高考备考最受欢迎的高三纠错笔记(数学篇)
高考数学学霸纠错笔记函数含解析
换元求解析式时忽略自变量范围的变化已知()13f x x --＝，求f （x ）的解析式.t =，则x ＝t 2＋1，所以f （t ）＝3－（t 2＋1）＝2－t 2，即有f （x ）＝2－x 2.【错因分析】本例的错误是由于忽视了已知条件中“f 法求函数的解析式时，一定要注意换元后新元的限制条件．t =，则t ≥0，且x ＝t 2＋1，所以f （t ）＝3－（t 2＋1）＝2－t 2（t ≥0），即f （x ）＝2－x 2（x ≥0）．【参考答案】f （x ）＝2－x 2（x ≥0）．利用换元法求函数解析式时，一定要注意保持换元前后自变量的范围．1．已知)1fx =+()f x =A ．()211x x -≥ B ．21x - C ．()211x x +≥D ．21x +【解析】（换元法）：令1t =，则()21,1x t t =-≥，所以()()()()2212111f t t t t t =-+-=-≥，所以()()211f x x x =-≥．故选A ． 【答案】A注意：用t 替换后，要注意t 的取值范围为1t ≥，忽略了这一点，在求()f x 时就会出错.本题也可用配凑法，具体解析过程如下：))211111fx x =+=+-=-11≥，所以()()211f x x x =-≥．故选A ．分段函数的参数范围问题设函数31,1()2,1x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩,则满足()()()2af f f a ＝的a 的取值范围是A ．2[,1]3B ．[0,1]C ．2[,)3+∞D ．[1，＋∞）【错解】当a <1时，f （a ）＝3a －1， 此时f （f （a ））＝3（3a －1）－1＝9a －4，()3122af a －＝，方程无解．当a≥1时，()21af a >＝，此时()()()22222aaa f ff a ＝，＝， 方程恒成立，故选D ．【错因分析】对字母a 的讨论不全而造成了漏解，实际上应先对3a －1与1的大小进行探讨，即参数a 的分界点应该有2个，a ＝23或a ＝1，所以在分段函数中若出现字母且其取值不明确时，应先进行分类讨论．【试题解析】①当23a <时，()311f a a <＝－，()()331()194f f a a a ＝－－＝－,()3122a f a －＝，显然()()()2f a f f a ≠.②当23≤a <1时，()311f a a ≥＝－，()()()31,31222a a f a ff a －－＝＝，故()()()2af f f a ＝.③当1a ≥时，()21af a >＝，()()22aff a ＝，()222aa f＝，故()()()2a f f f a ＝.综合①②③知a ≥23.【参考答案】C求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f （x 0）时，首先要判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式;分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．2．已知函数()f x 是(),-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是A ．(0,3)B ．(]0,3 C ．(0,2)D ．(]0,2【解析】∵()f x 为R 上的减函数，∴1x ≤时，()f x 单调递减，即30a -<，则3a <;1x >时，()f x 单调递减，即0a >,即2a ≤. 综上，a 的取值范围是02a <≤,故选D. 【答案】D对单调区间和在区间上单调的两个概念理解错误若函数f （x ）＝x 2＋2ax ＋4的单调递减区间是（－∞，2]，则实数a 的取值范围是________.【错解】函数f （x ）的图象的对称轴为直线x ＝－a ，由于函数在区间（－∞，2]上单调递减，因此－a ≥2，即a ≤－2.【错因分析】错解中把单调区间误认为是在区间上单调．【试题解析】因为函数f （x ）的单调递减区间为（－∞，2]，且函数f （x ）的图象的对称轴为直线x ＝－a ， 所以有－a ＝2，即a ＝－2. 【参考答案】a ＝－2单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I ，指的是函数递减的最大范围为区间I .而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件的含义．3．已知函数2()6f x x kx =--在[2，8]上是单调函数，则k 的取值范围是 A ．()4,16 B ．[]4,16 C ．[)16,+∞D ．][(),416,-∞+∞【解析】根据题意，函数2()6f x x kx =--的对称轴为x 2k =， 若f （x ）在[2，8]上是单调函数，必有2k ≤2或2k≥8， 解可得：k ≤4或k ≥16，即k 的取值范围是（﹣∞，4]∪[16，+∞）;故选D ． 【答案】D忽略定义域的对称导致函数奇偶性判断错误判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）＝（x －1）x ＋1x －1; （2）f （x ）＝1－x2|x ＋2|－2.【错解】（1）f （x ）＝（x －1）·x ＋1x －1＝x 2－1.∵()()f f x x -，∴f （x ）为偶函数．（2） (2)||2f x x ---＝， ∵f （－x ）≠－f （x ）且f （－x ）≠f （x ），∴f （x ）为非奇非偶函数．【错因分析】要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域（看定义域是否关于原点对称）．有时还需要在定义域制约条件下将f （x ）进行变形，以利于判定其奇偶性． 【试题解析】（1）由x ＋1x －1≥0得{x |x ＞1，或x ≤－1}， ∵f （x ）定义域关于原点不对称， ∴f （x ）为非奇非偶函数．（2）由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0|x ＋2|－2≠0得－1≤x ≤1且x ≠0，定义域关于原点对称，又－1≤x ≤1且x ≠0时，f （x ）＝1－x 2x ＋2－2＝1－x2x，∵()()f x f x x-=--，∴f （x ）为奇函数．【参考答案】（1）非奇非偶函数;（2）奇函数．根据函数奇偶性的定义，先看函数的定义域是否关于原点对称，若是，再检查函数解析式是否满足奇偶性的条件．函数奇偶性判断的方法 （1）定义法：（2）图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数;若函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择填空题中．4．下列函数是奇函数的是 A ．cos y x x =+ B ．3sin y x x =C ．)ln y x =D ．e e x xy -=+【解析】cos11cos(1)1,cos11[cos(1)1]+≠--+≠---，所以A 为非奇非偶函数，33sin [()sin()],x x x x x =--∈R ，所以B 为偶函数，210,,x x x x +->≥∴∈R())2lnln()ln10x x x ++-==，所以C 为奇函数，()e e e e ,x x x x x ----+=+∈R ，所以D 为偶函数，故选C. 【答案】C判断函数的奇偶性，应先求函数的定义域，奇函数、偶函数的定义域应关于原点对称，不关于原点对称的既不是奇函数也不是偶函数.再找()f x 与()f x -的关系，若()()f x f x -=，则函数()f x 为偶函数;若()()f x f x -=-，则函数()f x 为奇函数.因忽略幂底数的范围而导致错误化简（1－a）[（a－1）－2（－a）12]12＝________.【错解】（1－a）[（a－1）－2·（－a）12 ]12＝（1－a）（a－1）－1·（－a）14＝－（－a）14 .【错因分析】忽略了题中有（－a）12，即相当于告知－a≥0，故a≤0，这样，[（a－1）－2]12≠（a－1）－1.实际上在解答本类题时除了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条件．【试题解析】由（－a）12知－a≥0，故a－1<0.∴（1－a）[（a－1）－2（－a）12 ]12＝（1－a）（1－a）－1·（－a）14＝（－a）14 .【参考答案】（－a）14在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时要注意是否是偶次方根，被开方数是否符合要求，如本例中12()a-，则必须有－a≥0，即a≤0.5．已知a=b=c=则A．a b c>>B．a c b>>C．b a c>>D．c b a>>【解析】a=b=c=则a70＝235＝（25）7＝327＝（27）5＝1285，b70＝514＝（52）7＝257，c70＝710＝（72）5＝495，∴a>c，a>b，又b70＝514＝（57）2＝（78125）2c70＝710＝（75）2＝（16807）2，∴b>c，∴a＞b＞c，故选A．【答案】A忽略了对数式的底数和真数的取值范围对数式log（a－2）（5－a）＝b中，实数a的取值范围是A ．（－∞，5）B ．（2,5）C ．（2，＋∞）D ．（2,3）∪（3,5）【错解】由题意，得5－a >0，∴a <5.故选A ．【错因分析】该解法忽视了对数的底数和真数都有范围限制，只考虑了真数而忽视了底数． 【试题解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0，a －2>0，a －2≠1，∴2<a <3或3<a <5.故选D ．【参考答案】D对数的真数与底数都有范围限制，不可顾此失彼．6．已知0x >，0y >，lg 2lg8lg 2xy+=，则113x y+的最小值是A ．2B ．C ．4D ．【解析】∵lg2x+lg8y＝lg2，∴lg （2x•8y）＝lg2，∴2x +3y＝2，∴x +3y ＝1．∵x ＞0，y ＞0，∴()1111333x y x y x y ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭2323y x x y ++≥+=4，当且仅当x ＝3y 12=时取等号． 故选：C ． 【答案】C复合函数理解不到位出错已知函数y ＝log 2（x 2－x －a ）的值域为R ，求实数a 的取值范围.【错解】设f （x ）＝x 2－x －a ，则y ＝log 2f （x ），依题意，f （x ）>0恒成立，∴Δ＝1＋4a <0， ∴a <－14，即a 的范围为（－∞，－14）．【错因分析】以上解法错误在于没有准确地理解y ＝log 2（x 2－x －a ）值域为R 的含义．根据对数函数的图象和性质，我们知道，当且仅当f （x ）＝x 2－x －a 的值能够取遍一切正实数．．．．．．．．．时，y ＝log 2（x 2－x －a ）的值域才为R .而当Δ<0时，f （x ）>0恒成立，仅仅说明函数定义域为R ，而f （x ）不一定能取遍一切正实数（一个不漏）．要使f （x ）能取遍一切正实数，作为二次函数，f （x ）图象应与x 轴有交点（但此时定义域不再为R ）．【试题解析】要使函数y ＝log 2（x 2－x －a ）的值域为R ，应使f （x ）＝x 2－x －a 能取遍一切正数， 要使f （x ）＝x 2－x －a 能取遍一切正实数，应有Δ＝1＋4a ≥0，∴a ≥－14，∴所求a 的取值范围为[－14，＋∞）．【参考答案】[－14，＋∞）．1．求复合函数单调性的具体步骤是： （1）求定义域; （2）拆分函数;（3）分别求y ＝f （u ），u ＝φ（x ）的单调性; （4）按“同增异减”得出复合函数的单调性．2．复合函数y ＝f [g （x ）]及其里层函数μ＝g （x ）与外层函数y ＝f （μ）的单调性之间的关系（见下表）.7．已知函数()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数，则a 的取值范围是 A ．（1，3] B ．（1，3） C ．（0，1）D ．[3，+∞）【解析】由函数()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数， 可得函数6t ax =-在（0，2）上大于零，且t 为减函数，1a >， 故有1620a a >⎧⎨-≥⎩，解得13a <≤.故选A ．【答案】A不论1a >还是01a <<，都有6t ax =-为减函数，又()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数，则1a >，这是求解本题的关键.零点存在性定理使用条件不清致误函数1()f x x x=+的零点个数为 A ．0B ．1C ．2D ．3【错解】因为(1)20f -=-<，(1)20f =>，所以函数()f x 有一个零点，故选B ．【错因分析】函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出函数的定义域.通过作图（图略），可知函数1()f x x x=+的图象不是连续不断的，而零点存在性定理不能在包含间断点的区间上使用.【试题解析】函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，当0x >时，()0f x >;当0x <时，()0f x <.所以函数()f x 没有零点，故选A ．【参考答案】A零点存在性定理成立的条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理.8．已知函数2,(),x x af x x x a⎧≥=⎨-<⎩，若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是A ．(),0-∞B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()0,+∞【解析】函数2,(),x x af x x x a⎧≥=⎨-<⎩的图象如图：若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是（0，+∞）． 故选D ． 【答案】D一、函数（1）映射：设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射.（2）函数：非空数集A →非空数集B 的映射，其要素为定义域A 、对应关系f ，函数的值域()C C B ⊆. 求函数定义域的主要依据： ①分式的分母不为0;②偶次方根的被开方数不小于0; ③对数函数的真数大于0;④指数函数和对数函数的底数大于0且不等于1;⑤正切函数tan y x =中，x 的取值范围是x ∈R ，且ππ+,2x k k ≠∈Z .求函数定义域的类型与方法（1）已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． （2）实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义． （3）复合函数问题：①若f （x ）的定义域为[a ，b ]，f （g （x ））的定义域应由a ≤g （x ）≤b 解出; ②若f （g （x ））的定义域为[a ，b ]，则f （x ）的定义域为g （x ）在[a ，b ]上的值域． [注意] ①f （x ）中的x 与f （g （x ））中的g （x ）地位相同;②定义域所指永远是x 的范围． 二、函数的性质 （1）函数的奇偶性如果对于函数y ＝f （x ）定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-（或()()f x f x -=），那么函数f （x ）就叫做奇函数（或偶函数）．（2）函数的单调性函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间D 上的函数f （x ），若对于任意12x x D ∈,，当12<x x 时，都有12(<)f x f x )( （或12(>)f x f x )(），则称f （x ）在区间D 上为单调增（或减）函数．反映在图象上，若函数f （x ）是区间D 上的增（减）函数，则图象在D 上的部分从左到右是上升（下降）的．如果函数f （x ）在给定区间（a ，b ）上恒有f ′（x ）>0（f ′（x ）<0），则f （x ）在区间（a ，b ）上是增（减）函数，（a ，b ）为f （x ）的单调增（减）区间．（3）函数的周期性设函数y ＝f （x ），x ∈D ，如果存在非零常数T ，使得对任意x ∈D ，都有f （x ＋T ）＝f （x ），则函数f （x ）为周期函数，T 为y ＝f （x ）的一个周期．（4）最值一般地，设函数y ＝f （x ）的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x ∈I ，都有f （x ）≤M （或f （x ）≥M ）;②存在0x I ∈，使得()0f x M ＝，那么称M 是函数y ＝f （x ）的最大值（或最小值）． 三、函数图象（1）函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的要求：①会画各种简单函数的图象;②能依据函数的图象判断相应函数的性质; ③能用数形结合的思想以图辅助解题． （2）利用函数图象的变换作图 ①平移变换0,0,()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=-右移个单位长度左移个单位长度， 0,0,()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位长度下移个单位长度. ②伸缩变换101,11,()()y f x y f x ωωωωω<<>=−−−−−−−−−→=横坐标伸长到原来的倍横坐标缩短到原来的倍， 01,1,()()A A A A y f x y Af x <<>=−−−−−−−−−→=纵坐标缩短到原来的倍纵坐标伸长到原来的倍. ③对称变换()()x y f x y f x =−−−−−→=-关于轴对称， ()()y y f x y f x =−−−−−→=-关于轴对称， =()(2)x a y f x y f a x =−−−−−−→=-关于直线对称， ()()y f x y f x =−−−−−→=--关于原点对称.四、函数与方程、函数的应用 1．函数的零点（1）函数的零点：对于函数f （x ），我们把使f （x ）＝0的实数x 叫做函数f （x ）的零点． （2）函数的零点与方程根的联系：函数F （x ）＝f （x ）－g （x ）的零点就是方程f （x ）＝g （x ）的根，即函数y ＝f （x ）的图象与函数y ＝g （x ）的图象交点的横坐标．（3）零点存在性定理：如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f （a ）·f （b ）<0，那么，函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在c ∈（a ，b ）使得f （c ）＝0, 这个c也就是方程f （x ）＝0的根．2．二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．应用二分法求函数零点近似值（方程的近似解）时，应注意在第一步中要使：（1）区间[,]a b 的长度尽量小;（2）()f a ，()f b 的值比较容易计算，且()()0f a f b ⋅<.3．应用函数模型解决实际问题的一般步骤如下：⇒⇒⇒读题建模求解反馈文字语言数学语言数学应用检验作答与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是建立相关的函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．1．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<则a c b <<． 故选B ．【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．2．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x --- D ．e 1x --+【答案】D【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -， 则当0x <时，0x ->，则()e 1()xf x f x --=-=-，得()e 1xf x -=-+．故选D ．【名师点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．3．函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈，0πx ∴=、或2π．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3.故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养，直接求出函数的零点可得答案.4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=2152lg E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10−10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=， 令211.45,26.7m m =-=-， 则()121222lg( 1.4526.7)10.1,55E m m E =-=⨯-+= 从而10.11210E E =. 故选A.【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及对数的运算. 5．函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为2sin cos ++x xx xA ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，可知应为D 选项中的图象． 故选D ．【名师点睛】本题考查函数的性质与图象的识别，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法和赋值法，利用数形结合思想解题．6．已知函数01,()1,1.x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为A ．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．59,44⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦ D ．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】作出函数01,()1,1x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩的图象，以及直线14y x =-，如图，关于x 的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解， 即为()y f x =和1()4y x a a =-+∈R 的图象有两个交点， 平移直线14y x =-，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时，有两个交点，可得94a =或54a =， 考虑直线1()4y x a a =-+∈R 与1y x =在1x >时相切，2114ax x -=， 由210a ∆=-=，解得1a =（1-舍去）， 所以a 的取值范围是{}59,149⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选D.【名师点睛】根据方程实数根的个数确定参数的取值范围，常把其转化为曲线的交点个数问题，特别是其中一个函数的图象为直线时常用此法. 7．在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1(2log )ay x =+(a >0，且a ≠1)的图象可能是【答案】D【解析】当01a <<时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合;当1a >时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合. 综上，选D.【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误;二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.8．已知单调函数()f x ，对任意的x ∈R 都有()26f f x x ⎡⎤-=⎣⎦，则()2f = A ．2 B ．4 C ．6D ．8【答案】C【解析】设()2t f x x =-，则()6f t =，且()2f x x t =+，令x t =，则()236f t t t t =+==，解得2t =，∴()22f x x =+，∴()22226f =⨯+=． 故选C ．【名师点睛】解答本题的关键是借助换元法求得函数的解析式，然后再求函数值，主要考查学生的变换能力．9．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）【答案】C 【解析】()f x 是定义域为R 的偶函数，331(log )(log 4)4f f ∴=．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案． 10．函数()exx f x =，关于x 的方程()()()2110fx m f x m -++-=有4个不相等实根，则实数m 的取值范围是A ．22e e(,1)e e-+B ．22e e +1(,)e e-+∞+ C ．22e e 1(,1)e e-++D ．22e e(,)e e-+∞+ 【答案】C【解析】根据题意画出函数()f x 的图象，如图.令()t f x =，原问题等价于关于t 的方程()2110t m t m -++-=有两个根12,t t ，每个t 值对应两个x值，故有两种情况：1201(0,)e t t =⎧⎪⎨∈⎪⎩①;121e 1(0,)e t t ⎧>⎪⎪⎨⎪∈⎪⎩②.当属于情况①时，将0t =代入()2110t m t m -++-=得到1m =，此时方程()2110t m t m -++-=的根是确定的，一个为0，一个为2，不符合题意;当属于情况②时，2221110e e 1, 1.e ee e 10m m m m +⎧-+-<-+⎪⇒<<⎨+⎪->⎩ 【名师点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．11．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则A ．a <–1，b <0B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x =b1−b， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点;当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意;当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增， 令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如图：∴b1−b＜0且{−b ＞013(b +1)3−12(b +1)(b +1)2−b ＜0， 解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞−16（a +1）3， 则a >–1，b <0. 故选C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点;当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解． 12．已知函数()()()ln 2ln 6f x x x =-+-，则A ．()f x 在()2,6上单调递增B ．()f x 在()2,6上的最大值为2ln2C ．()f x 在()2,6上单调递减D ．()y f x =的图象关于点()4,0对称 【答案】B【解析】()()()()()ln 2ln 6ln 26f x x x x x ⎡⎤=-+-=--⎣⎦，定义域为()2,6，令()()26t x x =--，则ln y t = ,二次函数()()26t x x =--的对称轴为直线4x =，所以()f x 在()2,4上单调递增，在()4,6上单调递减，A错，C 也错，D 显然是错误的;当4x =时，t 有最大值，所以()()()max ln 42ln 642ln2f x =-+-=，B 正确．13．已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+,若()12f =，则()()()()1232018f f f f ++++= A ．2018-B ．2C ．0D ．50【答案】B 【解析】f （x ）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，可得f （﹣x ）=﹣f （x ），f （1﹣x ）=f （1+x ）即有f （x +2）=f （﹣x ），即f （x +2）=﹣f （x ），进而得到f （x +4）=﹣f （x +2）=f （x ），f （x ）是周期为4的函数，若f （1）=2，可得f （3）=f （﹣1）=﹣f （1）=﹣2，f （2）=f （0）=0，f （4）=f （0）=0，则f （1）+f （2）+f （3）+f （4）=2+0﹣2+0=0，可得f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2018）=504×0+2+0=2．故选：B ．14．若函数()211e 1x a f x x ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭为偶函数，则a =__________． 【答案】1或1-【解析】令()211e 1x a u x +=-+，根据函数()211e 1x a f x x ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭为偶函数，可知()211e 1x a u x +=-+为奇函数，利用()201010e 1a u +=-=+，可得21a =，所以1a =或1a =-. 【名师点睛】该题考查的是根据函数的奇偶性求解参数的值的问题，在解题的过程中，注意对两个奇函数的乘积为偶函数的性质的灵活应用，再者就是在零点有定义的奇函数一定有0所对的函数值为0，得到等量关系式求得结果，也可以应用定义进行求解.解本题时，根据函数()f x 为偶函数，观察其特征，可得()211e 1x a u x +=-+为奇函数，结合奇函数的特征，若奇函数在0点处有定义，则一定有()00u =，从而得到相应的关系式，求得结果.15．若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数在上是增函数，则a ＝__________．【解析】当时，有，此时，此时为减函数，不合题意.若，则，故，检验知符合题意. 16．设函数()f x 在[)1,+∞上为增函数，()30f =，且()()1g x f x =+为偶函数，则不等式()220g x -<的解集为__________．【答案】()0,2【解析】易知()f x 的图象向左平移1个单位得到()1f x +的图象，∵()f x 在[1，+∞）上为增函数，∴()1f x +在[0，+∞）上为增函数，即()g x 在[0，+∞）上为增函数，且g （2）=f （2+1）=0， ∵()g x =()1f x +为偶函数，∴不等式g （2﹣2x ）＜0等价于g （2﹣2x ）＜g （2），即g （|2﹣2x |）＜ g （2），则|2﹣2x |＜2，即﹣2＜2x ﹣2＜2，即0＜2x ＜4，即0＜x ＜2，所以不等式()220g x -<的解集为（0，2），故答案为（0，2）．【名师点睛】对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若()f x 为偶函数，则()()()f x f x f x =-=，若函数是奇函数，则()()f x f x -=-．17．已知函数()212,632,x x a f x x x x a ⎧+>⎪=⎨⎪++≤⎩，函数()()g x f x ax =-恰有三个不同的零点，则a 的取值范围是__________．()(0,1)x f x a a a =>≠()(14g x m =-[0,)+∞1a >214,a a m -==12,2a m ==()g x =01a <<124,a a m -==11,416a m ==【答案】1,36⎛- ⎝ 【解析】函数()()g x f x ax =-恰有三个不同的零点，就是函数()f x 与y ax =有三个交点，也就是函数y ax =与()232,f x x x x a =++≤的图象有两个交点，y ax =与()12,6f x x x a =+>的图象有一个交点，画出函数()f x 与y ax =的图象如图，函数y ax =，看作直线斜率为a ，由图象可知，1,6a a >小于直线与抛物线相切的斜率，由2 32y ax y x x =⎧⎨=++⎩，可得()()22320,380x a x a ∆+-+==--=，解得3a =-综上1,36a ⎛∈- ⎝时，函数()f x与y ax =的图象有三个交点，即函数()()g x f x ax =-恰有三个不同的零点，故答案为1,36⎛- ⎝.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .18．记[]x 为不超过x 的最大整数，如[][]2.72, 1.32=-=-，则函数()()[]ln 1f x x x =+-的所有零点之和为__________． 【答案】1e 2e+-【解析】由题意可知：[]1x x x -<≤ .令()ln(1)(1)g x x x =+--.则()1101g'x x =-<+. 所以()g x 在[)3,+∞上单调递减，有()()3ln420g x g <=-<，所以()()[]ln 1f x x x =+-在[)3,+∞上无零点， 只需考虑：()10ln 11x x -<<⎧⎪⎨+=-⎪⎩，()01ln 10x x ≤<⎧⎪⎨+=⎪⎩，()12 ln 11x x ≤<⎧⎪⎨+=⎪⎩，()23ln 12x x ≤<⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得三个零点分别为11,e 1,0e --， 故答案为:1e 2e+-． 【名师点睛】本题主要考查了分段函数的零点问题，属于中档题.研究函数零点(方程根)的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题，交点的横坐标即零点.19．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是__________．【答案】1,34⎡⎢⎣⎭【解析】作出函数()f x ，()g x 的图象，如图：由图可知，函数()f x =的图象与1()(12,34,56,78)2g x x x x x =-<≤<≤<≤<≤的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有2个不同的实数根，要使关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则()(0,2]f x x =∈与()(2),(0,1]g x k x x =+∈的图象有2个不同的交点，由(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为11=，解得0)4k k =>， ∵两点(2,0),(1,1)-连线的斜率13k =，∴134k ≤<， 综上可知，满足()()f x g x =在(0,9]上有8个不同的实数根的k 的取值范围为134⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，. 【名师点睛】本题考查分段函数，函数的图象，函数的性质，函数与方程，点到直线的距离，直线的斜率等，考查知识点较多，难度较大.正确作出函数()f x ，()g x 的图象，数形结合求解是解题的关键因素.20．设函数32()31f x x x ．已知0a ≠，且2()()()()f x f a x b x a ，x R ，则实数a =__________，b =__________．【答案】2，1【解析】32323232()()313133f x f a x x a a x x a a -=++---=+--， 23222()()(2)(2)x b x a x a b x a ab x a b --=-+++-，所以223223203a b a ab a b a a --=⎧⎪+=⎨⎪-=--⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩． 【思路点睛】先计算()()f x f a ，再将2()()x b x a 展开，进而对照系数可得含有a ，b 的方程组，解方程组可得a 和b 的值．21．定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()()44f x f x f x =-=-，当[]0,2x ∈时，()31x f x x =+-，则函数()()()2log 1g x f x x =--的零点个数为__________．【答案】512 【解析】定义在R 上的函数()f x ，满足()()44f x f x -=-，∴()f x 为R 上的偶函数， 因为()f x 满足()()4f x f x -=，∴函数()f x 为周期为4的周期函数，且为R 上的偶函数， 因为[]0,2x ∈时，()31x f x x =+-，所以，在[]0,2上()f x 递增，且值域为[]0,10， 根据周期性及奇偶性画出函数()y f x =的图象和()2log 1y x =-的图象，如图，易知()2log 1y x =-的图象在()2,+∞上单调递增，且当1025x =时，2log 102510=，当1025x >时，()2log 1y x =-的图象与函数()y f x =的图象无交点，结合图象可知有512个交点，故答案为512.【名师点睛】函数零点个数(方程根)的三种判断方法：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点;(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点;(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.22．在直角坐标系xOy 中，如果相异两点(),A a b ，(),B a b --都在函数()y f x =的图象上，那么称A ，B 为函数()f x 的一对关于原点成中心对称的点（A ，B 与B ，A 为同一对）函数()6sin ,02log ,0x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩的图象上有_______________对关于原点成中心对称的点． 【答案】3【解析】()y f x =关于原点的对称图象的解析式为()y f x =--，因此()f x 关于原点对称的点的个数实际上就是()()f x f x =--在()0,+∞上解的个数．又当0x >时，()sin 2f x x π--=，考虑sin 2y x π=与6log y x =在()0,+∞上的图象的交点的个数．如下图所示，它们有3个公共点，从而函数()6sin ,0 2log ,0x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩的图象上有3对关于原点成中心对称的点．23．已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是__________． 【答案】43【解析】存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤， 即有332|(2)(2)|3a t t at t +-+-+≤，化为()22|23642|3a t t ++-≤， 可得()2222364233a t t -≤++-≤， 即()22436433a t t ≤++≤， 由223643(1)11t t t ++=++≥，可得403a <≤. 则实数a 的最大值是43. 【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得33|(2)(2)|a t t at t +-+-+23≤，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解.。
高三数学重点知识归纳笔记
高三数学重点知识归纳笔记高三数学重点知识归纳笔记篇1以往，人们常说数学是一门理解性学科，所以学习数学重在理解。
然而，事实却并不是这样。
数学除了需要理解，还需要记忆，甚至后者更为重要，先背会再理解更是数学中一种常见的学习方法。
究其原因主要有两点：一是由高中数学自身的特点来决定的。
高中数学不但内容多、题型多、难度大，而且还变化多样，让人难以捉摸。
所以，我们一定要抓住这万变中的不变，才能以不变应万变。
这就需要学生必须把每一节的知识点和类型题背下来，掌握每个知识点的考察方式及出题类型，并了解与其结合的常见知识点的出题方式及解题思路。
不仅如此，还需掌握高考中关于这个知识点的考察情况：前几年是如何考察的、近几年又发生了怎样的改变。
二是有些知识以学生现有的知识水平是理解不了的，所以只能先记住结论，等到日后学习了其他知识再对这个知识进行解释，比如在高一学习集合中求含有n个元素集合的所有子集个数问题时，就只能先记住结论，等到高二学习了二项式定理之后才对它进行解释，而有些知识甚至要等到上大学或者在数学领域有更深的研究之后才能做出解释，对于这些知识就只能先背下来再理解。
二、记笔记的重要性笔记在高中数学的学习中起着非常重要的作用。
一方面，笔记可以把老师讲过的知识点和类型题记下来，便于随时查看，巩固所学。
前面已经提到过高中数学内容多、难度大且题型多，就必修一函数部分来说，函数值域的求法就有十几种方法，条件稍微变一下求解方法就大不一样，更别说函数单调性、奇偶性那部分的知识点和类型题了。
另一方面，这些笔记还是高三一轮复习的最好资料。
每到高三，大家就会为一轮复习资料的选取和做法大伤脑筋，尤其是资料的选取，它不仅是一轮复习的关键，更关系着整个高考的成败。
资料太难，复习起来既慢又没效果，而资料太简单就会出现知识点覆盖不全又脱离高考的现象。
那有没有一本资料既能恰到好处地把高一、高二的基础知识捡起来，又能紧密地联系高考呢？那就是笔记。
高三数学复习知识点笔记
高三数学复习知识点笔记【导语】高中数学知识点众多，光靠一个脑袋是记不全的，好记性不如烂笔头，要想学好数学，同学们还是要多做知识点的总结。
各位同学整理了《高三数学复习知识点笔记》，希望对你的学习有所帮助！1.高三数学复习知识点笔记篇一一个推导利用错位相减法推导等比数列的前n项和：Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，同乘q得：qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn，两式相减得(1-q)Sn=a1-a1qn，∴Sn=(q≠1).两个防范(1)由an+1=qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.三种方法等比数列的判断方法有：(1)定义法：若an+1/an=q(q为非零常数)或an/an-1=q(q为非零常数且n≥2且n∈N_，则{an}是等比数列.(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a=an·an+2(n∈N_，则数列{an}是等比数列.(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an=c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N_，则{an}是等比数列.注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列.2.高三数学复习知识点笔记篇二求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
1.直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
2.定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
3.相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
4.参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
备战高考数学纠错笔记系列专题10圆锥曲线文(2021年整理)
在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能正确解题．
当｜|MF1|－|MF2｜|＝2a＜｜F1F2|(a＞0），即｜MF1|－|MF2｜＝±2a，0＜2a＜｜F1F2｜时，点M的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右(上)支，取负号时为双曲线的左（下)支；
当|｜MF1｜－|MF2||＝2a＝|F1F2｜(a＞0）时，点M的轨迹是以点F1，F2为端点的两条射线；
当双曲线的焦点在y轴上时,由 且 ，两式联立解得 , ，所以所求双曲线的标准方程为 ．
综上，所求双曲线的标准方程为 或 ．
【参考答案】 或 ．
1．求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是
x轴还是y轴，从而设出相应的标准方程的形式,然后利用待定系数法求出方程中的 的值，最后写出双曲线的标准方程。
【错因分析】错解忽略了双曲线中的一个隐含条件,即双曲线上的点到任一焦点的距离都大于等于c－a,从而两解中要舍去不满足要求的那个．
【试题解析】由双曲线方程 可得 ， ， ,
由双曲线的图形可得点M到右焦点F2的距离 ．
因为 ， ，所以 (舍去)或 ．
【参考答案】33
1．在求解双曲线上的点到焦点的距离d时,一定要注意 这一隐含条件．
【解析】设点P(x,y)，其中x≥1。
依题意，得A1(-1，0),F2(2,0）,则 · =(-1-x,-y）·(2-x,—y）=（x+1）(x-2）+y2=x2+3（x2-1)—x—2=4x2—x—5=4(x— )2- 。
因此当x=1时， · 取得最小值—2.
易错点6 忽略双曲线的焦点所在位置的讨论
A．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线
备战高考数学纠错笔记系列专题10圆锥曲线理(2021年整理)
专题10 圆锥曲线易错点1 混淆“轨迹”与“轨迹方程"如图,已知点，直线，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且，求动点P 的轨迹．【错解】设点P (x ，y ），则Q (－1，y ），由，得(x ＋1,0）·（2，－y ）＝(x －1，y )·（－2,y )，化简得y 2＝4x ． 【错因分析】错解中求得的是动点的轨迹方程,而不是轨迹,混淆了“轨迹”与“轨迹方程”的区别．【试题解析】设点P (x ，y )，则Q （－1,y ），由,得（x ＋1,0)·（2,－y ）＝(x －1，y ）·(－2，y ），化简得y 2＝4x ． 故动点P 的轨迹为焦点坐标为(1，0)的抛物线．【参考答案】动点P 的轨迹为焦点坐标为（1,0）的抛物线．1．求轨迹方程时，若题设条件中无坐标系，则需要先建立坐标系，建系时，尽量取已知的相互垂直的直线为坐标轴，或利用图形的对称性选轴，或使尽可能多的点落在轴上.求轨迹方程的方法有:（1）直接法：直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．0(1)F ，:1l x =-QP Q FF P F Q ⋅=⋅QP Q FF P F Q ⋅=⋅QP Q FF P F Q ⋅=⋅（2）定义法：求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,则可直接根据定义先确定轨迹类型,再写出其方程．（3）相关点法：动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点却随另一动点的运动而有规律地运动,而且动点Q 的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将，表示成关于x ，y 的式子，再代入Q 的轨迹方程整理化简即得动点P 的轨迹方程．（4)参数法:若动点坐标之间的关系不易直接找到,且无法判断动点的轨迹，也没有明显的相关动点可用，但较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动受到另一个变量的制约，即动点中的x ，y 分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法.2．求轨迹方程与求轨迹是有区别的，若是求轨迹，则不仅要求出方程,而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即说出图形的形状、位置等．1．在直角坐标系中，以O 为圆心的圆与直线相切. （1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A ,B 两点,圆O 内的动点P 使成等比数列，求P点的轨迹方程，并指出轨迹的形状.【答案】（1）（2)P 点的轨迹方程为或）， P 点的轨迹为双曲线在圆内的一部分。
高三数学大题易错知识点
高三数学大题易错知识点高三数学学科作为理科阶段的重要科目之一，对于学生来说具有一定的难度和挑战性。
在备战高考的过程中，掌握数学大题的解题技巧和注意易错知识点变得尤为重要。
本文将对高三数学大题中常见的易错知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地复习和备考。
一、函数与图像在函数与图像的问题中，容易出错的主要有以下几个方面：1. 函数的定义域和值域：在解析式给出的函数中，注意确定函数的定义域和值域，尤其是在有分式、开方和对数函数的情况下。
同时，也要注意对于给定几何图形的函数，比如抛物线、圆等，对定义域和值域的正确理解。
2. 图像的性质：在求解图像的特性时，常会遇到切线、切点、拐点等关键概念。
容易出错的地方在于对这些概念的理解和应用，特别是涉及到导数和极值的情况。
3. 函数的变化趋势：在函数的增减性、凹凸性以及最值等问题中，容易出错的是对函数的导数和二阶导数的计算和应用。
特别是在涉及到复合函数和参数方程的情况下，更要注意函数的变化趋势的判断。
二、空间几何与向量在空间几何与向量的问题中，易错知识点主要包括以下几个方面：1. 空间图形的性质：在求解空间图形的性质时，常会涉及到平面的垂直、平行、共面等关系。
容易出错的地方在于对这些关系的理解和判断，需要准确运用向量的知识来求解。
2. 空间向量的运算：在解空间向量的运算问题时，容易出错的地方在于对向量的加减、数量积和向量积的计算和应用。
在一些复合问题中，还要注意向量的分解和坐标表示的准确性。
3. 空间平面与直线的问题：在求解空间中平面与直线的交点、距离等问题时，容易出错的地方在于对方程的解的准确性和对平面与直线的方程的特性的正确理解。
三、概率与统计在概率与统计的问题中，易错知识点主要包括以下几个方面：1. 概率的计算：在计算概率时，容易出错的地方在于对样本空间和事件的定义的准确理解。
尤其是在排列组合和条件概率的计算问题中，更要注意对问题的分析和计算的准确性。
2. 抽样与统计的问题：在进行样本调查和统计推断时，容易出错的地方在于样本的选择和样本量的确定。
备战最新高考数学之易错点纠错笔记系列(解析版)专题13 数列-
【正解】【方法
1】由 S11
S18
，得
11a1
+
1110 2
d
18a1
1817 2
d
，即 a1=
14d
，
由
a1
0
可知
d
0
，解不等式组
aann1a1a1 (nnd
1)d 0
0 ,
14d (n 1)d 0
即 14d nd 0
, 得14 n 15 ．
故当 n 14 或 n 15 时 Sn 最大．
1817 2
d
，即 a1= 14d
，
由
a1
0
可知
d
0
，解不等式组
aann1a1a1 (nnd
1)d 0
0 ,
14d (n 1)d 0
即 14d nd 0
, 得14 n 15 ．
又 n N* ，故当 n 15 时 Sn 最大．
【 错 因 】由于 a15 0 ，所以 S14 S15 ，当 n 14 或 n 15 时 Sn 最大，错解中忽略了数列中为 0 的项．
【例 1】已知数列{an} 满足 a1a2a3
an =n3(n
N*)
，则数列{an} 的 an =
n3 (n 1)3
通项公式 an
．
【错解】由 a1a2a3L an =n3 ，可得 a1a2a3L an1 =(n 1)3, 两式相除可得．
【错因】 a1a2a3L an1 =(n 1)3 仅适用于 n N* 且 n 2 时的情况，
故当 n 4 时， Bn 取得最大值，答案 4 .
易错点 3 用错数列的性质
若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，则 Sm , S2m Sm , S3m S2m 成等差数列.
高考数学错题笔记
解充分、必要条件的判断问题时有 3 种常用解题方法: 1.定义法:将充分、必要条件的判断转化为两个命题:“若 p, 则 q”与“若 q,则 p”.根据两个命题是否正确,来确定 p 与 q 之间的 充要关系. 2.等价转化法:根据互为逆否命题的两个命题的真假性相同, 要判断 p 是 q 的什么条件,可间接地转化为判断 q 是 p 的什 么条件.
【正确解答】画出函数 f(x)=
-
的图象如图
所示,由图象知函数 f(x)在(0,2)内不存在零点.
利用零点存在性定理判断函数是否存在零点时,要注意零点 存在性定理的使用条件:(1)其图象在区间[a ,b]上是连续不断的一 条曲线;(2)满足 f(a)· f(b)<0.两者缺一不可,典例 10 就是忽略了零 点存在性定理的使用条件(1). 易错点 11 导数的几何意义不明确 典例 11 已知函数 f(x)=x+ (t>0)和点 P(1,0),过点 P 作曲线 y=f(x)的两条切线 PM,PN,切点分别为 M(x1 ,y1),N(x2,y2 ).
(1,+∞)为增函数.
②当 a=2 时,f'(x)>0(x≠0,x≠1),故函数 f(x)在区间(-∞,1)∪
(1,+∞)仍为增函数.
③当 a>2 时,解 f'(x)=0 得 x=±
x f'(x) + f(x) ↗ ↘
-
, (1,+∞) + ↗ + ↗
所以函数 f(x)在区间 - 数, f(x)在区间 -
∴
g(t)=|MN|= (t>0).
易错点 2 混淆导数与单调性的关系
典例 12 已知函数 f(x)= -(4m-1)x2+(15m2-2 m-7)x+2 在 R 上是增函数,求实数 m 的取值范围. 【错因分析】研究函数的单调性与其导函数的关系时要注 意 f'(x)>0(x∈(a,b))是 f(x)在(a ,b)内单调递增的充分不必要条件, 实际上,可导函数 f(x)在(a,b)内为单调递增(减)函数的充要条件 为:对于任意 x∈(a,b),有 f'(x)≥0(f'(x)≤0)且 f'(x)在(a,b)的任意子 区间上都不恒为零,否则极易出错,使得 m 的取值范围为(2,4). 【正确解答】f'(x)=x2-2(4 m-1)x+15m2-2 m-7, 依题意,知 f'(x)在 R 上恒大于或等于 0,所以 Δ=4(m26m+8)≤0,解得 2 ≤m≤4. 易错点 13 导数与极值关系运用不当 典例 13 已知函数 g(x)=ax3 +bx2+cx+d (a≠0),其中 g (x)是 R 上的奇函数,当 x=1 时,g(x)取得极值-2.求函数 g(x)的单调区间和 极大值. 【错因分析】f'(x0)=0 只是可导函数 f(x)在 x0 处取得极值的 必要条件,即必须有这个条件,但只有这个条件还不够,还要考虑 是否满足 f'(x)在 x0 两侧异号.处理好导数与极值的关系是避免错 误的关键. 【正确解答】∵g(x)=ax3 +bx2+cx+d 是 R 上的奇函数,
备战高考数学纠错笔记系列专题06数列文(new)
专题06 数列易错点1 忽略了n 的取值已知数列{}n a 满足3123=()n a a a a n n ∈*N ,求数列{}n a 的通项公式n a ．【错解】由3123=n a a a a n ，可得31231=(1),n a a a a n --两式相除可得33=(1)n n a n -．【试题解析】当1n =时,11a =；当2n ≥时，由3123=n a a a a n ,可得31231=(1),n a a a a n --两式相除可得33=(1)n n a n -,故331,1.,1,(1)n n a n n n n =⎧⎪=⎨>∈⎪-⎩*N已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法(1）形如a n ＋1＝a n f (n ），常用累乘法，即利用恒等式a n ＝a 1·错误!·错误!·…·错误!求通项公式．（2）形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，常用累加法．即利用恒等式a n ＝a 1＋（a 2－a 1）＋（a 3－a 2）＋…＋(a n －a n －1)求通项公式．(3)形如a n ＋1＝ba n ＋d （其中b ,d 为常数，b ≠0,1）的数列，常用构造法．其基本思路是：构造a n ＋1＋x ＝b （a n ＋x ）(其中x ＝错误!）,则｛a n ＋x ｝是公比为b 的等比数列，利用它即可求出a n 。
(4）形如a n ＋1＝pa nqa n ＋r （p ，q ，r 是常数）的数列，将其变形为错误!＝错误!·错误!＋错误!。
若p ＝r ，则错误!是等差数列，且公差为错误!，可用公式求通项； 若p ≠r ，则采用(3）的办法来求．(5）形如a n ＋2＝pa n ＋1＋qa n （p ，q 是常数，且p ＋q ＝1）的数列,构造等比数列．将其变形为a n＋2－a n＋1＝(－q)·(a n＋1－a n),则{a n－a n－1}(n≥2，n∈N*)是等比数列，且公比为－q，可以求得a n－a n－1＝f(n），然后用累加法求得通项．（6）形如a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝f（n)的式子，由a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝f(n)，①得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)a n－1＝f（n－1)，②再由①－②可得a n。
高考数学知识点总结精选15篇
高考数学知识点总结高考数学知识点总结精选15篇总结是指对某一阶段的工作、学习或思想中的经验或情况加以总结和概括的书面材料，它可以促使我们思考，因此我们需要回头归纳，写一份总结了。
总结怎么写才不会千篇一律呢？以下是小编收集整理的高考数学知识点总结，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
高考数学知识点总结1易错点1 遗忘空集致误错因分析：由于空集是任何非空集合的真子集，因此，对于集合B 高三经典纠错笔记：数学A，就有B=A，φ≠B高三经典纠错笔记：数学A，B≠φ，三种情况，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了B≠φ这种情况，导致解题结果错误。
尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。
空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。
易错点2 忽视集合元素的三性致误错因分析：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。
易错点3 四种命题的结构不明致误错因分析：如果原命题是“若A则B”，则这个命题的逆命题是“若B则A”，否命题是“若┐A则┐B”，逆否命题是“若┐B则┐A”。
这里面有两组等价的命题，即“原命题和它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价”。
在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时，一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系。
另外，在否定一个命题时，要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
如对“a,b都是偶数”的否定应该是“a,b不都是偶数”，而不应该是“a ,b都是奇数”。
易错点4 充分必要条件颠倒致误错因分析：对于两个条件A，B，如果A=>B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；如果B=>A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；如果A<=>B，则A，B互为充分必要条件。
最受欢迎的高三纠错笔记数学篇.docx
最受欢迎的高三纠错笔记数学篇一、集合与简易逻辑易错点1遗忘空集致误错因分析：由于空集是任何非空集合的真子集，因此，对于集合BA,就有B二A, "HB A, BH",三种情况，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了BH"这种情况，导致解题结果错误。
尤其是在解含有参数的集合问题吋，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种悄况。
空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。
易错点2忽视集合元素的三性致误错因分析：集合小的元索具有确定性、无序性、互异性，集合元索的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。
易错点3四种命题的结构不明致误错因分析：如果原命题是“若A则B”，则这个命题的逆命题是“若B则A”，否命题是“若「A则「B”，逆否命题是“若1 B则「A” o这里面有两组等价的命题，即“原命题和它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价”。
在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题吋，一定要明确四种命题的结构以及它们Z间的等价关系。
另外，在否定一个命题吋, 要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
如对“",b都是偶数”的否定应该是“a,b不都是偶数”，而不应该是“a ,b都是奇数”。
易错点4充分必要条件颠倒致误错因分析：对于两个条件A, B,如果ARB成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；如果B二〉A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；如果A<=>B,则A, B互为充分必要条件。
解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一•定要根据充要条件的概念作出准确的判断。
易错点5逻辑联结词理解不准致误错因分析：在判断含逻辑联结词的命题时很容易因为理解不准确而出现错误，在这里我们给出一些常用的判断方法，希望对大家冇所帮助：p\/q真">p真或q真，命题卩\/口假〈二〉p 假且q假（概括为一真即真）；命题p/\q真Op真且q真，p/\q假<二〉p假或q假（概括为一假即假）；1卩真〈二加假，「P假">P真（概括为一真一假）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考备考最受欢迎的纠错笔记：化学篇
一、集合与简易逻辑
易错点1 遗忘空集致误
错因分析：由于空集是任何非空集合的真子集，因此，对于集合BA，就有B=A，φ≠BA，B≠φ，三种情况，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了B≠φ这种情况，导致解题结果错误。
尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。
空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。
易错点2 忽视集合元素的三性致误
错因分析：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。
易错点3 四种命题的结构不明致误
错因分析：如果原命题是“若A则B”，则这个命题的逆命题是“若B则A”，否命题是“若┐A则┐B”，逆否命题是“若┐B则┐A”。
这里面有两组等价的命题，即“原命题和它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价”。
在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时，一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系。
另外，在否定一个命题时，要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
如对“a,b都是偶数”的否定应该是“a,b不都是偶数”，而不应该是“a ,b都是奇数”。
易错点4 充分必要条件颠倒致误
错因分析：对于两个条件A，B，如果A=>B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；如果B=>A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；如果A<=>B，则A，B互为充分必要条件。
解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充要条件的概念作出准确的判断。
易错点5 逻辑联结词理解不准致误
错因分析：在判断含逻辑联结词的命题时很容易因为理解不准确而出现错误，在这里我们给出一些常用的判断方法，希望对大家有所帮助：p∨q真<=>p真或q真，命题p∨q假<=>p假且q假（概括为一真即真）；命题p∧q真<=>p真且q真，p∧q假<=>p假或q假（概括为一假即假）；┐p真<=>p假，┐p 假<=>p真（概括为一真一假）。
二、函数与导数
易错点6 求函数定义域忽视细节致误
错因分析：函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，因此要求定义域就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数的定义域。
在求一
般函数定义域时要注意下面几点：（1）分母不为0；（2）偶次被开放式非负；（3）真数大于0；（4）0的0次幂没有意义。
函数的定义域是非空的数集，在解决函数定义域时不要忘记了这点。
对于复合函数，要注意外层函数的定义域是由内层函数的值域决定的。
易错点7 带有绝对值的函数单调性判断错误
错因分析：带有绝对值的函数实质上就是分段函数，对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一是在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，最后对各个段上的单调区间进行整合；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断。
研究函数问题离不开函数图象，函数图象反应了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题，寻找解决问题的方案。
对于函数的几个不同的单调递增（减）区间，千万记住不要使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增（减）区间即可。
易错点8 求函数奇偶性的常见错误
错因分析：求函数奇偶性的常见错误有求错函数定义域或是忽视函数定义域，对函数具有奇偶性的前提条件不清，对分段函数奇偶性判断方法不当等。
判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域区间关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶的函数。
在定义域区间关于原点对称的前提下，再根据奇偶函数的定义进行判断，在用定义进行判断时要注意自变量在定义域区间内的任意性。
易错点9 抽象函数中推理不严密致误
错因分析：很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同“特征”而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质。
解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是进一步解决问题的突破口。
抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理证明一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。
易错点10函数零点定理使用不当致误
错因分析：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也是方程f(c)=0的根，这个结论我们一般称之为函数的零点定理。
函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”，函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点时要注意这个问题。
易错点11混淆两类切线致误
错因分析：曲线上一点处的切线是指以该点为切点的曲线的切线，这样的切线只有一条；曲线的过一个点的切线是指过这个点的曲线的所有切线，这个点如果在曲线上当然包括曲线在该点处的切线，曲线的过一个点的切线可能不止一条。
因此求解曲线的切线问题时，首先要区分是什么类型的切线。
易错点12 混淆导数与单调性的关系致误
错因分析：对于一个函数在某个区间上是增函数，如果认为函数的导函数在此区间上恒大于0，就会出错。
研究函数的单调性与其导函数的关系时一定要注意：一个函数的导函数在某个区间上单调递增（减）
的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为零。
易错点13 导数与极值关系不清致误
错因分析：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误就是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。
出现这些错误的原因是对导数与极值关系不清。
可导函数在一个点处的导函数值为零只是这个函数在此点处取到极值的必要条件，在此提醒广大考生在使用导数求函数极值时一定要注意对极值点进行检验。
三、数列
易错点14 用错基本公式致误
错因分析：等差数列的首项为a1、公差为d，则其通项公式an=a1+(n-1)d，前n项和公式
Sn=na1+n(n-1)d/2=(a1+an)d/2；等比数列的首项为a1、公比为q，则其通项公式an=a1pn－1，当公比q≠1时，前n项和公式Sn=a1(1-pn)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)，当公比q=1时，前n项和公式Sn=na1。
在数列的基础性试题中，等差数列、等比数列的这几个公式是解题的根本，用错了公式，解题就失去了方向。
易错点15 an,Sn关系不清致误
错因分析：在数列问题中，数列的通项an与其前n项和Sn之间存在关系：
这个关系是对任意数列都成立的，但要注意的是这个关系式是分段的，在n=1和n≥2时这个关系式具有完全不同的表现形式，这也是解题中经常出错的一个地方，在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点。
当题目中给出了数列{an}的an与Sn之间的关系时，这两者之间可以进行相互转换，知道了an的具体表达式可以通过数列求和的方法求出Sn，知道了Sn可以求出an，解题时要注意体会这种转换的相互性。
易错点16 对等差、等比数列的性质理解错误
错因分析：等差数列的前n项和在公差不为0时是关于n的常数项为0的二次函数。
一般地，有结论“若数列{an}的前N项和Sn=an2+bn+c(a,b,c∈R)，则数列{an}为等差数列的充要条件是c=0”；在等差数列中，Sm,S2m-Sm,S3m-S2m(m∈N*)是等差数列。
解决这类题目的一个基本出发点就是考虑问题要全面，把各种可能性都考虑进去，认为正确的命题给以证明，认为不正确的命题举出反例予以驳斥。
在等比数列中公比等于-1时是一个很特殊的情况，在解决有关问题时要注意这个特殊情况。
易错点17 数列中的最值错误
错因分析：数列的通项公式、前n项和公式都是关于正整数的函数，要善于从函数的观点认识和理解数列问题。
但是考生很容易忽视n为正整数的特点，或即使考虑了n为正整数，但对于n取何值时，能够取到最值求解出错。
在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴远近而定。
易错点18 错位相减求和时项数处理不当致误
错因分析：错位相减求和法的适用环境是：数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积所组成的，求其前n项和。
基本方法是设这个和式为Sn，在这个和式两端同时乘以等比数列的公比得到另一个和式，这两个和式错一位相减，得到的和式要分三个部分：（1）原来数列的第一项；（2）一个等比数列的前(n-1)项的和；（3）原来数列的第n项乘以公比后在作差时出现的。
在用错位相减法求数列的和时一定要注意处理好这三个部分，否则就会出错。