2019年复旦附中自招数学试卷

2019年复旦附中自招数学试卷
（一）
1. 两个非零实数a 、b 满足ab a b =-，求
a b ab b a
+-的值.
2. 已知|211||3||8|m m m -=-+-，求m 的取值范围.
3. 若关于x 的不等式020192018ax ≤+≤的整数解为1、2、3、…、2018，求a 的范围.
4. 已知ABC 、A BC ''边长均为2，点D 在线段BC '上，求AD CD +的最小值.
5. 已知x 、y 为实数，求2254824x y xy x +-++的最小值.
6. 在ABC 中，2B C ∠=∠，AD 为A ∠的角平分线，若
2AB BD BD AB
-=，求tan C ∠的值.
（二）
1. 等腰梯形ABCD 中，13AB CD ==，6AD =，16BC =，CE ⊥AB .
（1）求CE 的长；（2）求BCE 内切圆的半径.
2. 定义当0x x =时，0y x =，则称00(,)x x 为不动点.
（1）若5x a y x b
+=+有两个不动点(6,6)、(6,6)--，求a 、b 的值； （2）若5x a y x b +=
+有关于原点对称的不动点，求a 、b 满足的条件.
3. 已知()S n 为n 的各位数字之和，例(2019)201912S =+++=.
（1）当19502019n ≤≤时，找出所有满足[()]4S S n =的n ；
（2）当n 为正整数时，找出所有满足()[()]2019n S n S S n ++=的n .
（三）
1. 平行四边形两条邻边为7和8，两条对角线为m 、n ，求22m n +的值.
2. 已知正整数x 、y 满足2127xy x y ++=，求x y +的值.
3. 斐波那契数列为{1,1,2,3,5,8,}n a =⋅⋅⋅，记数列n b 为n a 中每一项除以4的余数，问{}n b 中第2019次出现1时的序数（即第几个数）.
参考答案
（一） 1. 222()22a b a b a b ab ab b a a b a b a b
+-+-=-==--- 2. 结合绝对值意义或者图像，3m ≤或8m ≥
3. 由101a <-≤，201920182019a ≤-<可得，201912018
a -≤<- 4. 4AD CD AD A D AA ''+=+≥=，即最小值为4
5. 配方，224()(1)33x y x -+++≥，即最小值为3
6.
求出1AB BD =，由正弦定理，sin()sin 223sin sin()22C AB ADB C BD BAD ππ-
∠==∠-，结合诱导公式、三
倍角公式、化切，可求得tan 12
C =，由二倍角公式可求tan 1C = （二）
1.（1）锐角三角比，
19213；（2）在13、12、5的三角形中求得内切圆半径2r '=，结合相 似比，213321613r r =⇒=，即所求内切圆半径为3213
2.（1）36a =，5b =；（2）0a ≥且25a ≠，5b =
3.（1）找规律，()22S n =或()4S n =，符合的有1957、1966、1975、
1984、1993、2002、2011；（2）先确定范围，
()28S n ≤，[()]10S S n ≤，∴1981n ≥，再分析讨论，符合的有1987、1990、1993、2005、
2008、2011
（三）
1. 由余弦定理，22226m n +=
2. 127121
x y x -=≥+，可得42x ≤，结合正整数的条件，分析可得，有(1,42)、(2,25)、(7,8)这些解（x 、y 可换），∴x y +的值为43、27、15
3. 分析可得，{}n b 周期为6，且前六项为1、1、2、3、1、0，每个周期出现3次“1”，20193673÷=，即第2019次出现1时，在第673个周期内最后一个“1”，即序数为672654037⨯+=。