反比例函数大小及面积
反比例函数三角形面积问题
反比例函数三角形面积问题1. 引言嘿，大家好！今天咱们要聊聊一个有趣的话题——反比例函数和三角形面积的结合。
乍一听，可能会觉得有点晦涩，但别担心，我们一步一步来，肯定能搞清楚！想象一下，三角形的面积和反比例函数就像是一对好朋友，他们相互影响，相互作用，带来不少趣味。
2. 反比例函数的基础知识2.1 什么是反比例函数？先从最基础的开始说起。
反比例函数其实很简单，它就是形如 (y = frac{k}{x}) 的函数，其中 (k) 是常数，(x) 和 (y) 是变量。
简而言之，当 (x) 增大时，(y) 会减小，反之亦然。
你可以把它想象成一个永远相反的游戏：一个上升，另一个就得下降。
2.2 反比例函数的图像说到图像，这个函数的图像是双曲线。
它的两个分支分别位于坐标轴的两侧，永远不会触碰坐标轴。
感觉像是两条永远不会交汇的路。
3. 三角形的面积3.1 基础公式提到三角形的面积，最简单的公式就是 (text{面积} = frac{1}{2} times text{底} times text{高})。
就这么简单，底和高就是构成三角形的两条直线，像是两个好朋友，缺一不可。
3.2 结合反比例函数现在，我们把反比例函数和三角形的面积结合起来。
假设有一个三角形，它的底边和高分别是 (x) 和 (y)，且这两者之间满足 (y = frac{k}{x})。
那三角形的面积就是(frac{1}{2} times x times y)。
代入反比例函数的关系，面积公式就变成了 (frac{1}{2} times x times frac{k}{x})，结果是 (frac{k}{2})，也就是说，三角形的面积只和常数 (k) 有关，而和底边 (x) 或高度 (y) 无关。
4. 例子解析4.1 具体例子举个例子来说明。
假设我们有一个三角形，底边 (x) 和高 (y) 满足 (y = frac{6}{x})。
我们把这些值带入面积公式中，计算过程如下：[。
反比例函数求三角形面积
反比例函数求三角形面积
三角形是一种最基本的多边形，也是最古老的几何图形，它的几何原理也是广泛应用于现代生活中的。
如果想要计算三角形的面积，我们可以利用反比例函数来解决。
反比例函数是一种特殊的函数，它表示的是“y随x的变化而变化，但其变化率随着x的增大而减小”的函数关系，它可以用来解决各种科学和数学问题。
在计算三角形面积时，我们可以利用反比例函数，根据所给的三角形的边长，经过变换以后，计算的三角形的面积就会更加准确。
假设现在有一个三角形，其三条边的长度分别是a、b、c，那么我们可以用反比例函数来解决计算面积的问题。
其具体求解步骤如下：（1）把三角形的边长a、b、c替换为反比例函数的变量x、y、z，即a=x,b=y,c=z；
（2）建立反比例函数的表达式，即f(x,y,z)=0；
（3）代入原来的变量a、b、c，求解得到反比例函数的解，即
f(a,b,c)=0；
（4）根据以上解析出的f(a,b,c)的函数式，利用三角形面积的公式S=1/2*a*b*sinC，求出三角形的面积。
在实际应用中，反比例函数在计算三角形面积时非常有效。
首先，反比例函数只要给定三角形的边长就可以求出准确的解，这能节省许多计算时间和运算量；其次，它可以有效地避免测量误差，从而计算出更准确的面积，让计算结果更加精确。
总之，反比例函数在求解三角形面积方面的应用非常广泛，它的计算结果更加准确，能够节省大量的时间和运算量。
希望通过本文的介绍，对大家计算三角形面积有所帮助。
反比例函数求面积公式大全
反比例函数求面积公式大全《反比例函数求面积公式大全》引言：反比例函数是数学中的一种特殊函数，其特点是当自变量x增加时，因变量y会以相反的趋势减小。
在数学和实际应用中，使用反比例函数可以描述许多重要的关系，尤其是与面积相关的问题。
本文将为读者提供一份反比例函数求面积的公式大全，帮助读者更好地理解和应用反比例函数。
一、长方形1. 长方形的面积与其长度（l）和宽度（w）成反比例关系，即S = k/(l×w)，其中k为常数。
二、正方形1. 正方形的面积与其边长（s）的平方成反比例关系，即S = k/s²，其中k为常数。
三、圆1. 圆的面积与其半径（r）的平方成反比例关系，即S = πr²，其中π为圆周率，约等于3.14159。
四、椭圆1. 椭圆的面积与其长轴（2a）和短轴（2b）的乘积成反比例关系，即S = πab，其中a和b分别为长轴和短轴的半长。
五、三角形1. 三角形的面积与其底（b）和高（h）的乘积成反比例关系，即S = (1/2)bh。
六、平行四边形1. 平行四边形的面积与其底（b）和高（h）的乘积成反比例关系，即S = bh。
七、等腰梯形1. 等腰梯形的面积与其上底（a）、下底（b）和高（h）的关系为S = (a + b)h/2。
八、圆环1. 圆环的面积与其外半径（R）、内半径（r）和π的关系为S = π(R² - r²)。
结论：通过反比例函数求面积的公式大全，读者可以更加方便地计算各种几何形状的面积。
这些公式对于数学学习、几何推导以及实际生活中的建模和计算都具有重要意义。
希望读者能够掌握这些公式，并在实际中运用自如，提高数学应用的能力和解决问题的水平。
苏科版八年级数学下册11.2《反比例函数的图像与性质-面积问题》课件
变式1：如图，过反比例函数 y 2 (x 0)图象上任意两 点A、B分别作x轴的垂线，垂足分x别为C、D，连结OA
、OB，设AC与OB的交点为E，ΔAOE与梯形ECDB的
面积分别为 S1 、S2，比较它们的大小，可得 (B )
A．S1>S2
B．S1=S2
C．S1< S2 D．S1和S2的大小关系不确定
11.2 反比例函数的图像与性质 ——面积相关问题
回顾
如图,点P（m，n）是反比例函数 y k
x
图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,
垂足分别是点A、B，则S矩形OAPB=____k____.
结论1：
y
过双曲线上任意一点作x轴、 y轴的垂线，所得矩形的面 积S为定值，即S=|k|.
B P(m,n)
积为——8—— 。
F E
练习3 利用点求图形的面积或函数解析式
如图，已知双曲线 y k (x＞0)经过矩形OABC
x
边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF
的面积为2，则k＝__2___.
练习3利用坐标求图形的面积或函数解析式
变式1：如图，双曲线 y k (k 0)经过矩形OABC的
B P(m,n)
y轴）的垂线，所得直角三角
OA
x
形的面积S为定值，即S= 1 |k| .
2
回顾
图中这些三角形的 y 面积相等吗？
yk x
O
x
知识点
y k (k 0) x
y PB
y P
x A0
0Q
x
S矩形 k
k S三角形
2
例1 已知解析式 求图形的面积
反比例函数中的面积问题(共26张PPT)
课后精练
解：(1)如图，过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H， ∵直线 AB 的解析式为 y＝－2x＋4，∴B 点坐标为(0，4)， A 点坐标为(2，0)． ∵∠OAB＋∠DAH＝90°，∠ADH＋∠DAH＝90°， ∴∠BAO＝∠ADH. 又∵∠BOA＝∠AHD，∴△AOB∽△DHA. ∴ADOH＝ABOH＝AADB＝12.∴D2H＝A4H＝12，解得 DH＝4，AH＝8. ∴D(10，4)，则 k＝10×4＝40. 故答案为：40.
③若 M 点的横坐标为 1，△OAM 为等边三角形，则 k＝2＋ 3；
7.如图，函数 y＝kx(k 为常数，k＞0)的图象与过原点的 O 的直线 相交于 A，B 两点，点 M 是第一象限内双曲线上的动点(点 M 在点 A 的左侧)，直线 AM 分别交 x 轴，y 轴于 C，D 两点，连接 BM 分别 交 x 轴，y 轴于点 E，F.现有以下四个结论：
课后精练
∵D(10，4)，∴D′(10，－4)． 设直线 CD′的解析式为 y＝ax＋d， 则180a＋a＋dd＝＝8－ ，4，解得da＝＝－566. ， 故直线 CD′的解析式为 y＝－6x＋56. 当 y＝0 时，x＝238，故 P 点坐标为238，0. 延长 CD 交 x 轴于 Q，此时|QC－QD|的值最大， ∵CD∥AB，D(10，4)，∴直线 CD 的解析式为 y＝－2x＋24. ∴Q(12，0)．∴PQ＝12－238＝83. 故 P 点坐标为238，0，Q 点坐标为(12，0)，线段 PQ 的长为83.
专题2 反比例函数中的面积问题
考点解读
反比例函数中的面积类问题是最能体现数形结合思想 方法的一类问题，几何中的函数问题使图形性质代数 化，函数中的几何问题使代数知识图形化，利用“数”
反比例函数与图形面积
计算定积分
利用定积分的几何意义， 计算直线与双曲线所围成 的图形面积。
注意事项
在计算过程中，需要注意 积分上下限的确定以及被 积函数的正负问题。
参数方程在面积计算中应用
参数方程表示
对于某些复杂图形，使用 参数方程表示更为方便。
面积元素计算
根据参数方程，计算面积 元素并对其进行积分。
注意事项
在使用参数方程计算面积 时，需要确保参数范围选 取合适，且要注意参数方 程的正负问题。
02
圆形面积计算：根据圆形面积公式$S = pi r^2$（其中$r$为圆形半径）， 计算圆形区域的面积。
03
反比例函数图像面积计算：通过极坐 标下的定积分计算反比例函数图像在 圆形区域内的面积，即 $int_{theta_1}^{theta_2} int_{r_1(theta)}^{r_2(theta)} frac{k}{r} rdrdtheta$（其中$k$为反 比例函数的常数，$theta_1$和 $theta_2$为交点极角，$r_1(theta)$ 和$r_2(theta)$为交点极径）。
指数函数图像与 $x$ 轴围成的封闭 图形面积可以通过定积分
$int_{x_1}^{x_2} a^x dx$ 来计算， 其中 $x_1$ 和 $x_2$ 是指定的积分
上下限。
对数函数 $y = log_a x$（$a > 0, a neq 1$）的图像是一个对数曲线。 当 $a > 1$ 时，曲线上升；当 $0 < a < 1$ 时，曲线下降。
在每个象限内，随着 $x$ 的增大，$y$ 的值逐渐减小。
当 $k > 0$ 时，反比例函数的图像位于 第一、三象限；当 $k < 0$ 时，反比例 函数的图像位于第二、四象限。
反比例函数的面积问题的解题技巧
反比例函数的面积问题的解题技巧
反比例函数是数学中比较重要的一种函数类型，在解题过程中也存在许多面积问题。
下面介绍一些解题技巧，帮助大家更好地理解和应用反比例函数的面积问题。
1. 理解反比例函数的定义
反比例函数是指当一个变量的值增加时，另一个变量的值会相应地减小，其函数式表示为
y=k/x(k≠0)。
如果在x的取值范围内对y进行积分，可以得到反比例函数的面积。
在解题时，需要先理解反比例函数的数学定义和性质。
2. 熟练掌握积分运算法则
反比例函数的面积问题需要用到积分运算法则，因此需要熟练掌握积分运算的基本法则和计算方法。
同时也需要掌握一些积分公式，例如x的倒数的积分公式为ln(x)+C。
3. 熟练掌握反比例函数变形技巧
在解题时，有时需要对反比例函数进行变形，例如将y=k/x转化为y=kx^(-1)。
掌握反比例函数的变形技巧有助于更好地解决面积问题。
4. 利用几何图形思维解决问题
反比例函数的面积问题通常涉及到图形的面积计算，因此需要掌握几何图形的基本概念和计算方法。
在解题时，可以利用几何图形思维来解决问题，例如通过画图和分割图形的方法求解。
5. 熟练运用数学知识解决实际问题
反比例函数的面积问题通常涉及到实际问题的解决，因此需要熟练掌握数学知识与实际问题的应用。
在解题时，应该将数学知识与实际情况相结合，运用数学方法求解实际问题。
总之，反比例函数的面积问题需要掌握一定的数学知识和解题技巧。
只有在熟练掌握这些知识和技巧的基础上，才能更好地解决反比例函数的面积问题。
- 1 -。
反比例函数中的面积问题
解得 k=2 评注：第①小题中由图形所在象限可确定k>0，应用结论可直接求k值。 第②小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相 等，列出含k的方程求k值。
例2（2008贵州省黔南州）如图，矩形ABOD的顶点A是函数 与函数 在第二象限的交点， 轴于B， 轴于D，且矩形ABOD的பைடு நூலகம்积为3． （1）求两函数的解析式． （2）求两函数的交点A、C的坐标．
图象上，∴
解得x=1从而所求面积为π 评注：对于较复杂的图形面积计算问题，先应观察图形的特征，若具有 对称特征，则应用对称关系可以简化解题过程。
四、 讨论与面积有关的综合问题 例8．（2008山东省）（1）探究新知：
如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等， 试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． （2）结论应用：
与x轴交于点C，其中点A的坐标为（－2，4），点B的横坐标为－4. （1）试确定反比例函数的关系式； （2）求△AOC的面积.
.解：（1）∵点A（-2，4）在反比例函数图象上 ∴k=-8 ∴反比例函数解析式为y=
（2）∵B点的横坐标为-4， ∴纵坐标为y=2 ∴B(-4，2) ∵点A（-2，4）、 点B（-4，2）在直线y=kx+b上 ∴ 4=-2k+b 且2=-4k+b 解得 k=1 b=6 ∴直线AB为y=x+6 与x轴的交点坐标C（-6，0）
（3）若点P是y轴上一动点，且 ， 求点P的坐标．
解：（1）由图象知k<0，由结论及已知条件得 -k=3 ∴
∴反比例函数的解析式为 ，一次函数的解析式为 （2）由 ，解得 ，
∴点A、C的坐标分别为（
，3），（3， ） （3）设点P的坐标为（0，m） 直线 与y轴的交点坐标为M（0，2） ∵
反比例函数与面积法
反比例函数与面积法反比例函数是一种特殊的函数关系，其函数表达式为y=k/x，其中k 为比例常数。
在反比例函数中，x与y的值呈现一种相反的关系，即当x 增大时，y会减小；当x减小时，y会增大。
在数学中，反比例函数又被称为倒数函数或反函数。
反比例函数在物理学、经济学、工程学等领域中都有广泛的应用。
在物理学中，常见的反比例函数包括牛顿万有引力定律和欧姆定律等。
在经济学中，反比例函数可以用于描述一些经济现象，如供求关系中的价格与需求量、成本与产量等。
在工程学中，反比例函数可以用于描述一些工程问题，如水泵流量与水压、管道截面积与流体速度等。
反比例函数的图像呈现一种特殊的形状，即双曲线。
当k为正数时，双曲线的两个分支分布在第一象限和第三象限；当k为负数时，双曲线的两个分支分布在第二象限和第四象限。
双曲线的特点是无限趋近于两条渐近线，并且在y轴和x轴上都有一个特殊点，称为顶点或极限点。
在反比例函数中，极限点为(0,k)。
与反比例函数相关的重要概念是比例常数k，它决定了函数图像的形状和位置。
比例常数k的绝对值越大，函数图像的曲线就越陡峭；比例常数k的正负决定了函数图像的位置，正值使双曲线的两个分支分布在第一象限和第三象限，负值使双曲线的两个分支分布在第二象限和第四象限。
面积法是一种使用反比例函数求解面积的方法。
通过将要求解的面积拆分成若干个小矩形，然后使用反比例函数计算每个小矩形对应的y值，最后将所有小矩形的y值相加得到总面积。
面积法的基本思想是通过将复杂的图形分解成简单的图形，使用基本图形的面积公式计算每个小矩形的面积，再将所有小矩形的面积相加得到总面积。
面积法的具体步骤如下：1.将要求解的面积分解成若干个小矩形，矩形的宽度可以任意选择，但必须保证宽度足够小，以保证面积的计算准确。
2.计算每个小矩形的宽度，通常选择将整个区域分成n个宽度相等的小矩形，即宽度为Δx。
3.使用反比例函数计算每个小矩形的高度y，即将每个小矩形的宽度代入反比例函数的表达式y=k/x中，得到每个小矩形对应的y值。
数学复习：反比例函数
数学复习：反比例函数反比例函数从代数定义上来说非常简单，即ky x=或xy k =，从函数的图像上来看就是分布在不同像限的两条曲线，简称双曲线．随着近几年各地中考的各种变式题型出现，对反比例函数“数形结合”的数学思想考查越来愈多．每一次的命题设计，其背后都有隐藏的二级定理和二级结论．数学的学习，总是在思考中归纳总结从而得出结论，站在结论的平台向上展望，看清命题者的命题逻辑，很多问题将会大大简化．本专题从反比例函数的本质入手，通过寻找反比例函数的不变特性来进行分析，力争化繁为简，并能在平常的训练中找到思考和结论的平衡点．第一讲 反比例函数的本质系数m 与面积关系在之前对正比例函数和反比例函数的理解中，似乎只有k xy=和k xy =，翻译成语言文字就是，当自变量扩大m 倍，则因变量也随即扩大m 倍，此为正比例函数；同理当自变量扩大m 倍，而因变量随即缩小m1，则为反比例函数．函数是一个连续的曲线，不是只分析单一定点，所以引入比例系数m 对研究函数大有帮助，正比例函数由于过于单调的形式和结论，所以没有成为命题重难点，那么反比例函数呢？【例1】如图，反比例函数)0(>=k xky 的图像与矩形OABC 的AB 、BC 边分别交于点M 、N ，延长MN 分别交坐标轴于点D 、E ．（1）如图11-1-5，若2:1:=AB AM ，则=CB CN : ； （2）如图11-1-6，若4:1:=AB AM ，则=CB CN : ； （3）如图11-1-7，若n AB AM :1:=，则=CB CN : ；直线MN 与AC 的位置关系是 ，EN 与MD 的大小关系 ．图11-1-5 图11-1-6 图11-1-7【例2】（2020•九龙坡月考）如图11-1-8，ABC Rt △的顶点A 和斜边中点D 在反比例函数(00)k y k x x =≠>，的图像上，若5k =，则ABC △的面积为（ ） A．B．C ．4 D ．5xxx图11-1-8【例3】（2020•朝阳二模）如图11-1-11，在平面直角坐标系中，直线6y x =-+分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，与函数(00)k y k x x =>>，的图像交于点C 、D ．若12CD AB =，则k 的值为（ ）A ．9B ．8C ．427D ．6图11-1-11思考 前面分析了一条直线与反比例函数图像交于一个像限的情况，那么一条直线与反比例函数图像交于两个像限会有怎样的几何性质呢？ 【例4】（1）如图11-1-17，反比例函数)00(>>=x k xky ，的图像与直线DE 交于点M 、N ，y MA ⊥轴于点A ，x NC ⊥轴于点C ，请探究直线MN 与AC 的位置关系，线段EN 与MD 的大小关系． （2）如图11-1-18，反比例函数)0(>=k xky 的图像与直线EF 交于点M 、N ，y MA ⊥轴于点A ，x MC ⊥轴于点C ，y ND ⊥轴于点D ，x NB ⊥轴于点B ，请探究直线MN 与线段AB 、线段CD 的位置关系，以及线段ME 与FN 的大小关系．图11-1-17 图11-1-18【例5】如图11-1-19，一次函数b ax y +=的图像与x 轴，y 轴交于A 、B 两点，与反比例函数xky =的图像相交于C 、D 两点，分别过C 、D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E 、F ，连接CF 、DE ．有下列四个结论：①DEF CEF S S △△=；②FOE AOB ∽△△；③CDF DCE ≌△△；④BD AC =．其中正确的结论x是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）图11-1-19【例6】（1）如图11-1-26，BC AB =，AOB △的面积为3，则k 的值为 ． （2）如图11-1-27，点A ，C 在双曲线xky =上运动，x AB ⊥轴，BC AC =． ①在运动过程中，ABC △的面积是不是定值？答： ； ②若32=k ，且ABC △是正三角形，则点A 的坐标为 ．图11-1-26 图11-1-27【例7】（1）如图11-1-30， OABC 中，︒=∠60B ，3=OA ，双曲线经过点C 和AB 中点D ，则该双曲线的解析式为 ．（2）如图11-1-31，正AOB △的边长为5，双曲线xky =经过点C 、D ，且OB CD ⊥，则k 的值为 ．图11-1-30 图11-1-31【例8】如图11-1-34，反比例函数16(0)y x x=>的图像经过Rt △BOC 斜边上的中点A ，与边BC 交于点D ，连接AD ，则ADB △的面积为（ ） A ．12B ．16C ．20D ．24图11-1-34【例9】（2020·威海中考）如图11-1-36，点)1(，m P ，点)2(n Q ，-都在反比例函数xy 4=的图像上．过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点M ，N ．连接OP ，OQ ，PQ ．若四边形OMPN 的面积记作1S ，POQ △的面积记作2S ，则（ ）图11-1-36 A ．3:2:21=S S B ．1:1:21=S S C ．3:4:21=S S D ．3:5:21=S S【例10】（2020•龙华二模）如图11-1-38，已知直线24y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与双曲线(0)ky x x=>交于C 、D 两点，且AOC ADO ∠=∠，则k 的值为 ．图11-1-38【例11】如图11-1-40，矩形OABC 的边2OA =，4OC =，点E 是边AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），过点E 的反比例函数(0)ky x x=>的图像与边BC 交于点F ．当四边形AOFE 的面积最大时，FC 的长度为（ ） A ．8.0B ．1C ．6.1D ．8.1图11-1-40【例12】如图11-1-41，A 、B 是函数x y 6=上两点，P 为一动点，作y PB //轴，x PA //轴，下列说法：①BOP AOP ≌△△；②BOP AOP S S △△=；③若OB OA =，则OP 平分AOB ∠；④若2=BOP S △，则4=ABP S △，正确有 ．（填序号）图11-1-41【例13】如图11-1-45，点)31(，A 为双曲线x ky =上的一点，连接AO 并延长与双曲线在第三像限交于点B ，M 为y 轴正半轴上一点，连接MA 并延长与双曲线交于点N ，连接BM 、BN ，已知MBN △的面积为233，则点N 的坐标为 ．图11-1-45【例14】如图11-1-47所示，PAB Rt △的直角顶点)43(，P 在函数(0)ky x x=>的图像上，顶点A 、B 在函数(00)ty x t k x=><<，的图像上，//PA y 轴，连接OP ，OA ，记OPA △的面积为OPA S △，PAB △的 面积为PAB S △，设OPA PAB w S S =-△△． ①求k 的值以及w 关于t 的表达式；②若用max w 和min w 分别表示函数w 的最大值和最小值，令max 2T w a a =+-，其中a 为实数，求min T ．图11-1-47【例15】如图11-1-49，已知平面直角坐标系中A 点坐标为)40(，，以OA 为一边在第一像限作平行四边形OABC ，对角线AC 、OB 相交于点E ，OA AB 2=．若反比例函数x ky =的图像恰好经过点C 和点E ，则k的值为 ．图11-1-49【同步训练】1．如图11-1-52，双曲线xky =与过原点的直线l 交于点A 、B ，点M 在双曲线上，直线AM 、BM 分别交y 轴于点P 、Q ． 若设PM m AM ⋅=，QM n BM ⋅=，则=-n m ．图11-1-522．如图11-1-53，在矩形OABC 中，)01(，A ，)20(，C ，双曲线)20(<<=k xky 分别交AB 、BC 于点E 、F ，连接OE 、OF 、EF ，BEF OEF S S △△2=，则k 的值为 ．图11-1-53 图11-1-543．如图11-1-54，在平面直角坐标系xOy 中，OAB △的顶点A 在x 轴的正半轴上，AC BC 2=，点B 、C 在反比例函数)0(>=x xky 的图像上．若OBC △的面积等于12，则k 的值为 ． 4．如图11-1-55，1P 、2P 是反比例函数xy 4=的图像上任意两点，过点1P 作y 轴的平行线，过点2P 作x 轴的平行线，两线相交于点N ．若点)(n m N ，恰好在另一个反比例函数)00(>>=x k xky ，的图像上，且221=⋅NP NP ，则=k ．图11-1-55 图11-1-565．（2020•江阴一模）如图11-1-56，在AOB ∆中，OC 平分AOB ∠，43OA OB =，反比例函数(0)ky k x=<图像经过点A 、C 两点，点B 在x 轴上，若AOB ∆的面积为7，则k 的值为（ ） A ．4-B ．3-C ．215-D ．73-6．（2019•莲湖期末）如图11-1-57，双曲线k y x =经过Rt BOC △斜边上的点A ，且满足12AO AB =，与BC 交于点D ，4BOD S =△，则k 的值为（ ） A ． 19B ．1C ．2D ．8图11-1-577．（2019•武侯模拟）双曲线x k y =1和)0(32>=k xky 在第一像限的图像如图11-1-58所示，过2y 上的任意一点A 作x 轴的平行线交1y 于B ，交y 轴于C ，过A 作x 轴的垂线交1y 于D ，交x 轴于E ，连结BD ，CE ，则有下列结论：①CE BD //； ②k S ABOD 2=四边形；③5:4:=BDEC ABD S S 四边形△；④DE CB =； 图11-1-58 ⑤2:1:=BOD ABD S S △△．其中正确的有 （填番号）．8．（2019•杭州一模）一次函数b ax y +=的图像分别与x 轴、y 轴交于点M ，N ，与反比例函数xky =的图像相交于点A ，B ．过点A 分别作x AC ⊥轴，y AE ⊥轴，垂足分别为C ，E ，过点B 分别作x BF ⊥轴，y BD ⊥轴，垂足分别为F ，D ，AC 与BD 交于点K ，连接CD ．对于下述结论： ①CFBK AEDK S S 四边形四边形=；②BM AN =；③CD AB //； 不论点A ，B 在反比例函数xky =的图像的同一分支上 （如图11-1-59），还是点A ，B 分别在反比例函数xky =的图像的不同分支上（如图11-1-60），都正确的是（ ） 图11-1-59 图11-1-60 A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③9．（2020•长春期末）如图11-1-61，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点A 、B 在函数)0(>=x xmy 的图像上，顶点C 、D 在函数)0(>=x xny 的图像上，其中n m <<0，对角线y BD //轴，且AC BD ⊥于点P ．已知点B 的横坐标为4． （1）当4=m ，20=n 时，①点B 的坐标为 ，点D 的坐标为 ，BD 的长为 ． ②若点P 的纵坐标为2，求四边形ABCD 的面积． ③若点P 是BD 的中点，请说明四边形ABCD 是菱形．（2）当四边形ABCD 为正方形时，直接写出m 、n 之间的数量关系． 图11-1-61第二节 反比例函数的面积关系特殊到一般的转化上一讲提到了以原点为顶点的三角形面积转化，如果不过原点呢？答案还是要找准特殊的模特三角形，然后进行面积的转化．【例1】如图11-2-1，在平面直角坐标系中，A 是第一像限内一点，过A 作//AC y 轴交反比例函数(0)ky x x =>的图像于B 点，E 是y 轴上一点，AE 交反比例函数的图像于点D ，若B 是AC 的中点，:3:2DE AD =，且BDE △的面积为94，则k 的值为（ ） A ．7 B ．215 C ．8 D ．217图11-2-1【例2】如图11-2-3，点A 、B 是反比例函数(0)ky k x=≠图像上的两点，延长线段AB 交y 轴于点C ，且点B 为线段AC 中点，过点A 作AD x ⊥轴于点D ，点E 为线段OD 的三等分点，且OE DE <．连接AE 、BE ，若7ABE S =△，则k 的值为（ ） A ．12-B ．10-C ．9-D ．6-图11-2-3【例3】（2021·成都嘉祥）如图11-2-6，在直角坐标系中，已知)40(，A 、)42(，B ，C 为x 轴正半轴上一点，且OB 平分ABC ∠，过B 的反比例函数xky =交线段BC 于点D ，E 为OC 的中点，BE 与OD 交于点F ，若记BDF △的面积为1S ，OEF △的面积为2S ，则=21S S ．图11-2-6前篇所有的面积和比值问题都来自辅助矩形和辅助比例系数m ，但不是每一个题目都是来自矩形的变x形，最近几年以平行四边形和反比例交点和面积问题也开始频繁出现，平行四边形和菱形上的两点与反比例函数相交，到底隐藏了多少秘密呢？【例4】（2017•南通）如图11-2-11，四边形OABC 是平行四边形，点C 在x 轴上，反比例函数(0)ky x x=>的图像经过点(512)A ，，且与边BC 交于点D ．若AB BD =，则点D 的坐标为 ．图11-2-11【例5】（2020•孝南二模）如图11-2-15，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，OC 在x 轴正半轴上，四边形OABC 为平行四边形，反比例函数k y x =的图像经过点A ，与BC 交于点D ，若154ABC S =△，2CD BD =，则k = ．图11-2-15【例6】（2020•沙坪坝月考）如图11-2-18，平行四边形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，点D 在对角线2:3OB y x =上，且满足OD =(00)ky k x x==>>，的图像经过C 、D 两点．已知平行四边形OABC 的面积是203，则点B 的坐标为 ．图11-2-18【例7】（2020•两江模拟）如图，双曲线(0)ky x x=>经过平行四边形OABC 的顶点A ，交边BC 于点D ，交对角线AC 于点E ，连接OE ．若2BD CD =且OAE △的面积为163，则k 的值为（ ） A．B ．12C ．10D．图平移问题小试牛刀【例8】（2020•西藏）如图，在平面直角坐标系中，直线y x =与反比例函数4(0)y x x=>的图像交于点A ，将直线y x =沿y 轴向上平移b 个单位长度，交y 轴于点B ，交反比例函数图像于点C ．若2OA BC =，则b 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【例9】（2018•锦江区模拟）已知如图， 直线23y x =分别与双曲线(0,0)my m x x=>>、双曲线(0,0)n y n x x =>>交于点A ，点B ，且23BA OA =，将直线23y x =向左平移 6 个单位长度后， 与双曲线ny x=交于点C ，若4ABC S ∆=，则mn 的值为 ．【同步训练】1．（2018•九龙坡区校级期末）如图，Rt ABC ∆中，30B ∠=︒，90ACB ∠=︒，点A 、C 在双曲线(0)ky k x=≠的图像上，//AB x 轴，AC 交x 轴于点F ，满足23AF CF =，10AC =，BC 交双曲线于点E ，连接AE ，则ACE ∆的面积为( )A ．BCD ．2．（2020•碑林区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，OC 在x 轴正半轴上，四边形OABC 为平行四边形，反比例函数ky x=的图像经过点A 与边BC 相交于点D ，若15ABC S ∆=，2CD BD =，则k = ．3．（2020•苏州）如图，平行四边形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，点(3,2)D 在对角线OB 上，反比例函数(0,0)k y k x x =>>的图像经过C 、D 两点．已知平行四边形OABC 的面积是152，则点B 的坐标为()A ．8(4,)3B ．9(2，3)C ．10(5,)3D ．24(5，16)54．（2020•相城区期末）如图，Rt OAB ∆中，90OAB ∠=︒，6OB =，反比例函数(0)ky k x=≠的图像经过点B ，将Rt OAB ∆沿着x 轴向右平移6个单位，得到Rt CDE ∆，反比例函数图像恰好经过CE 的中点F ，则k 的值为( )A B ．C ．D ．5．（2020•宁波模拟）如图，点A ，B 是反比例函数6(0)y x x=>图像上的两点，延长线段AB 交x 轴于点C ，且点B 为线段AC 中点，过点A 作AD y ⊥轴于点D ，点E 为线段OD 上的点，且2DE OE =．连结AE ，BE ，则ABE ∆的面积为 ．第三讲反比例函数隐藏的等角等边关系在反比例函数的背景下，隐藏了比值关系，我们在前两节已经给到了探讨和证明，那么反比例函数还有哪些矩形圈不住的性质呢？或者说不以比值系数m 相关的等量关系呢？下面我们来探讨一些等角和等边的性质．【例1】（2020•武汉模拟）如图，在平面直角坐标系中，(1,0)A ，(0,2)B -，将线段AB 平移得到线段CD ，当13AE AC =时，点C 、D 同时落在反比例函数(0)ky k x=<的图像上，则k 的值为 ．【例2】（2018•十堰中考）如图1，直线x y -=与反比例函数xky =的图像交于A ，B 两点，过点B 作x BD //轴，交y 轴于点D ，直线AD 交反比例函数xky =的图像于另一点C ，求CB CA 的值．图1【例3】（2019•长沙）如图，函数(ky k x=为常数，0)k >的图像与过原点的O 的直线相交于A ，B 两点，点M 是第一像限内双曲线上的动点（点M 在点A 的左侧），直线AM 分别交x 轴，y 轴于C ，D 两点，连接BM 分别交x 轴，y 轴于点E ，F ．现有以下四个结论：①ODM ∆与OCA ∆的面积相等；②若BM AM ⊥于点M ，则30MBA ∠=︒；③若M 点的横坐标为1，OAM ∆为等边三角形，则2k =+；④若25MF MB =，则2MD MA =．其中正确的结论的序号是 ．（只填序号）x【例4】（2018•武汉模拟）如图，直线112y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，将线段AB 绕点M 旋转180︒得到线段CD ，双曲线(0)ky k x=>恰好经过C 、D 、M 三点，则k 的值为( )A ．43B ．1C ．98D ．89【例5】已知双曲线x y 4=与直线x y 41=交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）．如图，点P 是第一像限内双曲线上一动点，AP BC ⊥于C ，交x 轴于F ，PA 交y 轴于E ，则2224EF BF AE +的值是_________．【例6】如图1，AB OA =，双曲线经过点C 、D 、E ，求证：AE AC AD ⋅=2．图1【同步训练】1．如图，点A ，B 在双曲线xky =上，AB 经过原点O ，过点A 作x AC //∥轴，连接BC 并延长，交双曲线于点D ．①求证：CD AD =； ②求BD AD :的值．2．如图所示，平行四边形ABCD 的顶点A 、B 位于反比例函数xky =第一像限的图像上，点C 、D 分别位于x 轴正半轴和y 轴正半轴上． 证明：21∠=∠，43∠=∠．3．如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB BC 2=，A 、B 两点的坐标分别是)01(，-和)20(，，C 、xxD 两点在反比例函数xky =长的图像上，则=k ．4．如图所示，点A 在反比例函数)0(1>=x x k y 的图像上，点B 在反比例函数)0(2<=x xky 的图像上，124k k =，且直线AB 经过坐标原点，点C 在y 轴的正半轴上，直线CA 交x 轴于点E ，直线CB 交x 轴于点F ．若3=AE AC ，则=CFBF．5．如图1，已知平行四边形ABCD ，A 、B 在反比例函数xky =上，C 、D 分别在x 轴、y 轴正半轴，且反比例图像经过平行四边形对角线的交点E ，已知平行四边形ABCD 面积为6，则=k ．图1xxx6．（2020•宁德二模）如图，点A，B，C在反比例函数4yx=-的图像上，且直线AB经过原点，点C在第二像限上，连接AC并延长交x轴于点D，连接BD，若BOD∆的面积为9，则ACCD=．第四节 反比例函数的特殊等量关系和叠罗汉模型 一、平方关系二、乘积关系三、多个三角形矩形问题【例1】如图1，OAC ∆和BAD ∆都是等腰直角三角形，90ACO ADB ∠=∠=︒，反比例函数8y x=在第一像限的图像经过点B ，则OAC ∆与BAD ∆的面积之差为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4图1【例2】如图1，在第一像限内，动点P 在反比例函数ky x=的图像上，以P 为顶点的等腰OPQ ∆，两腰OP 、PQ 分别交反比例函数my x=的图像于A 、B 两点，作PC OQ ⊥于点C ，BE PC ⊥于点E ，AD OQ ⊥于点D ，则以下说选正确的个数为( )个①AO PQ 为定值；②若4k m =，则A 为OP 中点；③2PEB k mS ∆-=；④222OA PB PQ +=；图1A ．4B ．3C ．2D ．1【例3】如图47所示，直线b x y +-=交y 轴于点B ，与双曲线)0(<=x xky 交于点A ．若622=-OB OA ，则=k ．图47【例4】如图49所示，点A 、B 为直线x y =上的两点，过A 、B 两点分别作y 轴的平行线交双曲线)0(1>=x xy 于点C 、D ．若AC BD 2=，则224OD OC -的值为 ．图49【例5】如图51所示，直线52-=x y 分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，点M 是反比例函数)0(>=x xky 的图像上位于直线上方的一点，x MC //轴交AB 于点C ，MC MD ⊥交AB 于点D ．已知5=⋅BD AC ，则k 的值为 ．图51【例6】（2020•鄂州）如图53，点A 1，A 2，A 3…在反比例函数y ＝（x ＞0）的图像上，点B 1，B 2，B 3，…B n 在y 轴上，且∠B 1OA 1＝∠B 2B 1A 2＝∠B 3B 2A 3＝…，直线y ＝x 与双曲线y ＝交于点A 1，B 1A 1⊥OA 1，B 2A 2⊥B 1A 2，B 3A 3⊥B 2A 3…，则B n （n 为正整数）的坐标是（ ）图53A ．（2，0）B ．（0，）C ．（0，）D ．（0，2）【例7】如图54，在y 轴的正半轴上，自O 点开始依次间隔相等的距离取点1A ，2A ，3A ，4A ，⋯，n A ，分别过这些点作y 轴的垂线，与反比例函数2(0)y x x=-<的图像相交于点1P ，2P ，3P ，4P ，⋯，n P ，作2111P B A P ⊥，3222P B A P ⊥，4333P B A P ⊥，⋯，111n n n n P B A P ---⊥，垂足分别为1B ，2B ，3B ，4B ，⋯，1n B -，连接12P P ，23P P ，34P P ，⋯，1n n P P -，得到一组Rt △112PB P ，Rt △223P B P ，Rt △334P B P ，⋯，Rt △11n n n P B P --，它们的面积分别记为1S ，2S ，3S ，⋯，1n S -，则12S S += ，1231n S S S S -+++⋯+= ．图54【例8】（2015•贵港）如图55，已知点1A ，2A ，⋯，n A 均在直线1y x =-上，点1B ，2B ，⋯，n B 均在双曲线1y x =-上，并且满足：11A B x ⊥轴，12B A y ⊥轴，22A B x ⊥轴，23B A y ⊥轴，⋯，n n A B x ⊥轴，1n n B A y +⊥轴，⋯，记点n A 的横坐标为(n a n 为正整数）．若11a =-，则2015a = ．图55【例9】如图56所示，等腰三角形△11OA B ，△122B A B ，△233B A B ，⋯，△1(n n n B A B n -为正整数）的一直角边在x 轴上，双曲线ky x=经过所有三角形的斜边中点1C ，2C ，3C ，⋯，n C ，已知斜边1OA =点n A 的坐标为 ．图56【同步训练】1．（2019秋•龙岗区校级期中）如图，BOD ∆是等腰直角三角形，过点B 作AB OB ⊥交反比例函数(0)ky x x=>于点A ，过点A 作AC BD ⊥于点C ，若3BOD ABC S S ∆∆-=，则k 的值为 ．2．（2020•海门市二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(,)P a a ，过点P 作OP 的垂线交(0)ky x x=>的图像于点Q ．若2212OP PQ -=，则k 的值为( )A ．12B ．9C ．6D ．33．（2018•越秀区二模）如图， 点A ，B 为直线y x =上的两点， 过A ，B 两点分别作y 轴的平行线交双曲线2(0)y x x=>于C ，D 两点 ． 若3BD AC =，则229OC OD -的值为( )A ． 16B ． 27C ． 32D ． 484．（2017•十堰）如图， 直线6y =-分别交x 轴，y 轴于A ，B ，M 是反比例函数(0)ky x x=>的图像上位于直线上方的一点，//MC x 轴交AB 于C ，MD MC ⊥交AB 于D ，43AC BD =k 的值为( )A ．3-B ．4-C ．5-D ．6-5．（2013秋•洞头县期中）如图，△11POA 、△212P A A 、△323P A A 、⋯、△10099100P A A 是等腰直角三角形，点1P 、2P 、3P 、⋯、100P 在反比例函数4y x=的图像上，斜边1OA 、12A A 、23A A 、⋯、99100A A 都在x 轴上，则点100A 的坐标是 ．6．如图，已知反比例函数1y x =的图像，当x 取1，2，3，n ⋯时，对应在反比例图像上的点分别为1M 、2M 、3n M M ⋯，则11222311P M M P M M Pn Mn MnSSS--++⋯= ．7．（2015•威海一模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线:1l y x =--，双曲线1y x=，在直线l 上取点1A ，过点1A 作x 轴的垂线交双曲线于点1B ，过点1B 作y 轴的垂线交直线l 于点2A ，过点2A 作x 轴的垂线交双曲线于点2B ，过点2B 作y 轴的垂线交直线l 于点3A ⋯，这样依次得到直线l 上的点1A ，2A ，3A ，4A ，⋯，n A ，⋯若点1A 的横坐标为2，则点2015A 的坐标为 ．8．（2019•淄博）如图，△11OA B ，△122A A B ，△233A A B ，⋯是分别以1A ，2A ，3A ，⋯为直角顶点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点11(C x ，1)y ，22(C x ，2)y ，33(C x ，3)y ，⋯均在反比例函数4(0)y x x=>的图像上．则1210y y y ++⋯+的值为( )A ．B ．6C ．．达标训练1．如图所示，矩形ABCO 的顶点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，反比例函数)0(≠=x xky 的图像分别与BC 、BA 的延长线交于E 、F 两点，连接AC ． 证明：（1）EF AC //；（2）FH GE =．2．如图所示，平行四边形ABCD 的顶点A 、B 位于反比例函数xky =第一像限的图像上，点C 、D 分别位于y 轴负半轴和x 轴负半轴上，AD 交y 轴于点H ，BC 交x 轴于点G ． 证明：（1）21∠=∠，43∠=∠；（2）四边形CDHG 是菱形．3．如图所示，A 、B 为反比例函数xky =第一像限图像上任意两点，连接OA 并延长交反比例函数图像另一支于点C ，连接BC 交x 轴于点G 、交y 轴于点F ，连接AB 并向两侧延长分别交x 轴于点E 、交y 轴于点D ．证明：21∠=∠，43∠=∠．4．如图所示，□ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别是)01(，-A 、)20(-，B ，顶点C 、D 在双曲线xky =上，边AD 交y 轴于点E ，且四边形BCDE 的面积是ABE △的面积的5倍，则=k ．5．如图所示，矩形ABCD 的顶点C 、D 在反比例函数)00(>>=x k xky ，的图像上，顶点A 在y 轴上，顶点B 在x 轴上，连接OD ．若︒=∠60ODC ，则=ADAB．6．如图，函数1(0)y x x =>和3(0)y x x=>的图像分别是1l 和2l ．设点P 在2l 上，//PA y 轴交1l 于点A ，//PB x轴，交1l 于点B ，PAB ∆的面积为( )A ．12B ．23 C ．13D ．347．（2020•崇川一模）如图，直线y kx b =+与曲线3(0)y x x=>相交于A 、B 两点，交x 轴于点C ，若2AB BC =，则AOB ∆的面积是( ) A ．3B ．4C ．6D ．8yxAC BE D O y xBADCO8．（2019•双峰一模）如图，ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别是(1,0)A -，(0,3)B -，顶点C 、D 在双曲线ky x=上， 边AD 交y 轴于点E ，且ABCD 的面积是ABE ∆面积的 8 倍， 则k = ．8题图 9题图9．（2019•如东期末）如图，AOB ∆的顶点B 在x 轴上，点C 在AB 边上且2AC BC =，若点A 和点C 都在双曲线(0)ky x x=>上，AOC ∆的面积为4，则k 的值为 ．10．（2017•孝义二模）如图，点A 是反比例函数(0)k y x x =>的图像上一点，OA 与反比例函数1(0)y x x=>的图像交于点C ，点B 在y 轴的正半轴上，且AB OA =，若ABC ∆的面积为6，则k 的值为 ．11．（2017•慈溪模拟）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，平行四边形ABOC 的对角线交于点M ，双曲线(0)ky x x=<经过点B 、M ．若平行四边形ABOC 的面积为12，则k = ．12．（2016•青羊月考）如图，已知点(4,3)P -是双曲线11(0k y k x=<，0)x <上一点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线221(0||)k y k k x=<<于E 、F 两点．记PEF OEF S S S ∆∆=-，则S 的取值范围是 ．13．（2020•雨花期中）如图，在平面直角坐标系中，Rt AOB ∆的边OA 在y 轴上，OB 在x 轴上，反比例函数(0)ky k x=≠与斜边AB 交于点C 、D ，连接OD ，若:1:2AC CD =，14OBD S ∆=，则k 的值为 ．14．（2020•常熟期末）如图，在平面直角坐标系中，ABO ∆的边AB 平行于y 轴，反比例函数(0)ky x x=>的图像经过OA 中点C 和点B ，且OAB ∆的面积为6，则k = ．x15．（2020•随州中考）如图，直线AB 与双曲线(0)ky k x =>在第一像限内交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，点B 为线段AC 的中点，连接OA ，若AOC ∆的面积为3，则k 的值为 ．16．（2020•平湖二模）如图，已知OAB ∆中，AB OB ⊥，以O 为原点，以BO 所在直线为x 轴建立坐标系．反比例函数的图像分别交AO ，AB 于点C ，D ，已知32OC AC =，ACD ∆的面积为169，则该反比例函数的解析式为 ．17．如图所示，双曲线)0(4>=x xy 与直线EF 交于点A 、B ，且BF AB AE ==，线段AO 、BO 分别与双曲线)0(2>=x xy 交于点C 、D ，则： （1）AB 与CD 的位置关系是；（2）四边形ABDC 的面积为 ．18．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，梯形ABCO 的底边AO 在x 轴上，AO BC //，AO AB ⊥，过点C 的反比例函数)0(>=x x k y 的图像交OB 于点D ，且21=DB OD ．若16=OBC S △，k 的值是__________．19．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在反比例函数)0(4>=x xy 的图像上，延长AB 交x 轴于点C ，且21=AB BC ，连接OA 交反比例函数)0(1>=x xy 的图像于点D ，则=ABD S △ ．19题图 20题图20．（2019•鼓楼期末）如图，A 、B 是反比例函数ky x=图像上的两点，过点A 作AC y ⊥轴，垂足为C ，交OB 于点D ，且D 为OB 的中点，若ABO ∆的面积为4，则k 的值为 ．21．（2017•长春模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在第一像限，点C 在线段AB 上，点D 在AB 的右侧，OAB ∆和BCD ∆都是等腰直角三角形，90OAB BCD ∠=∠=︒，若函数6(0)y x x=>的图像经过点D ，则OAB ∆与BCD ∆的面积之差为( )A ．12B ．6C ．3D ．222．（2020•广西）如图，点A ，B 是直线y x =上的两点，过A ，B 两点分别作x 轴的平行线交双曲线xy CB AD O1(0)y x x=>于点C ，D ．若AC ，则223OD OC -的值为( )A ．5B ．C ．4D ．23．（2020•宁乡市一模）如图，点M 为双曲线1y x=上一点，过点M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线2y x m =-+于D 、C 两点，若直线2y x m =-+交y 轴于A ，交x 轴于B ，则AD BC 的值为 ．24．如图，在x 轴的正半轴上依次截取112233445OA A A A A A A A A ====，过点1A 、2A 、3A 、4A 、5A 分别作x 轴的垂线与反比例函数(0)4y x x=≠的图像相交于点1P 、2P 、3P 、4P 、5P ，得直角三角形11OP A 、122A P A ，233A P A ，344A P A ，455A P A ，并设其面积分别为1S 、2S 、3S 、4S 、5S ，则10S = ．(1n 的整数）25．如图，在AOC ∆中，90OAC ∠=︒，AO AC =，2OC =，将AOC ∆放置于平面直角坐标系中，点O 与坐标原点重合，斜边OC 在x 轴上．反比例函数(0)ky x x=>的图像经过点A ．将AOC ∆沿x 轴向右平移2个单位长度，记平移后三角形的边与反比例函数图像的交点为1A ，2A ．重复平移操作，依次记交点为3A ，4A ，5A ，6A ⋯分别过点A ，1A ，2A ，3A ，4A ，5A ⋯作x 轴的垂线，垂足依次记为P ，1P ，2P ，3P ，4P ，5P ⋯若四边形11APP A 的面积记为1S ，四边形2233A P P A 的面积记为2S ⋯，则n S = ．（用含n 的代数式表示，n 为正整数）26．如图所示，点1A ，2A ，3A ⋯⋯．n A 在x 轴上，且1121n n OA A A A A -==⋯⋯=，分别过点1A ，2A ，3A ⋯，n A ⋯作y 轴的平行线，与反比例函数8(0)y x x =>的图像分别交于点1B ，2B ，3n B B ⋯，分别过点1B ，2B ，3B ⋯⋯，．n B 作x 轴的平行线交y 轴交于点1C ，2C ，3:C ⋯⋯．n C ，连接1OB ，2OB ，3n OB OB ⋯，得到△11OB C ，△222D B E ．△333D B E ⋯⋯△n n n D B E ，则△201820182018D B E 图面积等于 ．27．（2016•抚顺模拟）如图，点11(P x ，1)y ，点22(P x ，2)y ，⋯，点(n nP x ，)n y 在函数1(0)y x x=>的图像上，△1POA ，△212P A A ，△323P A A ，⋯，△1n n n P A A -都是等腰直角三角形，斜边1OA ，12A A ，23A A ，⋯，1n n A A -都在x 轴上(n 是大于或等于2的正整数）．若△11POA 的内接正方形1111B C D E 的周长记为1l ，△212P A A 的内接正方形的周长记为2l ，⋯，△1n n n P A A -的内接正方形n n n n B C D E 的周长记为n l ，则123n l l l l +++⋯+= （用含n 的式子表示）．28．（2019•鞍山一模）如图，直线4y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，P 是反比例函数(0)ky x x=>，图像上位于直线4y x =-+下方的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点M ，交AB 于点E ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为点N ，交AB 于点F ，并且4AF BE = （1）求k 的值； （2）若反比例函数ky x=与一次函数4y x =-+交于C 、D 两点，求三角形OCD 的面积．29．（2013秋•龙湾区校级月考）如图，点1P 、2P 、n P ⋯是反比例函数16y x=在第一像限图像上，点1A 、2n A A ⋯在x 轴上，若△11POA 、△212P A A ⋯△1n N N P A A -均为等腰直角三角形，则： （1）1P 点的坐标为 ； （2）求点2A 与点2P 的坐标； （3）直接写出点n A 与点n P 的坐标．30．（2018•景德镇二模）如图，四边形111OP A B 、1222A P A B 、2333A P A B 、⋯⋯、1n n n n A P A B -都是正方形，对角线1OA 、12A A 、23A A 、⋯⋯、1n n A A -都在y 轴上(2)n ，点11(P x ，1)y ，点22(P x ，2)y ，⋯⋯，点(n n P x ，)n y 在反比例函数(0)ky x x=>的图像上，已知1(1,1)B -． （1）反比例函数解析式为 ； （2）求点3P 和点2P 的坐标；（3）点n P 的坐标为( )（用含n 的式子表示），△n n P B O 的面积为 ．31．（2020•江夏区模拟）如图，在平面直角坐标系中，函数(0)ky x x=>的图像经过菱形OACD 的顶点D 和边AC 上的一点E ，且2CE AE =，菱形的边长为8，则k 的值为 ．32．（2018•武侯区模拟）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC 的边OB 在x 轴上，过点(3,4)C 的双曲线与AB 交于点D ，且2AC AD =，则点D 的坐标为 ．。
反比例函数求△oab的面积
反比例函数求△oab的面积反比例函数是数学中最重要的类型之一，它在许多数学领域中扮演着重要的角色，其中就包括求△oab的面积。
△oab是数学中的一个重要概念，它是指一个三角形，它的三个角为△a、△b和△c。
在求解△oab的面积时，可以使用反比例函数。
首先，要求△oab的面积，需要先找出该三角形的三条边的长度。
一般情况下，可以使用比例定理进行求解。
比例定理指出，如果两个三角形有相等的两边以及相应的夹角，那么它们的其他边也是相等的。
通过这一原理，可以得出三条边的长度。
接下来，可以使用反比例函数求△oab的面积。
反比例函数指出，如果一个三角形的边长是一个正整数或正小数，其三个角的度数之积等于180，那么该三角形的面积可以用反比例函数求得。
因此，得出下式：△oab=a*b*sin(C)/2其中，a、b分别表示三角形的两边的长度，C表示夹角的度数。
求△oab的面积的具体步骤如下：第一步：用比例定理求出△oab的三条边的长度；第二步：求出△oab的三条边的夹角度数；第三步：将三条边的长度和夹角度数代入反比例函数，求出△oab 的面积。
求△oab的面积可以使用反比例函数，这是一种非常实用的数学方法。
反比例函数的优点是它的计算速度快，可以很快地得出三角形的面积，同时可以准确地得出结果。
在利用反比例函数求△oab的面积时，需要熟悉反比例函数的相关定义和公式，以便能够准确地使用反比例函数求解问题。
由于反比例函数在求解△oab的面积等问题中具有重要意义，因此一定要掌握反比例函数的基本概念和公式，以便在日常应用中能更好地运用反比例函数。
另外，要想更好地理解反比例函数的原理，也可以多多实践，通过不断的练习和反复验证，更好地掌握反比例函数。
专题：反比例函数中的面积问题
微专题 反比例函数中的面积问题
模型一 一点一垂线
反比例函数图象上一点与坐标轴垂线、另一坐标轴上一点(含原点)围成的三 角形面积＝ |k|.
1
S△ABC＝ 2 |k|
S△ABC＝12 |k|
1
S△AOC＝ 2 |k|
1. 如图，点A在反比例函数y＝－ 4 的图象上，AM⊥y轴于点M，点P是x轴上的一
方法一：S△EOF＝S△EOD－S△FOD. 方法二：作EM⊥x轴于点M，交OF于点B，FA⊥x轴于点A，则S△OEB＝S四边形 BMAF(划归到模型一)，则S△EOF＝S直角梯形EMAF.
类型一 两交点在反比例函数同一支上
Байду номын сангаас
方法一：当
BE CE
或
BFFA＝m时，则S四边形OFBE＝m|k|.
方法二：作EM⊥x轴于点M，
A. 1
B. m－1
C. 2
D. m
第3题图
模型四 两点两垂线
反比例函数与正比例函数的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形 面积＝2|k|.
SABC 2 | k |
易得四边形ANBM是平行四边形， ∴S四边形ANBM＝AM·NM＝AM·2OM＝2|k|
模型四 两点两垂线 反比例函数与正比例函数的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形
＝ ＝
1
2
1
OM·AM＋12 OM·BC |k|＋1 |k|＝|k|
22
S△ABM＝S△ADM＋S△MDB
＝
1 2
MD·|yB－yA|
S△ABM＝S△BMO＋S△AMO
＝
1 2
MO·|xB－xA|
3. 如图，直线y＝mx与双曲线y＝k (k≠0)交于点A，B，过点A作
反比例函数常见的面积类型
反比例函数常见的面积类型
反比例函数是数学中的一种基本函数类型。
在实际应用中，反比例函数常常涉及到面积问题。
下面列举一些常见的反比例函数面积类型。
1. 长方形面积
如果一个长方形的宽是固定的，而长度是随着宽的增加而减小的，那么它的面积就可以用反比例函数来表示。
设长方形宽为x，长度为y，则长方形面积为S=xy，即S与x成反比例关系，S=k/x。
其中，k 为比例常数。
2. 圆形面积
圆的半径和面积之间也存在反比例关系。
设圆的半径为r，圆的面积为S，则圆的面积可以表示为S=k/r^2。
其中，k为比例常数。
3. 梯形面积
如果一个梯形的高是固定的，而底边长度是随着高的增加而减小的，那么它的面积也可以用反比例函数来表示。
设梯形的高为h，上底为a，下底为b，则梯形面积为S=(a+b)h/2，即S与h成反比例关系，S=k/h。
其中，k为比例常数。
4. 等腰三角形面积
如果一个等腰三角形的底边长度是固定的，而高是随着底边长度增加而减小的，那么它的面积也可以用反比例函数来表示。
设等腰三角形的底边长度为b，高为h，则等腰三角形面积为S=bh/2，即S与b成反比例关系，S=k/b。
其中，k为比例常数。
综上所述，反比例函数在实际应用中常常涉及到面积问题，这些常见的反比例函数面积类型包括长方形面积、圆形面积、梯形面积和等腰三角形面积。
万能解题模型(一) 反比例函数中的面积问题
万能解题模型(一) 反比例函数中的面积问题万能解题模型(一)：反比例函数中的面积问题类型1：单支双曲线上一点一垂直形成的三角形的面积设单支双曲线方程为 $y=\frac{k}{x}$，点$A(x_1,y_1)$ 为单支双曲线上的一点，点 $P(x_1,0)$ 为$A$ 点向 $x$ 轴作垂线段的底部交点，则 $\triangle AOP$ 的面积为 $S=\frac{1}{2}x_1y_1$，同时 $\triangle ABC$ 的面积为 $S=\frac{1}{2}x_1\cdot\frac{k}{x_1}=\frac{1}{2}k$，因此$\triangle AOP$ 和 $\triangle ABC$ 面积的比值为$\frac{S_{\triangle AOP}}{S_{\triangleABC}}=\frac{\frac{1}{2}x_1y_1}{\frac{1}{2}k}=\frac{y_1}{k} $，即 $S_{\triangle AOP}=|k|\cdot S_{\triangle ABC}$。
类型2：单支双曲线上一点两垂直形成的矩形面积设单支双曲线方程为 $y=\frac{k}{x}$，点$P(x_1,y_1)$ 为单支双曲线上的一点，$AC$ 和 $DE$ 分别为$P$ 点向 $x$ 轴和 $y$ 轴作垂线段的线段，$B$ 点为 $AC$ 和$DE$ 的交点，则四边形 $PMON$ 的面积为 $S=|x_1y_1|$，同时四边形 $ACDE$ 的面积为$S=\frac{1}{2}|x_1|\cdot|y_1|=\frac{1}{2}S_{\square PMON}$，因此四边形 $PMON$ 和四边形 $ACDE$ 面积的比值为$\frac{S_{\square PMON}}{S_{\squareACDE}}=\frac{2S}{|x_1|\cdot|y_1|}=2|k|$，即 $S_{\square PMON}=|k|\cdot S_{\square ACDE}$。
利用反比例函数求图形面积
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利用反比例函数求图形面积
作者：韩连海
来源：《初中生之友·中旬刊》2010年第04期
在学习了反比例函数后我们知道,利用k的符号可以研究反比例函数y=(k为非零常数)图像的位置分布及函数的变化情况,而k的大小与反比例函数y=的图像有何关系呢?据此,引出了对
以下问题的研究。
1.反比例函数与矩形的面积
反比例函数y=的本质是两个变量y与x的乘积为一个常数k,由此不难得出反比例函数的
一个重要性质:
若A点是反比例函数y=图像上的任意一点,且AB垂直于x轴,垂足为B,AC垂直于y轴,垂足为C,则矩形ABOC的面积S=k(如图1所示)。
例1 如图2所示,P是反比例函数y=图像上的一点,由P分别向x轴、y轴引垂线,得阴影部分(矩形)的面积为5,则这个反比例函数的解析式是。
解由题意,得k=5。
双曲线两支分布在第二、四象限,所以k
2.反比例函数图像与三角形的面积
由反比例函数图像与矩形面积的关系,还可引出反比例函数图像与直角三角形面积的关
系。
例2 如图3所示为反比例函数y=(k>0)在第一象限内的图像,P为该图像上任意一点,PQ垂
直于x轴,垂足为Q。
设△POQ的面积为S,则S的值与k之间的关系是()。
A. S=
B. S=
C. S=k
D. S>k
解过P点作PA垂直于y轴,易得S=S=k=k。
故选B。
69 反比例函数中的有关面积问题
反比例函数中的有关面积问题一、反比例函数k 的几何意义1.反比例函数k 的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为k 。
如图二，所围成三角形的面积为2k二、利用k 的几何意义进行面积转化1.如图，直线AB 与反比例函数k y x =（0k ≠）交于A 、B 两点，与x 、y 轴的交点分别为C 、D ，那么OAB OCD OBD OAC S S S S ∆∆∆∆=--，此方法是绝大部分学生选用的方法。
但是，从效率来讲，就比较低2.如图，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，则根据k 的几何意义可得，OBF OAE S S ∆∆=，而OBF OAB OAE ABFE S S S S ∆∆∆+=+梯形，所以OAB ABFE S S ∆=梯形，此方法的好处，在于方便，快捷，不易出错。
【针对训练】1、如图，△BOD 都是等腰直角三角形，过点B 作AB ⊥OB 交反比例函数y ＝（x ＞0）于点A ，过点A 作AC ⊥BD 于点C ，若S △BOD ﹣S △ABC ＝3，则k 的值为．解：设A 点坐标为（a ，b ），∵△ABC 和△BOD 都是等腰直角三角形，∴BC ＝AC ，OD ＝BD∵S △BOD ﹣S △ABC ＝3，OD 2﹣AC 2＝3，OD 2﹣AC 2＝6，∴（OD +AC ）（OD ﹣AC ）＝6，∴a •b ＝6，∴k ＝6．故答案为6．2、如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角，∠ACO ＝∠ADB ＝90°，反比例函数y ＝的图象经过点B ，则△OAC 与△BAD 的面积之差S △OAC ﹣S △BAD ＝．解：设△OAC 和△BAD 的直角边长分别为a 、b ，则点B 的坐标为（a +b ，a ﹣b ）．∵点B在反比例函数y＝的第一象限图象上，∴（a+b）×（a﹣b）＝a2﹣b2＝8．∴S△OAC﹣S△BAD＝a2﹣b2＝（a2﹣b2）＝×8＝4．故答案为：4．3、如图，一次函数y＝x﹣3的图象与反比例函数y═kx（k≠0）的图象交于点A与点B（a，﹣4）．（1）求反比例函数的表达式；（2）若动点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接OP，且过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，连接OC，若△POC的面积为3，求出点P的坐标．【答案】（1）y＝4x；（2）点P的坐标为（5，45）或（1，4）或（2，2）．【解析】解：（1）将B（a，﹣4）代入一次函数y＝x﹣3中得：a＝﹣1∴B（﹣1，﹣4）将B（﹣1，﹣4）代入反比例函数y═kx（k≠0）中得：k＝4∴反比例函数的表达式为y＝4x；（2）如图：设点P的坐标为（m，4m）（m＞0），则C（m，m﹣3）∴PC＝|4m﹣（m﹣3）|，点O到直线PC的距离为m∴△POC的面积＝12m×|4m﹣（m﹣3）|＝3解得：m＝5或﹣2或1或2∵点P不与点A重合，且A（4，1）∴m≠4又∵m＞0∴m＝5或1或2∴点P的坐标为（5，45）或（1，4）或（2，2）．4、如图所示，函数y1＝kx+b的图象与函数（x＜0）的图象交于A（a﹣2，3）、B（﹣3，a）两点．（1）求函数y 1、y 2的表达式；（2）过A 作AM ⊥y 轴，过B 作BN ⊥x 轴，试问在线段AB 上是否存在点P ，使S △PAM ＝3S △PBN ？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．【详解】解：（1）∵A 、B 两点在函数（x ＜0）的图象上，∴3（a ﹣2）＝﹣3a ＝m ，∴a ＝1，m ＝﹣3，∴A （﹣1，3），B （﹣3，1），∵函数y 1＝kx+b 的图象过A 、B 点，∴，解得k ＝1，b ＝4∴y 1＝x+4，y 2＝；（2）由（1）知A （﹣1，3），B （﹣3，1），∴AM ＝BN ＝1，∵P 点在线段AB 上，∴设P 点坐标为（x ，x+4），其中﹣1≤x≤﹣3，则P 到AM 的距离为h A ＝3﹣（x+4）＝﹣x ﹣1，P 到BN 的距离为h B ＝3+x ，∴S △PBN ＝BN•h B ＝×1×（3+x ）＝（x+3），S △PAM ＝AM•h A ＝×1×（﹣x ﹣1）＝﹣（x+1），＝3S△PBN，∵S△PAM∴﹣（x+1）＝（x+3），解得x＝﹣，且﹣1≤x≤﹣3，符合条件，∴P（﹣，），综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（﹣，）．【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的交点问题，在（1）中掌握交点坐标满足两函数解析式是解题的关键，在（2）中用P点坐标分别表示出△PBN和△PAM的面积是解题的关键．5、如图，直线y1＝k1x+b与双曲线y2＝在第一象限内交于A、B两点，已知A（1，m），B（2，1）．（1）k1＝，k2＝，b＝．（2）直接写出不等式y2＞y1的解集；（3）设点P是线段AB上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，E是y轴上一点，求△PED的面积S 的最大值．解：（1）∵A（1，m），B（2，1）在双曲线y2＝上，∴k2＝m＝2×1＝2，∴A（1，2），则，解得：，∴k1＝﹣1，k2＝2，b＝3；故答案为：﹣1，2，3；（2）由图象得：不等式y2＞y1的解集是：0＜x＜1或x＞2；（3）设点P（x，﹣x+3），且1≤x≤2，∵PD＝﹣x+3，OD＝x，则，∵，∴当时，S有最大值，最大值为．6、如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝﹣x+5的图象与函数y＝（k＜0）的图象相交于点A，并与x轴交于点C，S△AOC＝15．点D是线段AC上一点，CD：AC＝2：3．（1）求k的值；（2）根据图象，直接写出当x＜0时不等式＞﹣x+5的解集；（3）求△AOD的面积．解：（1）y＝﹣x+5，当y＝0时，x＝5，即OC＝5，C点的坐标是（5，0），过A作AM⊥x轴于M，＝15，∵S△AOC∴＝15，解得：AM＝6，即A点的纵坐标是6，把y＝6代入y＝﹣x+5得：x＝﹣1，即A点的坐标是（﹣1，6），把A点的坐标代入y＝得：k＝﹣6；（2）当x＜0时不等式＞﹣x+5的解集是﹣1＜x＜0；＝15，（3）∵CD：AC＝2：3，S△AOC＝＝5．∴△AOD的面积＝S△AOC7、如图，反比例函数y＝经过点D，且点D的坐标为（﹣，2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，直线AB交x轴于点B，交y轴于点A，交反比例函数图象于另一点C，若3OA＝4OB，求△BOC的面积．解：（1）∵反比例函数y＝经过点D（﹣，2）．∴k＝﹣＝﹣1，∴反比例函数的解析式为y＝﹣；（2）设直线AB的解析式为y＝ax+b，∴A（0，b），B（﹣，0），∴OA＝b，OB＝，∵3OA＝4OB，∴3b＝，∴a＝，∴y＝x+b，∵直线AB经过D（﹣，2），∴2＝×（﹣）+b，∴b＝，∴y＝x+，B（﹣2，0），解得或，∴C（﹣，），＝2×＝．∴S△BOC8、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝的图象过等边三角形BOC的顶点B，OC＝2，点A在反比例函数图象上，连接AC、AO．（1）求反比例函数解析式；（2）若四边形ACBO的面积为3，求点A的坐标．解：（1）作BD⊥OC于D，如图，∵△BOC为等边三角形，∴OD＝CD＝OC＝1，∴BD＝OD＝，∴B（﹣1，﹣），把B（﹣1，﹣）代入y＝得k＝﹣1×（﹣）＝，∴反比例函数解析式为y＝；（2）设A（t，），∵四边形ACBO的面积为3，∴×2×+×2×＝3，解得t＝，∴A点坐标为（，2）．9、如图，△AOB在平面直角坐标xOy中，反比例函数y1＝的图象经过点A，反比例函数y2＝的图象经过点B，作直线x＝1分别交y1，y2于C，D两点，已知A（2，3），B（3，1）．（1）求反比例函数y1，y2的解析式；（2）求△COD的面积．解：（1）∵反比例函数y1＝的图象经过点A（2，3），反比例函数y2＝的图象经过点B（3，1），∴k1＝2×3＝6，k2＝3×1＝3，∴y1＝，y2＝．（2）由（1）可知两条曲线与直线x＝1的交点为C（1，6），D（1，3），∴CD＝6﹣3＝3，＝1＝．∴S△COD10、正方形ABCD的顶点A（1，1），点C（3，3），反比例函数y＝（x＞0）．（1）如图1，双曲线经过点D时求反比例函数y＝（x＞0）的关系式；（2）如图2，正方形ABCD向下平移得到正方形A′B′C′D′，边A'B'在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交正方形A′B′C′D′的边C'D′、边B′C′于点F、E，①求△A'EF的面积；②如图3，x轴上一点P，是否存在△PEF是等腰三角形，若存在直接写出点P坐标，若不存在明理由．解：（1）∵点A（1，1），点C（3，3），∴点D（1，3），将点D的坐标代入反比例函数表达式得：k＝3，故反比例函数表达式为：y＝；（2）平移后点A′、B′、C′、D′的坐标分别为：（1，0）、（3，0），（3，2）、（1，2），则平移后点E纵坐标为3，则点E（3，1），同理点F（，2），﹣S△A′B′E﹣S△A′D′F﹣S△EFC′＝2×2×2×﹣2×1﹣××1＝；△A'EF的面积＝S正方形A′B′C′D′（3）点E、F的坐标分别为：（3，1）、（，2），设点P（m，0），则EF2＝（3﹣）2+（2﹣1）2＝，EP2＝（m﹣3）2+1，PF2＝（m﹣）2+4，当EF＝EP时，即＝（m﹣3）2+1，解得：m＝或；当EF＝PF时，同理可得：m＝（舍去负值）；当EP＝PF时，同理可得：m＝，故点P的坐标为（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．11、如图，单位长度为1的网格坐标系中，一次函数y＝kx+b与坐标轴交于A、B两点，反比例函数y＝（x＞0）经过一次函数上一点C（2，a）．（1）求反比例函数解析式，并用平滑曲线描绘出反比例函数图象；（2）依据图象直接写出当x＞0时不等式kx+b＞的解集；（3）若反比例函数y＝与一次函数y＝kx+b交于C、D两点，使用直尺与2B铅笔构造以C、D为顶点的矩形，且使得矩形的面积为10．解：（1）∵一次函数y＝kx+b过点A（0，4），点B（8，0），∴，∴，∴一次函数解析式为：y＝﹣x+4；∵点C在一次函数图象上，∴a＝﹣×2+4＝3，∵反比例函数y＝（x＞0）经过点C（2，3），∴m＝6，∴反比例函数解析式为：y＝，图象如图所示：（2）∵反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x+4交于C、D两点，∴＝﹣x+4，∴x1＝2，x2＝6，∴点D（6，1），由图象可得：当2＜x＜6时，y＝kx+b的图象在y＝图象的上方，∴不等式kx+b＞的解集为2＜x＜6；（3）如图，若以CD为边，则矩形ABDC，矩形A'B'DC为所求，若以CD为对角线，则矩形DEDF为所求．12、如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标；（3）若点P在y轴上，是否存在点P，使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，∴A（1，2），把A（1，2）代入反比例函数，∴k＝1×2＝2；∴反比例函数的表达式为；（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，∴C（3，0），设P（x，0），∴PC＝|3﹣x|，＝|3﹣x|×2＝5，∴S△APC∴x＝﹣2或x＝8，∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）；（3）存在，理由如下：联立，解得：或，∴B点坐标为（2，1），∵点P在y轴上，∴设P（0，m），∴AB＝＝，AP＝，PB＝，若BP为斜边，∴BP2＝AB2+AP2，即＝2+，解得：m＝1，∴P（0，1）；若AP为斜边，∴AP2＝PB2+AB2，即＝+2，解得：m＝﹣1，∴P（0，﹣1）；综上所述：P（0，1）或P（0，﹣1）．13、如图，过原点的直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝（k＜0）的图象交于A、B两点，点A在第二象限，且点A的横坐标为﹣1，点D在x轴负半轴上，连接AD交反比例函数图象于另一点E，AC为∠BAD的平分线，过点B作AC的垂线，垂足为C，连接CE，若AD＝2DE，△AEC的面积为．（1）根据图象回答：当x取何值时，y1＜y2；（2）求△AOD的面积；（3）若点P的坐标为（m，k），在y轴的轴上是否存在一点M，使得△OMP是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝（k＜0）的图象交于A、B两点，且点A的横坐标为﹣1，∴点A，点B关于原点对称，∴点B的横坐标为1，∴当x取﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y2；（2）连接OC，OE，由图象知，点A，点B关于原点对称，∴OA＝OB，∵AC⊥CB，∴∠ACB＝90°，∴OC＝AB＝AO，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC为∠BAD的平分线，∴∠OAC＝∠DAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴AD∥OC，∴S △AEO ＝S △ACE ＝，∵AD ＝2DE ，∴AE ＝DE ，∴S △AOD ＝2S △AOE ＝3；（3）作EF ⊥x 轴于F ，作AH ⊥x 轴于H ，则EF ∥AH ，∵AD ＝2DE ，∴DE ＝EA ，∵EF ∥AH ，∴＝＝1，∴DF ＝FH ，∴EF 是△DHA 的中位线，∴EF ＝AH ，∵S △OEF ＝S △OAH ＝﹣，∴OF •EF ＝OH •HA ，∴OH ＝OF ，∴OH ＝HF ，∴DF ＝FH ＝HO ＝DO ，∴S △OAH ＝S △ADO ＝3＝1，∴﹣＝1，∴k＝﹣2，∴y＝﹣，∵点A在y＝﹣的图象上，∴把x＝﹣1代入得，y＝2，∴A（﹣1，2），∵点A在直线y＝mx上，∴m＝﹣2，∴P（﹣2，﹣2），在y轴上找到一点M，使得△OMP是直角三角形，当∠OMP＝90°时，PM⊥y轴，则OM＝2，∴点M的坐标为（0．﹣2）；当∠OPM＝90°时，过P作PG⊥y轴于G，则△OPM是等腰直角三角形，∴OM＝2PG＝4，∴点M的坐标为（0．﹣4）；综上所述，点M的坐标为（0．﹣2）或（0，﹣4）．。
反比例函数讲义(知识点+典型例题)
变式1 如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 变式2 若函数11-=m xy (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________．题型二：反比例函数解析式例3 已知A （﹣1，m ）与B （2，m ﹣3）是反比例函数图象上的两个点．则m 的值 ．例4 已知y 与2x －3成反比例，且41=x 时，y ＝－2，求y 与x 的函数关系式．变式3已知y 与x 成反比例，当x ＝2时，y ＝3．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)当y ＝－23时，求x 的值．变式4 已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝2时，y 的值．1、反比例函数的图像（1）形状与位置：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
（2）变化趋势：由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
2、反比例函数的性质（1）对称性：反比例函数的图像是关于原点对称的中心对称图形，同时也是轴对称图形，有两条对称轴，分别是一、三象限和二、四象限的角平分线，即直线y x =±。
（注：过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称）（2）双曲线的位置：当k>0时，双曲线位于一、三象限（x ，y 同号）；当k<0时，双曲线位于二、四象限（x ，y 同号异号），反之也成立。
（3）增减性： 当k>0时，双曲线走下坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，双曲线走上坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而增大。
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(C)1<S<2 (D)无法确定
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14
设P(m, n)是双曲线y k (k 0)上任意一点, x
过P分别作x轴, y轴的垂线,垂足分别为A, B,
求矩形OAPB的面积。 面积性质（一）
解 ： OA |m|，AP|n|(如图所 )；示
S矩形 OAPBOAAP|m|•|n||k|.
y
又图像在,四 二象,限
PC
k3 解析式为y 3 .
x
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A ox
11
变式一：
如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P
分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为12,则
这个反比例函数的关系式是__y_＝____1_x2__ 。
y
pN
M ox
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12
综合运用
4.
如图,已知一次函数y kx + b的图象与反比例函数
则函数值y1、y2、y3大小关系是___y_3_<_y_1_<__y_2 ____;
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17
3、用“>”或“<”填空：
⑴已知x1，y1和x2，y2是反比例函数
y=
π x
的两
对自变量与函数的对应值。若x1 < x2 <0。
则0 > y1 > y2；
⑵已知x1，y1和x2，y2是反比例函数 y =-πx 的两 对自变量与函数的对应值。若x1 > x2 > 0。
x
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oA
x
16
练一练
1.函数 y k2 2(k为常数的）图象上有三点 x
（－3,y1）, （－1,y2）, （2,y3）,则函数值y1、y2、y3的
大小关系是___y_3_<__y_1<__y_2____;
2.在反比例函数y=
1 x
的图象上有三点（x1，y1）
（x2，y2）（x3，y3），若x1 ＞ x2 ＞ 0 ＞ x3
y 8 的图象交于A, B两点,且点A的横坐标和点B x
的纵坐标都是 2.
y
求: (1)一次函数的解析式;
A
(2)AOB的面积.
O
x
B
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13
变式二：
如图所示，正比例函数 ykx(k0)与反比例 函数 y 1 的图象相交于A、C两点，过A作x轴的
x
垂线交x轴于B，连接BC.若△ABC面积为S,则___A___
y k 交于M(2，m)、N(-1，-4)两点.
x
（1）求反比例函数和一
y
都在反比例函数
y
4 x
的图象上,则y1、
y2与y3的大小关系(从大到小)
为 y3 ＞y1＞. y2
y
-2 -1 y3 o
A B
yy12
C
4x
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8
综合运用
对于反比例函数
y k2 x
如果X 1<0 <X2，那么Y1 <Y2， 求K 的范围
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9
一、 知识回顾
1 、 P43 自我尝试
2、如图点Ｐ 是反比例函数y= 4/x 的图象上的任意点，PA垂直于x
而减小.
而增大.
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2
复习
1、函数 y 2 0 的图象在第__一__、__三__象限,
x
在每一象限内，y 随x 的增大而____减__小___.
2、 函数 y 3 0 的图象在第__二_、__四___象限,
x
在每一象限内，y 随x 的增大而____增__大___.
3、函数 y ,当x>0时,图象在第_一___象限, x
反比例函数的图象和性质（2）
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1
w反比例函数的图象和性质：
1.反比例函数的图象是__双_曲_线___; 2.图象性质见下表：
y= k
K>0
K<0
x
图 象
当k＞0时，函数图象 当k＜0时，函数图象
性 的两个分支分别在第 的两个分支分别在第
质
一、三象限，在每个 二、四象限，在每个 象限内，y随x的增大 象限内，y随x的增大
5x
-4
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4
D
新知先知
1、已知点A(-2,y1),B(-1,y2)
都在反比例函数
y
4 x
的图象上,则y1
与y2的大小关系(从大到小)为
.
y1＞ y2
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5
1、已知点A(-2,y1),B(-1,y2)
都在反比例函数
y
y
k4 xx
(的k＜图0)象上,则y1
与y2的大小关系(从大到小)为
.
y2＞ y1
y
y
B
P(m,n)
oA
x
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B
P(m,n)
oA
x
15
设P(m,n)是双曲 y线 k(k0)上任意,一点 x
过P作x轴的垂 ,垂线足A为 ,求AO的 P 面积。
O A|m， |AP |n； |
面积性质
SΔOAP1 2OAAP 1 2|
m•||n|1| 2
k
（| 二）
y
y
P(m,n)
P(m,n)
oA
限，直线 ybx+c
试判断反比例函数
经过二、三、四象限， y 的ab图c 像经过的
象限。
x
都6.已在知反点比A例（函-数2，y1)、y B（k (-k1，0y)2)、的C图（象3，上y，3） x
比较y1、y2、y3大小。
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19
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20
综合运用：
1. 如图：一次函数的图象 yax+b 与反比例函数
轴，设三角形AOP的面积为S，则Ｓ＝_____
4
2
P
-5
O
A
5
-2
要求：先独立思考再合作交流，归纳每一道题 所用到的知识和方法
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10
3如图 , P是反比例函数y k 图像上的一点,由P分别 x
向x轴, y轴引垂线,阴影部分面积为3,则这个反比例
函数的解析式是__y__ 3 .
解:
x
S矩 形 A |kP|C , | Ok|3.
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6
2、已知点AA(x(1-,2y,1y),1B)(,Bx2(,-y12),且y2x)1＜0＜x2
都在反比例函数
y
y
k x
4 x
(的k＜图0)象上,则y1
与y2的大小关系(从大到小)为
.
y1 ＞0＞y2
y
A
oy1 x2
x
1
y2
B
x
精选课件
7
3、已知点AA(-(2-,2y,1y),1B),(B-1(,-y12,)y,C2()4,y3)
则0 > y1 > y2；
4、已知（x1，y1）， （x2，y2） （x3，y3）是反比例函
数 x3
的大y =小x2的关图系象是上（的三点，A）且y1
>
y2
>
y3
>
0。则x1
，x2
，
A、x1<x2<x3 B、x3> x1>x2 C、x1>x2>x3 D、x1>x3>x2
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18
5.已知：正比例函数 yax经过一、三象
y随x 的增大而___减__小____.
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3
4．如图，函数y=k/x和y=－kx+1(k≠0)在同一
坐标系内的图象大致是 （ D）
6y
4 2
-5
O
-2
-4
A
6y
4
2
5x
-5
O
-2
5x
-4
C
6y
4
2
先假设某个
-5
O
-2
5 x 函数图象已
-4
经画好，再
B
确定另外的
6y
是否符合条
4
件.
2
-5
O
-2