浙江省宁波诺丁汉大学附属中学2017届高三数学上学期期中试题
浙江省宁波诺丁汉大学附属中学高三数学上学期期中试题
浙江省宁波诺丁汉大学附属中学2017届高三数学上学期期中试题考生注意：1.不允许用计算器。
2.参考公式：球的表面积公式：S =4πR 2球的体积公式：V =34πR 3 其中R 表示球的半径 棱锥的体积公式：V =31Sh 其中S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 棱柱的体积公式：V =Sh其中S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高棱台的体积公式V =)(312211S S S S h ++其中S 1, S 2分别表示棱台的上、下底面积,h 表示棱台的高一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．定义集合{}12)(|-==x x f x A ，{})22(log |2+==xy y B ，则=B C A R I （ ）A ．),1(+∞B ．[0，1]C ．[0，1）D ．[0，2）2．下列命题正确的是（ ）A ．“92>a ”是“3>a ”的充分不必要条件B ．函数6)(2--=x x x f 的零点是（3，0）或（﹣2，0）C ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2﹣x ﹣6＞0，则￢p ：∀x ∈R ，均有x 2﹣x ﹣6≤0 D ．命题“若062=--x x ，则3=x ”的否命题为“若062=--x x ，则3≠x ” 3．已知βα,是相异两平面，n m ,是相异两直线，则下列命题中不正确的是（ ） A ．若,,//α⊥m n m 则α⊥n B ．若,,αβ⊥⊥m m 则βα// C ．若βα⊂⊥m m ,，则βα⊥ D ．若n m =βααI ,//，则n m //4．已知{}n a 为等差数列，99,105642531=++=++a a a a a a ，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是( )A. 21B. 20C. 19D. 18 5．将函数x x x x x f 2sin )sin 2)(cos 23sin()(+-+=π的图象向左平移8π个单位长度后得到函数)(x g ，则)(x g 具有性质（ ）A ．在)4,0(π上单调递增，为奇函数 B ．周期为π，图象关于)0,4(π对称C ．最大值为2，图象关于直线2π=x 对称 D ．在)0,2(π-上单调递增，为偶函数6．已知))(()(),0()(2x f f x g a c bx ax x f =>++=，若)(x g 的值域为)(),,2[x f +∞的值域为),[+∞k ，则实数k 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．47．已知点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左右焦点，且ab F F 221||=，I 为三角形21F PF 的内心，若2121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=λ成立， 则λ的值为（ ）A ．2221+ B ．132- C ．12+ D ．12- 8．在长方体1111D C B A ABCD -中，已知二面角A BD A --1的大小为6π，若空间一条直线l 与直线CC 1所成的角为4π，则直线l 与平面BD A 1所成的角的取值范围是（ ） A ．]125,12[ππ B ．]125,4[ππ C ．)2,12[ππ D ．]4,6[ππ 二．填空题：本大题共7小题，9-11和15小题6分，,12-14小题4分，满分36分. 9. 函数x x f =)(在1=x 处的切线l 方程是______________，以直线l 与y 轴的交点为焦点的抛物线标准方程是_________________.10．设函数⎩⎨⎧>≤=0,ln 0,)(x x x e x f x ，则=))21((f f ，方程1))((=x f f 的解集 ．11．如图是一个几何体的三视图，正视图是边长为2的正三角形，俯视图是等腰直角三角形，该几何体的表面积为____________， 体积为_______________．12．已知两个等比数列{}n a ，{}n b ，满足3,2,1),0(3322111=-=-=->=a b a b a b a a a . 若a =1，则数列{}n a 的通项公式为______________，若数列{}n a 唯一，则a =__________.13．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤-+101033y y x y x 则y x z +=||2的取值范围是 ．14．在AOB ∆中，已知2,1,45OB AB AOB ==∠=︒u u u r u u u r ,若OP OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r,且22λμ+=,则OA u u u r 在OP uuu r上的投影的取值范围是 ．15. 记{},p q max ,,p p q q p q≥⎧=⎨<⎩，设(){}22,max 1,1M x y x y y x =++-+，其中,x y R ∈，则(),M x y 的最小值是__________．三．解答题：本大题共5小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（14分）已知在ABC ∆中,内角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，且C a A c cos 3sin 2,2==．（1）求角C 的大小；（2）若C C B A sin )2sin(2sin 2=++，求ABC ∆的面积．17．（15分）如图，矩形ABCD 中，)1(>=λλADAB，将其沿AC 翻折，使点D 到达点E 的位置，且二面角E AB C --为直二面角． （1）求证：平面⊥ACE 平面BCE ；（2）设F 是BE 的中点，二面角F AC E --的平面角 的大小为θ，当]3,2[∈λ时，求θcos 的取值范围．18．（15分）数列{}n a 各项均为正数，211=a ，且对任意的*N n ∈，都有)0(21>+=+λλn n n a a a ． （1）取11+=n a λ，求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a a 1是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若20161=λ，是否存在*N n ∈，使得1>n a ，若存在，试求出n 的最小值，若不存在，请说明理由．19．（15分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为21，焦点与短轴的两顶点的连线与圆4322=+y x 相切． （1）求椭圆C 的方程； （2）过点)0,1(的直线l 与C 相交于B A ,两点，在x 轴上是否存在点N ，使得NB NA ⋅为定值？如果有，求出点N 的坐标及定值；如果没有，请说明理由．20．（15分）已知函数R m x x m x g x x x f ∈+-=-=,21)(,21ln )(22，令)()()(x g x f x F +=． （1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）若关于x 的不等式1)(-≤mx x F 恒成立，求整数m 的最小值；（3）若1-=m ，且正实数21,x x 满足)()(21x F x F -=，求21x x +的取值范围．2015-2016学年度第二学期期末考试高三年级数学参考答案一、1.B ； 2.C ； 3.D ； 4.B ； 5.A ； 6.C ； 7.D ； 8.A.二、9.y x y x 2,0122==+-； 10.{}e e ,1,21； 11. 332,734++； 12. 31,)22(1-±=n n a ； 13. ]11,1[-； 14. ]1,22(-； 15. 43. 三、16.解：（1）由已知得,c sin A =a cos C ,由正弦定理得,sin C sin A =sin A cos C .又sin A >0,∴cos C ≠0,sin C =cos C ,tan C =, ∴C =. ………………………………6分（2）由2sin 2A+sin(2B+C )=sin C 得, 2sin 2A =sin C-sin(2B+C ),∴4sin A cos A =sin(A+B )-sin[(π-A )+B ]=sin(A+B )+sin(B-A )=2sin B cos A. 当cos A =0时,A =,此时B =，∵c =2, ∴b =, S △ABC =bc =.当cos A ≠0时,sin B =2sin A ,∴b =2a . 由c 2=a 2+b 2-2ab cos C 得,4=a 2+b 2-ab . 联立,得334,332==b a , ∴S △ABC =ab sin C =.综上所述,△ABC 的面积为. ………………………14分17.证明：（1）∵二面角C ﹣AB ﹣E 为直二面角， AB ⊥BC ，∴BC ⊥平面ABE ，∴BC ⊥AE ∵AE ⊥CE ，BC∩CE=C，∴AE ⊥平面BCE∵AE ⊂平面ACE ，∴平面ACE ⊥平面BCE………..6分解：（2）如图，以E 为坐标原点，以AD 长为一个单位长度，建立如图空间直角坐标系，则AB=λ，则，设平面EAC 的法向量为则，取x=1，， 同理设平面FAC 的法向量为，∴∵. …………15分18.（1）证明：0,121211211=+-⇒+=∴=+++++n n n n n n n n n a a a a a a a a a λΘ251,0,25101)()(11121+=∴>±=⇒=+-∴++++n n n n n n n n n a a a a a a a a a Θ (为常数)， 所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a a 1是公比为251+的等比数列. 11)251(21,21-+=∴=n n a a Θ. ………………………………………7分解：（2）∵a n+1=a n +ca n 2，c=， ∴a n+1＞a n ＞0．∴，即=，∴++…+=++…+=． ∴＜++…+=．当n=2016时，＜1，可得a 2017＜1． 当n=2017时，2﹣＞++…+=1，可得a 2018＞1．因此存在n ∈N *，使得a n ＞1． ………………………………………………………………………………15分 19.解：（1）∵椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x 2+y 2=相切，∴，解得c 2=1，a 2=4，b 2=3，∴椭圆方程为. …………………………………………………………………………………6分（2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y=k （x ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则△＞0，，若存在定点N（m，0）满足条件，则有=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=如果要上式为定值，则必须有验证当直线l斜率不存在时，也符合．故存在点满足. (15)分20. 解：（1）f（x）的定义域为：{x|x＞0}，f′（x）=﹣x=，（x＞0），由f′（x）＞0，得：0＜x＜1，所以f（x）的单调递增区间为（0，1）．………4分（2）F（x）=f（x）+g（x）=lnx﹣mx2+x，x＞0，令G（x）=F（x）﹣（mx﹣1）=lnx﹣mx2+（1﹣m）x+1，则不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，即G（x）≤0恒成立．G′（x）=﹣mx+（1﹣m）=，①当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，又因为G（1）=ln1﹣m×12+（1﹣m）+1=﹣m+2＞0，所以关于x的不等式G（x）≤0不能恒成立，②当m＞0时，G′（x）=﹣，令G′（x）=0，因为x＞0，得x=，所以当x∈（0，）时，G′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，G′（x）＜0，因此函数G（x）在x∈（0，）是增函数，在x∈（，+∞）是减函数，故函数G（x）的最大值为：G（）=ln﹣m×+（1﹣m）×+1=﹣lnm，令h（m）=﹣lnm，因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，又因为h（1）=＞0，h（2）=﹣ln2＜0，所以当m≥2时，h（m）＜0，所以整数m的最小值为2．…………………………………………………………10分（3）m=﹣1时，F（x）=lnx+x2+x，x＞0，由F（x1）=﹣F（x2），得F（x1）+F（x2）=0，即lnx1++x1+lnx2++x2=0，整理得：+（x1+x2）=x1 x2﹣ln（x1 x2），令t=x1•x2＞0，则由φ（t）=t﹣lnt，得：φ′（t）=，可知φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，所以φ（t）≥φ（1）=1，所以+（x1+x2）≥1，解得：x1+x2≤﹣﹣1，或x1+x2≥﹣1，因为x1，x2为正整数，所以：x1+x2≥﹣1成立．………………………………………………15分。
2017届高三下学期期中数学试卷
浙江省宁波市诺丁汉大学附中2017届高三下学期期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数z 的对应点为1n =()1,1，则2z =( ) AB ．2iCD ．2+2i2．命题p x ∈R ：且满足sin21x =．命题q x ∈R ：且满足tan 1x =．则p 是q 的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知实数,x y 满足不等式组330300x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的取值范围是( )A ．[]13-，B ．[]31--，C ．[]1-，6D ．[]6,1-4．如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于( )A．34+ B．44+ C．34+ D．32+5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0+∞，单调递减，若实数a 满足()()313lo log g 21f a f a f ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是( )A ．(]03，B ．103⎛⎤⎥⎝⎦，C ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,36．过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为A B 、，双曲线左顶点为M ，若120AMB ∠=o ，则该双曲线的离心率为( )ABC ．3D ．27．在ABC △中，76cos BC AC C ===，，．若动点P 满足()()213AP AB AC λλλ=-∈R u u u r u u u r u u u r +，，则点P的轨迹与直线BC AC ，所围成的封闭区域的面积为( )A ．5B ．10 C． D．8．已知()()2ln 1,0,x x f x x ax x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，且()()2xg x f x =+有三个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，B ．[)1+∞，C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．(]0,19．已知数列{}a 满足()21413n n n a a a a n +*==--∈N ，，则122017111m a a a =+++L 的整数部分是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知函数()[)2,bf x x a x a x=++∈+∞，，其中0a b >∈R ，，记(),m a b 为()f x 的最小值，则当(),2m a b =时，b 的取值范围为( )A ．13b >B ．13b <C ．12b >D ．12b <二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．已知全集为R ，集合{}{}2 31680x A y y x B x x x -==≤=+≤，，，则A B =U ____，A B =R I ð____．12．已知数列{}n a 的前n 项和()2*21n S n n n N =+-∈，则1a =____；数列{}n a 的通项公式为n a ____． 13．已知抛物线()220C y px p =>：的焦点()1,0F ，则p =____；M 是抛物线上的动点，()64A ,，则MA MF +的最小值为____．14．若()()1sin πcos π2x x +++=，则sin2x =____，1tan πsin cos 4xx x +⎛⎫- ⎪⎝⎭=____． 15．已知直线280x my +-=与圆()224C x m y -+=：相交于A B 、两点，且ABC △为等腰直角三角形，则m =____．16．若正数a b c ，，满足1b c a c a b a b c ++++=+，则a bc+的最小值是____． 17．如图，矩形ABCD中，1AB BC ==，ABD △沿对角线BD 向上翻折，若翻折过程中AC长度在⎣⎦内变化，则点A 所形成的运动轨迹的长度为____．三、解答题：（第18题）18．已知函数()()πsin 03f x x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，＞的图象如图，P 是图象的最高点，Q 是图象的最低点．且PQ =（Ⅰ）求函数()y f x =的解析式；（Ⅱ）将函数()y f x =图象向右平移1个单位后得到函数()y g x =的图象，当[]0,2x ∈时，求函数()()()h x f x g x =g 的最大值．19．三棱锥A BCD -中，E 是BC 的中点，AB AD BD DC =⊥， （Ⅰ）求证：AE BD ⊥；（Ⅱ）若22DB DC ==，且二面角A BD C --为60o ，求AD 与面BCD 所成角的正弦值．20．已知函数()()ln 0af x x a x=+>． （1）判断函数()f x 在(]0,e 上的单调性（e 为自然对数的底）； （2）记()f x '为()f x 的导函数，若函数()()3222g x x x a x f x -=+'在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值，求实数a 的取值范围．21．已知椭圆22149x y +=上任一点P ，由点P 向x 轴作垂线段PQ ，垂足为Q ，点M 在PQ 上，且2PM MQ =u u u u r u u u u r ，点M 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点()02D ，-作直线l 与曲线C 交于A B 、两点，设N 是过点40,17⎛⎫- ⎪⎝⎭且平行于x 轴的直线上一动点，满足ON OA OB =+u u u r u u u r u u u r（O 为原点），问是否存在这样的直线l ，使得四边形OANB 为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由．22．已知数列{}n a 满足21132n n n a a a a n N *+==+∈，，*，设()2log 1n n b a =+． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：()11112231n n n b ++++<≥-L ； （Ⅲ）若2nC n b =，求证：123nn n C C +⎛⎫≤< ⎪⎝⎭．。
2017-2018学年浙江省宁波市诺丁汉大学附中高一上学期期中数学试卷和解析
2017-2018学年浙江省宁波市诺丁汉大学附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6}，则A∩B=（）A．2 B．2，4 C．2，4，6 D．1，2，3，4，62．（4分）已知α是第二象限角，且，则cosα的值是（）A．B．C．D．3．（4分）下列各式不正确的是（）A．sin（α+π）=﹣sinαB．cos（﹣α+β）=﹣cos（α﹣β）C．sin（﹣α﹣2π）=﹣sinαD．cos（﹣α﹣β）=cos（α+β）4．（4分）在下列各组函数中，两个函数相等的是（）A．f（x）=与g（x）=B．f（x）=与g（x）=C．f（x）=2x，x∈{0，1，2，3}与g（x）=D．f（x）=|x|与g（x）=5．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=ln（x+1），则函数f（x）的大致图象为（）A．B．C．D．6．（4分）设lg2=a，lg3=b，则log1210=（）A．B．C．2a+b D．a+2b7．（4分）设函数f（x）是单调递增的一次函数，满足f（f（x））=16x+5，则f （x）=（）A．B．C．4x﹣1 D．4x+18．（4分）若﹣1＜a＜0，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．9．（4分）对于任意实数a，b，定义：，若函数f（x）=x2，g（x）=x+2，则函数G（x）=F（f（x），g（x））的最小值为（）A．0 B．1 C．2 D．410．（4分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（0，）D．（，2）二、填空题（共7个小题，11-14每小题6分，15-17每小题6分，共36分）11．（6分）已知函数，f（﹣1）=，若f（f（0））=4a，则a=．12．（6分）函数的定义域是，值域是．13．（6分）函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象恒过点；若对数函数g（x）=log b x（b＞0，b≠1）的图象经过点（4，2），则b=．14．（6分）已知角α的终边过点P（﹣8m，﹣6sin30°），且cosα=﹣，则m的值为，sinα=．15．（4分）已知tanα=2，则4sin2α﹣3sinαcosα﹣5cos2α=．16．（4分）已知函数y=（x2+bx﹣4）log a x（a＞0且a≠1）若对任意x＞0，恒有y≤0，则b a的取值范围是．17．（4分）设函数f（x）=ax2+x．已知f（3）＜f（4），且当n≥8，n∈N*时，f （n）＞f（n+1）恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（共5个小题，共74分）18．（14分）计算：（1）；（2）．19．（15分）已知函数的两条相邻的对称轴之间的距离为，且．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）当x∈[0，3π）时，求使f（x）取到最大值的所有x的和．20．（15分）A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x2+2x﹣3＞0}，C={x|x2﹣3ax+2a2＜0}，（1）求A∩B．（2）试求实数a的取值范围，使C⊆（A∩B）．21．（15分）已知函数．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）当x∈（n，a﹣2）时，是否存在实数a和n，使得函数f（x）的值域为（1，+∞），若存在，求出实数a和n的值，若不存在，说明理由．22．（15分）已知二次函数f（x）=ax2+bx，（a，b为常数，且a≠0）满足条件f （2﹣x）=f（x﹣1），且方程f（x）=x有两个相等的实根．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=kx+1，若F（x）=g（x）﹣f（x），求F（x）在[1，2]上的最小值；（3）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]与[2m，2n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．2017-2018学年浙江省宁波市诺丁汉大学附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6}，则A∩B=（）A．2 B．2，4 C．2，4，6 D．1，2，3，4，6【解答】解：因为A={1，2，3，4}B={2，4，6}所以其公共元素为2，4∴A∩B={2，4}故选：B．2．（4分）已知α是第二象限角，且，则cosα的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵α是第二象限角，且，∴由sin2α+cosα2=1，可得cosα=﹣=﹣．故选：A．3．（4分）下列各式不正确的是（）A．sin（α+π）=﹣sinαB．cos（﹣α+β）=﹣cos（α﹣β）C．sin（﹣α﹣2π）=﹣sinαD．cos（﹣α﹣β）=cos（α+β）【解答】解：由诱导公式可知sin（α+π）=﹣sinα，A正确cos（﹣α+β）=cos[﹣（α﹣β）]=cos（α﹣β），B错误sin（﹣α﹣2π）=sin[﹣（α+2π）]=﹣sinα，C正确cos（﹣α﹣β）=cos[﹣（α+β）]=cos（α+β）D正确综上所述，错误的是B．故选：B．4．（4分）在下列各组函数中，两个函数相等的是（）A．f（x）=与g（x）=B．f（x）=与g（x）=C．f（x）=2x，x∈{0，1，2，3}与g（x）=D．f（x）=|x|与g（x）=【解答】解：对于A，f（x）==x的定义域是R，g（x）==|x|的定义域是R，但对应关系不同，所以两个函数不相等；对于B，y==的定义域是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），g（x）=•=的定义域是[1，+∞），定义域不同，所以这两个函数不相等；对于C，x∈{0，1，2，3}时，f（x）=2x={1，2，4，8}，g（x）=+x+1={1，2，4，7}，所以这两个函数不是相等的函数；对于D，f（x）=|x|=，g（x）=，两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相等函数．故选：D．5．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=ln（x+1），则函数f（x）的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：先作出当x≥0时，f（x）=ln（x+1）的图象，显然图象经过点（0，0），且在（0，+∞）上缓慢增长．再把此图象关于y轴对称，可得函数f（x）在R上的大致图象，如图C所示，故选：C．6．（4分）设lg2=a，lg3=b，则log1210=（）A．B．C．2a+b D．a+2b【解答】解：∵lg2=a，lg3=b，∴log1210=．故选：A．7．（4分）设函数f（x）是单调递增的一次函数，满足f（f（x））=16x+5，则f （x）=（）A．B．C．4x﹣1 D．4x+1【解答】解：∵f（x）单调递增的一次函数，∴设f（x）=ax+b，a＞0，f[f（x）]=a（ax+b）+b=a2x+ab+b=16x+5，∴a2=16，ab+b=5，解得a=4，b=1或a=﹣4，b=﹣（不合题意舍去），∴f（x）=4x+1；故选：D．8．（4分）若﹣1＜a＜0，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【解答】解：在同一坐标系中画出y=2x、y=和y=（0.5）x，如图所示，当﹣1＜a＜0，故选：C．9．（4分）对于任意实数a，b，定义：，若函数f（x）=x2，g（x）=x+2，则函数G（x）=F（f（x），g（x））的最小值为（）A．0 B．1 C．2 D．4【解答】解：由题意F（x）=，可得：F（x）=作出图象如下：从图象不难看出：函数G（x）=F（f（x），g（x））的最小值为1．故选：B．10．（4分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（0，）D．（，2）【解答】解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当b=时，h（x）=b，有两个交点，当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=b恰有4个根，则满足＜b＜2，故选：D．二、填空题（共7个小题，11-14每小题6分，15-17每小题6分，共36分）11．（6分）已知函数，f（﹣1）=﹣1，若f（f（0））=4a，则a=2．【解答】解：∵函数，∴f（﹣1）=﹣1，f（f（0））=f（2）=4+2a=4a，解得：a=2，故答案为：﹣1，212．（6分）函数的定义域是[2，+∞），值域是[1，+∞）．【解答】解：由题意：x﹣2≥0，解得：x≥2故得定义域为[2，+∞）由，f（x）=是递增函数，∴值域为[1，+∞）故答案为：[2，+∞）；[1，+∞）13．（6分）函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象恒过点（0，2）；若对数函数g（x）=log b x（b＞0，b≠1）的图象经过点（4，2），则b=2．【解答】解：令x=0，求得f（x）=2，可得函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象恒过点（0，2）；根据对数函数g（x）=log b x（b＞0，b≠1）的图象经过点（4，2），可得log b4=2，即b2=4，∴b=2，故答案为：（0，2）；2．14．（6分）已知角α的终边过点P（﹣8m，﹣6sin30°），且cosα=﹣，则m的值为，sinα=﹣．【解答】解：由题意可得x=﹣8m，y=﹣6sin30°=﹣3，r=|OP|=，cosα==﹣，解得m=，∴sinα=﹣．故答案为：，﹣．15．（4分）已知tanα=2，则4sin2α﹣3sinαcosα﹣5cos2α=1．【解答】解：4sin2α﹣3sinαcosα﹣5cos2α====1故答案为：116．（4分）已知函数y=（x2+bx﹣4）log a x（a＞0且a≠1）若对任意x＞0，恒有y≤0，则b a的取值范围是（1，3）．【解答】解：设g（x）=x2+bx﹣4，①若0＜a＜1，当0＜x＜1时，易知log a x＞0，故问题可转化为g（x）≤0在（0，1）上恒成立，则有g（0）≤0，g（1）=b﹣3≤0，解得：b≤3；当x≥1时，log a x≤0，此时不等式可转化为g（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，∴g（1）=b﹣3≥0，即b≥3，∴b=3，∵0＜a＜1，∴1＜b a＜3，②若a＞1，当0＜x＜1时，log a x＜0，故g（x）≥0恒成立，但g（0）=﹣4＜0，故不成立；由此可知当a＞1时，不等式不可能恒成立．综上可知b a∈（1，3）．故答案为：（1，3）．17．（4分）设函数f（x）=ax2+x．已知f（3）＜f（4），且当n≥8，n∈N*时，f （n）＞f（n+1）恒成立，则实数a的取值范围是（）．【解答】解：∵当n≥8，n∈N*时，f（n）＞f（n+1）恒成立，∴a＜0，此时，f（n）＞f（n+1）恒成立，等价于f（8）＞f（9），即64a+8＞81a+9，解得a．∵f（3）＜f（4），∴9a+3＜16a+4解得a，即a∈（）．故答案为：（）．三、解答题（共5个小题，共74分）18．（14分）计算：（1）；（2）．【解答】解：（1）=；（2）==．19．（15分）已知函数的两条相邻的对称轴之间的距离为，且．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）当x∈[0，3π）时，求使f（x）取到最大值的所有x的和．【解答】解：（1）由题意得，即T=π，ω=2，由得，即，又，所以，．由，可求单调增区间为．（2）当x∈[0，3π）时，，所以当，即时，f（x）取到最大值，所以使f（x）取到最大值的所有x的和为．20．（15分）A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x2+2x﹣3＞0}，C={x|x2﹣3ax+2a2＜0}，（1）求A∩B．（2）试求实数a的取值范围，使C⊆（A∩B）．【解答】解：（1）依题意得：A={x|x2﹣2x﹣8＜0}={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x2+2x ﹣3＞0}={x|x＞1或x＜﹣3}，∴A∩B={x|1＜x＜4}；（2）分三种情况考虑：①当a=0时，C=∅，符合C⊆（A∩B）；②当a＞0时，C={x|a＜x＜2a}，要使C⊆（A∩B），则有，解得：1≤a≤2；③当a＜0时，C={x|2a＜x＜a}，显然a＜0，C不为A∩B的子集，不合题意，舍去，综上，a的范围是1≤a≤2或a=0．21．（15分）已知函数．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）当x∈（n，a﹣2）时，是否存在实数a和n，使得函数f（x）的值域为（1，+∞），若存在，求出实数a和n的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）f（x）的定义域为{x|x＞1或x＜﹣1}关于原点对称，又，∴f（x）为奇函数（2）令，即，x∈（n，a﹣2）①当a＞1时，要使f（x）的值域为（1，+∞），则须t∈（a，+∞），令，解得．所以．故有②当0＜a＜1时，t∈（0，a），则，所以不满足．综上所述，存在实数，当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域为（1，+∞）22．（15分）已知二次函数f（x）=ax2+bx，（a，b为常数，且a≠0）满足条件f （2﹣x）=f（x﹣1），且方程f（x）=x有两个相等的实根．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=kx+1，若F（x）=g（x）﹣f（x），求F（x）在[1，2]上的最小值；（3）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]与[2m，2n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意知f（x）=ax2+bx关于x=对称∴﹣=ax2+bx=x有两个相等的实根，∴△=0∴所以，f（x）=﹣x2+x；（2）F（x）=kx+1+x2﹣x=x2+（k﹣1）x+1F（x）的对称轴为：x=﹣①当﹣≤1时，F（x）min=F（1）≤k+1②当1＜﹣≤2时，③当﹣＞2 时，F（x）min=F（2）=2k+3∴F（x）min=（3）f（x）=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+∴2n⇒n∴f（x）在[m，n]上单调递增∴⇒∵m＜n∴赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
【浙江省宁波诺丁汉大学年附中】2017届高三下学年期期中数学年试题
1~5．BCCAC 6~10．DAABD
11． 0,4 ； 0，2 ．
12．2；
2, 2n
1,
n 1 n2
13．2；7
14． 3 ； 8 2
4
3
15．2 或 14
16． 5 2
17． 3 π 12
18．解：（Ⅰ）过 P 作 x 轴的垂线 PM 过 Q 作 y 轴的垂线 QM ，则由已知得 PM 2 ， PQ 13 ，
△ABD 为等腰直角三角形，故 AF 1 BD 1， 2
又 FE 1 DC 1 ，
2
2
AE2 AF 2 FE2 2AF FE cosAFE 1 1 21 1 cos60 3 ，
4
2
4
即 AE 3 ， AE2 FE2 1 AF 2 ， AE FE ， 2
AB AD BD AF 又 AF FE F，AF，FE 面 AFE ，
BD 面 AFE ， AE 面 AFE ，
AE BD ， BD FE ．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知 BD AF ， AFE 即为二面角 A-BD C 的平面角
AFE 60 AB AD 2 ，
当
x
0，2
时，
2π 3
x
π 6
π 6
,
7π 6
，
当 2π x π π ， 3 62
即
x
1 时，
hmax
x
3 4
．
19．证明：（Ⅰ）如图，取 BD 的中点 F ，连 EF，AF ，
2017届高三下学期期中数学试卷-答案
浙江省宁波市诺丁汉大学附中2017届高三下学期期中数学试卷答 案1~5．BCCAC 6~10．DAABD11．(]0,4；()02，． 12．2；2,121,2n n n =⎧=⎨+≥⎩13．2；714．34-； 15．2或1416．521718．解：（Ⅰ）过P 作x 轴的垂线PM 过Q 作y 轴的垂线QM ，则由已知得2PM =，PQ = 由勾股定理得3QM =， ∴6T =，又2πT ω=，∴π3ω=， ∴函数()y f x =的解析式：()ππsin 33f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（Ⅱ）将函数()y f x =图象向右平移1个单位后得到函数()y g x =的图象， ∴()πsin3g x x =． 函数()()()πππsin sin 333h x f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭g21ππsin cos 2333πx x x =+ 12π2π1cos sin 433x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 12ππ1sin 2364x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭当[]02x ∈，时，2πππ7π,3666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴当2πππ362x -=， 即1x =时，()34max h x =． 19．证明：（Ⅰ）如图，取BD 的中点F ，连EF AF ，， Q E 为BC 中点，F 为BD 中点，∴//FE DC ．又BD DC ⊥，∴ BD FE ⊥． Q AB AD =∴BD AF ⊥又AF FE F AF FE =⊂I ，，面AFE ， ∴BD ⊥面AFE ，AE ⊂面AFE ，Q AE BD ⊥，∴BD FE ⊥．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD AF ⊥，∴AFE ∠即为二面角A BD C --的平面角∴60AFE ∠=o Q 2AB AD ==， ∴ABD △为等腰直角三角形，故112AF BD ==， 又1122FE DC ==， ∴2221132cos 121cos60424AE AF FE AF FE AFE =+∠=+-⨯⨯⨯-=o g g ，即2AE =，∴2221AE FE AF +==，∴AE FE ⊥， 又由（1）知BD AE ⊥，且BD FE F =I ，BD ⊂面BDC ，FE ⊂面BDC ，∴AE ⊥平面BDC ，∴ADE ∠就是AD 与面BDC 所成角，在Rt AED △中，2AE AD =，∴AD 与面BDC 所成角的正弦值sin 4AE ADE AD ∠==．20．解：（1）Q ()()ln 0af x x a x=+＞． ∴()221a x af x x x x-'=-+=，若0e a <<，当()0x a ∈，时，()0f x '<，函数()f x 在(]0a ，上单调递减， 当()e x a ∈，时，()0f x '>，函数()f x 在(],e a 上单调递增， 若e a ≥，()0f x '<，函数()f x 在(]0,e 上单调递减． （2）()()3223222g x x x x f x x ax x a a =+'-=+--∴()231g x x ax '=-+Q 函数()()322g x x x x f x =+'-在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值，等价于关于x 的方程2310x ax +=-在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上有异号实根，Q 231x a x+=，又13a x x =+在12⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，∴283a ≤<，当a =())210g x '=≥不存在极值，∴实数a的取值范围为283⎛⎫ ⎪⎝⎭） 21．解：（1）设()M x y ，是曲线C 上任一点，因为PM x ⊥轴，2PM MQ =u u u u r u u u u r，所以点P 的坐标为()3x y ，点P 在椭圆22149x y +=上，所以()223149y x +=，因此曲线C 的方程是2214x y +=（2）当直线l 的斜率不存在时，显然不满足条件所以设直线l 的方程为2y kx =-与椭圆交于()()1122A x y B x y N ，，，，点所在直线方程为4,17y =由22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()221416120k x kx +-+=，1212221612,1414k x x x x k k +==++， 由()2221648140k k ∆=-+>得234k >即k ><因为ON OA OB =+u u u r u u u r u u u r，所以四边形OANB 为平行四边形 假设存在矩形OANB ，则0OA OB =u u u r u u u rg ，即()()()2212121212121212241240x x y y x x k x x k x x k x x k x x +=++-+=+++=-，所以()22212161201414kk k kk +-=++gg 即24,2k k ==± 设()00N x y ，，由ON OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，得()0121222164444141417k y y y k x x k k -=+=+-=-==-++，即N 点在直线417y =-，所以存在四边形OANB 为矩形，直线l 的方程为22y x =±-22．解：（Ⅰ）由212n n n a a a +=+，则()2211211n n n n a a a a ++=++=+，由13a =，则0n a >，两边取对数得到()()()22122log 1log 12log 1n n n a a a ++=+=+，即12n n b b +=又()121log 120b a =+=≠，∴{}n b 是以2为公比的等比数列．即2n n b =又Q ()2log 1n n b a =+， ∴221nn a =-（Ⅱ）用数学归纳法证明：1o 当2n =时，左边为111112236++=<=右边，此时不等式成立； 2o 假设当2n k =≥时，不等式成立， 则当1n k =+时，左边11111111232122121k k k k +=+++++++-+-L L 21111111122121222kk k k k k k k k k +<+++<+++<+--6447448L L =右边 ∴当1n k =+时，不等式成立．综上可得：对一切*2n N n ∈≥，，命题成立． （3）证明：由2nC n b =得n c n =，∴1111n nn n C n C n n +⎛⎫+⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 首先012111112nk n n n n n k nC C C C n n n n ⎛⎫+=+++++≥ ⎪⎝⎭L L ， 其次Q ()()()()11111112!n !11knk k n n n k C k n k k k k k k--+=≤≤=-≥--L ， ∴01222111111nk n n n n n n k n C C C C C n n n n n ⎛⎫+=++++++ ⎪⎝⎭L L ，111111111332231n n n<++-+-+-=-<-L ，当1n =时显然成立．所以得证．浙江省宁波市诺丁汉大学附中2017届高三下学期期中数学试卷解析1．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的几何意义、运算法则即可得出．【解答】解：在复平面内，复数z的对应点为（1，1），∴z=1+i．z2=（1+i）2=2i，故选：B．2．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据三角函数的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由sin2x=1得2x=+2kπ，k∈Z，即x=，k∈Z，由tanx=1，得x=，k∈Z，∴p是q的充要条件．故选：C．3．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=2x﹣y，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的取值范围．【解答】解：设z=2x﹣y，则y=2x﹣z，作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点B（0，1）时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小，最小值z=0﹣1=﹣1当直线y=2x﹣z经过点C（3，0）时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．z的最大值为z=2×3=6，．即﹣1≤z≤6．即[﹣1，6]．故选：C4．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2，底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是4，根据勾股定理做出三角形的高，写出所有的面积表示式，得到结果．【解答】解：由三视图知，这是一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是4，∴四棱锥的表面积是2×6+2×+6×+=34+6，故选A．5．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），f（log3a）+f （﹣log3a）≥2f（1），即为f（|log3a|）≥f（1），再由f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，得到|log3a|≤1，即有﹣1≤log3a≤1，解出即可．【解答】解：由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），由实数a满足f（log3a）+f（）≥2f（1），则有f（log3a）+f（﹣log3a）≥2f（1），即2f（log3a）≥2f（1）即f（log3a）≥f（1），即有f（|log3a|）≥f（1），由于f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，则|log3a|≤1，即有﹣1≤log3a≤1，解得≤a≤3．故选C．6．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】依题意，作出图形，易求该双曲线的离心率e===2，从而得到答案．【解答】解：依题意，作图如下：∵OA⊥FA，∠AMO=60°，OM=OA，∴△AMO为等边三角形，∴OA=OM=a，在直角三角形OAF中，OF=c，∴该双曲线的离心率e====2，故选：D．7．【考点】98：向量的加法及其几何意义；HP：正弦定理．【分析】根据向量加法的几何意义得出P点轨迹，利用正弦定理解出AB，得出△ABC的面积，从而求出围成封闭区域的面积．【解答】解：设=，∵=（1﹣λ）+=（1﹣λ）+λ∴B，D，P三点共线．∴P点轨迹为直线BC．在△ABC中，BC=7，AC=6，cosC=，∴sinC=∴S△ABC=×7×6×=15，∴S△BCD=S△ABC=5．故选：A8．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】根据图象得出g（x）在（﹣∞，0）上的零点个数，得出g（x）在[0，+∞）上的零点个数，利用二次函数的性质得出a的范围．【解答】解：令g（x）=0得f（x）=﹣，作出f（x）=ln（1﹣x）与y=﹣的函数图象，由图象可知f（x）与y=﹣在（﹣∞，0）上只有1个交点，∴g（x）=0在（﹣∞，0）上只有1个零点，∴f（x）=﹣在[0，+∞）上有2个零点，即得到x2﹣ax+=0在[0，+∞）上有两解，解方程x2﹣ax+=0得x1=0，x2=a﹣，∴a﹣＞0，即a．故选A．9．【考点】8E：数列的求和．【分析】先判断数列{a n}是单调递增数列，再根据数列的递推公式利用裂项求和即可得到m=++…+ =3﹣，再根据数列的单调性判断出a2018＞2，问题得以解决【解答】解：∵a=，a n+1﹣1=a n2﹣a n（n∈N*），∴a n+1﹣a n=a n2+1＞0，∴a n+1＞a n，∴数列{a n}是单调递增数列，由a n+1﹣1=a n2﹣a n=a n（a n﹣1），∴==﹣，∴=﹣，∴m=++…+=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣=3﹣，由a=＞1，则a n+1﹣a n=（a n﹣1）2＞0，∴a2=1+，a3=1+，a4=1+＞2，…，a2018＞2，∴0＜＜1，∴2＜m＜3，∴整数部分是2，故选：B10．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】求出f（x）的导数，讨论当b≤0时，当b＞0时，判断函数f（x）的单调性，可得f（x）的最小值，解方程可得b的范围．【解答】解：函数f（x）=x++a，x∈[a，+∞），导数f′（x）=1﹣，当b≤0时，f′（x）＞0，f（x）在x∈[a，+∞）递增，可得f（a）取得最小值，且为2a+，由题意可得2a+=2，a＞0，b≤0方程有解；当b＞0时，由f′（x）=1﹣=0，可得x=（负的舍去），当a≥时，f′（x）＞0，f（x）在[a，+∞）递增，可得f（a）为最小值，且有2a+=2，a＞0，b＞0，方程有解；当a＜时，f（x）在[a，）递减，在（，+∞）递增，可得f（）为最小值，且有a+2=2，即a=2﹣2＞0，解得0＜b＜．综上可得b的取值范围是（﹣∞，）．故选：D．11．【考点】1H：交、并、补集的混合运算；1D：并集及其运算．【分析】求函数值域得集合A，解不等式求集合B，根据集合的运算性质计算即可．【解答】解：全集为R，集合A={y|y=3x，x≤1}={y|y≤3}=（0，3]，B={x|x2﹣6x+8≤0}={x|2≤x≤4}=[2，4]∴A∪B=（0，4]，∁R B=（﹣∞，2）∪（4，+∞），∴A∩∁R B=（0，2）．故答案为：（0，4]、（0，2）．12．【考点】8H：数列递推式．【分析】本题直接利用数列前n项和与数列通项的关系，可得到本题结论【解答】解：∵S n=n2+2n﹣1，当n=1时，a1=1+2﹣1=2，当n≥2时，∴a n=S n﹣S n﹣1=n2+2n﹣1﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）﹣1]=2n+1，∵当n=1时，a1=﹣2+1=3≠2，∴a n=，故答案为：2，=．13．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据焦点坐标，求出p，求出准线方程，把|MA|+|MF|转化为|MA|+|PM|，利用当P、A、M三点共线时，|MA|+|PM|取得最小值．【解答】解：∵抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），∴=1，∴p=2．准线方程为x=﹣1，设点M到准线的距离为d=|PM|，则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，故当P、A、M三点共线时，|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=6﹣（﹣1）=7，故答案为2，7．14．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GI：三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式求得sinx+cosx=﹣，两边平方，根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式即可求得sinx2x=﹣， =，化简整理即可求得答案．【解答】解：sin（π+x）+cos（π+x）=﹣sinx﹣cosx=，即sinx+cosx=﹣，两边平方得：sin2x+2sinxcosx+cos2x=，即1+sin2x=，则sinx2x=﹣，由=====﹣，故答案为：﹣，﹣．15．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】由三角形ABC 为等腰直角三角形，得到圆心C 到直线的距离d =rsin45°，利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到a 的值．【解答】解：∵由题意得到△ABC 为等腰直角三角形， ∴圆心C （m ，0）到直线2x +my ﹣8=0的距离d =rsin45°，即=，解得：m =2或14， 故答案为2或14．16．【考点】7F ：基本不等式． 【分析】根据题意，对+=+1变形可得++=2（）+1，又由基本不等式的性质分析可得++=+++++≥6，即可得2（）+1≥6，化简可得答案． 【解答】解：根据题意，若+=+1，则有++=2（）+1，而++=+++++=（+）+（+）+（+）≥2+2+2=6，则有2（）+1≥6， 化简可得≥，即的最小值是；故答案为：．17．【考点】J3：轨迹方程．【分析】过A 作BD 的垂线AE ，则A 点轨迹是以E 为圆心的圆弧，以E 为原点建立坐标系，设二面角A ﹣BD ﹣A ′的大小为θ，用θ表示出A 和C 的坐标，利用距离公式计算θ的范围，从而确定圆弧对应圆心角的大小，进而计算出圆弧长．【解答】解：过A 作AE BD ⊥，垂足为E ，连接CE A E '，．∵矩形ABCD 中，1AB BC =，∴22AE CE ==．∴A 点的轨迹为以E 为半径的圆弧． A EA ∠'为二面角A BD A -'-的平面角．以E 为原点，以EB EA EA '，，为坐标轴建立空间直角坐标系E xyz -， 设A EA θ∠'=，则022A θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，102C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭-，，∴AC =解得10cos 2θ≤≤，∴6090θ≤≤o o ，∴A 点轨迹的圆心角为30o ， ∴A 点轨迹的长度为=．故答案为：18．【考点】HK ：由y =Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式；HJ ：函数y =Asin （ωx +φ）的图象变换． 【分析】（Ⅰ）由余弦定理得cos ∠POQ 的值，可得sin ∠POQ ，求出P 的坐标可得A 的值，再由函数的周期求出ω的值，再把点P 的坐标代入函数解析式求出φ，即可求得 y =f （x ） 的解析式．（Ⅱ）求出g （x ） 的解析式，化简h （x ）=f （x ）g （x ）的解析式，再根据x 的范围求出h （x ） 的值域，从而求得h （x ） 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）过P 作x 轴的垂线PM 过Q 作y 轴的垂线QM ，则由已知得2PM =，PQ =勾股定理得3QM =，∴6T =， 又2πT ω=，∴π3ω=， ∴函数()y f x =的解析式：()ππsin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）将函数()y f x =图象向右平移1个单位后得到函数()y g x =的图象， ∴()πsin3g x x =．函数()()()2πππ1ππsin sin sincos 3332π333h x f x g x x x x x x ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭g12π2π12ππ11cos sin sin 4332364x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当[]02x ∈，时，2πππ7π,3666⎡⎤⨯-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴当2πππ362⨯-=， 即1x =时，()34max h x =． 19．【考点】MI ：直线与平面所成的角；LO ：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I ）取BD 的中点F ，连EF ，AF ，推导出FE ∥DC ．从而BD ⊥FE ．再求出BD ⊥AF ，从而BD ⊥面AFE ，由此能证明BD ⊥FE ．（II ）由BD ⊥AF ，得∠AFE 即为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，由此能求出AD 与面BCD 所成角的正弦值． 【解答】证明：（I ）如图，取BD 的中点F ，连EF AF ，， ∵E 为BC 中点，F 为BD 中点，∴//FE DC ． 又BD DC ⊥，∴BD FE ⊥． ∵AB AD =∴BD AF ⊥又AF FE F AF FE =⊂I ，，面AFE ， ∴BD ⊥面AFE ，AE ⊂面AFE ， ∵AE BD ⊥，∴BD FE ⊥． 解：（II ）由（I ）知BD AF ⊥，∴AFE ∠即为二面角A BD C --的平面角 ∴60AFE ∠=o ∵2AB AD ==， ∴ABD V 为等腰直角三角形，故112AF BD ==， 又1122FE DC ==， ∴2221132cos 121cos60424AE AF FE AF FE AFE =+∠=+-⨯⨯⨯-=o g g，即AE =2221AE FE AF +==，∴AE FE ⊥， 又由（1）知BD AE ⊥，且BD FE F =I ，BD ⊂面BDC ，FE ⊂面BDC ，∴AE ⊥平面BDC ，∴ADE ∠就是AD 与面BDC 所成角，在Rt AED V 中，2AE AD ==，∴AD 与面BDC 所成角的正弦值sin AE ADE AD ∠=．20．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6D ：利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）先求导，再根据a 与e 的关系，得到函数的单调区间，（2）先求出g （x ），再求导，函数g （x ）有极值等价于关于x 的方程3x 2﹣ax +1=0在区间（，3）上有异号实根，继而求得a 的范围． 【解答】解：（1）∵()()ln 0af x x a x=+＞． ∴()221a x a f x x x x-'=-+=， 若0e a <<，当()0x a ∈，时，()0f x '<，函数()f x 在(]0a ，上单调递减， 当()e x a ∈，时，()0f x '>，函数()f x 在(],e a 上单调递增， 若e a ≥，()0f x '<，函数()f x 在(]0,e 上单调递减． （2）()()3223222g x x x x f x x ax x a a =+'-=+--∴()231g x x ax '=-+∵函数()()322g x x x x f x =+'-在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值，等价于关于x 的方程2310x ax +=-在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上有异号实根，∵231x a x+=，又13a x x =+在12⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，∴283a ≤<，当a =())210g x '=≥不存在极值，∴实数a 的取值范围为283⎛⎫ ⎪⎝⎭）21．【分析】（1）设M （x ，y ）是所求曲线上的任意一点，然后得出的坐标代入方程，化简即可求出轨迹C 的方程．（2）设出直线l 的方程，以及与椭圆的交点坐标，将直线方程代入已知C 的方程，联立并化简，根据根的判别式计算【解答】解：（1）设()M x y ，是曲线C 上任一点，因为PM x ⊥轴，2PM MQ =u u u u r u u u u r，所以点P 的坐标为()3x y ，点P 在椭圆22149x y +=上，所以()223149y x +=，因此曲线C 的方程是2214x y +=…（2）当直线l 的斜率不存在时，显然不满足条件所以设直线l 的方程为2y kx =-与椭圆交于()()1122A x y B x y N ，，，，点所在直线方程为4,17y =由22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()221416120k x kx +-+=， (1212)221612,1414k x x x x k k +==++，… 由()2221648140k k ∆=-+>得234k >即k ><因为ON OA OB =+u u u r u u u r u u u r，所以四边形OANB 为平行四边形，…假设存在矩形OANB ，则OA OB =u u u r u u u r g ，即()()()2212121212121212241240x x y y x x k x x k x x k x x k x x +=++-+=+++=-，所以()22212161201414kk k kk +-=++gg 即24,2k k ==±… 设()00N x y ，，由ON OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，得()0121222164444141417k y y y k x x k k -=+=+-=-==-++， 即N 点在直线417y =-，所以存在四边形OANB 为矩形，直线l 的方程为22y x =±-…22．【考点】8K ：数列与不等式的综合；8H ：数列递推式． 【分析】（I ）由题意可知：，，两边取对数，即可求得b n +1=2b n ，则{b n }是以2为公比的等比数列，利用等比数列通项公式即可求得a n ，代入即可求得a n ； （II ）利用数学归纳法即可求证1+++…+＜n （n ≥2）；（III ）．证明：由得c n =n ，，利用二项式定理展开，，当n =1时显然成立．所以得证．【解答】解：（I ）由212n n n a a a +=+，则()2211211n n n n a a a a ++=++=+，由13a =，则0n a >，两边取对数得到()()()22122log 1log 12log 1n n n a a a ++=+=+，即12n n b b +=又()121log 120b a =+=≠，∴{}n b 是以2为公比的等比数列．即2n n b =又∵()2log 1n n b a =+， ∴221nn a =-（2）用数学归纳法证明：1o 当2n =时，左边为111112236++=<=右边，此时不等式成立； 2o 假设当2n k =≥时，不等式成立， 则当1n k =+时，左边11111111232122121k k k k +=+++++++-+-L L 21111111122121222kk k k k k k k k k +<+++<+++<+--6447448L L =右边 ∴当1n k =+时，不等式成立．综上可得：对一切*2n N n ∈≥，，命题成立． （3）证明：由2nC n b =得n c n =，∴1111nnn n C n C n n +⎛⎫+⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，首先012111112nk n n n n n k nC C C C n n n n ⎛⎫+=+++++≥ ⎪⎝⎭L L ， 其次∵()()()()11111112!n !11knk k n n n k C k n k k k k k k--+=≤≤=-≥--L ， ∴01222111111nk n n n n n n k n C C C C C n n n n n ⎛⎫+=++++++ ⎪⎝⎭L L ， 111111111332231n n n<++-+-+-=-<-L ，当1n =时显然成立．所以得证．。
2016-2017年浙江省宁波市诺丁汉大学附中高一(下)期中数学试卷和答案
．
（3）是否存在正整数 m，k，使得 am，am+5，ak 成等比数列？若存在，求出 m 和 k 的值，若不存在，请说明理由．
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2016-2017 学年浙江省宁波市诺丁汉大学附中高一（下） 期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1． （5 分）化简 cos15°cos45°﹣cos75°sin45°的值为（ A． B． C．﹣ ） D．﹣
12． （4 分） 已知钝角△ABC 的三边 a=k， b=k+2， c=k+4， 求 k 的取值范围
13． （6 分） 在四边形 ABCD 中， 已知 AD⊥DC， AB⊥BC， AB=1， AD=2， ∠BAD=120°， 则 BD= ，AC= ． + ） = ， 则 cos （θ+ ） 的值为 ．
）
A．
B．
C． ）
D．
7． （5 分）若 c=acosB，b=asinC，则△ABC 是（ A．等腰三角形 C．直角三角形
B．等腰直角三角形 D．等边三角形
8． （5 分）在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边，b=c，且满足 = ．若点 O 是△ABC 外一点，∠AOB=θ（0＜θ＜π） ，OA=2OB=2，平面 ） C．3 D．
【解答】解：cos15°cos45°﹣cos75°sin45° =cos15°cos45°﹣sin15°sin45° =cos（15°+45°）=cos60°= 故选：A． 2． （5 分）已知△ABC 中，a= A．45° B．60° ，b= ，b= ，B=60°，那么角 A 等于（ C．120°或 60° ， ）
浙江省宁波诺丁汉大学附属中学2017-2018学年高三上学期期中考试英语试题 Word版含答案
宁波诺丁汉大学附属中学2017-2018学年度第一学期期中考试[高三]年级[英语]试题卷答卷时间：[120分钟] 满分：[150分]注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在本试卷上，否则无效。
第Ⅰ卷第一部分：听力（共两节，满分30分）做题时，现将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话, 每段对话后有一个小题，从题中所给的A, B, C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置；听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. Who will the man call?A. His wifeB. His bossC. Taxi driver2. What does the man suggest the woman do?A. Wait on the phoneB. Order the pizza onlineC. Drive to the pizza place3. What does the woman want to do?A. Make some coffeeB. Buy a coffee makerC. Learn to make a video4. What will the man do at 3 o’clock on Friday?A. Go to classB. Meet the doctorC. Take the woman’s shift5. What does the man think of the lecture?A. ExcellentB. DifficultC. Boring第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
【精编】2016-2017年浙江省宁波市诺丁汉大学附中高一(上)数学期中试卷带解析答案
2016-2017学年浙江省宁波市诺丁汉大学附中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1．（5分）设集合A={1，2，3，4}，B={3，4，5}，全集U=A∪B，则集合∁U（A ∩B）的元素个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（5分）a、b是实数，集合M={，1}，N={a，0}，映射f：x→x即将集合M 中的元素x映射到N中仍是x，则a+b的值等于（）A．1 B．0 C．﹣1 D．±13．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=﹣log2x（x＞0）B．y=x3+x（x∈R）C．y=3x（x∈R）D．y=﹣（x∈R，x≠0）4．（5分）函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]B．[3，+∞）C．{﹣3}D．（﹣∞，5）5．（5分）设a=log32，b=ln2，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a6．（5分）函数f（x）的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，则不等式f（x）﹣f（﹣x）＞﹣1的解集是（）A．{x|﹣1≤x≤1且x≠0}B．{x|﹣1≤x＜0}C．{x|﹣1≤x＜0或＜x≤1}D．{x|﹣1≤x＜﹣或0＜x≤1}7．（5分）设x1，x2是函数f（x）=a x（a＞1）定义域内的两个变量，且x1＜x2，设．那么下列不等式恒成立的是（）A．|f（m）﹣f（x1）|＞|f（x2）﹣f（m）| B．|f（m）﹣f（x1）|＜|f（x2）﹣f （m）|C．|f（m）﹣f（x1）|=|f（x2）﹣f（m）|D．8．（5分）设函数f（x）=m﹣，若存在实数a、b（a＜b），使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则实数m的取值范围是（）A．（﹣]B．[﹣2，﹣）C．[﹣3，﹣）D．[﹣]二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.9．（5分）函数f（x）=ln（2+x﹣x2）的定义域为．10．（5分）函数y=﹣x（x≥0）的最大值为．11．（5分）设函数f（x）=则的值为．12．（5分）已知函数f（x）=ln（+x），若实数a，b满足f（a+2）+f（b）=0，则a+b等于．13．（5分）函数的定义域和值域相等，则实数a=．14．（5分）设函数f（x）（x∈N）表示x除以2的余数，函数g（x）（x∈N）表示x除以3的余数，则对任意的x∈N，给出以下式子：①f（x）≠g（x）；②f（2x）=0；③g（2x）=2g（x）；④f（x）+f（x+3）=1．其中正确的式子编号是．（写出所有符合要求的式子编号）15．（5分）已知函数f（x）满足f（1）=a，且f（n+1）=，若对任意的n∈N*，总有f（n+3）=f（n）成立，则a在（0，1]内的可能值有个．三、解答题：本大题共5小题，满分75分．要求每小题写出必要的步骤16．（15分）求下列各式的值：（Ⅰ）．（Ⅱ）．17．（15分）若集合A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x﹣m＜0}．（1）若m=3，全集U=A∪B，试求A∩（∁U B）；（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围；（3）若A∩B=A，求实数m的取值范围．18．（15分）如图，有一块矩形空地，要在这块空地上辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB=a（a＞2），BC=2，且AE=AH=CF=CG，设AE=x，绿地面积为y．（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域．（2）当AE为何值时，绿地面积最大？19．（15分）设a，b∈R且a≠2，函数在区间（﹣b，b）上是奇函数．（Ⅰ）求ab的取值集合；（Ⅱ）讨论函数f（x）在（﹣b，b）上的单调性．20．（15分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，使得|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f（x）=4﹣x+p•2﹣x+1，g（x）=．（Ⅰ）当p=1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；（Ⅱ）若，函数g（x）在[0，1]上的上界是H（q），求H（q）的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数p的取值范围．2016-2017学年浙江省宁波市诺丁汉大学附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1．（5分）设集合A={1，2，3，4}，B={3，4，5}，全集U=A∪B，则集合∁U（A ∩B）的元素个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：A∪B={1，2，3，4，5}A∩B={3，4}∴C U（A∩B）={1，2，5}故选：C．2．（5分）a、b是实数，集合M={，1}，N={a，0}，映射f：x→x即将集合M 中的元素x映射到N中仍是x，则a+b的值等于（）A．1 B．0 C．﹣1 D．±1【解答】解：由已知得b=0，a=1，∴a+b=1．故选：A．3．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=﹣log2x（x＞0）B．y=x3+x（x∈R）C．y=3x（x∈R）D．y=﹣（x∈R，x≠0）【解答】解：对于A．y=﹣log2x的定义域为（0，+∞）不关于原点对称，不为奇函数，排除A；对于B．y=x3+x（x∈R）定义域R，f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）=﹣f（x），即为奇函数，又f′（x）=3x2+1＞0，即有f（x）在R上递增，故B正确；对于C．y=3x，定义域为R，但f（﹣x）=3﹣x≠﹣f（x），即f（x）不是奇函数，排除C；对于D．y=﹣（x∈R，x≠0）定义域关于原点对称，且f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数，但在（﹣∞，0），（0，+∞）上均为增函数，排除D．故选：B．4．（5分）函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]B．[3，+∞）C．{﹣3}D．（﹣∞，5）【解答】解：函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的对称轴x=1﹣a，又函数在区间（﹣∞，4）上是减函数，可得1﹣a≥4，得a≤﹣3．故选：A．5．（5分）设a=log32，b=ln2，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：a=log32=，b=ln2=，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，c==，而，所以c＜a，综上c＜a＜b，故选：C．6．（5分）函数f（x）的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，则不等式f（x）﹣f（﹣x）＞﹣1的解集是（）A．{x|﹣1≤x≤1且x≠0}B．{x|﹣1≤x＜0}C．{x|﹣1≤x＜0或＜x≤1}D．{x|﹣1≤x＜﹣或0＜x≤1}【解答】解：由图可知，f（x）为奇函数．∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）﹣f（﹣x）＞﹣1可转化为：2f（x）＞﹣1转化为f（x）＞﹣如图解得：﹣1≤x＜﹣或0＜x≤1．故选：D．7．（5分）设x1，x2是函数f（x）=a x（a＞1）定义域内的两个变量，且x1＜x2，设．那么下列不等式恒成立的是（）A．|f（m）﹣f（x1）|＞|f（x2）﹣f（m）| B．|f（m）﹣f（x1）|＜|f（x2）﹣f （m）|C．|f（m）﹣f（x1）|=|f（x2）﹣f（m）|D．【解答】解：∵x1＜x2，a＞1，∴0＜，∴|f（m）﹣f（x1）|==＜==|f（x2）﹣f（m）|，因此B正确．故选：B．8．（5分）设函数f（x）=m﹣，若存在实数a、b（a＜b），使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则实数m的取值范围是（）A．（﹣]B．[﹣2，﹣）C．[﹣3，﹣）D．[﹣]【解答】解：由x+3≥0可得x≥﹣3，又由复合函数的单调性可知函数为减函数，故有f（a）=m﹣=b，f（b）=m﹣=a，两式相减可得﹣=a﹣b，即﹣=（a+3）﹣（b+3），即+=1，两式相加可得2m=a+b++=a+b+1，记p=，q=，故有p+q=1，a=p2﹣3，b=q2﹣3=（1﹣p）2﹣3，代入可得m==p2﹣p﹣2=，又因为p+q=1且pq均为非负数，故0≤p≤1，由二次函数的值域可得：当p=时，q=，与a＜b矛盾，m取不到最小值，当p=0或1时，m取最大值﹣2，故m的范围是（，﹣2]，故选：A．二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.9．（5分）函数f（x）=ln（2+x﹣x2）的定义域为（﹣1，2）．【解答】解：要使函数有意义，须满足2+x﹣x2＞0，解得：﹣1＜x＜2，所以函数的定义域为（﹣1，2），故答案为（﹣1，2）．10．（5分）函数y=﹣x（x≥0）的最大值为．【解答】解：∵y=﹣x（x≥0），∴y′=﹣1，∴x∈（0，），y′＞0，x∈（，+∞），y′＜0，∴x=时，函数y=﹣x（x≥0）的最大值为．故答案为：．11．（5分）设函数f（x）=则的值为．【解答】解：由于2＞1，故f（2）=22+2﹣2=4故=≤1故=1﹣=故答案为．12．（5分）已知函数f（x）=ln（+x），若实数a，b满足f（a+2）+f（b）=0，则a+b等于．【解答】解：∵函数f（x）=ln（+x），∴函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，又f（﹣x）=ln（﹣x）=ln（+x）﹣1=﹣ln（x）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，观察知函数f（x）单调递增，∵实数a，b满足f（a+2）+f（b）=0，∴f（a+2）=﹣f（b）=f（﹣b），∴a+2=﹣b，∴a+b=﹣2．故答案为：﹣2．13．（5分）函数的定义域和值域相等，则实数a=﹣4或0．【解答】解：若a＞0，对于正数b，f（x）的定义域为，但f（x）的值域A⊆[0，+∞），故D≠A，不合要求．若a＜0，对于正数b，f（x）的定义域为．由于此时，故函数的值域．由题意，有，由于b＞0，所以a=﹣4．若a=0，则对于每个正数b，的定义域和值域都是[0，+∞）故a=0满足条件．故答案为：﹣4或0．14．（5分）设函数f（x）（x∈N）表示x除以2的余数，函数g（x）（x∈N）表示x除以3的余数，则对任意的x∈N，给出以下式子：①f（x）≠g（x）；②f（2x）=0；③g（2x）=2g（x）；④f（x）+f（x+3）=1．其中正确的式子编号是②④．（写出所有符合要求的式子编号）【解答】解：根据新定义：当x是6的倍数时，可知f（x）=g（x）=0，所以①不正确；当x∈N时，2x一定是偶数，所以f（2x）=0正确；所以②正确；当x=2时，g（2x）=g（4）=1，而2g（x）=2g（2）=4，所以g（2x）≠2g（x），故③错误；当x∈N时，x和x+3中必有一个为奇数、一个为偶数，所以f（x）和f（x+3）中有一个为0、一个为1，所以f（x）+f（x+3）=1正确．故答案为：②④15．（5分）已知函数f（x）满足f（1）=a，且f（n+1）=，若对任意的n∈N*，总有f（n+3）=f（n）成立，则a在（0，1]内的可能值有2个．【解答】解：∵0＜a≤1，∴f（2）=2f（1）=2a，①当0＜a≤时，0＜2a≤，0＜4a≤1，∴f（3）=2f（2）=4a，f（4）=2f（3）=8a，此时f（4）=f（1）不成立．②当＜a≤时，＜2a≤1，1＜4a≤2，∴f（3）=2f（2）=4a，f（4）==，此时f（4）=f（1），=a，解得a=；③当＜a≤1时，1＜2a≤2，2＜4a≤4，∴f（3）==≤，∴f（4）=2f（3）=，此时f（4）=f（1），得=a，解得a=1．综上所述，当n=1时，有f（n+3）=f（n）成立时，则a在（0，1]内的可能值有两个：a=或a=1．故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，满分75分．要求每小题写出必要的步骤16．（15分）求下列各式的值：（Ⅰ）．（Ⅱ）．【解答】解：（Ⅰ）=|1﹣3|+|lg3﹣2|+lg300=2+2﹣lg3+lg3+2=6．…（8分）（Ⅱ）==﹣．…（15分）17．（15分）若集合A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x﹣m＜0}．（1）若m=3，全集U=A∪B，试求A∩（∁U B）；（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围；（3）若A∩B=A，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）A={x|﹣2＜x＜4}，若m=3，B={x|x＜3}，全集U=A∪B={x|﹣2＜x＜4}∪{x|x＜3}={x|x＜4}．∴A∩（C u B）={x|﹣2＜x＜4}∩{x|3≤x＜4}={x|3≤x＜4}．（2）A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x＜m}，∵A∩B=∅，∴{m|m≤﹣2}．（3）∵A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x＜m}，①当m=4时，B={x|x＜4}，显然A∩B=A成立②当m＞4时，很明显A∩B=A也是成立的③当m＜4时，得到A∩B={x|﹣2＜x＜m}≠A，不成立综上有m≥4．18．（15分）如图，有一块矩形空地，要在这块空地上辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB=a（a＞2），BC=2，且AE=AH=CF=CG，设AE=x，绿地面积为y．（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域．（2）当AE为何值时，绿地面积最大？【解答】解：（1）S△AEH=S△CFG=x2，（1分）S△BEF=S△DGH=（a﹣x）（2﹣x）．（2分）∴y=S ABCD﹣2S△AEH ﹣2S△BEF=2a﹣x2﹣（a﹣x）（2﹣x）=﹣2x2+（a+2）x．（5分）由，得0＜x≤2（6分）∴y=﹣2x2+（a+2）x，0＜x≤2（7分）（2）当，即a＜6时，则x=时，y取最大值．（9分）当≥2，即a≥6时，y=﹣2x2+（a+2）x，在（0，2]上是增函数，则x=2时，y取最大值2a﹣4（11分）综上所述：当a＜6时，AE=时，绿地面积取最大值；当a≥6时，AE=2时，绿地面积取最大值2a﹣4（12分）19．（15分）设a，b∈R且a≠2，函数在区间（﹣b，b）上是奇函数．（Ⅰ）求ab的取值集合；（Ⅱ）讨论函数f（x）在（﹣b，b）上的单调性．【解答】解：（I）函数在区间（﹣b，b）内是奇函数∴对任意x∈（﹣b，b）都有f（﹣x）+f（x）=0，∴+==0即即a2x2=4x2，此式对任意x∈（﹣b，b）都成立∴a2=4又∵a≠2，∴a=﹣2代入，得＞0，即﹣＜x＜此式对任意x∈（﹣b，b）都成立，相当于﹣＜﹣b＜b＜所以b的取值范围是（0，]∴ab的取值集合为[﹣1，0）（II）设任意的x1，x2∈（﹣b，b），且x1＜x2，由b∈（0，]得所以0＜1﹣2x2＜1﹣2x1，0＜1+2x1＜1+2x2从而f（x2）﹣f（x1）=﹣=＜lg1=0∴f（x2）＜f（x1）因此f（x）在（﹣b，b）内是减函数20．（15分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，使得|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f （x）的上界．已知函数f（x）=4﹣x+p•2﹣x+1，g（x）=．（Ⅰ）当p=1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；（Ⅱ）若，函数g（x）在[0，1]上的上界是H（q），求H（q）的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数p的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当p=1时，f（x）=1+（）x+（）x，因为f（x）在（﹣∞，0）上递减，所以f（x）＞f（0）=3，即f（x）在（﹣∞，0）的值域为（3，+∞），故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立．所以函数f（x）在（﹣∞，0）上不是有界函数．（Ⅱ）g（x）=﹣1，∵q＞0，x∈[0，1]，∴g（x）在[0，1]上递减，∴g（1）≤g（x）≤g（0），即，∵q∈（0，]，∴||≥||，∴|g（x）|≤||，H（q）≥||，即H（q）的取值范围为[，+∞）．（Ⅲ）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，设t=，t∈（0，1]，由﹣3≤f（x）≤3，得﹣3≤1+pt+t2≤3，∴﹣（t+）≤p≤﹣t在（0，1]上恒成立，设h（t）=﹣t﹣，m（t）=﹣t，则h（t）在（0，1]上递增；m（t）在（0，1]上递减，所以h（t）在（0，1]上的最大值为h（1）=﹣5；m（t）在（0，1]上的最小值为m（1）=1，所以实数p的取值范围为[﹣5，1]．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
2016-2017学年浙江省宁波市诺丁汉大学附中高三(下)期中数学试卷
2016-2017学年浙江省宁波市诺丁汉大学附中高三（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）在复平面内，复数z的对应点为（1，1），则z2=（）A．B．2i C．D．.2+2i2．（4分）命题p：x∈R且满足sin2x=1．命题q：x∈R且满足tanx=1．则p是q 的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（4分）已知实数x，y满足不等式组，则2x﹣y的取值范围是（）A．[﹣1，3]B．[﹣3，﹣1]C．[﹣1，6]D．[﹣6，1]4．（4分）如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（）A．34+6B．44+12C．34+6D．32+65．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递减，若实数a满足f（log 3a）+f（）≥2f（1），则a的取值范围是（）A．（0，3]B．（0，]C．[，3]D．[1，3]6．（4分）过双曲线的左焦点F作圆x2+y2=a2的两条切线，切点分别为A、B，双曲线左顶点为M，若∠AMB=120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．3 D．27．（4分）在△ABC中，BC=7，AC=6，cosC=．若动点P满足=（1﹣λ）+，（λ∈R），则点P的轨迹与直线BC，AC所围成的封闭区域的面积为（）A．5 B．10 C．2 D．48．（4分）已知f（x）=，且g（x）=f（x）+有三个零点，则实数a的取值范围为（）A．（，+∞）B．[1，+∞）C．（0，）D．（0，1]9．（4分）已知数列{a }满足a=，a n+1﹣1=a n2﹣a n（n∈N*），则m=++…+的整数部分是（）A．1 B．2 C．3 D．410．（4分）已知函数f（x）=x++a，x∈[a，+∞），其中a＞0，b∈R，记m（a，b）为f（x）的最小值，则当m（a，b）=2时，b的取值范围为（）A．b＞B．b＜C．b＞D．b＜二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（6分）已知全集为R，集合A={y|y=3x，x≤1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A ∪B=，A∩∁R B=．12．（6分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n﹣1（n∈N*），则a1=；数列{a n}的通项公式为a n．13．（6分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），则p=；M 是抛物线上的动点，A（6，4），则|MA|+|MF|的最小值为．14．（6分）若sin（π+x）+cos（π+x）=，则sin2x=，=．15．（4分）已知直线2x+my﹣8=0与圆C：（x﹣m）2+y2=4相交于A、B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则m=．16．（4分）若正数a，b，c满足+=+1，则的最小值是．17．（4分）如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=，将△ABD沿对角线BD向上翻折，若翻折过程中AC长度在[，]内变化，则点A所形成的运动轨迹的长度为．三、解答题：（第18题）18．（14分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的图象如图，P是图象的最高点，Q是图象的最低点．且|PQ|=．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移1个单位后得到函数y=g（x）的图象，当x ∈[0，2]时，求函数h（x）=f（x）•g（x）的最大值．19．（15分）三棱锥A﹣BCD中，E是BC的中点，AB=AD，BD⊥DC（I）求证：AE⊥BD；（II）若DB=2DC=AB=2，且二面角A﹣BD﹣C为60°，求AD与面BCD所成角的正弦值．20．（15分）已知函数f（x）=+lnx（a＞0）．（1）判断函数f（x）在（0，e]上的单调性（e为自然对数的底）；（2）记f′（x）为f（x）的导函数，若函数g（x）=x3﹣x2+x2f′（x）在区间（，3）上存在极值，求实数a的取值范围．21．（15分）已知椭圆上任一点P，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在PQ上，且，点M的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）过点D（0，﹣2）作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点且平行于x轴的直线上一动点，满足（O为原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由．22．（15分）已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=a n2+2a n，n∈N*，设b n=log2（a n+1）．（I）求{a n}的通项公式；（II）求证：1+++…+＜n（n≥2）；（III）若=b n，求证：2≤＜3．2016-2017学年浙江省宁波市诺丁汉大学附中高三（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）（2017•福建模拟）在复平面内，复数z的对应点为（1，1），则z2=（）A．B．2i C．D．.2+2i【解答】解：在复平面内，复数z的对应点为（1，1），∴z=1+i．z2=（1+i）2=2i，故选：B．2．（4分）（2017•漳州模拟）命题p：x∈R且满足sin2x=1．命题q：x∈R且满足tanx=1．则p是q的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由sin2x=1得2x=+2kπ，k∈Z，即x=，k∈Z，由tanx=1，得x=，k∈Z，∴p是q的充要条件．故选：C．3．（4分）（2017•日照三模）已知实数x，y满足不等式组，则2x﹣y 的取值范围是（）A．[﹣1，3]B．[﹣3，﹣1]C．[﹣1，6]D．[﹣6，1]【解答】解：设z=2x﹣y，则y=2x﹣z，作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点B（0，1）时，直线y=2x ﹣z的截距最大，此时z最小，最小值z=0﹣1=﹣1当直线y=2x﹣z经过点C（3，0）时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．z的最大值为z=2×3=6，．即﹣1≤z≤6．即[﹣1，6]．故选：C4．（4分）（2017春•鄞州区校级期中）如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（）A．34+6B．44+12C．34+6D．32+6【解答】解：由三视图知，这是一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是4，∴四棱锥的表面积是2×6+2×+6×+=34+6，故选A．5．（4分）（2017春•鄞州区校级期中）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递减，若实数a满足f（log 3a）+f（）≥2f（1），则a的取值范围是（）A．（0，3]B．（0，]C．[，3]D．[1，3]【解答】解：由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），由实数a满足f（log 3a）+f（）≥2f（1），则有f（log3a）+f（﹣log3a）≥2f（1），即2f（log3a）≥2f（1）即f（log3a）≥f（1），即有f（|log3a|）≥f（1），由于f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，则|log3a|≤1，即有﹣1≤log3a≤1，解得≤a≤3．故选C．6．（4分）（2014•重庆一模）过双曲线的左焦点F作圆x2+y2=a2的两条切线，切点分别为A、B，双曲线左顶点为M，若∠AMB=120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．3 D．2【解答】解：依题意，作图如下：∵OA⊥FA，∠AMO=60°，OM=OA，∴△AMO为等边三角形，∴OA=OM=a，在直角三角形OAF中，OF=c，∴该双曲线的离心率e====2，故选：D．7．（4分）（2017春•鄞州区校级期中）在△ABC中，BC=7，AC=6，cosC=．若动点P满足=（1﹣λ）+，（λ∈R），则点P的轨迹与直线BC，AC所围成的封闭区域的面积为（）A．5 B．10 C．2 D．4【解答】解：设=，∵=（1﹣λ）+=（1﹣λ）+λ∴B，D，P三点共线．∴P点轨迹为直线BC．在△ABC中，BC=7，AC=6，cosC=，∴sinC==×7×6×=15，∴S△ABC=S△ABC=5．∴S△BCD故选：A8．（4分）（2017春•鄞州区校级期中）已知f（x）=，且g（x）=f（x）+有三个零点，则实数a的取值范围为（）A．（，+∞）B．[1，+∞）C．（0，）D．（0，1]【解答】解：令g（x）=0得f（x）=﹣，作出f（x）=ln（1﹣x）与y=﹣的函数图象，由图象可知f（x）与y=﹣在（﹣∞，0）上只有1个交点，∴g（x）=0在（﹣∞，0）上只有1个零点，∴f（x）=﹣在[0，+∞）上有2个零点，即得到x2﹣ax+=0在[0，+∞）上有两解，解方程x2﹣ax+=0得x1=0，x2=a﹣，∴a﹣＞0，即a．故选A．9．（4分）（2017春•鄞州区校级期中）已知数列{a }满足a=，a n+1﹣1=a n2﹣a n（n∈N*），则m=++…+的整数部分是（）A．1 B．2 C．3 D．4﹣1=a n2﹣a n（n∈N*），【解答】解：∵a=，a n+1﹣a n=a n2+1＞0，∴a n+1＞a n，∴a n+1∴数列{a n}是单调递增数列，﹣1=a n2﹣a n=a n（a n﹣1），由a n+1∴==﹣，∴=﹣，∴m=++…+=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣=3﹣，﹣a n=（a n﹣1）2＞0，由a=＞1，则a n+1∴a2=1+，a3=1+，a4=1+＞2，…，a2018＞2，∴0＜＜1，∴2＜m＜3，∴整数部分是2，故选：B10．（4分）（2017春•鄞州区校级期中）已知函数f（x）=x++a，x∈[a，+∞），其中a＞0，b∈R，记m（a，b）为f（x）的最小值，则当m（a，b）=2时，b 的取值范围为（）A．b＞B．b＜C．b＞D．b＜【解答】解：函数f（x）=x++a，x∈[a，+∞），导数f′（x）=1﹣，当b≤0时，f′（x）＞0，f（x）在x∈[a，+∞）递增，可得f（a）取得最小值，且为2a+，由题意可得2a+=2，a＞0，b≤0方程有解；当b＞0时，由f′（x）=1﹣=0，可得x=（负的舍去），当a≥时，f′（x）＞0，f（x）在[a，+∞）递增，可得f（a）为最小值，且有2a+=2，a＞0，b＞0，方程有解；当a＜时，f（x）在[a，）递减，在（，+∞）递增，可得f（）为最小值，且有a+2=2，即a=2﹣2＞0，解得0＜b＜．综上可得b的取值范围是（﹣∞，）．故选：D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（6分）（2017春•鄞州区校级期中）已知全集为R，集合A={y|y=3x，x≤1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∪B=（0，4] ，A∩∁R B=（0，2）．【解答】解：全集为R，集合A={y|y=3x，x≤1}={y|y≤3}=（0，3]，B={x|x2﹣6x+8≤0}={x|2≤x≤4}=[2，4]∴A∪B=（0，4]，∁R B=（﹣∞，2）∪（4，+∞），∴A∩∁R B=（0，2）．故答案为：（0，4]、（0，2）．12．（6分）（2017春•鄞州区校级期中）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n﹣1（n ∈N*），则a1=2；数列{a n}的通项公式为a n=．【解答】解：∵S n=n2+2n﹣1，当n=1时，a1=1+2﹣1=2，当n≥2时，∴a n=S n﹣S n﹣1=n2+2n﹣1﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）﹣1]=2n+1，∵当n=1时，a1=﹣2+1=3≠2，∴a n=，故答案为：2，=．13．（6分）（2016秋•金华期末）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），则p=2；M是抛物线上的动点，A（6，4），则|MA|+|MF|的最小值为7．【解答】解：∵抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），∴=1，∴p=2．准线方程为x=﹣1，设点M到准线的距离为d=|PM|，则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，故当P、A、M三点共线时，|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=6﹣（﹣1）=7，故答案为2，7．14．（6分）（2017春•鄞州区校级期中）若sin（π+x）+cos（π+x）=，则sin2x=﹣，=﹣．【解答】解：sin（π+x）+cos（π+x）=﹣sinx﹣cosx=，即sinx+cosx=﹣，两边平方得：sin2x+2sinxcosx+cos2x=，即1+sin2x=，则sinx2x=﹣，由=====﹣，故答案为：﹣，﹣．15．（4分）（2017春•鄞州区校级期中）已知直线2x+my﹣8=0与圆C：（x﹣m）2+y2=4相交于A、B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则m=2或14．【解答】解：∵由题意得到△ABC为等腰直角三角形，∴圆心C（m，0）到直线2x+my﹣8=0的距离d=rsin45°，即=，解得：m=2或14，故答案为2或14．16．（4分）（2017春•鄞州区校级期中）若正数a，b，c满足+=+1，则的最小值是．【解答】解：根据题意，若+=+1，则有++=2（）+1，而++=+++++=（+）+（+）+（+）≥2+2+2=6，则有2（）+1≥6，化简可得≥，即的最小值是；故答案为：．17．（4分）（2017春•鄞州区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=，将△ABD沿对角线BD向上翻折，若翻折过程中AC长度在[，]内变化，则点A所形成的运动轨迹的长度为．【解答】解：过A作AE⊥BD，垂足为E，连接CE，A′E．∵矩形ABCD中，AB=1，BC=，∴AE=，CE=．∴A点的轨迹为以E为圆心，以为半径的圆弧．∠A′EA为二面角A﹣BD﹣A′的平面角．以E为原点，以EB，EA′，EA为坐标轴建立空间直角坐标系E﹣xyz，设∠A′EA=θ，则A（0，cosθ，sinθ），C（﹣1，﹣，0）∴AC==，∴，解得0≤cosθ≤，∴60°≤θ≤90°，∴A点轨迹的圆心角为30°，∴A点轨迹的长度为=．故答案为：三、解答题：（第18题）18．（14分）（2017春•鄞州区校级期中）已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的图象如图，P是图象的最高点，Q是图象的最低点．且|PQ|=．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移1个单位后得到函数y=g（x）的图象，当x ∈[0，2]时，求函数h（x）=f（x）•g（x）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）过P作x轴的垂线PM过Q作y轴的垂线QM，则由已知得|PM|=2，|PQ|=，由勾股定理得|QM求=3，∴T=6，又T=，∴ω=，∴函数y=f（x）的解析式：f（x）=sin（x+）；（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移1个单位后得到函数y=g（x）的图象，∴g（x）=sin x．函数h（x）=f（x）•g（x）=sin（x+）sin x=sin2x+sin xcos x=（1﹣cos x）+sin x=sin（x﹣）+．…（10分）当x∈[0，2]时，x∈[﹣，]，∴当x﹣=，即x=1时，h max（x）=．19．（15分）（2017春•鄞州区校级期中）三棱锥A﹣BCD中，E是BC的中点，AB=AD，BD⊥DC（I）求证：AE⊥BD；（II）若DB=2DC=AB=2，且二面角A﹣BD﹣C为60°，求AD与面BCD所成角的正弦值．【解答】证明：（I）如图，取BD的中点F，连EF，AF，∵E为BC中点，F为BD中点，∴FE∥DC．又BD⊥DC，∴BD⊥FE．∵AB=AD∴BD⊥AF又AF∩FE=F，AF，FE⊂面AFE，∴BD⊥面AFE，AE⊂面AFE，∵AE⊥BD，∴BD⊥FE．解：（II）由（I）知BD⊥AF，∴∠AFE即为二面角A﹣BD﹣C的平面角∴∠AFE=60°∵AB=AD=2，∴△ABD为等腰直角三角形，故，又FE=，∴AE2=AF2+FE2﹣2AF•FE•cos∠AFE=1+=，即AE=，∴AE2+FE2=1=AF2，∴AE⊥FE，又由（1）知BD⊥AE，且BD∩FE=F，BD⊂面BDC，FE⊂面BDC，∴AE⊥平面BDC，∴∠ADE就是AD与面BCD所成角，在Rt△AED中，AE=，AD=2，∴AD与面BCD所成角的正弦值sin．20．（15分）（2015•潍坊校级模拟）已知函数f（x）=+lnx（a＞0）．（1）判断函数f（x）在（0，e]上的单调性（e为自然对数的底）；（2）记f′（x）为f（x）的导函数，若函数g（x）=x3﹣x2+x2f′（x）在区间（，3）上存在极值，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=+lnx（a＞0）．∴f′（x）==，若0＜a＜e，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，a]上单调递减，当x∈（a，e）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（a，e]上单调递增，若a≥e，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，e]上单调递减．（2）g（x）=x3﹣x2+x2f′（x）=x3﹣x2+x﹣a∴g′（x）=3x2﹣ax+1∵函数g（x）=x3﹣x2+x2f′（x）在区间（，3）上存在极值，等价于关于x的方程3x2﹣ax+1=0在区间（，3）上有异号实根，∵a=，又a=3x+在（，）上单调递增，在（，3）上单调递增，∴2≤a＜，当a=2时，g′（x）=（﹣1）2≥0不存在极值，∴实数a的取值范围为（2，）21．（15分）（2013•山东模拟）已知椭圆上任一点P，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在PQ上，且，点M的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）过点D（0，﹣2）作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点且平行于x轴的直线上一动点，满足（O为原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由．【解答】解：（1）设M（x，y）是曲线C上任一点，因为PM⊥x轴，，所以点P的坐标为（x，3y）（2分）点P在椭圆上，所以，因此曲线C的方程是…（5分）（2）当直线l的斜率不存在时，显然不满足条件所以设直线l的方程为y=kx﹣2与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），N点所在直线方程为，…（6分）由，…（8分）因为，所以四边形OANB为平行四边形，…（10分）假设存在矩形OANB，则，即x1x2+y1y2=x1x2+k2x1x2﹣2k（x1+x2）+4=（1+k2）x1x2﹣2k（x1+x2）+4=0，所以，…（12分）设N（x0，y0），由，得，即N点在直线，所以存在四边形OANB为矩形，直线l的方程为y=±2x ﹣2…（15分）22．（15分）（2017春•鄞州区校级期中）已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=a n2+2a n，n∈N*，设b n=log2（a n+1）．（I）求{a n}的通项公式；（II）求证：1+++…+＜n（n≥2）；（III）若=b n，求证：2≤＜3．【解答】解：（I）由，则，由a1=3，则a n＞0，两边取对数得到=2b n（2分），即b n+1又b1=log2（a1+1）=2≠0，∴{b n}是以2为公比的等比数列．即（3分）又∵b n=log2（a n+1），∴（4分）（2）用数学归纳法证明：1o当n=2时，左边为=右边，此时不等式成立；（5分）2o假设当n=k≥2时，不等式成立，则当n=k+1时，左边=（6分）＜k+1=右边∴当n=k+1时，不等式成立．综上可得：对一切n∈N*，n≥2，命题成立．（9分）（3）证明：由得c n=n，∴，首先，（10分）其次∵，∴，，当n=1时显然成立．所以得证．（15分）参与本试卷答题和审题的老师有：沂蒙松；maths ；lcb001；wfy814；whgcn ；zhczcb ；双曲线；742048；铭灏2016；danbo7801；qiss ；zlzhan ；刘长柏（排名不分先后） 菁优网2017年7月1日赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DA1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +bx -b-ab 45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DABFEDCF。
浙江省宁波诺丁汉大学附属中学2017届高三上学期期中考试物理试题 含答案
宁波诺丁汉大学附属中学2016-2017学年度第一学期期中考试［高三］年级[物理］试题卷答卷时间: 90分钟满分：100分命题人：陈定密校对人：周红卫一．选择题Ⅰ（本大题共13小题，每小题3分，共39分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分）1.关于位移和路程下列说法正确的是A．物体沿直线向某一方向运动,通过的路程就是位移B．几个物体有相同位移时，它们的路程也相同C．几个运动物体通过的路程不等,但它们的位移可能相同D．物体通过的路程不等于零,其位移也一定不等于零2。
如图球静置于水平地面OA并紧靠斜面OB,一切摩擦不计，则A．小球只受重力和地面支持力B．小球一定受斜面的弹力C．小球受重力、地面支持力和斜面弹力D．小球受到的重力和对地面的压力是一对平衡力3。
下列说法中哪些是正确的是A.自由落体没有惯性B。
做曲线运动的物体,有可能处于平衡状态C.在国际单位制中，电流是一个基本物理量,其单位“安培”是基本单位D。
运动电荷在某处不受洛伦兹力作用,则该处的磁感应强度一定为零4.关于物理学家所做的贡献，下列叙述符合史实的是A．安培发现了电流的磁效应，并提出了分子电流假说B．法拉第提出了电场的观点，并引入了电场线来描述电场C．库仑通过扭秤实验建立了库仑定律，并比较精确地测定了元电荷e的数值D．伽利略通过斜面实验证实了物体的运动不需要力来维持,并建立了惯性定律5.做曲线运动的物体，在其轨迹上某一点的加速度方向A．为通过该点的曲线的切线方向B．与物体在这一点时所受的合外力方向垂直C．与物体在这一点速度方向一致D．与物体在这一点速度方向的夹角一定不为零6。
假如地球的自转角速度增大，关于物体重力，下列说法错误的是A．放在赤道上的物体的万有引力不变B．放在两极上的物体的重力不变C．放在赤道上的物体的重力减小D．放在两极上的物体的重力增加7。
某一电容器标注的是：“300V,5μF”，则下述说法正确的是A.该电容器可在300V以下电压正常工作B。
浙江省宁波市2017-2018学年高三上学期期中考试数学(理)试卷 Word版含解析
2017-2018学年浙江省宁波市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•宁波二模）设集合M={x|﹣＜x＜}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（）），）（﹣lg lg＞．．4．（5分）（2014•宁波二模）若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）5．（5分）（2015•中山二模）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列6．（5分）（2015•中山二模）已知某锥体的三视图（单位：cm）如图所示，则该锥体的体积为（）7．（5分）（2015•中山二模）（x2﹣1）（﹣2）5的展开式的常数项是（）8．（5分）（2015•中山二模）袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球．由甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回．若每颗球被抽到的机会均等，则甲、乙、丙三人所得之．．9．（5分）（2014•宁波二模）已知实系数二次函数f（x）和g（x）的图象均是开口向上的抛物线，且f（x）和g（x）均有两个不同的零点．则“f（x）和g（x）恰有一个共同的零点”10．（5分）（2014•宁波二模）设F1、F2是椭圆Γ的两个焦点，S是以F1为中心的正方形，二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）（2015•中山二模）已知复数z满足=i（其中i是虚数单位），则|z|=．12．（4分）（2015•中山二模）设z=2x+5y，其中实数x，y满足6≤x+y≤8且﹣2≤x﹣y≤0，则z的取值范围是．13．（4分）（2015•中山二模）已知抛物线x2=3y上两点A，B的横坐标恰是方程x2+5x+1=0的两个实根，则直线AB的方程是．14．（4分）（2015•中山二模）口袋中装有大小质地都相同、编号为1，2，3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量X 的数学期望是．15．（4分）（2014•马鞍山三模）已知直线x﹣y﹣1=0及直线x﹣y﹣5=0截圆C所得的弦长均为10，则圆C的面积是．16．（4分）（2015•中山二模）在△ABC中，∠C=90°，点M满足=3，则sin∠BAM的最大值是．17．（4分）（2014•宁波二模）已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数x、y，使得=x+y，且x+2y=1，则cos∠BAC=．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）（2015•宣城三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=5c，cosB=．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设BC边的中点为D，|AD|=，求△ABC的面积．19．（14分）（2015•中山二模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=8，S4=40．数列{b n}的前n项和为T n，且T n﹣2b n+3=0，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和P n．20．（15分）（2015•宣城三模）如图所示，PA⊥平面ABCD，△CAB为等边三角形，PA=AB，AC⊥CD，M为AC中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面PCD；（Ⅱ）若PD与平面PAC所成角的正切值为，求二面角C﹣PD﹣M的正切值．21．（15分）（2015•中山二模）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其右焦点F与椭圆Γ的左顶点的距离是3．两条直线l1，l2交于点F，其斜率k1，k2满足k1k2=﹣．设l1交椭圆Γ于A、C两点，l2交椭圆Γ于B、D两点．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）写出线段AC的长|AC|关于k1的函数表达式，并求四边形ABCD面积S的最大值．22．（14分）（2014•宁波二模）已知λ∈R，函数f（x）=lnx﹣，其中x∈[1，+∞）．（Ⅰ）当λ=2时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）在函数y=lnx的图象上取点P n（n，lnn）（n∈N*），记线段P n P n+1的斜率为k n，S n=++…+．对任意正整数n，试证明：（ⅰ）S n＜；（ⅱ）S n＞．2014-2015学年浙江省宁波市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•宁波二模）设集合M={x|﹣＜x＜}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（），）（﹣）（﹣，＜}}lg lg＞＜＜，∴lg＜lg＞，∴．．，∴+，或．．；，，4．（5分）（2014•宁波二模）若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）×5．（5分）（2015•中山二模）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列6．（5分）（2015•中山二模）已知某锥体的三视图（单位：cm）如图所示，则该锥体的体积为（）××7．（5分）（2015•中山二模）（x2﹣1）（﹣2）5的展开式的常数项是（）；第一个因式取﹣，第二个因式取，可得﹣8．（5分）（2015•中山二模）袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球．由甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回．若每颗球被抽到的机会均等，则甲、乙、丙三人所得之．．故甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回共有=220=，9．（5分）（2014•宁波二模）已知实系数二次函数f（x）和g（x）的图象均是开口向上的抛物线，且f（x）和g（x）均有两个不同的零点．则“f（x）和g（x）恰有一个共同的零点”10．（5分）（2014•宁波二模）设F1、F2是椭圆Γ的两个焦点，S是以F1为中心的正方形，二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）（2015•中山二模）已知复数z满足=i（其中i是虚数单位），则|z|=2．解：由12．（4分）（2015•中山二模）设z=2x+5y，其中实数x，y满足6≤x+y≤8且﹣2≤x﹣y≤0，则z的取值范围是[21，31]．y=x+x+，当直线y=x+y=的截距最大，得x+x+的截距最小，此时得13．（4分）（2015•中山二模）已知抛物线x2=3y上两点A，B的横坐标恰是方程x2+5x+1=0的两个实根，则直线AB的方程是5x+3y+1=0．14．（4分）（2015•中山二模）口袋中装有大小质地都相同、编号为1，2，3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量X的数学期望是．随机地取出两个球，共有：，，=，，1 2 3 4 5××+3×+4×+5×=故答案为：．15．（4分）（2014•马鞍山三模）已知直线x﹣y﹣1=0及直线x﹣y﹣5=0截圆C所得的弦长均为10，则圆C的面积是27π．，利用弦长公式求出半径=2，∴半径r==16．（4分）（2015•中山二模）在△ABC中，∠C=90°，点M满足=3，则sin∠BAM的最大值是．，求出=3，，BAM=最小值为的最大值是为．17．（4分）（2014•宁波二模）已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数x、y，使得=x+y，且x+2y=1，则cos∠BAC=．=x+y，且，可得﹣=y（）=2y解：如图所示，∵=x+y，且﹣=y2）=y（++=2，=2y，BAC=．故答案为：，三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）（2015•宣城三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=5c，cosB=．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设BC边的中点为D，|AD|=，求△ABC的面积．2中，∵•+7cosAsinA=，即（Ⅱ）∵=19．（14分）（2015•中山二模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=8，S4=40．数列{b n}的前n项和为T n，且T n﹣2b n+3=0，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和P n．由题意，得，；（Ⅱ）．．20．（15分）（2015•宣城三模）如图所示，PA⊥平面ABCD，△CAB为等边三角形，PA=AB，AC⊥CD，M为AC中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面PCD；（Ⅱ）若PD与平面PAC所成角的正切值为，求二面角C﹣PD﹣M的正切值．PC=tan，所以，EF=，EFM==，的正切值是，，，，=）和=，可取．同理，得，＜=，的余弦值是，其正切值是21．（15分）（2015•中山二模）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其右焦点F与椭圆Γ的左顶点的距离是3．两条直线l1，l2交于点F，其斜率k1，k2满足k1k2=﹣．设l1交椭圆Γ于A、C两点，l2交椭圆Γ于B、D两点．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）写出线段AC的长|AC|关于k1的函数表达式，并求四边形ABCD面积S的最大值．（Ⅰ）由已知条件推导的方程，（其中依题意，的方程是．的方程，，，，∴当，即的面积取得最大值22．（14分）（2014•宁波二模）已知λ∈R，函数f（x）=lnx﹣，其中x∈[1，+∞）．（Ⅰ）当λ=2时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）在函数y=lnx的图象上取点P n（n，lnn）（n∈N*），记线段P n P n+1的斜率为k n，S n=++…+．对任意正整数n，试证明：（ⅰ）S n＜；（ⅱ）S n＞．时，求导可得…（Ⅱ）依题意，，即，即知求导可得，即，参与本试卷答题和审题的老师有：caoqz；742048；清风慕竹；zlzhan；刘长柏；翔宇老师；maths；sxs123；wdnah；wsj1012；双曲线；liu老师（排名不分先后）菁优网2015年9月16日。
浙江省宁波诺丁汉大学附中2024学年高三下学期期中数学试题
浙江省宁波诺丁汉大学附中2024学年高三下学期期中数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 534i =+，则复数z 的虚部为（ ） A ．45 B ．45- C ．45i D ．45-i 2．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，则(1)(1)f g -=（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．33．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的多边形为正五边形，且512PT AP -=，则512AT ES --=（ ）A ．512QR +B ．512RQ +C ．512RD - D ．512RC - 4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（ ）A 3B ．36C 3D 23 5．设集合{}12M x x =<≤，{}N x x a =<，若M N M ⋂=，则a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞6．2(1i i+=- ) A ．132i + B ．32i + C ．32i - D ．132i -+ 7．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><≤的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．函数()f x 在1711,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 B ．函数()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．函数()f x 的对称中心是(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ D ．函数()f x 的对称轴是()5212k x k Z ππ=-∈ 8．如果实数x y 、满足条件10{1010x y y x y -+≥+≥++≤，那么2x y -的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．3-9．将函数f (x )=sin 3x 3 3x +1的图象向左平移6π个单位长度，得到函数g (x )的图象，给出下列关于g (x )的结论： ①它的图象关于直线x =59π对称； ②它的最小正周期为23π； ③它的图象关于点(1118π，1)对称； ④它在[51939ππ，]上单调递增.其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④10．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2375150a a a +-+=，则9S =（ ）A ．35B ．36C ．45D ．5411．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（）A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-<D ．228a b +> 12．双曲线2212y x -=的渐近线方程为（ ） A ．32y x =± B ．y x =± C ．2y x =± D ．3y x =±二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省宁波诺丁汉大学附属中学2017届高三上学期期中考试语文试题
一、语言文字运用（共24分，其中选择题每小题3分）1．下列词语中加点的字，注音全都正确的一项是（）A．确凿．（záo）剽．悍（piāo）好莱坞．（wù）潜．力股（qiǎn）B．朴．刀（pǔ）畏葸．（xǐ）供．销社（gòng）入场券．（quàn）C．反刍．（zhōu）道行．（héng）盖．然性（gài）瓦楞．纸（léng）D．髌．骨（bìn）画片．（piàn）揩．油（kāi）重创．（chuāng）【答案】D【解析】试题分析：本题着重考查了多音字、形声字的读音，剽、朴、供、行、盖、片、创是多音字，凿、坞、潜、葸、券、刍、楞、髌、揩是易误读形声字。
A项，潜qián；B项，朴pō，供gong；C项，刍chú，行háng。
考点：识记现代汉语普通话常用字的字音。
能力层级为识记A。
2．下列各句中，没有错别字的一项是（）A．一晃神，一转眼，我们就这样垂垂老去。
雨淋过天气，疲倦的人心，记忆里的童话早已慢慢地融化。
跟着时间走，忘了自己的来路，散了自己的执意。
B．群众路线教育实践活动所取得的成效就证明，反对“四风”、把八项规定变成“铁八条”，关键正在于从小处抓严、抓实。
因此，培育和践行核心价值观，也须及时检视细枝未节，防范小积弊拖成大问题。
C．过去三年，直播前绝对保密的短片，现场提问嘉宾举起的哭脸牌，问政嘉宾接踵而至的麻辣点评和市民代表随手按动的表诀器，让不少官员坐立不安。
D．惟其如此，方能让人们真切体悟到真善美就在身边，逐步涵养传递爱与善的自觉，激发见贤思齐、明德惟磬的正能量。
【答案】【解析】试题分析：B “细枝未节”应为“细枝末节”；C“表诀器”应为“表决器”；D“明德惟磬”应为“明德惟馨”。
字形的识记要联系意义，要在理解的基础上记忆，例如“诀”与“决”之别，前者是秘诀，后者是决定，其它词语可借助类似方法记忆。
浙江省宁波诺丁汉大学附中2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷及解析
浙江省宁波诺丁汉大学附中2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）的倾斜角等于（ ） A.030B.0150C.0120D.0602.若,x y 满足约束条件33100x y x y y +≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值等于（ ）A.5B.4C.3D.23.直线a 与b 垂直，b 又垂直于平面α，则a 与α的位置关系是（ ） A.a α⊥B.//a αC.a α⊆D.a α⊆或//a α4.过三点A （1，-1），B （1,4），C （4，-2）的圆的方程是（ ） A.227320x y x y +--+= B.227320x y x y ++-+= C.227320x y x y ++++=D.227320x y x y +-++=5.已知直线x ＋3y －7＝0，kx －y －2＝0和x 轴、y 轴围成四边形有外接圆，则实数k 等于( ) A.－3 B.3 C.－6D.66.不论m 为何实数，直线(m -1)x -y +2m +1=0恒过定点( ) A. (1,−12) B. (-2，0) C. (-2，3) D. (2，3)7.在三棱锥P ﹣ABC 中，PA=PB=PC=5，AB=3，AC=4，BC=5，则PA 与平面ABC 所成的角为（ ） A.30°B.45°C.60°D.90°8.若直线cos sin 10x yθθ+-=与圆221(cos)(1)16x y θ-+-=相切，且θ为锐角，则这条直线的斜率是（ ） A. B. C.9.正四面体A-BCD 中，DA =2,保持BC 在平面α内，正四面体A-BCD 绕BC 旋转过程中，正四面体A-BCD 在平面α内的投影面积的最大值等于（ ）A.C.4D.2第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）10.直线10和直线 22:(2)20l a x y --+=互相平行，则a =______.11.方程22230x y x my m +-+--=表示圆C 中，则圆C 面积的最小值等于________. 12.棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 点是1DD 的中点，P 点是正方体1111ABCD A B C D -表面上一动点，若1B P ∥平面11AC E ，则P 点轨迹的长度等于___________ .13.直线:30l x y a ++= 和圆22:240C x y x y ++-=相交于A,B 两点. （1）若直线l 过圆心C ，则a =______ ; （2）若三角形ABC 是正三角形，则a =______ 14.正三棱锥A-BCD 中，底面边长为6，侧棱长等于5. （1）则正三棱锥A-BCD 的体积V=________ ； （2）正三棱锥A-BCD 的外接球的半径R =__________ . 15.过O (0,0)引圆C ：22(4)(4)4x y -+-=的切线,切点为A,B. （1）A,B 两点之间距离AB =_______; （2）直线AB 的方程是：__________ .16.若,x y 满足线性约束条件240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩.（1）224x x y -+的最小值等于______；（2）若14ax y ≤+≤恒成立，则a 的取值范围是___________. 三、解答题（题型注释）17.不等式组020x y x y ⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域为D ，2z x y =+的最大值等于8.（1）求m 的值；（2）求2yx +的取值范围； （3）若直线l 过点P (-3,3)，求区域D 在直线l 上的投影的长度的取值范围.18.如图，四棱锥P-ABCD 底面为正方形，PD ⊥平面ABCD,PD =AD ,点M 为线段P A 上任意一点（不含端点），点N 在线段BD 上，且PM=DN. （1）求证：直线MN ∥平面PCD .（2）若点M 为线段P A 的中点，求直线PB 与平面AMN 所成角的余弦值.19.已知直线:(1)20l a x y a +++-=（a R ∈）.（1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程； （2）当O （0,0）点到直线l 距离最大时，求直线l 的方程.20.已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，且y 轴和直线20x +=均与圆相切. （1）求圆C 的标准方程；（2）设点P （0,1），若直线y x m =+与圆相交于M,N 两点，且∠MPN =90°，求m 的值.参考答案1.B【解析】1.先计算直线的斜率3k =-，再根据()tan 01803k αα==-︒≤<︒解得答案.320y +-=的斜率为：k =倾斜角满足：)tan 0180150k ααα==︒≤<︒∴=︒ 故选：B 2.D【解析】2.如图所示：画出可行域和目标函数根据平移知：当目标函数通过点31(,)22即31,22x y ==时，z x y =+有最大值为2 故选：D 3.D【解析】3.根据直线和平面的位置关系得到答案.直线a 与b 垂直，b 又垂直于平面α，则a 与α的位置关系是a α⊆或a α‖. 故选：D 4.A【解析】4.设圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，将111,442A B C --（，）,（）,（，）三点代入方程得到方程组，解得答案.设圆的一般方程为：220x y Dx Ey F ++++=将111,442A B C --（，）,（）,（，）三点代入方程得到方程组：1+1+01+16+40164+420D E F D E F D E F -+=⎧⎪++=⎨⎪+-+=⎩解得：7,3,2D E F =-=-=，故圆方程为：227320x y x y +--+= 故选：A 5.B【解析】5. 6.C【解析】6.将直线(m −1)x −y +2m +1=0可为变为m (x +2)+(−x −y +1)=0，令{x +2=0−x −y +1=0，求两定直线的交点此点即为直线恒过的定点．直线(m −1)x −y +2m +1=0可为变为m (x +2)+(−x −y +1)=0 令{x +2=0−x −y +1=0，解得{x =−2y =3 .故无论m 为何实数，直线(m −1)x −y +2m +1=0恒通过一个定点(−2,3) 故选C. 7.C【解析】7.试题过P 作PD ⊥平面ABC ，垂足为D ，先证明D 是BC 的中点，∠PBC 为PA 与平面ABC 所成的角，从而可得结论．解：过P 作PD ⊥平面ABC ，垂足为D ，∵AB=3，AC=4，BC=5，∴AB ⊥AC ∵PA=PB=PC=，∴D 是BC 的中点 ∴∠PBC 为PA 与平面ABC 所成的角 ∴PB=PC=BC ，∴∠PBC=60° 故选C ． 8.A【解析】8.根据直线和圆相切得到14d ==，计算得到6πθ=，得到答案.直线cos sin 10x y θθ+-=与圆221(cos )(1)16x y θ-+-=相切则2141sin sin 4d r θθ===-=∴θ为锐角，则211sin sin sin 426πθθθθ-=∴=∴=cos sin k θθ=-= 故选：A 9.D【解析】9.分为AD 投影在BC 同侧和AD 投影在BC 异侧两种情况求解，先证明BC AD ⊥得到11BC A D ⊥2得到答案.如图所示：E 为BC 中点，易知：,BC AE BC DE BC ⊥⊥∴⊥平面ADE ，故BC AD ⊥.设11A D 为AD 在平面的投影，故11BC A D ⊥当AD 投影在BC 同侧时：正四面体A-BCD 在平面α内的投影为三角形；11122S BC ED BC ED =⋅≤⋅=11122S BC EA BC EA =⋅≤⋅=当AD 投影在BC 异侧时：正四面体A-BCD 在平面α内的投影为四边形； 其中一组对边为BC ，另一组对边为AD 在平面的投影即11A D .1111222S BC A D BC AD =⋅≤⋅=，当11A D AD =，即AD ‖平面α时等号成立.综上所述：面积的最大值为2. 故选：D10.1a =-【解析】10.直接利用直线平行的公式得到答案.直线1:20l x y a +-=和直线 22:(2)20l a x y --+=互相平行则2211a a -=-∴=± 当1a =时，两直线重合，舍去 故答案为：1a =- 11.3π【解析】11.将圆方程化为标准式，得到()222142344m R m m =++=++利用二次函数的最值得到半径，再计算面积得到答案.()222222301424m m x y x my m x y m ⎛⎫+-+--=∴+++=++ ⎪⎝⎭()222142344m R m m =++=++当2m =-，故面积为23R ππ= 故答案为：3π12.【解析】12.,P Q 分别为11,AA CC 的中点，连接11,,,DP DQ B P B Q ，证明平面1DPB Q ‖平面11AC E ，得到P 点轨迹为四边形1DPB Q ，计算得到答案.如图所示：,P Q 分别为11,AA CC 的中点，连接11,,,DP DQ B P B Q 易知：1DP QB =且1DP QB ‖，故1,,,D P Q B 共面.11,PD A E DQ EC ‖‖，故平面1DPB Q ‖平面11AC E所以P 点轨迹为四边形1DPB Q11DP DQ QB B P ====，故轨迹长度为故答案为：13.1a = 1【解析】13.（1）将圆方程化为标准方程得到圆心为()1,2-，代入直线方程计算得到答案.（2）根据ABC是正三角形得到圆心到直线的距离为22R =，再利用点到直线的距离公式计算得到答案.（1）()()2222240125x y x y x y ++-=∴++-=，圆心为()1,2-代入直线方程得到：3201a a -++=∴= 故答案为：1a =（2）三角形ABCR =d ==，解得1a =±故答案为：1±14.V = R【解析】14.（1）如图所示，先计算23ED FD ==AE =体积公式计算得到答案。
浙江省宁波诺丁汉大学附属中学2017届高三上学期期中考试英语试题 含答案
宁波诺丁汉大学附属中学2016—2017学年度第一学期期中考试［高三]年级［英语]试题卷答卷时间:[120分钟］满分：［150分］命题人：［金唯] 校对人:［刘巧铃]注意事项:1。
答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
不能答在本试卷上，否则无效。
第Ⅰ卷第一部分：听力（共两节，满分30分)做题时,现将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题;每小题1。
5分，满分7.5分)听下面5段对话，每段对话后有一个小题,从题中所给的A，B，C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置；听完每段对话后,你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题.每段对话仅读一遍。
1。
Who will the man call？A. His wife B。
His boss C。
Taxi driver2。
What does the man suggest the woman do？A。
Wait on the phone B. Order the pizza online C。
Drive to the pizza place3. What does the woman want to do?A. Make some coffeeB. Buy a coffee makerC. Learn to make a video4. What will the man do at 3 o’clock on Friday?A. Go to class B。
Meet the doctor C。
Take the woman's shift5. What does the man think of the lecture?A。
Excellent B。
Difficult C. Boring第二节（共15小题;每小题1.5分，满分22。
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浙江省宁波诺丁汉大学附属中学2017届高三数学上学期期中试题考生注意：1.不允许用计算器。
2.参考公式：球的表面积公式：S =4πR 2球的体积公式：V =34πR 3 其中R 表示球的半径 棱锥的体积公式：V =31Sh 其中S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 棱柱的体积公式：V =Sh其中S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高棱台的体积公式V =)(312211S S S S h ++其中S 1, S 2分别表示棱台的上、下底面积,h 表示棱台的高一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．定义集合{}12)(|-==x x f x A ，{})22(log |2+==xy y B ，则=B C A R （ ）A ．),1(+∞B ．[0，1]C ．[0，1）D ．[0，2）2．下列命题正确的是（ ）A ．“92>a ”是“3>a ”的充分不必要条件B ．函数6)(2--=x x x f 的零点是（3，0）或（﹣2，0）C ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2﹣x ﹣6＞0，则￢p ：∀x ∈R ，均有x 2﹣x ﹣6≤0 D ．命题“若062=--x x ，则3=x ”的否命题为“若062=--x x ，则3≠x ” 3．已知βα,是相异两平面，n m ,是相异两直线，则下列命题中不正确的是（ ） A ．若,,//α⊥m n m 则α⊥n B ．若,,αβ⊥⊥m m 则βα// C ．若βα⊂⊥m m ,，则βα⊥ D ．若n m =βαα ,//，则n m //4．已知{}n a 为等差数列，99,105642531=++=++a a a a a a ，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是( )A. 21B. 20C. 19D. 18 5．将函数x x x x x f 2sin )sin 2)(cos 23sin()(+-+=π的图象向左平移8π个单位长度后得到函数)(x g ，则)(x g 具有性质（ ）A ．在)4,0(π上单调递增，为奇函数 B ．周期为π，图象关于)0,4(π对称C ．最大值为2，图象关于直线2π=x 对称 D ．在)0,2(π-上单调递增，为偶函数6．已知))(()(),0()(2x f f x g a c bx ax x f =>++=，若)(x g 的值域为)(),,2[x f +∞的值域为),[+∞k ，则实数k 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．47．已知点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左右焦点，且ab F F 221||=，I 为三角形21F PF 的内心，若2121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=λ成立， 则λ的值为（ ） A ．2221+ B ．132- C ．12+ D ．12- 8．在长方体1111D C B A ABCD -中，已知二面角A BD A --1的大小为6π，若空间一条直线l 与直线CC 1所成的角为4π，则直线l 与平面BD A 1所成的角的取值范围是（ ）A ．]125,12[ππB ．]125,4[ππC ．)2,12[ππD ．]4,6[ππ 二．填空题：本大题共7小题，9-11和15小题6分，,12-14小题4分，满分36分.9. 函数x x f =)(在1=x 处的切线l 方程是______________，以直线l 与y 轴的交点为焦点的抛物线标准方程是_________________.10．设函数⎩⎨⎧>≤=0,ln 0,)(x x x e x f x ，则=))21((f f ，方程1))((=x f f 的解集 ．11．如图是一个几何体的三视图，正视图是边长为2的正三角形，俯视图是等腰直角三角形，该几何体的表面积为____________， 体积为_______________．12．已知两个等比数列{}n a ，{}n b ，满足3,2,1),0(3322111=-=-=->=a b a b a b a a a . 若a =1，则数列{}n a 的通项公式为______________，若数列{}n a 唯一，则a =__________.13．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤-+101033y y x y x 则y x z +=||2的取值范围是 ．14．在AOB ∆中，已知1,45OB AB AOB ==∠=︒ ,若OP OA OB λμ=+,且22λμ+=,则OA 在OP上的投影的取值范围是 ．15. 记{},p q max ,,p p q q p q≥⎧=⎨<⎩，设(){}22,max 1,1M x y x y y x =++-+，其中,x y R ∈，则(),M x y 的最小值是__________．三．解答题：本大题共5小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（14分）已知在ABC ∆中,内角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，且C a A c cos 3sin 2,2==． （1）求角C 的大小；（2）若C C B A sin )2sin(2sin 2=++，求ABC ∆的面积．17．（15分）如图，矩形ABCD 中，)1(>=λλADAB，将其沿AC 翻折，使点D 到达点E 的位置，且二面角E AB C --为直二面角． （1）求证：平面⊥ACE 平面BCE ；（2）设F 是BE 的中点，二面角F AC E --的平面角 的大小为θ，当]3,2[∈λ时，求θcos 的取值范围．18．（15分）数列{}n a 各项均为正数，211=a ，且对任意的*N n ∈，都有)0(21>+=+λλn n n a a a ． （1）取11+=n a λ，求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a a 1是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若20161=λ，是否存在*N n ∈，使得1>n a ，若存在，试求出n 的最小值，若不存在，请说明理由．19．（15分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为21，焦点与短轴的两顶点的连线与圆4322=+y x 相切． （1）求椭圆C 的方程； （2）过点)0,1(的直线l 与C 相交于B A ,两点，在x 轴上是否存在点N ，使得NB NA ⋅为定值？如果有，求出点N 的坐标及定值；如果没有，请说明理由．20．（15分）已知函数R m x x m x g x x x f ∈+-=-=,21)(,21ln )(22，令)()()(x g x f x F +=． （1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）若关于x 的不等式1)(-≤mx x F 恒成立，求整数m 的最小值；（3）若1-=m ，且正实数21,x x 满足)()(21x F x F -=，求21x x +的取值范围．2015-2016学年度第二学期期末考试高三年级数学参考答案一、1.B ； 2.C ； 3.D ； 4.B ； 5.A ； 6.C ； 7.D ； 8.A.二、9.y x y x 2,0122==+-； 10.{}e e ,1,21； 11. 332,734++； 12. 31,)22(1-±=n n a ； 13. ]11,1[-； 14. ]1,22(-； 15. 43.三、16.解：（1）由已知得,c sin A =a cos C ,由正弦定理得,sin C sin A =sin A cos C .又sin A >0,∴cos C ≠0,sin C =cos C ,tan C =, ∴C =. ………………………………6分（2）由2sin 2A+sin(2B+C )=sin C 得, 2sin 2A =sin C-sin(2B+C ),∴4sin A cos A =sin(A+B )-sin[(π-A )+B ]=sin(A+B )+sin(B-A )=2sin B cos A. 当cos A =0时,A =,此时B =，∵c =2, ∴b =, S △ABC =bc =.当cos A ≠0时,sin B =2sin A ,∴b =2a . 由c 2=a 2+b 2-2ab cos C 得,4=a 2+b 2-ab . 联立,得334,332==b a , ∴S △ABC =ab sin C =.综上所述,△ABC 的面积为.………………………14分17.证明：（1）∵二面角C ﹣AB ﹣E 为直二面角， AB ⊥BC ，∴BC ⊥平面ABE ，∴BC ⊥AE ∵AE ⊥CE ，BC∩CE=C，∴AE ⊥平面BCE∵AE ⊂平面ACE ，∴平面ACE ⊥平面BCE………..6分解：（2）如图，以E 为坐标原点，以AD 长为一个单位长度，建立如图空间直角坐标系，则AB=λ，则，设平面EAC 的法向量为则，取x=1，， 同理设平面FAC 的法向量为，∴∵. …………15分18.（1）证明：0,121211211=+-⇒+=∴=+++++n n n n n n n n n a a a a a a a a a λ251,0,25101)()(11121+=∴>±=⇒=+-∴++++n n n n n n n n n a a a a a a a a a (为常数)， 所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a a 1是公比为251+的等比数列. 11)251(21,21-+=∴=n n a a . ………………………………………7分解：（2）∵a n+1=a n +ca n 2，c=， ∴a n+1＞a n ＞0．∴，即=，∴++…+=++…+=． ∴＜++…+=．当n=2016时，＜1，可得a 2017＜1． 当n=2017时，2﹣＞++…+=1，可得a 2018＞1．因此存在n ∈N *，使得a n ＞1． ………………………………………………………………………………15分 19.解：（1）∵椭圆C：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x 2+y 2=相切，∴，解得c 2=1，a 2=4，b 2=3，∴椭圆方程为. …………………………………………………………………………………6分（2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y=k （x ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则△＞0，，若存在定点N（m，0）满足条件，则有=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=如果要上式为定值，则必须有验证当直线l斜率不存在时，也符合．故存在点满足. (15)分20. 解：（1）f（x）的定义域为：{x|x＞0}，f′（x）=﹣x=，（x＞0），由f′（x）＞0，得：0＜x＜1，所以f（x）的单调递增区间为（0，1）．………4分（2）F（x）=f（x）+g（x）=lnx﹣mx2+x，x＞0，令G（x）=F（x）﹣（mx﹣1）=lnx﹣mx2+（1﹣m）x+1，则不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，即G（x）≤0恒成立．G′（x）=﹣mx+（1﹣m）=，①当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，又因为G（1）=ln1﹣m×12+（1﹣m）+1=﹣m+2＞0，所以关于x的不等式G（x）≤0不能恒成立，②当m＞0时，G′（x）=﹣，令G′（x）=0，因为x＞0，得x=，所以当x∈（0，）时，G′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，G′（x）＜0，因此函数G（x）在x∈（0，）是增函数，在x∈（，+∞）是减函数，故函数G（x）的最大值为：G（）=ln﹣m×+（1﹣m）×+1=﹣lnm，令h（m）=﹣lnm，因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，又因为h（1）=＞0，h（2）=﹣ln2＜0，所以当m≥2时，h（m）＜0，所以整数m的最小值为2．…………………………………………………………10分（3）m=﹣1时，F（x）=lnx+x2+x，x＞0，由F（x1）=﹣F（x2），得F（x1）+F（x2）=0，即lnx1++x1+lnx2++x2=0，整理得：+（x1+x2）=x1 x2﹣ln（x1 x2），令t=x1•x2＞0，则由φ（t）=t﹣lnt，得：φ′（t）=，可知φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，所以φ（t）≥φ（1）=1，所以+（x1+x2）≥1，解得：x1+x2≤﹣﹣1，或x1+x2≥﹣1，因为x1，x2为正整数，所以：x1+x2≥﹣1成立．………………………………………………15分。