二次函数定轴动区间和动轴定区间习题
二次函数求最值(动轴定区间、动区间定轴)
y =x2+ax+3的最小值：
y
O -1 1 x
练习：若x∈
数
，求函
y =x2+ax+3的最小值：
y
O -1 1 x
练习：若x∈
数
，求函
y y=x2+ax+3的最小值： y
y
O -1 1 x
O -1 1 x
O -1 1 x
当时当a-2<≤-a2<2时f(x)fmmiinn=f(1f)=4+a2a3a42
10
8
6
4
x=1
2
0
5
-2
2
4
6
8
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练习：已知 函数f(x)= x2–2x –3.
若x∈[ –2， 0 ], 求函数 f(x)的最值；
解：画出函 数在定义域 内的图像如 图
5
10
15
对称轴为直 线x=1
由图知， y=f(x)在[ – 2，0 ]上为 减函数
故x=-2时有 最大值f(2)=5
x=0时有最 小值f(0)=-3
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4
2 x=1
k+2
5
k
5
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y = x2 2∙x 3 y = x2 2∙x 3
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x=1
2
k k+2
5
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变化，要注意开口方向及端点情况。
求二次函数在某一区间上的最值
求二次函数在某一区间上的最值求二次函数在某一区间上的最值问题，是函数中的一个重要问题。
下面我就分别按以下的三种类型来详细讨论这类问题。
类型一：定轴定区间问题例1、已知函数()22[1,)x x a f x x x++=∈+∞，若对于任意的[1,)x ∈+∞，()0f x >恒成立， 求实数a 的取值范围。
略解：因为1x ≥时，()0f x >恒成立，所以220x x a ++>恒成立，即函数22y x x a =++ 在1x ≥时恒成立，又min 3y a =+，所以30a +>，即3a >-例2、若函数221(0,1)x x y a a a a =+->≠在区间[]1,1-的最大值为14，求a 的值 解一：设x t a =，即0t > ,那么()()222112f t t t t =+-=+- 当1a >时，1a t a -≤≤，此时，()2max 1214y a =+-= 3a ∴=当01a <<时，1a t a -≤≤，此时，2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ 13a ∴= ∴3a =或13a = 解二：函数()212x y a =+- (0,1)a a >≠在区间[]1,1-上y 随x a 的增大而增大，当1a >时，()max xa a =，故()2max 1214y a =+-= 3a ∴= 当01a <<时，()max 1xa a = ，故 2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ 13a ∴= 综上3a =或13a = 类型二：动轴定区间问题例3、若函数23y x ax =++在区间[]1,1-的最小值为－3，求a 的值略解：原函数即为：22324a a y x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭ ① 若轴2a x =-在区间内，则11232a a f ⎧-≤-≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，即 222334a a -≤≤⎧⎪⎨-=-⎪⎩ ∴a ∈∅ ② 若轴2a x =-在区间右侧，则()1213a f ⎧->⎪⎨⎪=-⎩，即243a a <-⎧⎨+=-⎩ ∴7a =- ③ 若轴2a x =-在区间左侧，则()1213a f ⎧-<-⎪⎨⎪-=-⎩ ，即233a a >⎧⎨-=-⎩ ∴7a = 所以a 7=±类型三： 定轴动区间问题例4、若函数222y x x =-+在区间[],1m m +的最大值为5，求m 的值略解：原函数即为：()2()11f x x =-+① 若轴1x =在区间内左侧，即()112111112m m m m m ≤≤+⎧⎪+⎨⎛⎫-≤+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩或，这时()15f m += 由上可解得：1122m m ⎧≤≤⎪⎨⎪=±⎩，∴m ∈∅② 若轴1x =在区间内右侧，即()112111112m m m m m ≤≤+⎧⎪+⎨⎛⎫-≥+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩或，这时()5f m = 由上可解得：10213m m m ⎧≤≤⎪⎨⎪=-=⎩或，∴m ∈∅ ③ 若轴1x =在区间左侧，即1m >，这时()15f m +=，由上可解得2m = ④ 若轴1x =在区间右侧，即11m +<，这时()5f m =，由上可解得1m =- 综上可知：12m m =-=或练习：是否存在实数a ,使函数()22f x x ax a =-+的定义域为[]11,-，值域为[]22,-；若存在，求出实数a的值，若不存在，说明理由. 答案：1a。
二次函数单调性问题
二次函数单调性问题一、 定区间，定对称轴1. 说明函数242-+-=x x y 在区间]3,0[的单调性及最值. 2. 求函数4)43(22-+++-=x a a x y 在区间]1,3[-的单调性及最值. 二、 定区间，动对称轴3. 已知函数3)24(2-++=x a x y 在区间]3,1[单调，求a 的取值范围. 4.已知函数 4)22(2+++=x a ax y 在区间]4,2[上单调递增，求a 的取值范围. 5.求函数222++-=x ax y 在]1,2[-∈x 上的最大值.三、定对称轴，动区间6.已知22)(2++=x x x f ，当],2[a a x -∈时，讨论该函数的单调性.7.已知2()23f x x x =-+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最大值.四、 动区间，动对称轴8. 已知函数4)13(2+--=x a x y ，讨论函数在区间]1,[+a a 的单调性.9. 已知函数22y x ax =-，[]4,x a a ∈--+，求函数的最大值()h a . 五、 逆向型（是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值）10. 已知函数2()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值.11. 二次函数1)12()(2+-+=x a ax x f 在区间3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，求实数a 的值. 求函数值域（最值）的方法：1.配方法----二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域2.换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型1、21y x =+的值域为_____2、4y x =+的值域为____；函数x x y 21-+=的值域3.单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性 。
二次函数求最值的六种考法(含答案)
二次函数与最值的六种考法-重难点题型【题型1 二次函数中的定轴定区间求最值】【例1】（2021春•瓯海区月考）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值4，有最小值0B．有最大值0，有最小值﹣4C．有最大值4，有最小值﹣4D．有最大值5，有最小值﹣4【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据﹣2≤x≤2，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．【解答过程】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，∴该函数的对称轴是直线x＝1，函数图象开口向下，∴当﹣2≤x≤2时，x＝1时取得最大值5，当x＝﹣2时，取得最小值﹣4，故选：D．【变式1-1】（2020秋•龙沙区期中）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，则m＝．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣3x+m＝（x−32）2+m−94，∴该函数开口向上，对称轴为x=3 2，∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时5＝1+3+m，解得m＝1，故答案为：1．【变式1-2】（2021•哈尔滨模拟）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到自变量满足﹣1≤x≤3时，x＝﹣1时取得最大值，x＝2时取得最小值，然后即可得到a、b的值，从而可以求得a﹣b的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，∵当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，∴当x＝﹣1时，取得最大值，当x＝2时，函数取得最小值，∴a＝1+4+3＝8，b＝﹣1，∴a﹣b＝8﹣（﹣1）＝8+1＝9，故答案为：9．【变式1-3】（2020秋•番禺区校级期中）若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝．【解题思路】根据题意画出函数图象，即可由此找到m 和M 的值，从而求出M ﹣m 的值． 【解答过程】解：原式可化为y ＝（x ﹣3）2﹣4， 可知函数顶点坐标为（3，﹣4）， 当y ＝0时，x 2﹣6x +5＝0， 即（x ﹣1）（x ﹣5）＝0， 解得x 1＝1，x 2＝5． 如图：m ＝﹣4，当x ＝6时，y ＝36﹣36+5＝5，即M ＝5． 则M ﹣m ＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．【题型2 二次函数中的动轴定区间求最值】【例2】（2021•雁塔区校级模拟）已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，则m ＝（ ） A ．3B ．﹣3或38C ．3或−38D ．﹣3或−38【解题思路】先求出对称轴为x ＝﹣1，分m ＞0，m ＜0两种情况讨论解答即可求得m 的值． 【解答过程】解：∵二次函数y ＝mx 2+2mx +1＝m （x +1）2﹣m +1， ∴对称轴为直线x ＝﹣1， ①m ＞0，抛物线开口向上，x ＝﹣1时，有最小值y ＝﹣m +1＝﹣2， 解得：m ＝3；②m ＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x ＝﹣1，在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2， ∴x ＝2时，有最小值y ＝4m +4m +1＝﹣2，解得：m =−38； 故选：C ．【变式2-1】（2021•瓯海区模拟）已知二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1，当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，且﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4，则a 的值为（ ） A ．1B ．34C ．−35D ．−14【解题思路】根据二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1，可以得到该函数的对称轴，再根据当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，可以得到a 的正负情况，然后根据﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4，即可得到a 的值． 【解答过程】解：∵二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1＝a （x ﹣2）2﹣4a ﹣1， ∴该函数的对称轴是直线x ＝2， 又∵当x ≤1时，y 随x 的增大而增大， ∴a ＜0，∵当﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4， ∴x ＝6时，y ＝a ×62﹣4a ×6﹣1＝﹣4， 解得a =−14， 故选：D ．【变式2-2】（2021•章丘区模拟）已知二次函数y ＝2ax 2+4ax +6a 2+3（其中x 是自变量），当x ≥2时，y 随x 的增大而减小，且﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15，则a 的值为（ ） A ．1或﹣2B ．−√2或√2C ．﹣2D ．1【解题思路】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向下a ＜0，然后由﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15，可得x ＝1时，y ＝15，即可求出a ． 【解答过程】解：∵二次函数y ＝2ax 2+4ax +6a 2+3（其中x 是自变量）， ∴对称轴是直线x =−4a2×2a=−1， ∵当x ≥2时，y 随x 的增大而减小， ∴a ＜0，∵﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15， ∴x ＝1时，y ＝2a +4a +6a 2+3＝15， ∴6a 2+6a ﹣12＝0， ∴a 2+a ﹣2＝0，∴a ＝1（不合题意舍去）或a ＝﹣2． 故选：C ．【变式2-3】（2021•滨江区三模）已知二次函数y =12（m ﹣1）x 2+（n ﹣6）x +1（m ≥0，n ≥0），当1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小，则mn 的最大值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．494【解题思路】由二次函数解析式求出对称轴直线方程，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的m ，n 的取值范围，将mn 转化为含一个未知数的整式求最值．【解答过程】解：抛物线y =12（m ﹣1）x 2+（n ﹣6）x +1的对称轴为直线x =6−nm−1， ①当m ＞1时，抛物线开口向上， ∵1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小， ∴6−n m−1≥2，即2m +n ≤8．解得n ≤8﹣2m ， ∴mn ≤m （8﹣2m ），m （8﹣2m ）＝﹣2（m ﹣2）2+8， ∴mn ≤8．②当0≤m ＜1时，抛物线开口向下， ∵1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小， ∴6−n m−1≤1，即m +n ≤7，解得m ≤7﹣n ， ∴mn ≤n （7﹣n ），n （7﹣n ）＝﹣（n −72）2+494, ∴mn ≤494， ∵0≤m ＜1， ∴此情况不存在．综上所述，mn 最大值为8． 故选：C ．【题型3 二次函数中的定轴动区间求最值】【例3】（2020秋•马鞍山期末）当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为．【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a﹣1≤x≤a时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答过程】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1，∴a﹣1＝2或a＝0，∴a＝3或a＝0，故答案为：0或3．【变式3-1】（2021•济南模拟）函数y＝﹣x2+4x﹣3，当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，则m的取值范围是（）A．0≤m＜2B．0≤m≤5C．m＞5D．2≤m≤5【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围．【解答过程】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴该函数图象开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，1），∴x＝﹣1和x＝5对应的函数值相等，∵当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，当x＝﹣1时，y＝﹣8，∴2≤m≤5，故选：D．【变式3-2】（2021•宁波模拟）若二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，则t的取值范围应是（）A．﹣6≤t≤2B．t≤﹣2C．﹣6≤t≤﹣2D．﹣2≤t≤2【解题思路】根据二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），可以求得a的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质和当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，即可得到t的取值范围．【解答过程】解：∵二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），∴﹣1＝a×22﹣2+2，解得a=−1 4，∴y=−14x2﹣x+2=−14（x+2）2+3，∴该函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，当x＝﹣2时，该函数取得最大值3，∵当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，当x＝2时，y＝﹣1，∴﹣6≤t≤﹣2，故选：C．【变式3-3】（2021•莱芜区二模）已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当a≤x≤b且ab＜0时，y的最小值为2a，最大值为2b，则a+b的值为（）A．2√3B．−72C．√3−2D．0【解题思路】根据a的取值范围分﹣1≤a＜0，﹣b﹣2≤a＜﹣1，a＜﹣b﹣2三种情况讨论，求出满足题目条件的情况即可．【解答过程】解：∵a≤x≤b且ab＜0，∴a，b异号，∴a＜0，b＞0，由二次函数的对称性，b关于对称轴的对称点为﹣b﹣2，若﹣1≤a＜0，则（a+1）2﹣4＝2a，解得a=−√3（舍），若﹣b﹣2≤a＜﹣1，则﹣4＝2a，a＝﹣2，且（b+1）2﹣3＝2b，解得b=√3，∴a+b=√3−2，若a＜﹣b﹣2，则2a＝﹣4，a＝﹣2，2b＝（a+1）2﹣4＝﹣3，∴b=−32（舍），故选：C．【题型4 二次函数中求线段最值】【例4】（2020春•海淀区校级期末）如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为．【解题思路】先解方程x2+5x+4＝0得A（﹣4，0），再确定C（0，4），则可利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），Q（t，t2+5t+4），所以PQ＝t+4﹣（t2+5t+4），然后利用二次函数的性质解决问题．【解答过程】解：当y＝0时，x2+5x+4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝﹣1，则A（﹣4，0），B（﹣1，0），当x＝0时，y＝x2+5x+4＝4，则C（0，4），设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣4，0），C（0，4）代入得{−4k+b=0b=4，解得{k=1b=4，∴直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），则Q（t，t2+5t+4），∴PQ＝t+4﹣（t2+5t+4）＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，∴当t＝﹣2时，PQ有最大值，最大值为4．故答案为4．【变式4-1】（2020秋•镇平县期末）如图，直线y=−34x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=−38x 2+34x +3经过B ，C 两点，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，则EM 的最大值为 ．【解题思路】设出E 的坐标，表示出M 坐标，进而表示出EM ，化成顶点式即可求得EM 的最大值． 【解答过程】解：∵点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，∴点E 的坐标是（m ，−38m 2+34m +3），点M 的坐标是（m ，−34m +3），∴EM =−38m 2+34m +3﹣（−34m +3）=−38m 2+32m =−38（m 2﹣4m ）=−38（m ﹣2）2+32， ∴当m ＝2时，EM 有最大值为32，故答案为32．【变式4-2】（2021•埇桥区模拟）对称轴为直线x ＝﹣1的抛物线y ＝x 2+bx +c ，与x 轴相交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为（﹣3，0）． （1）求点B 的坐标．（2）点C 是抛物线与y 轴的交点，点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．【解题思路】（1）利用二次函数对称性即可得出B 点坐标；（2）首先利用待定系数法求二次函数解析式，进而求出直线AC 的解析式，再利用QD ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）进而求出最值．【解答过程】解：（1）∵点A （﹣3，0）与点B 关于直线x ＝﹣1对称， ∴点B 的坐标为（1，0）． （2）∵a ＝1，∴y ＝x 2+bx +c ．∵抛物线过点（﹣3，0），且对称轴为直线x ＝﹣1， ∴{9−3b +c =0−b2=−1∴解得：{b =2c =−3，∴y ＝x 2+2x ﹣3，且点C 的坐标为（0，﹣3）． 设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ， 则{−3m +n =0n =−3， 解得：{m =−1n =−3，∴y ＝﹣x ﹣3如图，设点Q 的坐标为（x ．y ），﹣3≤x ≤0．则有QD ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）＝﹣x 2﹣3x ＝﹣（x +32）2+94∵﹣3≤−32≤0，∴当x =−32时，QD 有最大值94．∴线段QD 长度的最大值为94．【变式4-3】（2020秋•滨海新区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +52与x 轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△ACM的面积；（Ⅲ）若点P是抛物线上的一动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．【解题思路】（Ⅰ）用待定系数法即可求解；（Ⅱ）△AMC的面积＝S△MHC+S△MHA=12×MH×OA，即可求解；（Ⅲ）点D在直线AC上，设点D（m，−12m+52），由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，进而求解．【解答过程】解：（Ⅰ）令x＝0，则y=52，即C（0，52）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣5）（x+1），将点C的坐标代入上式得：52=a（0﹣5）（0+1），解得a=−1 2，故抛物线的表达式为y=−12（x﹣5）（x+1）=−12x2+2x+52；（Ⅱ）由抛物线的表达式得顶点M（2，92），过点M作MH∥y轴交AC于点H，设直线AC 的表达式为y ＝kx +t ，则{t =520=5k +t， 解得{k =−12t =52， 故直线AC 的表达式为y =−12x +52，当x ＝2时，y =32，则MH =92−32=3，则△AMC 的面积＝S △MHC +S △MHA =12×MH ×OA =12×3×5=152； （Ⅲ）点D 在直线AC 上，设点D （m ，−12m +52），由题意得，四边形OEDF 为矩形，故EF ＝OD ，即当线段EF 的长度最短时，只需要OD 最短即可，则EF 2＝OD 2＝m 2+（−12m +52）2=54m 2−52m +254，∵54＞0，故EF 2存在最小值（即EF 最小），此时m ＝1， 故点D （1，2），∵点P 、D 的纵坐标相同，故2=−12x 2+2x +52，解得x ＝2±√5，故点P 的坐标为（2+√5，2）或（2−√5，2）．【题型5 二次函数中求线段和最值】【例5】（2020秋•安居区期末）如图，在抛物线y ＝﹣x 2上有A ，B 两点，其横坐标分别为1，2，在y 轴上有一动点C ，当BC +AC 最小时，则点C 的坐标是（ ）A ．（0，0）B ．（0，﹣1）C ．（0，2）D ．（0，﹣2）【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A ，B 的坐标，作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点C ，此时BC +AC 最小，由点B 的坐标可得出点B ′的坐标，由点A ，B ′的坐标，利用待定系数法可求出直线AB ′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点C 的坐标．【解答过程】解：当x ＝1时，y ＝﹣12＝﹣1，∴点A 的坐标为（1，﹣1）；当x ＝2时，y ＝﹣22＝﹣4，∴点B 的坐标为（2，﹣4）．作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点C ，此时BC +AC 最小，如图所示．∵点B 的坐标为（2，﹣4），∴点B ′的坐标为（﹣2，﹣4）．设直线AB ′的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将A （1，﹣1），B （﹣2，﹣4）代入y ＝kx +b 得：{k +b =−1−2k +b =−4， 解得：{k =1b =−2， ∴直线AB ′的解析式为y ＝x ﹣2．当x ＝0时，y ＝0﹣2＝﹣2，∴点C 的坐标为（0，﹣2），∴当BC +AC 最小时，点C 的坐标是（0，﹣2）．故选：D ．【变式5-1】（2021•铁岭模拟）如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+px +q 的对称轴为x ＝﹣3，过其顶点M 的一条直线y ＝kx +b 与该抛物线的另一个交点为N （﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P ，使得△PMN 的周长最小，则点P 的坐标为（ ）A ．（0，2）B ．（43，0）C ．（0，2）或（43，0）D ．以上都不正确【解题思路】首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M 的坐标；欲使△PMN 的周长最小，MN 的长度一定，所以只需（PM +PN ）取最小值即可．然后，过点M 作关于y 轴对称的点M ′，连接M ′N ，M ′N 与y 轴的交点即为所求的点P （如图1）；过点M 作关于x 轴对称的点M ′，连接M ′N ，则只需M ′N 与x 轴的交点即为所求的点P （如图2）．【解答过程】解：如图，∵抛物线y ＝﹣x 2+px +q 的对称轴为x ＝﹣3，点N （﹣1，1）是抛物线上的一点， ∴{−p −2=−31=−1−p +q， 解得{p =−6q =−4． ∴该抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣6x ﹣4＝﹣（x +3）2+5，∴M （﹣3，5）．∵△PMN 的周长＝MN +PM +PN ，且MN 是定值，所以只需（PM +PN ）最小．如图1，过点M 作关于y 轴对称的点M ′，连接M ′N ，M ′N 与y 轴的交点即为所求的点P ．则M ′（3，5）．设直线M ′N 的解析式为：y ＝ax +t （a ≠0），则{5=3a +t 1=−a +t， 解得{a =1t =2， 故该直线的解析式为y ＝x +2．当x ＝0时，y ＝2，即P （0，2）．同理，如图2，过点M 作关于x 轴对称的点M ′，连接M ′N ，则只需M ′N 与x 轴的交点即为所求的点P （−43，0）．如果点P 在y 轴上，则三角形PMN 的周长=4√2+MN ；如果点P 在x 轴上，则三角形PMN 的周长=2√10+MN ；所以点P 在（0，2）时，三角形PMN 的周长最小．综上所述，符合条件的点P 的坐标是（0，2）．故选：A ．【变式5-2】（2021•包头）已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）与y 轴交于点C ，点D （4，y ）在抛物线上，E 是该抛物线对称轴上一动点，当BE +DE 的值最小时，△ACE 的面积为 ．【解题思路】解方程x 2﹣2x ﹣3＝0得A （﹣1，0），B （3，0），则抛物线的对称轴为直线x ＝1，再确定C （0，﹣3），D （4，5），连接AD 交直线x ＝1于E ，交y 轴于F 点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时BE +DE 的值最小，接着利用待定系数法求出直线AD 的解析式为y ＝x +1，则F （0，1），然后根据三角形面积公式计算．【解答过程】解：当y ＝0时，x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，则A （﹣1，0），B （3，0）， 抛物线的对称轴为直线x ＝1，当x ＝0时，y ＝x 2﹣2x ﹣3＝﹣3，则C （0，﹣3），当x ＝4时，y ＝x 2﹣2x ﹣3＝5，则D （4，5），连接AD 交直线x ＝1于E ，交y 轴于F 点，如图，∵BE +DE ＝EA +DE ＝AD ，∴此时BE +DE 的值最小，设直线AD 的解析式为y ＝kx +b ，把A （﹣1，0），D （4，5）代入得{−k +b =04k +b =5，解得{k =1b =1， ∴直线AD 的解析式为y ＝x +1，当x ＝1时，y ＝x +1＝2，则E （1，2），当x ＝0时，y ＝x +1＝1，则F （0，1），∴S △ACE ＝S △ACF +S △ECF =12×4×1+12×4×1＝4． 故答案为4．【变式5-3】（2021•涪城区模拟）如图，抛物线y =53x 2−203x +5与x 轴分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C ，在其对称轴上有一动点M ，连接MA 、MC 、AC ，则当△MAC 的周长最小时，点M 的坐标是 ．【解题思路】点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点M ，则点M 为所求点，即可求解．【解答过程】解：点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点M ，则点M 为所求点，理由：连接AC ，由点的对称性知，MA ＝MB ，△MAC 的周长＝AC +MA +MC ＝AC +MB +MC ＝CA +BC 为最小，令y =53x 2−203x +5＝0，解得x ＝1或3，令x ＝0，则y ＝5，故点A 、B 、C 的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，5），则函数的对称轴为x =12（1+3）＝2，设直线BC 的表达式为y ＝kx +b ，则{0=3k +b b =5，解得{k =−53b =5， 故直线BC 的表达式为y =−53x +5，当x ＝2时，y =−53x +5=53，故点M 的坐标为（2，53）． 【题型6 二次函数中求面积最值】【例6】（2020秋•盐城期末）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，过点A 的直线l 交抛物线于点C （2，m ），点P 是线段AC 上一个动点，过点P 做x 轴的垂线交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）当P 在何处时，△ACE 面积最大．【解题思路】（1）利用交点式写出抛物线解析式；（2）先利用二次函数解析式确定C （2，﹣3），再利用待定系数法求出直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣1，设E （t ，t 2﹣2t ﹣3）（﹣1≤t ≤2），则P （t ，﹣t ﹣1），利用三角形面积公式得到△ACE 的面积=12×（2+1）×PE =32（﹣t 2+t +2），然后根据二次函数的性质解决问题．【解答过程】解：（1）抛物线解析式为y ＝（x +1）（x ﹣3），即y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）把C （2，m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3得m ＝4﹣4﹣3＝﹣3，则C （2，﹣3），设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ，把A （﹣1，0），C （2，﹣3）代入得{−m +n =02m +n =−3，解得{m =−1n =−1， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣1；设E （t ，t 2﹣2t ﹣3）（﹣1≤t ≤2），则P （t ，﹣t ﹣1），∴PE ＝﹣t ﹣1﹣（t 2﹣2t ﹣3）＝﹣t 2+t +2，∴△ACE 的面积=12×（2+1）×PE=32（﹣t 2+t +2）=−32（t −12）2+278，当t =12时，△ACE 的面积有最大值，最大值为278，此时P 点坐标为（12，−32）． 【变式6-1】（2021春•金塔县月考）如图，已知抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，﹣2）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC 上方的该抛物线上是否存在一点D ，使得△DCA 的面积最大，若存在，求出点D 的坐标及△DCA 面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据题意设出抛物线的交点式，用待定系数法求解即可；（2）根据题意作出相关辅助线，用待定系数法求得直线AC解析式为y=12x﹣2，因为点D在抛物线上，所以可设其坐标为（x，−12x2+52x﹣2），点E在直线AC上则设点E坐标为（x，12x﹣2），由图形可知S△DCA＝S△DCE+S△DAE，将相关坐标及线段的长度代入求解，再根据二次函数的性质即可得出△DCA面积的最大值．【解答过程】（1）设该抛物线解析式为y＝a（x﹣4）（x﹣1），将点C（0，﹣2）坐标代入解析式得：﹣2＝a（0﹣4）（0﹣1），解得a=−1 2，∴y=−12（x﹣4）（x﹣1）=−12x2+52x﹣2，故该抛物线的解析式为：y=−12x2+52x﹣2，（2）如图，设存在点D在抛物线上，连接AD、CD，过点D作DE⊥x轴且与直线AC交于点E，设直线AC表达式为：y＝kx+b（k≠0），将A（4，0），C（0，﹣2）代入其表达式得：{0=4k+b−2=b，解得{k=12b=−2，∴直线AC：y=12x﹣2，设点D坐标为（x，−12x2+52x﹣2），则点E坐标为（x，12x﹣2），S△DCA＝S△DCE+S△DAE=12×DE×x E+12×DE×（x A﹣x E）=12×DE×x A=12×DE×4＝2DE，∵DE＝（−12x2+52x﹣2）﹣（12x﹣2）=−12x2+2x，∴S△DCA＝2DE＝2×（−12x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴当x＝2时，y=−12x2+52x﹣2═﹣2+5﹣2＝1，即点D坐标为（2，1），此时△DCA的面积最大，最大值为4．【变式6-2】（2021春•无为市月考）如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）若P为直线AB上方的抛物线上一点，且点P的横坐标为m，求四边形BCAP的面积S关于点P横坐标m的函数解析式，并求S的最大值．【解题思路】（1）将点A坐标代入直线解析式可求n的值，可求点B坐标，利用待定系数法可求解；（2）过点P做PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，求得C的坐标和D的坐标，然后根据S＝S△ABC+S △ABP得到S关于m的函数解析式，根据二次函数的性质即可求得结论．【解答过程】解：（1）∵直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），∴0＝﹣3+n，∴n＝3，∴直线解析式为：y＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3，∴点B （0，3），∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A ，B ，∴{c =3−9+3b +c =0， ∴{b =2c =3， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3；（2）如图，过点P 做PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，∵点P 的横坐标为m ，∴点P 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3），∵点D 在直线AB 上，∴点D 的坐标为（m ，﹣m +3），∴PD ＝﹣m 2+2m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ，在y ＝﹣x 2+2x +3中．令y ＝0．则﹣x 2+2x +3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴点C 的坐标为（﹣1，0），∴S ＝S △ABC +S △ABP =12×4×3+12（﹣m 2+3m ）×3=−32（m −32）2+758， ∴当m =32时，S 最大，最大值为758．【变式6-3】（2021春•无棣县月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点．（1）求二次函数解析式；（2）连接PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP 'C ．是否存在点P ，使四边形POP 'C 为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．【解题思路】（1）先根据点C坐标求出c＝﹣3，再将点B坐标代入二次函数解析式中求出b，即可得出结论；（2）连接PP'交y轴于E，根据菱形的性质判断出点E是OC的中点，进而求出点P的纵坐标，最后代入二次函数解析式中求解，即可得出结论；（3）设出点P的坐标，进而利用梯形的面积+三角形的面积得出S四边形ABPC=−32（m−12）2+398，即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c与y轴的交点C（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝x2+bx﹣3，∵点B（3，0）在二次函数图象上，∴9+3b﹣3＝0，∴b＝﹣2，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由：如图1，连接PP'交y轴于E，∵四边形POP'C为菱形，∴PP'⊥OC，OE＝CE=12OC，∵点C（0，﹣3），∴OC＝3，∴OE=3 2，∴E （0，−32），∴点P 的纵坐标为−32，由（1）知，二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3， ∴x 2﹣2x ﹣3=−32，∴x =2−√102或x =2+√102，∵点P 在直线BC 下方的抛物线上，∴0＜x ＜3，∴点P （2+√102，−32）；（3）如图2，过点P 作PF ⊥x 轴于F ，则PF ∥OC ， 由（1）知，二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3， 令y ＝0，则x 2﹣2x ﹣3＝0，∴x ＝﹣1或x ＝3，∴A （﹣1，0），∴设P （m ，m 2﹣2m ﹣3）（0＜m ＜3），∴F （m ，0），∴S 四边形ABPC ＝S △AOC +S 梯形OCPF +S △PFB =12OA •OC +12（OC +PF ）•OF +12PF •BF =12×1×3+12（3﹣m 2+2m +3）•m +12（﹣m 2+2m +3）•（3﹣m ） =−32（m −32）2+758，∴当m =32时，四边形ABPC 的面积最大，最大值为758，此时，P （32，−154），即点P 运动到点（32，−154）时，四边形ABPC 的面积最大，其最大值为758．。
2019年人教版高中数学必修一考点练习：动轴定区间与定轴动区间(含答案解析)
二次函数动轴定区间与定轴动区间问题一、单调性1. 如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a 的取值范围为( )A ．[8，＋∞)B ．(－∞，8]C ．[4，＋∞)D ．[－4，＋∞)2.二次函数y ＝3x 2＋2(m －1)x ＋n 在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数m ＝________.3. 若函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上递减，则实数m 的取值范围为( )A ．(－1,0)B ．[－1,0)C ．(－∞，－1]D ．[－1,0]二、动轴定区间1. 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关2. 求函数在区间上的最小值．()221f x x ax =+-[]0,33. 已知二次函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．4.已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f (x )满足f (－1＋x )＝f (－1－x )，且方程f (x )＝0的两个实根x1，x 2满足|x 1－x 2|＝2.(1)求f (x )的表达式；(2)函数g (x )＝f (x )－kx 在区间[－1,2]上的最大值为f (2)，最小值为f (－1)，求实数k 的取值范围．5. 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．6. 函数．()23f x x ax =++（1）当时，恒成立，求得取值范围；x R ∈()f x a ≥a （2）当时，恒成立，求的取值范围；[]2,2x ∈-()f x a ≥a 三、定轴动区间1. 若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则实数a 的取值集合为( )A ．[－3,3]B ．[－1,3]C ．{－3,3}D ．{－1，－3,3}2. 已知a 是实数，记函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[a ，a ＋1]上的最小值为g (a )，求g (a )的解析式．来源学*科*网四、综合1.已知函数，若对于任意，都有成立，则实数()21f x x mx =+-[],1x m m ∈+()0f x <的取值范围是 ．m 2.若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a >0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1，x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________．参考答案二次函数动轴定区间与定轴动区间问题一、单调性1. 解析：选A 函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝，由题意得≥4，解得a ≥8.a2a22.解析：二次函数y ＝3x 2＋2(m －1)x ＋n 的图象的开口向上，对称轴为直线x ＝－，要使m －13得函数在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则x ＝－＝1，解得m －13m ＝－2.答案：－23. 解析：选D 当m ＝0时，f (x )＝－2x ＋3在R 上递减，符合题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上递减，只需对称轴x ＝≤－1，且m <01m ，解得－1≤m <0，综上，实数m 的取值范围为[－1,0]．二、动轴定区间1. 解析：选B f (x )＝2－＋b ，(x ＋a 2)a 24①当0≤－≤1时，f (x )min＝m ＝f ＝－＋b ，a 2(－a 2)a 24f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b,1＋a ＋b }，∴M －m ＝max 与a 有关，与b 无关；{a 24，1＋a ＋a 24}②当－<0时，f (x )在[0,1]上单调递增，a2∴M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a 有关，与b 无关；③当－>1时，f (x )在[0,1]上单调递减，a2∴M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关．综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关．2.【答案】因为，所以的图像是开口向上的抛物线，对称轴是直()()221f x x a a =+--()f x 线．x a =-如图：当即时，函数在上是增函数，0a -<，0a ≥()f x []0,3所以时，；0x =()min 01f f ==-当时，函数在上先单调递减，在单调递增，03a <-<，30a -<<()f x []0,3所以，即；x a =-()2min 1f f a a =---当时，即时函数在上时减函数，3a ->3a <-()f x []0,3所以时，．3x =()()min 386f x f a ==+综上所述，当时，函数的最小值为；0a ≥()f x 1-当，函数单的最小值为；30a -<<21a --当时，函数的最小值为．a ≤-3()f x 86a +3. 解：(1)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝.1a ①当≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]内，1a ∴f (x )在上递减，在上递增．[0，1a ][1a ，1]∴f (x )min＝f ＝－＝－.(1a )1a 2a 1a②当>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧，1a ∴f (x )在[0,1]上递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(2)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝<0，在y 轴的左侧，1a ∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝Error!4. 解：(1)由f (－1＋x )＝f (－1－x )，可得f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，来源:Z §xx §]设f (x )＝a (x ＋1)2＋h ＝ax 2＋2ax ＋a ＋h (a ≠0)，由函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，可得h ＝－1，根据根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝1＋，ha ∴|x 1－x 2|＝＝ ＝2，x 1＋x 2 2－4x 1x 2－4h a 解得a ＝1，∴f (x )＝x 2＋2x .(2)由题意得函数g (x )在区间[－1,2]上单调递增，又g (x )＝f (x )－kx ＝x 2－(k －2)x .∴g (x )的对称轴方程为x ＝，k －22则≤－1，即k ≤0，故k 的取值范围为(－∞，0]．k －225. 解：f (x )＝2－－a ＋3，令f (x )在[－2,2]上的最小值为g (a )．(x ＋a 2)a 24(1)当－<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，a2∴a ≤.73又a >4，∴a 不存在．(2)当－2≤－≤2，即－4≤a ≤4时，a2g (a )＝f＝－－a ＋3≥0，(－a 2)a 24∴－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，∴－4≤a ≤2.(3)当－>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，∴a ≥－7.a2又a <－4，∴－7≤a <－4.综上可知，a 的取值范围为[－7,2]．6. 【答案】恒成立，即恒成立．()f x a ≥230x ax a ++-≥只需，即∴．()2430a a =--Δ≤24120a a +-≤，6a -≤≤2（2）()2223324a a f x x ax x ⎛⎫=++=++-⎪⎝⎭当即时，由∴22a -<-，4a >()()min 227f x f a =-=-+，27a a -+≥，73a ≤，a ∈∅．当即时，得，∴222a-≤-44a -≤≤()2min 34a f x a =-≥，62a -≤≤．42a-≤≤当，即时，，22a->4a <-()()min 227f x f a ==+由得∴．综上得．27a a +≥，7a ≥-，74a -<-≤[]7,2a ∈-三、定轴动区间1.解析：选C ∵函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2的图象的对称轴为直线x ＝1，f (x )在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，∴当a ≥1时，f (x )min ＝f (a )＝(a －1)2＝4，a ＝－1(舍去)或a ＝3；当a ＋2≤1，即a ≤－1时，f (x )min ＝f (a ＋2)＝(a ＋1)2＝4，a ＝1(舍去)或a ＝－3；当a <1<a ＋2，即－1<a <1时，f (x )min ＝f (1)＝0≠4.故a 的取值集合为{－3,3}．故选C.2. 解：f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[a ，a ＋1]，a ∈R ，对称轴为x ＝1.当a＋1<1，即a<0时，函数图象如图(1)，函数f(x)在区间[a，a＋1]上为减函数，所以最小值为f(a＋1)＝a2＋1；当a≤1≤a＋1，即0≤a≤1时，函数图象如图(2)，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f( 1)＝1；当a>1时，函数图象如图(3)，函数f(x)在区间[a，a＋1]上为增函数，所以最小值为f(a)＝a2－2a＋2.综上可知，g(a)＝Error!四、综合1. 略2.解析：由题意可得，当x∈[t－1，t＋1]时，[f(x)max－f(x)min]min≥8，当[t－1，t＋1]关于对称轴对称时，f(x)max－f(x)min取得最小值，即f(t＋1)－f(t)＝2at＋a＋20≥8，f(t－1)－f(t)＝－2at ＋a－20≥8，两式相加，得a≥8，所以实数a的最小值为8.答案：8。
微专题13 含参数二次函数的最值问题(原卷版)
微专题13 含参数二次函数的最值问题【方法技巧与总结】1、定轴定区间型：即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）；2、动轴定区间型：即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解；3、定轴动区间型：即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论；4、动轴动区间型：即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。
【题型归纳目录】 题型一：定轴定区间型 题型二：动轴定区间型 题型三：定轴动区间型 题型四：动轴动区间型题型五：根据二次函数的最值求参数 【典型例题】 题型一：定轴定区间型例1．（2022·全国·高一专题练习）函数()232f x x x =++在区间[] 55-，上的最大值、最小值分别是（ ） A ．1124-，B ．212，C ．1424-， D ．最小值是14-，无最大值例2．（2022·全国·高一课前预习）函数y ＝x 2－2x ＋2在区间[－2，3]上的最大值、最小值分别是（ ） A ．10，5 B ．10，1 C ．5，1 D ．以上都不对例3．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期中）若二次函数()()()24f x a x x =+-的图像经过点()0,4-，则函数()f x 在[]4,2-上的最小值为___________.例4．（2022·全国·高一专题练习）已知函数242y x x =-+-，当14x ≤≤上时y 的最小值是________例5．（2022·广西南宁·高一期末）已知函数2()25,[1,5]f x x x x =-+∈-．则函数的最大值和最小值之积为______题型二：动轴定区间型例6．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()20f x x mx m =->在区间[]0,2上的最小值为()g m ．（1）求函数()g m 的解析式． （2）定义在()(),00,∞-+∞上的函数()h x 为偶函数，且当0x >时，()()h x g x =．若()()4h t h <，求实数t 的取值范围．例7．（2022·全国·高一单元测试）已知函数2()2(f x x mx m m =-++∈R)．当[1,1]x ∈-时，设()f x 的最大值为M ，则M 的最小值为（ ）A ．14B ．0C ．14-D ．1-例8．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()()2213f x x k x =-++．(1)若函数()f x 为偶函数，求实数k 的值；(2)若函数()f x 在区间[]1,3-上具有单调性，求实数k 的取值范围；(3)求函数()f x 在区间[]22-,上的最小值．例9．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()221f x x mx =++．(1)若1m =，求()f x 在13x -≤≤上的最大值和最小值； (2)求()f x 在22x -≤≤上的最小值；(3)在区间12x -≤≤上的最大值为4，求实数m 的值．例10．（2022·广东湛江·高一期末）已知函数()()f x x x a =-.其中a R ∈，且0a >. (1)求函数()f x 的单调区间； (2)求函数()f x 在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.例11．（2022·上海师大附中高一期末）已知函数2(1)h x ax x=+（常数a R ∈）.(1)当2a =时，用定义证明()y h x =在区间[]1,2上是严格增函数； (2)根据a 的不同取值，判断函数()y h x =的奇偶性，并说明理由；(3)令1()()2f x h x x a x=--+，设()f x 在区间[]1,2上的最小值为()g a ，求()g a 的表达式.例12．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()21f x x x a x R a R =+-+∈∈，，． (1)当1a =时，求函数()f x 的最小值 (2)求函数()f x 的最小值为()g a ．例13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()22f x x x =+，现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．(1)补充完整图象并写出函数()()f x x R ∈的增区间； (2)写出函数()()f x x R ∈的解析式；(3)若函数()()[]()211,2g x f x ax x =-+∈，求函数()g x 的最小值．例14．（2022·安徽·合肥市第十中学高一期中）设函数2()43f x x ax =-+ (1)函数f (x )在区间[1，3]有单调性，求实数a 的取值范围； (2)求函数f (x )在区间[1，3]上的最小值h (a )．题型三：定轴动区间型例15．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()22f x x mx n =++的图象过点(0,1)-，且满足()()12f f -=．(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在[],2a a +上的最小值；例16．（2022·江苏·高一单元测试）二次函数()f x 满足()()12f x f x x +-=且()01f =． (1)求()f x 的解析式；(2)当[]11x ∈-，时，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围．(3)设函数()f x 在区间[]1a a +，上的最小值为()g a ，求()g a 的表达式．例17．（2022·全国·高一期中）已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)2f =，(1)()21f x f x x +-=+.(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[,2]x t t ∈+（R t ∈）时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）．例18．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()222f x x ax =++．(1)当1a =时，求函数()f x 在区间[)23-，上的值域； (2)当1a =-时，求函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值；(3)求()f x 在[]55-，上的最大值与最小值．例19．（2022·江苏南通·高一开学考试）已知关于x 的函数22 4.y x mx =-+ (1)当23x -≤≤时，求函数224y x mx =-+的最大值； (2)当23x -≤≤时，若函数最小值为2，求m 的值．例20．（2022·全国·高一专题练习）已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05，，且()f x 在区间[]2-，4上的最大值是28． (1)求()f x 的解析式；(2)设函数()f x 在[]1x t t ∈+，上的最小值为()g t ，求()g t 的表达式．题型四：动轴动区间型例21．（2022·江苏·楚州中学高一期中）已知函数2()2(0)f x x ax a =-> (1)当2a =时，解关于x 的不等式3()5f x -<<(2)函数()y f x =在[],2t t +的最大值为0，最小值是-4，求实数a 和t 的值．例22．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数2()2(0)f x x ax a =->． (1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值．例23．（2022·四川巴中·高一期中）已知a R ∈，函数()f x x x a =-． (1)设1a =，判断函数()f x 的奇偶性，请说明理由；(2)设0a ≠，函数()f x 在区间(),m n 上既有最大值又有最小值，请分别求出m ，n 的取值范围．（只要写出结果，不需要写出解题过程）例24．（2022·江苏苏州·高一期末）已知函数f （x ）＝x |x ﹣m |＋n . (1)当f （x ）为奇函数，求实数m 的值；(2)当m ＝1，n ＞1时，求函数y ＝f （x ）在[0，n ]上的最大值.例25．（2022·浙江·磐安县第二中学高一开学考试）已知R a ∈，函数()f x x x a =-， (1)当2a =时，写出函数()y f x =的单调递增区间； (2)当2a >时，求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值；(3)设0a ≠，函数()f x 在(),m n 上既有最大值又有最小值，请分别求出,m n 的取值范围（用a 表示）例26．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()2222f x x a x a =-++，()()22228g x x a x a =-+--+．设()()(){}1max ,H x f x g x =，()()(){}2min ,H x f x g x =．记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最大值为B ，则A B -=______．例27．（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）函数()f x x x a =-， (1)若()f x 在R 上是奇函数，求a 的值；(2)当2a =时，求()f x 在区间(0,4]上的最大值和最小值；(3)设0a >，当m x n <<时，函数()f x 既有最大值又有最小值，求m n 、的取值范围（用a 表示）题型五：根据二次函数的最值求参数例28．（2022·全国·高一专题练习）已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴的一个交点为(1,0)-，且经过点(2,)c ．(1)求抛物线与x 轴的另一个交点坐标．(2)当2t x t ≤≤-时，函数的最大值为M ，最小值为N ，若3M N -=，求t 的值．例29．（2022·全国·高一专题练习）若函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[－1，2]上有最大值4，则a 的值为( ) A ．38B ．－3C ．38或－3D ．4例30．（2022·全国·高一课时练习）函数()f x x x a =-在区间()0,1上既有最大值又有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)222,0⎡-⎣ B ．()0,222 C ．2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D ．)222,1⎡⎣例31．（2022·上海交大附中高一阶段练习）已知二次函数[]224,0,y x x x m =-+∈的最小值是3，最大值是4，则实数m 的取值范围是___________.例32．（2022·湖北黄石·高一期末）已知函数21()2f x x x =-+．若()f x 的定义域为[,]m n ，值域为[2,2]m n ，则m n +=__________．【过关测试】 一、单选题1．（2022·甘肃·民勤县第一中学高一阶段练习）有如下命题：①若幂函数()y f x =的图象过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()132f >； ②函数()()110,1x f x a a a -=+>≠的图象恒过定点()1,2； ③函数()1221log f x x x =--有两个零点； ④若函数()224f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[]1,2．其中真命题的序号为（ ）． A ．①②B ．②④C ．①④D ．②③2．（2022·全国·高一专题练习）若函数2()23f x x bx a =-+在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值m ，则M m -（ ）A ．与a 无关，且与b 有关B ．与a 有关，且与b 无关C ．与a 有关，且与b 有关D ．与a 无关，且与b 无关3．（2022·河南·郏县第一高级中学高一开学考试）已知()f x 为奇函数，且当0x >时，2()42f x x x =-+，则()f x 在区间[]4,2--上（ ） A ．单调递增且最大值为2 B ．单调递增且最小值为2 C ．单调递减且最大值为-2D ．单调递减且最小值为-24．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高一期中）已知函数()22f x x x a a =-++在区间[0，2]上的最大值是1，则a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．110,,22⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高一阶段练习）已知函数2y x ax b =++（,R a b ∈）的最小值为0，若关于x 的不等式2x ax b c 的解集为{}|4x m x m <<+，则实数c 的值为（ ） A ．9B ．8C ．6D ．46．（2022·河南·濮阳一高高一期中（理））已知定义域为R 的函数()f x 满足()()13f x f x +=，且当(]01x ∈，时，()()41f x x x =-，则当(]20x ∈-，时，()f x 的最小值为（ ） A ．181-B ．127-C ．19-D ．13-7．（2022·河北省博野中学高一开学考试）已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx +t 2﹣2t +4=0的两个实数根，则（m +2)(n +2）的最小值是（ ）. A ．7B ．11C ．12D ．168．（2022·陕西商洛·高一期末）若函数()2f x x bx c =++满足()10f =，()18f -=，则下列判断错误的是（ ）A ．1b c +=-B ．()30f =C ．()f x 图象的对称轴为直线4x =D ．f （x ）的最小值为－1二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）设函数()21,21,ax x a f x x ax x a -<⎧=⎨-+≥⎩，()f x 存在最小值时，实数a 的值可能是（ ） A ．2B ．-1C ．0D ．110．（2022·全国·高一课时练习）定义在R 上的奇函数()f x 在(),0∞-上的解析式()()1f x x x =+，则()f x 在[)0,∞+上正确的结论是（ ） A ．()00f =B ．()10f =C ．最大值14D ．最小值14-11．（2022·浙江省龙游中学高一期中）已知函数()221f x x mx =-+，则下列结论有可能正确的是（ ）A ．()f x 在区间[]1,2上无最大值B ．()f x 在区间[]1,2上最小值为()f mC ．()f x 在区间[]1,2上既有最大值又有最小值D ．()f x 在区间[]1,2上最大值()1f ，有最小值()2f12．（2022·全国·高一单元测试）若[]()()11,9f x x x =+∈，()22()()g x f x f x =+，那么（ ）A ．()g x 有最小值6B ．()g x 有最小值12C ．()g x 有最大值26D ．()g x 有最大值182三、填空题13．（2022·上海·复旦附中高一开学考试）已知M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线12y x=上，点N 在直线3yx上，设点M 的对称点坐标为(),a b ，则二次函数()2y abx a b x =-++的最小值为______．14．（2022·全国·高一专题练习）已知二次函数22y x x c =-++，当12x -≤≤时，函数的最大值与最小值的差为______15．（2022·全国·高一专题练习）若函数()221f x x ax a =-+-在[0,2]上的最小值为1-．则=a ____．16．（2022·全国·高一专题练习）设函数()2,2,x x a f x x x a ⎧≤=⎨+>⎩，若()f x 有最小值，则a 的取值范围是______． 四、解答题17．（2022·全国·高一专题练习）如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A -，()3,0B ，交y 轴于点C ．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)当1m x m -≤≤时，函数23y ax bx =+-有最小值2m ，求m 的值．18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()2y x x a =-+，其中R a ∈． (1)若函数的图象关于直线1x =对称，求a 的值； (2)试述函数值的变化趋势及函数的最大值或最小值．19．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()221f x x mx =++．(1)若1m =，求()f x 在[]13，-上的最大值和最小值； (2)若()f x 在[]22-，为单调函数，求m 的值； (3)在区间[]12-，上的最大值为4，求实数m 的值．20．（2022·江西省铜鼓中学高一阶段练习）二次函数()()2210g x mx mx n m =-++>在区间[]0,3上有最大值4，最小值0.(1)求函数()g x 的解析式；(2)设()()(2)f x g x a x =+-，且()f x 在[1,2]-的最小值为3-，求a 的值.1121．（2022·全国·高一课前预习）（1）已知函数2()21f x ax ax =++在区间[-1，2]上最大值为4，求实数a 的值；（2）已知函数2()22f x x ax =-+，x ∈[-1，1]，求函数()f x 的最小值．22．（2022·天津市武清区杨村第一中学高一期末）已知函数()22f x x mx n =++的图象过点()1,1-，且满足()()23f f -=．(1)求函数()f x 的解析式：(2)求函数()f x 在[],2a a +上的最小值；(3)若0x 满足()00f x x =，则称0x 为函数()y f x =的不动点，函数()()g x f x tx t =-+有两个不相等且正的不动点，求t 的取值范围．。
拓展培优 含参数的二次函数最值问题
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类型一 动轴定区间 [典例1] 已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x ∈ [－1，1]，求函数f(x)的最小值 和最大值． [解] f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2，x∈[－1，1]．当a≥1时，函数 f(x)的图象如图(1)中实线所示，函数f(x)在区间[－1，1]上是减函数，最小值为 f(1)＝3－2a；最大值为f(－1)＝1＋2a＋2＝3＋2a. 当0≤a<1时，函数f(x)的图象如图(2)中实线所示，函数f(x)在区间[－1，a) 上单调递减，在区间(a，1]上单调递增，最小值为f(a)＝2－a2；
(1)
Байду номын сангаас
(2)
(3)
(4)
6
3－2a，a≥1，
综上所述，f(x)min＝2－a2，－1<a<1， 3＋2a，a≤－1.
f(x)max＝33－＋22aa，，aa<≥00. ，
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类型二 定轴动区间 [典例2] (2022·九江市高一期中测试)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t ＋1]，t∈R的最小值为g(t)，求g(t)的函数表达式． [解] f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R.当t＋1<1，即t<0 时，函数f(x)的图象如图(1)中实线所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数， 所以最小值g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数f(x)的图象 如图(2)中实线所示，最小值g(t)＝f(1)＝1；当t>1时，函数f(x)的图象如图(3)中 实线所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值g(t)＝f(t)＝t2－2t ＋2.
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专题三 微切口9 动态二次函数问题— 动轴定区间、定轴动区间
①当a＋2 1≤a，即a≥1时，－a＋2 1＜0且1－2 a≤0， g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
所以g(x)min＝g(0)＝a＋1；
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二轮提优导学案 ·数学
专题三 不等式
②当a＋2 1＞a，即0＜a＜1时，－a＋2 1＜0且1－2 a＞0，
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专题三 不等式
二轮提优导学案 ·数学
③当a＜0时， (i) 当a3≤－1，即a≤－3时，f (x)在[－1,0]上单调递增， 所以f (x)min＝f (－1)＝3＋2a＋a2； (ii) 当a3＞－1，即－3＜a＜0时，f (x)min＝f a3＝23a2.
1－2a－a2，a≥1， －2a2，0≤a＜1， 综上，f (x)min＝23a2，－3＜a＜0， 3＋2a＋a2，a≤－3.
所以g(x)min＝f (a)＝2a2＋1. a＋1，a≥1，
综上，g(x)min＝－a2＋46a＋3，13≤a＜1， 2a2＋1，0＜a＜13.
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二轮提优导学案 ·数学
专题三 不等式
(2019·张家港中学)已知函数f (x)＝2x2＋(x－a)|x－a|(a∈R)． (1) 若对任意的x∈[a，＋∞)，不等式f (x)≥2恒成立，求实数a的取值范围；
二轮提优导学案 ·数学
专题三 不等式
专题三 不等式 微切口9 动态二次函数问题 — 动轴定区间、定轴动区间
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二轮提优导学案 ·数学
专题三 不等式
已知函数f (x)＝ax2－2x＋1. (1) 若13≤a≤1，且f (x)在[1,3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)＝M(a)－ N(a)，求g(a)的表达式； 【思维引导】
二次函数求最值动轴定区间动区间定轴
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15
f(x) min =f(k)=k 2-2k-3
4
6
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10
例: 求函数y=x 2-2x-3 在x∈[k,k+2]时的最值
4
2 x=1 k+2
k
2
4
x=1
2
k
5
k+2
10
2
4
x=1
2
k k+2
5
15
10
5
2
6
4
2 x=1
15
k 10
k+2 5
2
4
4
4
4
当k ≤-1时 6
f(x)
max
=f(k)=k
?
?
练习：已知函数f(x)= x2–2x –3. （1）若x∈[ –2，0 ], 求函数f(x)的最值；
解：画出函数在定义域内的图像如图
6
对称轴为直线 x=1
由图知， y=f(x) 在[ –2，0 ]上为减函数 故x=-2时有最大值 f(-2)=5
4
x=1
2
x=0时有最小值 f(0)=-3
0
5
-2
二次函数在闭区间上的最值问题 动轴定区间、动区间定轴
练习：已知函数f(x)= x2 –2x – 3
（1）若x∈ [–2，0]，求函数f(x)的最值；
（2）若x∈ [ 2，4 ]，求函数 f(x)的最值；
（3）若x∈ [ 1 , 5 ]，求函数 f(x)的最值；
2
（4）若x∈[?
12 ,
2
3 2
]，求函f(数x)的最值；
2
4
6
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3. （1）若x∈[ –2?? ，0 ]，求函数f(x)的最值； （2）若x∈[2 ，4 ]，求函数f(x)的最值；
专题07 二次函数的最值问题-九年级数学上册(解析版)
专题07二次函数的最值问题考点1：定轴动区间；考点2：动轴定区间。
1．在二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3中，当0≤x ≤3时，y 的最大值和最小值分别是（）A ．0，﹣4B ．0，﹣3C ．﹣3，﹣4D ．0，0解：抛物线的对称轴是直线x ＝1，则当x ＝1时，y ＝1﹣2﹣3＝﹣4，是最小值；当x ＝3时，y ＝9﹣6﹣3＝0是最大值．答案：A ．2．（易错题）已知二次函数y ＝a （x ﹣1）2﹣a （a ≠0），当﹣1≤x ≤4时，y 的最小值为﹣4，则a 的值为（）A ．12或4B ．43或−12C ．−43或4D ．−12或4解：y ＝a （x ﹣1）2﹣a 的对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为（1，﹣a ），当a ＞0时，在﹣1≤x ≤4，函数有最小值﹣a ，∵y 的最小值为﹣4，∴﹣a ＝﹣4，∴a ＝4；当a ＜0时，在﹣1≤x ≤4，当x ＝4时，函数有最小值，∴9a ﹣a ＝﹣4，解得a =−12；综上所述：a 的值为4或−12，答案：D．3．（易错题）当a ≤x ≤a +1时，函数y ＝x 2﹣2x +1的最小值为1，则a 的值为（）A ．﹣1B ．2C ．0或2D ．﹣1或2解：当y ＝1时，有x 2﹣2x +1＝1，解得：x 1＝0，x 2＝2．题型01定轴动区间∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a＝2或a+1＝0，∴a＝2或a＝﹣1，答案：D．4．已知函数y＝﹣3（x﹣2）2+4，当x＝2时，函数取得最大值为4．解：∵y＝﹣3（x﹣2）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（2，4），又∵a＝﹣3＜0，∴抛物线的开口向下，顶点是它的最高点，∴x＝2时，函数有最大值为4．答案：2，4．5．若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝9．解：原式可化为y＝（x﹣3）2﹣4，可知函数顶点坐标为（3，﹣4），当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，即（x﹣1）（x﹣5）＝0，解得x1＝1，x2＝5．如图：m＝﹣4，当x＝6时，y＝36﹣36+5＝5，即M＝5．则M﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．6．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（1）若a＝1，则函数y的最小值为﹣1．（2）若当1≤x≤4时，y的最大值是4，则a的值为43或﹣4．解：（1）当a＝1时，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1∵a＝1＞0∴抛物线的开口向上，当x＝2时，函数y的最小值为﹣1．（2）∵二次函数y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a∴抛物线的对称轴是直线x＝2，∵1≤x≤4，∴当a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴直线x＝2右侧y随x的增大而增大，当x＝4时y有最大值，a×（4﹣2）2﹣a＝4，解得a=43，当a＜0时，抛物线开口向下，x＝2时y有最大值，a×（2﹣2）2﹣a＝4，解得a＝﹣4．答案：（1）﹣1；（2）43或−4．7．（易错题）设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．（1）函数y＝﹣x2+4x﹣2在区间[0，5]上的最小值是﹣7（2）求函数=(+12)2+34在区间[0，32]上的最小值．（3）求函数y＝x2﹣4x﹣4在区间[t﹣2，t﹣1]（t为任意实数）上的最小值y min的解析式．解：（1）y＝﹣x2+4x﹣2其对称轴为直线为x＝2，顶点坐标为（2，2），函数图象开口向下．如图1所示：当x＝5时，函数有最小值，最小值为﹣7．答案：﹣7．（2）=(+12)2+34，其对称轴为直线=−12，顶点坐标(−12，34)，且图象开口向上．其顶点横坐标不在区间[0，32]内，如图2所示：当x＝0时，函数y有最小值m=1．（3）将二次函数配方得：y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8其对称轴为直线：x＝2，顶点坐标为（2，﹣8），图象开口向上若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]左侧，则2＜t﹣2，即t＞4．当x＝t﹣2时，函数取得最小值：m=(−4)2−8=2−8+8若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]上，则t﹣2≤2≤t﹣1，即3≤t≤4．当x＝2时，函数取得最小值：y min＝﹣8若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]右侧，则t﹣1＜2，即t＜3．当x＝t﹣1时，函数取得最小值：m=(−3)2−8=2−6+1综上讨论，得m=2−8+8(＞4)−8(3≤≤4)2−6+1(＜3)．8．（易错题）已知二次函数y ＝﹣x 2+6x ﹣5．（1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）当1≤x ≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？（3）当t ≤x ≤t +3时，函数的最大值为m ，最小值为n ，若m ﹣n ＝3，求t 的值．解：（1）∵y ＝﹣x 2+6x ﹣5＝﹣（x ﹣3）2+4，∴顶点坐标为（3，4）；（2）∵a ＝﹣1＜0，∴抛物线开口向下，∵顶点坐标为（3，4），∴当x ＝3时，y 最大值＝4，∵当1≤x ≤3时，y 随着x 的增大而增大，∴当x ＝1时，y 最小值＝0，∵当3＜x ≤4时，y 随着x 的增大而减小，∴当x ＝4时，y 最小值＝3．∴当1≤x ≤4时，函数的最大值为4，最小值为0；（3）当t ≤x ≤t +3时，对t 进行分类讨论，①当t +3＜3时，即t ＜0，y 随着x 的增大而增大，当x ＝t +3时，m ＝﹣（t +3）2+6（t +3）﹣5＝﹣t 2+4，当x ＝t 时，n ＝﹣t 2+6t ﹣5，∴m ﹣n ＝﹣t 2+4﹣（﹣t 2+6t ﹣5）＝﹣6t +9，∴﹣6t +9＝3，解得t ＝1（不合题意，舍去），②当0≤t ＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，∴m ＝4，i ）当0≤t ≤32时，在x ＝t 时，n ＝﹣t 2+6t ﹣5，∴m ﹣n ＝4﹣（﹣t 2+6t ﹣5）＝t 2﹣6t +9，∴t2﹣6t+9＝3，解得t1＝3−3，t2＝3+3（不合题意，舍去）；ii）当32＜t＜3时，在x＝t+3时，n＝﹣t2+4，∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+4）＝t2，∴t2＝3，解得t1=3，t2=−3（不合题意，舍去），③当t≥3时，y随着x的增大而减小，当x＝t时，m＝﹣t2+6t﹣5，当x＝t+3时，n＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，.m﹣n＝﹣t2+6t﹣5﹣（﹣t2+4）＝6t﹣9，∴6t﹣9＝3，解得t＝2（不合题意，舍去），综上所述，t＝3−3或3．9．已知二次函数y＝ax2+4x+a﹣1的最小值为2，则a的值为（）A．3B．﹣1C．4D．4或﹣1解：∵二次函数y＝ax2+4x+a﹣1有最小值2，∴a＞0，y最小值=4a−24=4oK1)−424=2，整理，得a2﹣3a﹣4＝0，解得a＝﹣1或4，∵a＞0，∴a＝4．答案：C．10．设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（）A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣aB．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2aC．当k＝4时，函数y的最小值为﹣aD．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a题型02动轴定区间解：令y＝0，则（x﹣m）（x﹣m﹣k）＝0，∴x1＝m，x2＝m+k，∴二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）与x轴的交点坐标是（m，0），（m+k，0），∴二次函数的对称轴是：=1+22=rr2=2r2，∵a＞0，∴y有最小值，当=2r2时y最小，即=o2r2−p(2r2−−p=−24，当k＝2时，函数y的最小值为=−224=−；当k＝4时，函数y的最小值为=−424=−4，答案：A．11．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5B．最大值154C．最小值5D．最小值154解：由题意可得：6＝m2﹣m，解得：m1＝3，m2＝﹣2，∵二次函数y＝x2+mx+m2﹣m，对称轴在y轴左侧，∴m＞0，∴m＝3，∴y＝x2+3x+6，∴二次函数有最小值为：4a−24=4×1×6−324×1=154．答案：D．12．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（）A．32B．2C．32或2D．−32或2解：y＝x2﹣2mx＝（x﹣m）2﹣m2，①若m＜﹣1，当x＝﹣1时，y＝1+2m＝﹣2，解得：m=−32；②若m＞2，当x＝2时，y＝4﹣4m＝﹣2，解得：m=32＜2（舍）；③若﹣1≤m≤2，当x＝m时，y＝﹣m2＝﹣2，解得：m=2或m=−2＜−1（舍），∴m的值为−32或2，答案：D．13．（易错题）当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝x2+2kx+1的最小值是﹣1，则k的值可能是32或−解：对称轴：x=−22=−k，分三种情况讨论：①当﹣k＜﹣1时，即k＞1时，此时﹣1≤x≤2在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，＝（﹣1）2+2k×（﹣1）+1＝﹣1，∴当x＝﹣1时，y有最小值，y小k=32，②当﹣1≤﹣k≤2时，即﹣2≤k≤1，对称轴在﹣1≤x≤2内，此时函数在﹣1≤x≤﹣k，y随x的增大而减小，在﹣k≤x≤2时，y随x的增大而增大，＝（﹣k）2+2k•（﹣k）+1＝﹣1，∴当x＝﹣k时，y有最小值，y小k2﹣2k2+2＝0，k2﹣2＝0，k=±2，∵﹣2≤k≤1，∴k=−2，③当﹣k＞2时，即k＜﹣2，此时﹣1≤x≤2在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，∴当x＝2时，y有最小值，y＝22+2k×2+1＝﹣1，小k=−32（舍），综上所述，k的值可能是32或−2，答案：32或−2．14．已知y＝﹣x（x+3﹣a）是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，若y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是a≤5．解：第一种情况：当二次函数的对称轴不在1≤x≤5内时，此时，对称轴一定在1≤x≤5的左边，函数方能在这个区域取得最大值，x=K32＜1，即a＜5，第二种情况：当对称轴在1≤x≤5内时，对称轴一定是在顶点处取得最大值，即对称轴为x＝1，∴K32=1，即a＝5综合上所述a≤5．答案：a≤5．15．（易错题）已知二次函数y＝x2﹣2hx+h，当自变量x的取值在﹣1≤x≤1的范围中时，函数有最小值n，则n的最大值是14．解：二次函数y＝x2﹣2hx+h图象的对称轴为直线x＝h．当h≤﹣1时，x＝﹣1时y取最小值，此时n＝1+2h+h＝1+3h≤﹣2；当﹣1＜h＜1时，x＝h时y取最小值，此时n＝h2﹣2h2+h＝﹣h2+h＝﹣（h−12）2+14≤14；当h≥1时，x＝1时y取最小值，此时n＝1﹣2h+h＝1﹣h≤0．综上所述：n的最大值为14．答案：14．16．（易错题）已知二次函数y＝x2﹣2x+2在t≤x≤t+1时的最小值是t，则t的值为1或2．解：y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，分类讨论：（1）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1右侧时，有t+1＜1，即t＜0，此时y随x的增大而减小，＝t＝（t+1）2﹣2（t+1）+2，∴当x＝t+1时，函数取得最小值，y最小值方程无解．（2）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1内时，即有t≤1≤t+1，＝1，解这个不等式，即0≤t≤1．此时当x＝1时，函数取得最小值，y最小值∴t＝1．（3）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1左侧时，即t＞1时，y随x的增大而增大，＝t＝t2﹣2t+2，解得t＝2或1（舍弃），∵当x＝t时，函数取得最小值，y最小值∴t＝1或2．答案：1或2．17．已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，得b＝﹣6，c＝﹣3．（2）∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，又∵﹣4≤x≤0，∴当x＝﹣3时，y有最大值为6．（3）①当﹣3＜m≤0时，当x＝0时，y有最小值为﹣3，当x＝m时，y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3，∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2，∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．②当m≤﹣3时，当x＝﹣3时y有最大值为6，∵y的最大值与最小值之和为2，∴y最小值为﹣4，∴﹣（m+3）2+6＝﹣4，∴m=−3−10或m=−3+10（舍去）．综上所述，m＝﹣2或−3−10．18．（易错题）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）．（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，求二次函数的最小值；（Ⅱ）当c＝5时，若在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；（Ⅲ）当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．解：（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴当x＝﹣1时，二次函数取得最小值﹣4；（Ⅱ）当c＝5时，二次函数的解析式为y＝x2+bx+5，由题意得，x2+bx+5＝1有两个相等是实数根，∴△＝b2﹣16＝0，解得，b1＝4，b2＝﹣4，∴二次函数的解析式y＝x2+4x+5，y＝x2﹣4x+5；（Ⅲ）当c＝b2时，二次函数解析式为y＝x2+bx+b2，图象开口向上，对称轴为直线x=−2，①当−2＜b，即b＞0时，在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，∴当x＝b时，y＝b2+b•b+b2＝3b2为最小值，∴3b2＝21，解得，b1=−7（舍去），b2=7；②当b≤−2≤b+3时，即﹣2≤b≤0，∴x=−2，y=34b2为最小值，∴34b2＝21，解得，b1＝﹣27（舍去），b2＝27（舍去）；③当−2＞b+3，即b＜﹣2，在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，故当x＝b+3时，y＝（b+3）2+b（b+3）+b2＝3b2+9b+9为最小值，∴3b2+9b+9＝21．解得，b1＝1（舍去），b2＝﹣4；∴b=7时，解析式为：y＝x2+7x+7b＝﹣4时，解析式为：y＝x2﹣4x+16．综上可得，此时二次函数的解析式为y＝x2+7x+7或y＝x2﹣4x+16．。
高中数学轴定区间动 轴动区间定专题辅导
轴定区间动轴动区间定 祁正红二次函数在闭区间上的最值分为两种情况，一种是轴定区间动，另一种是轴动区间定，不论哪种情况，都可分为对称轴在区间左侧，在区间内，在区间右侧三种情况来分类讨论，下面利用数形结合给出)0a (c bx ax y 2≠++=在[m ，n]上的最值。
只讨论0a >的情形。
（1）对称轴在区间左侧，即m a2b <-时，)m (f y ),n (f y min max ==。
（2）对称轴在区间内，即n a2b m ≤-≤时，)a 2b (f y )},n (f ),m (f max{y min max -== （3）对称轴在区间右侧，即n a 2b >-时，)n (f y ),m (f y min max == 一、轴定区间动设二次函数1x 4x )x (f 2--=在[t ，t+2]上的最小值为)t (g ，试求函数)t (g y =的最小值。
解：5)2x (1x 4x )x (f 22--=--=的图像对称轴方程为2x =，图像开口向上。
（1）当5)2(f )t (g ,2t 0,2t 2t ],2t ,t [2-==≤≤+≤≤+∈时也就是即；（2）当2t >时，对称轴在]2t ,t [+左侧，]2t ,t [)x (f +在上是增函数，故1t 4t )t (f )t (g 2--==；（3）当22t <+时，即]2t ,t [)x (f ,0t +<在时上是减函数，5t 1)2t (4)2t ()2t (f )t (g 22-=-+-+=+=。
综合上面讨论，)t (g 的解析式为：⎪⎩⎪⎨⎧<-≤≤->--=)0t (,5t )2t 0(,5)2t (,1t 4t )t (g 22 所以5)t (g -最小值为。
二、轴动区间定已知函数1ax 2x )x (f 2++=在区间]2,1[-上最大值为4，求a 的值。
解：222a 1)a x (1ax 2x )x (f -++=++=。
定轴动区间和动轴定区间经典例题
定轴动区间和动轴定区间经典例题示例文章篇一：哎呀，我是小学生，根本不懂什么定轴动区间和动轴定区间呀，这题目对我来说简直像外星人的语言一样！老师讲的时候，我就感觉自己像是在迷雾中打转。
就说那堂课吧，老师在黑板上写了一堆奇怪的符号和式子，还不停地说着什么区间的变化。
我瞅瞅同桌，他也是一脸懵。
我小声问他：“你听懂了吗？”他摇摇头，皱着眉说：“这都啥呀，比玩游戏过最难的关卡还让人头疼！”老师看我们一脸迷茫，就举了个例子。
说假如有一根数轴，就像我们跑步的跑道，定轴呢，就是这跑道固定不变啦，动区间就像是在跑道上跑来跑去的人。
可我心里想，这人和跑道和数学有啥关系呀？后来老师又说动轴定区间，这时候就好像跑道自己会伸缩变化，而那个人的活动范围却是固定的。
我忍不住在心里嘀咕：“这也太复杂了吧，难道不能简单点吗？”再看看周围的同学，有的咬着笔头，有的抓耳挠腮。
我心想：“大家都这么苦恼，难道就只有我觉得难吗？”等到做练习题的时候，我看着题目，感觉那些数字和符号都在嘲笑我：“哼，你不会做吧！”我急得满头大汗，不停地在草稿纸上乱画。
等到老师讲练习题的时候，我才稍微明白了一点。
可我还是不确定自己是不是真的懂了。
我觉得吧，学这个定轴动区间和动轴定区间就像是爬山，好不容易爬了一段，以为看到希望了，结果前面还有更高更难爬的地方。
但我可不会轻易放弃，我一定要把这座“数学山”给征服！示例文章篇二：哎呀呀，这“定轴动区间和动轴定区间”对我这个小学生来说，简直就像宇宙里神秘的黑洞，让人摸不着头脑呢！就拿这样一道题来说吧：已知函数f(x) = x² - 2x + 3，x 属于[a, a + 2]，求函数在这个区间上的最值。
这可把我难坏啦！老师在课堂上讲的时候，我瞪大眼睛，竖起耳朵，心里不停地想：“这到底是啥呀？”老师说：“同学们，我们先来看看这个函数的图像，它就像一个开口向上的抛物线，是不是很漂亮呀？” 同学们都点头，可我还是一脸懵。
专题二次函数含参数最值问题(解析版)
培优专题01 二次函数含参数最值问题【题型目录】题型一：定轴动区间问题题型二：定区间动轴问题题型三：含绝对值二次函数问题题型四：定义域为[]n m ,，值域为[]kn km ,求参数问题题型五：二次函数值域包含性问题【典型例题】题型一：定轴动区间问题【例1】已知二次函数满足2()(0)f x ax bx c a =++≠，满足(1)()21f x f x x +-=-，且(0)0f =．(1)求()f x 的解析式；(2)当[]()2R x t t t ∈+∈,时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）． 【答案】(1)()22f x x x =-(2)()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩【分析】（1）由题意可得0c ，再代入(1)()21f x f x x +-=-到2()(0)f x ax bx a =+≠，化简可求出,a b ，从而可求出()f x 的解析式.（2）求出抛物线的对称轴，然后分1,21t t ≥+≤和11t t <<+三种情况求解函数的最小值.【详解】（1）因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)0f =，(1)()21f x f x x +-=-，所以0c ，()()221121221a x b x ax bx x ax a b x +++--=-⇒++=-，所以221a a b =⎧⎨+=-⎩ ，得12a b =⎧⎨=-⎩. 所以()22f x x x =-.（2）()22f x x x =-是图象的对称轴为直线1x =，且开口向上的二次函数.当1t ≥时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递增，则()()2min 2f x f t t t ==-；当21t +≤即1t ≤-时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递减，则()()()()22min 22222f x f t t t t t =+=+-+=+；当11t t <<+，即11t -<<时，()()()2min 11211f x f ==-=-；综上所述()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩. 【例2】已知定义在R 上的函数()f x ，满足()226f x x x -=--．(1)求()f x 的解析式．(2)若()f x 在区间[]0,m 上的值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，写出实数m 的取值范围（不必写过程）． (3)若()f x 在区间[],2t t +上的最小值为6，求实数t 的值． 【答案】(1)()234f x x x =--；(2)332m ≤≤；(3)4t =-或5t =． 【分析】（1）利用换元法即得；（2）由题可得()232524f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，可得函数的最小值()254f x =-，结合条件进而即得； （3）分类讨论结合二次函数的性质即得.（1）∵()226f x x x -=--，令2u x =-，则2x u =-，∵()()()222226442634f u u u u u u u u =----=-+-+-=--，所以()234f x x x =--； （2）∵()2299325344424f x x x x ⎛⎫=-+--=-- ⎪⎝⎭， ∵当32x =时，32524f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 当()4f x =-时，2434x x -=--，解得：0x =或3x =，∵()f x 在区间[]0,m 上的值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， ∵332m ≤≤；（3）∵()234f x x x =--，对称轴为32x =， 当322t +<时，则21t <-，函数在[],2t t +上单调递减， 当2x t =+时，函数的最小值()()()2223246f t t t +=+-+-=，解得4t =-或3t =（舍）；当322t t ≤≤+时，则1322t -≤≤， 则此时，当32x =时，函数的最小值()2564f x =-≠，不符合题意； 当32t >时，函数在[],2t t +上单调递增， 当x t =时，()2346f t t t =--=，解得：2t =-或5t =，∵32t >， ∵2t =-（舍），故5t =；综上：4t =-或5t =．【例3】对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使得00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，已知函数2()(2)4f x ax b x =+++的两个不动点分别是-2和1.(1)求,a b 的值及()f x 的表达式；(2)当函数()f x 的定义域是[,1]t t +时，求函数()f x 的最大值()g t .【答案】(1)23a b =-⎧⎨=-⎩，()224f x x x =--+ (2)()225251,43351,844124,4t t t g t t t t t ⎧--+≤-⎪⎪⎪=-<≤-⎨⎪⎪--+>-⎪⎩【分析】（1）根据不动点可列方程求解,a b ，（2）分类讨论定义域与对称轴的位置关系，结合二次函数的单调性即可求解.（1）依题意得()()2211f f -=-⎧⎪⎨=⎪⎩，即()42242241a b a b ⎧-++=-⎨+++=⎩ ， 解得23a b =-⎧⎨=-⎩. ()224f x x x ∴=--+.（2）∵当区间[],1t t +在对称轴14x =-左侧时，即114t +≤-，也即54t ≤-时，()f x 在[],1t t +单调递增，则最大值为()21251f t t t +=--+；∵当对称轴14x =-在[],1t t +内时，即114t t <-<+也即5144t -<<-时，()f x 的最大值为13348f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ∵当[],1t t +在14x =-右侧时，即14t ≥-时，()f x 在[],1t t +单调递减，则最大值为()224f t t t =--+. 所以()225251,43351,844124,4t t t g t t t t t ⎧--+≤-⎪⎪⎪=-<≤-⎨⎪⎪--+>-⎪⎩. 【例4】已知函数()f x 为二次函数，不等式()0f x >的解集是1,5，且()f x 在区间[1,4]-上的最小值为12-.(1)求()f x 的解析式；(2)设函数()f x 在[,1]t t +上的最大值为()g t ，求()g t 的表达式.【答案】(1)()265f x x x =-+-(2)()224,24,2365,3t t t g t t t t t ⎧-+≤⎪=<<⎨⎪-+-≥⎩【分析】（1）根据题意，设()()1(5)f x a x x =--，可得函数的对称轴3x =，再根据函数在[]1,4-上的最小值，求出a ，可得函数()f x 数的表达式；（2）分13t +时、3t 时和23t <<时三种情况，分别讨论函数的单调性，可得相应情况下函数的最大值，最后综合可得()g t 的表达式．(1)解：因为不等式()0f x >的解集是()1,5，所以()0f x =的两根为1和5，且函数开口向下，故可设()()()15f x a x x =--()0a <，所以函数的对称轴为1532x +==，所以当[]1,4x ∈-时，()()min 11212f x f a =-==-，解得1a =-，故()()()15f x x x =---，即()265f x x x =-+-(2)解：因为()()226534f x x x x =-+-=--+，当13t +≤时，即2t ≤时，()f x 在[],1t t +上单调递增，所以 ()()214g t f t t t =+=-+，当31t t <<+时，即23t <<时，()f x 在[],3t 上单调递增，在(]3,1t +上单调递减，所以()()34g t f ==；当3t ≥时，()f x 在[],1t t +上单调递减，所以()()265g t f t t t ==-+-；综合以上得()224,24,2365,3t t t g t t t t t ⎧-+≤⎪=<<⎨⎪-+-≥⎩【例1】已知函数2()f x x mx m =-+-.(1)若函数()f x 在[]1,0-上单调递减，求实数m 的取值范围；(2)若当1x >时，()4f x <恒成立，求实数m 的取值范围；(3)是否存在实数m ，使得()f x 在[]2,3上的值域恰好是[]2,3？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)2m ≤-；(2)()225-∞+，；(3)存在，6m =. 【分析】（1）根据对称轴和区间端点的相对位置即可求得m 的取值范围.（2）分类讨论当1x >时函数的最大值小于4恒成立即可求得m 的取值范围.（3）分类讨论得函数的值域结合已知条件求得m 的值.【详解】（1）函数()f x 图象开口向下且对称轴是2m x =，要使()f x 在[1,0]-上单调递减，应满足12-≤m ，解得2-≤m .（2）函数()f x 图象的对称轴是2m x =. 当12m ≤时，()4f x <恒成立，故()114f =-<，所以2m ≤； 当12m >时，()4f x <恒成立，故22244160242m m m f m m m ⎛⎫=-+-<⇒--< ⎪⎝⎭； 所以2225m <<+综上所述：m 的取值范围()225-∞+， （3）当22≤m ，即4≤m 时，()f x 在[2,3]上递减， 若存在实数m ，使()f x 在[2,3]上的值域是[2,3]，则(2)3,(3)2,f f =⎧⎨=⎩即423,932,m m m m -+-=⎧⎨-+-=⎩，此时m 无解. 当32≥m ，即6≥m 时，()f x 在[2,3]上递增，则(2)2,(3)3,f f =⎧⎨=⎩即422,933,m m m m -+-=⎧⎨-+-=⎩解得6m =. 当232m <<，即46m <<时，()f x 在[2,3]上先递增，再递减，所以()f x 在2m x =处取得最大值，则23222m m m f m m ⎛⎫⎛⎫=-+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2m =-或6，舍去. 综上可得，存在实数6m =，使得()f x 在[2,3]上的值域恰好是[2,3].【例2】已知二次函数()2f x ax bx c =++的图象过点()0,3，且不等式20ax bx c ++≤的解集为{}13x x ≤≤.(1)求()f x 的解析式：(2)若()()()24g x f x t x =--在区间[]1,2-上有最小值2，求实数t 的值.【答案】(1)()243f x x x =-+；(2)1±【分析】（1）根据题意得()30f c ==，又由一元二次不等式的解可知，1和3是方程230ax bx ++=的两根，利用根与系数的关系即可求参数，写出解析式；（2）由二次函数的开口及对称轴，结合其在闭区间上的最小值，讨论t ≤−1、−1＜t ＜2、t ≥2三种情况下求符合条件的t 值即可．（1）由题意可得：()30f c ==∵不等式230ax bx ++≤的解集为{}13x x ≤≤，则230ax bx ++=的两根为1,3，且0a >∵=43=3b a a -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得=1=4a b -⎧⎨⎩故()243f x x x =-+（2）由（1）可得()()()22423g x f x t x x tx =--=-+的对称轴为=x t当1t ≤-时，则()g x 在[]1,2-上单调递增∵()()1242g x g t ≥-=+=，则1t =-当12t -<<时，则()g x 在[]1,t -上单调递减，在(],2t 上单调递增∵()()232g x g t t ≥=-=，则=1t 或1t =-（舍去）当2t ≥时，则()g x 在[]1,2-上单调递减∵()()2742g x g t ≥=-=，则54t =（舍去）综上所述：实数t 的值为1±.【例3】已知函数2()f x x ax b =++．(1)若函数()f x 在(1,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若不等式()0f x ≤的解集为{|02}x x ≤≤，求,a b 的值；(3)若1b =时，求[0,3]x ∈时()f x 的最小值()g a ． 【答案】(1)[2,)-+∞；(2)2a =-，0b =；(3)21,0()1,604103,6a a g a a a a ≥⎧⎪⎪=--<<⎨⎪+≤-⎪⎩ 【分析】（1）根据函数()f x 的对称轴为2a x =-，且在(1,)+∞上是增函数，可得12a -≤，由此求得a 的范围； （2）由题意得0，2是方程的两个实数根，利用一元二次方程根与系数的关系，求出,ab 的值； （3）根据()f x 的对称轴和区间的关系分类讨论，根据函数的单调性求得()g a ．（1）∵函数2()f x x ax b =++的对称轴为2a x =-，且()f x 在(1,)+∞上是增函数， ∵12a -≤，解得2a ≥-， ∵实数a 的取值范围是[2,)-+∞．（2）若不等式()0f x ≤的解集为{|02}x x ≤≤，则0，2是方程20x ax b ++=的两个实数根，∵0202a b +=-⎧⎨⨯=⎩，∵20a b =-⎧⎨=⎩． （3）若1b =，则2()1=++f x x ax ，对称轴为2a x =-， 当02a -≤，即0a ≥时，函数()f x 在到[0,3]单调递增， 则()()min 01f x f ==，当032a <-<，即60a -<<时， 函数()f x 在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在,32a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增， 则()222min112424a a a a f x f ⎛⎫=-=-+=- ⎪⎝⎭， 当32a -≥，即6a ≤-时，函数()f x 在[0,3]单调递减， 则()()min 3103f x f a ==+，综上，21,0()1,604103,6a a g a a a a ≥⎧⎪⎪=--<<⎨⎪+≤-⎪⎩． 【例4】已知函数()223f x x bx =-+，Rb ∈.(1)若函数()f x 的图象经过点()4,3，求实数b 的值；(2)在（1）条件下，求不等式()0f x <的解集；(3)当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最小值为1，求当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最大值.【答案】(1)2b =；(2){}13x x <<；(3)当1b ≤-时，()f x 的最大值为13，当12b -<<时，()f x 最大值为422+．【分析】（1）由题可得()43f =，进而即得；（2）利用二次不等式的解法即得；（3）对()f x 的对称轴与区间[]1,2-的关系进行分情况讨论，判断()f x 的单调性，利用单调性解出b ，再求出最大值．（1）由题可得()244833f b =-+=，∵2b =；（2）由()2430f x x x =-+<，解得13x <<，所以不等式()0f x <的解集为{}13x x <<；（3）因为2()23f x x bx =-+是开口向上，对称轴为x b =的二次函数，∵若1b ≤-，则()f x 在[]1,2-上是增函数，∵min ()(1)421f x f b =-=+=，解得32b =-， ∵max ()(2)7413f x f b ==-=；∵若2b ≥，则()f x 在[]1,2-上是减函数，∵min ()(2)741f x f b ==-=，解得32b =（舍）； ∵若12b -<<，则()f x 在[]1,b -上是减函数，在(],2b 上是增函数；∵2min ()()31f x f b b ==-=，解得2b =或2b =-（舍）．∵max ()(1)42422f x f b =-=+=+；综上，当1b ≤-时，()f x 的最大值为13，当12b -<<时，()f x 最大值为422+．【例5】在∵[]2,2x ∀∈-，∵[]1,3x ∃∈这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数()24f x x ax =++．(1)当2a =-时，求函数()f x 在区间[]22-,上的值域； (2)若______，()0f x ≥，求实数a 的取值范围．【答案】(1)[]3,12(2)答案见解析【分析】（1）利用二次函数的性质直接求解其值域，（2）若选条件∵，求出抛物线的对称轴，分22a -≤-，222a -<-<和22a -≥三种情况求出函数的最小值，使最小值大于等于零，即可求出a 的取值范围，若选条件∵，则()max 0f x ≥，由抛物线的性质可得()10f ≥或()30f ≥，从而可求出a 的取值范围.（1）当2a =-时，()()222413f x x x x =-+=-+，∵()f x 在[]2,1-上单调递减，在[]1,2上单调递增，∵()()min 13f x f ==，()()max 212f x f =-=，∵函数()f x 在区间[]22-,上的值域为[]3,12． （2）方案一：选条件∵．由题意，得()22424a a f x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭． 若22a -≤-，即4a ≥，则函数()f x 在区间[]22-,上单调递增， ∵()()min 2820f x f a =-=-≥，解得4a ≤，又4a ≥，∵a ＝4．若222a -<-<，即44a -<<，则函数()f x 在区间2,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间,22a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∵()2min 4024a a f x f ⎛⎫=-=-≥ ⎪⎝⎭， 解得44a -≤≤，∵44a -<<．若22a -≥，即4a ≤-，则函数()f x 在区间[]22-,上单调递减， ∵()()min 2820f x f a ==+≥，解得4a ≥-，又4a ≤-，∵a ＝－4．综上所述，实数a 的取值范围为[]4,4-． 方案二：选条件∵． ∵[]1,3x ∃∈，()0f x ≥， ∵()max 0f x ≥，∵函数()f x 的图象是开口向上的抛物线，最大值只可能在区间端点处取得． ∵()10f ≥或()30f ≥，解得5a ≥-或133a ≥-， ∵5a ≥-．故实数a 的取值范围为[)5,-+∞． 【例1】已知二次函数()()20,,,f x ax bx c a a b c =++>∈R ，()11f -=，对任意x ∈R ，()()2f x f x +=-，且()0f x x +≥恒成立． (1)求二次函数()f x 的解析式；(2)若函数()()42g x f x x x λ=++-的最小值为5，求实数λ的值． 【答案】(1)()2111424f x x x =-+，(2)174λ=± 【分析】（1）根据()()2f x f x +=-得到420a b +=，根据()0f x x +≥恒成立得到a c =，结合()11f a b c -=-+=，求出11,42a b ==-，14c =，求出二次函数解析式；（2）结合第一问，将()()42g x f x x x λ=++-写出分段函数，分12λ<-，1122λ-≤≤与12λ>三种情况，结合函数单调性，最小值为5，列出方程，求出实数λ的值. 【详解】（1）由题意得：()11f a b c -=-+=，且0a ≠，()()210f x x ax b x c +=+++≥恒成立，故()2Δ140a b ac >⎧⎪⎨=+-≤⎪⎩， 将1b a c +=+代入()2140b ac +-≤中，()20a c -≤， 故a c =，从而21a b c a b -+=-=，由()()2f x f x +=-得：()()()22222f x a x b x c ax bx c +=++++=-+，整理得()42420a b x a b +++=，故420a b +=， 联立21a b -=与420a b +=，解得：11,42a b ==-，故14c a ==， 二次函数解析式为()2111424f x x x =-+； （2）函数()()2421g x f x x x x x λλ=++-=++-的最小值为5，()2222131,24131,24x x x x g x x x x x λλλλλλ⎧⎛⎫+-+=+-+≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-++=-++< ⎪⎪⎝⎭⎩， 且()21g λλ=+，即在端点处分段函数的函数值相等，当12λ<-时，()g x 在12x <-上单调递减，在21x ≥-上单调递增，故()g x 在12x =-处取得最小值，即354λ-+=，解得：17142λ=-<-，符合要求；当1122λ-≤≤时，()g x 在x λ<上单调递减，在x λ≥上单调递增， 故()g x 在x λ=处取得最小值，即215λ+=，解得：2λ=±，不合题意，舍去； 当12λ>时，()g x 在12x <上单调递减，在12x ≥上单调递增，故()g x 在12x =处取得最小值，即354λ+=，解得：17142λ=>，符合要求；综上：174λ=±. 【例2】已知函数()R a a x x x f ∈-+=,22． (1)若()x f 为偶函数，求a 的值；(2)若函数()()2+=x af x g 的最小值为8，求a 的值． 【答案】(1)0，(2)2【分析】（1）利用偶函数的定义，列出关系式，即可求出a 的值； （2）化简函数为分段函数，通过讨论a 的范围，列出关系式求解即可．【详解】（1）因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )， 故x 2＋2|－x －a |＝x 2＋2|x －a |，所以|x ＋a |＝|x －a |，即x 2＋2ax ＋a 2＝x 2－2ax ＋a 2，化简得4ax ＝0， 因为x ∵R ，所以a ＝0．（2）22222(1)22,()()222(1)22,a x a a x ag x af x ax a x a a x a a x a ⎧+--+=+=+-+=⎨-+-+<⎩∵若a ＝0，则g (x )＝2，不合题意； ∵若a ＜0，则g (x )无最小值，不合题意； ∵若0＜a ≤1，当x ≥a 时，g (x )在[a ，＋∞)上单调递增，g (x )≥g (a )； 当x ＜a 时，g (x )在(－∞，a )上单调递减，g (x )＞g (a )．所以，g (x )的最小值为g (a )＝a 3＋2＝8，所以a ＝36＞1，舍去； ∵若a ＞1，当x ≥a 时，g (x )在[a ，＋∞)上单调递增，g (x )≥g (a )；当x ＜a 时，g (x )在(－∞，1]上单调递减，在(1，a )内单调递增，所以g (x )≥g (1)， 因为g (1)＜g (a )，所以g (x )的最小值为g (1)＝2a 2－a ＋2＝8，所以a ＝32-(舍去)或a ＝2，综上所述，a ＝2．【例3】已知函数()||1()f x x x a x =--+∈R .(1)当2a =时，试写出函数()()g x f x x =-的单调递增区间； (2)若函数()f x 在[1,4]上的最小值是3-，求a 的值 【答案】(1)单调递增区间为3,22⎛⎫⎪⎝⎭；(2)3或4【分析】（1）当2a =时，求出()()()2231(2)12x x x g x f x x x x x ⎧-+<⎪=-=⎨-++≥⎪⎩，利用二次函数的性质确定函数的单调区间；（2）分1a <，12a ≤<，24a ≤<，48a ≤<和8a ≥五种情况进行讨论，结合函数的图象得到对应的最小值，即可得到答案 （1）当2a =时，()()2221(2)21212x x x f x x x x x x ⎧-+<⎪=--+=⎨-++≥⎪⎩, 所以()()()2231(2)12x x x g x f x x x x x ⎧-+<⎪=-=⎨-++≥⎪⎩, 当2x <时，231y x x =-+，其图象开口向上，对称轴方程为32x =， 所以()g x 在3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在3,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；当2x ≥时，21y x x =-++，其图象开口向下，对称轴方程为12x =， 所以()g x 在[2,)+∞上单调递减，综上可知，()g x 的单调递增区间为3,22⎛⎫⎪⎝⎭；（2）当1a <时，()224()124a a f x x x a x +⎛⎫=--+=--+ ⎪⎝⎭，因为122a <，所以()min ()44153f x f a ==-=-，解得3a =，故舍去； 当12a ≤<时，()22224,4244,124a a x a x f x a a x x a ⎧+⎛⎫--+≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪-+≤< ⎪⎪⎝⎭⎩， 因为1122a≤<，所以()f x 在[]1a ，递增，在[],4a 递减， 所以()f x 的最小值在()1f 或()4f 中取，且()22411224a a f a -⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，()2244441524a a f a +⎛⎫=--+=- ⎪⎝⎭，若()f x 的最小值为()123f a =-=-，解得5a =，故舍去； 若()f x 的最小值为()44153f a =-=-，解得3a =，故舍去；当24a ≤<时，()22224,4244,124a a x a x f x a a x x a ⎧+⎛⎫--+≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪-+≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，因为122a ≤<，所以()f x 在12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减，在,2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，在[],4a 递减， 所以()f x 的最小值在2a f ⎛⎫⎪⎝⎭或()4f 中取，若()f x 的最小值为24324a af -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，解得4a =±，故舍去； 若()f x 的最小值为()44153f a =-=-，解得3a =， 检验：353224a f f ⎛⎫⎛⎫==->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故满足；当48a ≤<时，()224()124a a f x x a x x -⎛⎫=--+=-+ ⎪⎝⎭，因为242a ≤<，所以2min 4()324a af x f -⎛⎫===- ⎪⎝⎭，因为48a ≤<，解得4a =； 当8a ≥时，()224()124a a f x x a x x -⎛⎫=--+=-+ ⎪⎝⎭，因为42a≥，所以()min ()41743f x f a ==-=-，解得5a =，故舍去； 综上所述，a 的值为3或4【点睛】关键点睛：这道题的关键在于比较对称轴2a和a 与区间[]1,4的关系，分成了5种情况，数形结合，利用二次函数的图象与性质得到对应的最小值 【例4】已知函数() 2.f x x x a =-+ (1)当2a =时，求()f x 的单调增区间；(2)若12,[0,2]x x ∃∈，使()()122f x f x ->，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为(),1-∞和()2,+∞ (2)(,1)(22,)-∞⋃+∞【分析】（1）根据已知及分段函数，函数的单调性与单调区间的计算，求出()f x 的单调增区间；（2）根据已知及二次函数的性质求最值，结合不等式和绝对值不等式的计算求出实数a 的取值范围． （1）当2a =时，()2222,22222,2x x x f x x x x x x ⎧-+=-+=⎨-++<⎩，2≥x 时，()f x 单调递增，2x <时，()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,2上单调递减，所以()f x 的单调递增区间为(),1-∞和()2,+∞， （2）12,[0,2]x x ∃∈，使()()122f x f x ->所以()()12max 2f x f x ->， 即()()max min 2f x f x ->，∵当2≤a 时，()22f x x ax =-++，对称轴2a x =， (i)当221≤≤a 即42≤≤a 时，()2max224a a f x f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， ()()min 02f x f ==，所以()20224a a f f ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭， 所以22a >或22a <-， 因为42≤≤a ，所以224a < ， (ii)当22a>即4a >时，()()max 222f x f a ==-， ()()min 02f x f ==，所以()()20242f f a -=->，3a >，因为4a >，所以4a >，∵当0a 时，()22f x x ax =-+，对称轴02ax =<， 所以()()max 262f x f a ==-，()()min 02f x f ==，所以()()20422f f a -=->，1a <，所以0a ，∵当02a <<时，()222,02,2x ax x af x x ax a x ⎧-++<<=⎨-+<<⎩，因为()()()min 022f x f f ===，因为()220124a a f f ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭， 所以2a f ⎛⎫⎪⎝⎭不可能是函数的最大值，所以()()max 262f x f a ==-， 所以()()20422f f a -=->， 所以01a <<，综上所述：a 的取值范围是(,1)(22,)-∞⋃+∞ .【点睛】关键点点睛：本题主要考查了分段函数，函数的单调性与单调区间，函数的最值，不等式和绝对值不等式的应用，属于较难题，解题的关键是将12,[0,2]x x ∃∈，使()()122f x f x ->，转化为()()max min 2f x f x ->，然后分类利用二次函数的性质求出其最值即可，考查了分类思想和计算能力【例5】已知函数()f x x m =-.(1)若函数()f x 在[]1,2上单调递增，求实数m 的取值范围；(2)若函数()()2g x xf x m =+在[]1,2的最小值为7，求实数m 的值.【答案】(1)(],1-∞ (2)2m =-或231m =-【分析】（1）化为分段函数，结合单调性得到实数m 的取值范围；（2）化为分段函数，对m 分类讨论，结合最小值为7，求出实数m 的值，注意舍去不合要求的值. (1)(),,x m x m f x x m m x x m -≥⎧=-=⎨-<⎩，即()f x 在()m -∞，上单调递减，在[),m +∞上单调递增，若函数()f x 在[]1,2上单调递增，则1m ，所以实数m 的取值范围是(],1-∞；(2)()()222222,,x mx m x mg x xf x m x x m m x mx m x m ⎧-+≥=+=-+=⎨-++<⎩, ∵当1m 时，()g x 在[]1,2上单调递增，故()()2min 117g x g m m ==-+=，解得：2m =-或3（舍去）；∵当12m <≤时，()()2min 7g x g m m ===，解得：7m =±（舍去）；∵当23m <≤时，()g x 在1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在,22m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且2m x =更靠近1，所以()()2min 2247g x g m m ==+-=，解得：231m =-或231--（舍去）；∵当34m <≤时，()g x 在1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在,22m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且2m x =更靠近2，所以()()2min 117g x g m m ==-+=，解得：2m =-（舍去）或3（舍去）；∵当4m >时，()g x 在[]1,2上单调递增，故()()2min 117g x g m m ==-+=，解得：2m =-（舍去）或3（舍去）；综上：2m =-或231m =-.【例1】已知a ，b 是常数，0a ≠，()2f x ax bx =+，()20f =，且方程()f x x =有两个相等的实数根．(1)求a ，b 的值；(2)是否存在实数m ，n ()m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ?若存在，求出实数m ，n 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)12a =-，1b =(2)存在，2,0m n =-=【分析】（1）由()20f =、()210ax b x +-=有两个相等的实数根可得答案；（2）假设存在符合条件的m ，n ．21122f x x x ，得14n ≤，由一元二次函数图象的特征结合定义域和值域可得答案. （1）由()2f x ax bx =+，()20f =，得420a b +=，又方程()f x x =，即()210ax b x +-=有两个相等的实数根，所以()2140--=b a ，解得1b =，12a =-；（2）假设存在符合条件的,m n ， 由（1）知22111112222f xx x x ，则有122n ≤，即14n ≤，由一元二次函数图象的特征，得14()2()2m n f m m f n n ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，即2214122122m n m m m n n n⎧<≤⎪⎪⎪-+=⎨⎪⎪-+=⎪⎩，解得20m n =-⎧⎨=⎩，所以存在2m =-，0n =，使得函数()f x 在[]2,0-上的值域为[]4,0-． 【例2】已知函数()11,111,01x xf x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩. (1)当0a b <<，且()()f a f b =时，求11a b+的值； (2)若存在实数,(1)a b a b <<，使得函数()y f x =的定义域为[],a b 时，其值域为[],ma mb ，求实数m 的取值范围.【答案】(1)2； (2)104m <<.【分析】（1）根据函数()f x 的单调性可知，()()f a f b =可等价于1111a b -=-，即可解得11a b+的值； （2）根据函数()y f x =在[,]a b 上的单调性，即可确定()y f x =在[,]a b 上的值域，从而根据根的分布建立方程组，即可解出m 的取值范围． (1)由题意得()y f x =在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数， 由0a b <<，且0a b <<，可得01a b <<<且1111a b-=-因此112a b+=.(2)当[),1,a b ∞∈+时，则()y f x =在[)1,+∞上为增函数 故1111ma amb b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 即a b ､是方程210mx x -+=的两个根即关于x 的方程210mx x -+=在[)1,+∞上有两个不等的实数根. 设()21g x mx x =-+，则()Δ0101120g m m >⎧⎪>⎪⎪⎨>⎪⎪>⎪⎩ 解得104m <<. 【例3】已知函数()2112f x a a x=+-，实数a R ∈且0a ≠． (1)设0m n <<，判断函数()f x 在[],m n 上的单调性，并说明理由；(2)设0m n <<且0a >时，()f x 的定义域和值域都是[],m n ，求n m -的最大值． 【答案】(1)()f x 在[],m n 上单调递增，理由见解析 (2)433【分析】（1）由定义法直接证明可得； （2）由题知,m n 是方程2112x a a x+-=的不相等的两个正数根，然后整理成一元二次方程，由判别式和韦达定理列不等式组求解可得a 的范围，再用韦达定理表示出所求，然后可解. (1)设120<m x x n ≤<≤，则()()1212222121211x x f x f x a x a x a x x --=-+=， 120<m x x n ≤<≤，12120,0x x x x ∴>-<，()()12f x f x ∴<，故()f x 在[],m n 上单调递增；(2)由（1）可得0m n <<时，()f x 在[],m n 上单调递增，()f x 的定义域和值域都是[],m n ，(),()f m m f n n ∴==，则,m n 是方程2112x a a x+-=的不相等的两个正数根， 即()222210a x a a x -++=有两个不相等的正数根，则222222Δ2402010a a a a a m n a mn a ⎧=+->⎪⎪+⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩（），解得12a >，222222241216()4333a a n m n m mn a aa ⎛⎫+⎛⎫∴-=+-=-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1,2a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，32a ∴=时，n m -最大值为433；【例4】已知二次函数2()(,,)f x ax bx c a b c =++∈R 的图像经过原点O ，满足对任意实数x 都有(3)(1)f x f x -=-，且关于x 的方程()2f x x =有两个相等的实数根.(1)求函数()f x 的解析式：(2)是否存在实数m 、()n m n <，使得()f x 的定义域为[,]m n ，值域为22,m n ⎡⎤⎣⎦?若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2()2f x x x =-+ (2)存在，0,1m n ==【分析】（1）由题意列方程求解,,a b c（2）根据定义域与对称轴关系，讨论()f x 值域后求解 (1)()f x 经过原点，故0c，()2f x x =，即2(2)0ax b x +-=有两个相等的实数根，由Δ0=知2b =，(3)(1)f x f x -=-，故()f x 的对称轴为1x =，即12ba-=，1a =-， 函数()f x 的解析式为2()2f x x x =-+．(2)2()(1)11f x x =--+≤，故11n -≤≤，故()f x 在[,]m n 上单调递增，由题意得222222m m m n n n ⎧-+=⎨-+=⎩又m n <，解得01m n =⎧⎨=⎩ 存在0,1m n ==满足题意【例5】已知函数()f x =x 2－2x ＋b 的自变量的取值区间为A ，若其值域区间也为A ，则称A 为()f x 的保值区间．(1)若b ＝0，求函数f (x )形如[,)()t t R ∞+∈的保值区间；(2)若函数f (x )的保值区间为[m ，n ]()m n <，且f (x )在[m ，n ]上单调，求实数b 的取值范围． 【答案】(1)[1,)-+∞和[3,)+∞ (2)591,2,44⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【分析】（1）根据对称轴为标准分类讨论，使其满足定义即可求解；（2）以对称轴为界分类讨论，依据单调性建立等式，再将问题转化为二次函数或一元二次方程问题求解. (1)当0b =时，2()2f x x x =-，其对称轴为1x =.当1t ≤时，()[1,)f x ∈-+∞，此时，要满足函数f (x )是形如[,)()t t R ∞+∈的保值区间，则1t =-，区间为[1,)-+∞； 当1t >时，2()[2,)f x t t ∈-+∞，定义域为[,)t +∞，此时，要满足函数f (x )是形如[,)()t t R ∞+∈的保值区间，则22t t t -=，解得3t =或0=t （舍），因此，此时区间为[3,)+∞.综上可知，函数f (x )形如[,)()t t R ∞+∈的保值区间为[1,)-+∞和[3,)+∞； (2)因为函数f (x )的定义域、值域都为[m ，n ]，且f (x )在[m ，n ]上单调， 当m ≥1时，函数f (x )在[m ，n ]上单调递增，此时()()f m m f n n =⎧⎨=⎩即222,2,m m b m n n b n ⎧-+=⎨-+=⎩等价于方程x 2－3x ＋b ＝0在[1，＋∞)上有两个不等实根，令g (x )＝x 2－3x ＋b ，则有Δ940,(1)20,31,2b g b ⎧⎪=->⎪=-+≥⎨⎪⎪>⎩解得924b ≤<；当n ≤1时，函数f (x )在[m ，n ]上单调递减，此时()()f m n f n m =⎧⎨=⎩即2222m m b n n n b m ⎧-+=⎨-+=⎩两式相减得：(m －n )(m ＋n －1)＝0，即m ＝n (舍)或m ＋n －1＝0，也即m ＝1－n ，由m <n 可得112n <≤， 将m ＝1－n 代入n 2－2n ＋b ＝m 可得方程n 2－n ＋b －1＝0在1(,1]2上有解，即为函数b ＝－n 2＋n ＋1在1(,1]2上的值域问题，因为22151()24b n n n =-++=--+在1(,1]2上单调递减，所以b 5[1,)4∈．综上所述，b 的取值范围是59[1,)[2,)44⋃．【例6】已知函数()221x f x x-=．(1)求函数()y f x =的值域；(2)若不等式()231x f x x kx +≥+在[]1,2x ∈时恒成立，求实数k 的最大值；(3)设()()1g x t f x =⋅+（11,x m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0m n >>，0t >），若函数()y g x =的值域为[]23,23m n --，求实数t 的取值范围． 【答案】(1)(,1)-∞ (2)2- (3)(0,1)【分析】（1）化简函数得21()1(0)f x x x=-≠，由20x >，可求出2111x -<，从而可求得函数的值域， （2）等式()231x f x x kx +≥+在[]1,2x ∈时恒成立，转化为2k x x ≤-+在[]1,2x ∈时恒成立，令2211()24h x x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，可得()h x 在[]1,2上单调递减，从而可求出其最小值，进而可求得实数k 的最大值，（3）由题意得min max 11()23,()23g x g m g x g n m n ⎛⎫⎛⎫==-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可得,m n 是方程2310(0)tx x t t -+-=>的两个不相等的正根，令2()310(0)x tx x t t ϕ=-+-=>，则有Δ94(1)0302(0)10t t t t ϕ=-->⎧⎪⎪>⎨⎪=->⎪⎩，从而可求出实数t 的取值范围 （1）由题意得21()1(0)f x x x =-≠， 因为20x >，所以210x >，则2111x -<， 所以函数()f x 的值域为(,1)-∞ （2）因为[]1,2x ∈，所以不等式可化为2311kx x x ≤-+-， 所以2k x x ≤-+，令2211()24h x x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，则()h x 在[]1,2上单调递减，所以min ()(2)422h x h ==-+=-，所以2k ≤-， 所以实数k 的取值范围为(,2]-∞-， 所以实数k 的最大值为2- （3）由题意得2()1tg x t x =-++， 因为0t >，所以()g x 在11,(0,0)m n m n ⎡⎤>>⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以min max 11()23,()23g x g m g x g n m n ⎛⎫⎛⎫==-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()221123,1123t m m t n n -+=--+=-，所以,m n 是方程()21123t x x -+=-，即2310(0)tx x t t -+-=>的两个不相等的正根，令2()310(0)x tx x t t ϕ=-+-=>，其图象开口向上，对称轴为直线32x t=，且有两个不相等的正零点， 所以Δ94(1)0302(0)10t t t t ϕ=-->⎧⎪⎪>⎨⎪=->⎪⎩，即01t R t t ∈⎧⎪>⎨⎪<⎩，解得01t <<所以实数t 的取值范围为(0,1)【例7】已知()f x 是定义在R 上的函数，且()()0f x f x +-=，当0x >时，()22f x x x =-，(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[)1,x ∞∈+时，()()g x f x =，当(),1x ∞∈-时()223g x x mx m =-+-，()g x 在R 上单调递减，求m 的取值范围；(3)是否存在正实数a b ，，当[],x a b ∈时，()()h x f x =且()h x 的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若存在，求出a b ，，若不存在，说明理由．【答案】(1)()222020x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，，； (2)[)3,∞+； (3)存在，151,2a b +==.【分析】（1）根据函数是奇函数以及大于零时()f x 的解析式，即可容易求得结果； （2）根据（1）中所求，结合()f x 的单调性，列出不等关系，即可求得参数范围； （3）根据()h x 的单调性，结合,a b 是方程32210x x -+=的两个正根，求解即可. (1)由题意，任取0x <，则0x ->，故有()22f x x x -=--，因为()f x 是定义在R 上的函数，且()()0f x f x +-=，即函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，0x ∴<时，()()22f x f x x x =--=+，又0x =时，()()000f f +=，即()00f =，所以()222020x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，，． (2)当[)1,x ∞∈+时，()()2(1)1g x f x x ==--+，在[)1,+∞单调递减，又当(),1x ∞∈-时，()223g x x mx m =-+-，且()g x 在R 上单调递减，所以121231m m m ⎧≥⎪⎨⎪-+-≥⎩，解得3m ≥， 即m 的取值范围为[)3,∞+. (3)当0x >时，()2(1)11f x x =--+≤，若存在这样的正数a ,b ，则当[]()max 1,[]1x a b f x a∈=≤时，，故1a ≥， ()f x ∴在[],a b 内单调递减，()()221212f b b b bf a a a a⎧==-+⎪⎪∴⎨⎪==-+⎪⎩，所以,a b 是方程32210x x -+=的两个正根， ()()32221110x x x x x -+=---=， 12151,2x x +∴==， 故存在正数1512a b +==，满足题意. 【例1】已知函数()1f x x x=+，()21g x x ax a =-+-． (1)若()g x 的值域为[)0,∞+，求a 的值．(2)证明：对任意[]11,2x ∈，总存在[]21,3x ∈-，使得()()12f x g x =成立． 【答案】(1)2 (2)证明见解析【分析】（1）由题意，可得Δ0=，从而即可求解；（2）利用对勾函数单调性求出()f x 在[1,2]上的值域，再分三种情况讨论二次函数()g x 在闭区间[]1,3-上的值域，然后证明()f x 的值域是()g x 值域的子集恒成立即可得证. （1）解：因为()g x 的值域为[)0,∞+，所以()()222414420a a a a a ∆=--=-+=-=，解得2a =．（2）证明：由题意，根据对勾函数的单调性可得()1111f x x x =+在[]1,2上单调递增，所以()152,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 设()21g x x ax a =-+-在[]1,3-上的值域为M ，当12a≤-，即2a -时，()g x 在[1,3]-上单调递增，因为max ()(3)8212g x g a =-=，min ()(1)24g x g a -==-，所以2,52M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦；当32a，即6a 时，()g x 在[1,3]-上单调递减，因为max ()(1)212g x g a -==，min ()(3) 824g x g a =--=，所以2,52M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦；当132a -<<，即26a -<<时，22min 11()1(2)(4,0]244a g x g a a a ⎛⎫==-+-=--∈- ⎪⎝⎭，max ()max{2, 82}[4,12)g x a a =-∈，所以52,2M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦；综上，52,2M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦恒成立，即()f x 在[1,2]上的值域是()g x 在[1,3]-上值域的子集恒成立，所以对任意1[1,2]x ∈总存在2[1,3]x ∈-，使得()()12f x g x =成立.【例2】函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，给定函数()261+-=+x x f x x . (1)求()f x 的对称中心；(2)已知函数()g x 同时满足：∵()11+-g x 是奇函数；∵当[]0,1x ∈时，()2g x x mx m =-+.若对任意的[]10,2x ∈，总存在[]21,5x ∈，使得()()12g x f x =，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)()1,1-- (2)[]2,4-【分析】（1）设()f x 的对称中心为(),a b ，根据对称性得到关于,a b 的方程，解得即可得解；（2）易求得()f x 的值域为[]2,4-，设函数()g x 的值域为集合A ，则问题可转化为[]2,4A ⊆-，分0m ≤，2m ≥和02m <<三种情况讨论，从而可得出答案.【详解】（1）解：()()()2211666111x x x x f x x x x x +-+-+-===-+++， 设()f x 的对称中心为(),a b ，由题意，得函数()y f x a b =+-为奇函数， 则()()f x a b f x a b -+-=-++， 即()()20f x a f x a b ++-+-=， 即()()662011x a x a b x a x a +-+-+--=++-++，整理得()()()()221610a b x a b a a ⎡⎤---+-+=⎣⎦， 所以()()()21610a b a b a a -=-+-+=，解得1,1a b =-=-， 所以函数()f x 的对称中心为()1,1--；（2）解：因为对任意的[]10,2x ∈，总存在[]21,5x ∈，使得()()12g x f x =， 所以函数()g x 的值域是函数()f x 的值域的子集， 因为函数6,1y x y x ==-+在[]1,5上都是增函数， 所以函数()61f x x x =-+在[]1,5上是增函数， 所以()f x 的值域为[]2,4-， 设函数()g x 的值域为集合A ， 则原问题转化为[]2,4A ⊆-，因为函数()11+-g x 是奇函数，所以函数()g x 关于()1,1对称， 又因为()11g =，所以函数()g x 恒过点()1,1， 当02m≤，即0m ≤时，()g x 在[]0,1上递增，则函数()g x 在(]1,2上也是增函数， 所以函数()g x 在[]0,2上递增， 又()()()0,2202g m g g m ==-=-，所以()g x 的值域为[],2m m -，即[],2A m m =-， 又[][],22,4A m m =-⊆-， 所以2240m m m ≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，解得20m -≤≤，当12m≥即2m ≥时，()g x 在[]0,1上递减，则函数()g x 在(]1,2上也是减函数， 所以函数()g x 在[]0,2上递减， 则[]2,A m m =-， 又[][]2,2,4A m m =-⊆-， 所以2224m m m ≥⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩，解得24m ≤≤，当012m<<即02m <<时， ()g x 在0,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在,12m ⎛⎫⎪⎝⎭上递增， 又因函数()g x 过对称中心()1,1，所以函数()g x 在1,22m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，在2,22m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，故此时()()min min 2,2m g x g g ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，()()max max 0,22m g x g g ⎧⎫⎛⎫=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，要使[]2,4A ⊆-，只需要()()()222202222404222422402g g m m m g m g m m m m g g m m ⎧=-=-≥-⎪⎛⎫⎪=-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎪=≤⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪-=-=-+≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪<<⎩，解得02m <<，综上所述实数m 的取值范围为[]2,4-.【点睛】本题考查了函数的对称性单调性及函数的值域问题，考查了转化思想及分类讨论思想，解决本题第二问的关键在于把问题转化为函数()g x 的值域是函数()f x 的值域的子集，有一定的难度. 【例3】已知函数2()3,()221()f x x g x x ax a a =-+=-+-∈R ． (1)若函数()g x 的值域为[0,)+∞，求a 的取值集合；(2)若对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)1a = (2)1(,1],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用二次函数的图像与性质，得到Δ0=，求解即可.（2）将问题转化为()()()()min minmax max f x g x f x g x ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩，然后利用二次函数的性质以及一次函数的性质，求解两个函数的最值，求解不等式组，即可得出答案. （1）∵函数2()221g x x ax a =-+-的值域为[0,)+∞，∵2(2)4(21)0a a ∆=--=， 解得1a =； （2）由题意可知()()()()min minmax max f x g x f x g x ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩对于函数()3f x x =-+在[2,2]-上是减函数，∵min max ()(2)1,()(2)5f x f f x f ===-=， 函数2()221g x xax a =-+-图象开口向上，对称轴为直线x a =．∵当2a ≤-时，函数()g x 在[2,2]-上为增函数，min max?()(2)63,()(2)23g x g a g x g a =-=+==-+，∵163,523,a a ≥+⎧⎨≤-+⎩此时2a ≤-； ∵当20a -<≤时，函数()g x 在区间[2,]a -上为减函数，在[],2a 上为增函数，2min max ()()21,()(2)23g x g a a a g x g a ==-+-==-+，∵2121,523,a a a ⎧≥-+-⎨≤-+⎩此时21a -<≤-；∵当02a <<时，函数()g x 在区间[2,]a -上为减函数，在[],2a 上为增函数，2min max ()()21,()(2)63g x g a a a g x g a ==-+-=-=+， ∵2121,563,a a a ⎧≥-+-⎨≤+⎩此时123a ≤<； ∵当2a ≥时，函数()g x 在[2,2]-上是减函数，∵max min ()(2)63,()(2)23g x g a g x g a =-=+==-+， ∵123,563,a a ≥-+⎧⎨≤+⎩此时2a ≥； 综上所述，实数a 的取值范围是1(,1],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭．。
培优专题01 二次函数含参数最值问题(解析版)
培优专题01二次函数含参数最值问题【题型目录】题型一：定轴动区间问题题型二：定区间动轴问题题型三：含绝对值二次函数问题题型四：定义域为[]n m ,，值域为[]kn km ,求参数问题题型五：二次函数值域包含性问题【典型例题】题型一：定轴动区间问题【例1】已知二次函数满足2()(0)f x ax bx c a =++≠，满足(1)()21f x f x x +-=-，且(0)0f =．(1)求()f x 的解析式；(2)当[]()2R x t t t ∈+∈,时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）．【答案】(1)()22f x x x =-(2)()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩【详解】（1）因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)0f =，(1)()21f x f x x +-=-，所以0c =，()()221121221a x b x ax bx x ax a b x +++--=-⇒++=-，所以221a ab =⎧⎨+=-⎩，得12a b =⎧⎨=-⎩.所以()22f x x x =-.（2）()22f x x x =-是图象的对称轴为直线1x =，且开口向上的二次函数.当1t ≥时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递增，则()()2min 2f x f t t t ==-；当21t +≤即1t ≤-时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递减，则()()()()22min 22222f x f t t t t t =+=+-+=+；当11t t <<+，即11t -<<时，()()()2min 11211f x f ==-=-；综上所述()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩.【例2】已知定义在R 上的函数)f x ，满足()226f x x x -=--．(1)求()f x 的解析式．(2)若()f x 在区间[]0,m 上的值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，写出实数m 的取值范围（不必写过程）．f x 在区间[],2t t +上的最小值为6，求实数t 的值．【例3】对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使得()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，已知函数2()(2)4f x ax b x =+++的两个不动点分别是-2和1.(1)求,a b 的值及()f x 的表达式；[,1]t t +【例4】已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最小值为12-.(1)求()f x 的解析式；上的最大值为【例1】已知函数2()f x x mx m =-+-.(1)若函数()f x 在[]1,0-上单调递减，求实数m 的取值范围；(2)若当1x >时，()4f x <恒成立，求实数m 的取值范围；(3)是否存在实数m ，使得()f x 在[]2,3上的值域恰好是[]2,3？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明上单调递减，应满足【例2】已知二次函数的图象过点，且不等式20ax bx c ++≤1(1)求()f x 的解析式：24g x f x t x =--在区间[]1,2-上有最小值2，求实数t 的值.(1)若函数()f x 在(1,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若不等式()0f x ≤的解集为{|02}x x ≤≤，求,a b 的值；时，函数【例4】已知函数，R b ∈.(1)若函数()f x 的图象经过点()4,3，求实数b 的值；(2)在（1）条件下，求不等式()0f x <的解集；1,2x ∈-时，函数()y f x =的最小值为1，求当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最大值.【例5】在①2,2x ∀∈-，②1,3x ∃∈这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数()24f x x ax =++．(1)当2a =-时，求函数()f x 在区间]22-,上的值域；【例1】已知二次函数()()20,,,f x ax bx c a a b c =++>∈R ，()11f -=，对任意x ∈R ，()()2f x f x +=-，且()0f x x +≥恒成立．(1)求二次函数()f x 的解析式；(1)若x f 为偶函数，求a 的值；(1)当2a =时，试写出函数()()g x f x x =-的单调递增区间；)x(1)当2a =时，求f x 的单调增区间；，所以(1)若函数f x 在[]1,2上单调递增，求实数m 的取值范围；2g x xf x m =+在[]1,2的最小值为7，求实数m 的值.【例1】已知a ，b 是常数，0a ≠，()2f x ax bx =+，()20f =，且方程()f x x =有两个相等的实数根．(1)求a ，b 的值；(2)是否存在实数m ，n ()m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ?若存在，求出实数m ，=【例2】已知函数()1,111,01x xf x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩.(1)当0a b <<，且()()f a f b =时，求11a b+的值；(2)若存在实数,(1)a b a b <<，使得函数()y f x =的定义域为[],a b 时，其值域为[],ma mb ，求实数m 的取值【例3】已知函数()22f x a a x=+-，实数a R ∈且0a ≠．(1)设0m n <<，判断函数()f x 在[],m n 上的单调性，并说明理由；f x 的定义域和值域都是[],m n ，求n m -的最大值．【例4】已知二次函数，满足对任意实数(3)(1)f x f x -=-，且关于x 的方程()2f x x =有两个相等的实数根.(1)求函数()f x 的解析式：(2)是否存在实数m 、()n m n <，使得()f x 的定义域为[,]m n ，值域为22,m n ⎡⎤⎣⎦?若存在，求出m ，n 的值；【例5】已知函数－2x ＋b 的自变量的取值区间为A ，若其值域区间也为A ，则称A 为的保值区间．(1)若b ＝0，求函数f (x )形如[,)()t t R ∞+∈的保值区间；m n <【例6】已知函数()2f x x-=．(1)求函数()y f x =的值域；(2)若不等式()231x f x x kx +≥+在[]1,2x ∈时恒成立，求实数k 的最大值；(3)设()()1g x t f x =⋅+（11,x m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0m n >>，0t >），若函数()y g x =的值域为[]23,23m n --，求实数【例7】已知是定义在R 上的函数，且0f x f x +-=，当0x >时，(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[)1,x ∞∈+时，()()g x f x =，当(),1x ∞∈-时()223g x x mx m =-+-，()g x 在R 上单调递减，求m 的取值范围；(3)是否存在正实数a b ，，当[],x a b ∈时，()()h x f x =且()h x 的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若存在，求出a b ，，若不【例1】已知函数()1f x x x=+，()21g x x ax a =-+-．(1)若()g x 的值域为[)0,∞+，求a 的值．证明：对任意1,2x ∈，总存在1,3x ∈-，使得f x g x =成立．【例2】函数y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y f x =为奇函数，可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，给定函数()261+-=+x x f x x .(1)求()f x 的对称中心；(2)已知函数()g x 同时满足：①()11+-g x 是奇函数；②当[]0,1x ∈时，()2g x x mx m =-+.若对任意的0,2x ∈1,5x ∈，使得()()g x f x =所以【例3】已知函数(1)若函数()g x 的值域为[0,)+∞，求a 的取值集合；[2,2]x ∈-[2,2]x ∈-f x g x =。