()，我们称频率的这个性质为频率的稳
学案4：10.3 频率与概率
10.3 频率与概率【课标要求】课程标准：结合实例，会用频率估计概率．学习重点：了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性．学习难点：1.频率与概率的区别与联系.2.理解用模拟方法估计概率的实质.【知识导学】知识点一频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会，即事件A发生的频率f n(A)会逐渐稳定于事件A发生的．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用估计概率P(A)．知识点二随机数的概念1．随机数：要产生1～n(n∈N*)之间的随机整数，把n个相同的小球分别标上1,2,3，…，n，放入一个容器中，后取出一个球，这个球上的数就称为随机数．2．伪随机数：计算机或计算器产生的随机数是按照产生的数，具有( 很长)，它们具有类似的性质．因此，计算机或计算器产生的随机数不是，我们称它们为伪随机数．3．产生随机数的方法：教材中给出了两种产生随机数的方法：①利用带有PRB功能的计算器产生随机数；②用计算机软件产生随机数，比如用Excel软件产生随机数．我们只要按照它的程序一步一步执行即可．4．用随机模拟估计概率的步骤(1)建立概率模型；(2)进行模拟试验，可用计算器或计算机进行模拟试验；(3)统计试验结果．【新知拓展】1．频率随着试验次数的变化而变化；概率却是一个常数，是客观存在的，与试验次数无关．2．在实际应用中，只要试验的次数足够多，所得的频率就可以近似地当作随机事件的概率．3．概率是频率的稳定值，根据概率的定义我们可知，概率越接近于1，事件A发生的频数就越多，此事件发生的可能性就越大；反之，概率越接近于0，事件A发生的频数就越少，此事件发生的可能性就越小．4．应用随机数计算事件的概率，在设计随机试验方案时，一定要注意先确定随机数的范围和每个随机数所代表的试验结果，其次要注意用几个随机数为一组时，每组中的随机数是否能够重复．对于一些较为复杂的问题，要建立一个适当的数学模型，转换成计算机或计算器能操作的试验．【基础自测】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)频率是概率的估计值．()(2)概率是频率的稳定值．()(3)对于满足“有限性”，但不满足“等可能性”的概率问题我们可采取随机模拟方法．() 2．做一做(1)下列说法正确的是()A．任何事件的概率总是在(0,1]之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D．概率是随机的，在试验前不能确定(2)下列说法正确的是()A．某事件A发生的概率为1.09B．不可能事件发生的概率为0，必然事件发生的概率为1C．随机事件发生的频率是一个确定的值D．随机事件发生的概率随着试验次数的变化而变化(3)历史上有些学者做了成千上万次掷硬币试验，结果如下表：由上表可知，掷硬币试验中，正面朝上的概率为()A．0.51 B．0.49C．0.50 D．0.52【题型探究】题型一频率与概率的关系例1某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：(1)求各组的频率；(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1500小时的概率．【规律方法】估算法求概率(1)在实际问题中，常用事件发生的频率作为概率的估计值．(2)在用频率估计概率时，要注意试验次数n不能太小，只有当n很大时，频率才会呈现出规律性，即在某个常数附近波动，且这个常数就是概率．【跟踪训练1】有人对甲、乙两名网球运动员训练中一发成功次数做了统计，结果如下表：请根据以上表格中的数据回答下列问题：(1)分别计算出两位运动员一发成功的频率，完成表格；(2)根据(1)中计算的结果估计两位运动员一发成功的概率．题型二随机模拟法估计概率例2天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，请设计一个模拟试验计算下个星期恰有2天涨潮的概率．【规律方法】随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三方面考虑：(1)当试验的样本点等可能时，样本点总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点；(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．【跟踪训练2】甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率．先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5表示甲获胜；6,7,8,9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．假设产生30组随机数．034743738636964736614698637162 332616804560111410959774246762 428114572042533237322707360751据此估计乙获胜的概率约为________．【随堂达标】1．下列说法正确的是()A．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率是7 10B．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次正面向上C．某地发行彩票，其回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报D．大量试验后，可以用频率近似估计概率2．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的频率是()A．0.53 B．0.5C．0.47 D．0.373．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率．先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0,1,2,3表示手术不成功，4,5,6,7,8,9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为()A．0.2 B．0.3C ．0.4D ．0.54．给出下列三个命题，其中正确的个数为________．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品； ②做7次掷硬币的试验，结果3次出现正面，因此出现正面的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．5．某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示)，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域(不考虑指针落在分界线上的情况)就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据．转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”区域的频率mn(1)计算并完成表格；(2)请估计，当n 很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？ (3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？【参考答案】【知识导学】知识点一频率的稳定性缩小概率P(A)频率f n(A)知识点二随机数的概念1．质地和大小充分搅拌2．确定的算法周期性周期随机数真正的随机数【基础自测】1．答案(1)√(2)√(3)√2．答案(1)C(2)B(3)C【题型探究】题型一频率与概率的关系例1[解](1)频率依次是：0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.(2)样本中寿命不足1500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中寿命不足1500小时的频率是6001000＝0.6.即灯管使用寿命不足1500小时的概率约为0.6.【跟踪训练1】解(1)(2)由(1)中的数据可知，随着一发次数的增多，两位运动员一发成功的频率都越来越集中在0.9附近，所以估计两人一发成功的概率均为0.9.题型二 随机模拟法估计概率 例2[解] 利用计算机产生0～9之间取整数值的随机数，用1,2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概率是20%，因为时间是一周，所以每7个随机数作为一组，假设产生20组随机数：7032563 2564586 3142486 5677851 7782684 6122569 5241478 8971568 3215687 6424458 6325874 6894331 5789614 5689432 1547863 3569841 2589634 1258697 6547823 2274168相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个是1或2，就表示恰有两天涨潮，它们分别是3142486,5241478,3215687,1258697，共有4组数，于是一周内恰有两天涨潮的概率近似值为420＝15.【跟踪训练2】 答案1130解析 相当于做了30次试验．如果6,7,8,9中恰有2个或3个数出现，就表示乙获胜，它们分别是738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707，共11个．所以采用三局两胜制，乙获胜的概率约为1130.【随堂达标】1．答案 D解析 注意概率与频率的区别及正确理解概率的含义是解题的关键．A 的结果是频率，不是概率；B ，C 两项都没有正确理解概率的含义，D 正确． 2．答案 A解析 取到的卡片号码为奇数的频数为10＋8＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为53100＝0.53.故选A. 3．答案 A解析 由10组随机数，知4～9中恰有三个的随机数有569,989两组， 故所求的概率为P ＝210＝0.2.4．答案 0解析 ①根据概率的意义可知，100件产品中，次品数可能是10件，未必一定是10件，错误；②7次试验中，正面出现了3次，得频率为37，错误；③频率只是概率的估计值，错误．故正确的个数为0. 5．解 (1)(2)当n 很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近0.7. (3)获得铅笔的概率约是0.7.。
人教版高中数学必修2《频率与概率》PPT课件
④抛掷骰子 100 次，得点数是 1 的结果有 18 次，则出现 1 点的频率是590.
其中正确的命题为
()
A．①
B．②
C．③
D．④
[解析] ①错，次品率是大量产品的估计值，并不是针对 200 件产品来说
的．②③混淆了频率与概率的区别．④正确．
[答案] D
[方法技巧] 理解概率与频率应关注的三个方面 (1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件 A 的本质属性， 随机事件 A 发生的概率是大量重复试验中事件 A 发生的频率的近似值． (2)由频率的定义我们可以知道随机事件 A 在一次试验中发生与否是随 机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映． (3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的 问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的 事件．
(1)若每辆车的投保金额为 2 800 元，估计赔付金额大于投保金额的概率； (2)在样本车辆中，车主是新司机的占 10%，在赔付金额为 4 000 元的样 本车辆中，车主是新司机的占 20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额 为 4 000 元的概率．
[解] (1)设 A 表示事件“赔付金额为 3 000 元”，B 表示事件“赔付金额为 4 000 元”，以频率估计概率得 P(A)＝1105000＝0.15，P(B)＝1102000＝0.12.
•10．3 频率与概率
明确目标
发展素养
1.结合实例，会用频率估计概率．了 1.通过对频率与概率的联系和区别的学
解随机数的意义．
习，培养数学抽象素养．
2.会用模拟方法(包括计算器产生随 2.通过利用随机模拟的方法估计事件的
机数进行模拟)估计概率.
新教材高中数学第10章概率10.3频率与概率课时作业49频率的稳定性新人教A版必修第二册
新教材高中数学第10章概率10.3频率与概率课时作业49频率的稳定性新人教A 版必修第二册知识点一 频率与概率1.在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率为mn ，当n 很大时，P (A )与m n的关系是( ) A ．P (A )≈m nB ．P (A )<m nC ．P (A )>m nD ．P (A )＝m n答案 A解析 根据概率的定义，当n 很大时，频率是概率的近似值．2．某企业生产的乒乓球被某乒乓球训练基地指定为训练专用球．日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检测结果如下表所示：抽取球数n 50 100 200 500 1000 2000 优等品数m 45 92 194 470 954 1902 优等品频率m n(1)计算表中乒乓球为优等品的频率；(2)从这批乒乓球产品中任取一个，估计其为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)解 (1)表中乒乓球为优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951. (2)由(1)知，随着抽取的球数n 的增加，计算得到的频率值虽然不同，但都在常数0.950的附近摆动，所以任意抽取一个乒乓球检测时，其为优等品的概率约为0.950.知识点二 对概率的正确理解及简单3.经统计，某篮球运动员的投篮命中率为90%，对此有人解释为其投篮100次一定有90次命中，10次不中，你认为这种解释正确吗？说说你的理由．解 这种解释不正确．理由如下：因为“投篮命中”是一个随机事件，投篮命中率为90%，是指该运动员投篮命中的概率是一种可能性，就一次投篮而言，可能发生也可能不发生，而不是说投篮100次就一定命中90次．4．某理工院校一个班级有60人，男生人数为57，把该班学生学号打乱，随机指定一个学生，你认为这个学生是男生还是女生？解 从学号中随机抽出一个， 是男生的可能性为5760＝95%，要比是女生的可能性360＝5%大得多，因此随机指定一个，估计应是男生. 知识点三 用频率估计概率5.某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：(1)求各组的频率；(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1500小时的概率．解 (1)各组的频率依次是：0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042. (2)样本中寿命不足1500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600， 所以样本中寿命不足1500小时的频率是6001000＝0.6.即灯管使用寿命不足1500小时的概率约为0.6. 易错点 混淆概率与频率的概念6.把一枚质地均匀的硬币连续掷了1000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则可认为掷一次硬币正面朝上的概率为________．易错分析 由于混淆了概率与频率的概念而致误，事实上频率是随机的，而概率是一个确定的常数，与每次的试验无关．答案 0.5正解 通过做大量的试验可以发现，正面朝上的频率都在0.5附近摆动，故可认为掷一次硬币，正面朝上的概率是0.5，故填0.5.一、选择题1．从一批电视机中随机抽出10台进行质检，其中有一台次品，下列说法正确的是( ) A．次品率小于10% B．次品率大于10%C．次品率等于10% D．次品率接近10%答案 D解析抽出的样本中次品率为110，即10%，所以总体中次品率大约为10%.2．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )A．0.09 B．0.20C．0.25 D．0.45答案 D解析由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间[25,30)上的频率为1－5×(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)＝0.25，则二等品的频率为0.25＋0.04×5＝0.45，故任取1件为二等品的概率为0.45.3．某厂生产的电器是家电下乡政府补贴指定品牌，其产品是优等品的概率为90%，现从该厂生产的产品中任意地抽取10件进行检验，结果前9件产品中有8件是优等品，1件是非优等品，那么第10件产品是优等品的概率为( )A．90% B．小于90%C．大于90% D．无法确定答案 A解析概率是一个确定的常数，在试验前已经确定，与试验次数无关．4．有下列说法：①抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；②如果某种彩票的中奖概率为110，那么买10张这种彩票一定能中奖；③在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做不公平；④一个骰子掷一次得到点数2的概率是16，这说明一个骰子掷6次会出现一次点数2.其中不正确的说法是( )A ．①②③④B ．①②④C ．③④D ．③答案 A解析 概率反映的是随机性的规律，但每次试验出现的结果具有不确定性，因此①②④错误；③中抛掷均匀塑料圆板出现正面与反面的概率相等，是公平的，因此③错误．5．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，欲了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如表：根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是( )A.715 B.25 C.1115 D.1315答案 C解析 由题意，n ＝4500－200－2100－1000＝1200，所以对网上购物“比较满意”或“满意”的人数为1200＋2100＝3300，所以在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为33004500＝1115.故选C.二、填空题6．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：[10,20)2个；[20,30)3个；[30,40)x 个；[40,50)5个；[50,60)4个；[60,70]2个．则x 等于________；根据样本的频率估计概率，数据落在[10,50)的概率约为________．答案 4 0.7解析 样本中数据总个数为20，∴x ＝20－(2＋3＋5＋4＋2)＝4；在[10,50)中的数据有14个，故所求概率P ＝1420＝0.7.7．对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下表所示．根据表中所提供的数据，若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需抽查________件产品．答案 1000解析 由表中数据知，抽查5次，产品合格的频率依次为0.94,0.92,0.96,0.95,0.956，可见频率在0.95附近摆动，故可估计该厂生产的此种产品合格的概率约为0.95.设大约需抽查n 件产品，则950n≈0.95，所以n ≈1000.8．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获收益12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是去年200例类似项目开发的实施结果．则估计该公司一年后可获得的平均收益是________万元． 答案 0.476解析 应先求出投资成功与失败的概率，再计算收益的平均数．设可获收益为x 万元，如果成功，x 的取值为5×12%，如果失败，x 的取值为－5×50%.一年后公司成功的概率估计为192200＝2425，失败的概率估计为8200＝125.所以估计一年后公司可获得的平均收益为 5×12%×2425－5×50%×125＝0.476万元．三、解答题9．某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：时)进行了统计，统计结果如下表所示：(1)将各组的频率填入表中；(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1500小时的概率．解(1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.(2)样本中使用寿命不足1500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中使用寿命不足1500小时的频率是6001000＝0.6，即灯管使用寿命不足1500小时的概率约为0.6.10．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化，假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)解(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，获得好评的第四类电影的部数是200×0.25＝50.故所求概率为502000＝0.025.(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.故所求概率估计为1－3722000＝0.814.(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．11．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．解 记C A1表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；C A2表示事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”； C B1表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”； C B2表示事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，C ＝C B1C A1＋C B2C A2. P (C )＝P (C B1C A1＋C B2C A2)＝P (C B1C A1)＋P (C B2C A2) ＝P (C B1)P (C A1)＋P (C B2)P (C A2)．由所给数据得C A1，C A2，C B1，C B2发生的频率分别为45，15，12，25，故P (C A1)＝45，P (C A2)＝15，P (C B1)＝12，P (C B2)＝25，P (C )＝12×45＋25×15＝0.48.12．某中学一年级有12个班，要从中选出2个班代表学校参加某项活动，由于某种原因，一班必须参加，另外再从二至十二班中选1个班参加．有人提议用如下方法：投掷两个骰子得到的点数和是几(见表)，就选几班，你认为这种方法公平吗？解 从表中可以看出投掷两个骰子得到的点数之和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12的情况分别有1种，2种，3种，4种，5种，6种，5种，4种，3种，2种，1种，总结果数为36种．∴点数和是2与点数和是12的频数相等，则其概率也相等，为136；同理，点数和是3与点数和是11的概率为236＝118；点数和是4与点数和是10的概率为336＝112；点数和是5与点数和是9的概率为436＝19；点数和是6与点数和是8的概率为536；点数和是7的概率为636＝16.由此分析得知，掷两个骰子得到的点数和是几，就选几班这种方法不公平．若按这种选法，显然七班被选中的机会最大，二班和十二班被选中的机会最小．。
10.3 频率与概率课件ppt
数不是真正的随机数,我们称它们为伪随机数.
2.蒙特卡洛方法
利用计算器或计算机软件可以产生随机数,我们可以根据不同的随机试验
构建相应的随机数模拟试验,这种利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡
洛方法.
微思考
用频率估计概率,需要做大量的重复试验,有没有其他方法可以替代试验呢?
每组随机数字代表一个样本点;
(2)按比例确定表示各个结果的数字个数及总个数;
(3)产生的整数随机数的组数n越大,估计的概率准确性越高;
(4)这种用模拟试验来求概率的方法所得结果是不精确的,且每次模拟试验
最终得到的概率值不一定是相同的.
变式训练4从甲、乙、丙、丁4人中,任选3人参加志愿者活动,请用随机模
拟的方法估计甲被选中的概率.
解 用1,2,3,4分别表示甲、乙、丙、丁四人.
利用计算器或计算机产生1到4之间的随机数,每三个一组,每组中数不重复,
得到n组数,统计这n组数中含有1的组数m,则估计甲被选中的概率为 .
素养形成
1.对频率与概率关系问题的多方位辨析
典例1某同学掷一枚硬币10次,共有7次反面向上,于是他指出:“掷一枚硬币,
探究四
利用随机数求事件的概率
例4一个盒子中有除颜色外其他均相同的5个白球和2个黑球,用随机模拟
法求下列事件的概率:
(1)任取一球,得到白球;
(2)任取三球,都是白球.
分析将这7个球编号,产生1到7之间的整数值的随机数.(1)一个随机数看成
一组即代表一次试验;(2)每三个随机数看成一组即代表一次试验.统计组
类别
厨余垃圾
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高中数学 第十章 概率 10.3 频率与概率学案(含解析)新人教A版必修第二册-新人教A版高一必修第
10.3 频率与概率[目标] 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；2.了解概率的意义以及频率与概率的区别；3.学会用随机模拟法估计概率．[重点] 随机事件的不确定性和频率的稳定性． [难点] 频率与概率的区别．要点整合夯基础知识点一 频率与概率[填一填]1．频率的稳定性大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A 发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n 的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A 发生的频率f n (A )会逐渐稳定于事件A 发生的概率P (A )．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率f n (A )估计概率P (A )．2．频率与概率的区别与联系(1)频率是概率的近似，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率本身是随机的试验前是不能确定的．(2)概率揭示随机事件发生的可能性的大小，是一个确定的常数，与试验的次数无关，概率可以通过频率来测量，某事件在n 次试验中发生了n A 次，当试验次数n 很大时，就将n An 作为事件A 发生的概率的近似值，即P (A )＝n An.(3)求一个随机事件的概率的方法是根据定义通过大量的重复试验用事件发生的频率近似地作为它的概率；任何事件A 的概率P (A )总介于0和1之间，即0≤P (A )≤1，其中必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.[答一答]1．小明说：“做10次抛硬币试验，正面向上的次数一定是5次”，这种说法对吗？ 提示：不正确．因为每次试验结果都是随机的，在试验前不能确定正面向上的次数．知识点二 随机模拟[填一填]1．随机模拟产生的原因用频率估计概率，需要做大量的重复试验，费时、费力，甚至难以实现． 2．随机模拟的方法利用计算器或计算软件产生随机数(根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验)．[答一答]2．用计算机或计算器模拟试验(蒙特卡洛法)的步骤是什么？提示：①用计算机或计算器产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义； ②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝MN作为所求概率的近似值.典例讲练破题型类型一 频率与概率的理解[例1] (1)请班内四位同学依次、分别抛掷一枚硬币20次，其他同学观看并且记录硬币正面朝上的次数，比较他们的结果一致吗？为什么会出现这样的情况？(2)历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表所示：抛掷次数 正面向上的次数正面向上的比例2 048 1 061 0.518 1 4 040 2 048 0.506 9 12 0006 0190.501 6(续表)(3)在抛掷硬币试验中，把正面向上的比例称作正面向上的频率，你能给频率下个定义吗？(4)抛掷硬币试验表明，正面朝上在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，正面朝上发生的频率呈现出一定的规律性，这个规律性是如何体现出来的？(5)在相同条件下，事件A 在先后两次试验中发生的频率f n (A )是否一定相等？事件A 在先后两次试验中发生的概率P (A )是否一定相等？[解] (1)通过实际比较可知一致的可能性小，因为抛掷硬币是随机事件，在每一次抛掷前不知道抛掷后会出现什么结果，因此四位同学的结果一致的可能性比较小．(2)当试验次数很多时，出现正面的比例在0.5附近摆动．(3)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An为事件A 出现的频率．(4)事件A 发生的频率趋于稳定，在某个常数附近摆动．(5)频率具有随机性，做同样次数的重复试验，事件A 发生的频率可能不相同；概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关．[变式训练1] 李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：(续表)得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位)．(1)90分以上；(2)60分～69分；(3)60分以上．解：总人数为43＋182＋260＋90＋62＋8＝645，根据公式可计算出选修李老师的高等数学课的人的考试成绩在各个段上的频率依次为：43645≈0.067，182645≈0.282，260645≈0.403，90645≈0.140，62645≈0.096，8645≈0.012.用已有的信息，可以估计出王小慧下学期选修李老师的高等数学课得分的概率如下：(1)A＝“90分以上”，则P(A)≈0.067；(2)B＝“60分～69分”，则P(B)≈0.140；(3)C＝“60分以上”，则P(C)≈0.067＋0.282＋0.403＋0.140＝0.892.类型二利用频率估计概率[例2]下表中列出了10次抛掷硬币的试验结果．n为抛掷硬币的次数，m为硬币正面朝上的次数，计算每次试验中“正面朝上”这一事件的频率，并估算它的概率.[分析]先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．[解]由f n(A)＝mn可得出这10次试验中“正面朝上”这一事件出现的频率依次为0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.49,0.488,0.516,0.524,0.494，这些数字在0.5左右摆动，由概率的统计定义可得，“正面朝上”的概率为0.5.频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率.[变式训练2] 一个地区从某年起4年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示： 时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内 新生婴儿数n 5 544 9 607 13 520 17 190 男婴数m2 8834 9706 9948 892(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)； (2)这一地区男婴出生的概率约是多少？解：(1)计算mn 即得男婴出生的频率依次约是0.520 0,0.517 3, 0.517 3,0.517 3.(2)由于这些频率非常接近0.517 3，因此，这一地区男婴出生的概率约为0.517 3.类型三 利用随机模拟法估计概率[例3] 已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( ) A ．0.35 B ．0.25 C ．0.20 D ．0.15[解析] 由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有191,271,932,812,393，共5组随机数，∴所求概率为520＝14＝0.25.[答案] B用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果.我们可以从以下三个方面考虑：(1)当试验的样本点等可能时，样本点总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点；(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；(3)当每次试验结果需要n 个随机数表示时，要把n 个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复.[变式训练3] 已知某射击运动员每次射击击中目标的概率都为80%.现采用随机模拟的方法估计该运动员4次射击至少3次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0,1，表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；再以每4个随机数为一组，代表4次射击的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281据此估计，该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为( A ) A.34 B.15 C.14 D.45解析：∵4次射击中有2次及以上未击中目标的有：7140,1417,0371, 6011,7610，∴所求概率为1－520＝34.课堂达标练经典1．有下列两个命题：(1)抛掷100次硬币，出现正面朝上的频率为0.4，则硬币正面向上的次数为40次； (2)若一批产品的次品率为0.1，则此该产品中随机抽取100件，一定会有10件次品． 以下判断正确的是( C ) A ．(1)错；(2)错 B ．(1)错；(2)正确 C ．(1)正确；(2)错D ．(1)正确；(2)正确解析：在命题(1)中，根据题设条件可直接求得硬币正面向上的此时为40次，故(1)正确．在命题(2)中次品率为0.1，不等于100件产品中一定有10件次品，故(2)是错误的，故应选C.2．在一次摸彩票中奖活动中，一等奖奖金为10 000元，某人摸中一等奖的概率是0.001，这是指( C )A ．这个人抽1 000次，必有1次中一等奖B ．这个人每抽一次，就得奖金10 000×0.001＝10元C ．这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是0.001D ．以上说法都不正确解析：摸一次彩票相当于做一次试验，某人摸中一等奖的概率是0.001，只能说明这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是0.001，而不能说这个人抽1 000次，必有1次中一等奖，也不能说这个人每抽一次，就得奖金10 000×0.001＝10(元)，因此选C.3．某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A 表示“正面朝上”这一事件，则A 的( B )A ．概率为45B ．频率为45C ．频率为8D ．概率接近于8解析：做n 次随机试验，事件A 发生了m 次，则事件A 发生的频率为mn .如果多次进行试验，事件A 发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A 的概率．故810＝45为事件A 的频率．4．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，某部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天下雨的概率，先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1,2,3,4表示下雨，其余6个数字表示不下雨．产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 则这三天中恰有两天降雨的概率约为14.解析：在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有191,271,932,812,393，共有5组随机数，∴概率约为520＝14.5．某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表.(1)请完成上述表格(保留3位小数)；(2)该油菜籽发芽的概率约为多少？解：(1)填表如下：(2)由(1)估计该油菜籽发芽的概率约为0.900.——本课须掌握的三大问题1．随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率．2．概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只是认为事件发生的可能性较大．3．利用概率思想正确处理和解释实际问题，是一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固和应用，提升自己的数学素养.。
人教版高中数学必修第二册10.3频率与概率课件
1.用随机模拟方法估计概率时,如何用随机数体现树苗的成活率为0.9? 提示:利用计算器或计算机产生取值于集合{0,1,2,3,…,9}的随机数,我们用0代 表不成活,其余数字代表成活,这样可以体现成活率是0.9. 2.用随机模拟方法估计概率时,如何用随机数体现种植这种树苗5棵? 提示:因为种植树苗5棵,所以每5个随机数作为一组. 3.如何利用产生的30组随机数得到“恰好成活4棵”的频数? 提示:在这些数组中,若恰有一个0,则表示恰有4棵成活,共有9组这样的数,因此 频数为9. 4.如何用随机模拟方法估计“恰好成活4棵”的概率?
= ,解得n=25 000.
所以水库中约有25 000尾鱼.
用随机模拟方法计算概率的估计值
某种树苗的成活率为0.9,若种植这种树苗5棵,求恰好成活4棵的概率. 利用计算器或计算机产生了30组随机数: 69801 66097 77124 22961 74235 31516 29747 24945 57558 65258 74130 23224 37445 44344 33315 27120 21782 58555 61017 45241 44134 92201 70362 83005 94976 56173 34783 16624 30344 01117
用频率估计概率 1.频率是事件A产生的次数m与实验总次数n的比值,利用此公式可求出事件A 的频率.频率本身是随机变化的,当n很大时,频率总是在一个稳定值附近摆动,这个 稳定值就是概率. 2.解此类题目的步骤:先利用频率的计算公式依次计算频率,再用频率估计概 率.
为了估计水库中鱼的尾数,可以使用以下方法:先从水库中捕出一定数量的鱼,例如2 000尾,给每尾鱼做上记号,不影响其存活,然后放回水库,经过适当时间,让其和水库 中其余的鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的 鱼,有40尾.试根据上述数据,估计水库中鱼的尾数. 思路点拨 捕出一定数量的鱼为样本,计算样本的频率,用频率估计概率,进而用概率解决问题.
10.3频率与概率
温故知新
概率： 事件发生的可能性,也称为事件发生 的概率.
必然事件发生的概率为1, 记作P(必然事件)=1;
不可能事件发生的概率为0,
记作P(不可能事件)=0;
随机事件发生的概率介于0~1之间,
即0<P(随机事件)<1.
如果A为随机事件,那么
0<P(A)<1.
创设情境 导入新课
玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看演唱会， 可手头只有一张票，怎么办呢？
抛掷次数（n) 正面朝上次(m) 频率(m/n)
2048 1061 0.518
4040 2048 0.506
12000 6019 0.501
24000 12012 0.5005
30000 14984 0.4996
频率m/n
1
德 . 摩根 蒲 丰 皮尔逊
皮尔逊 维 尼
0.5
2048 4040 12000
4 年内男婴出生的频率为 8 892 ≈0.517 3. 17 190
(2)由于这些频率非常接近0.517 3，因此这一地区男婴 出生的概率约为0.517 3.
知识应用
如图,长方形内有一不规则区域,现在玩投掷游戏,如 果随机掷中长方形的300次中，有100次是落在不规则图形 内. (1)你能估计出掷中不规则图形的概率吗？ (2)若该长方形的面积为150,试估计不规则图形的面积.
频率的计算： 利用计算机进行模拟试验，观察随着试验次数的增加， 事件A的频率的变化情况.
实施试验：下面我们分步实施试验，考察随着试 验次数的增加，事件A的频率的变化情况，以及频率 与概率的关系.
第一步：每人重复做25次试
验，记录事件A发生的次数，计
10.3频率和概率
方法总结
估算法求概率 (1)在实际问题中，常用事件发生的频率作为概率的估计值． (2)在用频率估计概率时，要注意试验次数n不能太小，只有当 n很大时，频率才会呈现出规律性，即在某个常数附近波动， 且这个常数就是概率．
新知探究（一）——频率的稳定性
思考五：气象工作者有时用概率预报天气，如果气象台预报“ 明天降水概率是90%，如果您明天要出门，最好携带雨具”。 如果第二天没有下雨，我们或许会抱怨气象台预报的不准确。 那么如何理解“降水概率是90%”？
新知探究（二）——随机模拟
由此，可总结出随机数产生的步骤如下：
(1)标号：把n个质地相同的小球分别标上1，2，3，…，n. (2)搅拌：放入一个袋中，把它们均匀搅拌. (3)摸取：从中摸出一个球. 这个球上的数就称为从1～n之间的随机整数，简称随机数.
新知探究（二）——随机模拟
思考十：你认为随机模拟试验的步骤是什么？ 随机模拟试验的步骤 (1)设计概率模型 (2)进行模拟试验 (3)统计试验结果
例题讲解 解：当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；当游戏 玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7. 根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大 的可能性会越来越小。 相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大 ，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近。 而玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别为0.3、0.7，存在 很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的。 因此，应该支持甲对游戏公平性的判断。
新知探究（一）——频率的稳定性 利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为 20，100，500时各做5组试验，得到事件A发生的频数和 频率如下表（10.3-2）所示：
课时作业2：10.3 频率与概率
10.3 频率与概率[A 基础达标]1．给出下列三个说法，其中正确说法的个数是( )①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品； ②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． A ．0B ．1C ．2D ．32．在进行n 次重复试验中，事件A 发生的频率为mn ，当n 很大时，事件A 发生的概率P (A )与mn 的关系是( ) A ．P (A )≈mnB ．P (A )<mnC ．P (A )>mnD ．P (A )＝mn3．每道选择题有四个选项，其中只有一个选项是正确的．某次数学考试共有12道选择题，有位同学说：“每个选项正确的概率是14，我每道题都选择第一个选项，则一定有3道题选择结果正确．”该同学的说法( ) A ．正确 B ．错误 C ．无法解释D ．以上均不正确4．数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2 018石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为( ) A ．222石 B ．224石 C ．230石 D ．232石5．假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 93 28 12 45 85 69 68 34 31 25 73 93 02 75 56 48 87 30 11 35据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为( )A．0.50 B．0.45C．0.40 D．0.356．将一枚质地均匀的硬币连掷两次，则至少出现一次正面向上与两次均出现反面向上的概率比为________．7．商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1，2，4组的频数分别为6，7，9，若第5组表示的是尺码为40～42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为________双．8．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获收益12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是去年200例类似项目开发的实施结果．则该公司一年后估计可获收益的平均数是________元．9．随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．10．有人对甲、乙两名网球运动员训练中一发成功次数做了统计，结果如下表：请根据以上表格中的数据回答以下问题：(1)分别计算出两位运动员一发成功的频率，完成表格；(2)根据(1)中计算的结果估计两位运动员一发成功的概率．[B 能力提升]11．下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球．问其中不公平的游戏是( ) A ．游戏1 B ．游戏1和游戏3 C ．游戏2D ．游戏312．某种心脏病手术，成功率为0.6，现准备进行3例此种手术，利用计算机取整数值随机数模拟，用0，1，2，3代表手术不成功，用4，5，6，7，8，9代表手术成功，产生20组随机数：966，907，191，924，270，832，912，468，578，582，134，370，113，573，998，397，027，488，703，725，则恰好成功1例的概率为________．13．某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他乘上上等车的概率为________．14．某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时的部分按1小时计算)，现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为13，停车付费多于14元的概率为512，求甲停车付费恰为6元的概率；(2)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．[C拓展探索]15．某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个，在不将袋中的球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球试验．其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，摸到红球次数为6 000次．(1)估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率；(2)请你估计袋中红球的个数．【参考答案】[A 基础达标]1．【解析】选A.①概率指的是可能性，错误；②频率为37，而不是概率，故错误；③频率不是概率，错误．2．【解析】选A.对于给定的随机事件A ，事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )．即P (A )≈m n.3．【解析】选B.解每一道选择题都可看成一次试验，每次试验的结果都是随机的，经过大量的试验其结果呈现出一定的规律，即随机选取一个选项选择正确的概率是14.12道选择题做对3道题的可能性比较大，但并不能保证一定做对3道题，也有可能都选错，因此该同学的说法错误．4．【解析】选B.由题意，抽样取米一把，数得270粒米内夹谷30粒，即夹谷占有的概率为30270＝19，所以2 018石米中夹谷约为2 018×19≈224(石)．故选B. 5．【解析】选A.两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1，2，3，4中的之一．它们分别是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10个，因此所求的概率为1020＝0.50. 6．【解析】将一枚质地均匀的硬币连掷两次有以下情形： (正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．至少出现一次正面向上有3种情形，两次均出现反面向上有1种情形，故答案为3∶1. 【答案】3∶17．【解析】因为第1，2，4组的频数分别为6，7，9，所以第1，2，4组的频率分别为640＝0.15，740＝0.175，940＝0.225.因为第3组的频率为0.25，所以第5组的频率是1－0.25－0.15－0.175－0.225＝0.2，所以售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为0.2×300＝60(双)． 【答案】608．【解析】应先求出投资成功与失败的概率，再计算收益的平均数，设可获收益为x 万元，如果成功，x 的取值为5×12%，如果失败，x 的取值为－5×50%，一年后公司成功的概率估计为192200＝2425，失败的概率估计为8200＝125，所以一年后公司收益的平均数x ＝(5×12%×2425－5×50%×125)×10 000＝4 760(元)．【答案】4 7609．解：(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率， 得在4月份任取一天，西安市在该天不下雨的概率约为1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78.以频率估计概率，得运动会期间不下雨的概率约为78.10．解：(1)(2)由第一问中的数据可知，随着一发次数的增多，两位运动员一发成功的频率都越来越集中在0.9附近，所以估计两人一发成功的概率均为0.9. [B 能力提升]11．【解析】选D.游戏1中，取2个球的所有可能情况为(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(黑1，白)，(黑2，白)，(黑3，白)．所以甲胜的可能性为0.5，故游戏是公平的；游戏2中，显然甲胜的可能性为0.5，游戏是公平的；游戏3中，取2个球的所有可能情况为(黑1，黑2)，(黑1，白1)，(黑2，白1)，(黑1，白2)，(黑2，白2)，(白1，白2)．所以甲胜的可能性为13，游戏是不公平的．12．【解析】设恰好成功1例的事件为A ，A 所包含的基本事件为191，270，832，912，134，370，027，703共8个．则恰好成功1例的概率为P (A )＝820＝0.4.【答案】0.413．【解析】共有6种发车顺序：①上、中、下；②上、下、中；③中、上、下；④中、下、上；⑤下、中、上；⑥下、上、中(其中画横线的表示袁先生所乘的车)，所以他乘坐上等车的概率为36＝12.【答案】1214．解：(1)设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A ， 则P (A )＝1－⎝⎛⎭⎫13＋512＝14.所以甲临时停车付费恰为6元的概率是14.(2)设甲停车付费a 元，乙停车付费b 元，其中a ，b ＝6，14，22，30. 则甲、乙二人的停车费用共16种等可能的结果：(6，6)，(6，14)，(6，22)，(6，30)，(14，6)，(14，14)，(14，22)，(14，30)，(22，6)，(22，14)，(22，22)，(22，30)，(30，6)，(30，14)，(30，22)，(30，30)，其中(6，30)，(14，22)，(22，14)，(30，6)4种情形符合题意．所以“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为P ＝416＝14. [C 拓展探索]15．解：(1)因为20×400＝8 000， 所以摸到红球的频率为6 0008 000＝0.75，因为试验次数很大，大量试验时，频率接近于理论概率， 所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是0.75. (2)设袋中红球有x 个，根据题意得：xx ＋5＝0.75，解得x ＝15， 经检验x ＝15是原方程的解．所以估计袋中红球有15个．。
第十章 概率 10.3频率与概率专题训练
第十章 概率 10.3频率与概率学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间[)20,25上的为一等品,在区间[)15,20和[)25,30上为二等品,在区间[)10,15和[]30,35上为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取1件,则其为二等品的概率是( )A.0.09B.0.20C.0.25D.0.452.下列说法正确的是( )A.抛一枚质地均匀的硬币10次,7次正面向上,若正面向上记为事件A ,则7()10P A =. B.随机事件的频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值 C.事件A 发生的概率()P A 总满足0()1P A <<D.事件A 发生的概率()P A 趋近于1,即()1P A →,则A 是必然事件3.随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4500名网上购物的消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如下表:A.715B.25C.1115D.13154.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率.先由计算机给出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:A.0.852B.0.8192C.0.8D.0.755.某人将一枚硬币连掷10次,正面朝上的情况出现了8次,若用A 表示“正面朝上”这一事件,则AA.概率为45B.频率为45C.频率为8D.概率接近于86.对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,如图10-3-1为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间[)20,25中为一等品,在区间[)15,20和[25,30)中为二等品,在区间[)10,15和[]30,35中为三等品,用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取1件,则其为二等品的概率是( )A.0.09B.0.45C.0.35D.0.157.任取一个由50名同学组成的班级(称为一个标准班),至少有两位同学的生日在同一天(记为事件A )的概率是0.97.据此我们知道( )A.取定一个标准班,事件A 发生的可能性是97%B.取定一个标准班,事件A 发生的概率大概是0.97C.任意取定10000个标准班,其中大约9700个班发生事件AD.随着抽取的标准班数n 不断增大,事件A 发生的频率逐渐稳定在0.97,在它附近摆动 8.若()()0.1,0.2P A P B ==,则()P A B ⋃等于( ) A.0.3B.0.2C.0.1D.不确定9.下列说法中正确的是( )A.任何事件的概率总是在(0,1)之间B.频率是客观存在的,与试验次数无关C.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率D.概率是随机的,在试验前不能确定 10.有下列说法正确的是( )①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度; ②在同一次试验中,每个试验结果出现的频数之和等于试验的样本总数; ③在同一次试验中,每个试验结果出现的频率之和不一定等于1; ④概率就是频率. A.①③B.①②④C.①②D.③④11.在一次数学考试中,某班学生的及格率是80%,这里所说的“80%”是指 .（填“频率”或“概率”）12.已知随机事件A发生的频率是0.02,事件A出现了10次,那么可能共进行了__________次试验.13.下列说法正确的是_________(填序号)①频率反映事件发生的频繁程度,概率反映事件发生的可能性大小;②做n次随机试验,事件A发生m次,则事件A发生的频率mn就是事件的概率③频率不能脱离具体的n次试验的实验值,而概率是具有确定性的,不依赖于试验次数的理论值.14.将一枚质地均匀的硬币连掷两次,则至少出现一次正面向上与两次均出现反面向上的概率比为________.15.将一枚质地均匀的硬币掷出10次，结果有7次正面向上，则本次试验中，正面向上的频率为__________．三、解答题16.某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示:(1)填写表中击中靶心的频率;(2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少?。
10.3 频率与概率
10．3频率与概率考点学习目标核心素养频率与概率在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别数学抽象、数学运算概率的意义解释实例会用概率的意义解释生活中的实例直观想象、数学建模随机模拟会用随机模拟的方法估计概率数学建模问题导学预习教材P251－P257的内容，思考以下问题：1．什么是频率的稳定性？2．频率与概率之间有什么关系？3．随机模拟的步骤是什么？频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率f n(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率f n(A)估计概率P(A)．■名师点拨频率与概率的区别与联系名称区别联系频率本身是随机的，在试验之前无法确定，大多会随着试验次数的改变而改变．做同样次数的重复试验，得到的频率值也可能会不同(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率(2)在实际问题中，事件的概率通常情况下是未知的，常用频率估计概率概率是一个[0，1]中的确定值，不随试验结果的改变而改变判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)频率就是概率．( )(2)随机事件A 的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．( ) (3)随机数的抽取就是简单随机抽样．( )(4)用计算器或计算机的随机函数可以产生从整数a 到整数b 的取整数值的随机数．( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√某人将一枚硬币连掷了10次，6次正面朝上，若用A 表示“正面朝上”这一事件，则A 出现的( )A ．概率为35B ．频率为35C ．频率为6D ．概率为6 解析：选B.事件A 出现的频数是6，频率＝频数试验次数，故频率是610.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第998次抛掷恰好出现“正面向上”的概率为________．解析：因为概率与抛掷次数无关，所以第998次抛掷恰好出现“正面向上”的概率等于1次抛掷恰好出现“正面向上”的概率，为12.答案：12某射击运动员射击20次，恰有18次击中目标，则该运动员击中目标的频率是________．答案：0.9由频率估计随机事件的概率(1)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [11.5，15.5) 2 ；[15.5，19.5) 4 ；[19.5，23.5) 9； [23.5，27.5) 18 ；[27.5，31.5) 11 ；[31.5，35.5) 12； [35.5，39.5) 7 ；[39.5，43.5] 3.根据样本的频率分布，估计数据落在[31.5，43.5]内的概率约是( ) A.16B.13C.12 D.23(2)某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：分组[500，900)[900，1 100)[1 100，1 300)[1 300，1 500)[1 500，1 700)[1 700，1 900)[1 900，＋∞) 频数48 121 208 223 193 165 42频率①将各组的频率填入表中；②根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．【解】(1)选B.由已知，样本容量为66，而落在[31.5，43.5]内的样本数为12＋7＋3＝22，故所求概率约为2266＝13.(2)①频率依次是0.048，0.121，0.208，0.223，0.193，0.165，0.042.②样本中寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中寿命不足1 500小时的频率是6001 000＝0.6.即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.随机事件概率的理解及求法(1)理解：概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．当试验的次数越来越多时，频率越来越趋近于概率．当次数足够多时，所得频率就近似地看作随机事件的概率．(2)求法：通过公式f n(A)＝n An＝mn计算出频率，再由频率估算概率．1．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.则如下的频率分布表中空白处依次填________，________，________．近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70 110 140 160 200 220频率12015110解析：在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率12032015720320110答案：320 720 3202．某射击运动员进行双向飞碟射击训练，七次训练的成绩记录如下：射击次数n 100 120 150 100 150 160 150 击中飞碟数n A819512081119127121(2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？解：(1)由公式f n (A )＝n An 可得，击中飞碟的频率依次为0.810，0.792，0.800，0.810，0.793，0.794，0.807.(2)由(1)可知该射击运动员在同一条件下击中飞碟的频率都在0.800附近摆动， 所以该运动员击中飞碟的概率约为0.800.概率的含义某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么，前9个病人都没有治愈，第10个病人就一定能治愈吗？【解】 如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是10%指随着试验次数的增加，有10%的病人能够治愈．对于一次试验来说，其结果是随机的，但治愈的可能性是10%，前9个病人是这样，第10个病人仍是这样，可能治愈，也可能不能治愈，被治愈的可能性仍是10%.对概率的正确理解(1)概率是事件的本质属性，不随试验次数的变化而变化，概率反映了事件发生的可能性的大小，但概率只提供了一种“可能性”，而不是试验总次数中某一事件一定发生的比例．(2)任何事件的概率都是区间[0，1]上的一个确定数，它度量该事件发生的可能性，概率越接近于1，表明事件发生的可能性就越大；反过来，概率越接近于0，表明事件发生的可能性就越小．(3)小概率(概率接近于0)事件很少发生，但不代表一定不发生；大概率(概率接近于1)事件经常发生，但不代表一定发生．(4)必然事件M的概率为1，即P(M)＝1；不可能事件N的概率为0，即P(N)＝0.有以下说法：①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的；②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖；③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为310；④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品．其中错误说法的序号是________．解析：①中降水概率为95%，仍有不降水的可能，故①错误；②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会中奖，故②错误；③中正面朝上的频率为310，概率仍为12，故③错误；④中次品率为2%，但50件产品中可能没有次品，也可能有1件或2或3件…次品，故④正确．答案：①②③游戏的公平性某校高二年级(1)(2)班准备联合举办晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负责表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？【解】该方案是公平的，理由如下：各种情况如表所示：和 4 5 6 71 5 6 7 82 6 7 8 93 7 8 9 10由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1＝612＝12，(2)班代表获胜的概率P2＝612＝12，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的．[变条件]在本例中，若把游戏规则改为自由转动两个转盘，转盘停止后，两个指针指向的两个数字相乘，如果积是偶数，那么(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．游戏规则公平吗？为什么？解：不公平．因为出现奇数的概率为412＝13，而出现偶数的概率为812＝23.游戏公平性的标准及判断方法(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．(2)具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较．有一种游戏是这样的：在一个大转盘上，盘面被均匀地分成12份，分别写有1～12这12个数字(如图所示)，其中2，4，6，8，10，12这6个区域对应的奖品是文具盒，而1，3，5，7，9，11这6个区域对应的奖品是随身听．游戏规则是转盘转动后指针停在哪一格，则继续向前前进对应转盘上数字的格数．例如：你转动转盘停止后，指针落在4所在区域，则还要往前前进4格，到标有8的区域，此时8区域对应的奖品就是你的，以此类推．请问：小明在玩这个游戏时，得到的奖品是随身听的概率是多少？解：根据题意知转盘停止后，指针所在区域再前进相应格数后所在位置均为标有偶数的区域，故得到的奖品是随身听的概率是0.随机模拟法估计概率池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6.现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下40组四位随机数：9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281 7890 2692 8280 8425 3990 8460 7980 2436 5987 3882 0753 8935 9635 2379 1805 9890 0735 4640 6298 8054 9720 5695 1574 8008 3216 6470 5080 6772 1642 7920 3189 0343 据此估计四天中恰有三天下雨的概率为( ) A.34 B.25 C.2140D.1740【解析】 在40组四位随机数中，0～5的整数恰出现3次的四位数有16组，故四天中恰有三天下雨的概率的估计值为1640＝25.【答案】 B应用随机数估计概率的步骤(1)明确随机数的范围及数字与试验结果的对应关系． (2)产生随机数．(3)统计试验次数N 及所求事件包含的次数n . (4)计算nN便可．袋子中有四个小球，分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“快”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1，2，3，4表示取出小球上分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：13 24 12 32 43 14 24 32 31 21 23 13 32 21 24 42 13 32 21 34 据此估计，直到第二次就停止的概率为( ) A.15B.14C.13D.12解析：选B.由随机模拟产生的随机数可知，直到第二次停止的有13，43，23，13，13共5个基本事件，故所求的概率为P ＝520＝14.1．抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，下列说法正确的是( ) A ．正面向上的概率为0.48 B ．反面向上的概率是0.48 C ．正面向上的频率为0.48 D ．反面向上的频率是0.48解析：选C.因为抛掷一枚硬币100次，即为100次试验，正面向上这一事件发生了48次，根据频率的定义可知，正面向上的频率为0.48.2．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表： 分组 [10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]频数234542A ．0.35B ．0.45C ．0.55D ．0.65解析：选B.在区间[10，40)的频数为2＋3＋4＝9，所以频率为920＝0.45.3．某地气象局预报说，明天本地降雨的概率为80%，则下列解释正确的是( ) A ．明天本地有80%的区域降雨，20%的区域不降雨 B ．明天本地有80%的时间降雨，20%的时间不降雨 C ．明天本地降雨的机会是80% D ．以上说法均不正确解析：选C.选项A ，B 显然不正确，因为80%是说降雨的概率，而不是说80%的区域降雨，更不是说有80%的时间降雨，是指降雨的机会是80%，故选C.4．通过模拟试验，产生了20组随机数： 6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884 2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725 6576 5929 9768 6071 9138 6754如果恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，则表示恰有三次击中目标，则四次射击中恰有三次击中目标的概率约为( )A ．25%B ．30%C ．35%D ．40%解析：选A.表示三次击中目标分别是3013，2604，5725，6576，6754，共5组数，而随机数总共20组，所以所求的概率近似为520＝25%.5．玲玲和倩倩下跳棋，为了确定谁先走第一步，玲玲决定拿一个飞镖射向如图所示的靶中．若射中区域所标的数字大于3，则玲玲先走第一步，否则倩倩先走第一步．这个游戏规则________(填“公平”或“不公平”)．解析：由已知得，所标的数字大于3的区域有5个，而小于或等于3的区域只有3个，所以玲玲先走的概率是58，倩倩先走的概率是38，所以不公平．答案：不公平[A 基础达标]1．给出下列三个说法，其中正确说法的个数是( )①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品； ②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A.①概率指的是可能性，错误；②频率为37，而不是概率，故错误；③频率不是概率，错误．2．在进行n 次重复试验中，事件A 发生的频率为mn ，当n 很大时，事件A 发生的概率P (A )与mn的关系是( )A ．P (A )≈mnB ．P (A )<mnC ．P (A )>mnD ．P (A )＝mn解析：选A.对于给定的随机事件A ，事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )．即P (A )≈mn.3．每道选择题有四个选项，其中只有一个选项是正确的．某次数学考试共有12道选择题，有位同学说：“每个选项正确的概率是14，我每道题都选择第一个选项，则一定有3道题选择结果正确．”该同学的说法( )A ．正确B ．错误C ．无法解释D ．以上均不正确解析：选B.解每一道选择题都可看成一次试验，每次试验的结果都是随机的，经过大量的试验其结果呈现出一定的规律，即随机选取一个选项选择正确的概率是14.12道选择题做对3道题的可能性比较大，但并不能保证一定做对3道题，也有可能都选错，因此该同学的说法错误．4．数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2 018石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为( )A ．222石B ．224石C ．230石D ．232石解析：选B.由题意，抽样取米一把，数得270粒米内夹谷30粒，即夹谷占有的概率为30270＝19，所以2 018石米中夹谷约为2 018×19≈224(石)．故选B. 5．假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：93 28 12 45 85 69 68 34 31 25 73 93 02 75 56 48 87 30 11 35据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为( ) A ．0.50 B ．0.45 C ．0.40D ．0.35解析：选A.两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1，2，3，4中的之一．它们分别是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10个，因此所求的概率为1020＝0.50. 6．将一枚质地均匀的硬币连掷两次，则至少出现一次正面向上与两次均出现反面向上的概率比为________．解析：将一枚质地均匀的硬币连掷两次有以下情形： (正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．至少出现一次正面向上有3种情形，两次均出现反面向上有1种情形，故答案为3∶1. 答案：3∶17．商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1，2，4组的频数分别为6，7，9，若第5组表示的是尺码为40～42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为________双．解析：因为第1，2，4组的频数分别为6，7，9，所以第1，2，4组的频率分别为640＝0.15，740＝0.175，940＝0.225.因为第3组的频率为0.25，所以第5组的频率是1－0.25－0.15－0.175－0.225＝0.2，所以售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为0.2×300＝60(双)．答案：608．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获收益12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是去年200例类似项目开发的实施结果．解析：应先求出投资成功与失败的概率，再计算收益的平均数，设可获收益为x 万元，如果成功，x 的取值为5×12%，如果失败，x 的取值为－5×50%，一年后公司成功的概率估计为192200＝2425，失败的概率估计为8200＝125，所以一年后公司收益的平均数x ＝(5×12%×2425－5×50%×125)×10 000＝4 760(元)．答案：4 7609．随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．解：(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，得在4月份任取一天，西安市在该天不下雨的概率约为1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78.以频率估计概率，得运动会期间不下雨的概率约为78.10．有人对甲、乙两名网球运动员训练中一发成功次数做了统计，结果如下表：(1)分别计算出两位运动员一发成功的频率，完成表格； (2)根据(1)中计算的结果估计两位运动员一发成功的概率． 解：(1)(2)由第一问中的数据可知，随着一发次数的增多，两位运动员一发成功的频率都越来越集中在0.9附近，所以估计两人一发成功的概率均为0.9.[B能力提升]11．下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球．A．游戏1 B．游戏1和游戏3C．游戏2 D．游戏3解析：选D.游戏1中，取2个球的所有可能情况为(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(黑1，白)，(黑2，白)，(黑3，白)．所以甲胜的可能性为0.5，故游戏是公平的；游戏2中，显然甲胜的可能性为0.5，游戏是公平的；游戏3中，取2个球的所有可能情况为(黑1，黑2)，(黑1，白1)，(黑2，白1)，(黑1，白2)，(黑2，白2)，(白1，白2)．所以甲胜的可能性为13，游戏是不公平的．12．某种心脏病手术，成功率为0.6，现准备进行3例此种手术，利用计算机取整数值随机数模拟，用0，1，2，3代表手术不成功，用4，5，6，7，8，9代表手术成功，产生20组随机数：966，907，191，924，270，832，912，468，578，582，134，370，113，573，998，397，027，488，703，725，则恰好成功1例的概率为________．解析：设恰好成功1例的事件为A ，A 所包含的基本事件为191，270，832，912，134，370，027，703共8个．则恰好成功1例的概率为P (A )＝820＝0.4.答案：0.413．某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他乘上上等车的概率为________．解析：共有6种发车顺序：①上、中、下；②上、下、中；③中、上、下；④中、下、上；⑤下、中、上；⑥下、上、中(其中画横线的表示袁先生所乘的车)，所以他乘坐上等车的概率为36＝12.答案：1214．某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时的部分按1小时计算)，现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为13，停车付费多于14元的概率为512，求甲停车付费恰为6元的概率；(2)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．解：(1)设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A ， 则P (A )＝1－⎝⎛⎭⎫13＋512＝14.所以甲临时停车付费恰为6元的概率是14.(2)设甲停车付费a 元，乙停车付费b 元，其中a ，b ＝6，14，22，30.则甲、乙二人的停车费用共16种等可能的结果：(6，6)，(6，14)，(6，22)，(6，30)，(14，6)，(14，14)，(14，22)，(14，30)，(22，6)，(22，14)，(22，22)，(22，30)，(30，6)，(30，14)，(30，22)，(30，30)，其中(6，30)，(14，22)，(22，14)，(30，6)4种情形符合题意．所以“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为P ＝416＝14.[C 拓展探索]15．某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个，在不将袋中的球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球试验．其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，摸到红球次数为6 000次．(1)估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率； (2)请你估计袋中红球的个数． 解：(1)因为20×400＝8 000， 所以摸到红球的频率为6 0008 000＝0.75，因为试验次数很大，大量试验时，频率接近于理论概率，所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是0.75.(2)设袋中红球有x 个，根据题意得：xx ＋5＝0.75，解得x ＝15，经检验x ＝15是原方程的解．所以估计袋中红球有15个．。
10.3 频率与概率
10.3频率与概率10.3.1频率的稳定性10.3.2随机模拟基础过关练题组一频率与概率的意义1.下列说法中正确的是()A.任何事件发生的概率总是在区间(0,1)内B.频率是客观存在的,与试验次数无关C.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率D.概率是随机的,在试验前不能确定2.某人将一枚均匀的正方体骰子连续抛掷了100次,出现6点的次数为19,则()A.出现6点的概率为0.19B.出现6点的频率为0.19C.出现6点的频率为19D.出现6点的概率接近0.193.抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷1000次,那么第999次出现正面朝上的概率是()A.1999B.11 000C.9991 000D.124.(2019江苏无锡高一期末)某种彩票中奖的概率为110 000,则下列说法正确的是()A.买10000张彩票一定能中奖B.买10000张彩票只能中奖1次C.若买9999张彩票未中奖,则第10000张必中奖D.买一张彩票中奖的可能性是110 000题组二用频率估计概率5.从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下:卡片号码12345678910取到的次数101188610189119则取到的号码为奇数的概率估计值是()A.0.53B.0.5C.0.47D.0.376.从某自动包装机包装的白糖中随机抽取20袋,测得各袋的质量如下(单位:g):492496494495498497501502504496497503 506508507492496500501499用频率估计概率,该自动包装机包装的白糖质量在497.5~501.5g之间的概率约为()A.0.16B.0.25C.0.26D.0.247.假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上的销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,统计结果如图所示:(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率.题组三用随机模拟方法估计概率8.用随机模拟方法估计概率时,其准确程度取决于()A.产生的随机数的大小B.产生的随机数的个数C.随机数对应的结果D.产生随机数的方法9.掷两枚均匀的骰子,用随机模拟方法估计出现点数之和为9的概率时,产生的整数随机数中,每个数字为一组()A.1B.2C.9D.1210.在利用整数随机数进行随机模拟试验中,整数a到整数b之间(包括a,b,且a<b)的每个整数出现的可能性是.11.一个盒中装有10支圆珠笔,其中7支一级品,3支二级品,任取一支,用随机模拟的方法求取到一级品的概率.12.一个袋中有7个大小、形状相同的小球,其中6个白球,1个红球,现任取1个,若为红球就停止,若为白球就放回,搅拌均匀后再接着取,试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率.能力提升练题组一用频率估计概率1.(2019广东深圳中学高二下期中,)港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车,它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程,桥隧全长55千米,桥面为双向六车道高速公路,大桥通行限速100km/h.现对大桥某路段上汽车行驶速度进行抽样调查,画出频率分布直方图(如图).根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过90km/h的概率分别为()A.85,0.25B.90,0.35C.87.5,0.25D.87.5,0.352.()在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候,给出两个问题作答,无关紧要的问题是:“你的电话号码的尾数是奇数吗?”敏感的问题是:“你是否服用过兴奋剂?”然后要求被调查的运动员掷一枚均匀的硬币,如果出现正面,就回答第一个问题,否则回答第二个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题,只需回答“是”或“否”,由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道,所以应答者一般乐意如实地回答问题.用这种方法调查了300名运动员,得到80个“是”的回答,则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为()A.4.33%B.3.33%C.3.44%D.4.44%3.()某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数01234≥5保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.题组二随机模拟方法的应用4.(2020山东济南历城二中高一下月考,)为了配合新冠疫情防控,某市组织了以“停课不停学,成长不停歇”为主题的“空中课堂”教学活动,为了了解一周内学生的线上学习情况,从该市抽取了1000名学生进行调查,根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图.(1)为了估计从该市任意抽取的3名同学中恰有2人线上学习时间在[200,300)的概率P,特设计如下随机模拟试验:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,依次用0,1,2,3,…,9的前若干个数字表示线上学习时间在[200,300)内,剩余的数字表示线上学习时间不在[200,300)内;再以每三个随机数为一组,代表线上学习的情况.假设用上述随机模拟方法产生了如下30组随机数,请根据这批随机数估计概率P;907966191925271569812458932683431257 393027556438873730113669206232433474 537679138598602231(2)为了进一步进行调查,用比例分配的分层随机抽样方法从这1000名学生中抽取20名学生,在抽取的20人中,再从线上学习时间在[350,450)的同学中任意选择2名,求这2名同学来自同一组的概率.答案全解全析基础过关练1.C 必然事件发生的概率为1,不可能事件发生的概率为0,所以任何事件发生的概率总在区间[0,1]内,故A 中说法错误;B,D 混淆了频率与概率的概念.故选C.2.B 根据已知条件只能得到这100次随机试验中出现6点的频率为19100=0.19.3.D 抛掷一枚质地均匀的硬币,每次都只出现两种结果:正面朝上,反面朝上,每种结果出现的可能性相等,故所求概率为12.4.D 彩票中奖的概率为110 000是指买一张彩票中奖的可能性为110 000,D 正确; 买10 000张这种彩票中奖为随机事件,即买10 000张彩票,可能有一张中奖,可能有多张中奖,也可能不中奖,故A,B 错误;若买9 999张彩票未中奖,则第10 000张彩票中奖的概率依然是110 000,不是买10 000张彩票一定能中奖,C 错误.故选D.5.A 由题表得,取到的号码为奇数的频率是10+8+6+18+11100=0.53,所以取到的号码为奇数的概率的估计值为0.53.6.B 样本中白糖质量在497.5~501.5 g 之间的有5袋,所以该自动包装机包装的白糖质量在497.5~501.5 g 之间的频率为520=0.25,则概率约为0.25.7.解析 (1)由题图得,甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5+20100=14,用频率估计概率,所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为14.(2)由题图得,甲、乙两品牌产品寿命大于200小时的共有75+70=145(个),其中甲品牌产品有75个,所以在样本中,寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是75145=1529,用频率估计概率,所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529. 8.B 随机数数量越多,概率越接近实际数.9.B由于掷两枚均匀的骰子,所以产生的整数随机数中,每2个数字为一组.10.答案1b-a+1解析[a,b]中共有b-a+1个整数,每个整数出现的可能性相等,所以每个整数出现.的可能性是1b-a+111.解析设事件A=“取到一级品”,①用计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,10)或计算器产生1到10之间的整数随机数,用1,2,3,4,5,6,7表示取到一级品,8,9,10表示取到二级品;②每一个数作为一组,产生N组随机数;③统计其中出现1至7之间数的次数N1;,即为事件A发生的概率的近似值.④计算频率f n(A)=N1N12.解析本题答案不唯一.用1,2,3,4,5,6表示白球,7表示红球,利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数.因为要求恰好第三次摸到红球的概率,所以每三个随机数作为一组.例如,产生20组随机数:666743671464571561156567732375716116614445117573552274114662相当于做了20次试验,在这些数组中,前两个数字不是7,第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球,第三次摸到的是红球,它们分别是567和117,共=0.1.两组,因此恰好第三次摸到红球的概率约为220能力提升练1.D由题中直方图知,众数为85+90=87.5,用频率估计概率得,行驶速度超过902km/h的概率为0.05×5+0.02×5=0.35,故选D.,所以大约有150人回答第一个问2.B因为掷一枚硬币出现正面向上的概率为12,所以在回答第一个问题的150人中大约题,又电话号码的尾数是奇数的概率为12有75人回答了“是”,所以另外5个回答“是”的人服用过兴奋剂.因此我们估计这群人中大约有5×100%≈3.33%的人服用过兴奋剂.1503.解析(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.=0.55,故P(A)的估计值为由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为60+502000.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.=0.3,由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为30+30200故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得下表:保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.1925a(元).因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a元.4.解析(1)由频率分布直方图可知,线上学习时间在[200,300)的频率为(0.002+0.006)×50=0.4,所以可以用数字0,1,2,3表示线上学习时间在[200,300)内,数字4,5,6,7,8,9表示线上学习时间不在[200,300)内.观察题中随机数组可得,3名同学中恰有2人线上学习时间在[200,300)的有191,271,812,932,431,393,027,730,206,433,138,602,共12个.用频率估计概率可得,该市3名同学中恰有2人线上学习时间在[200,300)的概率P=12=0.4.30(2)抽取的20人中,线上学习时间在[350,450)的同学有20×(0.003+0.002)×50=5人,其中线上学习时间在[350,400)的同学有3名,设为A,B,C,线上学习时间在[400,450)的同学有2名,设为a,b,用(x,y)表示样本空间中的样本点,则从5名同学中任取2名的样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b)},共10个样本点,用M表示“2名同学来自同一组”这一事件,则=0.4.M={(A,B),(A,C),(B,C),(a,b)},共4个样本点,所以P(M)=410。
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10.3频率与概率10.3.1频率的稳定性10.3.2随机模拟基础过关练题组一频率与概率的意义1.下列说法中正确的是()A.任何事件发生的概率总是在区间(0,1)内B.频率是客观存在的,与试验次数无关C.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率D.概率是随机的,在试验前不能确定2.某人将一枚均匀的正方体骰子连续抛掷了100次,出现6点的次数为19,则()A.出现6点的概率为0.19B.出现6点的频率为0.19C.出现6点的频率为19D.出现6点的概率接近0.193.抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷1000次,那么第999次出现正面朝上的概率是()A.1999B.11 000C.9991 000D.124.(2019江苏无锡高一期末)某种彩票中奖的概率为110 000,则下列说法正确的是()A.买10000张彩票一定能中奖本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享B.买10000张彩票只能中奖1次C.若买9999张彩票未中奖,则第10000张必中奖D.买一张彩票中奖的可能性是110 000题组二用频率估计概率5.从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下:卡片号码12345678910取到的次数101188610189119则取到的号码为奇数的概率估计值是()A.0.53B.0.5C.0.47D.0.376.从某自动包装机包装的白糖中随机抽取20袋,测得各袋的质量如下(单位:g):492496494495498497501502504496497503 506508507492496500501499用频率估计概率,该自动包装机包装的白糖质量在497.5~501.5g之间的概率约为()A.0.16B.0.25C.0.26D.0.247.假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上的销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,统计结果如图所示:(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率.题组三用随机模拟方法估计概率8.用随机模拟方法估计概率时,其准确程度取决于()A.产生的随机数的大小B.产生的随机数的个数C.随机数对应的结果D.产生随机数的方法9.掷两枚均匀的骰子,用随机模拟方法估计出现点数之和为9的概率时,产生的整数随机数中,每个数字为一组()A.1B.2C.9D.1210.在利用整数随机数进行随机模拟试验中,整数a到整数b之间(包括a,b,且a<b)的每个整数出现的可能性是.11.一个盒中装有10支圆珠笔,其中7支一级品,3支二级品,任取一支,用随机模拟的方法求取到一级品的概率.12.一个袋中有7个大小、形状相同的小球,其中6个白球,1个红球,现任取1个,若为红球就停止,若为白球就放回,搅拌均匀后再接着取,试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率.能力提升练题组一用频率估计概率1.(2019广东深圳中学高二下期中,)港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车,它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程,桥隧全长55千米,桥面为双向六车道高速公路,大桥通行限速100km/h.现对大桥某路段上汽车行驶速度进行抽样调查,画出频率分布直方图(如图).根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过90km/h的概率分别为()A.85,0.25B.90,0.35C.87.5,0.25D.87.5,0.352.()在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候,给出两个问题作答,无关紧要的问题是:“你的电话号码的尾数是奇数吗?”敏感的问题是:“你是否服用过兴奋剂?”然后要求被调查的运动员掷一枚均匀的硬币,如果出现正面,就回答第一个问题,否则回答第二个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题,只需回答“是”或“否”,由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道,所以应答者一般乐意如实地回答问题.用这种方法调查了300名运动员,得到80个“是”的回答,则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为()A.4.33%B.3.33%C.3.44%D.4.44%3.()某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数01234≥5保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.题组二随机模拟方法的应用4.(2020山东济南历城二中高一下月考,)为了配合新冠疫情防控,某市组织了以“停课不停学,成长不停歇”为主题的“空中课堂”教学活动,为了了解一周内学生的线上学习情况,从该市抽取了1000名学生进行调查,根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图.(1)为了估计从该市任意抽取的3名同学中恰有2人线上学习时间在[200,300)的概率P,特设计如下随机模拟试验:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,依次用0,1,2,3,…,9的前若干个数字表示线上学习时间在[200,300)内,剩余的数字表示线上学习时间不在[200,300)内;再以每三个随机数为一组,代表线上学习的情况.假设用上述随机模拟方法产生了如下30组随机数,请根据这批随机数估计概率P;907966191925271569812458932683431257 393027556438873730113669206232433474 537679138598602231(2)为了进一步进行调查,用比例分配的分层随机抽样方法从这1000名学生中抽取20名学生,在抽取的20人中,再从线上学习时间在[350,450)的同学中任意选择2名,求这2名同学来自同一组的概率.答案全解全析基础过关练1.C 必然事件发生的概率为1,不可能事件发生的概率为0,所以任何事件发生的概率总在区间[0,1]内,故A 中说法错误;B,D 混淆了频率与概率的概念.故选C.2.B 根据已知条件只能得到这100次随机试验中出现6点的频率为19100=0.19.3.D 抛掷一枚质地均匀的硬币,每次都只出现两种结果:正面朝上,反面朝上,每种结果出现的可能性相等,故所求概率为12.4.D 彩票中奖的概率为110 000是指买一张彩票中奖的可能性为110 000,D 正确; 买10 000张这种彩票中奖为随机事件,即买10 000张彩票,可能有一张中奖,可能有多张中奖,也可能不中奖,故A,B 错误;若买9 999张彩票未中奖,则第10 000张彩票中奖的概率依然是110 000,不是买10 000张彩票一定能中奖,C 错误.故选D.5.A 由题表得,取到的号码为奇数的频率是10+8+6+18+11100=0.53,所以取到的号码为奇数的概率的估计值为0.53.6.B 样本中白糖质量在497.5~501.5 g 之间的有5袋,所以该自动包装机包装的白糖质量在497.5~501.5 g 之间的频率为520=0.25,则概率约为0.25.7.解析 (1)由题图得,甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5+20100=14,用频率估计概率,所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为14.(2)由题图得,甲、乙两品牌产品寿命大于200小时的共有75+70=145(个),其中甲品牌产品有75个,所以在样本中,寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是75145=1529,用频率估计概率,所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529. 8.B 随机数数量越多,概率越接近实际数.9.B由于掷两枚均匀的骰子,所以产生的整数随机数中,每2个数字为一组.10.答案1b-a+1解析[a,b]中共有b-a+1个整数,每个整数出现的可能性相等,所以每个整数出现.的可能性是1b-a+111.解析设事件A=“取到一级品”,①用计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,10)或计算器产生1到10之间的整数随机数,用1,2,3,4,5,6,7表示取到一级品,8,9,10表示取到二级品;②每一个数作为一组,产生N组随机数;③统计其中出现1至7之间数的次数N1;,即为事件A发生的概率的近似值.④计算频率f n(A)=N1N12.解析本题答案不唯一.用1,2,3,4,5,6表示白球,7表示红球,利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数.因为要求恰好第三次摸到红球的概率,所以每三个随机数作为一组.例如,产生20组随机数:666743671464571561156567732375716116614445117573552274114662相当于做了20次试验,在这些数组中,前两个数字不是7,第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球,第三次摸到的是红球,它们分别是567和117,共=0.1.两组,因此恰好第三次摸到红球的概率约为220能力提升练1.D由题中直方图知,众数为85+90=87.5,用频率估计概率得,行驶速度超过902km/h的概率为0.05×5+0.02×5=0.35,故选D.,所以大约有150人回答第一个问2.B因为掷一枚硬币出现正面向上的概率为12,所以在回答第一个问题的150人中大约题,又电话号码的尾数是奇数的概率为12有75人回答了“是”,所以另外5个回答“是”的人服用过兴奋剂.因此我们估计这群人中大约有5×100%≈3.33%的人服用过兴奋剂.1503.解析(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.=0.55,故P(A)的估计值为由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为60+502000.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.=0.3,由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为30+30200故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得下表:保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.1925a(元).因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a元.4.解析(1)由频率分布直方图可知,线上学习时间在[200,300)的频率为(0.002+0.006)×50=0.4,所以可以用数字0,1,2,3表示线上学习时间在[200,300)内,数字4,5,6,7,8,9表示线上学习时间不在[200,300)内.观察题中随机数组可得,3名同学中恰有2人线上学习时间在[200,300)的有191,271,812,932,431,393,027,730,206,433,138,602,共12个.用频率估计概率可得,该市3名同学中恰有2人线上学习时间在[200,300)的概率P=12=0.4.30(2)抽取的20人中,线上学习时间在[350,450)的同学有20×(0.003+0.002)×50=5人,其中线上学习时间在[350,400)的同学有3名,设为A,B,C,线上学习时间在[400,450)的同学有2名,设为a,b,用(x,y)表示样本空间中的样本点,则从5名同学中任取2名的样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b)},共10个样本点,用M表示“2名同学来自同一组”这一事件,则=0.4.M={(A,B),(A,C),(B,C),(a,b)},共4个样本点,所以P(M)=410。