DFT的性质习题课
DFT的性质习题课
设：x1 n 0 n N 1, x2 n 0 n M 1
则：x(n) x1 n x2 n＝ x1 mx2 n m m＝
且：x(n)的长度为(N M 1)
L
现考虑：x1 n x2 n, L max N, M 点的圆周卷积
令：x%1 n x1 n qL x%2 n x2 n kL
例：
§ 2-1-2 DFT的性质
圆周卷积定理：
a) 时域卷积定理：
设：x1 n X1 k , x2 n X2 k ,序列长度N必须相等
则：x1
n
N
x2
n
X1
k
X
2
k
其中：x1
N
n
x2
N -1
n＝
x1
mx2
n
m N
RN
n
m＝0
N -1
x2
m x1
n
m N
RN
n
m＝0
§ 2-1-2 DFT的性质
§ 2-1-2 DFT的性质
圆周卷积在信号处理中的应用（续）
计算长序列的线性卷积，若输入 信号得长度趋于无限大，例如语 音信号、地震波动信号、宇宙通 信中产生的信号等，如果不进行 分段，则迟迟不能给出输出果， 同时也无法找到太大的存储设备。
§ 2-1-2 DFT的性质
１.重叠相加法
设 hn的长度为 M ，输入为 xn ，长度 N ? M 计算 xnhn ?
7.序列的圆周移位
a）圆周移位定义
设：x n
,0
n
N
1
周期延拓得
x%n
xn N
则：x1
n
xn
m N
RN
n,
x1 n长度仍为N
2.1DFT的性质(新)
X (k ) k 0 x(n)W N
n 0
N 1
nk k 0
x ( n)
n 0
N 1
六、序列的始值
1 x(0) N
X (k )
n 0
N 1
七、延长序列的DFT
序列：x(n)： x ( n) g ( n) 0 则 0 n N 1 0 n N 1 N n rN 1 r为正整数
x(m)h(2m)=5*3+4*2+3*1=26
x(m)h(6-m)=1*3=3
(5)相加
得到圆周卷积的示意图
y(n) 26 14 20 14
5
8 3
0
n
至此可看出 线性卷积与圆周卷积的关系 可见,线性卷积与圆周卷积相同(当 N≥[N1(5)+N2(3)-1]=7时)
用图表求解圆卷积
x(m)={5,4,3,2,1},h(n)={1,2,3},同上求N=7点 的圆卷积。 解：
~( n ) x ~( n ) y
q
x( n qL) y( n rL)
r
它们的周期卷积序列为：
L 1 L 1 ~ f L (n) ~ (m) ~ (n m) x(m) ~ (n m) x y y m 0
m 0
x ( m) y ( n rL m)
二、DFT的性质和定理分类
（1）线 性特性 （2）DFT的逆变换的另一公式 （3）对称定理 （4）反转 定 理 （5）序列的总和 (6) 序列的始值 (7) 延长序列的DFT （8）序列的圆周移位与圆周卷积、圆周相关 （9）帕斯维尔定理 （10）DFT的奇偶性及对称性
dft习题及答案
dft习题及答案DFT习题及答案离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是数字信号处理中的重要概念，它可以将时域信号转换为频域信号，从而帮助我们分析信号的频谱特性。
在学习DFT的过程中，练习习题是非常重要的，下面我们就来看一些常见的DFT习题及答案。
1. 问题：计算长度为N的序列x[n]的DFT，其中x[n] = {1, 2, 3, 4}，N=4。
答案：首先，根据DFT的定义公式可以得到：X[k] = Σn=0到N-1 x[n] * e^(-j2πnk/N)将x[n]代入公式中，可以得到：X[0] = 1 + 2 + 3 + 4 = 10X[1] = 1 + 2e^(-jπ/2) + 3e^(-jπ) + 4e^(-j3π/2) = 1 - 2j - 3 - 4j = -2 - 6jX[2] = 1 + 2e^(-jπ) + 3e^(-j2π) + 4e^(-j3π) = 1 - 2 - 3 + 4 = 0X[3] = 1 + 2e^(-j3π/2) + 3e^(-j3π) + 4e^(-j9π/2) = 1 + 2j - 3 - 4j = -2 + 2j因此，序列x[n]的DFT为X[k] = {10, -2-6j, 0, -2+2j}。
2. 问题：给定一个长度为N的序列x[n]，求其幅度谱和相位谱。
答案：幅度谱和相位谱可以通过DFT的结果来计算。
幅度谱的计算公式为|X[k]| = sqrt(Re(X[k])^2 + Im(X[k])^2)，相位谱的计算公式为∠X[k] =arctan(Im(X[k])/Re(X[k])。
通过计算DFT得到的结果X[k]，可以分别计算出每个频率点的幅度和相位，从而得到幅度谱和相位谱。
3. 问题：给定一个长度为N的序列x[n]，求其逆DFT。
答案：逆DFT的计算公式为x[n] = (1/N) * Σk=0到N-1 X[k] * e^(j2πnk/N)。
(完整word版)离散傅里叶变换(DFT)试题汇总
第一章离散傅里叶变换（DFT ）3.1 填空题（1） 某序列的DFT 表达式为∑-==1)()(N n knM W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长度为 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 。
解：N ；Mπ2 （2）某序列DFT 的表达式是∑-==10)()(N k klM W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度是 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是 。
解： NM π2（3）如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件 。
解：纯实数、偶对称（4）线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为252)1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统的极点为 ；系统的稳定性为 。
系统单位冲激响应)(n h 的初值为 ；终值)(∞h 。
解： 2,2121-=-=z z ；不稳定 ；4)0(=h ；不存在 (5) 采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1-z 代表的物理意义是 ，其中时域数字序列)(n x 的序号n 代表的样值实际位置是 ；)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际位置又是 。
解：延时一个采样周期F T 1=，F n nT =，k Nk πω2=（6）已知}{}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1][=-===k n h k n x ，则][n x 和][n h 的5点循环卷积为 。
解：{}]3[]2[][][][][---+⊗=⊗k k k k x k h k x δδδ{}4,3,2,1,0;2,3,3,1,0])3[(])2[(][55==---+=k k x k x k x（7）已知}{}{3,2,1,0;1,1,2,4][,3,2,1,0;2,0,2,3][=--===k n h k n x 则][][n h n x 和的4点循环卷积为 。
第三章4-DFT性质
虚部圆周奇对称
幅度圆周偶对称
Im[ X ep (k )] Im[ X ep (( N k )) N RN (k )]
X ep (k ) X ep (( N k )) N RN (k )
幅角圆周奇对称
arg[ X ep (k )] arg[ X ep (( N k )) N RN (k )]
考查序列是否圆周偶（奇）对称序列
(b) 圆周共轭反对称序列满足：
* xop (k ) xop (( N k )) N RN (k )
实部圆周奇对称
Re[ X op (k )] Re[ X op (( N k )) N RN (k )]
虚部圆周偶对称
幅度圆周偶对称
幅角没有对称性
1 nl WN nl x(n) WN x(n) 2j
e
j 2 nl N
e 2j
j
2 nl N
2 nl x(n) x(n)sin N
3、共轭对称性
(1) 任意序列的共轭对称分量和共轭反对称分量
任意序列可表示成 xe (n) 和 xo (n) 之和:
x(n) xe (n) xo (n)
nk 证：DFT [ x* ((n)) N RN (n)] x* ((n)) N RN (n)WN n 0 N 1
mk nk x((n)) N WN x((m)) N WN m 0 n 0
N 1 N 1
3.6 离散傅里叶变换的性质
DFT正变换和反变换：
nk X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WN RN (k ) n 0 N 1
1 N 1 x(n) IDFT [ X (k )] X (k )WN nk RN (n) N k 0
离散傅立叶变换DFT的性质
则：DFT{ j Im[ x(n)]}
1 2 [ X ((k ))N
X * (( N
k )) N
]RN
(k)
Xop(k)
复数序列虚部乘以j的DFT 该序列DFT的圆周共轭反对称分量。
证明：
j Im[ x(n)] 1 [ x(n) x*(n)] 2
DFT{ j Im[ x(n)]} 1 {DFT[ x(n)] DFT[ x*(n)]} 2
x(n)
n
0
N-1
周期延拓
x~(n) x((n))N
0
n
x~(n 2) xn 2N
左移2
0
n
取主值
x(n 2)N RN (n)
0
N-1
n
2.圆周移位的含义
由于我们取主值序列，即只观察n=0到N-1这一主值 区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的 抽样又从此区间的另一端进来。如果把x(n)排列一个N等 分的圆周上，序列的移位就相当于x(n)在圆上旋转，故 称作圆周移位。当围着圆周观察几圈时，看到就是周期
为变换长度,短者进行
二、序列的圆周移位
1.定义 一个有限长序列x(n)的圆周移位定义为
xm (n) xn mN RN n
这里包括三层意思：
(1) 先将x(n)进行周期延拓 x~(n) x n N (2)再进行移位 x~(n m) xn mN
(3)最后取主值序列：
xm (n) xn mN RN n
1 2
[W ((k))N
W
* (( N
k ))N
]RN
(k)
由x2 (n) Im[w(n)]得
1 X 2 (k) DFT[x2 (n)] DFT{Im[w(n)]} j Wop (k)
离散傅里叶变换(DFT)试题
第一章离散傅里叶变换（DFT ）填空题（1） 某序列的DFT 表达式为∑-==1)()(N n knM W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长度为 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 。
解：N ；Mπ2 （2）某序列DFT 的表达式是∑-==10)()(N k klM W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度是 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是 。
解： N M π2（3）如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件 。
解：纯实数、偶对称（4）线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为252)1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统的极点为 ；系统的稳定性为 。
系统单位冲激响应)(n h 的初值为 ；终值)(∞h 。
解： 2,2121-=-=z z ；不稳定 ；4)0(=h ；不存在 (5) 采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1-z 代表的物理意义是 ，其中时域数字序列)(n x 的序号n 代表的样值实际位置是 ；)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际位置又是 。
解：延时一个采样周期F T 1=，F n nT =，k Nk πω2=（6）已知}{}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1][=-===k n h k n x ，则][n x 和][n h 的5点循环卷积为 。
解：{}]3[]2[][][][][---+⊗=⊗k k k k x k h k x δδδ{}4,3,2,1,0;2,3,3,1,0])3[(])2[(][55==---+=k k x k x k x（7）已知}{}{3,2,1,0;1,1,2,4][,3,2,1,0;2,0,2,3][=--===k n h k n x 则][][n h n x 和的4点循环卷积为 。
数字信号处理第三章离散傅里叶变换DFTppt课件
2 N
kn
n
xN (n) IDFT[ X (k)]
x(n)与xN (n)的关系？
26
离散傅里叶变换（DFT）
xN (n)
~
x(n)
~
X (k)
X (k)
~
x(n)
~
IDFS[ X (k)]
1 N
N 1 ~
X (k )WNkn
k 0
1 0
1 N
N 1
[
如果序列x(n)的长度为M ,则只有当频域采样点数 N M时，才有xN (n) IDFT[ X (k)] x(n)
28
离散傅里叶变换（DFT）
[例] 已知 x(n) R8 (n) ，X (e j ) FT[x(n)] 对 X (e j )
采样得
X (k)
X (e j )
, k
2 6
k
1 N
N 1
X1(l) X 2 ((k
k 0
l))N
RN (k)
1 N
X1(k)
NX 2 (k)
1 N
N 1
X 2 (l) X1((k
k 0
l))N RN (k)
1 N
X 2 (k )
NX 1 (k )
22
离散傅里叶变换（DFT） 4.复共轭序列的DFT
X (k) DFT[x(n)]
证明： DFT[x(n)] X (N k)且X (N ) X 0
第三章 离散傅里叶变换（DFT）
离散傅里叶变换（DFT）
离散傅里叶变换的定义
主
离散傅里叶变换的基本性质
要
内
容
频率域采样
DFT的应用举例
2
dft习题及答案
dft习题及答案DFT习题及答案量子力学是现代物理学的基石之一，而密度泛函理论（DFT）是其中一种重要的计算方法。
通过DFT，我们可以研究原子、分子和固体材料的性质，从而深入了解物质的本质。
在学习DFT的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题，我们可以巩固所学知识，并提高自己的理解和应用能力。
以下是一些常见的DFT习题及其答案，希望能为学习者提供一些参考和帮助。
习题一：什么是密度泛函理论（DFT）？它与传统的量子力学方法有何不同？答案：密度泛函理论是一种基于电子密度的量子力学方法，通过计算体系的电子密度来获得能量、电子结构和其他性质。
与传统的量子力学方法相比，DFT 具有以下不同之处：1. DFT是基于电子密度的方法，而传统的量子力学方法是基于波函数的方法。
DFT通过求解电子密度方程来描述体系的行为，而传统方法则通过求解薛定谔方程来描述体系。
2. DFT可以处理大型系统，包括含有数百个原子的分子和固体材料。
这是由于DFT计算的复杂度相对较低，而传统方法在处理大型系统时计算量很大。
3. DFT可以处理局部电子相关性和非局部电子相关性。
这使得DFT在描述电子相互作用时更加准确，而传统方法通常只考虑局部电子相关性。
习题二：DFT中的交换-相关泛函是什么？为什么需要这个泛函？答案：交换-相关泛函是DFT中的一个重要概念，它将交换和相关两个部分结合起来描述电子的相互作用。
交换泛函描述了电子交换的效应，而相关泛函描述了电子之间的相关性。
交换-相关泛函的引入是为了解决传统DFT中的自相互排斥问题。
在传统DFT 中，电子自相互排斥被忽略，导致了能量计算的不准确性。
通过引入交换-相关泛函，可以更好地描述电子之间的相互作用，从而提高能量计算的准确性。
习题三：什么是Kohn-Sham方程？它在DFT中的作用是什么？答案：Kohn-Sham方程是DFT中的核心方程，它描述了体系中的电子行为。
Kohn-Sham方程的形式类似于薛定谔方程，但是Kohn-Sham方程中的波函数被替换为一组单电子波函数，称为Kohn-Sham波函数。
ch2DFT习题
ch2DFT习题2.7 习题 1第2章离散傅里叶变换习题2-1. 已知序列]3[]2[2]1[3][4][?+?+?+=k k k k k x δδδδ，试画出下列序列的波形。
(1) ][])[(][551k R k x k x ?=；(2) ][])2[(][552k R k x k x ?=；(3) ][])3[(][553k R k x k x ?=。
2-2. g [k ]和h [k ]是如下给定的有限序列g [k ]={5 2 4 ?1 2}， h [k ]={-3 4 ?1 }(1) 计算g [k ]和h [k ]的线性卷积y L [k ]=g [k ]?h [k ]；(2) 计算g [k ]和h [k ]的6点循环卷积y 1C [k ]=g [k ]○6h [k ]；(3) 计算g [k ]和h [k ]的7点循环卷积y 2C [k ]=g [k ]○7h [k ]；(4) 计算g [k ]和h [k ]的8点循环卷积y 3C [k ]=g [k ]○8h [k ]；(5) 比较以上结果，有何结论？2-3. 试证N 点序列][k x 的离散傅里叶变换][m X 满足Parseval 恒等式210102][1][m X N k x N m N k ∑∑?=?== 2-4.X [m ]表示N 点序列x [k ]的DFT ，当x [k ]= ?x [k +M ]， M =N /2。
试证X [2r ]=0, r =0,1,...,M -1。
2-5. g [k ]和h [k ]是6点的有限序列，G [m ]和H [m ]分别表示它们的DFT(1) 如果G [m ]={1+j, ?2.1+j3.2, ?1.2?j2.4, 0,0.9+j3.1, ?0.3+j1.1}, 且h [k ]=g [(k ?4)6]R 6[k ], 试由G [m ]确定H [m ]。
(2) 如果g [k ]={4.1, 3.5, 1.2, 5, 2, 3.3}, 且H [m ]=G [(m ?3)6]R 6[m ],试由g [k ]确定h [k ]。
课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--上机习题
n L n >L
其中 a=0.9， L=10。 （1） 计算并绘制信号 x(n)的波形。 （2）证明： X (e jω ) = FT[ x(n)] = x(0) + 2 （ 3） 按照 N=30 对 X(ejω)采样得到
Ck = X (e jω )
ω=
－|n|
R21(n+10)
2
2π k N
∑ x(n)cosω n
n =1
L
, k = 0,1, 2,L , N − 1
（4） 计算并图示周期序列
% n) = x 1 N
∑C e
k k =0
N −1
j(2 π / N ) k n
%(n) 与 x(n)的关系。 试根据频域采样定理解释序列 x
1
% ( n) = （5） 计算并图示周期序列 y
离散傅里叶变换离散傅里叶变换性质傅里叶变换习题二维离散傅里叶变换离散傅里叶变换作用离散傅里叶变换公式离散时间傅里叶变换离散傅里叶逆变换dft离散傅里叶变换傅里叶变换
第3章 上机习题
离散傅里叶变换(DFT)
1. 已知序列 x(n)={1, 2, 3, 3, 2, 1}。 （1） 求出 x(n)的傅里叶变换 X(ejω)， 画出幅频特性和相频特性曲线(提示： 用 1024 点 FFT 近似 X(ejω))； （2） 计算 x(n)的 N（N≥6）点离散傅里叶变换 X(k)， 画出幅频特性和相频 特性曲线； （3） 将 X(ejω)和 X(k)的幅频特性和相频特性曲线分别画在同一幅图中， 验 证 X(k)是 X(ejω)的等间隔采样， 采样间隔为 2π/N； （4） 计算 X(k)的 N 点 IDFT， 验证 DFT 和 IDFT 的惟一性。 2. 给定两个序列: x1(n)={2, 1, 1, 2} , x2(n)={1, －1, －1, 1}。
DFT性质
(Digital Signal Processing)
信号与系统系列课程组 国家电工电子教学基地
离散傅里叶变换(DFT)
有限长序列的傅里叶分析
离散傅里叶变换的性质
利用DFT计算线性卷积 利用DFT分析信号的频谱
离散傅里叶变换的性质
1. 线性
DFTax1[k ] bx2 [k ] aDFTx1[k ] bDFTx2 [k ]
j 2 N m
N 1 k 0
x[ k ] z
k z e
j
2π N
m
N 1 k 0
x[ k ]e
-j
2π N
X [m]
km
x[k]的X[m]等于其z变换X(z)在单位圆上等间隔取样
Im(z)
2 m N j
z 平面
2 N
-1
0
1 2 ( N 1) N
Re(z)
单位圆 -j
需将较短序列补零后，再按长序列的点数做DFT
DFT性质
符号(k)N ： 表示对k进行模运算
k k1 k 2 N , k1 0,1,, N 1, k 2 Z
(k ) N k1
例：N=3，k= 3, 2,
x[(k) N ]
1,
0,
1,
2,
3,
4
x[0] x[1] x[2] x[0] x[1]
DFT性质
卷积定理
时域卷积定理:
DFTx1[k ] N x2 [k ] X1[m] X 2 [m]
时域的卷积对应频域的乘积
频域卷积定理:
1 DFTx1[k ]x2 [k ] X1[m] N X 2 [m] N
数字信号处理第三章习题解答
（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。
解：
（1）已知
（2）
（3）
（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）
18.我们希望利用 长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与 的L点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列 ，m表示第m段计算输出。最后，从 中取出Ｂ个，使每段取出的Ｂ个采样点连接得到滤波输出 。
————第三章————
离散傅里叶变换DFT
3.1 学习要点
3.1.1DFT的定义、DFT与Z变换(ZT)、傅里叶变换(FT)的关系及DFT的物理意义
1.DFT的定义
设序列 为有限长序列，长度为 ,则定义 的 点离散傅立叶变换为
(3.1)
的 点离散傅立叶逆变换为
(3.2)
其中， ， 成为DFT变换区间长度。
学习DFT的性质时，应与傅里叶变换的性质对照学习，要搞清两者的主要区别。我们知道，傅里叶变换将整个时域作为变换区间，所以在其性质中，对称性以原点为对称点，序列的移动范围无任何限制。
然而，DFT是对有限长序列定义的一种变换，也就是说，DFT变换区间为 。这一点与傅立叶变换截然不同，由于 及 区间在DFT变换区间以外，所以讨论对称性时，不能再以原点作为对称点，而是以 点作为对称点。为了区别于无限长共轭对称序列，用 和 分别表示有限长（或圆周）共轭对称序列和共轭反对称序列。其定义为
即 隐含周期性，周期为 。
课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--习题
课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--习题数字信号处理第三版第3章离散傅里叶变换(DFT)习题1．计算以下序列的N点DFT，在变换区间0≤n≤N－1内，序列定义为(1) x(n)=1(2) x(n)=δ(n)(3) x(n)=δ(n－n0) 0n0N(4) x(n)=Rm(n) 0mN(5) n ) jNmn N x(=e,0 mπ 2 (6) n ) x(=cos mn ,0mN2π(7) x(n)=ejω0nRN(n)(8) x(n)=sin(ω0n)RN(n)(9) x(n)=cos(ω0n)RN(N)(10) x(n)=nRN(n)2．已知下列X(k)，求x(n)=IDFT［X(k)］Njθ 2e N（1）X (k)= e jθ20 N k=m k=N m其它kNjθ j2e N jθ（2）X (k)= je 2 0 k=m k=N m 其它k其中，m为正整数，0mN/2, N为变换区间长度。
3．已知长度为N=10的两个有限长序列：做图表示x1(n)、x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)，循环卷积区间长度L=10。
，4．证明DFT的对称定理，即假设X(k)=DFT［x(n)］数字信号处理第三版证明DFT［X(n)］=Nx(N－k)5．如果X(k)=DFT［x(n)］，证明DFT的初值定理1x(0)=N∑X(k)k=0N 16．设x(n)的长度为N，且X(k)=DFT［x(n)］0≤k≤N－1令h(n)=x((n))NRmN(n) m为自然数H(k)=DFT［h(n)］mN 0≤k≤mN－1求H(k)与X(k)的关系式。
7．证明: 若x(n)为实序列，X(k)=DFT［x(n)］N，则X(k)为共轭对称序列，即X(k)=__（N－k)；若x(n)实偶对称，即x(n)=x(N－n)，则X(k)也实偶对称；若x(n)实奇对称，即x(n)=－x(N－n)，则X(k)为纯虚函数并奇对称。
DFT专题复习
X
(k)
N
2
Ne 2 e j
0
j k m
kN 其它k
m
解：x(n)
1
N 1
j 2 kn
X (k)e N
N n0
1
[N
2
e j e j N mn
N
2
e j e j N ( N m)n ]
N2
2
1
[e
j
e
j
2
N
mn
e
j
专题1.直接用DFT公式求解X(k)
试求以下有限长序列的N点DFT（闭合表达 式）。
(b) x(n) a n RN (n)
解：X（k )
N 1
j 2 kn
x(n)e N
n0
a e N 1
n
2
j kn N
n0
1
(ae
j
2
N
k
)
N
j 2 k
1 ae N
专题5.DFT应用
用微处理机对实数序列作谱分析， 要求谱分辨率F 50Hz, 信号最高频率为1KHz, 试确定以下各参数： （1）最小记录时间T min; (2)最大取样间隔T max; (3)最少采样点数N max; (4)在频带宽度不变的情况下， 将频率分辨率提高一倍的N值。
解：
（1）F最 小 50记Hz录, f时h 间1TKmHinz;,
设有两序列，各作15点的DFT，然后将 两个DFT相乘，再求乘积的IDFT，设所 得结果为f(n),问f(n)的哪些点对应于 x(n)*y(n)线卷积应得到的点。
(完整word版)离散傅里叶变换(DFT)试题汇总(word文档良心出品)
第一章离散傅里叶变换（DFT ）3.1 填空题（1） 某序列的DFT 表达式为∑-==1)()(N n knM W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长度为 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 。
解：N ；Mπ2 （2）某序列DFT 的表达式是∑-==10)()(N k klM W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度是 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是 。
解： NM π2（3）如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件 。
解：纯实数、偶对称（4）线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为252)1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统的极点为 ；系统的稳定性为 。
系统单位冲激响应)(n h 的初值为 ；终值)(∞h 。
解： 2,2121-=-=z z ；不稳定 ；4)0(=h ；不存在 (5) 采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1-z 代表的物理意义是 ，其中时域数字序列)(n x 的序号n 代表的样值实际位置是 ；)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际位置又是 。
解：延时一个采样周期F T 1=，F n nT =，k Nk πω2=（6）已知}{}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1][=-===k n h k n x ，则][n x 和][n h 的5点循环卷积为 。
解：{}]3[]2[][][][][---+⊗=⊗k k k k x k h k x δδδ{}4,3,2,1,0;2,3,3,1,0])3[(])2[(][55==---+=k k x k x k x（7）已知}{}{3,2,1,0;1,1,2,4][,3,2,1,0;2,0,2,3][=--===k n h k n x 则][][n h n x 和的4点循环卷积为 。
习 题 四
X (k ) = −
1 N −1 j ( k ' − k ) n N −1 − j N ( k ' + k ) n X (k ) = [∑ e N − ∑e ] 2 j n =0 n=0
N −1 n=0 2π j ( k '− k ) n N
2π
2π
∑e
N , ⎧ ⎪ 2π ⎪ j ( k '− k ) N = ⎨1 − e N =0, ⎪ 2π j ( k '− k ) N ⎪ ⎩ 1− e
1 N −1 j ( k '− k ) n N −1 − j N ( k + k ') n X (k ) = [∑ e N + ∑e ] 2 n =0 n =0
⎧N ⎪ , =⎨2 ⎪ ⎩0 ,
(3) X ( k ) =
N −1
N −1 n =0
2π
2π
k = k ' 及k = N − k '
其它
N −1 n =0
2π k' N
(0 ≤ k ' ≤ N − 1) ，即 ω 0 不在采样点上时
k WN sin ω 0 1 1 − e jω 0 N 1 − e − jω 0 N j[ − ] = 2π 2π k 2k j (ω 0 − k ) − j (ω 0 + k ) 2 1 − W N ⋅ 2 cos ω 0 + W N N N 1− e 1− e 2π b 当 ω = ○ k ' (0 ≤ k ' ≤ N − 1) 即 w0 处在采样点 k ' 时 0 N
解法二： Z [ R N (n)] =
∑ z −n =
n =0
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方法：将 xn 分成若干段，每段长为 L ，
用 xk (n) 表示，即：x n xk n k 0
其中：
xk
n
x
n
0
kL n k 1 L 1
otherwise
§ 2-1-2 DFT的性质
则：
x n h n xk n h n
k 0
LM 1
希望： xk n h n xk n h n (长度为L M 1)
N 1
Rx1x2
n
x1
l x2
n
l N
RN
n 称为x1
n 与x2
n 的圆周相关
l0
§ 2-1-2 DFT的性质
圆周相关定理
设：x1 n X1 k x2 n X2 k ,长度为N
若： X3 k X1 k X2 k
N 1
则：x3
n
IDFT
X 3
k
x1
l
x2
n
l
N
RN
n
l0
证明：Q X%3 k X%1 k X%2 k
§ 2-1-2 DFT的性质
频域移位定理（调制定理）
若：x
n
X
k
, 则：WNnl
x
n
X
k
l
N
RN
k
推论：
x
n
sin
2 N
nl
1 2j
X
k
l
X
k
l
xn
cos
2 N
nl
1 2
X
k
l
X
k
l
意义：频谱序列在频域内位移，时间序列在时域内 进行了调制，调制频率为 l, 2 。
NT
§ 2-1-2 DFT的性质
例：
§ 2-1-2 DFT的性质
圆周卷积定理：
a) 时域卷积定理：
设：x1 n X1 k , x2 n X2 k ,序列长度N必须相等
则：x1
n
N
x2
n
X1
k
X
2
k
其中：x1
N
n
x2
N -1
n＝
x1
mx2
n
m N
RN
n
m＝0
N -1
x2
m x1
n
m N
RN
n
m＝0
§ 2-1-2 DFT的性质
奇序列的DFT
若：x n x n x N n 则：DFT x n X k X k X N k (奇对称)
证明：X
k
N 1
x nWNkn
N 1
N 1
x nWNkn X k
n0
n0
n0
x
N
n WNN kN n
X
N
k
(注：WNN
k
N
n＝WNN
W W W 2 kN nN kn
§2-1-2 DFT的性质
6.延长序列ＤＦＴ
a)若xn X k ,0 n N 1 现将 xn末尾补零至 rN ，记为
g n，
即：
g n
xn
0
0 n N 1 N n rN 1
则：
G
k
X
k r
k 0,1, 2,L , rN 1
证明：
G k DFT
g n
rN 1
j 2 nk
后的圆周相关.
x2 (n)
X 2 (k ) FFT
X
* 1
(k
)
X
2
(k
)
序列相乘
IFFT
y(n)
x1 ( n )
X1(k)
FFT
取共轭
快速相关框图
§ 2-1-2 DFT的性质
10. 帕斯瓦尔定理（能量定理）
N-1
若 xn X k , 则 x2 n
1
N -1
2
X k
n＝0
N k＝0
证明：由相关定理
0 n N 1 otherwise
§ 2-1-2 DFT的性质
计算：yk
n
xk
n
P
h(n)
注：是Ｐ点的卷积
舍去 yk n 中的前(M-1)各点，再进行叠加即为所求.
y n x n h n yk n k(N M 1) k 0
故称为重叠保留法或叠接舍去法。
§ 2-1-2 DFT的性质
g n e rN
n0
2 n k
N1
j
xne
n0
r N
X
k r
k 0,1, 2,L
, rN 1
§2-1-2 DFT的性质
含义：末尾补零后，序列的谱比原序列的谱线变 密了，谱线间的间距为 2 / rN
即：时域补零，频域内插
例：矩形脉冲序列，xn 1,1,1,L ,1 161
16
16
14
设：x1 n 0 n N 1, x2 n 0 n M 1
则：x(n) x1 n x2 n＝ x1 mx2 n m m＝
且：x(n)的长度为(N M 1)
L
现考虑：x1 n x2 n, L max N, M 点的圆周卷积
令：x%1 n x1 n qL x%2 n x2 n kL
重叠保留法示意图
§ 2-1-2 DFT的性质
９.离散的相关定理
线性相关
设序列 x1 n, x2 n ，则：
Rx1x2 n x1 mx2 n m 称为x1 n与x2 n的线性相关 m
当 x1 n x2 n时，称为 x1 n 与 x2 n 的自相关。
圆周相关
设序列 x1 n, x2 n，长度都为N，则：
重叠相加法示意图
§ 2-1-2 DFT的性质
2.重叠保留法(叠接舍去法)
方法：将 x(n) 分成若干段,每段长度为 P(P M ),第一段 前补 (M 1) 个0,以后的各段按下列方法分段:后一 段的前(M 1) 点与前一段的后 (M 1) 点重叠取值.
即：xk
n
x
n＋k
N
(M 0
1)
M
1
证明： DFT x n＝ x nWNkn
x
n
W kn N
n＝0
n＝0
N－1
x n WNN k n
n＝0
X N－k
l0
1 N
N 1
X%2
k 0
k
W knl N
N 1
x%1 l x%2 l n l0
N 1
x1
l
N
x2
l
n
N
l0
N 1
x3
n
x%3 n
RN
n
x1
l
x2
l
n N
RN
n
l0
当x3 n为实序列时，
N 1
x%3 n
RN
n
x1
l x2
l
n N
RN
n
l0
§ 2-1-2 DFT的性质
推论：两个序列 N1, N2 的线性相关=两个序列补零到 N1 N2 1
(2)卷积过程只在主值区间0, N 1内进行，故称圆周
卷积。即：圆周卷积可以通过一个序列和另一个序列 在一个周期内的圆周移位乘积求和得到。可见，圆周
卷积的结果长度仍为 N 。
特别说明，卷积的两个序列长度必须相等。
§ 2-1-2 DFT的性质
例：
§ 2-1-2 DFT的性质
圆周卷积和线性卷积的关系
§ 2-1-2 DFT的性质
圆周卷积在信号处理中的应用（续）
计算长序列的线性卷积，若输入 信号得长度趋于无限大，例如语 音信号、地震波动信号、宇宙通 信中产生的信号等，如果不进行 分段，则迟迟不能给出输出果， 同时也无法找到太大的存储设备。
§ 2-1-2 DFT的性质
１.重叠相加法
设 hn的长度为 M ，输入为 xn ，长度 N ? M 计算 xnhn ?
0
其他
N1
j 2 kn r 1 j 2 kl
x n e rN e r
n0
l0
H
k
rX
k r
0
k为r的整数倍 其他
§2-1-2 DFT的性质
结论：H k 频谱间隔比 X k小，但 H k 只在
k r
整数 位置上与
X k
的谱线是对应的，而在
其他点处的值为0。
§ 2-1-2 DFT的性质
8.圆周卷积及其与有限长序列线性卷积关系
圆周卷积定义
设：x1(n)，x2 (n) 的长度均为 N
则：x1
n
N
x2
N -1
n＝
x1
mx2
n
m N
RN
n
m＝0
N -1
x2
m x1
n
m N
RN
n
m＝0
圆周卷积
§ 2-1-2 DFT的性质
圆周卷积计算
N
(1) x1 n x2 n 可以看作是周期卷积结果的主值序列。
§ 2-1-2 DFT的性质
x=[1 2 3]; h=[4 5 6]; N=length(x); M=length(h); L=N+M-1; X1=fft(x1,L); X2=fft(x2,L); y=ifft(X1.*X2,L); stem(0:1:L-1,y); title('基于DFT的线性卷积结果'); xlabel('时间序号n'); ylabel('振幅');
140
128点（曲线图）
§2-1-2 DFT的性质
若补零后得长度不是N 得整数倍，设为L，则谱